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Vorlesungsskript, Teil I
Hannover, Ausgabe WiSe 2014/15
Vorwort
Dieses Skriptum enthalt Teile der Skripte”Stromungsmechanik fur Bauingenieure“, Teil I und zu einem geringen
Anteil auch Teil II, Ausgabe 1990. Die Neuzusammenstellung und erste TEX-Fassung (2004) ubernahm Dipl.-
Ing. R. Ratke. Seit einer grundlichen Umarbeitung der TEX-Fassung (2013) durch Herrn Rene Stoelk wird das
Skript kontinuierlich angepasst und erganzt.
Vorwort zur ersten Auflage (1981)
Dieses Skriptum enthalt den Stoff, der in der Vorlesung “Stromungsmechanik I fur Bauingenieure“ im dritten
Semester gelehrt wird. Es handelt sich dabei nicht um ein Lehrbuch und sollte nur als eine Erganzung zu
Vorlesungen und Ubungen verstanden werden. Eine selbstandige Erarbeitung des Stoffes aus dem Skriptum ist
schon deshalb schwierig, weil auf Berechnungsbeispiele verzichtet wurde.
Die erste Version dieses Skriptums ist von Herrn Dr. Gartner auf der Basis meiner handschriftlichen Unterlagen
erstellt worden. An wesentlichen Erganzungen waren die Herren Theunert und Urban sowie Krahn und Ratke
beteiligt. Herr F. Brehm erstellte die attraktive außere Form.
Ihnen und allen anderen Mitarbeitern, die Verbesserungsvorschlage gemacht haben, danke ich fur ihre Mitarbeit.
W. Zielke
i
ii
Inhaltsverzeichnis
Vorwort i
Bezeichnungen viii
Lateinische Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Griechische Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Sonstige Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
A Einfuhrung 1
B Eigenschaften von Fluiden 3
B.1 Maßeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
B.2 Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
B.3 Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
B.4 Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
B.5 Kompressibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
B.6 Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
B.7 Viskositat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
B.8 Spezifische Warme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
iii
B.9 Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
B.10 Dampfdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
B.11 Oberflachenspannung und Kapillaritat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
B.12 Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
C Fluide im Gleichgewicht 15
C.1 Druck als skalare Große . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
C.2 Hydrostatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
C.3 Hydrostatische Druckverteilung in Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C.4 Hydrostatischer Druck auf horizontale Boden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
C.5 Hydrostatischer Druck auf ebene geneigte Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
C.6 Hydrostatischer Druck auf gekrummte Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C.7 Hydrostatischer Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
C.8 Relativ ruhende Flussigkeiten in bewegten Gefaßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
C.9 Schwimmstabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
D Kinematik der Stromung 33
D.1 Geschwindigkeit, Bahn-, Strom-, Streich- und Zeitlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
D.2 Stromrohre und Stromfaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
D.3 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
E Transport von Masse, Impuls und Energie 41
E.1 Transport durch Stromfaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
E.2 Transport durch Stromrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
E.3 Transport durch eine gekrummte Flache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
E.4 Transportprozesse infolge Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
iv
F Erhaltungssatze der Stromungsmechanik 51
F.1 Grundgleichungen fur Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
F.2 Ubergang vom Fluidvolumen zum Kontrollraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
F.3 Massenerhaltung (Kontinuitatsgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
F.3.1 Dichtebestandige Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
F.3.2 Dichteveranderliche Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
F.3.3 Dichtebestandige Stromung mit freier Oberflache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
F.4 Impulserhaltung (Impulssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
F.4.1 Stationare Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
F.4.2 Stromrohre, instationar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
F.5 Energieerhaltung (Energiesatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
F.5.1 Stromrohre, stationar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
F.5.2 Stromrohre, instationar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
F.5.3 Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
F.5.4 Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
F.6 Zusammenhang zwischen Impulssatz und Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
G Stromungswiderstand 69
G.1 Schubspannungen infolge Viskositat (Zahigkeit)
und Scheinviskositat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
G.2 Beziehung zwischen Wandschubspannung
und Verlust an Stroungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
G.2.1 Rohrleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
G.2.2 Offenes Gerinne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
G.3 Fließarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
v
G.4 Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung
bei laminarer Rohrstromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
G.5 Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung
bei turbulenter Rohrstromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
G.6 Wandreibung bei Gerinnestromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
G.7 Grenzschichten und Ablosungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
G.8 Konzentrierte Fließverluste in Rohren und Gerinnen,ζ-Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
G.8.1 Ein- und Auslaufverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
G.8.2 Umlenkverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
G.8.3 Verzweigungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
G.8.4 Querschnittsanderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
G.8.5 Verschlussorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
H Elementare stationare Rohrstromungen 97
H.1 Grundsatzliche Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
H.2 Venturi-Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
H.3 Pumpe, Turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
H.4 Rohrsystem mit Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
I Elementare stationare Gerinnestromungen 105
I.1 Normalabfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
I.2 Wellengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
I.3 Stromen und Schießen, Grenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
I.3.1 Betrachtungen bei vorgegebenem konstanten q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
I.3.2 Betrachtungen bei vorgegebenem konstanten E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
I.3.3 Bestimmung von h und v bei gegebener spezifischer Energie und Durchfluss . . . . . . . 114
vi
I.3.4 Grenzgefalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
I.4 Fließwechsel bei Gefalleanderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
I.4.1 Zusammenfassende Darstellung des Wechselsprungs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
J Ausfluss und Uberfall 121
J.1 Ausfluss durch kleine Offnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
J.2 Ausfluss durch große Offnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
J.3 Uberfall uber schmalkroniges Wehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
J.4 Uberfall uber breitkroniges Wehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
J.5 Uberfallbeiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
I Formeln zur Stromungsmechanik 127
vii
Bezeichnungen
Bezeichnungen
x, y, z und t sind raumliche, zeitliche kartesische Koordinaten.
In Klammern . . . gesetzte Buchstaben stehen fur das zugehorige Kapitel.
Lateinische Buchstaben
A [m2] Flache, Querschnittsflache
Ae [m2] eingeschnurter Strahlquerschnitt Ja [m/s] Schallfortpflanzungsgeschwindigkeit
a [m/s2] Beschleunigung
b [m] Breite
c [m/s] Wellengeschwindigkeit
c [Nm/(kg K)] Spezifische Warme
cp [Nm/(kg K)] spezifische Warme fur konstanten Druck Bcv [Nm/(kg K)] spezifische Warme fur konstantes Volumen BDh [m] hydraulischer Durchmesser Dh = 4A/U = 4rh
d [m] (Rohr-) Durchmesser
E [N/m2] Volumenelastizitatsmodul BE [J] Energie FE [W] Energiestrom Fe [J/kg] auf Masseneinheit bezogene Energie
F [N] Kraft ~F = (Fx, Fy, Fz)
f [N/kg = m/s2] auf Masseneinheit bezogene Kraft ~f = (fx, fy, fz)
G [N] Gewicht
g [m/s2] Gravitationskonstante, Fallbeschleunigung
h [m] Drucklinienhohe
h [m] Wassertiefe
hE [m] Energiehohe uber Bezugsniveau
hkap [m] kapillare Steighohe
hM [m] metazentrische Hohe
hS [m] Abstand des Schwerpunktes von der Oberflache
hv [m] Verlusthohe
viii
Bezeichnungen
I [N] Impulsstrom ~I = (Ix, Iy, Iy)
IE [-] Energieliniengefalle
ISo [-] Sohlgefalle
IW [-] Wasserspiegelgefalle
Ix [m4] Flachentragheitsmoment bezuglich der x-Achse
Ixy [m4] Zentrifugalmoment bezuglich der x- und y-Achse
Iξ [m4] Flachentragheitsmoment bezuglich der zu x
parallelen Schwerachse ξ
Iηξ [m4] Zentrifugalmoment bezuglich der zu x
und y parallelen Schwerachsen η und ξ
k [mm] aquivalente Sandrauheit nach Nikuradse
kSt [m1/3/s] Rauheitsbeiwert nach Manning-Strickler
l [m] Lange
M [-] Metazentrum
m [kg] Masse
m [kg/s] Massenstrom
N [-] Eigenschaftsmenge
n [-] Polytropenexponent Bn [m] Koordinate normal zur Wand
~n [-] Normalenvektor
P [W] Leistung außerer Krafte (z.B. durch Pumpen und
Turbinen) am Kontrollraum
P = P − PDr
P [W] Leistung außerer Krafte am Fluidvolumen
einschließlich PDr
PDr [W] Leistung der Druckkrafte auf bewegliche Oberflachen
PM [W] Leistungsaufnahme des Motors
PP [W] Leistungsaufnahme der Pumpe
p [Pa] Druck 1 Pa = 1 N/m2
pD [Pa] Dampfdruck Bpkap [Pa] Kapillardruck
p0 [Pa] atmospharischer Druck
Q [m3/s] Durchfluss, Volumenstrom
Q [W] Warmestrom
q [m2/s] Durchfluss pro Breitenmeter
q [N/m2] Staudruck
R, r [m] Radius
R [m] Ablesung am Venturirohr FR [Nm/(kg K)] spezifische Gaskonstante H.2Re [-] Reynoldszahl Re = vD
ν
r0 [m] Ortsvektor zur Zeit
S [N] Stutzkraft, S = pA+ ρv2A ~S = (Sx, Sy, Sz)
SG [-] Korperschwerpunkt
ix
Bezeichnungen
s [m] Wegkoordinate
Sr [-] Strouhalzahl
T [C, K] Temperatur T[K] = T[C] + 273,16
T [s] Zeitintervall, Schwingungsdauer
t [s] Zeit
~t [-] Tangentenvektor
U [m] Umfang, benetzter Umfang
u [J/kg] auf Masseneinheit bezogene innere
(thermische) Energie
V [m3] Volumen
V [m3/s] Volumenstrom, Durchfluss V = Q
v [m/s] Fließgeschwindigkeit ~v = (vx, vy, vz)
v, vm [m/s] querschnittsgemittelte Fließgeschwindigkeit, wird
mit v gekennzeichnet, wenn aus dem Zusammenhang
hervorgeht, dass diese gemeint ist.
v∗ [m/s] Fließgeschwindigkeit in turbulenter Stromung
v′ [m/s] turbulente Schwankungsgeschwindigkeit
v∞ [m/s] ungestorte Stromungsgeschwindigkeit
vτ [m/s] Schubspannungsgeschwindigkeit vτ =√τ0/ρ
x
y
z
[m] Kartesische (rechtwinklige) Koordinaten
z [m] geodatische Hohe
Das griechische Alphabet
A α B β Γ γ ∆ δ E ε, ε Z ζ H η Θ ϑ, θ
Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta
I ι K κ Λ λ M µ N ν Ξ ξ O o Π π
Jota Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi
P ρ, % Σ σ T τ Υ υ Φ ϕ, φ X χ Ψ ψ Ω ω
Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega
x
Bezeichnungen
Griechische Buchstaben
α [-] Energiebeiwert zur Berucksichtigung
der Geschwindigkeitsverteilung
α [-] Verlustbeiwert fur Ausfluss und Offnungen Jβ [-] Impulsbeiwert zur Berucksichtigung
der Geschwindigkeitsverteilung
βp [m2/N] Warmeausdehnungskoeffizient fur konstanten Druck βp = 1ρ∂ρ∂T
βT [m2/N] Kompressibilitatskoeffizient fur konstante Temperatur βT = 1ρ∂ρ∂p
ζ [-] Verlustbeiwert fur ortlich konzentrierte Energieverluste hv = ζ v2/2g
η [kg/(ms) = Pa s] dynamische Zahigkeit η = ρ ν
η [m] zu y parallele Schwerachse Cη [-] Eigenschaft FηM [-] Wirkungsgrad des Motors
ηP [-] Wirkungsgrad der Pumpe
θ [-] Neigungswinkel
λ [-] Reibungsbeiwert hv = λ lDh
v2
2g
µ [-] Ausflussbeiwert Jν [m2/s] kinematische Zahigkeit ν = η/ρ
ξ [m] zu x parallele Schwerachse
π [-] Ludolfsche Zahl π = 3, 14159 . . .
ρ [kg/m3] Fluiddichte
σ [N/m2] Normalspannung
σ [N/m] Oberflachenspannung
τ [N/m2] Schubspannung
τ0 [N/m2] Wandschubspannung
ω [1/s] Kreisfrequenz
xi
Bezeichnungen
Indizes
x
y
z
Kartesische (rechtwinklige) Koordinaten
KR Kontrollraum
KF Kontrollflache
S Schwerpunkt
D Druckmittelpunkt
η zu y parallele Schwerachse
ξ zu x parallele Schwerachse
Sonstige Zeichen
grad Gradient eines Skalarfelds grad =(∂∂x ,
∂∂y ,
∂∂z
)d totales Differential
∂ partielles Differentialddt
totale Ableitung nach der Zeit
~ Kennzeichnung eines Vektors
0
Kapitel A
Einfuhrung
Die Stromungsmechanik behandelt die Gesetzmaßigkeiten der Bewegung von Flussigkeiten und Gasen und die
dabei wirkenden Krafte. Stromungen treten in der Natur und in der Technik in vielfaltigen Erscheinungsformen
auf und fordern das stromungsmechanische Verstandnis der Naturwissenschaftler und der Ingenieure.
Die traditionellen Arbeitsgebiete eines Bauingenieurs betreffen die Standsicherheit und Funktion von Bauwerken.
Hier findet die Stromungsmechanik ihre Anwendung, wenn Bauwerksbelastungen durch Stromungen zu ermitteln
und Bauwerke konkret mit dem Ziel der Nutzung des Wassers oder dem Schutz vor dem Wasser zu bauen sind.
Zu einem neueren, inzwischen etablierten Arbeitsgebiet haben sich der Umweltschutz und die Umwelttechnik
entwickelt. Der Schadstofftransport in Flussen und Seen, im Meer, im Grundwasser und in der Athmosphare
geschieht durch Stromungen, was die Bedeutung der Stromungsmechanik fur diese Arbeitsrichtung unterstreicht.
Einen großen Anwendungsbereich bilden Abflussvorgange in Rohren und Gerinnen. Verwiesen sei auf die Be-
rechnung der Durchflusse und Wasserstande in Flussen und Kanalen und deren Veranderungen durch Baumaß-
nahmen. In der Wasserversorgung spielt der Transport des Wassers durch Fernleitungen und die Verteilung uber
Rohrnetze eine wichtige Rolle, in der Stadtentwasserung die Fortleitung des Abwassers durch Kanalisationsnetze.
Wasserkraftanlagen, Talsperren und Wehre sind faszinierende Ingenieurbauwerke. Sie werden zur Beherrschung
und Nutzung des Wassers gebaut, was profunde Kenntnisse der Stromungsmechanik voraussetzt. In den Ent-
wicklungslandern werden solche Bauwerke zusammen mit Bewasserungssystemen bei den Investitionen auch
weiterhin mit an vorderster Stelle stehen und somit auch deutschen Ingenieurburos die Moglichkeiten interna-
tionalen Wirkens bieten.
Die zunehmende Zahl und Große thermischer Kraftwerke haben fur das Bauingenieurwesen neue und schwie-
rige Probleme aufgeworfen. Man war vom Wasserkraftbau durchaus die Beherrschung großer Wassermengen
gewohnt, wie sie jetzt als Kuhlwasser in noch großeren Mengen den Flussen und Seen entnommen und durch
die Kraftwerke gepumpt werden. Zum ersten Mal ist man jetzt aber auch mit thermischen Fragen der Einlei-
tung erwarmten Wassers in stehende und stromende Gewasser konfrontiert und mit den thermodynamischen
Prozessen in Zusammenhang mit ihrem Warmehaushalt.
1
Kapitel A. Einfuhrung
Bewegungsvorgange im Grundwasser sowie deren Veranderungen als Folge der Wasserentnahme stellen ein
Arbeitsgebiet dar, das Bauingenieure schon lange an die Seite der Grundwassergeologen gestellt hat. Aber auch
die Umstromung von Bauwerken durch Grundwasser, die Durchsickerung von Deichen und Dammen und die
damit verbundenen Sicherheitsuntersuchungen erfordern fundierte Kenntnisse uber die Stromung in”porosen
Medien“.
Die Universitat Hannover hat schon immer einen besonderen Bezug zum Kusteningenieurwesen gehabt; gerade
in ihm sind die Stromungsprobleme besonders vielfaltig. Schlagwortartig seien genannt: die Tidedynamik in
Kustenahe und Tideflussen, Mischungsprozesse von Salz- und Sußwasser, großraumige Sandumlagerungen durch
Tidebewegung und Wellenwirkung, Wellenkrafte auf Deiche, Kaimauern und Bohrinseln.
Wind- und Wellenkrafte auf Bauwerke und windinduzierte Schwingungen sind typische Fragestellungen an
konstruktiv orientierte Bauingenieure. Sie sind aber nur ein Beispiel, denn letztlich ist eine Vielzahl von Hoch-
und Tiefbaukonstruktionen dem Stromungsangriff von Wasser und Luft ausgesetzt, und die schwierigsten dieser
Konstuktionen, wie Bohrinseln, Turme, Brucken, sind es in einem ganz besonderen Maße.
Angesichts dieser eindrucksvollen Liste durfte die Motivation der Bau- und Umweltingenieurstudenten, sich mit
dem Grundlagenfach Stromungsmechanik zu befassen, nicht fehlen. Dabei muss allerdings vorerst das Erkennen
prinzipieller Gesetzmaßigkeiten im Vordergrund stehen, sodass die Anwendungen oft nur angedeutet werden
konnen und den starker anwendungsorientierten Fachern vorbehalten bleiben. Dementsprechend rankt sich der
gesamte Vorlesungsstoff um die drei Prinzipien des Transports von Masse, Impuls und Energie durch stromende
Medien. Hinzu kommt allerdings die fur dieses Fach so typische Empirie, die oft geringschatzig mit dem Begriff
”Koeffizientenhydraulik“ beschrieben wird, durch die aber starker als in anderen Teilgebieten der Mechanik die
Grenzen unseres Verstandnisses von den ablaufenden Prozessen belegt werden.
2
Kapitel B
Eigenschaften von Fluiden
3
Kapitel B. Eigenschaften von Fluiden
B.1 Maßeinheiten
Basis- und abgeleitete Großen mit den Einheiten verschiedener Einheitensysteme
(eingerahmte Einheiten: Gesetz uber Einheiten im Messwesen, 1969)
Großenart Dim. Einheit Umrechnung
Bas
isgr
oßen
Lange L Meter, m 1 m = 102 cm = 103 mm
inch, in 1 in = 2,5400 cm
foot, ft 1 ft = 0,3048 m
Masse M Kilogramm, kg 1 t = 103 kg = 1 Mg
pound-mass, lbm 1 lbm = 0,4536 kg
slug, sl 1 sl = 14,5939 kg
Zeit T Sekunde, s 1 min = 60 s, 1 h = 3600 s
Temperatur ΘKelvin, K
Celsius, CtC = tK - 273,15 ∗
Fahrenheit, F tC = 59 (tF − 32)
Rankine, R tR = 95 tK
Abge
leit
ete
Gro
ßen
Kraft F = MLT2 Newton, N 1 N = 1 kg m/s2 = 105 dyn †
Kilopond, kp 1 kp = 9,80665 N
pound-force, lbf 1 lbf = 4,4482 N
Spannung
Druck
FL2
Pascal, Pa
Bar, bar
1 Pa = 1 N/m2 = 1 kg/(m s2)†
1 bar = 105 Pa = 10 N/cm2
m Wassersaule 1 mWS = 9,80665 kPa
techn. Atmosphare 1 at = 1 kp/cm = 0,980665 bar
phys. Atmospare 1 atm = 1,01325 bar
Torr 1 Torr = 1/760 atm
Arbeit FL Joule, J = Ws 1 J = 1 Nm = 1 kg m2/s2 = 107 erg
Energie Kalorie, cal 1 cal = 4,1868 J
Warme Brit. thermal unit 1 Btu = 1,0551 kJ
Leistung FL/T Watt, W 1 W = 1 J/s = 1 kg m2/s3
Pferdestarke, PS 1 PS = 75 kp m/s = 0,7355 kW
horse-power, hp 1 hp = 0,7457 kW
∗tC , tF , tR, tK sind Zahlenwerte der Temperatur in C, F, R bzw. K†Die Grundeinheiten N bzw. Pa sind fur technische Zwecke sehr klein! Ratsam ist das Rechnen in kN bzw. kPa, mWS oder bar.
4
B.2. Fluid
B.2 Fluid
Die Erscheinungsformen der Materie (Phasen)
sind:
• feste Korper
• Flussigkeiten
• Gase und Dampfe
Fluide
Abhangigkeit der Aggregatzustande
eines Stoffes von Temperatur und Druck
Unterschied zwischen festen Korpern und Fluiden:
Ein Fluid ist durch leichte Verformbarkeit gekennzeichnet. Dazu genugen im Gegensatz zum festen
Korper sehr kleine Krafte und Arbeiten, wenn die Formanderung nur hinreichend langsam erfolgt. Sie
hangt von den angreifenden Normalkraften (Druckkrafte) und Tangentialkraften (reibungsbedingte
Schubspannungen) ab.
Ein fester Korper, der einer Schubspannung ausgesetzt wird, erfahrt eine Deformation, die propor-
tional zur Schubspannung ist.
Unterschied zwischen Flussigkeiten und Gasen bzw. Dampfen:
Ein Gas fullt den zur Verfugung stehenden Raum aus, eine Flussigkeit bildet eine freie Oberflache.
Unterschied zwischen Gasen und Dampfen:
Dampfe sind Gase in der Nahe ihrer Verflussigung. Man spricht von gesattigten Dampfen, wenn
bereits durch eine sehr geringe Temperaturerniedrigung oder Druckerhohung eine Verflussigung ein-
tritt. Sonst spricht man von uberhitzten Dampfen; Gase sind stark uberhitzte Dampfe.
Kontinuum:
Als Modellvorstellung fur ein Fluid dient das Kontinuum. Alle Fluideigenschaften wie Dichte, Vis-
kositat, Temperatur sind stetig verteilt. Dies schließt nicht aus, dass an definierten Flachen auch
sprunghafte Anderungen der Eigenschaften auftreten konnen (Diskontinuitatsflachen).
Das Modell ist zulassig, solange die Abstande in den betrachteten Anwendungsfallen groß sind im
Vergleich zu den Abstanden der Molekule.
5
Kapitel B. Eigenschaften von Fluiden
B.3 Dichte
ρ [kg/m3, t/m3]
Dichte ist die auf das Volumen bezogene Masse. Sie wird als stetige Eigenschaft jedem Punkt des Kontinuums
zugeordnet.
Als Großenordnungen merke man
Wasser ∼ 1000 kg/m3 = 1 t/m3
Meerwasser (Nordsee) ∼ 2,6% hoher als Sußwasser
Luft bei 20C ∼ 1,2 kg/m3
Die Dichte von Fluiden andert sich mit Temperatur und Druck
ρ = ρ(p, T )
dρ =∂ρ
∂pdp+
∂ρ
∂TdT (B.1)
dρ
ρ= βT dp+ βp dT (B.2)
mit βT =1
ρ
∂ρ
∂pund βp =
1
ρ
∂ρ
∂T(B.3)
βT ist ein Kompressibilitatskoeffizient. Er beschreibt, wie groß die durch eine Druckerhohung erzeugte, isotherme
Dichteerhohung ist.
βp ist ein Warmeausdehnungskoeffizient. Er beschreibt, wie groß die durch eine Temperaturerhohung erzeugte,
isobare Dichteerhohung ist.
Die Unterschiede zwischen Flussigkeiten und Gasen sind nicht nur in der Dichte, sondern auch in den Werten
fur βp und βp sehr groß. Man vergleiche auch Abschnitt B.5.
B.4 Zustandsgleichung
Sie beschreibt die Beziehung zwischen Druck, Dichte und Temperatur eines Fluids.
Fur Flussigkeiten ist diese Beziehung nicht als Gleichung, sondern nur in tabellarischer Form angebbar. Dagegen
ist z.B. Luft in dem fur Bau- und Umweltingenieure wichtigen Druck- und Temperaturbereich in guter Naherung
als ideales Gas beschreibbar:p
ρ= RT (B.4)
dabei ist R die spezifische Gaskonstante; z.B. fur Luft R = 287, 04 [Nm/(kg K)]
Mit Gl. (B.1) folgt aus ρ =p
RTdρ
ρ=
dp
p− dT
T
6
B.5. Kompressibilitat
Vergleicht man mit Gl. (B.2), so gilt
βT = 1/p und βp = −1/T .
Wahlt man einen Bezugszustand mit p0, ρ0 und T0, so giltp0
ρ0= RT0.
Setzt man daraus R in Gl. (B.4) ein, so folgt
R =p0
ρ0T0⇒ p
ρT=
p0
ρ0T0
Eine Vereinfachung der Gleichung (B.4) folgt aus der Annahme, dass die Dichte sich ausschließlich aus dem
Druck bestimmen lasst (barotropes Fluid).
Die dafur haufig benutzte Form der polytropen Zustandsgleichung lautet
p
ρn= C
mit dem Polytropenexponenten n
und einer Konstanten C(B.5)
Mit p = C · ρn und dp/dρ = Cnρn−1 = pn/ρ
folgtdρ
ρ=
1
npdp .
Ein Vergleich mit Gl. (B.2) zeigt, dass im polytropen Fall
βT =1
npund βp = 0 . (B.6)
B.5 Kompressibilitat
E [N/m2]
Die Kompressibilitat beschreibt die Dichte- (bzw. Volumen-) anderung aufgrund einer Druckanderung und wird
somit durch den Beiwert βT in Gleichung (B.2) angegeben. Stattdessen wird aber oft auch der Kehrwert, namlich
der Volumenelastizitatsmodul verwendet.
E = 1/βT (B.7)
Wasser:
Die Kompressibilitat von Flussigkeiten ist sehr gering, z.B. gilt fßr Wasser E ≈ 2 ·109 N/m2. Bis auf Sonderfalle
(Schallausbreitung unter Wasser, Druckwellenausbreitung in Rohrleitungen) wird sie in ihrer Wirkung auf die
Stromung vernachlassigt.
Luft:
Fur Gase lasst sich die polytropische Zustandsgleichung und damit Gleichung (B.6a) anwenden:
E =1
βT= np (B.8)
7
Kapitel B. Eigenschaften von Fluiden
Der Zahlenwert des Polytropenexponenten n hangt davon ab, wie die Dichteanderung erzeugt wird, namlich
n = 1, 0 isotherm, d.h. bei gleichbleibender Temperatur
n = 1, 4 adiabatisch, d.h. ohne Warmeaustausch mit der Umgebung.
Etwas vereinfachend kann man sagen, dass eine sehr langsame Kompression der Luft
in dem nebenstehenden Gefaß genugend Zeit fur einen Warmeaustausch mit der Umge-
bung gibt, sodass die Temperatur der Luft konstant (isotherm) bleibt. Dagegen wird bei
einer adiabatischen, im Regelfall schnelleren, Kompression der Warmeubergang durch
die Wande vernachlassigbar sein, sodass die Luft im Gefaß sich erwamt.
Zwischen diesen Grenzfallen gilt 1, 0 < n < 1, 4 . Als Großenordnung fur Luft erhalt man
105 ≤ E ≤ 1, 4 · 105 [N/m2]
Luft ist also 20.000 mal so kompressibel wie Wasser, welches wiederum 100 mal so kompressibel wie Stahl ist.
B.6 Schallgeschwindigkeit
a [m/s]
Aufgrund der Kompressibilitat des Fluids ist eine Druckanderung dp immer mit einer Dichteanderung dρ ver-
bunden. Beide pflanzen sich mit Schallgeschwindigkeit a fort, die sich wie folgt berechnen lasst:
a =
√dp
dρ[m/s] (B.9)
Fur Flussigkeiten folgt hieraus und aus Gleichung (B.2) mit βp = 0 (barotrope Annahme)
a =
√1
ρβT=
√E
ρ. (B.10)
Fur Wasser bei 20C erhalt man a = 1439 m/s.
Fur Gase folgt aus Gln. (B.10), (B.8) und (B.4)
a =
√np
ρ=√nRT .
Fur Luft bei 0C erhalt man mit n = 1, 4 den Wert 332 m/s. Bemerkenswert ist, dass die Schallgeschwindigkeit
zwar von der Temperatur, nicht aber vom Druck abhangt; sie ist in großer Hohe also die gleiche wie am Erdboden
(gleiche Temperatur vorausgesetzt).
8
B.7. Viskositat
B.7 Viskositat
η [Pa s], ν [m2/s]
In dem nebenstehenden Bild sei der Spalt zwischen der oberen und der
unteren Platte mit einem Fluid gefullt. Bewegt man die obere Platte mit
der Geschwindigkeit v0 nach rechts, wahrend die untere Platte festgehal-
ten wird, so stellt sich zwischen beiden eine lineare Geschwindigkeitszu-
nahme von v = 0 unten bis v = v0 oben ein. Außerdem spurt man,
dass ein Bewegungswiderstand, und damit Schubspannungen auftreten.
Experimentell kann man zeigen, dass die Schubspannungen proportional
v0 und umgekehrt proportional dem Plattenabstand d sind.
Diese Aussagen gelten sinngemaß auch im Innern eines Fluids. Ver-
folgt man zwei rechteckige Fluidteilchen vom Zeitpunkt t bis zum Zeit-
punkt t + ∆t, so erkennt man, dass sie sich nicht nur verschoben, son-
dern auch verformt haben (Scherung). Die zwischen ihnen auftretenden
Schubspannungen sind proportional dem Geschwindigkeitsunterschied
∆v und umgekehrt proportional dem Abstand ∆n; n ist dabei die Rich-
tung senkrecht zur Stromung. Als experimentell zu ermittelnder Propor-
tionalitatsbeiwert tritt eine Stoffkonstante, die dynamische Viskositat
(Zahigkeit) η auf.
τ = η lim∆n→0
∆v
∆n(B.11)
Mit τ [N/m2] und∂v
∂n
[ m
s m
]ergibt sich die Maßeinheit von η
η
[N s
m2
]= η
[kg
m s
]= η [Pa s]
Bezieht man die dynamische Viskositat auf die Fluiddichte, so erhalt man die kinematische Viskositat
ν =η
ρ
[m2
s
](B.12)
Gleichung (B.11) geht auf I. Newton zuruck und heißt Newtonsches Zahigkeitsgesetz. Entsprechend wird ein
Fluid, das diesem Gesetz gehorcht, Newtonsches Fluid genannt. Wasser und Luft sind im Gegensatz zu Teer,
manchen Olen und den meisten Polymer-Losungen Newtonsche Fluide.
9
Kapitel B. Eigenschaften von Fluiden
B.8 Spezifische Warme
c [Nm/(kg K)]
Die spezifische Warme c ist die Warmemenge, die ein kg des Fluids um ein Grad erwarmt. Fur Wasser bei 20C
ist c = 4181 Nm/(kg K).
Bei Gasen muss unterschieden werden zwischen cp und cv, d.h. spezifischer Warme fur Temperaturerhohung bei
konstantem Druck bzw. konstantem Volumen.
So gilt fur Luft bei 0C cp = 1005 Nm/(kg K) und cv = 718 Nm/(kg K).
Fur ein ideales Gas liefern Uberlegungen aus der Thermodynamik die Beziehungen: R = cp− cv und n = cp/cv,
mit der spezifischen Gaskonstanten R und dem Polytropenexponenten n; (n = 1, 4 bei Luft).
B.9 Innere Energie
u [J/kg]
Innere Energie eines Fluids ist der Energiegehalt der Molekulbewegung bezogen auf die Masseneinheit des
Fluids. Da thermodynamische Prozesse hier nicht behandelt werden, sei u vereinfacht verstanden als die pro
Masseneinheit gespeicherte Warmemenge. Fur eine Flussigkeit mit konstanter spezifischer Warme gilt dann
∆u = c∆T .
Im hier behandelten Zusammenhang interessiert ausschließlich der Verlust mechanischer Stromungsenergie durch
Flussigkeitsreibung, was zu einem Zuwachs an innerer Energie fuhrt.
B.10 Dampfdruck
pD [Pa]
Bei atmospharischem Druck siedet Wasser bei 100C, auf einem hohen Berg aber schon bei etwas niedrigerer
Temperatur. Umgekehrt lasst sich eine Flussigkeit zur Verdampfung bringen, indem bei festgehaltener Tempe-
ratur der Absolutdruck unter den Dampfdruck abgesenkt wird. Dieser ist stark temperaturabhangig; bei Wasser
ist z.B.
PD = 1, 01 · 105 Pa = 1,01 bar bei 100C
PD = 0, 20 · 105 Pa = 0,20 bar bei 60C und
PD = 0, 02 · 105 Pa = 0,02 bar bei 20C.
Sinkt in einer Flussigkeit der Druck unter Dampfdruck, so bilden sich Dampfblasen, sodass der Druck nicht
weiter fallen kann. Diese Blasen beginnen ihr Wachstum an sogen. Keimen, das sind kleinste Gasblaschen, die
an Schwebstoffteilchen oder an der Behalterwand angelagert und in technischen Flussigkeiten immer vorhan-
den sind. Nur in sorgfaltigen Labormessungen mit keimfreiem Wasser ist es gelungen, auch Zugspannungen in
Flussigkeiten zu erzeugen.
10
B.11. Oberflachenspannung und Kapillaritat
Merke:
Der minimale Druck in einer Flussigkeit ist der Dampfdruck. Im Wasser mit Raumtemperatur liegt er bei
etwa 0, 02 · 105 Pa Absolutdruck. Zugspannungen treten in Flussigkeiten nicht auf.
Die durch Druckabsenkung erzeugte Dampfblasenbildung in Flussigkeiten nennt man Kavitation.
B.11 Oberflachenspannung und Kapillaritat
Ursache fur die Oberflachenspannung sind Kohasionskrafte, mit denen sich die Teilchen einer Flussigkeit ge-
genseitig anziehen. Im Inneren einer Flussigkeit wirken diese Krafte gleichmaßig nach allen Seiten, sodass kei-
ne resultierenden Kraftwirkungen auftreten. An der Flussigkeitsoberflache in einer Schicht mit der Dicke, die
gleich dem Wirkungsradius der Anziehungskraft der Flussigkeitsteilchen ist, treten dementsprechend Kraftwir-
kungen auf, die ins Innere der Flussigkeit gerichtet sind. Diese Kraft, bezogen auf die Flacheneinheit, wird als
Kohasionsdruck bezeichnet.
Soll ein Teilchen aus dem Flussigkeitsinneren an die Oberflache gelangen und damit eine Vergroßerung der
Oberflache bewirken, muss entlang seinem Weg Arbeit gegen den Kohasionsdruck verrichtet werden. Die auf-
zuwendende Arbeit, bezogen auf den Zuwachs der Oberflache, ist die Oberflachenspannung σ .
σ =Arbeit
Flachein
[N m
m2
]=
[N
m
]An der Oberflache verbleiben nur so viele Teilchen, wie zur Bildung einer minimalen Oberflache benotigt werden.
Dabei stellt sich die Oberflache so ein, als ware daruber eine dunne Membran gespannt. Das beschriebene
Verhalten findet man auch an Grenzflachen zwischen zwei Flussigkeiten, die sich nicht mischen.
Im Allgemeinen spielen die Oberflachenspannungskrafte in der Hydromechanik eine untergeordnete Rolle, da
andere wirkende Krafte, wie z.B. die Schwerkraft und die Tragheits- bzw. Reibungskrafte, um ein Vielfaches
großer sind.
11
Kapitel B. Eigenschaften von Fluiden
Technische Bedeutung erlangt die Oberflachenspannung bei der Untersuchung des Verhaltens von Flussigkeiten
in engen Kapillaren. Beruhrt die Flussigkeit einen festen Korper, so werden die Molekule der Flussigkeit in der
Grenzflache von den Molekulen in der festen Wand angezogen. Dieses Phanomen nennt man Adhasion. Sind die
Adhasionskrafte großer als die Kohasionskrafte der Flussigkeit und des daruber befindlichen Gases, so bildet sich
eine konkave Flussigkeitsoberflache aus, und die feste Wand wird benetzt (Wasser-Luft). Im umgekehrten Fall
wird die feste Wand nicht benetzt, und es bildet sich eine konvexe Flussigkeitsoberflache aus (Quecksilber- Luft).
Bei einer ebenen Flussigkeitsoberflache heben sich alle Krafte, die aus der Oberflachenspannung resultieren, in
der Flachenebene auf. Ist die Flussigkeitsoberflache gekrummt, entsteht eine resultierende Kraft senkrecht zur
Flussigkeitsoberflache. Diese Kraft pro Flacheneinheit wird als Kapillardruck pkap bezeichnet.
Ein differentiell kleines Element der gekrummten Flussigkeitsoberflache dA werde begrenzt durch die Linienele-
mente ds1 und ds2, die zwei senkrecht zueinander stehenden Schnitten mit den Krummungsradien r1 und r2
zugeordnet sind.
Die geometrische Summe aller am differentiellen Flachenelement dA angreifenden Oberflachenspannungskrafte
liefert die resultierende Kraft dF .
dF = 2σds1 sindα2
2+ 2σds2 sin
dα1
2
Der Kapillardruck ergibt sich dann zu:
pkap =dF
dA= 2σ
sindα1
2ds1
+sin
dα2
2ds2
12
B.11. Oberflachenspannung und Kapillaritat
Fur kleine Winkel α1 und α2 ist der Sinus des Winkels annahernd gleich dem Argument selbst.
pkap = σ
(dα1
ds1+
dα2
ds2
)Mit ds = rdα folgt dann die erstmals von Laplace angegebene Beziehung fur den Kapillardruck.
pkap = σ(1/r1 + 1/r2)
Angenommen werde eine kreisrunde Kapillare (Haarrohrchen) mit dem Durchmesser dkap und eine halbku-
gelformige Gestalt der Flussigkeitsoberflache. Mit r1 = r2 = dkap/2 ergibt sich der Kapillardruck zu:
pkap =4σ
dkap
Am unteren Ende einer eingetauchten, beiderseits offenen Kapillare muss der Druck von außen und von innen
her gleich groß sein.
Nach dem Gesetz der hydrostatischen Druck-
verteilung gilt dann:
ρg(h− hkap) = ρgh− pkap
Daraus folgt die kapillare Steighohe hkap fur
kreisrunde Kapillaren.
hkap =4σ
ρg dkap
Werte fur σ bei 20C [N/m]
Wasser gegen Luft 0,075
Ol gegen Luft 0,025 - 0,030
Quecksilber gegen Luft 0,472
13
Kapitel B. Eigenschaften von Fluiden
B.12 StoffwerteN
orm
ala
tmosp
hare
:b
eiT
0=
288,1
5K
istp
0=
10,1
3·1
04
N/m
2=
1,0
13
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tZ
ah
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nu
ng
Gask
on
stante
Tρ
E=−
∆p
V ∆V
=−
∆p
ρ ∆ρ
Flu
ss.
:c
Gase
:c p,c v
Flu
ss.
:a
=√ E
/ρ
Gase
:a
=√ c p
RT
cv
ην
(ν=η/ρ)
pD
σR
=c p−c v
C
kg/m
3M
Pa
=10
6N
/m
2N
m/(k
gK
)m
/s
kg/m
sm
2/s
hP
aN
/m
Nm
/(k
gK
)
Wass
er0
999,8
1930,2
4205,8
17,8
0·1
0−
41,7
80·1
0−
66,1
20
998,2
2064,0
4181,1
1439
10,0
0·1
0−
41,0
00·1
0−
623,3
0,0
73
40
992,8
4177,4
6,5
2·1
0−
40,6
57·1
0−
673,7
60
983,2
4,7
0·1
0−
40,6
57·1
0−
6199,2
80
971,8
3,5
6·1
0−
40,6
57·1
0−
6199,2
100
958,3
2,8
2·1
0−
40,6
57·1
0−
61013,2
Mee
rwass
er0
¡1,8
34·1
0−
6
4%
Salz
geh
,20
'1026
1,3
60·1
0−
6
(Nord
see)
40
1,0
58·1
0−
6
Mee
rsalz
'1007
1%
(Ost
see)
01,2
91004,5
717,7
6332
0,1
68·1
0−
413,0·1
0−
6287,0
4
Lu
ft20
1,2
10,1
79·1
0−
414,9·1
0−
6
bei
1b
ar
40
1,1
20,1
91·1
0−
417,0·1
0−
6
60
1,0
60,2
03·1
0−
419,2·1
0−
6
80
0,9
90,2
15·1
0−
421,7·1
0−
6
100
0,9
40,2
29·1
0−
424,5·1
0−
6
Gly
zeri
n20
1261
680·1
0−
6
Qu
ecksi
lber
013595
1431
16,8
9·1
0−
40,1
25·1
0−
60,4
61
100
13351
12,4
0·1
0−
40,0
93·1
0−
6
14
Kapitel C
Fluide im Gleichgewicht
15
Kapitel C. Fluide im Gleichgewicht
Gleichgewicht heißt: Keine gegenseitige Verschiebung der Fluidteilchen. Das Fluid ist im Ruhe- oder Bewe-
gungszustand (s. Abb. unten) bezuglich seiner Gestalt starr.
Die Aerostatik (Gleichgewicht von Gasen) sei im folgenden nicht behandelt, sondern nur die fur Bauingenieure
wichtigere Hydrostatik (Gleichgewicht von Flussigkeiten). Sie findet ihre Hauptanwendung bei der Berechnung
von Kraften auf Bauwerke und Behalter.
ruhendes Gefaß beschleunigtes Gefaß sich drehender Behalter
C.1 Druck als skalare Große
Denkt man sich aus einem Fluid ein Teilchen herausgeschnitten (Eulersches Schnittprinzip), so werden auf
dessen Oberflache von dem umgebenden Fluid Krafte ausgeubt, die, auf eine Flacheneinheit bezogen, innere
Spannungen sind.
In festen Korpern treten Normal- und Schubspannungen auf, wahrend in Fluiden, durch deren Viskositat
(Zahigkeit) bedingt, Schubspannungen nur infolge anhaltender Relativbewegung der Teilchen vorhanden sein
konnen.
Normalspannungen in Fluiden sind immer Druckspannungen, da Zugspannungen im Allgemeinen nicht ubertragen
werden konnen (s. Abschn. B.10).
Fluide im Gleichgewicht bedeutet: Keine gegenseitige Verschiebung der Fluidteilchen, daher keine Schubspan-
nungen. Folglich gilt:
Satz1:
Im Gleichgewicht haben Fluide keine Schubspannungen.
Die Druckkraft auf ein Flachenelement steht senkrecht auf diesem.
Im Gegensatz zur Festigkeitslehre und Stromungslehre viskoser
Fluide (Flussigkeitsreibung!) gilt in der Hydrostatik der fur die
weiteren Ableitungen grundlegende Satz 2.
16
C.1. Druck als skalare Große
Satz 2:
Der Druck an einem Punkt im Fluid ist unabhangig von der Richtung; er ist eine skalare Große. ∗
Dieser Satz wird zunachst fur den ebenen Fall bewiesen und dann auf den raumlichen Fall ubertragen.
Am Element wirkende Krafte:
- innere Spannungen · Flache
(nur Normalspannungen (Satz 1)),
- Massenkrafte · Masse
(Massenkrafte (Krafte/Masse) sind z.B. Erdbeschleuni-
gung, Zentrifugalbeschleunigung, etc.); im Bild nicht ein-
gezeichnet.
Krafte-Gleichgewicht in x- und z-Richtung:
−σxdzdy + σndsdy cos θ + fxdm = 0
−σzdxdy + σndsdy sin θ + fzdm = 0
mit cos θ =dz
ds, sin θ =
dx
ds
und dm =1
2ρ dxdydz (der Masse des Elements) folgt
−σx + σn +1
2ρfxdx = 0
−σz + σn +1
2ρfzdx = 0
Der Grenzubergang dx, dy, dz, → 0 ergibt die Spannungen in einem Punkt.
σn = σx = σy und fur den raumlichen Fall erhalt man
σn = σx = σy = σz = σ
Die Spannungen sind also beim im Gleichgewicht befindlichen Fluid richtungsunabhangig und stellen somit eine
skalare Große dar; da es sich nur um Druckspannungen handelt, setzt man diese positiv:
σ = −p
Merke:
Fluid im Gleichgewicht ; keine gegenseitige Verschiebung der Fluidteilchen
; keine Schubspannungen ; Druck richtungsunabhangig (skalare Große)
∗Blaise Pascal (1623-1662, Frankreich) entwickelt das Prinzip der Hydraulischen Presse als Analogon zu den Hebelgesetzen.
Das Pascalsche Prinzip besagt, dass sich in einer stehenden Flussigkeit, die einen Behalter ausfullt, eine Druckanderung uberall
in der Flussigkeit und an den Behalterwanden gleichzeitig und gleich groß auswirkt.
Pascals Flussigkeitsmaschine zur”
Vermehrung der Kraft“
17
Kapitel C. Fluide im Gleichgewicht
C.2 Hydrostatisches Gleichgewicht
Gleichgewicht am Element in x-Richtung
Auf das Fluidelement mit der Masse dm = ρdxdydz wirken:
- Druckkrafte (innere Spannungen als Oberflachenkrafte
gemaß Schnittprinzip und Satzen 1, 2)
- Massenkrafte (auf Masseneinheit bezogene eingepragte
Krafte, die bei fehlendem Gleichgewicht eine Beschleu-
nigung der Masse bewirken wurden, also Schwer-
kraft und in bewegten Systemen d’Alembertsche
Tragheitskrafte)
Bezeichnungen:
p(x, y, z) dreidimensionales, skalares Druckfeld
(Druck = Kraft/Flache)
~f = (fx, fy, fz) Massenkraft(=Kraft/Masse = Beschleunigung)
als dreidimensionales Vektorfeld
Gleichgewicht der Krafte in x-Richtung:
pdydz −(p+
∂p
∂xdx
)dydz +fxdm = 0
−∂p∂x
dxdydz +fxρdxdydz = 0
∂p
∂x= ρfx
(y- und z-Richtung analog)
Vektordarstellung: (∂p
∂x,∂p
∂y,∂p
∂z
)= ρ (fx, fy, fz) bzw. grad p = ρ~f (C.1)
Eine Flussigkeit ist im hydrostatischen Gleichgewicht, wenn in jedem Punkt (x, y, z) der Gradient des Druck-
feldes p(x, y, z) gleich der mit der Dichte multiplizierten Massenkraft ist. 1
Eine allgemeinere Anwendung dieser Beziehung erfolgt in Abschnitt C.8, wo relativ ruhende Flussigkeiten in
beschleunigten Gefaßen betrachtet werden.
In den folgenden Abschnitten C.3 bis C.7 werden speziell Flussigkeiten unter ausschließlicher Schwerkraftwirkung
behandelt.
1Voraussetzung ist, dass die Massenkraft ein Potential besitzt, wie dies z.B. bei der Schwerkraft der Fall ist. Siehe z.B.:
Truckenbrodt, E.: Fluidmechanik ; Band 1, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1980
18
C.3. Hydrostatische Druckverteilung in Flussigkeiten
C.3 Hydrostatische Druckverteilung in Flussigkeiten
ruhende Flussigkeit: es wirkt nur die Schwerkraft
fx = 0 ;∂p
∂x= 0
fy = 0 ;∂p
∂y= 0
fz = g ;∂p
∂z= ρg ;
dp
dz= ρg
homogene Flussigkeit: Dichte ρ = const., d.h. keine Dichteunterschiede infolge Temperatur, Druck, Salzgehalt
usw.
p1∫p0
dp =
h∫0
ρg dz
p1 − p0 = ρgh
p1 = p0 + ρgh (C.2)
p1 : absoluter Druck am Punkt 1
p0 : atmospharischer Druck auf die Wasseroberflache
ρgh: Uberdruck = absoluter Druck minus atmospharischer Druck
Man betrachte die Gewichtskraft dG einer Wassersaule der Hohe h und der Grundflache dA :
dG = ρghdA;
dann betragt der Druck am Boden
p = dG/dA = ρ gh.
(p = dG/dA gilt nur fur Saulen, vergleiche hydrostatisches Paradoxon, siehe Abschnitt C.4!)
Satz 3:
Der Druck in der Tiefe h unter dem Wasserspiegel ist gleich dem Druck uber dem
Wasserspiegel und der Gewichtskraft pro Flache der daruber liegenden Wassersaule.
19
Kapitel C. Fluide im Gleichgewicht
Darstellung der hydrostatischen Druckverteilung
Der Druck der Normalatmosphare
p0 = 1, 013 bar
entspricht dem Gewicht einer Wassersaule mit der
Hohe:p0
ρg=
1, 013 bar
1000kg
m39, 81 m
s2
= 10, 33 m
Bei der Berechnung von Druckkraften und Druckverteilungen ist es zweckmaßig, mit dem Uberdruck statt mit
dem absoluten Druck zu arbeiten, da der atmospharische Druck ohnehin auf beide Seiten einer Behalterwand
wirkt und sich dadurch aufhebt. In den folgenden Abschnitten C.4 - C.8 bezeichnet p deshalb immer den
Uberdruck.
C.4 Hydrostatischer Druck auf horizontale Boden
Druck am Boden : p = ρgh
Druckkraft auf die Bodenflache A: pA = ρghA
(hydrostatisches Paradoxon: 1 Die Druckkraft auf den Boden kann wesentlich kleiner oder großer als das Gewicht
des Wassers sein.)
1Simon Stevin (1548 - 1620, Holland) entwickelte fast 2000 Jahre nach Archimedes die Hydrostatik weiter. Er berechnete den
Bodendruck in Gefaßen und erklarte das hydrostatische Paradoxon:
”In das Wasser ABCD seien ein fester Korper oder mehrere feste Korper vom gleichen spezifischen Gewicht wie das Wasser
eingetaucht. Dies sei in der Weise geschehen, dass nur das Wasser IKFELM ubrigbleibt. Wenn das so ist, dann be- oder entlasten
die Korper die Flache EF nicht mehr, als es zuvor das Wasser tat. Deshalb sagen wir . . ., dass auf der Flache EF ein Gewicht
lastet, das gleich der Schwere des Wassers ist, das das Volumen des Prismas hat, dessen Grundflache EF ist und dessen Hohe der
Abstand der Ebenen durch MI und EF ist.“
Entsprechend begrundete er, dass im rechten Bild die auf die Flache EF wirkende Kraft vom Betrag gleich der im mittleren Bild
auf die Flache EF wirkenden Kraft ist, von der Richtung aber entgegengesetzt.
”Ware das nicht so, so wurde der geringere Druck dem starkeren nachgeben, was aber nicht sein kann, denn nach . . . bleibt
alles an seinem Platze.“
20
C.5. Hydrostatischer Druck auf ebene geneigte Flachen
C.5 Hydrostatischer Druck auf ebene geneigte Flachen
S Schwerpunkt von A
D Druckmittelpunkt
F resultierende Druckkraft
Zu bestimmen sind:1.) Druckverteilung auf die Flache
2.) Betrag der resultierenden Druckkraft
3.) Wirkungslinie der resultierenden Druckkraft
Druckkraft dF auf ein Flachenelement dA:
dF = p dA = ρghdA = ρgy sin θ dA
Gesamtdruckkraft F :
F =
∫A
p dA =
∫A
ρghdA = ρg
∫A
hdA = ρghSA = pSA (C.3)
mit der Tiefe des Flachenschwerpunktes S: hS = − 1
A
∫A
hdA
und PS als Druck im Schwerpunkt S
Satz 4:
Gedankenmodelle von Stevin
21
Kapitel C. Fluide im Gleichgewicht
Die Druckkraft auf eine geneigte Ebene ist gleich dem Produkt aus Druck im Flachenschwerpunkt und Flache.
Die Wirkungslinie der Druckkraft schneidet die Flache im Druckmittelpunkt D. Er muss stets tiefer als der
Schwerpunkt der Flache liegen (siehe Druckverteilung).
Moment um x-Achse:
yDF =
∫A
ypdA = ρg
∫A
yhdA = ρg sin θ
∫A
y2 dA
mit h = y sin θ
F = ρghSA = ρg sin θ ySA
und
∫A
y2 dA = Ix (Fachentragheitsmoment bezuglich der x-Achse [m4])
yDρg sin θ ySA = ρg sin θ Ix
yD =IxySA
Ix = Iξ +Ay2S Steinerscher Satz. (Iξ Flachentragheitsmoment bezuglich
der zur x parallelen Schwerachse ξ [m4])
Damit folgt schließlich die y-Koordinate des Druckmittelpunktes D:
yD =IξySA
+ yS bzw.
hD =IξySA
sin θ + yS sin θ
=IξhSA
sin2 θ + hS
(C.4)
- Offensichtlich ist yD > yS .
Moment um y-Achse:
xDF =
∫A
xp dA = ρg
∫A
xh dA = ρg sin θ
∫A
xy dA
F = ρghSA = ρg sin θ ySA
und
∫A
xy dA = Ixy (Zentrifugalmoment bezuglich der x- und y-Achse [m4])
xDρg sin θ ySA = ρg sin θ Ixy
xD =IxyySA
Ixy = Iηξ +AxSyS Steinerscher Satz. (Iηξ Zentrifugalmoment bezuglich
der zu x und y parallelen Schwerachsen ξ und η [m4])
Damit folgt die x-Koordinate des Druckmittelpunktes D:
xD =IηξySA
+ xS bzw. xD =IηξhSA
sin θ + xS (C.5)
- Es ist Iηξ = 0 und damit xD = xS , wenn die Flache symmetrisch zur η- und/oder ξ-Achse ist.
- Mit zunehmender Tiefenlage der Flache verringert sich der Einfluss der Flachenwerte A, Iξ und Iηξ auf
die Lage des Druckmittelpunktes, wie aus Gleichungen (C.4) und (C.5) fur yS →∞ leicht ersichtlich ist.
Im Grenzfall fallen Druckmittelpunkt und Schwerpunkt zusammen.
22
C.6. Hydrostatischer Druck auf gekrummte Flachen
C.6 Hydrostatischer Druck auf gekrummte Flachen
Der Flachenvektor d ~A steht senkrecht auf der Flache.
Sein Betrag entspricht dem Flacheinhalt des Elemen-
tes dA. Der Vektor ist positiv, wenn er wie der Druck
auf die Gefaßinnenwand gerichtet ist (vom Fluid weg-
weist).
Die Druckkraft d~F auf d ~A ist (siehe Satz 1)
d~F = ρghd ~A
mit h = Abstand des Elementes dA von der Ober-
flache (=x-y-Ebene)
Komponenten des Flachenvektors (siehe Skizze)
d ~A = (dAx, dAy, dAz)
dAx = Projektion von dA auf eine zur x-Achse senkrecht
stehenden Ebene (parallel zur y-z-Ebene).
Komponenten der Druckkraft d~F
dFx = ρghdAx
dFy = ρghdAy
dFz = ρghdAz
Komponenten der Gesamtdruckkraft ~F
Fx = ρg∫Ax
hdAx
Fy = ρg∫Ay
hdAy
Fz = ρg∫Az
hdAz
(C.6)
Ax, Ay bzw. Az sind die Projektionen der Flache A auf eine Ebene, die senkrecht zur x-, y- bzw. z-Achse steht.
Die Wirkungslinien der horizontalen Komponenten Fx und Fy gehen durch die Druckmittelpunkte (s. Abschnitt
C.5) der Flachenprojektionen Ax und Ay, wahrend Fz im Schwerpunkt des uber Az liegenden Wasserkorpers
angreift.
23
Kapitel C. Fluide im Gleichgewicht
Interpretation der Gleichungen
Treppenanalogon (dargestellt fur eine vertikal gekrummte Flache konstanter Breite)
Satz 5:
Bei vertikal gekrummten Flachen errechnet sich die
- Horizontalkomponente der Druckkraft aus der Druckverteilung auf eine gedachte vertikale Flache, die sich
aus der Horizontalprojektion der wirklichen Flache ergibt,
- Vertikalkomponente der Druckkraft als Gewicht des uber der Flache stehenden oder gedachten Flussigkeitskorpers.
Erganzende Beispiele zu Satz 5
Entgegengesetzte Horizontal komponenten:
Die Wirkungslinien der Druckkrafte FH1, FH2 und FH gehen durch den Schwerpunkt der entsprechenden,
durch die Druckverteilung gebildeten Flache, bzw. durch den Druckmittelpunkt der projizierten Wandflache
(siehe Abschnitt C.5).
24
C.6. Hydrostatischer Druck auf gekrummte Flachen
Entgegengesetzte Vertikal komponenten:
Die horizontale Druckkomponente FH ergibt sich aus der dreieckformigen Druckverteilung an der Horizontal-
projektion der Wand.
FH =1
2· ρgh · h =
1
2ρgh2 (C.7)
Die Wirkungslinie von FH geht durch den Schwerpunkt der Dreiecksflache.
Langs (1)-(2) ist die Vertikalkomponente der Druckkraft nach oben gerichtet. Der Druck ist an jedem Punkt
gleich ρgz, sodass die Resultierende FV 1 wieder gleich dem Gewicht des uber der Flache stehenden (gedachten)
Wasserkorpers ist. Langs (2)-(4) ergibt sich die nach unten gerichtete Kraftkomponente FV 2. Die Wirkungs-
linien von FV 1 und FV 2 gehen jeweils durch den Schwerpunkt des entsprechenden Wasserkorpers.
Die uber dem Wandstuck (2)-(3) befindlichen Flachenanteile der entgegengesetzt gerichteten Druckverteilun-
gen heben sich auf, sodass in der Uberlagerung das von der Wand (1)-(2)-(3) eingeschlossene und uber der
Wand (3)-(4) liegende Flachenstuck verbleibt (siehe Skizze). Somit entstehen zwei neue Resultierende FV a
und FV b, deren Wirkungslinien wieder durch die Schwerpunkte der entsprechenden Flachen gehen.
Es sind nun zwei Falle zu unterscheiden:
Falls FV a 6= FV b, existiert eine resultierende Vertikalkomponente.
Falls FV a = FV b, ist die Resultierende gleich Null, es verbleibt aber ein Moment.
25
Kapitel C. Fluide im Gleichgewicht
Die Kraft FV a beinhaltet einen Auftriebseffekt, der durch eine Wasserverdrangung infolge Wandwolbung her-
vorgerufen wird, wie in dem folgenden Beispiel unmittelbar ersichtlich ist.
Bei dreidimensional gekrummten Flachen sind ganz analog die Vertikalkomponente Fz = FV und zwei Horizon-
talkomponenten Fx und Fy zu ermitteln, wobei die Wirkungslinien dieser Komponenten im Allgemeinen nicht
durch einen Punkt gehen, d.h. sie bilden ein Moment. (Dass im zuvor betrachteten zweidimensionalen Fall ein
Moment anstelle einer Vertikalkomponente verbleibt, stellt dagegen einen seltenen Ausnahmefall dar.)
Bei Zylinder- und Kugelflachen geht die resultierende Druckkraft durch den Mittelpunkt (Begrundung!?).
C.7 Hydrostatischer Auftrieb
inhomogener Korper:
G geht durch den Korperschwerpunkt
FA geht durch den Schwerpunkt der
verdrangten Wassermenge
ρV Masse des verdrangten Wasservolumens V
m Korpermasse
Satz 6:
(Archimedes1) Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrangten Wassermenge.
1 Archimedes(287 - 212 v.Chr.), der großte Mathematiker des Altertums, entdeckte das Auftriebsgesetz und die Gesetze der
Schwimmstabilitat (Kippsicherheit schwimmender Korper), denen die nachfolgenden zwei Jahrtausende wenig hinzuzufugen hatten.
Ebenso bekannt ist seine Berechnung von Kreis und Kugel und damit der Zahl π. Von ihm selbst viel weniger geachtet waren seine
”Ingenieurleistungen“, z.B. die hydraulische Schraube, Kriegsmaschinen zur Verteidigung von Syrakus, etc.
Die hydraulische Schraube des Archimedes
26
C.8. Relativ ruhende Flussigkeiten in bewegten Gefaßen
Beweis:
C.8 Relativ ruhende Flussigkeiten in bewegten Gefaßen
Am mit Masse belegten Volumenelement wirken Massenkrafte als außere Krafte. Die Grundgleichung fur die
Beziehung zwischen Druckzuwachs im Fluid und den wirkenden Massenkraften (siehe Abschnitt C.2) lautet:
grad p = ρ~f ;
∂p
∂x
∂p
∂y
∂p
∂z
= ρ
fx
fy
fz
;
∂p
∂x= ρfx
∂p
∂y= ρfy
∂p
∂z= ρfz
Wesentlich fur die Losung dieser Gleichung ist die Kenntnis der wirkenden Massenkrafte ~f . Fur drei charakte-
ristische Beispiele sollen die Massenkrafte ermittelt werden.
Beispiel 1
Ein mit Flussigkeit gefulltes Gefaß befinde sich in Ruhe. Auf die Flussigkeitsteilchen wirkt nur die Schwerkraft.
~f =
fx
fy
fz
=
0
0
−g
27
Kapitel C. Fluide im Gleichgewicht
Beispiel 2
Ein mit Flussigkeit gefulltes Gefaß wird mit konstanter Beschleunigung in x-Richtung bewegt. Auf die Flussigkeitsteilchen
wirkt die Schwerkraft sowie die d’Alembertsche Tragheitskraft entgegengesetzt zur Beschleunigung.
~f =
fx
fy
fz
=
−a0
−g
Beispiel 31
Ein mit Flussigkeit gefulltes Gefaß dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Unter der Voraussetzung,
dass sich Flussigkeit und Gefaß zueinander in relativer Ruhe befinden, wirkt auf die Flussigkeitsteilchen die
Schwerkraft und die d’Alembertsche Tragheitskraft als Reaktion auf die zum Drehzentrum hin gerichtete
Zentrifugalbeschleunigung.
Zweckmaßigerweise verwendet man hier Zylinderkoordinaten.
~f =
fr
fz
=
ω2r
−g
Totales Differential des Druckes, d.h. Anderung des Druckes bei vorgegebener Ortsanderung ~ds = (dx, dy, dz),
d.h. beim Ubergang vom Punkt x, y, z zum Punkt x+ dx, y + dy, z + dz:
p = p(x, y, z) dreidimensionales Druckfeld
dp =∂p
∂xdx+
∂p
∂ydy +
∂p
∂zdz =
(∂p
∂x,∂p
∂y,∂p
∂z
)· (dx, dy, dz)
1 Lexis Claude Clairot (1713 - 1765), franzosischer Mathematiker, vollendete die Hydrostatik, indem er das hydrostatische
Gleichgewichtsprinzip entwickelte und auf drehende Behalter anwendete.
28
C.8. Relativ ruhende Flussigkeiten in bewegten Gefaßen
dp = (grad p) d~s = ρ~f d~s = ρ(f cos θ) ds = ρfS ds ;
dp
ds= ρfs (C.8)
Satz 7:
An jeder Stelle des Fluids ist der Druckanstiegin beliebiger Richtung gleich der in diese Richtung weisenden
Komponente der wirkenden Massenkraft, multipliziert mit der Dichte.
Isobaren: Die Niveauflachen des Druckes heißen Isobaren. Auf diesen Flachen ist p = const. bzw.
dp = 0. So ist der Wasserspiegel eine Isobare, da dort atmospharischer Druck herrscht, p = p0.
Aus d~p = ρ~fd~s = 0 folgt ~f ⊥ d~s, d.h. in Richtung von jedem auf ~f senkrecht stehenden d~s ist
p = const. Damit steht der Vektor der Massenkrafte senkrecht auf den Isobaren.
Die Gleichung der Isobaren lautet entsprechend
~fds = fxdx+ fydy + fzdz = 0 (C.9)
Druckberechnung:
Druck pA in Punkt A gegeben.
Druck pB in Punkt B gesucht.
∫ B
A
dp = pB − pA =
∫ B
A
gradp d~s = ρ
∫ B
A
~f d~s
pB = pA + ρ
∫ B
A
~f d~s = pA + ρ
∫ B
A
(fxdx+ fydy + fzdz) (C.10)
Der Wert des Integrals ist unabhangig vom Integrationsweg.
Dabei wird vorausgesetzt, dass sich die Massenkraft ~f aus einem Potential ableiten lasst, d.h. es existiert eine
Potentialfunktion Φ, deren Gradient
(∂Φ
∂x,∂Φ
∂y,∂Φ
∂z
)die Massenkraft ergibt. Wirkt z.B. die Schwerkraft in
z-Richtung, so ist die Potentialfunktion des Schwerefeldes Φ = −gz, und deren Gradient (0, 0, −g) ist die
Massenkraft.
Allgemein gilt, dass der Gradient einer Potentialfunktion Φ ein drehungsfreies Vektorfeld ist, d.h. rot gradΦ = 0,
und fur ein solches ist der Wert eines bestimmten Integrals unabhangig vom Integrationsweg.
29
Kapitel C. Fluide im Gleichgewicht
C.9 Schwimmstabilitat
Ein nicht vollstandig getauchter Korper schwimmt, wenn die Bedingung
G = FA = ρgV
erfullt ist. Diese Bedingung allein genugt nicht zur Aufrechterhaltung eines Gleichgewichts. Die Gewichtskraft G,
die im Schwerpunkt SG des Korpers angreift, und die Auftriebskraft FA, die im Schwerpunkt der Verdrangung
SV angreift, durfen kein Moment zur Folge haben, welches den Korper drehen kann. Decken sich die Richtungs-
linien der Krafte G und FA, was der Fall ist, wenn die Verbindungslinie des Korperschwerpunktes SG und des
Schwerpunktes der Verdrangung SV - die sogenannte Schwimmachse - senkrecht steht, dann tritt kein Moment
auf.
A : Querschnittsflache der Schwimmebene
(Schwimmflache)
Es ist zu untersuchen, ob dieser Gleichgewichtszustand stabil, labil oder indifferent gegenuber Storungen ist.
Ein schwimmender, nicht vollstandig eingetauchter Korper, dessen Schwimmachse senkrecht steht, werde durch
Storungen in Form von Windkraften oder Wellenschlag aus seiner Ausgangslage ausgelenkt. Kehrt der Korper
nach Abklingen der Storung in seine Ausgangslage zuruck, so befindet er sich in einem stabilen Gleichgewichts-
zustand. Wenn der Gleichgewichtszustand instabil ist, dann kippt der Korper um und nimmt danach eine stabile
Lage ein. Bei indifferentem Gleichgewicht bleibt der Korper in der Lage, die er zum Zeitpunkt des Abklingens
der Storung eingenommen hat.
stabil
ruckdrehen
labil
kentern
indifferent
drehen
30
C.9. Schwimmstabilitat
Im folgenden soll die Stabilitat gegenuber Drehung um die Langsachse betrachtet werden, wobei wir uns auf
kleine Drehungen, die sogenannte Anfangsstabilitat, beschranken. Die Gleichgewichtslage ist stabil, wenn eine
Drehung um die Achse durch O ein ruckstellendes Moment um den Schwerpunkt SG erzeugt.
dA sei ein beliebiges Flachenelement der Schwimmflache A
im Abstand y von der Drehachse O, dann ist das zusatzliche
verdrangte Volumen bei Drehung um den Winkel ∆φ
dV = y∆φ dA
und damit der zusatzliche Auftrieb
dFA = ρg dV = ρgy∆φ dA
Die gesamte Auftriebsanderung durch die Drehung um ∆φ
ist naherungsweise Null.
∆FA = ρg∆φ
∫y dA = 0
Das Moment um die Achse durch O infolge Drehung des Schiffes ist
∆M = ρg∆φ
∫y2 dA = ρg∆φ Ix
Das Integral Ix ist das Tragheitsmoment der Schwimmflache. Dieses Moment kann auch durch horizontale
Verschiebung des Verdrangungsschwerpunktes Sv dargestellt werden.
∆M = F ′A ∆s = G∆s
Der Schnittpunkt der Wirkungslinie der Auftriebskraft F ′A mit der Schwimmachse ist das Metazentrum M . Der
Abstand zwischen Korperschwerpunkt SG und Metazentrum M auf der Schwimmachse wird als metazentrische
Hohe hM bezeichnet. Fur kleine Winkel ∆φ gilt dann
∆s = (hM + e)∆φ mit e = SV SG.
Daraus lasst sich die metazentrische Hohe hM berechnen:
hM =IxV− e (C.11)
Proportional dazu ist das ruckdrehende Moment
MR = G · hM sin ∆φ.
Ist hM > 0, d.h. das Metazentrum liegt uber dem Schwerpunkt SG, so ist das Moment aus der Lageveranderung
des Verdrangungsschwerpunktes infolge Drehung um ∆φ ruckstellend und damit die Gleichgewichtslage des
Korpers stabil. Die Anfangsstabilitat ist abhangig vom Tragheitsmoment der Schwimmflache, vom verdrangten
Fluidvolumen und vom Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Korpers und dem Schwerpunkt der Ver-
drangung. Sie ist unabhangig vom Drehwinkel ∆φ, so lange dieser lt. Voraussetzung klein ist. Bei großeren
Drehwinkeln ist die Stabilitat vom Drehwinkel selbst abhangig, weil dann das Metazentrum auswandert.
31
Kapitel C. Fluide im Gleichgewicht
32
Kapitel D
Kinematik der Stromung
33
Kapitel D. Kinematik der Stromung
D.1 Geschwindigkeit, Bahn-, Strom-, Streich- und Zeitlinie
Stromungsmechanik ist die Lehre von Bewegung und Kraftegleichgewicht der Fluide, wobei die einzelnen Mas-
senteilchen im Zeitablauf große gegenseitige Verschiebungen erfahren, sodass ein Zusammenhalt der Gesamt-
masse wie bei den festen Korpern nicht mehr gegeben ist. Demgemaß erfordert die gesetzmaßige Erfassung
stromender Fluide besondere Betrachtungsweisen.
Bei der Lagrangeschen1Betrachtungsweise fasst man zu einem Zeitpunkt t0 das Fluid aus punktformigen
Einzelmassen zusammengesetzt auf und verfolgt den anschließenden Bewegungsablauf jedes einzelnen Massen-
elementes zur Zeit t > t0. Die Lage eines Teilchens wird
• zum Zeitpunkt t0 durch den Ortsvektor ~r0 = (x0, y0, z0)
• und danach zeitabhangig durch den Ortsvektor ~r = ~r(~r0, t) = (x(~r0, t), y(~r0, t), z(~r0, t)) dargestellt.
Verfolgt man den Weg eines Fluidteilchens,
so entsteht eine Bahnlinie, die als Zeitaufnahme eines markierten
Teilchens angesehen werden kann. Im Zeitintervall dt wird langs
dieser Bahnlinie der Weg
d~s = ~r(t+ dt)− ~r(t) = d~r
zuruckgelegt.
Daraus erhalt man die Geschwindigkeit des betrachteten Teilchens zum Zeitpunkt t an der Stelle ~r = ~r(~r0, t):
d~r
dt=
d~s
dt= ~v(~r0, t) = (vx, vy, vz) (D.1)
Der Geschwindigkeitsvektor muss die Bahnlinie naturlich tangieren. Ist umgekehrt die Geschwindigkeit gegeben,
so kann die neue Lage ~r(~r0, t1): eines Fluidteilches zum Zeitpunkt t1 berechnet werden:
d~s = ~vdt ⇒ (dx, dy, dz) = (vxdt, vydt, vzdt) ⇒x1∫x0
dx = x1 − x0 =
t1∫t0
vxdt ⇒ x1 = x0 +
t1∫t0
vxdt (D.2)
y1 = y0 +
t1∫t0
vydt
z1 = z0 +
t1∫t0
vzdt
1Johann Louis Lagrange (1763 - 1813, Frankreich), Mathematiker und theoretischer Mechaniker. Er fuhrte das Geschwin-
digkeitspotential und die Stromfunktion (siehe Skript Stromungsmechanik II) in die Hydromechanik ein. Außerdem leitete er die
Gleichung fur die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit in offenen Gerinnen ab). Die oben erwahnte Lagrangesche Betrachtungs-
weise geht allerdings auf Euler zuruck.
34
D.1. Geschwindigkeit, Bahn-, Strom-, Streich- und Zeitlinie
Bei Lagrangescher Betrachtungsweise erhalt man die Beschleunigung aus der Ableitung der Geschwindigkeit
nach der Zeit bei festgehaltenem r0, d.h. aus der partiellen Ableitung∂~v
∂t. Wendet man auf ein Massenteil-
chen das Newtonsche Grundgesetz (Kraft = Masse · Beschleunigung) an, so ergeben sich die Lagrangeschen
Gleichungen der Stromungsmechanik, deren Losung jedoch im allgemeinen auf großere mathematische Schwie-
rigkeiten stoßt.
Deshalb wird man in der Regel die wesentlich vorteilhaftere Eulersche2 Betrachtungsweise anwenden, die das
individuelle”Schicksal“ der Massenteilchen unbeachtet lasst, und stattdessen danach fragt, welche Geschwindig-
keit (und andere Großen) an einem festgehaltenen Ort zu jedem Zeitpunkt t herrschen. Die stromungsmechanischen
Großen werden also nicht den Fluidteilchen, sondern den Punkten (x, y, z, t) des Raum-Zeit-Kontinuums zuge-
ordnet. Man kommt somit zu einer Feldbetrachtung zu bestimmten Zeitpunkten. So gibt es z.B. Geschwindigkeits-
und Druckfelder.
Das Geschwindigkeitsfeld ist ein Vektorfeld, das sich in einem Versuch sichtbar machen lasst:
Hierzu werden einem stromenden Fluid Schwebstoffteilchen zugesetzt und zum Zeitpunkt t mit einer”Belich-
tungsdauer ∆t“ fotografiert. Auf dem Foto hinterlassen die Schwebstoffteilchen Spuren der Lange ∆s, die je
nach Ausgangslage (x, y, z) unterschiedliche Lange und Richtung aufweisen. Daraus ergeben sich die Geschwin-
digkeiten in bekannter Weise:
Verschiebung eines Schwebstoffteilchens
v(x, y, z, t) = lim∆t→0
∆s
∆t=
ds
dt(D.3)
Im Gegensatz zur Lagrangeschen Betrachtungsweise wird
der weitere Weg der Schwebstoffteilchen nicht mehr ver-
folgt, da nur die”Feldaufnahme“ zu den einzelnen Zeit-
punkten t ermittelt werden soll.
Zur anschaulichen Darstellung des Geschwindigkeitsfelds werden Stromlinien eingefuhrt. Darunter versteht man
Linien, die an jeder Stelle des Stromungsgebietes in der Richtung der dort herrschenden Geschwindigkeit ver-
laufen, d.h. die Geschwindigkeitsvektoren tangieren die Stromlinien.
Der Stromlinienverlauf lasst sich (fur einen bestimmten Zeitpunkt t) aus dem Geschwindigkeitsfeld ~v(x, y, z) =
(vx, vy, vz) ableiten. Geschwindigkeitsvektor ~v und Wegelement d~s auf der Stromlinie sind in einem betrachteten
Punkt parallel:
~v × d~s = ~0 = (0, 0, 0) (D.4)
(~v und d~s spannen bei Parallelitat keine Parallelogrammflache auf, sodass das Vektorprodukt gleich dem Null-
vektor ist.)
2Leonhard Euler (1707-1783), Schweizer Mathematiker mit bahnbrechenden Leistungen in allen Bereichen der Mathematik
und Mechanik. Er vollendete die Grundlagen der klassischen Hydromechanik der Flussigkeiten und kompressiblen Gase. Genannt
seien seine exakte Begriffsbildung fur den Druck und das Eulersche Schnittprinzip. Sie ermoglichten ihm die Anwendung des
Newtonschen Gesetzes auf ein Flussigkeitsteilchen (s. Kapitel F) und daraus die Ableitung der ebenfalls nach ihm benannten
Grundgleichungen der Hydromechanik; das sind: partielle Differentialgleichungen zur Beschreibung der idealen Stromung, deren
Integration langs einer Stromlinie wiederum zur Bernoulli-Gleichung fuhrt.
35
Kapitel D. Kinematik der Stromung
~v × d~s =
~ex ~ey ~ez
vx vy vz
dx dy dz
= (vydz − vzdy, −vxdz + vzdx, vxdy − vydx)
Aus der Bedingung ~v × d~s = ~0 ergeben sich drei Differentialgleichungen fur die Projektionen der Stromlinien
auf die y-z-Ebene, z-x-Ebene und x-y-Ebene:
dz
dy=
vzvy
⇒ in der y-z-Ebene
dx
dz=
vxvz
⇒ in der z-x-Ebene (D.5)
dy
dx=
vyvx
⇒ in der x-y-Ebene
Bei ebenen Problemen sind dz = 0 und vz = 0, sodass nur die letzte Differentialgleichung fur die Stromlinie
y(x) verbleibt.
Eigenschaften der Stromlinien
Im Gegensatz zu den Bahnlinien schneiden sich Stromlinien nie, da sonst in dem Schnittpunkt zwei Geschwin-
digkeiten verschiedener Richtung auftreten wurden, was nicht moglich ist. Außerdem verlaufen die Stromlinien
im Feldinneren stets ohne Knicke, da sonst unendlich große Beschleunigungen auftreten mussten. In sogenannten
Staupunkten am Rande des Feldes konnen sich die Stromlinien dagegen verzweigen bzw. Knicke aufweisen. Im
Verzweigungs- oder Staupunkt ist die Geschwindigkeit stets Null, da der Geschwindigkeitsvektor nur eine ein-
deutige Richtung aufweisen kann - eine Bedingung, die bei einer Verzweigung oder einem Knick nicht erfullbar
ist.
Bislang wurde das Geschwindigkeitsfeld nur zu einem bestimmten Zeitpunkt betrachtet. Bei sogenannten instationaren
Stromungen treten zeitliche Anderungen auf, sodass sich zu jedem Zeitpunkt ein neues Stromlinienbild ergibt.
Zeitunabhangige Stromungen heißen dagegen stationar.
Ob eine Stromung stationar oder instationar ist, kann von dem gewahlten Koordinatensystem abhangen.
In der Abbildung ist die gleiche Stromung auf zwei Weisen a und b dargestellt. Ein Zylinder wird mit konstanter
Geschwindikeit ~v durch ein ruhendes Fluid gefuhrt. Heftet man das Koordinatensystem mit dem Ursprung 0
an den Korper, so erscheint die Stromung stationar (siehe a). Ein raumfestes Koordinatensystem lasst dage-
gen die Stromung instationar erscheinen (siehe b), da das dargestellte Stromlinienbild vom bewegten Zylinder
mitgefuhrt wird.
36
D.2. Stromrohre und Stromfaden
Neben der Geschwindigkeit werden noch weitere stromungsmechanische Feldgroßen betrachtet. Dies konnen
unter anderem Druck, Dichte, Temperatur oder Salzgehalt des Fluids sein, also skalare Großen, die ein Skalarfeld
bilden – im Gegensatz zum Vektorfeld der Geschwindigkeiten.
Außer Bahnlinie und Stromlinie werden noch weitere kinematische Begriffe von Bedeutung definiert:
Streichlinie: Momentaufnahme aller Fluidteilchen, die einen bestimmten Punkt passiert haben. Beispiel:
Rauchfahne eines Schornsteins.
Bei stationaren Stromungen fallen Bahn-,
Strom- und Streichlinie zusammen.
Zeitlinie: Zu einem Zeitpunkt werden langs einer Linie Fluidteilchen markiert. Man betrachtet zu
einem spateren Zeitpunkt die von den markierten Teilchen gebildete Linie.
D.2 Stromrohre und Stromfaden
Die Losung stromungsmechanischer Probleme gestaltet sich im dreidimensionalen Fall i.a. sehr schwierig; ge-
wisse Vereinfachungen bieten dagegen zweidimensionale Betrachtungen, die die physikalischen Vorgange streng
genommen nicht exakt wiedergeben, aber haufig eine brauchbare Naherung darstellen.
Betrachtet man speziell Stromungen in Rohren und Gerinnen, so fuhrt i.d.R. eine eindimensionale Beschreibung
der Vorgange bereits zu hinreichend genauen Resultaten. Bei diesem Problemkreis verlauft die Stromung in ei-
ner durch die Rohr- bzw. Gerinneachse ausgezeichneten Richtung und die geringen, senkrecht zu dieser Achse
auftretenden Bewegungen werden vernachlassigt.
Fur die eindimensionale Eulersche Betrachtungsweise (die wir ausschließlich anwenden werden) bedient man
sich weiterer kinematischer Gebilde, die eng mit dem Stromfadenbegriff zusammenhangen:
Stromrohre:
Stromlinienflache
Die Summe aller Stromlinien, die durch eine ortsfeste Linie gehen, bildet eine
Stromlinienflache. Ist diese Linie geschlossen, so entsteht die Mantelflache einer
Stromrohre. Da sich Stromlinien nicht schneiden bzw. Geschwindigkeiten Strom-
linien tangieren, ist ein Massenfluss durch die Mantelflache der Stromrohre nicht
moglich.
37
Kapitel D. Kinematik der Stromung
Stromrohre
Bildet man eine Stromrohre in einer dreidimensionalen, instationaren Stromung,
so handelt es sich hierbei gemaß der Eulerschen Betrachtungsweise um eine
Momentaufnahme, d.h. die Stromrohren verandern mit der Zeit ihre Lage und
Form.
In der Hydraulik werden dagegen ortsfeste, durch die Rohr- bzw. Gerinnewandung
definierte Stromrohren betrachtet.
Die stromungsmechanischen Großen, insbesondere die Geschwindigkeiten, sind in einer Stromrohre nicht nur
langs der Stromrohrenachse, sondern auch normal dazu veranderlich. Tragt man diese Großen uber einer Quer-
schnittsflache A auf, so ergibt sich ein sogenanntes Profil. Ein Geschwindigkeitsprofil stellt also die Geschwin-
digkeitsverteilung senkrecht zur Achse dar. In der Regel wird jedoch mit Mittelwerten gerechnet, die aus diesen
Profilen gewonnen werden.
Stromfaden:
Stromfaden
Stromlinien, die durch eine endliche Flache A gehen, bilden eine Stromrohre. Stellt
diese Flache dagegen eine infinitesimale Große dA dar, so entsteht ein Stromfaden.
Uber dA werden die betrachteten stromungsmechanischen Großen (im Gegensatz
zu A in der Stromrohre) naturlich nicht mehr variabel angesetzt.
Die Betrachtung des Stromfadens fuhrt zur Stromfadentheorie, in der die Pro-
bleme durch eindimensionale Gleichungen langs einer Raumkurve beschrieben
werden.
Die Summierung aller Stromfaden in einem Rohr oder Gerinne fuhrt auf naturliche Weise zur Stromrohrentheorie.
In der Stromfadentheorie werden die grundlegenden Gesetze abgeleitet, wahrend in der Stromrohrentheorie die
Erweiterung auf die Rohr- und Gerinnehydraulik und die empirische Berucksichtigung zusatzlicher Effekte (z.B.
Stromungswiderstand, Geschwindigkeitsverteilung) vollzogen wird.
D.3 Beschleunigung
Die Kinematik (das heißt der Bewegungsablauf) einer Stromung wird durch auf das Fluid wirkende Krafte
(die Dynamik) bestimmt. Die entsprechenden Grundgleichungen der Stromungsmechanik erhalt man aus dem
Newtonschen Grundgesetz (Impulsgleichung):
d(m~v)
dt= ~F
m~v Impuls1 (= Masse ·Geschwindigkeit)
~F auf die Masse m wirkende resultierende Kraft
Bei zeitlich unveranderlicher Masse resultiert daraus die bekannte Beziehung:
md~v
dt= m~a = ~F
Neben der Geschwindigkeit ~v kommt also als weitere wichtige kinematische Große die Beschleunigung ~a in
Betracht. Wir beschranken uns auf die Eulersche Betrachtungsweise und speziell auf die Stromfaden- bzw.
1siehe Fußnote zu Abschnitt F.1
38
D.3. Beschleunigung
Stromrohrentheorie.
Fuhrt man langs eines Stromfadens die Koordinate s ein, so ist im allgemeinen Fall (ungleichformig und insta-
tionar) die Geschwindigkeit eine Funktion von s und t:
v = v(s, t)
v ist positiv, wenn die Stromung in Richtung der s-Koordinate verlauft.
Denkt man sich die Geschwindigkeit v(s, t) uber der s-t-Ebene als Flache im s-t-v-Raum dargestellt, so kann die
Anderung von v unmittelbar abgelesen werden, wenn man von einem Punkt (s, t) zu einem Punkt (s+ds, t+dt)
ubergeht. Sei v = v(s, t), dann ist v(s+ ds, t+ dt) = v + dv und es gilt:
dv = (tanα)ds+ (tanβ)dt (siehe Abbildung)
=∂v
∂sds+
∂v
∂tdt
Division der totalen Geschwindigkeitsanderung auf der Stromlinie durch dt ergibt die substantielle Beschleunigung,
die sich aus konvektiver und lokaler Beschleunigung zusammensetzt:
dv
dt=
∂v
∂s
ds
dt+∂v
∂t
Beachtet man noch, dass die Substanz (das Fluidteilchen) in der Zeit dt den Weg ds = vdt zurucklegt, so folgt
dv
dt= v
∂v
∂s+∂v
∂t=
1
2
∂(v2)
∂s+∂v
∂t(D.6)
lokale Beschleunigung
konvektive Beschleunigung
substantielle Beschleunigung
39
Kapitel D. Kinematik der Stromung
Die lokale Beschleunigung ∂v/∂t stellt die zeitliche Anderung der Geschwindigkeit an einem festen Ort auf der
Stromlinie dar. Bei stationarer Stromung ist ∂v/∂t = 0.
Die konvektive Beschleunigung v∂v
∂sgibt die Geschwindigkeitsanderung von Ort zu Ort bei fest vorgegebenem
Zeitpunkt an.
Die Abbildung zeigt eine Stromrohre der Lange dsmit abnehmender Querschnittsflache und stationarer Stromung.
Offensichtlich nimmt die Geschwindigkeit infolge der Verengung zu, sodass die Fluidteilchen beschleunigt wer-
den. In diesem Fall der stationaren Stromung ist die substantielle Beschleunigung gleich der konvektiven, wel-
che sich nur bei einer Ortsveranderung, die das bewegte Teilchen erleidet, feststellen lasst. Bei instationarer
Stromung erfahrt das Teilchen mit der Zeit noch eine zusatzliche Beschleunigung infolge lokaler Geschwindig-
keitsanderungen ∂v/∂t.
Man unterscheidet haufig die folgenden Stromungsfalle:
stationare Stromung . . . . :∂v
∂t= 0
instationare Stromung . . .:∂v
∂t6= 0
gleichformige Stromung . :∂v
∂s= 0
ungleichformige Stromung:∂v
∂s6= 0
(In der sich verengenden Stromrohre wird also eine ungleichformige Stromung reprasentiert.)
40
Kapitel E
Transport von Masse, Impuls und
Energie
41
Kapitel E. Transport von Masse, Impuls und Energie
Die Querschnittsflache A sei mit einer Geschwindigkeit der Fluidteilchen v durchstromt. In dem Zeitraum ∆t
legen die Teilchen den Weg ∆s zuruck, sodass in dieser Zeit das Volumen ∆V = Av∆t durch den Querschnitt
stromt. Im instationaren Fall ist die Geschwindigkeit v mit der Zeit veranderlich, und man definiert daher
zweckmaßigerweise den Momentanwert Av als Grenzwert von
lim∆t→0
∆V
∆t= Av = V = Q
Mit
V = Q = Av [m3/s]
erhalt man den sogenannten Volumenstrom, Volumendurchsatz oder Durchfluss, d.h. das Volumen, das pro
Zeiteinheit den Querschnitt A durchfließt.
Entsprechend ist dann ρQ der Massenstrom, d.h. die Fluidmasse, die pro Zeiteinheit den Querschnitt durchfließt:
m = ρQ = ρvA [kg/s]
An die mit der Geschwindigkeit ~v bewegten Fluidteilchen sind noch weitere physikalische Eigenschaften wie
Impuls (~I = m~v) oder kinetische Energie(Ekin = mv2/2
)gebunden, die ebenso wie die pro Zeiteinheit durch
eine Querschnittsflache stromende Masse einem Transportprozess unterliegen.
Analog zum Volumen- bzw. Massenstrom definiert man auch hier einen Impuls- bzw. Energiestrom:
~I = m~v [N] Impuls, der pro Zeiteinheit eine Querschnittsflache durchfließt.
Beachte: Der Impulsstrom hat die Maßeinheit einer Kraft.
Ekin = mv2/2 [J/s = W] Kinetische Energie, die pro Zeiteinheit eine Querschnittsflache durch-
fließt.
Das Produkt ~I = m~v aus Masse und Geschwindigkeit ist der Impuls (oder die Bewegungsgroße) eines Massenpunktes.
Bei Korpern mit der Masse m (siehe auch Abschnitt F.1) ist der Impuls ~I =∫m~vdm. Soweit aber im folgenden
fur alle betrachteten Massenteilchen dm gleiche Geschwindigkeit v vorausgesetzt wird, gilt∫m~vdm = m~v.
42
E.1. Transport durch Stromfaden
E.1 Transport durch Stromfaden
Die (sehr kleine) Querschnittsflache A des Stromfadens wird mit der
Geschwindigkeit v durchstromt, wahrend ein Massenfluss uber die Man-
telflache ausgeschlossen ist.
Fur den Volumenstrom erhalten wir hier
V = Q = vA [m3/s] (E.1)
als skalare Große.
Multiplikation des Volumenstromes mit der Dichte ρ ergibt den entsprechenden Massenstrom
m = ρQ = ρvA [kg/s], (E.2)
der ebenfalls eine skalare Große darstellt.
Der Impuls einer Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, wird durch die Große
~I = m~v
definiert. Entsprechend stellt das Produkt aus Massenstrom und Geschwindigkeit den Impulsstrom dar:
~I = m~v = ρQ~v = ρv~vA [N] (E.3)
Der Betrag dieser vektoriellen Große ist
I = mv = ρvQ = ρv2A [N]
Die Einheit des Impulsstromes ist die einer Kraft.
Analog zum Impuls ist die Energie einer Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit ~v bewegt, gegeben durch
die Große
E = m(u+ v2/2 + gz
)= me [J]
Die dabei berucksichtigten Energieanteile sind
- innere (thermische) Energie mu
- kinetische Energie mv2/2
- potentielle Energie mgz
43
Kapitel E. Transport von Masse, Impuls und Energie
Dem Volumen-, Massen- und Impulsstrom entspricht demzufolge ein Energiestrom (skalare Große) durch den
Querschnitt A
E = m(u+ v2/2 + gz + p/ρ
)= m (e+ p/ρ) [J/s=W] (E.4)
Die Einheit des Energiestroms ist die einer Leistung.
Der Energiestrom enthalt folgende Anteile:
mu = innere Energie/Zeiteinheit
mv2/2 = kinetische Energie/Zeiteinheit
mgz = Lageenergie/Zeiteinheit
mp/ρ = Druckenergie/Zeiteinheit
potentielle Energie
pro Zeiteinheit
Zu der gegebenen Energie E der Masse m tritt demnach beim Energiestrom E ein neuer und fur Stromungen
eigentumlicher Anteil mp/ρp auf, den man wie folgt erklaren kann:
Die Druckkraft pA wirkt auf Fluidteilchen, die sich in der Zeit ∆t um die
Strecke v∆t weiterbewegen. Dabei leistet die Druckkraft in der Zeit ∆t die
Arbeit pA v∆t und ihre Leistung (Arbeit/Zeiteinheit) ist somit:
pAv = p/ρ ρAv = p/ρ m
Innere Energie/Zeiteinheit mu:
u ist die auf die Masseneinheit bezogene innere Energie des Fluids. Bei den hier
behandelten Stromungsvorgangen handelt es sich ausschließlich um thermische
Energie. (Naheres s. Abschnitt F.5).
44
E.2. Transport durch Stromrohre
E.2 Transport durch Stromrohre
Im Gegensatz zum Stromfaden weist die Stromrohre eine uber den Querschnitt veranderliche Geschwindigkeits-
verteilung auf. Deshalb zerlegt man die Stromrohre in Stromfaden und integriert die im Stromfaden betrachteten
physikalischen Großen (z.B. Volumen-, Massen-, Impuls-, Energiestrom) uber den Stromrohrenquerschnitt auf.
Stromrohre, in Stromfaden zerlegt
A sei der Stromrohren- und dA ein infinitesimaler
Stromfadenquerschnitt. In der Stromrohrentheorie wurde
man durch Mitnahme des Geschwindigkeitsprofils zu
einer dreidimensionalen Betrachtung gelangen. Ersetzt
man dagegen das Geschwindigkeitsprofil v durch eine
mittlere Geschwindigkeit v, die sich nur noch in Richtung
der Stromrohrenachse andert, so erhalt man wieder wie bei
der Stromfadentheorie eine eindimensionale Erfassung der
Stromungsvorgange.
Schnitt durch eine Stromrohre mit Geschwindig-
keitsprofil v und mittlerer Geschwindigkeit v
Um die ebenfalls von der Geschwindigkeit v abhangigen
und damit uber den Querschnitt A veranderlichen Großen
wie Volumen-, Massen-, Impuls- oder Energiestrom auf die
mittlere Geschwindigkeit v beziehen zu konnen, mussen die
folgenden Ausdrucke ausgewertet werden:∫A
v dA,
∫A
v2 dA, und
∫A
v3 dA
Die mittlere Geschwindigkeit v in einer Stromrohre wird derart definiert, dass der Volumenstrom Q durch den
Stromrohrenquerschnitt A erhalten bleibt:
Q =
∫A
v dA = vA
Bei dieser Betrachtung wird vorausgesetzt, dass die Geschwindigkeiten v annahernd parallel gerichtet sind, d.h.
der Fluidteilchenfluss erfolgt orthogonal zur Flache A.
Die Mittelung der Großen v2 und v3 fuhrt nicht zu den Mittelwerten v2 und v3:∫A
v2 dA 6= v2A etc.
45
Kapitel E. Transport von Masse, Impuls und Energie
Diese Abweichungen werden durch die Einfuhrung profilabhangiger Beiwerte erfasst:
∫A
v2 dA = βv2A = βvQ
∫A
v3 dA = αv3A = αv2Q
Wenn das Geschwindigkeitsprofil bekannt ist, lassen sich α und β berechnen:
v =1
A
∫A
v dA (E.5)
β =1
v2A
∫A
v2 dA, β ≥ 1 (E.6)
α =1
v3A
∫A
v3 dA, α ≥ 1 (E.7)
Unter Anwendung obiger Mittelungsprozesse lassen sich die in Abschnitt E.1 fur den Stromfaden abgeleiteten
Großen auf die Stromrohre ubertragen.
Volumenstrom Q =
∫A
v dA = vA entspricht Gl. (E.1) (E.8)
Massenstrom m =
∫A
ρv dA = ρvA = ρQ entspricht Gl. (E.2) (E.9)
Impulsstrom ~I =
∫A
ρv~v dA
Der Betrag des Impulsstromes ist
I =
∫A
ρv2 dA = ρβv2A = βmv
Da bei der Integration die Richtung des Impulsstromes erhalten bleibt (~v wird stets annahernd orthogonal zu
A vorausgesetzt), ergibt sich die Vektorgroße zu
46
E.2. Transport durch Stromrohre
~I = βm~v entspricht Gl. (E.3) (E.10)
Energiestrom E =
∫A
(gz +
p
ρ+v2
2+ u
)ρv dA
Annahmen: − Die Druckverteilung uber A sei hydrostatisch.
Dann ist (gz + p/ρ) konstant uber A.
− Die Temperatur sei konstant uber A.
Dann ist u konstant uber A. (E.11)
Damit erhalten wir
E = ρ
(gz +
p
ρ+ u
)∫A
v dA+ρ
2
∫A
v3 dA
= ρ
(gz +
p
ρ+ u
)vA+
ρ
2αv3A
= ρvA
(gz +
p
ρ+ α
v2
2+ u
)
E = m
(gz +
p
ρ+ α
v2
2+ u
)entspricht Gl. (E.4) (E.12)
Die maximalen und minimalen Zahlenwerte fur α und β sind:
vmax ≥ v ≥ vmax/2 mittlere Geschwindigkeit
1 ≤ β ≤ 1.33 Impulsbeiwert
1 ≤ α ≤ 2.00 Energiebeiwert
ideale laminare
Stromung Stromung
Beispiel 1: Ideale Stromung
v = const. ; v = v, α = β = 1
Dieser Idealfall wird bei realen Stromungen nicht erreicht, da durch die Haftbedingung an der Stromungsbegrenzung
(s. Kapitel G) immer ein ungleichformiges Geschwindigkeitsprofil uber dem Fließquerschnitt entsteht.
47
Kapitel E. Transport von Masse, Impuls und Energie
Beispiel 2: Laminare Stromung
A = Kreisquerschnitt
v =
[1−
( rR
)2]vmax
(Geschwindigkeitsprofil = Paraboloid)
Mit dA = 2πr dr und A = πR2 folgt
v =2
R2vmax
R∫0
[1−
( rR
)2]r dr = vmax/2
β =8
R2
R∫0
[1−
( rR
)2]2
r dr =4
3= 1, 33 . . .
α =16
R2
R∫0
[1−
( rR
)2]3
r dr = 2, 0
(Wie im Abschnitt G.4 noch naher ausgefuhrt wird, reprasentiert dieses Profil den Sonderfall einer laminaren
Stromung. Man beachte den sehr großen Beiwert α = 2.)
Beispiel 3: turbulente Stromung
Sehr haufig tritt der Fall auf, dass v ' vmax und α ' β ' 1 ist.
(Genauer: α ' 1, 06 und β ' 1, 02)
Hierbei handelt es sich um ausgepragte turbulente Stromungen, bei
denen ein gedrungenes Geschwindigkeitsprofil vorliegt.
Siehe auch Abschnitt G.5.
48
E.3. Transport durch eine gekrummte Flache
E.3 Transport durch eine gekrummte Flache
In Abschnitt E.2 wurde vorausgesetzt, dass die Geschwindigkeiten annahernd orthogonal zum Stromrohrenquerschnitt
A gerichtet sind. Im folgenden wird der Fluss durch eine Flache allgemeiner gefasst.
d ~A Flachenvektor, steht normal zur Flache, sein Betrag ist
gleich der Große des Flachenelements dA.
~v Durchstromung von dA ist nicht zwanglaufig normal zur
Flache.
Volumenstrom:
durch dA : dQ = ~v d ~A = |~v| · |d ~A| cos θ = v dA cos θ
durch A : Q =
∫A
~v d ~A entspricht Gl. (E.1) und Gl. (E.8) (E.13)
Beachte:
θ im 1. oder 4. Quadranten
cos θ > 0
dQ > 0
θ im 2. oder 3. Quadranten
cos θ < 0
dQ < 0
Massenstrom:
durch dA : dm = ρ dQ = ρ~v d ~A
durch A : m =
∫A
ρ~v d ~A entspricht Gl. (E.2) und Gl. (E.9) (E.14)
Impulsstrom:
durch dA : d~I = dm~v = ρ~v dQ = ρ~v(~v d ~A)
durch A : ~I =
∫A
ρ~v (~v d ~A) entspricht Gl. (E.3) und Gl. (E.10) (E.15)
Energiestrom:
durch dA : dE =
(e+
p
ρ
)dm = ρ
(e+
p
ρ
)~v d ~A
durch A : E =
∫A
ρ
(e+
p
ρ
)~v d ~A entspricht Gl. (E.4) und Gl. (E.12) (E.16)
49
Kapitel E. Transport von Masse, Impuls und Energie
E.4 Transportprozesse infolge Diffusion
Wir haben bisher in diesem Kapitel die Fluidteilchen als Trager ihrer Masse, ihres Impulses und ihrer Energie
betrachtet und kamen aufgrund der Bewegung der Teilchen zum Konzept des Transportes von Masse, Impuls
und Energie. Es handelt sich dabei um einen Transport in Richtung des Geschwindigkeitsvektors (advektiver,
manchmal auch konvektiver Transport genannt).
Neben der Advektion ist die Diffusion in Richtung eines Konzentrationsgefalles der zweite wichtige Mechanismus
eines Transports. Denken wir z.B. an die Diffusion von gelostem Salz von Bereichen hoher Konzentration zu
denen niedriger Konzentration sowie an die Warmeleitung von Bereichen hoher Temperatur zu denen niedriger
Temperatur. Ganz analog gibt es einen Transport des Impulses von Bereichen hohen Impulses zu denen niedrigen
Impulses.
Die Gesetzmaßigkeiten dieser Prozesse hangen eng zusammen mit den internen Stromungsmechanismen, die
vor allem durch die Eigenschaft der Turbulenz und der Fluidviskositat gepragt sind, und die wir in spaterern
Kursen noch einmal aufgreifen werden.
50
Kapitel F
Erhaltungssatze der
Stromungsmechanik
51
Kapitel F. Erhaltungssatze der Stromungsmechanik
F.1 Grundgleichungen fur Korper
Als Grundgleichungen fur die Kinetik der Korper lernten Sie in der Mechanik die Satze von der
Massenerhaltung / Impulserhaltung / Energieerhaltung
kennen, die wir uns hier getrennt fur Massenpunkte und fur Korper noch einmal in Erinnerung rufen wollen.
Massenpunkt der Masse m Korper der Masse m =
∫dm
Massenerhaltung
m = const.
dm
dt= 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∫
dm = const.
d
dt
∫dm = 0
(F.1)
Die Masse vorhandener Materie bleibt erhalten.
Impulserhaltung
(2. Newtonsches Gesetz)
d
dt(~vm) =
∑~F
∣∣∣∣ d
dt
∫~v dm =
∑~F (F.2)
Der Zuwachs des Impulses1 ist gleich der Summe aller außeren Krafte.
Energieerhaltung
(1. Hauptsatz der Thermodynamik)
dE
dt= Q+ P
∣∣∣∣ d
dt
∫edm = Q+ P (F.3)
Der Zuwachs der Energie ist gleich der Zufuhr von Warme (Q)
plus der Leistung außerer Krafte (P ).
Als Energie (E) wird hier sowohl die mechanische (d.h. potentielle und kinetische) als auch die thermische
Energie betrachtet, also
1 Was wir hier Impuls nennen (das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit) wird in der Mechanik meist mit dem Begriff
Bewegungsgroße gekennzeichnet. Impuls ist dort eine uber einen kurzen Zeitraum wirkende Kraft, und es gilt dann Impuls gleich
Anderung der Bewegungsgroße∑
~F ∆t = m∆v
52
F.2. Ubergang vom Fluidvolumen zum Kontrollraum
E = m
(gz +
v2
2+ u
) ∣∣∣∣∣∣∣∣E =
∫edm
=
∫ (gz +
v2
2+ u
)dm
mit u = thermische Energie/Masseneinheit.
Massenpunkte und Korper, wie sie in der Festkorper-Mechanik betrachtet werden, sind sogenannte geschlossene
Systeme, in denen eine vorgegebene Masse von der Umgebung durch materielle oder gedachte, auf jeden Fall
aber durch massenundurchlassige, Begrenzungsflachen getrennt ist.
F.2 Ubergang vom Fluidvolumen zum Kontrollraum
Dem Korper der Festkorpermechanik entspricht in der
Stromungsmechanik das Fluidvolumen mit einer definier-
ten Masse m. Im Bild ist ein solches Volumen markiert und
zu den Zeitpunkten t1 und t2 dargestellt.
Betrachtet man das beliebig abgegrenzte Fluidvolumen und seine Bewegung durch den Raum, so stellt auch
das die Betrachtung eines geschlossenen Systems dar, und die drei Erhaltungssatze sind in obiger Formulierung
prinzipiell anwendbar. Allerdings treten dabei praktische Schwierigkeiten auf, weil
1.) sich die Begrenzungsflachen verformen.
2.) das Interesse nicht so sehr an der Bewegung und dem Verformungszustand einer vorgegebenen Masse des
Fluids besteht, sondern an dem Effekt der Bewegung des Fluids auf seine Begrenzungen, z.B. Rohrwande,
Flussbett, Wehrkorper, windumstromte Bauwerke, etc.
Beispiele:
durchstromte Rohrverzweigung uberstromter Wehrrucken
Es interessiert wenig, wo sich eine betrachtete Masse m bzw. sein Volumen zu jedem Zeitpunkt befindet
und welche Form sie hat. Wichtiger zu wissen ist: Wie sind Geschwindigkeit und Druck an jedem Punkt
des Rohres? Wie ist die Druckverteilung auf dem Wehrrucken, welche Geschwindigkeiten herrschen an
jedem Punkt der Stromung?
53
Kapitel F. Erhaltungssatze der Stromungsmechanik
Wir werden zwangslaufig zu dem Konzept des Kontrollraums (einem sog. offenen System) gefuhrt. Ein
Kontrollraum ist ein beliebig abgegrenztes, raumfestes Volumen, das durchstromt wird, seine Oberflache
(Kontrollflache) ist also massendurchlassig. Raumfest heißt: Vorgegeben nach Gestalt und Große und
in der Regel unbeweglich im Raum. In manchen Anwendungen sind allerdings auch Kontrollraume
zweckmaßig, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.
Der Ubergang vom mitstromenden Fluidvolumen auf den raumfesten Kontrollraum entspricht dem Ubergang
von der Lagrangeschen auf die Eulersche Betrachtungsweise (Abschnitt D.1), wobei anstelle von einzelnen
die in einem Volumen enthaltenen Fluidteilchen in integraler Form untersucht werden.
In der Abbildung sind Lage und Form eines Fluidvolumens zu verschiedenen Zeitpunkten t0, t0 + ∆t, t1 und t2
dargestellt. Zum Zeitpunkt t0 sind die Kontrollraumgrenzen mit der Oberflache des Fluidvolumens identisch.
Um nach Euler die Stromungsvorgange zu den Zeiten t0, t1, t2 etc. im raumfesten Kontrollraum zu erhalten,
benotigt man den momentanen Durchfluss durch die Kontrollraumgrenzen; dazu werden kleine Massenverschie-
bungen wahrend der Zeitspanne ∆t betrachtet.
Wir wollen hier nun die drei Grundgesetze fur Erhaltung von Masse, Impuls und Energie umformulieren von
dem Fluidvolumen, das sich mit der Stromung mitbewegt, zum ortsfesten Kontrollraum.
54
F.3. Massenerhaltung (Kontinuitatsgleichung)
Ausstromen,
cos θ > 0
Einstromen,
cos θ < 0
Zur Zeit t seien Fluidvolumen und Kontrollraum identisch (gekennzeichnet als Bereich I, starke Umrandung);
zur Zeit t+ ∆t hat sich das Fluidvolumen verschoben (gestrichelte Umrandung), wahrend der Kontrollraum als
Bereich I erhalten bleibt. Mit Bereich II wird die linke und mit Bereich III die rechte Sichel bezeichnet.
F.3 Massenerhaltung (Kontinuitatsgleichung)
Fur den Zeitraum ∆t erhalt man als Zuwachs der Masse m im Fluidvolumen
mt+∆t −mt =
(∫I
ρ dV −∫II
ρdV +
∫III
ρdV
)t+∆t
−(∫
I
ρ dV
)t
Beide Seiten der Gleichung werden durch den Zeitschritt ∆t dividiert und die Glieder der rechten Seite umsortiert.
mt+∆t −mt
∆t=
(∫IρdV
)t+∆t
−(∫Iρ dV
)t
∆t−(∫IIρdV
)t+∆t
∆t+
(∫III
ρdV)t+∆t
∆t
Die gliedweise Durchfuhrung des Grenzuberganges ∆t→ 0 ergibt:
1. Glied:dm
dt=
d
dt
∫dm Zuwachsrate von m im Fluidvolumen
2. Glied:∂
∂t
∫KR
ρdV Zuwachsrate von m im Kontrollraum
3. Glied:
∫ρ~v d ~A =
∫ρv cos θ dA Eintritt von m durch die Kontrollraumflache (cos θ < 0)
4. Glied:
∫ρ~v d ~A =
∫ρv cos θ dA Austritt von m durch die Kontrollraumflache (cos θ > 0)
Das 3. und 4. Glied konnen in einem Ausdruck zusammengefasst werden, wobei das Vorzeichen von cos θ angibt,
ob es sich um Eintritt oder Austritt von Masse aus dem Kontrollvolumen handelt.
Damit erhalt man:d
dt
∫dm =
∂
∂t
∫KR
ρdV +
∫KF
ρ~v d ~A (F.4)
Laut dem Gesetz von der Erhaltung der Masse fur ein Fluidvolumen – Gleichung (F.1) – verschwindet die linke
Seite, und fur den Kontrollraum gilt:
∂
∂t
∫KR
ρdV = −∫KF
ρ~v d ~A (F.5)
55
Kapitel F. Erhaltungssatze der Stromungsmechanik
bzw.∂mKR
∂t= mein − maus (F.6)
Der Zuwachs von Masse in einem Kontrollraum ist gleich der Differenz zwischen ein- und austretendem
Massenstrom.
Im stationaren Fall ist offensichtlich
mein − maus = 0 (F.7)
Fur einen normal durchstromten Querschnitt A gilt (siehe Abschnitte E.1, E.2)
m = ρQ = ρv A
Sonderfalle der Kontinuitatsgleichung
F.3.1 Dichtebestandige Stromung
∂m
∂t= m1 − m2
Wenn die Stromung stationar ist, gilt∂m
∂t= 0. Das gilt aber auch bei instationarer Stromung, sofern sie
dichtebestandig (ρ = const.) ist; dann ist namlich∂m
∂t=
∂(ρV )
∂t= 0, da auch V konstant ist. Somit ist1
m1 = m2; Q1 = Q2; v1A1 = v2A2 (F.8)
F.3.2 Dichteveranderliche Stromung
Im stationaren Fall ist∂m
∂t= 0. Damit gilt wie bei der dichtebestandigen Stromung
m1 = m2, jedoch mit ρ1Q1 = ρ2Q2 und ρ1v1A1 = ρ2v2A2;
1 Benedetti Castelli (1577 - 1644), Sculer des Galilei, formulierte die Kontinuitatsgleichung wie folgt:”Durch Querschnitte
eines Flusses stromen gleiche Wassermengen in gleichen Zeiten, selbst wenn die Querschnittsflachen nicht gleich sind“, und weiter:
”Fließt die gleiche Wassermenge durch zwei ungleiche Querschnittsflachen, so sind die Querschnittsflachen umgekehrt proportional
den Geschwindigkeiten“. Im Grundsatz hatte allerdings Lonardo da Vinci diese Gedanken schon 100 Jahre vorher ausgesprochen.
56
F.4. Impulserhaltung (Impulssatz)
Im instationaren Fall folgt aus∂m
∂t= m1 − m2
V∂ρ
∂t= ρ1Q1 − ρ2Q2 = ρ1v1A1 − ρ2v2A2 ; (F.9)
ist also der Zufluss großer als der Ausfluss, so findet im Kontrollraum eine Dichteerhohung (und damit eine
Druckerhohung) statt.
F.3.3 Dichtebestandige Stromung mit freier Oberflache
Die Flussigkeit mit dem Volumen V fullt nur
einen Teil des gewahlten Kontrollraums aus.
Im stationaren Fall ist neben ρ auch V konstant, sodass mit∂m
∂t=
∂
∂t(ρV ) = 0 wieder (F.9) gilt:
m1 = m2; Q1 = Q2; v1A1 = v2A2
Im instationaren Fall andern sich mit steigendem oder fallendem Flussigkeitsspiegel die Masse und das Volumen
der Flussigkeit im Kontrollraum. Somit gilt
∂m
∂t= m1 − m2;
∂V
∂t= Q1 −Q2 = v1A1 − v2A2 . (F.10)
Ist der Zufluss großer (kleiner) als der Ausfluss, so steigt (fallt) der Wasserspiegel.
F.4 Impulserhaltung (Impulssatz)
Die Anderung des Impulses ~I im Zeitraum ∆t im Fluidvolumen ergibt sich zu
~It+∆t − ~It =
(∫I
~vρdV −∫II
~vρdV +
∫III
~vρdV
)t+∆t
−(∫
I
~vρdV
)t
Analog zur Vorgehensweise bei der Herleitung der Kontinuitatsgleichung im Kapitel F.3 wird die Gleichung
durch den Zeitschritt ∆t dividiert und der Grenzubergang ∆t→ 0 durchgefuhrt.
~It+∆t − ~It∆t
=
(∫I~vρdV
)t+∆t
−(∫I~vρdV
)t
∆t−(∫II~vρdV
)t+∆t
∆t+
(∫III
~vρdV)t+∆t
∆t
d
dt
∫~v dm =
∂
∂t
∫KR
~vρdV +
∫KF
~vρ(~v · d ~A
)Laut Gleichung (F.2) (Impulserhaltung fur ein Fluidvolumen) ist die linke Seite der Gleichung gleich
∑~F und
fur den Kontrollraum gilt daher
∂
∂t
∫KR
ρ~vdV =∑
~F −∫KF
ρ~v (~v · dA) (F.11)
57
Kapitel F. Erhaltungssatze der Stromungsmechanik
bzw.
∂~IKR∂t
=∑
~F + ~Iein − ~Iaus (F.12)
Der Zuwachs des Impulses im Kontrollraum ist gleich der Summe aller außeren Krafte (Massen- plus
Oberflachenkrafte) plus der Differenz zwischen ein- und austretendem Impulsstrom.
Im stationaren Fall gilt offensichtlich die Gleichgewichtsbedingung∑~F + ~Iein − ~Iaus = 0 (F.13)
Fur einen normal durchstromten Querschnitt A gilt siehe (Abschnitte E.1 und E.2)
I = β mv = βρQ2/A = βρAv2 = βρ vQ
Die folgenden Sonderfalle des Impulssatzes gelten nur fur dichtebestandige Stromungen (ρ = const.).
F.4.1 Stationare Stromung
Mit∂~IKR∂t
= 0 gilt
∑~F + ~I1 − ~I2 = 0
Als außere Krafte,∑
~F , sind vorhanden:
−→p1A1 Druckkraft auf die Schnittflache A1 (Oberflachenkraft)
−→p2A2 Druckkraft auf die Schnittflache A2 (Oberflachenkraft)
~G Gewicht des Fluids im Kontrollraum (Massenkraft)
~F Reaktionskraft von der Fluidumrandung
auf das Fluid (Oberflachenkraft)
Die Betrage der Impulsstrome (der Einfachheit halber wird I fur |~I| verwendet) sind
I1 = βρ v21A1 und I2 = βρ v2
2A2
In den Impulssatz geht die Differenz ~I1 − ~I2 ein, d.h. die zwischen den Querschnitten 1 und 2 stattfindende
Anderung des Impulsstroms ~I. Um diese Impulsanderung zu bewirken, muss eine außere Kraft, bildlich gespro-
chen eine Umlenkkraft, aufgebracht werden. Die Impulsanderung kann eine reine Richtungsanderung sein (wenn
z.B. A1 = A2), sie kann aber auch eine Anderung des Betrags des Impulsstroms beinhalten (wenn A1 6= A2).
Man beachte, dass die Druckkraft−→p1A1 und der Impulsstrom ~I1 auf derselben Wirkungslinie liegen und beide in
Richtung des Kontrollraums weisen. Dasselbe gilt fur die Druckkraft−→p2A2 und den umgekehrten Impulsstrom
−~I2 (der ausstromende Impuls geht negativ in den Impulssatz ein).
58
F.4. Impulserhaltung (Impulssatz)
Interpretiert man den Impulsstrom als eine Kraft (er hat die Maßeinheit [N]), so erhalt man die sogenannten
Stutzkrafte als Addition von Druckkraft und Impulsstrom (am Querschnitt 1), bzw. Druckkraft und umgekehrten
Impulsstrom (am Querschnitt 2).
~S1 = p1~A1 + ~I1
~S2 = p2~A2 − ~I2
S1 = p1A1 + βρ v21A1
S2 = p2A2 + βρ v22A2
Mit Hilfe der Stutzkrafte ist das Stromungsproblem rechnerisch auf ein rein statisches zuruckgefuhrt. Im gege-
benen Fall addieren sich vektoriell Reaktionskraft, Stutzkrafte und Gewichtskraft zu null.
~F + ~S1 + ~S2 + ~G = 0 (F.14)
F.4.2 Stromrohre, instationar
In der instationaren Stromung ist das Integral∂
∂t
∫KR
ρ~v dV , das den Zuwachs des Impulses im Kontrollraum
darstellt, auszuwerten, wozu die Kenntnis der Geschwindigkeitsverteilung im Innern des Kontrollraums notwen-
dig ist. Es wird hier deshalb ein einfacher Stromungsfall vorausgesetzt, namlich die Stromrohre:
Die Kontinuitatsgleichung (stationar und instationar) lautet
v(s)A(s) = v1A1 = v2A2 = Q
Das Volumenelement dV wird gewahlt zu dV = A(s) ds. Damit gilt
∂
∂t
∫KR
ρ~v dV =∂
∂t
2∫1
ρ v(s)A(s) d~s = ρ∂Q
∂t
2∫1
d~s = ρ~l∂Q
∂t
Das vektorielle Wegelement d~s ergibt uber die Achse der Stromrohre aufintegriert den Vektor ~l.
(Siehe vorhergehende Abbildung)
59
Kapitel F. Erhaltungssatze der Stromungsmechanik
Die Reaktionskraft ~F der instationaren Stromrohre errechnet sich somit aus Gl. (F.11) unter Berucksichtigung
der Gleichung (F.14) zu
~F = ρ~l∂Q
∂t−(~S1 + ~S2 + ρ ~g V
)(F.15)
F.5 Energieerhaltung (Energiesatz)
Mit e = gz + v2/2 + u erhalt man die Anderung der Energie im Zeitraum ∆t fur das Fluidvolumen, wobei e
die auf die Masse bezogene Energie ist [J/kg].
Et+∆t − Et =
(∫I
eρ dV −∫II
eρ dV +
∫III
eρ dV
)t+∆t
−(∫
I
eρ dV
)t
Nach Division durch den Zeitschritt ∆t und dem Grenzubergang ∆t→ 0 erhalt man:
Et+∆t − Et∆t
=
(∫Ieρ dV
)t+∆t
−(∫Ieρ dV
)t
∆t−(∫IIeρ dV
)t+∆t
∆t+
(∫III
eρ dV)t+∆t
∆t
d
dt
∫edm =
∂
∂t
∫KR
eρ dV +
∫KF
eρ(~v d ~A
)Laut Gleichung (F.3) (Energieerhaltung fur ein System) ist die linke Seite der Gleichung gleich Q + P , wobei
P naturlich auch die Leistung der Druckkrafte auf die bewegliche Oberflache des Fluidvolumens enthalt.
Beim Ubergang zum Kontrollraum mussen wir P aufspalten in eben diese Leistung der Druckkrafte und die
Leistung der verbleibenden außeren Krafte, d.h. P = PDr+P . Erinnern wir uns jetzt noch an PDr = −∫p~v d ~A
(s. Kapitel E), dann gilt fur den Kontrollraum
∂
∂t
∫KR
eρ dV = Q+ P −∫KF
(e+
p
ρ
)ρ~v d ~A
mit e = gz + v2/2 + u
(F.16)
bzw.∂EKR∂t
= Q+ P + Eein − Eaus (F.17)
Der Zuwachs an Energie im Kontrollraum ist gleich der Summe aus Warmezufuhr, Leistung der außeren
Krafte und der Differenz zwischen ein- und austretendem Energiestrom.
Im stationaren Fall ist offensichtlich:
Q+ P + Eein − Eaus = 0 (F.18)
P ist also die Zufuhr bzw. die Abgabe mechanischer
Leistung. Fur praktische Belange ist besonders die sog.
Wellenarbeit wichtig, d.h. technische Arbeit durch Pum-
pen und Turbinen. Pumpen fuhren dem Kontrollraum
Energie zu, Turbinen fuhren Energie an die Umgebung
ab.
60
F.5. Energieerhaltung (Energiesatz)
Fur einen normal durchstromten Querschnitt A gilt (siehe Abschnitte E.1 und E.2):
E =
(gz +
p
ρ+ α
v2
2+ u
)ρv A
Die folgenden Sonderfalle des Energiesatzes gelten nur fur dichtebestandige Fluide (ρ = const.).
F.5.1 Stromrohre, stationar
(ohne Warmeaustausch uber die Mantelflache)
Die Annahme der Stationaritat der Stromung beinhaltet, dass∂EKR∂t
= 0. Vernachlassigt man die Warmezufuhr
Q, die ohnehin nur in gewissen gasdynamischen Anwendungen einen Einfluss auf die Stromung (d.h. auf die
Drucke und Geschwindigkeiten) hat, so erhalt man
E1 + P = E2(gz1 +
p1
ρ+ α
v21
2+ u1
)ρ v1A1 + P =
(gz2 +
p2
ρ+ α
v22
2+ u2
)ρ v2A2
Unter Beachtung der Kontinuitatsgleichung ρ v1A1 = ρ v2A2 = m folgt
gz1 +p1
ρ+ α
v21
2+P
m− (u2 − u1) = gz2 +
p2
ρ+ α
v22
2(F.19)
61
Kapitel F. Erhaltungssatze der Stromungsmechanik
Jeder Term der Gleichung hat die Dimension einer Leistung bezogen auf den Massenstrom und damit die
Maßeinheit [W/(kg/s) = (Nm/s)/(kg/s) = m2/s2]. Im einzelnen haben die Terme folgende Bedeutung:
gz1 +p1
ρ+ α
v21
2: Strom mechanischer Energie durch den Querschnitt 1, bezogen auf den Mas-
senstrom m
P
m: Wellenarbeit bezogen auf den Massenstrom
u2 − u1 : bedeutet einen Zuwachs thermischer Energie auf Kosten mechanischer Energie,
d.h. durch Fluidreibung wird mechanische Energie in Warmeenergie umgewan-
delt.
Diese Energie ist fur mechanische Arbeit verloren, deswegen die Bezeichnungen
Stromungsverlust, Reibungsverlust, Dissipation (s. Kapitel G).
u2 − u1 = 0 ideale (d.h. reibungsfreie) Stromung
u2 − u1 > 0 reibungsbehaftete Stromung
u2 − u1 < 0 ist nur moglich, wenn vom Kontrollraum
Warme nach außen abgefuhrt wird.
Dividiert man Gleichung (F.19) durch g, so erhalt man die erweiterte Bernoulli-Gleichung (F.20). Darin haben
alle Terme die Dimension einer Lange.
z1 +p1
ρg+ α
v21
2g+
P
gm= z2 +
p2
ρg+ α
v22
2g+ hv (F.20)
hv =u2 − u1
gist die Verlusthohe, d.h. der reibungsbedingte Stromungsverlust ausgedruckt in einer Lange.
Inhalt des Kapitels G ist die Berechnung der Verlusthohe aus Geschwindigkeit, Fluideigenschaften und Rau-
heit der Stromungsbegrenzungen. Die wichtige Anwendung von Gleichung F.20 auf Rohrstromungen erfolgt im
Kapitel H.
F.5.2 Stromrohre, instationar
Zusatzlich zu den Termen, die bei der stationaren Stromung auftreten, muss hier der zeitliche Zuwachs der
Energie im Kontrollraum berucksichtigt werden, also
∂EKR∂t
=∂
∂t
∫KR
(gz +
v2
2+ u
)ρdV
darin ist das Volumenelement dV = A ds eine Scheibe senkrecht zur Stromrohre. Die Werte z und u werden
als zeitlich konstant betrachtet, sodass sie bei der zeitlichen Ableitung herausfallen.
∂EKR∂t
=∂
∂t
2∫1
αv2
2ρAds
= αρ
2∫1
∂
∂t
v2
2A ds
= αρ
2∫1
v∂v
∂tAds
62
F.5. Energieerhaltung (Energiesatz)
Mit der Kontinuitatsgleichung m = ρ vA = ρ v1A1 = ρ v2A2 ist m zwar von t, nicht aber von s abhangig und
es folgt
∂EKR∂t
= α m
2∫1
∂v
∂tds
Dividiert man durch m, so kann dieser Term additiv auf der rechten Seite von Gleichung (F.19) erganzt werden.
gz1 +p1
ρ+ α
v21
2+P
m− ghv = gz2 +
p2
ρ+ α
v22
2+ α
2∫1
∂v
∂tds (F.21)
Eine alternative Form fur das Integral ergibt sich mit vA = v1A1 = v2A2:
α
2∫1
∂v
∂tds = α
∂v1
∂t
2∫1
A1
Ads = α
∂v2
∂t
2∫1
A2
Ads
Die neu entstandenen Integrale sind nur geometrieabhangig und stellen somit Konstanten dar.
F.5.3 Bernoulli-Gleichung
Aus dem auf der Vorseite abgeleiteten Energiesatz fur die Stromrohre lasst sich die klassische Form der
Bernoulli1-Gleichung durch folgende Vereinfachungen erhalten.
Die Stromrohre wird zum Stromfaden mit konstanter Geschwindigkeit uber den Querschnitt. Somit gilt α = 1.
Ideale Stromung wird vorausgesetzt, hv = 0. Wellenarbeit P wird nicht berucksichtigt, P = 0.
gz1 +p1
ρ+v2
1
2= gz2 +
p2
ρ+v2
2
2+
2∫1
∂v
∂tds (F.22)
z1 +p1
ρ g+v2
1
2g= z2 +
p2
ρ g+v2
2
2g+
1
g
2∫1
∂v
∂tds (F.23)
1 Johann Bernoulli (1667 - 1748) und sein Sohn Daniel Bernoulli (1700 - 1782)
waren Angehorige der beruhmten Schweizer
Bernoulli-Familie von Physikern und Mathe-
matikern. In ihren Buchern “Hydraulica“ (Johann)
und “Hydrodynamica“ (Daniel) begundeten Vater und
Sohn in hartem Wettbewerb die Stromungsmechanik
und erklarten dabei insbesondere die Wechselwirkung
zwischen Druck und Geschwindigkeit in stati-
onaren und instationaren Stromungen (Bernoulli-
Gleichung).
Bilder aus der “Hydraulica“ zur Herleitung der
Bernoulli-Gleichung und des Drucks eines
Wasserstrahls auf eine Platte.
63
Kapitel F. Erhaltungssatze der Stromungsmechanik
Bei stationarer Stromung fallt selbstverstandlich das Glied mit dem Integral weg. Es verbleibt dann die Aussage,
dass bei stationarer, idealer Stromung der Energiestrom langs des Stromfadens konstant ist.
gz +p
ρ+v2
2= const. (F.24)
z +p
ρ g+v2
2g= const. (F.25)
Anschaulich lasst sich diese Aussage darstellen, wenn man in Gleichung (F.25) folgende Bezeichnungen einfuhrt:
z = geodatische Hohe,p
ρ g= Druckhohe,
v2
2g= Geschwindigkeitshohe.
Dann folgt:
In idealer Stromung ist langs eines Stromfadens die
Summe aus geodatischer, Druck- und Geschwindig-
keitshohe konstant.
Die Beobachtung lehrt jedoch, dass bei realer Stromung der Energiestrom durch Reibung in Stromungsrichtung
abnimmt, was in Gleichung Gl. (F.20) durch die Verlusthohe hv berucksichtigt ist.
Die Bernoulli-Gleichung gilt selbstverstandlich auch fur eine sich langs des Stromfadens andernde Quer-
schnittsflache. Da letztere in der Gleichung aber nicht explizit erscheint, ist sie ohne Anderungen auch auf eine
Stromlinie anwendbar.
F.5.4 Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung
a) Hydrostatik
Die lineare Druckzunahme mit der Wassertiefe in einer stehenden Flussigkeit folgt unmittelbar aus Glei-
chung (F.23)
mit v1 = v2 = 0 und p1 = 0
z1 = z2 +p2
ρg; p2 = ρgh
64
F.5. Energieerhaltung (Energiesatz)
b) Staudruck
Bei der Umstromung eines Korpers tritt an der Vorderseite immer eine Verzweigung einer Stromlinie auf.
Im betreffenden Punkt, dem Staupunkt S, ist die Geschwindigkeit null (sonst wurde ein Geschwindig-
keitssprung vorhanden sein, zu dem eine unendliche Beschleunigung notig ware).
Weit vor dem Korper seien p1 und v1 gegeben. Mit z1 = z2 und v2 = 0 ergibt sich
p1
ρg+v2
1
2g=
p2
ρg
p2 − p1 = ρv2
1
2(F.26)
Im Staupunkt tritt also gegenuber dem Druck in der vom Korper unbeeinflussten Stromung eine Druckerhohung
von p2 auf, dem sog. Staudruck. Bewegt man sich vom Staupunkt langs der Korperkontur weiter, so lehrt
die Bernoulli-Gleichung, dass der Druck wegen zunehmender Geschwindigkeit wieder abnehmen muss.
c) Ausfluss aus Gefaßen
Durch eine kleine Offnung fließe im Punkt 2 Flussigkeit aus einem
Gefaß, dessen Oberflache so groß sei, dass deren Sinkgeschwindigkeit
vernachlassigbar ist.
Dann gilt, da p1 = p2 = 0
z1 = z2 +v2
2
2g; v2 =
√2gh . (F.27)
Diese auf Torricelli1 zuruckgehende Gleichung besagt, dass die Ausflussgeschwindigkeit gleich der Fall-
geschwindigkeit eines aus der Hohe h fallenden Korpers ist.
d) Druck- und Geschwindigkeitsanderungen
Ganz allgemein lehrt die Bernoulli-Gleichung, dass langs einer Stromlinie (Stromfaden, Stromrohre)
eine Geschwindigkeitsabnahme mit einer Druckzunahme und eine Geschwindigkeitszunahme mit einer
Druckabnahme verbunden ist. Diesen dynamischen Druckanderungen ist die Wirkung des hydrostatischen
Drucks uberlagert, sofern langs der Stromlinie Hohenunterschiede vorhanden sind.
1 Evangelista Torricelli (1608 - 1647, Italien) formulierte:
”Flussigkeiten, die aus einer Offnung heftig ausstromen, haben die gleiche Geschwindigkeit, die
ein schwerer Korper oder ein Tropfen der Flussigkeit haben wurde, wenn sie aus der Hohe der
Oberflache bis zur Hohe der Offnung fallen wurden“.
Bereits mehr als 100 Jahre fruher hatte Leonardo da Vinci das nebenstehende Bild mit den
Trajektorien gezeichnet, die beim Austritt eines Strahls in Abhangigkeit des Abstandes von der
Oberflache entstehen.
65
Kapitel F. Erhaltungssatze der Stromungsmechanik
F.6 Zusammenhang zwischen Impulssatz und Bernoulli-Gleichung
In Abschnitt F.4 wurde der Impulssatz hergeleitet, indem das zweite Newtonsche Gesetz auf ein bewegliches
Fluidvolumen angewendet und eine Umformulierung fur einen ortsfesten Kontrollraum vorgenommen wurde.
Der Impulssatz ist damit eine vektorielle Beziehung zwischen allen am Kontrollraum angreifenden Kraften und
den ein- und austretenden Impulsstromen.
Die klassische Bernoulli-Gleichung (F.25) ergab sich in Abschnitt F.5.3 als ein Sonderfall des allgemeinen
Energieerhaltungssatzes. Letzterer ist in Gl. (F.16) unter Berucksichtigung sowohl der mechanischen (poten-
tiellen und kinetischen) als auch der inneren (thermischen) Energie sowie der durch Pumpen und Turbinen
zugefuhrten bzw. entnommenen Energie formuliert worden. Dies ist sinnvoll, weil sich so Reibung als Zuwachs
innerer Energie auf Kosten mechanischer Energie darstellen lasst und weil sich Pumpen und Turbinen logisch
in die Energiebilanz einfugen.
Unter Vernachlassigung von Warmezufuhr, Reibung, Pumpen und Turbinen reduziert sich der Energieerhal-
tungssatz zu der Aussage, dass die mechanische Energie erhalten bleibt. In Anwendung auf eine Stromrohre
bedeutet dies, dass der Energiestrom langs der Stromrohre konstant ist,
ρQ
(gz +
p
ρ+v2
2
)= const.
Mit Q = const. (Kontinuitatsgleichung) und ρ = const. (Inkompressibilitat) entsteht die klassische Bernoulli-
Gleichung.
z +p
ρg+v2
2g= const.
Da in dieser nur die mechanische Energie und der reibungsfreie Fall betrachtet wird, ist es alternativ auch
moglich, sie aus dem Impulssatz oder direkt aus dem zweiten Newtonschen Gesetz herzuleiten. In den meisten
Lehrbuchern wird so vorgegangen, und deshalb soll diese Ableitung nachfolgend wiedergegeben werden.
Man betrachte ein Element ds eines gekrummten Stromfadens mit veranderlicher Querschnittsflache A und
wende auf dieses das zweite Newtonsche Gesetz an. (Die Anwendung des Impulssatzes fuhrt zu demselben
Ergebnis, ist aber etwas umstandlicher.) Die Summe aller am Fluidvolumen in s-Richtung angreifenden Krafte
ist gleich dem Produkt aus Masse und substantieller Beschleunigung.
pA+ p dA− (p+ dp)(A+ dA)− ρgAds sinα = ρAdsdv
dt
66
F.6. Zusammenhang zwischen Impulssatz und Bernoulli-Gleichung
Der zweite Term p dA stellt die Druckkraftkomponente dar, die von der Wand auf das Fluidvolumen in s-
Richtung wirkt.
Die substantielle Beschleunigungdv
dt=
∂v
∂t+v
∂v
∂s(Gl. (D.6)) vereinfacht sich zu v
∂v
∂s, da hier nur die stationare
Stromung betrachtet wird,∂v
∂t= 0. Das bedeutet aber auch, dass s als einzige unabhangige Variable verbleibt,
sodass v∂v
∂sals v
dv
dsgeschrieben wird.
sinα wird ersetzt durchdz
ds.
Beim Ausmultiplizieren wird der Term mit dem Produkt dpdA als Term hoherer Ordnung vernachlassigt. Damit
entsteht folgende Gleichung
ρg dz + dp+ ρv dv = 0
ρg dz + dp+ ρd
(v2
2
)= 0
Fur inkompressible Stromung gilt demnach
d
(ρgz + p+ ρ
v2
2
)= 0
ρgz + p+ ρv2
2= const.
z +p
ρg+v2
2g= const.
Dies ist die klassische Bernoulli-Gleichung fur die stationare, inkompressible, reibungsfreie Stromung. Sie
besagt, dass die Summe aus geodatischer Hohe, Druckhohe und Geschwindigkeitshohe langs des Stromfadens
konstant ist.
67
Kapitel F. Erhaltungssatze der Stromungsmechanik
68
Kapitel G
Stromungswiderstand
69
Kapitel G. Stromungswiderstand
Jedes wirkliche (reale) Fluid weist auf Grund seiner Zahigkeit (Viskositat) einen Verformungswiderstand (in-
nere Reibung) auf und unterscheidet sich dadurch von dem als reibungsfrei angenommenen idealen Fluid. Die
Zahigkeit bewirkt, wiederum im Gegensatz zum idealen Fluid, eine Haftung des realen Fluids an festen Wanden.
ideales Fluid reales, d.h. zahes Fluid
Nun werden sich Luft und Wasser nicht wie Teer oder Honig verhalten, d.h. ihre sehr geringe Zahigkeit lasst
den Einfluss infolge Haftung an der Wand rasch abklingen, sodass außerhalb einer Grenzschicht die Zahigkeit
des Fluids nicht mehr in Erscheinung tritt; das Fluid verhalt sich dort wie ein ideales.
Verfolgt man nun die Grenzschicht langs einer Wandung, so ist eine Zunahme der Grenzschichtdicke in Fließ-
richtung zu verzeichnen. Dies fuhrt z.B. bei genugend langen Rohren dazu, dass sich die Grenzschicht uber den
gesamten Fließquerschnitt erstreckt.
Wir werden uns in den Abschnitten G.1 bis G.6 ausschließlich dem Reibungswiderstand in langen Rohren bzw.
Gerinnen widmen. Erst in den Abschnitten G.7 und G.8 werden wir auf weitere Grenzschichtphanomene, wie
Ablosungserscheinungen und dem daraus resultierenden Formwiderstand eingehen.
G.1 Schubspannungen infolge Viskositat (Zahigkeit)
und Scheinviskositat
Im Gegensatz zur trockenen Reibung fester Korper ist die innere Reibung zwischen zwei Fluidelementen vom
dort herrschenden Druck unabhangig und hangt stattdessen von den Geschwindigkeitsunterschieden benachbar-
ter Fluidteilchen ab (praziser ausgedruckt: vom Geschwindigkeitsgradienten senkrecht zur Fließrichtung).
In obiger Abbildung befinde sich eine dunne Fluidschicht zwischen zwei Platten, von denen die obere mit der
Geschwindigkeit v bewegt wird und die untere fest ist. Aufgrund der Haftbedingung wird das Fluid an der
oberen Platte ebenfalls die Geschwindigkeit v aufweisen, wahrend an der unteren Platte die Geschwindigkeit
Null sein muss. Die Zahigkeit des Fluids bewirkt, dass der Formanderung (Scherung) der Fluidschicht ein Wi-
derstand entgegengesetzt wird, d.h. an der Platte treten Wandschubspannungen τ0 auf (τ0 wirkt auf das Fluid).
Ebenso werden im Inneren des Fluids Schubspannungen τ ubertragen. Fur Wasser und Luft und viele industriell
wichtige Fluide besteht eine lineare Beziehung zwischen Schubspannung und Geschwindigkeitsgradienten, deren
70
G.1. Schubspannungen infolge Viskositat (Zahigkeit) und Scheinviskositat
Proportionalitatsfaktor η die dynamische Zahigkeit genannt wird.
τ = ηdv
dnNewtonsches1 Zahigkeitsgesetz (G.1)
Neben der dynamischen Zahigkeit η [kg/(m s)] wird noch die kinematische Zahigkeit ν = η/ρ [m2/s] als Stoff-
große verwendet. Fluide, die dieser Beziehung genugen, werden als”Newtonsches Fluid“ bezeichnet (nach
Newton, der diese Beziehung dem Sinne nach bereits formulierte).
Das Konzept des”Newtonschen Fluids“ ist offensichtlich analog zu dem des “Hookeschen Korpers“ der
Festkorpermechanik. Jedoch sind beim ersten die Schubspannungen proportional den Verformungs-
geschwindigkeiten, beim zweiten porportional den Verformungen.
Die Zahigkeit wird von der Molekularbewegung beeinflusst, die bei Flussigkeiten und Gasen verschiedenartig
verlauft. Die Flussigkeit weist im Gegensatz zu festen Korpern eine aufgelockerte Gitterstruktur auf, die ein
gegenseitiges Vorbeigleiten (Fließen) der Molekule, wenn auch nicht ohne Widerstand, zulasst. Da sich die
Gitterstruktur bei Temperaturerhohungen zunehmend auflockert, wird dem Fließvorgang entsprechend weniger
Widerstand entgegengesetzt – die Zahigkeit nimmt also dementsprechend ab.
Bei Gasen erhoht sich dagegen die Zahigkeit (Viskositat), wenn die Temperatur zunimmt. Sie wird hervorgerufen
durch eine mittlere Schwankungsbewegung der Gasmolekule, die eine”freie Weglange“ l und eine Geschwin-
digkeit c aufweist. Diese Bewegung fuhrt zu einem lateralen Impulsaustausch mit gegenseitiger Beschleunigung
und Verzogerung der Gasschichten.
Betrachtet man zwei Gasschichten (1) und (2) der Starke l, so weisen diese die mittleren Geschwindigkeiten
v1 und v2 = v1 + ldv
dnauf. Wir wollen nun die Schubspannung zwischen den Schichten berechnen und fuhren
zwei Kontrollraume KR1 und KR2 ein, die sich jeweils mit der Schichtengeschwindigkeit mitbewegen. Im Mittel
erzeugt die Schwankungsbewegung einen Massenstrom m = ρc
3A 2 durch die Kontrollraumflache A.
1Isaac Newton (1642-1727) widmete den zweiten Band seiner”Principia Mathematical Philosophiae Naturalis“ den
Flussigkeiten und Gasen. Der ursprungliche Anlass seiner Beschaftigung mit dem Stromungswiderstand war die Widerlegung der
Anhanger von Descartes, die davon ausgingen, dass der gesamte Raum mit Materie gefullt sei. Dies widersprach Newtons Vor-
stellung von der Planetenbewegung, die nur in einem leeren Raum moglich war. Er fuhrte zahlreiche Experimente mit Pendeln
und Fallgewichten in Luft, Wasser und Quecksilber durch. Dass sich auch ein Genie irren kann, belegte er mit seiner falschen
theoretischen Begrundung des von Torricelli angegebenen Ausflussgesetzes (s. Abschn. F.5.4c). Die richtige lieferte erst Johann
Bernoulli.2 Mit dem Faktor 1/3 wird berucksichtigt, dass aufgrund wechselnder Bewegungsrichtungen (dreidimensionale Bewegung der
Molekule) nur ein Teil der Bewegung einen Massenstrom durch die Flache A bewirkt.
71
Kapitel G. Stromungswiderstand
Bezuglich der mitbewegten Kontrollraume weisen die aus der Nachbarschicht eindringenden Molekule die Rela-
tivgeschwindigkeit ldv
dnauf, sodass der Massenstrom m zugleich einen Impulsstrom
I = |~I| = ρc
3Al
dv
dn(bzw. ~I1 = −~I2)
bewirkt. Der einstromende Impulsstrom entspricht einer Schubkraft τA an der Flache A, sodass nach Division
durch A folgt
τ = ρc
3l
dv
dn= η
dv
dn
Die Zahigkeit von Flussigkeiten und Gasen ist eine (temperaturabhangige) Fluideigenschaft, die sich aus den
stoffspezifischen Molekularbewegungen ableiten lasst. Nun konnen in den stromenden Fluiden ungeordnete
Schwankungsbewegungen auftreten, die uber den molekularen Bereich hinausgehen. Es handelt sich hierbei
um sogenannte turbulente Bewegungen mehr oder weniger großer Fluidballen. Verlauft die Bewegung dagegen
in geordneten Bahnen (von molekularen Schwankungen abgesehen), so spricht man von laminarer Stromung
oder Schichtenstromung. Entscheidungskriterien uber das Auftreten von laminaren und turbulenten Fließfor-
men werden in Abschnitt G.3 genannt – wir interessieren uns hier fur die Auswirkung der Turbulenz auf die
Schubspannung und benutzen dazu nach einem Gedanken von Prandtl wieder das Modell der molekula-
ren Schwankungsbewegung. Dazu wird c/3 durch die mittlere Schwankungsgeschwindigkeit c′ und l durch den
Prandtlschen Mischungsweg l′ ersetzt und wir erhalten fur die Schubspannung infolge Turbulenz
τ ′ = ρ c′l′dv
dn= η′
dv
dn(G.2)
Die Große η′ stellt nun keine Stoffgroße mehr dar, denn c′ und l′ hangen von den Fließbedingungen ab und sind
im allgemeinen ortlich verschieden. Im Gegensatz zur Fluideigenschaft η stellt η′ scheinbar eine Viskositat dar.
Man spricht deshalb von scheinbarer Zahigkeit der turbulenten Stromung. Die unmittelbare Wirkung beider
Phanomene außert sich im Auftreten von Schubspannungen, die einem Reibungswiderstand entsprechen, wobei
i.a. die turbulente (scheinbare) Reibung wesentlich großer als die laminare ist:
τ ′ τ
Die Großen c′ und l′ sind einer theoretischen Berechnung noch nicht vollstandig zuganglich, da die gesetzmaßige
Verursachung der Turbulenz noch ungeklart ist.
Mit einer Kombination aus theoretischen Uberlegungen und Experimenten ist jedoch eine rechnerische Erfassung
bei Rohr- und Gerinnestromungen fur praktische Zwecke hinreichend gelungen. Die experimentelle Forschung
kann hier nur im Ergebnis wiedergegeben werden; weitere Einzelheiten dazu findet man in der Fachliteratur.
72
G.2. Beziehung zwischen Wandschubspannung und Verlust an Stroungsenergie
G.2 Beziehung zwischen Wandschubspannung
und Verlust an Stroungsenergie
Betrachtet man die Wasserspiegel in zwei Standrohren, die einem durchstromten Rohr aufgesetzt sind, so zeigt
es sich, dass der Wasserstand im Standrohr (2) niedriger als im Standrohr (1) ist. Offensichtlich nimmt also
der Druck in Fließrichtung ab.
Beschranken wir uns momentan auf ein horizontales Rohr, so ist leicht einzusehen, dass auf die Fluidsaule
zwischen den Querschnitten (1) und (2) eine resultierende Druckkraft in Fließrichtung wirkt. Es muss also auf
die Fluidsaule eine durch die Wandschubspannung verursachte Widerstandskraft wirken, die mit der Druckkraft
im Gleichgewicht steht.
Andererseits stellt die Abnahme des Druckes in Fließrichtung eine Verringerung der Stromungsenergie(p
ρg+ z + α
v2
2g
)in Fließrichtung dar, da ja z und v konstant sind.
Wir wollen deshalb als erstes eine Beziehung zwischen der Wandschubspannung und dem Energieverlust herlei-
ten, und erst spater sehen, wie man diese beiden Großen fur eine vorgegebene Durchflussmenge bestimmt.
G.2.1 Rohrleitung
Wandschubspannungen τ0 wirken
auf das stromende Fluid
Wir betrachten ein Rohrstuck der Laange l, dem konstanten Querschnitt A bzw. Umfang U und der Rohrach-
senneigung θ.
73
Kapitel G. Stromungswiderstand
Wegen A = const. und ρ = const. ist die Geschwindigkeit v = const., sodass Iein = Iaus ist. Der Impulssatz
Gl. (F.13) geht somit in eine Gleichgewichtsbedingung der in Richtung der Rohrachse wirkenden Krafte uber:∑F = p1A− p2A︸ ︷︷ ︸
Druck-
− τ0 Ul︸ ︷︷ ︸Schub-
+ ρg Al sin θ︸ ︷︷ ︸Gewichtskraft
= 0
Der Sinus des Neigungswinkels θ lasst sich durch die geodatische Hohe z ausdrucken
sin θ = (z1 − z2)/l .
Damit folgt
(p1 − p2)A− τ0 Ul + ρg A (z1 − z2) = 0
(p1
ρg+ z1
)−(p2
ρg+ z2
)=
Ul
ρg Aτ0 (G.3)
Andererseits liefert die erweiterte Bernoulli-Gleichung Gl. (F.19) die folgende Beziehung, wobei Wellenarbeit
P Null gesetzt ist.
gz1 +p1
ρ+ α
v21
2= gz2 +
p2
ρ+ α
v22
2+ ghv
Wegen v1 = v2 reduziert sich die Gleichung zu(p1
ρg+ z1
)−(p2
ρg+ z2
)= hv (G.4)
Man beachte, dass die Wandschubspannung τ0 keine Arbeit leistet, und somit nicht in die Energiebilanz eingeht
(v = 0 an der Wand).
Die Große hv wird als Verlusthohe definiert und stellt den Verlust an Stromungsenergie in der Dimension einer
Lange dar.
Durch Vergleich von Gl. (G.3) und Gl. (G.4) folgt die Beziehung zwischen Verlusthohe hv und Wandschubspan-
nung τ0:
hv =Ul
ρg Aτ0 bzw. τ0 =
ρg A
Ulhv (G.5)
Beim Kreisquerschnitt mit dem Durchmesser D ist der Quotient aus Querschnittsflache A
und Umfang UA
U=
π (D/2)2
π D=
D
4; D =
4A
U
Man definiert nun fur beliebige Querschnitte den
hydraulischen Durchmesser Dh =4A
U,
der beim Kreisquerschnitt gerade mit dem Kreisdurchmesser D identisch ist.
Unter Verwendung des hydraulischen Durchmessers kann Gl. (G.5) umgeschrieben werden:
hv =4
ρg
l
Dhτ0 bzw. τ0 =
1
4ρg
Dh
lhv (G.6)
mit Dh =4A
U
A =
U =
durchstromter Querschnitt
benetzter Umfang
74
G.2. Beziehung zwischen Wandschubspannung und Verlust an Stroungsenergie
G.2.2 Offenes Gerinne
Die Gleichung Gl. (G.5) bzw. Gl. (G.6) gilt auch fur Freispiegelgerinne. Wir werden die Ableitung fur das
Gerinne jedoch wiederholen, um dabei auf einige Besonderheiten dieser Stromung einzugehen.
Fur das dargestellte Gerinnestuck der Lange l und dem Neigungswinkel θ sei eine gleichformige Bewegung
und konstanter Fließquerschnitt A vorausgesetzt. Wassertiefe h und Geschwindigkeit v sind ebenfalls konstant.
Wie bei der Rohrleitung heben sich auch hier Iein und Iaus in der Impulsgleichung Gl. (F.13) gegenseitig
auf. Außerdem sind noch die Druckkrafte ρg hSA an den Stellen (1) und (2) gleich. Damit ist allein die
Gewichtskomponente mit der Schubkraft im Gleichgewicht:
ρg Al sin θ = τ0 Ul
Es ist sin θ =z1 − z2
l︸ ︷︷ ︸ISo
=(z1 + h)− (z2 + h)
l︸ ︷︷ ︸IW
,
wobei mit ISo das Sohlgefalle und mit IW das Wasserspiegelgefalle bezeichnet wird. (Bei gleichformigem Abfluss
(Normalabfluss) ist ISo = IW ).
Ersetzt man sin θ durch den Ausdruck fur ISo, so folgt:
z1 − z2 =U l
ρg Aτ0 =
4
ρg
l
Dhτ0 (G.7)
Dieser Gleichgewichtsbeziehung wird nun wie zuvor bei der Rohrstromung eine Energiebilanz gegenubergestellt.
Dazu schreiben wir den Energiesatz (F.19) in eine dem Gerinne angepasste Form um.
Im Gerinne wird eine hydrostatische Druckverteilung angenommen, so-
dass fur jeden Punkt des Querschnitts die Große
p
ρg+ z konstant ist.
Bezieht man z auf die Gerinnesohle, so ist
p
ρg= h (Wassertiefe).
Der Energiesatz lautet nun
g (z1 + h1) + αv2
1
2= g (z2 + h2) + α
v22
2+ ghv
75
Kapitel G. Stromungswiderstand
oder umgeformt:
(z1 + h1 + αv2
1
2g)− (z2 + h2 + α
v22
2g) = hv (G.8)
Bei vorausgesetzter gleichformiger Stromung und konstantem Fließquerschnitt A ist h1 = h2 und v1 = v2,
Damit ergibt der Vergleich von Gl. (G.7) und (G.8) in Ubereinstimmung mit Gl. (G.5):
hv =Ul
ρg Aτ0
Die Beziehungen (G.5) bzw. (G.6) sind also fur Rohr- und Gerinnestromungen gultig und gestatten, den infolge
Wandreibung auftretenden Verlust an Stromungsenergie durch die Wandschubspannung auszudrucken.
Uber die Ursache der Wandschubspannung und ihre Berechnung aus der Fließgeschwindigkeit ist damit noch
nichts ausgesagt – dies soll nun Inhalt der folgenden Abschnitte sein.
G.3 Fließarten
Nach einem Versuch von Reynolds1 lassen sich in einer Rohrstromung zwei grundlegend verschiedene Stromungsformen
nachweisen:
laminare Stromung turbulente Stromung
Mengt man einer Rohrstromung uber ein Rohrchen einen Farbstoff bei, so kann unter gewissen Versuchsbe-
dingungen erreicht werden, dass dieser als geradliniger Strahl von der Stromung mitgefuhrt wird. Dies lasst
erkennen, dass sich die Flussigkeitsteilchen auf wohlgeordneten Bahnen bewegen. Eine derartige Stromung
wird laminar genannt. Andert man die Versuchsbedingungen, z.B. durch Erhohung der Fließgeschwindigkeit,
so bemerkt man, dass der Farbstrahl unruhig wird und an wechselnden Stellen zerflattert. Bei zunehmender
Geschwindigkeit verschwindet er schließlich, d.h. der Farbstoff hat sich mit dem Wasser vollig vermischt.
Beim Ubergang in die neue Stromungsform treten offensichtlich Schwankungen, d.h. Quer- und Langsbewegungen
auf, die Bewegung der Fluidteilchen verlauft wirbelig. Die Entstehung dieser turbulenten Stromung kann durch
Anfangsstorungen am Rohreinlauf oder durch Erschutterungen beschleunigt werden.
1 Osborne Reynolds(1842 - 1912), britischer Ingenieur und Physiker, war einer der großen Experimentatoren in der
Stromungsmechanik (und anderen Gebieten). Er demonstrierte die Kavitation, arbeitete mit hydraulischen Tidemodellen und
studierte den Ubergang von laminarer zu turbulenter Stromung. Die Reynolds-Zahl wurde von ihm als maßgebliche Kennzahl
der Stromung entwickelt. Ebenfalls schuf er das Konzept, die turbulente Stromung als eine Uberlagerung einer Grundstromung
mit turbulenten Schwankungen aufzufassen, wodurch es ihm gelang, die Grundgleichungen der zahigkeitsbehafteten Stromung
(Navier-Stokes-Gleichungen) auch auf die turbulente Stromung anzuwenden.
76
G.3. Fließarten
Nach einem Vorschlag von Reynolds (1895) wird die turbulente Stromung in eine Grundbewegung und eine
unregelmaßige Schwankungsbewegung (Mischbewegung) aufgeteilt:
~v∗ = ~v + ~v′
Hierbei ist ~v der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit ~v∗ der Fluidteilchen und ~v′ die Schwankungsgeschwin-
digkeit. Fur die ubrigen Stromungsgroßen gelten entsprechende Beziehungen:
Druck p∗ = p+ p′
Dichte ρ∗ = ρ+ ρ′
Temperatur T ∗ = T + T ′
etc.
Die unregelmaßig schwankenden Großen ~v′, p′ etc. sind einer direkten Berechnung kaum zuganglich und konnen
allenfalls mit statistischen Methoden erfasst werden. Man wird daher in der Regel versuchen, Beziehungen fur
den zeitlichen Mittelwert ~v, p etc. anzugeben.
Der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit ~v ist
1
∆t
t0+∆t∫t0
~v∗ dt =1
∆t
t0+∆t∫t0
~v dt+1
∆t
t0+∆t∫t0
~v′ dt = ~v +1
∆t
t0+∆t∫t0
~v′ dt
Erfahrungsgemaß verschwindet die Schwankungsbewegung einer turbulenten Stromung wahrend eines hinrei-
chend großen Zeitintervalls im Mittel. Dies ist eigentlich nicht selbstverstandlich und stellt eine Charakterisie-
rung der Turbulenz dar.
Man definiert daher:
t0+∆t∫t0
~v′ dt = 0
Daraus folgt:
1
∆t
t0+∆t∫t0
~v∗ dt = ~v
Wir werden im folgenden nur die zeitlichen Mittelwerte betrachten und daruberhinaus bei Rohr- und Gerinne-
stromungen die Geschwindigkeit uber den Querschnitt mitteln:
vm =1
A
∫v dA
(vergl. Abschnitt 5.2)
(im folgenden wird der Index m weggelassen, wenn
sich aus dem Zusammenhang ergibt, dass die quer-
schnittsgemittelte Geschwindigkeit gemeint ist).
Geschwindigkeitsprofil
bei (1) laminarer und
(2) turbulenter Stromung
77
Kapitel G. Stromungswiderstand
Die Fließform wirkt sich auf die Ausbildung des Geschwindigkeitsprofils aus (siehe obige Abb.), wobei sich im
turbulenten Fall aufgrund des lateralen Impulsaustausches eine relativ gleichmaßige Verteilung einstellt:
vm = 0, 5 vmax bei laminarer Stromung
vm ' 0, 8 vmax bei turbulenter Stromung
In Abschnitt G.1 wurde bereits darauf hingewiesen, dass turbulente Querbewegungen einen erheblichen Im-
pulsaustausch quer zur Hauptstromung bewirken, was wiederum mit einer Scheinzahigkeit und entsprechenden
Schubspannungen verbunden ist. Es ist deshalb beim Ubergang von der laminaren zur turbulenten Fließform ein
sprunghafter Anstieg des Reibungsverlustes zu verzeichnen, der sich in einem erheblichen Druckabfall außert.
Die Fließform hat bei Rohr- und Gerinnestromungen, bei Grenzschichtstromungen etc. grundlegend verschiedene
Auswirkungen auf Bewegungsform der Stromung und Quantitat der Stromungsgroßen. Wir interessieren uns
deshalb fur die Frage, wann eine laminare und wann eine turbulente Stromung vorliegt.
Reynolds hat im Jahre 1883 dargelegt, dass der Umschlag einer laminaren Stromung in eine turbulente von
der nach ihm benannten Zahl
Re =vd
ν[dimensionslos]
abhangt. Dabei ist
v mittlere Fließgeschwindigkeit
d Rohrdurchmesser, der allgemein durch den hydraulischen Durch-
messer Dh ersetzt werden kann
(Abschnitt G.2.1)
ν kinematische Zahigkeit des Fluids (Abschnitt G.1)
Die Reynolds-Zahl kann als das Verhaltnis einer typischen Maßzahl fur die Tragheitskraft zu einer typischen
Maßzahl fur die Reibungskraft interpretiert werden. Zur Herleitung sei auf spatere Kurse verwiesen. Auf expe-
rimentellem Wege gelangt man zu der Aussage, dass unterhalb einer kritischen Reynoldszahl die Stromung
immer laminar bleibt und Storungen wieder abklingen. Die kritische Reynoldszahl wird durch die jeweilige
Versuchseinrichtung beeinflusst und daher wie folgt definiert:
Re < 2300 laminare Fließform
Re > 2300 turbulente Fließform
In mit hochster Sorgfalt durchgefuhrten Versuchen treten laminare Stromungen noch bei Reynoldszahlen Re
= 24.000 auf – bei geringsten Storungen erfolgt jedoch ein plotzlicher Umschlag in Turbulenz.
In den meisten technischen Anwendungsbereichen treten jedoch immer Storungen auf und zudem sind hier die
Reynoldszahlen meist sehr hoch (z.B. 105 – 107), sodass in der Regel turbulente Stromungen vorliegen.
Wie die Existenz einer kritischen Kennzahl ( Re ) bereits andeutet, ist der Umschlag von der laminaren in die tur-
bulente Stromungsform ein Stabilitatsproblem. Die laminare Stromung ist immer eine mogliche Stromungsform.
Uberschreitet aber die Fließgeschwindigkeit einen bestimmten Wert (vd
ν> 2300) wird die laminare Stromung
gegen geringste Storungen instabil und geht in die dann stabile turbulente Stromungsform uber.
78
G.4. Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Rohrstromung
G.4 Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung
bei laminarer Rohrstromung
Rohrstromungen mit Reynoldszahlen kleiner als 2300 kommen in den technischen Anwendungen selten vor,
wenn man von sehr dunnen Rohren mit geringer Fließgeschwindigkeit einmal absieht
(Re < 2300 ; vd < 2300 · ν = 0, 0023 m2/s bei Wasser).
Die laminare Rohrstromung ist jedoch im Gegensatz zur turbulenten einer theoretischen Betrachtung zuganglich
und erlaubt die Darstellung einiger grundsatzlicher Zusammenhange.
Wie in Abschnitt G.2.1 betrachten wir ein Kreisrohr der Lange l mit dem Radius R = d/2 und wenden
Gleichung (G.5) auf einen zylindrischen Flussigkeitskorper mit dem veranderlichen Radius r an. Dabei ist die
Wandschubspannung τ0 durch die Schubspannung τ im Inneren des Fluids zu ersetzen.
Mit A = πr2 und U = 2πr sowie dem Newtonschen Zahigkeitsgesetz
τ = ηdv
dn= −η dv
dr(bei negativem v ist τ positiv) folgt:
τ =1
2ρgr
lhv = −η dv
dr= −ρν dv
dr
Integration von
dv
dr= − gr
2ν
hvl
ergibt
v(r) = −gr2
4ν
hvl
+ C
Aus der Randbedingung v(R) = 0 (Haftbedingung) folgt fur die Integrationskonstante
C =gR2
4ν
hvl
sodass sich bei laminarer Kreisrohrstromung das folgende parabolische Geschwindigkeitsprofil einstellt:
v(r) =gR2
4ν
(1− r2
R2
)hvl
(G.9)
79
Kapitel G. Stromungswiderstand
vmax = v(0) =gR2
4ν
hvl
v(r) =
(1− r2
R2
)vmax
Die uber den Querschnitt gemittelte Geschwindigkeit ist
vm =1
2vmax (siehe Abschnitt E.2, Beispiel 2)
sodass wir schließlich
hv =8νl
gR2vm (G.10)
erhalten. Der Verlust an Stromungsenergie hangt also bei laminarer Rohrstromung linear von der Fließgeschwin-
digkeit ab. Wir wenden nun Gleichung (G.10) auf ein horizontales Rohr an und betrachten die Energiebilanz
mit (F.19).
z1 +p1
ρg+ α
v21
2g= z2 +
p2
ρg+ α
v22
2g+ hv
Wegen z1 = z2, v1 = v2 erhalt man
p1 − p2 = ρg hv = 8ρνl
R2vm
; p1 − p2 = 8ηl
R2vm Hagen-Poiseuillesches1 Gesetz (G.11)
Dieses Gesetz liefert den Druckverlust bei laminarer Rohrstromung und wurde von Hagen (1839) und Poi-
seuille (1841) auf experimentellem Wege gefunden. Hagen hat dabei bereits erkannt, dass es nur fur ein
vollausgebildetes parabolisches Profil – vergleiche (G.9) – gilt, also nicht im Anfangsbereich der Rohrmundung.
Wir bringen das Fließgesetz (G.10) noch in eine besondere Form, die auch bei der turbulenten Rohrstromung und
den Gerinnestromungen verwendet wird, und gelangen so zu einer einheitlichen Dar-
stellung der Verlusthohe hv, die eine großere Anzahl meist empirisch gewonnener Formeln ablost.
Beim Kreisrohr ist der Durchmesser d mit dem hydraulischen Durchmesser Dh = 4A/U identisch, sodass der
Radius R in (G.10) mit Dh/2 verallgemeinert werden kann.
hv =8νl
gR2vm = 64
ν
vDh
l
Dh
v2
2g
1Gottfried Hagen (1779 - 1884), deutscher Ingenieur, und J. C. Poiseuille (1799 - 1869), franzosischer Physiker, arbeiteten
gleichzeitig, aber ohne Kenntnis voneinander an der Durchstromung von Rohren. Hagen studierte bereits vor Reynolds den
ubergang von laminarer zur turbulenten Stromung.
80
G.5. Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung bei turbulenter Rohrstromung
Wir definieren nun den laminaren Reibungsbeiwert
λ =64
Remit der Reynoldszahl Re =
vDh
ν
und erhalten
hv = λl
Dh
v2
2gλ =
64
Re(G.12)
Kreisrohr: Dh = d = 2R
In dieser Form wurde das Fließgesetz von Darcy (1858) und Weisbach (1855) fur turbulente Stromung
angegeben.
Im nachsten Abschnitt soll nun fur den dimensionslosen Reibungsbeiwert λ eine Beziehung bei turbulenter
Stromung angegeben werden.
G.5 Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung
bei turbulenter Rohrstromung
Gleichungen werden im weiteren fur einen Kreisquerschnitt hergeleitet.
Wie in Abschnitt G.4 bereits dargelegt, verwenden wir das allgemeinere Widerstandsgesetz (Fließgesetz) nach
Darcy und Weisbach:
hv = λl
Dh
v2
2g(G.13)
Der Reibungsbeiwert λ konnte fur die laminare Stromung theoretisch unter der Voraussetzung R =Dh
2abge-
leitet werden:
λ =64
Rebei laminarer Stromung (G.14)
Im turbulenten Fall konnen wir fur den Beiwert nach Colebrook-White (1938/39) schreiben:
1√λ⇐ −2 log
(2, 51
Re√λ
+k
3, 71Dh
)(G.15)
λ= Reibungsbeiwert [dimensionslos]
Re= Reynoldszahl Re =vDh
ν[dimensionlos]
k = aquivalente Sandrauheit [m]
Dh = hydraulischer Durchmesser [m], Kreisrohr: Dh = d
k/Dh = relative Sandrauheit [dimensionslos]
Diese implizite Beziehung ist fur eine rechnerische Auswertung sehr unhandlich und wurde von Moody1 als
Diagramm ausgewertet (s.S. 83).
1 Das 1944 von Moody in den U.S.A. veroffentlichte Diagramm ist die Synthese der Forschungsarbeiten vieler Wissenschaftler.
Die laminare Stromungsform war eingehend von Hagen (1834) und Poiseuille untersucht worden. Die Kurve fur hydraulisch
glatte Rohre (k/Dh = 0) entspricht der 1913 von Blasius angegebenen Gleichung (G.16), die 1933 von Prandtl zur Gleichung
(G.17) erweitert und von Nikuradse experimentell bestatigt wurde. Der vollkommen rauhe Bereich wurde von Prandtl (1931)
und v. Karman (1930) wiederum mit experimenteller Unterstutzung durch Nikuradse mittels Gleichung (G.18) beschrieben.
Coolebrook und White fullten schließlich (1938) durch eine Interpolationsformel (Gl. G.15) den sog. ubergangsbereich aus. Diese
Gleichung deckt auch den Bereich aller fruheren Formeln mit ab (mit Ausnahme des laminaren Bereiches).
81
Kapitel G. Stromungswiderstand
Die Formel von Colebrook-White stellt eine Interpolation verschiedener Sonderfalle turbulenter Rohrstromungen
dar, deren Gesetzmaßigkeiten im einzelnen durch Experimente, gekoppelt mit theoretischen uberlegungen, er-
mittelt wurden.
Neben den Großen Stromungsgeschwindigkeit v, Durchmesser Dh und kinematischer Zahigkeit ν, die sich in der
Reynoldszahl Re =vDh
νniederschlagen, kann bei turbulenter Stromung die Wandbeschaffenheit (d.h. die
Rauheit) von maßgeblichem Einfluss auf die Rohrreibung sein. Experimente haben gezeigt, dass sich Rohre mit
geringer Rauheit und bei geringerer Reynoldszahl als technisch oder hydraulisch glatt verhalten. Bei derartigen
Rohren stellt man also keinen Rauheitseinfluss fest, sodass die Reibungszahl λ nur von der Reynolds-zahl Re
abhangt, wie im laminaren Fall.
Fur laminare Stromungen ergibt sich kein Einfluss der Wandrauheit, wie die Experimente von Hagen und
Poiseuille um 1840 gezeigt haben (G.11), und der Reibungsbeiwert ist nur von der Reynoldszahl abhangig:
λ =64
ReGl. (G.12)
82
G.5. Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung bei turbulenter Rohrstromung
83
Kapitel G. Stromungswiderstand
Fur turbulente Stromungen in hydraulisch glatten Rohren hat Blasius (1913) ein Gesetz angegeben, wonach
ebenfalls λ nur von Re abhangt.
λ =0, 316
4√Re
(G.16)
Spatere Versuche haben jedoch gezeigt, dass diese Formel fur Re > 100.000 nicht mehr zutrifft.
Zu einem allgemeingultigen Gesetz gelangt man durch theoretische uberlegungen, wobei einige Konstanten
experimentell ermittelt werden mussen (siehe z.B. Truckenbrodt, Stromungsmechanik, S. 206/207). Wie bei der
laminaren Stromung wird auch hier zunachst das Geschwindigkeitsprofil ermittelt:
v
vτ= 5, 75 log
(R− rν
vτ
)+ 5, 5
vτ =
√τ0ρ
Schubspannungsgeschwindigkeit (Definition)
τ0 = ρλ
8v2m Wandschubspannung, folgt aus (G.6) und (G.13)
5, 75 und 5, 5 Messwerte
(Die Beziehung gilt nicht in Wandnahe, da dort eine dunne laminare Schicht”haftet“, und gilt im ubrigen nur
naherungsweise. In Rohrmitte weist das Profil einen Knick auf.)
Nun muss noch die mittlere Geschwindigkeit vm ermittelt werden (vergleiche das Vorgehen im laminaren Fall,
Abschnitt G.4. Sie ergibt sich zu
vm = vmax − 4, 07vτ
vmax = v(r = 0) = vτ
[5, 75 log
(Rvτν
)+ 5, 5
](4, 07 experimentell ermittelt)
Eliminieren von vmax und Einsetzen von
vτ = vm
√λ
8, sowie R = d/2 ergibt schließlich
1√λ
= 2 log(Re√λ)− 0, 8 (G.17)
wobei die Zahlenwerte 2 und 0,8 den sorgfaltigen Messwerten von Nikuradse (1932) nachtraglich angepasst
worden sind. Die Beziehung (G.17) bestatigt die Formel nach Blasius fur den Bereich Re < 100.000.
Beim Widerstandsgesetz des rauhen Rohres kommt die Abhangigkeit des Reibungsbeiwerts λ von der Wandbe-
schaffenheit neu hinzu (bislang nur λ = λ(Re)).
84
G.5. Wandreibung und Geschwindigkeitsverteilung bei turbulenter Rohrstromung
hydraulisch glatt
δ0 > k
Ubergangsbereich
δ0 < k
vollkommen rauh
δ0 ' 0
Um zu einer quantitativen Aussage uber die Wandrauheit zu gelangen, hat man die sogenannte aquivalente
Rauheit k (auch ks) eingefuhrt. Die experimentellen Untersuchungen beziehen sich auf Rohre, deren Wan-
dung mit Sandkornern vom Durchmesser k beklebt worden sind. Die tatsachliche Wandbeschaffenheit (z.B.
Gusseisenrohr-Verkrustung) wird dabei durch ein aquivalentes k ausgedruckt, das zu gleichen Reibungsverlus-
ten fuhrt. (s.S. 86)
Wichtig ist, dass fur die grundlegenden Untersuchungen die naturliche bzw. technische Wandbeschaffenheit in
ihrer Vielfalt durch eine definierte geometrische Große (namlich k) ersetzt wird.
Als dimensionslose Große zur Erfassung der Wandrauheit wird die relative Rauheit k/Dh eingefuhrt.
Gesucht wird nun eine Beziehung λ = λ(Re, k/Dh), wobei Dh der hydraulische Durchmesser ist (Abschnitt
G.2.1).
Man stellt nun fest, dass drei Falle zu unterscheiden sind:
λ = λ(Re)
laminar
turbulent, hydraulisch glatt
λ = λ(Re, k/Dh) turbulent, ubergangsbereich
λ = λ(k/Dh) turbulent, vollkommen rauh
Wenn die Wandunebenheiten durch eine laminare Unterschicht der Dicke δ0 eingehullt werden (siehe Abb.),
so verhalt sich das Rohr wie ein glattes. Die laminare Unterschicht ist naturlich erst recht bei vollig laminarer
Stromung vorhanden. Somit ergibt sich in diesem Fall fur λ keine Abhangigkeit von k/Dh (siehe (G.12) und
(G.17)).
In einem ubergangsbereich wird infolge Abnahme der laminaren Schichtstarke δ0 die Wandrauheit k nur teilweise
aktiviert. Es ist deshalb sinnvoll, den vollkommen rauhen Bereich zu untersuchen, damit der im Experiment
vorgegebene Korndurchmesser k tatsachlich zur Wirkung kommt.
85
Kapitel G. Stromungswiderstand
Widerstandsgesetz fur Rohrstromungen
hv = λl
Dh
v2
2g; Dh =
4A
U; τ0 =
ρg
l
A
Uhv
aquivalente Rauheit k fur rauhe Rohre
Stahlrohre k [mm]
Leitungen aus gezogenem Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,01 bis 0,05
Geschweißte Rohre von handelsublicher Gute:
neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,05 bis 0,10
nach langerem Gebrauch gereinigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,15 bis 0,20
maßig verrostet, leichte Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . 0,40
schwere Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Genietete Leitungen mit Langs und Quernahten:
a) Bleckdicke unter 5 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,65
b) Blechdicke 5 bis 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,95
c) Blechdicke uber 12 mm und 6-12 mm, wenn
Nietnahte mit Laschen verdeckt . . . . . . . . . . . . . . . 3
d) Blechdicke uber 12 mm mit verlaschten Nahten . 5,5
e) in ungunstigem Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bis 50
Gusseisenrohre
Neue Leitungen mit Flansch- oder Muffenverbindung . . . 0,15 bis 0,3
Gusseiserne Rohre:
inwendig bitumiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,12
neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 bis 1
angerostet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 1,5
verkrustet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 3
Beton und Druckstollen
Rohrleitungen und Stollen in Stahlbeton
mit sorgfaltig handgeglattetem Verputz . . . . . . . . . . . . 0,01
neue Leitungen aus Schleuderbeton mit glattem Verputz 0,16
Betonrohre, Glattstrich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,3 bis 0,8
Druckstollen mit Zementverputz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 1,6
Betonrohre, roh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 3
Beton, schalungsrauh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Sonstige Rohre
Asbest-Zement-Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,1
Holzrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,2 bis 1
1
1 Tabelle nach Schroder, H. und Press, R.: Hydromechanik im Wasserbau, W. Ernst & Sohn, Berlin, Munchen 1966
86
G.6. Wandreibung bei Gerinnestromung
von Karman (1930) und Prandtl (1932) haben zunachst wieder ein Gesetz fur das Geschwindigkeitsprofil
abgeleitet, woraus die folgende Beziehung (wie bei (G.17)) entsteht:
1√λ
= −2 log
(k
Dh
)+ 1, 14 (G.18)
Die Werte 2 und 1,14 sind wiederum auf experimentellem Wege von Nikuradse (1933) gefunden worden.
Fur den ubergangsbereich erhalt man durch Interpolation der Formeln (G.17), hydraulisch glatt und (G.18),
vollkommen rauh nach Coolebrook-White (1938) eine Aussage. Die Beziehung (G.15) erfasst alle Bereiche
der turbulenten Stromung.
G.6 Wandreibung bei Gerinnestromung
Wie in Abschnitt G.2.2 bereits ausgefuhrt, erhalten wir aus (F.19) fur das Freispiegelgerinne unter der Annahme
einer hydrostatischen Druckverteilung die erweiterte Bernoulli-Energiegleichung fur einen Stromfaden an der
Sohle (statt vm wird v geschrieben):
z1 + h1 +v2
1
2g= z2 + h2 +
v22
2g+ hv mit α ' 1
Außerdem fuhrt man noch die folgenden Begriffe ein:
Sohlgefalle ISo = (z1 − z2)/l
Wasserspiegelgefalle IW = [(z1 + h1)− (z2 + h2)]/l
Energieliniengefalle IE =
[(z1 + h1 +
v21
2g
)−(z2 + h2 +
v22
2g
)]/l
= hv/l
Bei hinreichend langen Gerinnen
mit konstanten Fließbedingungen (Sohlgefalle, Reibung, Querschnitt etc. konstant) stellt sich eine gleichformige
Stromung, der Normalabfluss ein, und es gilt
h1 = h2; v1 = v2; ISo = IW = IE
87
Kapitel G. Stromungswiderstand
Der hydraulische Durchmesser Dh wurde bereits in Abschnitt G.2.1 eingefuhrt:
Dh =4A
U,
A durchflossener Querschnitt
U benetzter Umfang
(A reprasentiert die Gewichtskraftkomponente, U die Schubkraft infolge Wandreibung, siehe Abschnitt G.2.2).
Daneben wird noch der hydraulische Radius rh benutzt:
rh =A
U=Dh
4
Experimente zeigen bei gleichformiger Stromung die gleiche quadratische Abhangigkeit zwischen Fließgeschwin-
digkeit und Verlusthohe wie bei der Rohrstromung. Es kann also wieder die Beziehung von Darcy und Weis-
bach (G.13) benutzt werden:
hv = λl
Dh
v2
2gbzw. IE =
hvl
= λ1
Dh
v2
2g(G.19)
Der Reibungsbeiwert λ wird auch hier mit der Interpolationsformel von Colebrook-White (G.15) bestimmt:
1√λ⇐ −2 log
(2, 51
Re√λ
+k
3, 71Dh
)(G.20)
Die Reynoldszahl wird wie bei der Rohrstromung mit Re =v Dh
νdefiniert, und fur den
Umschlag der Fließform gilt die gleiche kritische Grenze:
Re < 2300 laminare Stromung
Re > 2300 turbulente StromungLaminare Gerinnestromungen sind im Bauwesen jedoch kaum vorhan-
den. Typische aquivalente Rauheiten k sind in der nachfolgenden Tabelle und entsprechende Werte im Diagramm
am Ende des Abschnitts G.5 angegeben.
Neben den Gleichungen von Darcy-Weisbach und Colebrook-White existieren noch eine Reihe (alterer)
empirischer Gesetze, z.B. ist die Formel von Manning-Strickler (1923) 1 am gebrauchlichsten:
v = kSt r2/3h I
1/2E (G.21)
1 Im 18. und 19. Jahrhundert waren Ingenieure mit der Notwendigkeit konfrontiert, Rohrleitungen, Kanale, Flussstaustufen
bauen zu mussen, ohne dass die Gesetzmaßigkeiten des Fließwiderstandes bekannt waren. Sie fuhrten teilweise ohne Kenntnis
voneinander Natur- und Labormessungen durch und entwickelten daraus empirische Gleichungen, in denen der Fließwiderstand aus
Geschwindigkeit, Rauheit, Durchmesser bzw. Wassertiefe berechnet wird. Angestrebt wurde eine Gleichung, die fur Gebirgs- und
Flachlandflusse, Kanale, Rohrleitungen gleichermaßen anwendbar ist. Die Gleichungen, die dieses Ziel nur sehr bedingt erreichten,
die aber z.T. noch heute verwendet werden, tragen meist den Namen ihrer Erfinder.
Schon 1757 fuhrte Albert Brahm in seinem in Aurich erschienenen Buch”Anfangsgrunde der Deiche- und Wasserbaukunst“
aus, dass die verzogernde Wirkung des Fließwiderstandes im Gleichgewicht mit der Schwerkraft und proportional dem Quadrat der
Fließgeschwindigkeit ist. Die erste Formel, die dies zum Ausdruck brachte, war die des Franzosen Chezy (1718 - 1798). Es folgten
weitere von Manning (1816 - 1897, Irland), Weisbach (1806 - 1871, Deutschland), Darcy (1803 - 1858, Frankreich), Gauckler
(1826 - 1905, Frankreich), Ganguillet (1818 - 1894, Schweiz), Kutter (1818 - 1888, Schweiz), Strickler (1887 - 1963, Schweiz).
88
G.6. Wandreibung bei Gerinnestromung
Widerstandsgesetze fur Gerinnestromungen
Darcy-Weisbach
IE = λ1
Dh
v2
2g
bzw.
v =
√8g
λr
1/2h I
1/2E
mit Dh = 4 rh
Manning-Strickler
v = kSt r2/3h I
1/2E
kSt = Rauheitsbeiwert
mit λ nach Colebrook-White (G.20) als Funktion der Reynolds-Zahl und
der relativen Rauheit k/Dh. Darin ist k die aquivalente (Sand-)Rauheit.
Gerinne: kSt [m1/3/s] k [mm]
Glatte Holzgerinne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 0,60
Glatter unversehrter Zementputz,
glatter Beton mit hohem Zementgehalt 80 0,80
Hausteinquader, gut gefugte Klinker . . . . . . . . . . . 70 . . . 80 1,8 . . . 1,5
Alter Beton, Bruchsteinmauerwerk . . . . . . . . . . . . 50 20
Erdkanale, regelmaßig, rein, ohne Geschiebe
mittlerer Kies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 75
Naturliche Flussbetten, mit Geroll
und Unregelmaßigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 30 bis 400
Gebirgsflusse mit grobem Geroll, bei
ruhendem Geschiebe mit unverkleideter,
roher Felswand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . 28 bis 1500
wie vor, bei in Bewegung befindlichem
Geschiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . 22 bis 3000
Stollen und Betonrohrleitungen:
Geschliffener Zementputz großter Glatte . . . . . . . 100 0,01
Betonstollen von weniger sorgfaltiger
Ausfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . 80 10 . . . 0,16
Alte, aus Einzelrohren bestehende
Betonrohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3 . . . 1
1
1 Auszug aus Schroder, H. und Press, R.: Hydromechanik im Wasserbau, W. Ernst & Sohn, Berlin, Munchen 1966
89
Kapitel G. Stromungswiderstand
Diese Beziehung gewinnt man aus einem Potenzansatz
v = kSt rαh I
βE
wobei α und β experimentell bestimmt worden sind. Unbefriedigend ist die”Dimension“ des Rauheitsbeiwertes
kSt [m1/3/s], der nur von der Wandrauheit abhangt (also nicht wie λ auch von Re ). Die kSt-Werte sind auf
Seite 89 angegeben.
Eine Beziehung zwischen λ und kSt lasst sich (formal!) ableiten, wenn die Gleichungen
v = (2g Dh IE/λ)1/2 aus (G.19) und
v = kSt r2/3h I
1/2E aus (G.21)
gleichgesetzt werden:
λ = 8g k−2St r
−1/3h (G.22)
Beachte:
Bestimmt man λ aus (G.22) und setzt dies in (G.19) ein, so benutzt man eigentlich die Formel (G.21) nach
Manning-Strickler.
G.7 Grenzschichten und Ablosungen
In den vorigen Abschnitten wurde der Verlust an Stromungsenergie infolge Wandreibung eingehend behandelt.
Wir kommen nun zu weitergehenden Betrachtungen uber den Wandeinfluss auf Stromungen.
Das Newtonsche Zahigkeitsgesetz τ = ndv
dnlasst erkennen, dass sich Fluide geringer Zahigkeit η (z.B. Was-
ser, Luft) bei Stromungen mit schwachem Geschwindigkeitsgefalle nahezu reibungsfrei verhalten (τ0 ' 0).
Tatsachlich stellt sich uberwiegend eine derartige Stromung ein und lediglich in Wandnahe fuhrt die Haft-
bedingung (v = 0 an der Wand) zu einer ubergangschicht mit starkem Geschwindigkeitsgradienten, sodass
selbst bei geringer Zahigkeit erhebliche Schubspannungen entstehen.
Diese Ubergangsschicht wurde von Prandtl1 unter dem Begriff Grenzschicht eingefuhrt und einer theoreti-
schen Behandlung zuganglich gemacht.
0
1Ludwig Prandtl (1875 - 1953) ist der wohl bedeutendste
Stromungsforscher dieses Jahrhunderts. Er fuhrte die im 19.
Jahrhundert sich isoliert entwickelnde theoretische Hydrome-
chanik der Mathematiker mit der angewandten”Koeffizienten-
hydraulik“ der Ingenieure zusammen. Sein beruhmtester Bei-
trag ist die Grenzschichttheorie, durch die eine Vielzahl von
Stromungsphanomenen erklart und berechnet werden konnte. Sie
entstand in seinen Jahren an der damaligen Technischen Hoch-
schule Hannover (1901 - 03). Danach wurde er Direktor des
Kaiser-Wilhelm-Instituts fur Stromungsforschung in Gottingen,
das auf Jahrzehnte zum “Mekka“ der Stromungsforscher in aller
Welt wurde.
Prandtls Wasserkanal, den er mit der Hand betrieb und
in dem er seine ersten bahnbrechenden Untersuchungen
(in Hannover) durchfuhrte.
90
G.7. Grenzschichten und Ablosungen
Damit wird das Stromungsgebiet in einen außeren, quasi reibungsfreien Bereich und eine Grenzschicht (Rei-
bungsschicht) mit reibungsbehaftetem Fluid unterteilt.
ohne Reibung mit Reibung
Definition der
Grenzschichtdicke
Der ubergang zwischen Grenzschicht und Außenstromung verlauft asymptotisch, sodass die Grenzschichtdicke
δ einer Festlegung bedarf. Haufig definiert man δ derart, dass die Geschwindigkeit außerhalb der Grenzschicht
um maximal 1% infolge Wandreibung verzogert wird (siehe Abb.). Dabei wird man nur dann von einer Grenz-
schicht sprechen, wenn diese relativ dunn bleibt, also infolge geringer Zahigkeit der Wandreibungseinfluss rasch
abklingt.
Langs einer Wandung nimmt die Grenzschichtdicke laufend zu, was in Rohr- und Gerinnestromungen aufgrund
langer Fließstrecken dazu fuhrt, dass schließlich der gesamte durchstromte Querschnitt unter Wandreibungsein-
fluss steht. Nur fur diese vollausgebildete Stromung gelten auch die Fließgesetze aus Abschnitt G.4 bis G.6, da
ja in den Ableitungen ein entsprechendes Geschwindigkeitsprofil vorausgesetzt wurde.
Wir kommen nun zu dem Fließverhalten in der Grenzschicht selbst. Bei einsetzender Stromung entsteht zunachst
immer eine dunne laminare Schicht (Haftung an der Wand), die sich anschließend aufbaut. In der Anlaufstrecke
bleibt die Grenzschicht laminar und kann bei ausreichender Fließgeschwindigkeit und hinreichender Grenz-
schichtdicke, die ja mit Null beginnt und langs der Wandung zunimmt, turbulent werden. (Auch hier lassen sich
kritische Reynoldszahlen angeben.)
91
Kapitel G. Stromungswiderstand
Charakteristisch fur Grenzschichten ist der
Ablosevorgang bei umstromten Korpern, der in
der nebenstehenden Darstellung veranschaulicht
wird, ohne dass er hier im einzelnen erklart werden
soll. Das Thema wird in spateren Kursen wieder
aufgegriffen werden.
Ablosung an
scharfkantigen Ecken
Das Grenzschichtkonzept wurde von Ludwig Prandtl 1904 veroffentlicht und in den darauffolgenden Jahr-
zehnten in Gottingen weiterentwickelt. Es ist vom technischen Standpunkt aus eine der wichtigsten Entwick-
lungen in der Stromungsmechanik und erlaubt die Erklarung vieler Phanomene, die vorher unverstandlich und
widerspruchlich schienen.
G.8 Konzentrierte Fließverluste in Rohren und Gerinnen,ζ-Werte
Ablosung bei plotzlicher Querschnittserweiterung 1
Querschnittsveranderungen, Verzweigungen etc. sind immer mit Verlusten an Stromungsenergie verbunden, bei
denen vor allem Ablosungen eine Rolle spielen. Sie sind meist nur geringfugig von der Reynoldszahl abhangig,
sodass die entsprechenden Beiwerte ζ als Konstanten betrachtet werden konnen. Sie werden in der Form
hv = ζv2
2g
in der Bernoulli-Gleichung berucksichtigt.
Insgesamt setzt sich die Verlusthohe hv in der Bernoulli-Gleichung aus Wandreibungsverlusten und der Sum-
me aller Einzelverluste zusammen.
1 aus Eck, B.: Technische Stromungslehre, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1966
92
G.8. Konzentrierte Fließverluste in Rohren und Gerinnen,ζ-Werte
ortlich konzentrierte Verluste
hv = ζv2
2g
Bei ζ : v = Geschwindigkeit unmittelbar hinter der Storstelle
Bei ζ ′ : v = Geschwindigkeit unmittelbar vor der Storstelle
G.8.1 Ein- und Auslaufverluste
ζ = 0, 5 ζ = 0, 25 ζ = 0, 1 ζ ′ = 1, 0
G.8.2 Umlenkverluste
rm/d\β 15 30 60 90
2 0,03 0,06 0,12 0,14
5 0,03 0,05 0,08 0,11
10 0,03 0,05 0,07 0,11
\β 15 30 60 90
glatt 0,042 0,13 0,47 1,13
rauh 0,062 0,16 0,68 1,27
93
Kapitel G. Stromungswiderstand
G.8.3 Verzweigungsverluste
G.8.3.1 scharfkantige Rohre (konst. Durchmesser)
β 90 90 45 45
Qa/Q ζ ′a ζ ′d ζ ′a ζ ′d
0,2 0,88 -0,08 0,68 -0,06
0,4 0,89 -0,05 0,50 -0,04
0,6 0,95 0,07 0,38 0,07
0,8 1,10 0,21 0,35 0,20
β 90 90 45 45
Qa/Q ζa ζd ζa ζd
0,2 -0,40 0,17 -0,38 0,17
0,4 0,08 0,30 0,00 0,19
0,6 0,47 0,41 0,22 0,09
0,8 0,72 0,51 0,37 -0,17
G.8.3.2 symmetrische Hosenrohre mit Qa/Q = 0, 5
rm/d ζ
0,5 4,4
0,75 2,4
1,0 1,6
1,5 1,0
2,0 0,8
β ζ
10 0,4
30 1,2
45 2,8
60 4,0
90 5,6
G.8.4 Querschnittsanderung
Erweiterung
ζ ′ =
(A1
A2− 1
)2
Verengung
ζ = 0, 5
(1− A2
A1
)2
94
G.8. Konzentrierte Fließverluste in Rohren und Gerinnen,ζ-Werte
G.8.5 Verschlussorgane
Drosselklappe Ringkolbenschieber
bei Großrohrleitungen: ζ = 0, 3 ζ = 1, 5
bei Versorgungsleitungen: ζ = 0, 5 bis ζ = 4, 0
Quelle:
Schroder, H. und Press, R.: Hydromechanik im Wasserbau, W. Ernst & Sohn, Berlin, Munchen 1966
Weitere Angaben:
Idel′chik: Handbook of Hydraulic Resistance, Transl. from Russian, 1966
Miller, Donald S.: Internal Flow Systems, BHRA Fluid Engineering, 1978
95
Kapitel G. Stromungswiderstand
96
Kapitel H
Elementare stationare Rohrstromungen
97
Kapitel H. Elementare stationare Rohrstromungen
H.1 Grundsatzliche Beziehungen
Die Stromung in einer Rohrleitung ist das naturlichste und einfachste Beispiel fur das stromungsmechanische
Konzept der Stromrohre. Im Gegensatz zu offenen Gerinnen ist in Rohrleitungen die durchstromte Flache nur
durch die Rohrgeometrie festgelegt. Mit Beschrankung auf stationare, inkompressible Stromungen stehen uns
aus den vorangegangenen Kapiteln folgende Grundgleichungen zur Verfugung:
Kontinuitatsgleichung
Q1 −Q2 = 0 (Gl. F.8)
Impulssatz
~F + ~G+ ~S1 + ~S2 = 0 (Gl. F.14)
S = Stutzkraft, senkrecht
auf Schnittflache
Erweiterte Bernoulli-Gleichung
(Skizze im nachfolgenden Text)
z1 +p1
ρg+ α
v21
2g+
P
gm= z2 +
p2
ρg+ α
v22
2g+ hv (F.20)
mit der Verlusthohe hv =
(λ
l
Dh+∑
ζ
)v2
2g(G.13) mit (G.8)
Der Impulssatz findet vorwiegend Anwendung bei der Berechnung der Krafte von Fluid auf Rohrwande, ins-
besondere auf Rohrkrummer, -verzweigungen, -vereinigungen und -querschnittsanderungen. Daruber ist den in
Kap. F.4 gemachten Ausfuhrungen nichts hinzuzufugen, sodass wir uns hier vorwiegend mit der Anwendung der
erweiterten Bernoulli-Gleichung beschaftigen. Mit ihrer Hilfe werden wir Durchflusse, Fließgeschwindigkeiten
und Druckverteilungen in Rohrleitungen berechnen.
98
H.1. Grundsatzliche Beziehungen
Energielinie und Drucklinie
Ohne Wellenarbeit P wird fur praktische Berechnungen folgende anschauliche Darstellung der Gleichung (F.20)
benutzt:
Der Ausdruck hE = z +p
ρg+ α
v2
2gtragt den Namen Energiehohe und setzt sich zusammen aus
- dem Abstand der Rohrachse uber einem Bezugshorizont,
- der Druckhohe pρg , sowie der
- Geschwindigkeitshohe α v2
2g .
Die Energielinie entspricht der Energiehohe. Aufgrund des Reibungsverlustes wird bei stationarer Stromung hE
grundsatzlich in Fließrichtung kleiner, d.h.
die Energielinie ist in Fließrichtung geneigt.
Die Drucklinie setzt sich aus dem Abstand der Rohrachse uber dem Bezugshorizont und der Druckhohe zusam-
men. Energielinie und Drucklinie unterscheiden sich um die Geschwindigkeitshohe.
In der Drucksonde steht der Wasserspiegel bis zur Drucklinie, im Pitotrohr bis zur Energielinie (letzteres gilt
wegen der Ungleichformigkeit des Geschwindigkeitsprofils nur naherungsweise).
99
Kapitel H. Elementare stationare Rohrstromungen
H.2 Venturi-Rohr
Das Venturi-Rohr1 dient der Messung des Durchflusses in einem Rohr.
Bei Vernachlassigung von Verlusten gilt die Bernoulli-Gleichung
p1
ρg+ α
v21
2g= ∆z +
p2
ρg+ α
v22
2g
Die Beziehung zwischen der Ablesung der Quecksilbersaule R und den Drucken p1 und p2 ist hydrostatisch
gegeben durch
p1 + ρgz + ρgR− ρHg gR− ρgz − ρg∆z = p2
und daraus
R =ρ
ρHg − ρ
(p1
ρg− p2
ρg−∆z
).
Setzt man v1 = Q/A1 und v2 = Q/A2 in die Bernoulli-Gleichung ein und lost diese nach Q auf, so ergibt sich
Q = µA1
√2g(ρHg − ρ)
αρ
R
A21/A
22 − 1
(H.1)
Der Beiwert µ wurde eingefuhrt, um die Abweichung des wirklichen Durchflusses von dem theoretisch be-
rechneten zu erfassen. Er kompensiert nicht berucksichtigte Reibungsverluste. Großenordnungsmaßig ist µ =
0, 96 . . . 0, 99 und wird durch Eichung eines Venturi-Rohres gewonnen.
Frage:
Warum wird p1 vor der Verengung und nicht hinter der Erweiterung gemessen?
1Giovanni Battista Venturi (1746 - 1822), italienischer Physiker, fuhrte umfangreiche Messungen in Rohrverengungen und
Dusen durch und wurde zu einem der Wegbereiter der experimentellen Hydraulik.
100
H.3. Pumpe, Turbine
H.3 Pumpe, Turbine
Eine Pumpe fuhrt einem Rohrsystem Energie P zu:
Erweiterte Bernoulli-Gleichung: (F.20)
z1 +p1
ρg+ α
v21
2g︸ ︷︷ ︸hE1
+P
gm= z2 +
p2
ρg+ α
v22
2g︸ ︷︷ ︸hE2
P = gm (hE2 − hE1)
P = ρgQ∆hE (H.2)
Mit z1 = z2 und A1 = A2 ist ∆hE =∆p
ρg.
P = Q∆p
Die Pumpe bewirkt dann eine Druckerhohung ∆p und halt dadurch die Fordermenge Q aufrecht. Ist dagegen
z1 < z2 und A2 < A1, so wird ein Teil der Leistung dazu verwendet, um den geodatischen Hohensprung ∆z zu
uberwinden und um das Wasser zu beschleunigen.
P ist die dem Fluid zugefuhrte Leistung. Die Leistungsaufnahme der Pumpe PP ist wegen ihres begrenzten
Wirkungsgrades um 10÷20% hoher. Ebenfalls ist die Leistungsaufnahme des Motors hoher als die der Pumpe.
PM ηM PP ηP P
Elektr. Netz =⇒ Motor =⇒ Pumpe =⇒ Stromung
PP = ηMPM ; P = ηPPP ; P = ηP ηMPM
101
Kapitel H. Elementare stationare Rohrstromungen
Aufgabe:
Ersetze Pumpe durch Turbine. Zeichne das
Energieliniendiagramm und entwickle die
Gleichungen.
Beachte:
Die Turbine entnimmt der Stromung Ener-
gie, sodass eine Erniedrigung der Energie-
linie erfolgt.
Stromung =⇒ Turbine =⇒ Generator =⇒ Elektr. Netz
H.4 Rohrsystem mit Pumpe
h1 − hE2 =
(λAlAdA
+ ζ ′ein
)v2A
2g
hE3 − hE2 =P
ρg Q=
ηp PPρg Q
hE3 − h4 =
(λBlBdB
+ ζaus
)v2B
2g
In den Reservoirs sind die Wasserspiegelkoten gleich den Ener-
giehohen, da dort die Geschwindigkeiten v = 0 sind.
hE1 = h1; hE4 = h4;
Beispiel: gegeben: h1, lA, dA, λA, ζ′ein,
h4, lB, dB, λB, ζaus,
Q, ηP
gesucht: Dimensionierung der Pumpe,
d.h. welche Forderhohe ∆hE = hE3 − hE2 und welche Leistungsaufnahme PP muss
die Pumpe haben, damit eine Fordermenge Q gepumpt werden kann?
102
H.4. Rohrsystem mit Pumpe
Rechengang:
Verlusthohe in Leitung A: hvA =
(λAlAdA
+ ζ ′ein
)Q2
2g A2A
Verlusthohe in Leitung B: hvB =
(λBlBdB
+ ζaus
)Q2
2g A2B
Forderhohe: ∆hE = h4 − h1 + hvA + hvB
Die Gesamtforderhohe setzt sich aus den Reibungsverlusten hvA+hvB
und der geodatischen Forderhohe h4 − h1 zusammen.
Leistung: PP =ρg Q
ηP∆hE
Aufgabe:
Zeichne das Energieliniendiagramm fur ein Rohrsystem mit Turbine und entwickle die Gleichungen!
103
Kapitel H. Elementare stationare Rohrstromungen
104
Kapitel I
Elementare stationare
Gerinnestromungen
105
Kapitel I. Elementare stationare Gerinnestromungen
Neben den Rohrstromungen stellen die Gerinnestromungen das zweite elementare Anwendungsgebiet des
Stromrohrenkonzepts dar. Im Gegensatz zur Rohrstromung hat das Fluid in einer Gerinnestromung eine freie
Oberflache, so dass der Fließquerschnitt nicht nur durch die Gerinnegeometrie, sondern auch durch die Was-
sertiefe und damit durch die Stromung selber bestimmt wird. Im Abschnitt G haben wir bereits den Verlust
an Stromungsenergie infolge Wandreibung und Turbulenz betrachtet. In diesem Abschnitt werden nun eini-
ge grundlegende, durch die freie Oberflache bedingte, also fur die Gerinnestromung typische Erscheinungen
behandelt.
Es sei nochmals darauf hingewiesen, dass wir fur die elementare Gerinnestromung davon ausgehen, dass wir
Stromungsbewegungen senkrecht zur mittleren Fließgeschwindigkeit vernachlassigen konnen. Es ist deshalb
plausibel anzunehmen, dass der Wasserdruck in vertikale Richtung hydrostatisch verteilt ist. Die Druckhohe
entspricht also direkt der Wassertiefe h.
I.1 Normalabfluss
Wir knupfen an Abschnitt G.2.2 an und schreiben die Energiegleichung (G.8) fur die stationare Gerinnestromung
z1 + h1 + αv2
1
2g= z2 + h2 + α
v22
2g+ hv (I.1)
In Gerinnen mit der Sohlneigung ISo = tanθ unterliegt der Fließvorgang einerseits einer Beschleunigung g sinθ
und andererseits einer Verzogerung infolge Wandreibung. Ein gleichformiger Abfluss, Normalabfluss genannt,
kann sich einstellen, falls Gewichtskraftkomponente in Fließrichtung und Reibungswiderstand gleich sind:
ρg Al sinθ = τoUl
Falls ρg Al sinθ > τoUl ist, so fuhrt die Beschleunigung zu einer Geschwindigkeitszunahme und damit auch zu
einer Vergroßerung des Reibungswiderstandes (vergl. Formel (G.19)), bis schließlich das Gleichgewicht herge-
stellt ist. Entsprechendes gilt fur den umgekehrten Fall. Voraussetzung ist ein prismatisches Gerinne konstanten
Gefalles, konstanter Rauheit und ausreichender Lange. Der Normalabfluss ist damit ein Sonderfall der allge-
meinen Fließbewegung in offenen Gerinnen. Fur die Betrachtung ungleichformiger Stromungen stellt er eine
wichtige Hilfsgroße dar. Wegen der Gleichformigkeit des Abflusses gilt:
v = const. (v = vn)
h = const. (h = hn)
ISo = IW = IE (s. Abschnitt G.6)
106
I.1. Normalabfluss
v und h erhalten den Index n, wenn ein Normalabfluss vorliegt.
Als Beispiele fur ungleichformigen Abfluss seien die Senkungs- und Staulinie genannt:
Senkungslinie
Staulinie
Die Relationen zwischen Sohlgefalle ISo, Wasserspiegelgefalle IW und Energieliniengefalle IE sind der folgenden
Darstellung zu entnehmen:
beschleunigt gleichformig verzogert
(Normalabfluss)
IE < IW > ISo IE = IW = ISo IE > IW < ISo
Berechnung des Normalabflusses
(s. auch Abschnitt G.6)
Die drei Grundaufgaben bei vorgegebener Querschnittsform, d.h. A(h) und U(h) sind bekannte Funktionen der
Wassertiefe h
Typ gegeben: gesucht:
1.) k bzw. kSt, ISo, Q hn, vn
2.) k bzw. kSt, ISo, hn Q, vn
3.) k bzw. kSt, Q, hn ISo
107
Kapitel I. Elementare stationare Gerinnestromungen
Sie werden mit den Formeln von Darcy-Weisbach (G.19) mit dem Reibungsbeiwert λ nach Colebrook-
White (G.20), siehe Moody-Diagramm, oder der von Manning-Strickler (G.21) gelost. Der zweite Weg ist
bei breiten Rechteckquerschnitten einfacher, da er dann ohne Iterationen auskommt.
Bei Normalabfluss sind die Gefalle gleich: IE = IW = ISo → I. Die grundlegenden Formeln lauten:
Darcy-Weisbach: I = λ1
Dh
v2n
2g
mit Dh =4A
U(allgemein)
bzw. Dh = 4h (breiter Rechteckkanal)
λ ist iterativ zu bestimmen. Da naturliche Fließ-
gewasser i.d.R. voll turbulent sind, wahlt man
zweckmaßig den Startwert λ(0) am rechten Rand
des Diagramms (zu k/Dh passend).
Manning-Strickler: vn = kSt r2/3h I1/2
mit rh =A
U(allgemein)
bzw. rh = h (breiter Rechteckkanal)
Tabelle der kSt-Werte → Abschnitt G.6 und For-
melsammlung
Grundaufgabe 1: hn, vn aus k bzw. kSt, ISo, Q
Darcy-Weisbach: I = λ1
Dh
Q2
2g A2
A⇐ Q
√λ
2g Dh I; Dh(0), λ(0) geschatzta)
Manning-Strickler:Q
A= kSt r
2/3h I1/2
A⇐ Q
kSt r2/3h I1/2
; rh(0) geschatzta)
bhn ⇐Q
kSt h2/3n I1/2
(breites Rechteck)
hn ⇐(
Q
bkSt I1/2
)3/5
(breites Rechteckb))
; hn = hn(A), vn = Q/A
Grundaufgabe 2: Q, vn aus k bzw. kSt, ISo, hn
Darcy-Weisbach: I = λ1
Dh
v2n
2g
vn ⇐√
2g Dh I
λ;
λ(0) geschatzta)
Dh = Dh(A) b)
Manning-Strickler: vn = kSt r2/3h I1/2 ;
rh = rh(A) b)
; Q = Avn
a) ab hier iterieren!b) ohne Iteration
108
I.2. Wellengeschwindigkeit
Grundaufgabe 3: ISo aus k bzw. kSt, Q, hn
Darcy-Weisbach: I = λ1
Dh
v2n
2g
mit A = A(hn), vn = Q/A, Dh = Dh(A),
Re = vnDh/ν, λ = λ(Re, k/Dh) b)
Manning-Strickler: vn = kSt r2/3h I1/2
I =
(vn
kSt r2/3h
)2
mit A = A(hn), vn = Q/A, rh = rh(A) b)
I.2 Wellengeschwindigkeit
Durch geringes Eintauchen einer Stauwand in eine Gerinnestromung mit der Fließgeschwindigkeit v wird eine
Storung der Oberflache erzeugt. Stromaufwarts pflanzt sich eine Schwallwelle mit der Geschwindigkeit c−v fort
und stromabwarts eine Sunkwelle mit der Geschwindigkeit c+ v. Die zur Stromung relative Fortpflanzungsge-
schwindigkeit c kleiner Storungen kann nach den Formeln
allgemeiner Querschnitt c =
√gA
b(I.2)
Rechteckquerschnitt c =√g h (I.3)
berechnet werden, falls die folgende Voraussetzung zutrifft:
• Vertikale Beschleunigungen sind vernachlassigbar.
(d.h. Die Stromfaden haben vernachlassigbare Krummung.)
Diese Bedingung ist z.B. fur winderzeugte Wellen auf dem Meer, auf Flussen und Seen nicht erfullt. Die Fort-
pflanzungsgeschwindigkeit dieser Wellen ist auch von der Wellenlange abhangig und deutlich kleiner als nach
Gleichung (I.2). Die Wellengeschwindigkeit c kann aus einer Impulsbilanz im mitbewegten System hergeleitet
werden.
a) ab hier iterieren!b) ohne Iteration
109
Kapitel I. Elementare stationare Gerinnestromungen
√g h1 <
√g h2
Betrachtet man Schwall- und Sunkwellen in Gerinnen,
so sind die vertikalen Beschleunigungen sehr gering, und
die Wellengeschwindigkeit lasst sich aus Gl. (I.2) bzw.
(I.4) ermitteln. Allerdings fuhrt die unterschiedliche Was-
sertiefe im Wellenfrontbereich dort zu unterschiedlichen
Fortpflanzungsgeschwindigkeiten und demzufolge zu ei-
ner permanenten Oberflachenverformung. Wenn sich die
dargestellte Welle nach rechts bewegt, wird der Ab-
stand e vergroßert, d.h. eine Sunkwelle flacht sich ab.
Bei umgekehrter Bewegungsrichtung (relativ zur
Hauptstromung) wird sich der Abstand e verkleinern,
d.h. eine Schwallwelle steilt sich auf.
Fur die Geschwindigkeit relativ zum Ufer c+ v einer Welle sind vier Falle zu unterscheiden:
Schwallwelle, stromaufwarts
Sunkwelle, stromabwarts
Schwallwelle, stromabwarts
Sunkwelle, stromaufwarts
I.3 Stromen und Schießen, Grenzbedingungen
Anmerkung: Weil es hier nur um die Darstellung prinzipieller Zusammenhange geht, werden alle Ableitungen
am Rechteckquerschnitt durchgefuhrt, und α grundsatzlich gleich 1,0 gesetzt.
v = Q/A; mit A = bh folgt
v = q/h, mit q = Q/b (I.4)
Damit ist q immer der Abfluss pro Breitenmeter.
110
I.3. Stromen und Schießen, Grenzbedingungen
Die Betrachtungen dieses Abschnitts beziehen sich auf einen Fließquerschnitt an einer festgehaltenen Stelle des
Gerinnes. Gefalle (ISo, Iw, IE), Reibungsverlust, konvektive Beschleunigung etc. sind nur durch Vergleich be-
nachbarter Querschnitte erfassbar und wirken sich somit auf die hier angestrebten lokalen Beziehungen innerhalb
eines Querschnitts nicht aus.
Wir fuhren zunachst die folgenden Bezeichnungen ein:
h = Wassertiefe hE = Energiehohe
z = Sohlkote E = spezifische Energiehohe
v2
2g= Geschwindigkeitshohe
Fur stationare (zeitunabhangige) Stromung erhalt man fur die Energiehohe mit (I.4):
hE = z + h+v2
2g= z + h+
q2
2g h2
Die Sohlkote z stellt fur einen bestimmten Fließquerschnitt eine Konstante dar, sodass zweckmaßigerweise nur
die spezifische Energiehohe betrachtet wird:
E = h+q2
2g h2, mit q = Q/b (I.5)
Die Großen E, q und h, und aus ihnen abgeleitet auch v, stellen Zustandsgroßen dar, die den Fließzustand an
einem Fließquerschnitt beschreiben. Gleichung (I.5) stellt eine Beziehung zwischen ihnen her und ist demnach
eine Art Zustandsgleichung des Fließquerschnitts. Die Aussagen, die in dieser Gleichung enthalten sind, kann
man am besten erarbeiten, indem man sie untersucht
1.) fur q = const. ⇒ E = E(h)
2.) fur E = const. ⇒ q = q(h) .
111
Kapitel I. Elementare stationare Gerinnestromungen
I.3.1 Betrachtungen bei vorgegebenem
konstanten q
Die Funktion (I.5)
E = h+q2
2g h2
besitzt zwei Asymptoten:
h = 0 (E-Achse) und
E = h (1. Winkelhalbierende).
1. Folgerung: Eine Abflussmenge q kann bei gleicher spezifischer Energie mit zwei verschiedenen Wassertiefen
abgefuhrt werden (konjugierte Wassertiefen).
2. Folgerung: Eine Abflussmenge q kann nur abgefuhrt werden, wenn die spezifische Energie gleich oder großer
einer minimalen spezifischen Energie, der Grenzenergie, ist. Beim Abfluss im Grenzzustand konnen kleine
anderungen der spezifischen Energie verhaltnismaßig große anderungen im Wasserstand hervorrufen.
Wir betrachten nun speziell den Grenzzustand:
E = h+q2
2g h2(Gl. (I.5))
; Egr = hgr +q2
2g h2gr
(I.6)
Egr ist das Minimum von E(h) an der Stelle h = hgr .
dE
dh
∣∣∣∣hgr
= 0 ; 1− q2
gh3gr
= 0
; hgr = 3
√q2
gGrenztiefe (I.7)
Egr = hgr +q2
2g h2gr
(Gl. (I.6))
= hgr +h3gr
2g h2gr
(mit (I.7))
=3
2hgr
; hgr =2
3Egr Grenztiefe (I.8)
vgr =q
hgr=√
2g(Egr − hgr) (Gl. (I.6))
=√ghgr (mit (I.8))
; vgr =√ghgr (I.9)
112
I.3. Stromen und Schießen, Grenzbedingungen
Man vergleiche die Formeln (I.3) und (I.9).
3. Folgerung: Unter Grenzbedingungen ist die Fließgeschwindigkeit gleich der Wellengeschwindigkeit.
Der Abflussvorgang wird wie folgt definiert:
stromender Abfluss: v < vgr und h > hgr (I.10)
schießender Abfluss: v > vgr und h < hgr (I.11)
Bei stromendem Abfluss konnen sich Storungen stromaufwarts ausbreiten (c > v), bei schießendem Abfluss
dagegen nicht (c < v).
Der Abflussvorgang, ob stromend oder schießend, kann auch mit einer nach Froude 1 benannten dimensions-
losen Kennzahl definiert werden:
Fr =v√gh
;Fr < 1 stromend
Fr = 1 Grenzzustand
Fr > 1 schießend
(I.12)
Unter Beachtung von (I.9) und (I.10, I.11) lasst sich (I.12) unmittelbar ableiten.
I.3.2 Betrachtungen bei vorgegebenem
konstanten E
Aus Auflosung von (I.5) nach q
E = h+q2
2g h2
; q = h√
2g(E − h) (I.13)
4. Folgerung: Bei vorgegebener spezifischer Energie E kann nicht mehr als eine
maximale Wassermenge qmax abgefuhrt werden.
Aus (I.13) folgt q =√
2g√Eh2 − h3 und durch die Ableitung
dq
dh=
√2g
2· 1√
Eh2 − h3· (2Eh− 3h2) .
qmax erhalt man ausdq
dh= 0 ,
(erfullt, wenn die rechte innere Ableitung verschwindet)
(2Eh− 3h2) = h(2E − 3h) = 0
; h =2
3E (I.14)
1 William Froude(1846 - 1924), britischer Schiffsbauingenieur, entwickelte den ersten Schiffskanal zur Ermittlung des Schiffs-
widerstands und legte dadurch den Grundstein zum sog. hydraulischen Modellversuchswesen. Die nach ihm benannte Froude-Zahl
hat er allerdings selbst nicht gekannt.
113
Kapitel I. Elementare stationare Gerinnestromungen
Ein Vergleich von (I.14) mit (I.8) ergibt die
5. Folgerung: Der maximale Abfluss bei vorgegebener spezifischer Energie E findet unter Grenzbedingungen
statt, d.h. h = hgr und v = vgr .
Aus (I.13) und (I.14) folgt somit
qmax =
√8
27gE3 =
2
3E
√g
2
3E (I.15)
I.3.3 Bestimmung von h und v bei gegebener spezifischer Energie und Durchfluss
Bei Anderung der spezifischen Energie E infolge Sohlschwellen oder -vertiefungen bzw. des auf die Breite
bezogenen Durchflusses q besteht oft die Notwendigkeit, den neuen Fließzustand (h, v) aus den neuen Werten
(E, q) zu berechnen.
Zunachst ist immer mit Gl. (I.15) zu uberprufen, ob die spezifische Energie E ausreichend ist, den Durchfluss
q uberhaupt zu transportieren! Die beiden Moglichkeiten sind:
• q ≥ qmax: Die Natur”hilft sich selbst“ fur Fall, dass die Energie nicht ausreicht: Es wird ein Aufstau
von genau der Hohe erzeugt, dass die notwendige Energie gerade vorhanden ist. Der Abfluss findet also
unter Grenzbedingungen statt, siehe (I.7 – I.9). Es wird dann v =√ghgr und in Umkehrung von (I.8)
E ⇐ Egr = 32 hgr .
• q < qmax: Wenn E groß genug ist, fuhrt (I.5) auf eine kubische Gleichung fur die unbekannte Wassertiefe
h mit je einer Losung fur den schießenden bzw. stromenden Zustand sowie einer weiteren (physikalisch
unsinnigen), die immer negativ ist. Die Losung der kubischen Gleichung kann umgangen werden mittels
Umstellung von (I.5):
E = h+v2
2g= h+
q2
2g h2= h+
C
h2mit C =
q2
2g
Damit ergeben sich die Iterationsformeln:
Stromen:
Startwert: h(0) = E
Iteration: h(ν+1) ⇐ E − C
h2(ν)
(I.16)
(I.4) ; v = q/h
Schießen:
h(0) = 0
h(ν+1) ⇐
√C
E − h(ν)(I.17)
114
I.4. Fließwechsel bei Gefalleanderungen
I.3.4 Grenzgefalle
Vorgegeben sei ein Gerinne, in dem Querschnitt, Gefalle und Rauheit konstant sind. Fur einen vorgegebenen
Abfluss q wird sich bei genugender Lange des Gerinnes ein gleichformiger Abfluss (Normalabfluss) einstellen,
je nach Gefalle ist dieser Abfluss stromend oder schießend. Das Gefalle, bei dem der Abfluss gerade unter
Grenzbedingungen ablaufen wurde, ist das Grenzgefalle Igr.
Also gilt bei Normalabfluss:
ISo < Igr Normalabfluss ist stromend
ISo = Igr Normalabfluss unter Grenzbedingungen
ISo > Igr Normalabfluss ist schießend
Wir hatten dem E-h-Diagramm entnehmen konnen, dass eine Abflussmenge q bei gleicher spezifischer Energie
sowohl schießend als auch stromend abgefuhrt werden kann. Die obigen Aussagen uber das Gefalle ergeben nun
eine zusatzliche Bedingung, sodass der Fließzustand eindeutig bestimmt ist.
Wie im Abschnitt G.6 ausgefuhrt, kann das Gefalle nach den Formeln von Darcy-Weisbach oder Manning-
Strickler ermittelt werden:
ISo = ISo(h)
Igr = Igr(hgr)
I.4 Fließwechsel bei Gefalleanderungen
Wie in Abschnitt I.3 abgeleitet, kann ein vorgegebener Abfluss q sowohl stromend als auch schießend abgefuhrt
werden. Welcher Fließzustand sich einstellt, hangt vor allem von dem vorhandenen Gefalle ab. Es ergibt sich
also die Frage, wie bei einem Gefallewechsel der ubergang von einer Fließform in die andere vor sich geht.
Dazu ist folgendes zu beachten:
Schießen: v > c; Storungen pflanzen sich mit v + c und v − c nur stromabwarts fort. Damit ist eine
Beeinflussung des Wasserspiegels nach oberstrom nicht moglich. Der Wasserspiegel stellt sich
ganz unabhangig davon ein, welche Bedingungen unterstrom herrschen.
Stromen: v < c; Storungen pflanzen sich mit c − v stromaufwarts und mit c + v stromabwarts fort.
Deswegen ist eine Beeinflussung des Wasserspiegels nach oberstrom moglich, sodass sich
dieser in Abhangigkeit davon einstellt, welche Bedingungen unterstrom herrschen.
115
Kapitel I. Elementare stationare Gerinnestromungen
Im obigen Bild sei der Normalabfluss oberstrom des Sohlknicks stromend und unterstrom schießend. In ausrei-
chender Entfernung vom Knickpunkt stellt sich der jeweilige Normalabfluss ein. uber den Knickpunkt fließt das
Wasser mit der dem gegebenen Abfluss Q zugehorigen minimalen spezifischen Energie, d.h. es stellt sich dort
die Grenztiefe ein. Dadurch ist das Wasserspiegelprofil nach unterstrom (im Schießen) und nach oberstrom (im
Stromen) widerspruchsfrei festgelegt; der Ubergang vom Stromen zum Schießen erfolgt kontinuierlich.
Im zweiten Bild sei der Normalabfluss oberstrom des Sohlknicks schießend und unterstrom stromend. Da im
Schießen eine Beeinflussung des Wasserspiegels von unterstrom nicht moglich ist, wird der schießende Normal-
abfluss sich bis zum Gefalleknick erstrecken. Analog ist im Stromen eine Beeinflussung des Wasserspiegels von
oberstrom nicht moglich, sodass sich der stromende Normalabfluss bis zum Sohlknick erstreckt. Dort tritt also
ein Sprung der Wassertiefe auf; der Ubergang vom Schießen zum Stromen ist diskontinuierlich.
Diese Art des Fließens wird mit Wechselsprung bezeichnet. Man kann ihn leicht
erzeugen, indem man einen Teller waagerecht unter einen fallenden Wasser-
strahl halt, wobei sich auf dem Teller eine kreisformige stehende Welle, d.h. ein
Wechselsprung bildet.
Kennzeichnend fur den Wechselsprung ist der starke Verlust an Stromungsenergie, der in ihm stattfindet. Wir
wollen nun die grundsatzlichen Beziehungen fur einen Wechselsprung auf horizontaler Sohle ableiten.
116
I.4. Fließwechsel bei Gefalleanderungen
Energiegleichung (Bernoulli):
h1 +v2
1
2g= h2 +
v22
2g+ hv
hv kann nicht vernachlassigt werden!
Impulssatz:
1
2ρgh2
1 + ρh1 v21 −
≈ 0
τ0l =1
2ρgh2
2 + ρh2 v22
bzw. S1 = S2 (Stutzkrafte)
;1
2gh2
1 −1
2gh2
2 = v22 h2 − v2
1 h1
Kontinuitatsgleichung:
Q = v1 h1b = v2 h2b ; v1 h1 = v2 h2 = q
Impulssatz und Kontinuitatsgleichung ergeben zwei Gleichungen fur die vier Unbekannten h1, v1, h2 und v2.
Sind diese bekannt, so kann aus der Energiegleichung noch die Verlusthohe hv berechnet werden.
Eine zweckmaßige Auflosung der Gleichungen sei exemplarisch fur den Fall durchgefuhrt, dass die Bedingungen
im Oberstrom (h1, v1) gegeben sind.
Mit h1 und v1 ist auch die Froudezahl gegeben: Fr21 =
v21
gh1.
117
Kapitel I. Elementare stationare Gerinnestromungen
Mit der Kontinuitatsgleichung lasst sich die Impulsgleichung umformen:
h21 − h2
2 =2
g(v2
2 h2 − v21 h1)
=2
gv2
1 h21
(1
h2− 1
h1
)
(h1 + h2)(h1 − h2) =2
gv2
1 h21
1
h1 h2(h1 − h2)
h1 + h2 = 2v2
1
gh1
h21
h2= 2Fr2
1
h21
h2(h2
h1
)2
+h2
h1− 2Fr2
1 = 0
h2
h1=
1
2
[+
(−)√
1 + 8Fr21 − 1
]; h2 (s. Fußnote)1 (I.18)
Wegen Vertauschbarkeit der Indizes in
den Ausgangsgleichungen gilt ebenso:
h1
h2=
1
2
[+√
1 + 8Fr22 − 1
]; h1
Aus der Kontinuitatsgleichung erhalt man die Geschwindigkeit v2 = v1h1
h2. Damit lasst sich schließlich der
Verlust an Stromungsenergie im Wechselsprung ermitteln. Der Energiesatz liefert:
hv = E1 − E2 =
(h1 +
v21
2g
)−(h2 +
v22
2g
)[m]
1 Das negative Vorzeichen der Wurzel ergibt keine Losung, da nur positive h-Werte in Betracht kommen.
118
I.4. Fließwechsel bei Gefalleanderungen
I.4.1 Zusammenfassende Darstellung des Wechselsprungs
Fr1 = 1 . . . 1, 7 Welliger Sprung
Fr1 = 1, 7 . . . 2, 5 Schwacher Sprung
Fr1 = 2, 5 . . . 4, 5 Oszillierender Sprung
Fr1 = 4, 5 . . . 9, 0 Stetiger Sprung
Fr1 => 9, 0 Starker Sprung
hkhj
=1
2
[√1 + 8Fr2
j − 1
]
hv = E1 − E2 =(h2 − h1)3
4h1 h2
E2
E1=
(8Fr21 + 1)3/2 − 4Fr2
1 + 1
8Fr21 (2 + Fr2
1)
∆h
E1=
√1 + 8Fr2
1 − 3
Fr21 + 2
Der Energieverlust kann sehr hoch sein und uberschreitet die Wandreibungsverluste um ein Vielfaches. So werden
bei einer Froudeschen Zahl von 2 ca. 10% und bei Fr = 4 bereits ca. 40% der Stromungsenergie dissipiert.
Trotzdem sind die damit verbundenen Temperaturerhohungen sehr gering. Sie lassen sich berechnen, indem man
die zur Erwarmung notige Warmemenge, ρQc∆T (mit der spezifischen Warme c), dem Energieverlust ρghvQ
gleichsetzt. Daraus folgt ∆T = ghv/c. Mit c = 4200N m
kg Kund hv = 100 m (was sehr hoch, aber bei der
uberstromung einer großen Talsperre denkbar ist) folgt ∆T = 0, 23 K.
In diesen geringen Temperaturanderungen liegt die Ursache, dass bei hydrodynamischen Berechnungen zwar die
Energieverluste, nicht aber die daraus resultierenden Temperaturanderungen und die mit diesen verbundenen
Dichteanderungen berucksichtigt werden.
119
Kapitel I. Elementare stationare Gerinnestromungen
120
Kapitel J
Ausfluss und Uberfall
121
Kapitel J. Ausfluss und Uberfall
Die Bernoulli-Gleichung erlaubt die Berechnung einiger einfacher, fur die praktische Anwendung aber wich-
tiger Stromungen, von denen hier einige typische Falle behandelt werden.
J.1 Ausfluss durch kleine Offnung
Ausfluss aus einem Gefaß
Es ist
z1 − z2 = h
p1 = p2 = 0 (bzw . atm. Druck)
v1 =A2
A1v2 .
Mit v = v2
folgt aus der Bernoulli-Gleichung (F.25)
h =v2
2g
(1− A2
2
A21
).
Falls A1 A2 kann man die Sinkgeschwindigkeit v1 im Gefaß vernachlassigen und es gilt
(Formel von Toricelli):
v =√
2g h .
Die vorhandene Flussigkeitsreibung fuhrt zu einer verminderten Geschwindigkeit,
v = α√
2g h ,
wobei der Korrekturfaktor α je nach Große von h den Wert 0,96 bis 1,0
annimmt. Zur Berechnung des Ausflusses Q muss noch die Einschnurung
(Kontraktion) des Strahls berucksichtigt werden:
Q = µA√
2g h mit µ = αAe/A (J.1)
Ebenso kann der Ausfluss aus einem Staubecken berechnet werden, wenn
die Zustromgeschwindigkeit vernachlassigbar gering ist.
122
J.2. Ausfluss durch große Offnung
Wir betrachten wieder eine der Stromlinien, fur die die Bernoulli-Gleichung gilt:
Es ist z1 + h1 = z2 + h
p1 = ρg h1
p2 = 0
v1 =A2
A1v2
und v2 = v ,
sodass aus der Bernoulli-Gleichung (F.25) fur A1 A2 wieder die Formel von Toricelli folgt. Bei ver-
nachlassigter Zustromgeschwindigkeit v1 erfolgt also eine Umsetzung der in Hohe der Offnung gegebenen stati-
schen Druckhohe h in die Geschwindigkeitshohe v2/2g = h. Auch hier gilt Formel (J.1).
J.2 Ausfluss durch große Offnung
Wenn die Differenz h2 − h1 im Vergleich zu (h1 + h2)/2 groß ist, kann die statische Druckanderung ge-
genuber dem mittleren Druck nicht mehr vernachlassigt werden (vergl. Abschnitt J.1), d.h. v ist jetzt eine
Funktion von h.
v(h) =√
2g h
dQ = v(h) b(h) dh
Q =
h2∫h1
v(h) b(h) dh
Mit der Breite b = const. und unter Berucksichtigung
des Ausflussbeiwertes µ folgt
Q =2
3µb√
2g(h
3/22 − h3/2
1
)(J.2)
123
Kapitel J. Ausfluss und Uberfall
J.3 Uberfall uber schmalkroniges Wehr
Die Uberfallgleichung ergibt sich aus Abschnitt J.2
mit h1 = 0
h2 = hu .
; Q =2
3µ b hu
√2g hu (J.3)
Bei scharfkantigem, beluftetem Uberfall (siehe Skizze)
betragt µ ≈ 0, 64. uber dem Wehr ist die Wassertiefe
deutlich geringer als die Grenzwassertiefe, da wegen
der stark gekrummten Stromfaden keine hydrostatische
Druckverteilung vorhanden ist.
J.4 Uberfall uber breitkroniges Wehr
Bei geringer Krummung der Stromfaden kann eine Berechnung als offenes Gerinne erfolgen. Vernachlassigt man
Zustromgeschwindigkeit und Reibungsverluste, so lautet die konstante Energiehohe hE beim Rechteckquer-
schnitt der Breite b
hE = z + h+v2
2g= z + h+
Q2
2g b2 h2= z + E ,
wobei die Großen z, h und v von x abhangen.
Der Ubergang vom Stromen zum Schießen erfolgt uber der Wehrkrone, sodass sich dort die Grenzbedingung
einstellt:
hgr =2
3E =
2
3(hE − zKrone) =
2
3hu
und hgr =3
√Q2
g b2.
Daraus folgt Q =2
3
1√3b hu
√2g hu
124
J.5. Uberfallbeiwerte
Diese Formel ist mit (J.3) identisch, wenn der Wert 1/√
3 = 0, 58 wieder durch den Uberfallbeiwert µ ersetzt
wird:
Q =2
3µ b hu
√2g hu mit µ = 0, 58
J.5 Uberfallbeiwerte
a) b) c)
d) e) f)
nach1
Uberfallform Kronenausbildung µ
a) breit, scharfkantig, waagerecht . . . . . . . . . . . . . . . . 0, 49 . . . 0, 51
b) breit, gut abgerundete Kanten, waagerecht . . . . 0, 50 . . . 0, 55
c) breit,vollstandig abgerundet
z.B. mit ganz umgelegter Stauklappe . . . . . . . . . 0, 65 . . . 0, 73
d) scharfkantig, Uberfallstrahl beluftet . . . . . . . . . . . ≈ 0, 64
e) rundkronig, mit lotrechter Oberwasser-
und geneigter Unterwasserseite . . . . . . . . . . . . . . . 0, 73 . . . 0, 75
f) dachformig, gut ausgerundet . . . . . . . . . . . . . . . . . . bis 0,79
Man beachte die Analogie zu Formel J.1, denn wegen hgr = 23hu entspricht 2
3hu ziemlich genau der Aus-
trittsoffnung an der Wehrkrone. Der”Toricelli-Ausdruck“
√2g hu ist naturlich fur mittlere Verhaltnisse zu
groß und wird uber µ entsprechend vermindert.
1 Press, H.: Stauanlagen und Wasserkraftwerke, Teil II: Wehre, 2. Aufl. Berlin 1959, Wilh. Ernst & Sohn
125
Kapitel J. Ausfluss und Uberfall
126
Anhang I
Formeln zur Stromungsmechanik
Den Klausuren zum Kurs Stromungsmechanik wird je ein Exemplar dieser Formelsammlung beigelegt.
127
Anhang - Formelsammlung
Formeln zur Stromungsmechanik Stand: SoSe 2014
Zahlenwerte
Große Zeichen Wert Naherung fur Klausuren
Atmospharischer Normaldruck p0 103.000 Pa 100 kPa = 10 mWs
Erdbeschleunigung g 9,81 m/s2 10 m/s2
Stoffwerte (20 C, Normaldruck)
Wasser νW = 1, 0 · 10−6 m2/s ρW = 1000,0 kg/m3
Luft νL = 14, 9 · 10−6 m2/s ρL = 1,2 kg/m3
Erdol (Baku) νO = 2, 6 · 10−6 m2/s ρO = 824,0 kg/m3
(1 g/cm3 = 1 kg/l = 1 t/m3)
ν =η
ρ; τ = η
∂v
∂n
Hydrostatik
Lage des relativ ruhende Fluide
Druckmittelpunktes in bewegten Gefaßen
p = pu + ρ gh
Fx = pSAx
Fz = ρ gV
F = pSA (eben)
xD =IξηyS ·A
+ xS
yD =Iξ
yS ·A+ yS
pB = pA + ρB∫A
~f d~s
= pA + ρB∫A
(fxdx+ fydy + fzdz
)fr = ω2 · r
Schwimmstabilitat
hM =IxV− e
Erhaltungssatze
Massenerhaltung Impulserhaltung
m1 = m2
ρ1 v1A1 = ρ2 v2A2 bzw.
v1A1 = v2A2 (ρ = const.)∂vx∂x
+∂vy∂y
+∂vz∂z
= 0
S = puA+ βρ v2A = puA+ βρQv
~Sein + ~Saus + ~Fauβere + ~G = 0
Energieerhaltung Spezifische Energie (Gerinne)
z1 +p1
ρg+ α
v21
2g+
P
gm= z2 +
p2
ρg+ α
v22
2g+ hv E = h+
v2
2g
Energiehohe Iteration, wenn E und q gegeben:
hE = z +p
ρg+ α
v2
2gKonstante: C = q2/(2g)
Stromen: h ⇐ E − C/h2; h0 = E
Schießen: h ⇐√C/(E − h); h0 = 0
Zahlenangaben sind Naherungswerte zu Ubungszwecken ohne Anspruch auf Vollstandigkeit
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Formeln zur Stromungsmechanik
Ortlich konzentrierte Verluste
hv = ζv2
2gBei ζ : v = Geschwindigkeit unmittelbar hinter der Storstelle
Bei ζ′ : v = Geschwindigkeit unmittelbar vor der Storstelle
1. Ein- und Auslaufverluste
ζ = 0, 5 ζ = 0, 25 ζ = 0, 1 ζ′ = 1, 0
2. Umlenkverluste
rm/d\β 15 30 60 90
2 0,03 0,06 0,12 0,14
5 0,03 0,05 0,08 0,11
10 0,03 0,05 0,07 0,11
\β 15 30 60 90
glatt 0,042 0,13 0,47 1,13
rauh 0,062 0,16 0,68 1,27
Wandreibungsverluste
Darcy-Weisbach
hv = λl
Dh
v2
2g; Dh =
4A
U; τ0 =
ρg
l
A
Uhv
Stahlrohre k [mm]
Leitungen aus gezogenem Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,01 bis 0,05
Geschweißte Rohre von handelsublicher Gute:
neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,05 bis 0,10
nach langerem Gebrauch gereinigt . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,15 bis 0,20
maßig verrostet, leichte Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . 0,40
schwere Verkrustung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Genietete Leitungen mit Langs und Quernahten:
a) Blechdicke unter 5 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,65
b) Blechdicke 5 bis 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,95
c) Blechdicke uber 12 mm und 6-12 mm, wenn
Nietnahte mit Laschen verdeckt . . . . . . . . . . . . . . 3
d) Blechdicke uber 12 mm mit verlaschten Nahten . 5,5
e) in ungunstigem Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bis 5o
Gußeisenrohre
Neue Leitungen mit Flansch- oder Muffenverbindung . . . 0,15 bis 0,3
Gußeiserne Rohre:
inwendig bitumiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,12
neu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 bis 1
angerostet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 1,5
verkrustet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 3
Beton und Druckstollen
Rohrleitungen und Stollen in Stahlbeton
mit sorgfaltig handgeglattetem Verputz . . . . . . . . . . . . 0,01
neue Leitungen aus Schleuderbeton mit glattem Verputz 0,16
Betonrohre, Glattstrich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,3 bis 0,8
Druckstollen mit Zementverputz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 bis 1,6
Betonrohre, roh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 bis 3
Beton, schalungsrauh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l0
Sonstige Rohre
Asbest-Zement-Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,1
Holzrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,2 bis 1
3. Verzweigungsverluste
3.1 scharfkantige Rohre (konst. Durchmesser)
β 90 90 45 45
Qa/Q ζ′a ζ′d ζ′a ζ′d0,2 0,88 -0,08 0,68 -0,06
0,4 0,89 -0,05 0,50 -0,04
0,6 0,95 0,07 0,38 0,07
0,8 1,10 0,21 0,35 0,20
β 90 90 45 45
Qa/Q ζa ζd ζa ζd
0,2 -0,40 0,17 -0,38 0,17
0,4 0,08 0,30 0,00 0,19
0,6 0,47 0,41 0,22 0,09
0,8 0,72 0,51 0,37 -0,17
3.2 symmetrische Hosenrohre mit Qa/Q = 0, 5
rm/d ζ
0,5 4,4
0,75 2,4
1,0 1,6
1,5 1,0
2,0 0,8
β ζ
10 0,4
30 1,2
45 2,8
60 4,0
90 5,6
Manning Strickler
v = kSt r2/3h I
1/2So ; rh =
A
U
Gerinne: kSt [m1/3/s] k [mm]
Glatte Holzgerinne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 0,60
Glatter unversehrter Zementputz,
glatter Beton mit hohem Zementgehalt 80 0,80
Hausteinquader, gut gefugte Klinker . . . . . . . 70 . . . 80 1,8 . . . 1,5
Alter Beton, Bruchsteinmauerwerk . . . . . . . . . 50 20
Erdkanale, regelmaßig, rein, ohne Geschiebe
mittlerer Kies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 75
Naturliche Flußbetten, mit Geroll
und Unregelmaßigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 30 bis 400
Gebirgsflusse mit grobem Geroll, bei
ruhendem Geschiebe mit unverkleideter,
roher Felswand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . 28 bis 1500
wie vor, bei in Bewegung befindlichem
Geschiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . 22 bis 3000
Stollen und Betonrohrleitungen:
Geschliffener Zementputz großter Glatte . . . 100 0,01
Betonstollen von weniger sorgfaltiger
Ausfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . 80 10 . . . 0,16
Alte, aus Einzelrohren bestehende
Betonrohrleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3 . . . 1
Tabellen nach Schroder, H. und Press, R.: Hydromechanik im Wasserbau W. Ernst & Sohn, Berlin, Munchen 1966
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Anhang - Formelsammlung
Reibungsbeiwert λ nach Colebrook-White
laminar (Re < 2330): λ =64
Re
turbulent (Re > 2330):1√λ⇐ −2 · log10
(2, 51
Re√λ
+k
3, 71 D
)(iterativ!)
Wechselsprung
h2
h1=
1
2
(√1 + 8Fr2
1 − 1
)Grenzzustand
hgr = 3
√q2
g=
2
3Egr
vgr =√ghgr
Spiegelliniengleichung
dh
ds= ISo
h3(s)− h3n
h3(s)− h3gr
Uberfall
Q =2
3µ b hu
√2g hu hu= Uberstauhohe
Form Kronenausbildung µ
breit, scharfkantig, waagerecht . . . . . . . . . . . . 0, 49 . . . 0, 51
breit, gut abgerundete Kanten, waagerecht 0, 50 . . . 0, 55
breit,vollstandig abgerundet
z.B. mit ganz umgelegter Stauklappe . . . . 0, 65 . . . 0, 73
scharfkantig, Uberfallstrahl beluftet . . . . . . . ≈ 0, 64
rundkronig, mit lotrechter Oberwasser-
und geneigter Unterwasserseite . . . . . . . . . . . 0, 73 . . . 0, 75
dachformig, gut ausgerundet . . . . . . . . . . . . . . bis 0,79
Uberfallbeiwerte nach Press, H.: Stauanlagen und Wasserkraftwerke, Teil II: Wehre, 2. Aufl. Berlin 1959, Wilh. Ernst & Sohn
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