Wellenfunktion: Materie:

E= h = ħ

p= h/ = ħ k k=2/

A(x,t) = A0 cos(kx - t)

Ebene Welle:

Impuls Energie

Wellenfunktion: Materie:

E= h = ħ

p= h/ = ħ k k=2/

A(x,t) = A0 cos(kx - t)

Ebene Welle:

x px ħ

Extremfall: scharfer Impuls p = ħ k

Völlig delokalisiert (unendlich ausgedehnt) Impuls pxO

rt x x px

ħ

Wellenfunktion:

A(x,t) = A0 cos(kx - t)

Ebene Welle:

Wellenpaket: Überlagerung aus Ebenen Wellen verschiedenen k

Fourieranalyse: Aufbau aus harmonischen Schwingungen

Visual Quantum MechanicsBernd ThallerSpringer, New York 2000

Web Page:

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html

Aufbau eines Wellenpaketes

(x) = eikx

d.h. die Phasengeschwindigkeit ist Energieabhängig -> Dispersion

03_02b.mov

Realteil Real und Imaginaer

Gauss Wellenpaket

03_03a.mov 03_03b.mov

Ruhendes Teilchen Bewegung

= h/p = h/ 2m0Ekin

Beispiel: Schiefer Wurf

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

Quantemechanische Teilchenx px ħ

„Wellenpaket“

Impuls px

Ort

x x px ħ

Klassiche Bahn

Ortsunschärfe

Impuls: WellenlängeUnschärfe: verschiedene Wellenlängen

= h/p = h/ 2m0Ekin

Beispiel: Schiefer Wurf

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

•Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt)•Ausgedehnter: auseinandergelaufen

= h/p = h/ 2m0Ekin

Beispiel: Schiefer Wurf

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

•Wellenlänge länger (langsamer am Scheitelpunkt)•Ausgedehnter: auseinandergelaufen

QM-schiefer-wurf-wellenfunktion.mov

Doppelspalt:

Gausssche WellenpaketGaussverteilung im Ort Impuls

Impuls px

Ort

x x px ħ

Höhe: Wahrscheinlichkeit ein Teilchen dort zu finden

ORT: dargestellt

Impuls: nicht zu sehen

Doppelspalt:

Impuls px

Ort

x x px ħ

ORT: dargestellt

Impuls: in der Wellenlänge

Amplitude:Farbsättigung

http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/german/wellen3.html

QM-Doppelspalt-mit-phase.mov

x px ħ

Heisenbergsche Unschärfe Relation

Ort / Impuls

Konsequenz:

x

Pot

entie

lle E

nerg

ie Klassisch:Oszillationzwischen Potentieller undkinetischerEnergie

x px ħ

Heisenbergsche Unschärfe Relation

Ort / Impuls

Konsequenz:

x

Pot

entie

lle E

nerg

ie Klassisch:ein Teilchen kannin Ruhe am Boden sitzen

x px ħ

Heisenbergsche Unschärfe Relation

Ort / Impuls

Konsequenz:

x

Pot

entie

lle E

nerg

ie

x

px

QM:In einem

Potentialtopfgibts immer eine

„Nullpunkts-schwingung“

Heisenbergsche Unschärfe Relation

x px ħ

x

Pot

entie

lle E

nerg

ie

x

px

ħ = 1 10-34 kg m2/sec

10-26 m/sec

Kugel 10gauf 1m

Heisenbergsche Unschärfe Relation

x px ħ ħ = 1 10-34 kg m2/sec

Elektronen im Atom:

Radius: 10-10m

Elektronenimpuls>10-24 kg m/sec

me=9 10-31kg -> 9 107 m/sec

x px ħ

Heisenbergsche Unschärfe Relation

Ort / Impuls

Energie/Zeit t E ħ

Folgen:

•Monochromatisches Licht kann nicht sehr kurz sein•Ein kurzlebiger Zustand hat keine scharfe Energie•Nur stabile Zustände (Bohrmodel) haben scharfe Energie

Energieerhaltung?kann kurzzeitig verletzt sein!

Gilt streng im Einzelprozess, aber nicht in beliebig kurzenZeitintervallen.

Beispiel 1: t E ħ

Beispiel 1: t E ħ

Klassische Mechanik

Energieerhaltung giltfür jeden Zwischenschritt

Quantenmechanik

Energieerhaltung gilt fürZwischenschritte nur innerhalb

t E ħ

Beispiel 2: t E ħ

Kurze Lichtpulse sind breitbandig: t E ħ = 6.58*10-16 eVs

Kurzer Laserpuls

Überlagerung von ebenen Wellen

Bsp: 5*10-15 sec (femto) 0.1 eV (von z.B. 1,5 eV)

Ephoton= h langer sinus: scharfe Energie

•Teilchen durch Wellen beschrieben (de Broglie)•Die Wellen interferieren •Amplitudenquadrat ist Wahrscheinlichkeit•Unschärfe von Ort & Impuls, Energie & Zeit •Ebene Wellen: Impuls aber kein Ort•Teilchenanschauung: Wellenpaket

9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren

Schwarzer Strahler

9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren

a) Absorbtionsspektren

WasserstoffAbsorbtionsspektrum

WasserstoffGas

9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren

b) Emissionsspektrena) Absorbtionsspektren

Helium

Wasserstoff Emissionsspektrum

Wellenlänge nm

H

SpektralanalyseKirchhoff und Bunsen:

Jedes Element hat charakteristische Emissionsbanden

H

1853 von Anders Jonas Angström entdeckt

H

1 Å = 10-10 m

sichtbar

infrarot

ultaviolett

Rydbergkonstante109678 cm-1

ganze Zahlen

Lyman n1=1Balmer n1=2Paschen n1=3

9. Heisenbergsche Unschärferelation10. Das Bohrsche Atommodell10.1. Diskrete Spektren10.2. Die Bohrschen Postulate

Wie RutherfordElektronen auf Kreisbahnen

Coulomb Anziehung Z=1, e-

Zentrifugalkraft:mer2

Gesamtenergie des Elektrons auf der Bahn:

0

Ene

rgy r

Epot

E = Ekin + Epot

negativEnergie die frei wirdwenn Elektron von unendlichzum Radius r gebracht wird.

Widerspruch zur klassichen Mechanik & Maxwellgleichungen:

•Bewegte Ladung strahlt Energie ab, Elektron stürzt in Kern!

•Strahlung ist nicht quantisiert keine diskreten Linien!

Bohrsche Postulate (Niels Bohr 1913)

•Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen

•Die Bewegung ist strahlungsfrei

•Der Drehimpuls der Bahnen ist quantisiert l=n ħ

(Historisch nicht korrekt)

nrn

Ry = Rydbergkonstante (Ionisierungsenergie n=1)109678 cm-1

Radius des Wasserstoffatomsrn=1= 0.529 10-10m

Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms

En=1= 13.59 eV

Z2 !! dh. Uran 115 keV

Einige Zahlenwerte:

Heisenbergsche Unschärfe x px ħ

10.3 Rydberg Atome

n=10 000

Radius = 0.6 mm En=10 000= 1.3 10-7 eV

0.01 mm wurde wirkliche erreicht!

10.3 Rydberg Atome :

Rydberg Atome

•rn n2

•vn 1/n

Heisenbergsche Unschärfe x px ħ

n ! 1

Übergang zu klassischer Bahn(Bohrsches Korrespondezprinzip)

Lebensdauer steigt E3

10.4 Korrektur durch endliche Kernmasse

mproton / melektron = 1836

gemeinsame Bewegung um Massenschwerpunkt

Kerndurchmesser 10-5 des Atoms!Massenschwerpunkt liegt nicht im Kern

10-15m

10-10m

Korrektur:

Wasserstoff Energie

0.0545 %

Erinnerung:

Wasserstoff 3 Isotope:

H 1 Proton + 1 ElektronD (Deuterium) 1 Proton + 1 Neutron + 1 ElektronT (Tritium)(12.3 y) 1 Proton + 2 Neutronen + 1 Elektron

10.4 Korrektur durch endliche Kernmasse

Korrektur:

Wasserstoff Energie

0.0545 %

mdeuteron / mproton = 2

Folge: Isotope haben verschiedenen Spektrallinien

10.5. Myonische Atome

Elektronenmasse!

eson mme

10.5. Myonische Atome

Erzeugung von esonen an Protonenbeschleunigern:

p + n -> p + p + -Pion (Masse 273 me)

2.5 10-8s

2.2 10-6 s

- + Myon + Myonneutrino

e- + e

Spektrum 207 fach höhere Energie

10.5. Myonische Atome

Wozu?

Myonen Bahnen sind teilweise im Kern-> Energie gibt Information über Ladungsverteilung des Kerns