Post on 05-Apr-2015
Zahle
nmeng
en
Welche Zahlenmengen gibt es?
Wie hast du zählen gelernt?
1,2,3,4,5,6,7,……….
Die Menge der natürlichen Zahlen
enthält jene Zahlen, die man zum Abzählen benötigt, einschließlich Null.
N = {0,1,2,3,4…}
Welche Rechnungen kannst du mit den
natürlichen Zahlen N durchführen?
Innerhalb der Addition sind die natürlichen Zahlen
abgeschlossen, d.h. das Ergebnis einer Addition ist wieder eine natürliche Zahl
Addieren2+5 = 7, 1+10 = 11…..
Man schreibt:
a + b = c, a,b,c N
Innerhalb der Subtraktion sind die natürlichen Zahlen nicht
abgeschlossen, da das Ergebnis nicht immer eine natürliche Zahl
ist.
Subtrahieren7-2 = 5
aber: 2 – 7 = -5 ????
Um welche Zahlen muss man die Zahlenmengen erweitern?
-3,-2,-1,0,1,2,3,……….
Die Menge der ganzen Zahlen
enthält die natürlichen Zahlen und alle negativen ganzen
Zahlen
Z = {…-2,-1,0,1,2,3,4…} N Z
Welche Rechnungen kannst du mit den
ganzen Zahlen Z durchführen?
Addieren2 + (-5) = -3 …
Subtrahieren1- (-10) = 11 …
Multiplizieren3. (-4) = -12 …
Innerhalb der Addition, der Subtraktion und der
Multiplikation sind die ganzen Zahlen abgeschlossen.
Innerhalb der Division sind die ganzen Zahlen nicht
abgeschlossen, da das Ergebnis nicht immer eine ganze Zahl ist.
Dividieren 10:2 = 5
aber: 3:4 = ¾ = 0,75 ????
Um welche Zahlen muss man die Zahlenmengen erweitern?
¾; 0,75,……….
Die Erweiterung um die Bruchzahlen führt zur Menge der
rationalen Zahlen, in der die Division
(außer durch 0) möglich ist.
Q = {q|q , m Z, n Z, n≠0}N Z Q
Welche Rechnungen kannst du mit den
rationalen Zahlen Q durchführen?
Innerhalb der Addition und der Subtraktion sind die rationalen
Zahlen abgeschlossen.
Addieren+ = + =
Subtrahieren - = - =
Welche Rechenregeln gelten für die Addition und Subtraktion
von Brüchen?
Man addiert oder subtrahiert zwei Brüche, indem man sie auf gleichen Nenner bringt und die
Zähler addiert.
Addition/Subtraktionsregel:
Innerhalb der Multiplikation sind die rationalen Zahlen
abgeschlossen.
Multiplizieren * =
Welche Rechenregel gilt für die Multiplikation von Brüchen?
Man multipliziert zwei Brüche, indem man Zähler mit Zähler
und Nenner mit Nenner multipliziert.
Multiplikationsregel
dividieren: : 2 = . =
Innerhalb der Division sind die
rationalen Zahlen abgeschlossen.
Dividieren : 2 = * =
Welche Rechenregel gilt für die Division von Brüchen?
Man dividiert zwei Brüche, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert (reziproken Wert)
des zweiten Bruches multipliziert.
Divisionsregel:
Jeder Bruch kann auch als Dezimalzahl dargestellt werden.
= 0,5; = 0,25; =0,3333…
Gibt es auch Dezimalzahlen, die keine Brüche sind?
1,4142135… = ????
Angenommen: = mit a, b teilerfremd,
dann ist = 2 und a² = 2b²,
dann wäre aber a² das Doppelte von b², was ein Widerspruch zur Annahme „teilerfremd“ darstellt!
Daher ist nicht als Bruch darstellbar!!!
Da diese Zahlen nicht durch einen Bruch darstellbar sind, also nicht rational sind, nennt
man sie irrationale Zahlen.
, ,……….
Die Menge der irrationalen Zahlen sind
unendliche, nichtperiodische Dezimalzahlen.
I = {… , ,.., e, ….,π,… }
Da den irrationalen Zahlen wie den rationalen Zahlen ein Punkt
auf dem Zahlenstrahl zugeordnet ist, nennt man sie die Menge der reellen Zahlen.
Die Menge der reellen Zahlen
werden beschrieben:
R = {…-2,.. - .. ,0,.. , ..π} N Z Q R I R
Welche Rechnungen kannst du mit den
reellen Zahlen R durchführen?
Man kann uneingeschränkt addieren, subtrahieren,
multiplizieren, potenzieren und dividieren (außer durch 0).
Rechenregeln für die reellen Zahlen R:
aber: Man kann nicht aus negativen
Zahlen Wurzelziehen und negative Zahlen logarithmieren!
Da diesen Zahlen keine Punkte auf dem reellen Zahlenstrahl
zugeordnet sind, nennt man sie die Menge der komplexen
Zahlen.
, ,……….
daher:
Die Menge der komplexen Zahlen wird beschrieben:
C = {… ,.. , ….}
Q Z N
C
Überblick der Zahlenmengen
N Natürliche ZahlenZ Ganze ZahlenQ Rationale ZahlenI Irrationale ZahlenR Reelle ZahlenC Komplexe Zahlen
I
Q I = R