1 Portfoliomodelle Faktormodelle Jan Wosnitza Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das...

1

Portfoliomodelle

Faktormodelle

Jan WosnitzaStochastische Prozesse

Vorbereitungen für das Faktormodell

Anwendungen des Faktormodells

2

Quelle: Wehn, C. S.: „Einführung in die finanzmathematische Messung von Kreditrisiken...“, Siegen 2006

VaR

dLf(L)p:RiskatValue

dLf(L)1:VerlsutsdessfunktionVerteilung

Stochastische Prozesse

Einführung

Grundlegendebegriffe

Random Walk

Geometrische Irrfahrten

Allgemeine Irrfahrten

Markov-Eigenschaften

Wiener Prozess

Geometrisch Brownsche Bewegung



3

Stochastischer Prozess = Betrachtung von Zufallsvariablen im zeitlichen Verlauf

Irrfahrten = Einfache zeitdiskrete stochastische Prozesse zur idealisierten Modellierung von Kursen oder Bewegung physikalischer Teilchen

Ausgehend von einem Startwert X(t=0) werden die Zufallsvariablen X(t), für Zeitpunkte t=1,2,… rekursiv nach einfachen Konstruktionsprinzipien erzeugt.

ii

2i

2

iii

xpxΕxxσ

xpxxΕErwartungswert und Varianz:

Credit Event = EreignissDefault = AusfallDowngrading = Bonitätsverschlechterung


Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




4

Z(t) = Zufälliger binärer Zuwachs, der die Werte u („up“) und –d („down“) annehmen kann:

0du,und1,2,3,...tmit

p1dtZΡ

putZΡ

1,2,3,...tmitkZ0XtX

tZ1tXtXt

1k


Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




5

http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsbewegung, 31.05.2008

6

Wiederholung:Wiederholung:

66

tσ0XσtXσ

tμ0XΕtXΕ222

Für den Erwartungswert und die Varianz ergibt sich ein linearer Trend:

Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Zuwächse und der Linearität des Erwartungswertes gilt:

μ

kZΕ

t

1k

ddupt0XΕ

dp1upt0XΕ

kZΕ0XΕ

pdtZ

putZ

1

,...3,2,101

tmitkZXtXt

k

i

ii xpxx

Satz 1Stochastische Prozesse

Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




7

Satz 2

Für zwei unabhängige Zufallsvariablen gilt:

yσxσyx,σyxσ 22

yx,Varianz

22


Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




10


1010

1,2,3,...tmitkZ0XtXt

1k

2σ

22

t

1k

22

t

1k

22

t

1k

22

kZσt0Xσ

kZσ0Xσ

kZσ0Xσ

kZ0XσtXσ

Für die Varianz erhält man unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit der Zuwächse:

yσxσyx,σ 22

yx,Varianz

2

Beweis 1Stochastische Prozesse

Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




11


1111

i

i2

i2 xpxΕxxσ

p1pdu

pp1p1pdu

p1ppp1du

p1duppdup1

p1dupp1dp1u

p1p1dupdpp1dupukZσ

2

2

222

22

22

222

p1dtZΡ

putZΡ

Beweis 1Stochastische Prozesse

Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




12

Binomialprozesse sind zur Modellierung von positiven Zufallsvariablen bzw. Prozessen nur bedingt geeignet, da auch negative Realisationen möglich sind, und die Größe der Zuwächse unabhängig vom momentanen Wert sind, was empirischen Erfahrungen widersprechen kann (z.B. Aktienkurse

Geometrische Binomialprozesse sind durch eine multiplikative Rekursion definiert:

t

1kk0t1tt RXRXX

1d0

1u

und1,2,3,...tmit

p1dtZΡ

putZΡ

,...R,R,R:Zuwächserelative

0X:tAnfangswer

321

0


Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




13


1313

Aus der Linearität des Erwartungswertes und der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen folgt:

t

t

t

kk

t

kk

t

kkt

X

RX

RX

RX

RXX

0

10

10

10

10

ddupp1dpuRΕμ 1

Dabei gilt:

t

1kk0t1tt RXRXX


Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




14

Durch Logarithmieren erhält man einen Binomialprozess (=Random Walk):

t

kZ

k

YY

t

t

kk

t

kk

t

kkt

t

kkt

kt

RXX

RXRXRXX

RXX

10

10

10

10

10

lnlnln

lnlnlnlnlnln

0

Für große t ist Yt approximativ normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz!) und somit Xt approximativ lognormalverteilt.


Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




15

Allgemeinere Irrfahrten ergeben sich zum Beispiel, wenn die Zuwächse weiterhin als unabhängig und identisch verteilt angenommen werden,

Eine Gaußsche Irrfahrt erhalten wir, wenn wir normalverteilte Zuwächse annehemen:

2t σμ,N~Z

tσt,μN~tX0X 20

Wenn der Startwert X0 gleich Null ist, folgt:

Wegen des zentralen Grenzwertsatzes gilt für beliebig identisch verteilte Zuwächse:

1

21

2a

t

ZVarσ,ZΕμmit

tσt,μN~X


Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




16

Stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, besitzen die Markov-Eigenschaft:

tt1t0011tt1t xXbXaΡxX,xX,...,xXbXaΡ

Bei bekannter Gegenwart sind Zukunft und Vergangenheit (bedingt) unabhängig.

Insbesondere Irrfahrten der Form sind stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen. Geometrische Irrfahrten sind zwar keine Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, sie besitzen jedoch gemäß ihrer Definition offensichtlich die Markov-Eigenschaft:

1RXXXZ t1t1ttt

tZ1tXtX


Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




21

Ein stochastischer Prozess {X(t), t0} heißt geometrische Brownsche Bewegung, wenn gilt:

a) X(0)=1

b) Für 0<st sind die Zufallsvariablen X(t)/X(s) und X(s) unabhängig

c) Für 0<st sind die logarithmierten Quotienten der Zufallsvariablen normalverteilt:

d) Die Pfade sind stetig

ststNsX

tX

2,~ln


Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




22

Die geometrische Brownsche Bewegung ist auch Lösung der speziellen stochastischen Differentialgleichung der Form:

tWσt2

σexp0XtX

tXσtdW

tdX

tXμdt

tdX

tdWtXσdttXμtdX

2

?


Einführung


Random Walk




Wiener Prozess




23

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_brownsche_Bewegung, 31.05.2008

24Aktienkurs von Henkel AG &Co. KGAA

https://www.cortalconsors.de/euroWebDe/-, 31.05.2008

25

Bilanz

Aktiva Passiva

Vermögen = A

Eigenkapital = S

Fremdkapital = K

Unternehmenswert zum Zeitpunkt T = AT:

GeberFKspruchZahlungsan

T

GeberEKspruchZahlungsan

T

TTT

AKKKA

AK0;MaxKKA0;MaxA



Unternehmenswert

Black-Scholes-Modell

Lognormalverteilung

Standardnormalverteilung

Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit

Barwert einer Nullkuponanleihe

Einführung in das Einfaktormodell

Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation

Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit

Mehrdimensionaler Zufallsvektor

Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit

Chauchy-Schwarz

Wertebereich Korrelationskoeffizient

Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation

Zerlegung der latenten Variablen


26

Im Zeitpunkt T sind folgende Fälle zu unterscheiden:

a) ATK

• Das Fremdkapital K wird zurückgezahlt

• Der Restwert des Unternehmens für die Aktionäre beträgt AT-K 0

b) AT<K

• Die Fremdkapitalgeber erhalten den Restwert des Unternehmens. D.h., dass die Schuld nicht vollständig getilgt werden kann. Ein Ausfall ist somit eingetreten

• Die Eigenkapitalgeber (Aktionäre) erhalten nichts, die Aktien sind wertlos



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





27

Das Auszahlungsprofil ist in der Abbildung dargestellt.

Links: aus Sicht der Eigenkapitalgeber

Rechts: aus Sicht der Fremdkapitalgeber



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz




Anwendungen des Faktormodells Put- und Calloption

28

Annahmen im Modell von Black-Scholes:

a) Markt lässt keine Arbitragemöglichkeit zu

b) Keine Dividenden

c) Zinssatz r bekannt und fest

d) Volatilität des Underlyings bekannt und fest

e) Keine Transaktionskosten

f) Zeitlich kontinuierlicher Handel möglich

g) Beliebig kleine Stückelung des Underlyings

h) Leerverkauf des Underlyings möglich

i) Geldleihe

j) Lognormalverteilung des Aktienkurses



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





29

2

2

0

T

T

2

0

T

Tσ2

TμAA

ln

expσTπ2

1Af

TσT;μN~A

Aln

Lognormalverteilung des Aktienkurses



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





30

Black-Scholes-Merton-Formel: (Herleitung: Lemm, J. (2006): „Binomialmodell für Optionen“)

x

2

z

1

2

C0

2

C0

2Tr0

2

2

C0

2

C0

2Tr0

1

2Tr

100

0

c

0

dzeπ2

1xΦ

TσdTσ

T2

σr

KA

ln

Tσ

T2

σTr

KA

ln

Tσ

T2

σKeA

ln

d

Tσ

T2

σr

KA

ln

Tσ

T2

σTr

KA

ln

Tσ

T2

σKeA

ln

d

dΦKedΦAC

OptionderWertC

OptionderLaufzeitT

StrikeK

Zinsrrisikoloser

heuteAktienkursA

2

C

C

C

31

Satz 3

Erwartungswert der Lognormalverteilung:

2

2

r

2

2

σ2

μxlnexp

xσπ2

1xp

dxx

1rxpdrrp

dxdx

drrxpdrrp

dxx

1drxlnrex

σ2

μrexp

σπ2

1rp

Kurserteilterlognormalvx

Renditeeiltenormalvertr

2

σμexpxE

2



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





33

Eine besondere Rolle spielt die Standardnormalverteilung. Oftmals führt man normalverteilte Zufallsvariablen auf ihr standardisiertes Analogon zurück. Dies ist in der Regel ohne Informationsverlust möglich, da die Standardisierung lediglich eine lineare Transformation ist.

0,1N~Z

2

zexp

π2

1zf

σ

μXZ

σ2

μxexp

σπ2

1xfσμ,N~X

2

2

22

Zur Transformation der Log-Renditen in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable definieren wir Z durch:

0;1N~ZTσ

TμAA

ln0

T



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





34

Damit lässt sich die Verteilungsfunktion F einer N(,2)-verteilten Zufallsvariable X durch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ausdrücken:

σ

μxΦ

σ

μxZΡ

σ

μx

σ

μXΡxXΡXF

0,1N~Zσ

μXZ



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





35

Für die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit gilt im Merton-Modell bei einem zur Zeit 0 noch nicht ausgefallenen Unternehmen:

221 ddPD

0

0,25

0,5

0,75

1

-3 -1 1 3

x

F(x

)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-4 -2 0 2 4

x

f(x

)

Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt.Die Distance to Default –d2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an. Dies ist ein zentraler Parameter im Merton-Modell

xΦexistiertDeshalb

steigendmonotonstrengistxΦ1-

37

Satz 4

2

00

TT

0Tσ

TμK

Aln

yy

Tσ

TμK

Aln

yz

Tσ

TμA

Kln

K

TTT

dΦTσ

TμKA

lnΦ

Tσ

TμKA

lnΦ1KAΡ1KAΡ

:hkeitrscheinlicAusfallwah

Tσ

TμKA

lnΦdyydyydzzdAAfKAΡ

:lichkeitwahrscheinÜberlebens0

0

0

Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt. Die Distance to default –d2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an

43

Satz 5

Der Barwert der Kreditrisikobehafteten Nullkuponanleihe PT=K-(K-AT)+ zum Zeitpunkt t[0;T] ist:

tTσ

tTσ21

rKA

ln

Tt,d:mit

Tt,dΦtTrexpKTt,dΦAP

A

2A

1it

i

21tt



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





44


4444

Beweis 5

21t

1t2

1t2t

ii

dΦtTrexpKdΦA

dΦAdΦ1tTrexpK

dΦAdΦtTrexpKtTrexpKP

Tt,dd

Per Konstruktion ist Pt bei Fälligkeit die Differenz aus einem Zerobond mit Nominal K und einer Put-Option auf den Firmenwert mit Strike K. Dann ist Pt zur Zeit tT damit gleich der Differenz der Barwerte dieser Instrumente:

2Tr

100 dΦKedΦAC C



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





?

48

i.i.d.ddistributetindependenyidenticall0;1N~ε,...,ε,εY, m21

iiii

iii

ερ1YρR

cRΡp

m1,2,3,...,i



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





49

https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008

Blau: Bear Stearns Cos. Inc.

50


Grün: DAXBlau: Deutsche Bank

51


Grün: SMIBlau: Novartis

52


Grün: Dow Jones Industrial AverageBlau: General Electrics

53


5353

1εVarρ1YVarρ

ερ1VarYρVarRVar

0εΕρ1YΕρ

ερ1ΕYρΕRΕ

1

ii

1

i

iiii

0

ii

0

i

iiii

Aus den getroffenen Normalverteilungsannahmen erhalten wir:

iiii ερ1YρR



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





55

Satz 6

Die Variable Ri ist als Linearkombination zweier unabhängiger standardnormalverteilter Zufallsvariablen ebenfalls standardnormalverteilt:

2

z

2

y

2

x

2

2

2

eπ2

1zf

eπ2

1yf

eπ2

1xf

yxz



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





57

Als Quantil der Ordnung p (oder p-Quantil)wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet unterhalb dessen ein vorgegebner Anteil p aller Fälle der Verteilung liegt. Dabei ist p eine reelle Zahl zwischen 0 und 1. Allgemeiner wird in der Mathematik das p-Quantil wie folgt definiert: Sei X eine Zufallsvariable und F ihre Verteilungsfunktion, so heißt für p{0; 1} die durch unten angegebene Funktion definierte Funktion F-1 Quantilfunktion. F-1(p) wird als p-Quantil von F bezeichnet



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





58

http://de.wikipedia.org/wiki/Quantil, 31.05.2008

59


5959

Der Schwellenwert ci ist folglich ein Quantil der Standardnormalverteilung:

i1-

i

x

2

yx

2

x

pΦc

dyeπ2

1dyyxΦ

eπ2

1x

2

2

0,1N~Z

2

zexp

π2

1zf

σ

μXZ

σ2

μxexp

σπ2

1xfσμ,N~X

2

2

22



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





60

Satz 7

yVarxVar

yx,Covyx,Corr

yΕxΕyxΕ

yΕxΕyΕxxΕyyxΕ

yΕyxΕxΕyx,Cov

xΕxΕxVar 22

Die Korrelation der latenten Variablen zweier verschiedener Kreditnehmer ist:

jiji ρρR,RCorr

ji

Man spricht bei dieser Korrelation auch von Assetkorrelation zweier Kreditnehmer



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





62

Ausfallwahrscheinlichkeit im Einfaktormodell

iii cRΡp

Erwähnenswert ist die Eigenschaft der bedingten Unabhängigkeit der Kreditnehmer, gegeben eine Realisierung Y=y des systematischen Faktors Y. Die Unabhängigkeit der Kreditausfälle – gegeben Y=y – legt nahe die bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten etwas näher zu betrachten:

iiiii

iD

cερ1YρD

yY11Ρ

i

ii

i

i

iii

iiii

iii

ρ1

yρcΦ

eiltnormalvertistε

yYρ1

YρcεΡ

yYcερ1YρΡ

yYcRΡyp



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





63


6363

Die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit geht in die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit über folgenden Zusammenhang ein:

i1

i pΦc

Ein gemeinsamer Ausfall tritt dann und nur dann ein, wenn am Evaluierungshorizont T die Ausfallereignisse für beide Kreditnehmer eingetreten sind. Stochastisch gesprochen hängt also die Wahrscheinlichkeit für das simultane Ausfallereignis von der gemeinsamen Verteilung von Ri und Rj ab.

jiji ρρR,RCov

ji



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





66

Die Mehrdimensionale Normalverteilung ist ebenso wie ihr eindimensionales Pendant eine stetige Verteilung, so dass eine Dichte existiert:

μXΣμX

2

1exp

ΣDetπ2

1Xf 1T

p

Für p=2 sprechen wir von einer bivarianten Normalverteilung:

2

2

22

2

22

1

11

2

1

1122

21

21 σ

μx

σ

μx

σ

μxρ2

σ

μx

ρ12

1exp

ρ1σσπ2

1x,xf

Für den Fall, dass X1 und X2 standardnormalverteilt sind, vereinfacht sich die Dichte der bivarianten Normalverteilung:

2221

2122

21

212 xxxρ2xρ12

1exp

ρ1σσπ2

1ρ,x,xΦ

67

http://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilung, 31.05.2008

68

Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit:

jiji2

jjiiDD

ρρ,c,cΦ

cR,cRΡ11,11Ρji

Da ci und cj über ci=-1(pi) und cj=-1(pj) von den Ausfallwahrscheinlichkeiten abhängen, hängt auch die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von den Ausfallwahrscheinlichkeiten pi und pj ab. Als dritter Parameter geht in die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit die Assetkorrelation zwischen den betrachteten Kreditnehmern ein. Eine analoge Gleichung kann für die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit für k der m Kreditnehmer im Portfolio (km) hergeleitet werden.



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





74


7474

jjii

jijij1

i1

2

jjii

jijiji2

jjii

DDDD

DD

jiDD

jiji2

DD

DDDDDD

p1pp1p

ppρρ,pΦ,pΦΦ

p1pp1p

ppρρ,c,cΦ

p1pp1p

1Ε1Ε11Ε,11Corr

pp1Ε1Ε

ρρ,c,cΦ

11,11Ρ

11,11Ρ1011,11Ρ111Ε

jiji

ji

ji

ji

jijiji

Umrechnung von Assetkorrelationen ij in Ausfallkorrelationen Corr(1Di

,1Dj):

jiji2

jjiiDD

ρρ,c,cΦ

cR,cRΡ11,11Ρji



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





75


7575

Die Faktordarstellung erlaubt die Zerlegung der latenten Variablen Ri in eine systematische Komponente (gegeben durch die Variable Y) und einen kreditnehmerspezifischen Effekt i. Man kann die (quadrierte) Schwankung der latenten Variablen eines Kreditnehmers wie folgt zerlegen

1εVarρ1YVarρ

ερ1VarYρVarRVar

1

ii

1

i

spezifisch

ii

chsystematis

ii

iiii ερ1YρR



Unternehmenswert


Lognormalverteilung





Nebenrechnungen

Quantil

Assetkorrelation




Chauchy-Schwarz





76

ii

iiii

m21

ερ1YρR

ερ1YρR

iidddistributetindependenyidenticall0,1N~ε,,ε,εY,

m1,2,3,...,i

Wir betrachten ein Portfolio mit m Kreditnehmern:

Wir nehmen also vereinfachend an, dass die Assetkorrelation für alle Kreditnehmer gleich ist. Im Weiteren nehmen wir an, dass für alle Kreditnehmer die Kredithöhe (Exposure) Li=1 und die Schwellenwerte gleich sind: ci=c. Mit Hilfe des Satzes der Totalen Wahrscheinlichkeit, erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle:

dyyyYnXΡnXΡ




Analytische Herleitung der Verlsutverteilung

Mehrfaktormodell

Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell

Beispiel

Ratingklassenübergänge

Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

77

Bei gegebenem treibendem Faktor Y=y ist die Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle in dem Portfolio, wenn wir annehmen, dass pi=pj für alle i,j{1,2,…,m}

nmn yp1ypn

myYnXΡ

Hier ist auch die bedingte Unabhängigkeit der Ausfälle im Portfolio eingegangen (Unabhängig bis auf die Ausprägung von Y)





Mehrfaktormodell


Beispiel



78

Die bedingte Aufallwahrscheinlichkeit eines einzelnen Kreditnehmers ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Firma Ri unter den Schwellenwert c sinkt, unter der Bedingung, dass Y=y ist.

ρ1

yρcΦyY

ρ1

YρcεΡ

yYcερ1YρΡyYcTRΡyp

i

ii





Mehrfaktormodell


Beispiel



79

ρ1

yρcΦyp

yp1ypn

myYnXΡ

dyyyYnXΡnXΡ

nmn

a

0n

nmn

nmn

dyyρ1

yρcΦ1

ρ1

yρcΦ

n

maXΡ

dyyρ1

yρcΦ1

ρ1

yρcΦ

n

mnXΡ





Mehrfaktormodell


Beispiel



80

In einem Portfolio mit sehr vielen Kreditnehmern (m) liefert das Gesetz der großen Zahlen, wobei X jetzt die relative Häufigkeit der Ausfälle darstellt.

1yYypXΡ

yΦdzzdzz

dzzdyy

dyy1

dyyyYxypXΡdyyyYxXΡxXΡ

yzzy

y

zy

y

xyp

Somit kommen wir zu:

Wir haben y so gewählt, dass p(-y)=x und p(y)x für y>y





Mehrfaktormodell


Beispiel



81


8181

ρ

pΦxΦρ1y

ρ

cxΦρ1y

cxΦρ1yρ

yρcxΦρ1

ρ1

yρcxΦ

ρ1

yρcΦx

ρ1

yρcΦyp

pΦccΦp

11

1

1

1

1

1

ρ1

yρcΦyp





Mehrfaktormodell


Beispiel



xy-p *

82


8282

yΦxXΡ

ρ

pΦxΦρ1y

11

2111

11

xΦρ1pΦρ2

1xΦ

2

1exp

ρ

ρ1xF

xxf

ρ

pΦxΦρ1ΦxXΡxF

Mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, erhalten wir für die Verlustfunktion, des realtiven Verlustes X





Mehrfaktormodell


Beispiel



83

Die bisherigen Ergebnisse können auf mehrere treibende Faktoren Yj der Assetwerte der Kreditnehmer erweitert werden

Die Assetwerte (asset values) eines Kreditnehmers (einer Firma) werden duch einen Faktor Y von J möglichen treibenden Faktoren beeinflusst. Jeder treibende Faktor beeinflusst den Wert des Assets der n-ten Firma mit einem Gewicht n

j. n nennt man den Gewichtsvektor der n-ten Firma.

unabhängigsindε,...,ε,εY,

ω0,N~ε

Ω0,N~Y

εYβR

m21

2nn

Y

J

1jnj

jnn

Die n-te Firma ist genau dann ausgefallen, wenn der Firmenwert unter die kritische Schranke cn.





Mehrfaktormodell


Beispiel



90

Eine weitere Verallgemeinerung des Modells erhalten wir, wenn wir Ratingklassen einführen, die es uns ermöglichen Veränderungen im Marktwert der Werte im Portfolio vor einem Ausfall zu modellieren.

Wir führen Ratingklassen-Übergänge ein, die beeinflusst werden durch Veränderungen der Vermögenswerte (asset values) Rn, wenn die Firmenwerte bestimmte Schwellenwerte ckl unterschreiten.

ckl ist der Schwellenwert für einen Übergang von Ratingklasse k zu Ratingklasse l.

Wenn sich das Rating des Obligors (Kreditnehmers) n von der Ratingklasse k zu l verändert, dann verliert der Kredit (die Anleihe) den Wert (Ln=Exposure=Höhe des Kredits) kl·Ln:





Mehrfaktormodell


Beispiel



92

Von der bedingten Wahrscheinlichkeit der Ratingklassenübergänge und der dazugehörigen Wertveränderung der Anleihe kl, können wir den bedingten Erwartungswert und die bedingte Varianz des Wertes der Anleihe des Kreditnehmers n angeben:

l

kln

2nkln

2n

l

klnklnn

ypyμπLyσ

ypπLyμ





Mehrfaktormodell


Beispiel



94

Wir nehmen für die bedingte Verteiteilung (bedingt bezüglich einer Realsiation der Zufallsvariablen Y) des Portfoliowerts eine Normalverteilung mit folgendem Mittelwert und Varianz an:

N

1n

2n

N

1nn

yσyσ

yμyμ





Mehrfaktormodell


Beispiel



Wenn die Anzahl der Kredite (Anleihen) in dem Portfolio groß ist, ist dies eine gute Approximation

95


9595

yσ

yμxΦyYxXΡ

yσ

yμxyYxXΡ

Bei Verwendung dieser Approximation wird die bedingte Verteilung des Portfoliowertes eine Standard-normalverteilung

Die unbedingte Verteilungsfunktion des Portfolio Wertes ist:

yvonnenRealisatiomöglichenalleüberwirdIntegriert

dyΩyyσ

yμxΦxXΡ Y





Mehrfaktormodell


Beispiel



l

kln

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101

VIELEN DANK

UND

VIEL ERFOLG!

1 Portfoliomodelle Faktormodelle Jan Wosnitza Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das...

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