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  • 1 Wiederholung: Fadenpendel und mechanischeSchwingungen

    1.1 Ungedmpfter harmonischer Oszillator

    Ein Fadenpendel besteht aus einer Masse m, die am

    Abbildung 1.1 Das (mathemati-sche) Fadenpendel.

    Ende eines Fadens der Lnge ` aufgehngt ist. Der Fa-den wird dabei als masselos und die schwingende Masseals punktfrmig betrachtet, so da ` im wesentlichenden Schwerpunktsabstand angibt.

    Auf die Masse wirkt ihre Gewichtskraft im Schwerefeld:

    G = mg ey (1.1)

    Diese kann in einen radialen Anteil Grad zerlegt wer-den, der in Richtung des Fadens zeigt, sowie in einentangentialen Anteil Gtan, der in Bahnrichtung zeigt.Die Krfte sind in Abb. 1.1 veranschaulicht. Fr ihreBetrge gilt:

    Grad = mg cos Gtan = mg sin (1.2)

    Dabei beschreibt = (t) den zeitabhngigen Auslenkungswinkel des Pendelkrpers. Der zu-rckgelegte Weg des Pendels lsst sich im Bogenma berechnen durch

    s(t) = ` (t) (1.3)

    woraus unmittelbar die auf ihn wirkende Beschleunigung durch

    atan(t) =d2sdt2 = `

    d2dt2 (1.4)

    folgt. Fr kleine Winkel lsst sich der Sinuswert des Winkels durch seinen Betrag im Bogenmanhern (lineare Nherung), dann gilt sin , so da fr die tangentiale Beschleunigung aufdie Masse gilt:

    atan(t) g (t) (1.5)

    Gleichsetzen von Gl. (1.4) und Gl. (1.5) liefert dann eine Bewegungsgleichung fr die Pendel-masse, die sog. Differentialgleichung des harmonischen Oszillators:

    1

  • d2(t)dt2 =

    g

    `(t) (1.6)

    Diese kann gelst mit einem Lsungsansatz

    (t) = 0 cos (t+ 0) (1.7)

    mit der Amplitude 0, der Kreisfrequenz und der Phasenverschiebung 0 gelst werden. Ein-setzen in Gl. (1.6) liefert dann:

    20 sin (t+ 0) = g

    `0 sin (t+ 0)

    (2 g

    `

    )sin (t+ 0) = 0 (1.8)

    Da im allgemeinen der Sinus-Ausdruck nur fr spezielle Werte von t den Wert 0 annimmt, muder geklammerte Ausdruck identisch 0 sein, um die Differentialgleichung zu lsen. Man hat sodie Kreisfrequenz des Oszillators als

    =g

    `= T = 2

    `

    g(1.9)

    bestimmt. Die Amplitude und die Phasenverschiebung folgen, indem man die Anfangsbedingun-gen

    (t = 0) = 10(t = 0) = 0

    (1.10)

    in den Ansatz Gl. (1.7) einsetzt und nachrechnet, als 0 = 10 und 0 = 0. Die Schwingung istdurch die blaue Kurve in Abb. 1.2 veranschaulicht.

    1.2 Gedmpfter harmonischer Oszillator

    Bercksichtigt man zustzlich die Reibung, die auf die Masse wirkt, so mu auf der rechten Seitevon Gl. (1.6) noch ein Dmpfungsterm

    aReib = 2ddt (1.11)

    eingefgt werden. Dabei bezeichnet man als Reibungskoeffizienten. Man erhlt dann die Dif-ferentialgleichung des gedmpften harmonischen Oszillators:

    d2dt2 + 2

    ddt +

    20 = 0 (1.12)

    Sie wird durch einen Ansatz

    (t) = 0 et sin (gedt+ 0) (1.13)

    2

  • Abbildung 1.2 Bewegung eines gedmpften und eines ungedmpften harmonischen Oszilla-tors.

    gelst, die Amplitude fllt also, im Gegensatz zum ungedmpften Oszillator, exponentiell ab (s.Vergleich der Weg-Zeit-Gesetze in Abb. 1.2). Die Dmpfung beeinflusst auch die Frequenz derSchwingung, diese nimmt mit zunehmender Dmpfung immer weiter ab, es gilt hierbei:

    ged =20 2 (1.14)

    Fr schwache Dmpfungen ist dieser Effekt jedoch vernachlssigbar.

    3

  • 2 Drehbewegungen

    Man betrachtet einen Wgebalken, an dessen einer

    Abbildung 2.1 Krfte beim Ziehen aneiner Waage.

    Seite ein Gewicht aufgehngt ist, und an dessen an-derer Seite eine beliebig gerichtete Kraft ansetzt.Ausprobieren fhrt dann schnell zu der Erkenntnis,da nur der Kraftanteil, der senkrecht zum Wge-balken steht, hilft, diesen in der horizontalen zu hal-ten. Dieser Kraftanteil bewirkt nmlich ein Dreh-moment, welches das durch das Gewichtsstck ver-ursachte Drehmoment kompensiert.

    2.1 Drehmoment und Drehimpuls

    Abb. 2.2 zeigt einen Massenpunkt, der sich an ei-

    Abbildung 2.2 Kraft auf einen Masse-punkt

    nem Ort r(t) befindet, und auf den eine Kraft Feinwirkt. Diese Kraft entspricht der zeitlichen n-derung seines Impulses,

    F = mdvdt (2.1)

    Multipliziert man vektoriell auf beiden Seiten derGleichung den Ortsvektor r an, so erhlt man:

    r F = md (r v)dt

    = m drdt v =0

    +m r dvdt(2.2)

    Der erste Term rechts des Gleichheitszeichens ent-fllt hierbei, da drdt = v ist, und das Kreuzprodukt identischer Vektoren den Nullvektor liefert.Der zweite Term enthlt den Drehimpuls L:

    L = m r v = r p (2.3)

    Den Term links des Gleichheitszeichens nennt man Drehmoment M:

    M = r F (2.4)

    4

  • Aus dieser Betrachtung folgt auch, da der Drehimpuls eine Erhaltungsgre ist. Betrachtetman erneut Gl. (2.2) und setzt Gln. (2.3), (2.4) ein, so erhlt man eine Gleichung analog zum2. Newtonschen Axiom:

    M = dLdt (2.5)

    2.2 Trgheitsmoment

    Betrachtet man einen Massenpunkt auf einer kreisfrmi-

    Abbildung 2.3 Veranschauli-chung der Kreisgeschwindigkeit.

    gen Bahn mit Radius r (Ortsvektor r) und der Bahnge-schwindigkeit v, so kann ihm die Kreisgeschwindigkeit zugeordnet werden, die durch = r v definiert ist.

    Betrachtet man nun einen komplexen Krper, der aus vie-len Massepunkten mi aufgebaut ist, die durch Ortsvekto-ren ri adressiert werden und sich mit Bahngeschwindigkei-ten vi bewegen, so ergibt sich fr den Drehimpuls diesesKrpers:

    L =

    imiri v =

    imiri ( ri)

    = (

    imir

    2i,

    )

    =I

    (2.6)

    Den Ausdruck

    I =

    imir

    2i, (2.7)

    bezeichnet man als das Trgheitsmoment des Krpers. Mit ihm lassen sich analog zur Transla-tionsbewegung Rotationsenergie und Drehimpuls schreiben als:

    L = I

    Erot =12mr

    2

    2 = 12I2 (2.8)

    2.3 Das physikalische Pendel

    Fr einen ausgedehnten Krper kann man seinen Schwerpunkt (SP) definieren. Lagert man einenKrper auerhalb seines Schwerpunkts, wie in Abb. 2.4 gezeigt, so fhrt die im Schwerpunktangreifende Gewichtskraft G zu einem Drehmoment um den Drehpunkt (DP). Es gilt dann:

    dLdt =

    d (IDP )dt = IDP

    d2dt2 (2.9)

    5

  • In Analogie zum Fadenpendel kann man dann die Bewegungsgleichung fr den Krper durcheine Drehmomentenbilanz aufstellen. Das Drehmoment ist dann gegeben durch:

    Abbildung 2.4 Dasphysikalische Pendel.

    M = IDPd2(t)

    dt2 = rG = mg ` sin (t) mg ` (t) (2.10)

    Dies ist wieder eine Differentialgleichung des harmonischen Oszilla-tors, man lst sie analog zu Gl. (1.6). Fr die Kreisfrequenz findetsich diesmal

    =mg `

    IDP(2.11)

    Hierbei bezeichnet IDP das Trgheitsmoment bezglich der Drehach-se. Dieses lsst sich aus dem Satz von Steiner berechnen:

    IDP = ISP +Ma2 (2.12)

    mit dem Trgheitsmoment bei Rotation um den Schwerpunkt, ISP, der Masse M des Krpersund dem Abstand a der Verbindungslinie von Dreh- und Schwerpunkt.

    2.4 Der Mathieu-Oszillator

    Ein interessanter Fall ist nun der, da man die Gewichtskraft des Krpers moduliert. Diesentspricht dem Ingangsetzen einer Schaukel durch eine stndige Auf- und Abbewegung desSchaukelnden, also einer Modulation der Schwerpunktlage.

    Mathematisch lsst sich dieses Verhalten durch Addition einer modulierten Beschleunigung zumSchwerefeld erfassen, man erhlt die effektive Schwerkraft:

    geff(t) = g + a sin t (2.13)

    Man erhlt dann die Differentialgleichung:

    I d2(t)dt2 + 2

    d(t)dt +m`(t) (g + a sin t) (2.14)

    Division durch I liefert dann die Differentialgleichung des sog. Mathieu-Oszillators:

    d2(t)dt2 + 2

    d(t)dt +

    20

    (1 + a

    gsin t

    )= 0 (2.15)

    mit der Anregungsfrequenz . Diese Differentialgleichung ist analytisch nicht lsbar.

    Man kann allerdings fr verschiedene Werte der Anregungsfrequenz und der Anregungsam-plitude a das Verhalten des Systems auf (In-)stabilitt hin untersuchen, die Ergebnisse sind inAbb. 2.5 zusammengefasst.

    6

  • Anre

    gend

    e Kra

    ft a

    stabil

    Anregende Frequenz

    inst

    ab

    il

    inst

    ab

    il 7Hz

    Anre

    gend

    e Kra

    ft a

    stabil

    instabil

    Anregende Frequenz

    Abbildung 2.5 Verhalten des Mathieu-Oszillators fr verschiedene Anregungen. Links:/0 0, Rechts: /0 < 0

    Es stellt sich heraus, da fr die eine Kombination von Anregungsfrequenz und -amplitude dasSystem instabil wird. Im instabilen Zustand gengen kleinste Strungen, um das Pendel ausseiner Ruhelage auszulenken. So gert es bei Anregung mit ca. 7 Hz ohne Eingreifen durch denExperimentator in Schwingung. Fr noch hhere Frequenzen und Anregungskrfte lsst sich dasPendel sogar auf den Kopf stellen.

    7

  • Experimente zur

    Selbstorganisation

    Modelle fr den Kosmos und

    die belebte Natur

  • Das Phnomen

    Wellen Wirbel Wanderdnen

    Aus: www-imk.physik.uni-karlsruhe.de

  • Kosmologische Strukturen

    Modell des Urknalls Numerische Simulation der Supernova 1987A

  • Chemie und Biologie?

    Belousov-Zabatinski (chemische Reaktion)

    Schleimpilze (Dictyostelium)

  • Physik und Biologie?

    Eiskristalle

    (dentritisches Wachstum)

    Bakterienkultur

  • Modelle

    Fragestellung

    1.) Verwunderung ber regelmige,

    symmetrische Strukturen in der Natur

    2.) Technische Fragestellungen:

    Probleme bei der Fertigung (Vermeidung!)

    3.) Kann die klassische Wissenschaft der unbelebten Materie bei dem

    Verstndnis der belebten Natur hilfreich sein?

    Tatsache: Belebte Natur neigt zur Strukturbildung

    Mechanismen

    Genetik

    Zufall

    Physik. + Chem.

    Gesetze

    Lebensform

  • Ingredienzen

    1.) Energieaustausch mit der Umgebung (Antrieb)

    2.) Instabilitt

    3 Zutaten

    3.) Nichtline