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1  Wurzeln und Potenzen

Übersicht1 Quadratzahlen und Quadratwurzeln2 Kubikwurzeln3 Potenzen4 ZehnerpotenzenThema: Ganz klein – winzig klein – nanokleinÜben – WiederholenTest

Aufbau und Intentionen des KapitelsIm Kapitel 1 geht es aufeinander aufbauend um:– das Quadrieren und das Bestimmen der Quadrat­

wurzel – das Bestimmen der Kubikwurzel– das Potenzieren als Erweiterung des Quadrierens – positive und negative Zehnerpotenzen

Das Kapitel 1 „Wurzeln und Potenzen“ bezieht sich schwerpunkt mäßig auf die Leitidee „Zahl“. Im Mittel­punkt stehen die Lerninhalte für den Kompetenz­erwerb in den Bereichen:– große und kleine Zahlen in Zehnerpotenzen

darstellen, vergleichen und ordnen– einfache Potenzen mit dem Taschenrechner

bestimmen, vergleichen und ordnen

Daneben werden jedoch auch Kompetenzen aus Be­reichen anderer Leitideen angesprochen. So werden beim Quadrieren und Wurzelziehen die Vorausset­zungen für die Anwendung des Satzes von Pytha­goras aus der Leitidee „Raum und Form“ gewonnen. Auch Flächeninhaltsberechnungen, Rauminhaltsbe­rechnungen und das Rechnen mit Größeneinheiten aus der Leitidee „Größen und Messen“ werden wie­derholt und vertieft und schließlich werden Lösungs­wege zu Sachaufgaben aus der Leitidee „Model­lieren“ gefunden.

Das Kapitel bietet Anknüpfungspunkte zu alltagsrele­vanten Themen mit mathematischem Inhalt. – Aus dem Umgang mit modernen Medien sind

den Schülerinnen und Schülern die Begriffe Byte, Kilobyte, Megabyte oder Gigabyte bekannt. Die Bedeutung der Einheiten und das Rechnen damit werden im Unterricht aufgegriffen.

– Die Themenseite „Ganz klein – winzig klein – nano klein“ bietet konkrete Anwendungen im Bereich der sehr kleinen Zahlen und verweist auf Anwendungen aus Physik, Biologie, Medizin und Technik. Die Seite soll dazu anregen, selbst Beispiele für das Vorkommen kleiner und großer Zahlen zu finden.

Der Umgang mit dem Taschenrechner wird an meh­reren Stellen explizit geübt.

WerkzeugkastenDie Lösungen zu den Aufgaben setzen einen üblichen Schultaschenrechner mit zehnstelliger Ziffernanzeige voraus. Taschenrechner, die weniger Stellen anzeigen, verwenden bereits bei niedrigeren Zahlen die Potenz­schreibweise oder runden die Zahlen, so dass sich die Ergebnisse dadurch geringfügig unterscheiden. Neben dem Taschenrechner ist ein Computerzugang zur Recherche im Internet oder das Vorhandensein von Lexika vorgesehen. Es gibt auch Aufgaben, die mithilfe einer Tabellenkalkulation gelöst werden kön­nen. Die Recherche (etwa Speicherkapazitäten von CDs …) kann auch als vorbereitende Hausaufgabe gestellt werden.

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Kennt Hilal die ganze Welt?

Methodische Überlegungen zur EinführungAus den vorangegangenen Schuljahren kennen die Schülerinnen und Schüler bereits Quadratzahlen und sind mit großen und kleinen Zahlen vertraut. Das Rechnen mit sehr großen und sehr kleinen Zah­len wird hier nochmals erweitert und mithilfe der Zehner potenzdarstellung erleichtert.

Das gewählte Einstiegsbeispiel soll zum Nachdenken anregen, ob es sein kann, dass jemand allein durch Bekannte mit der halben (ganzen) Welt verbunden sein kann und wird an späterer Stelle wieder aufge­griffen. Mögliche Impulse können sein:– Wie viele Bekannte hast du?– Wie viele Bekannte hast du in anderen Ländern?– Wie viele Bekannte hat die ganze Klasse bzw. die

Schule, haben die Menschen am Wohnort, wenn jeder 90 Bekannte hat?

– Kennst du die ganze Welt?

Weitere Beispiele für das angesprochene „Schnee­ballprinzip“ können im Anschluss diskutiert werden, etwa die Verbreitung von Schnupfenviren von einem Menschen auf die Gäste einer Party, auf deren Be­kanntenkreise, die Verbreitung von Krankheiten all­gemein, die Verbreitung von Gerüchten, Nachrichten oder Computerviren oder die Anzahl von Nachkom­men eines Elternpaares über Generationen hinweg.

Bezeichnungen für sehr große Zahlen können danach gesucht (oder auf Karten vorgegeben) und geordnet werden. Beispiele für das Vorkommen sehr großer Zahlen und sehr kleiner Zahlen können gesammelt werden bzw. deren Sammlung angeregt werden (Rekorde in den Bereichen Gewichte, Längen, Zeitspannen, Einwoh­nerzahlen usw.; Zeitungsartikel, die möglichst große Zahlen enthalten, Werbeprospekte mit möglichst großen Speicherkapazitäten von moder nen Medien oder Zahlen in Schulbüchern anderer Fächer).Daraus kann eine Wandzeitung entlang einer Zahlen­geraden oder eine Plakatausstellung geordnet nach Themenbereichen entstehen. (Bei der Skaleneintei­lung sind gleichmäßige Abstände wenig vorteilhaft, da man im Bereich sehr großer Zahlen bzw. sehr klei­ner Zahlen wenige Beispiele finden wird.) Auch selbst gestaltete Quizspiele und Aufgabensammlungen sind möglich.

b Naturwissenschaften und TechnikAufgaben mit biologischem Inhalt, wie die Vermeh­rungsrate von Kohlweißlingen oder Wasserlinsen, der Oberflächeninhalt von roten Blutkörperchen, die Gesund heitsbelastung durch Feinstaub usw., regen zum Nach denken und Nachforschen an. Daneben werden physikalische Einheiten wie Kilowatt, Milli­ohm und Mega hertz angesprochen.

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1  Quadratzahlen und Quadratwurzeln

Quadratzahlen und die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Quadrates sind den Schülerin­nen und Schülern bereits bekannt. Neu hinzu kom­men die Begriffe „quadrieren“, „Quadrat einer Zahl“ und „Quadratwurzel“. Der Zusammenhang zwischen Seitenlänge und Flächeninhalt des Quadrats sowie zwischen Radius und Flächeninhalt des Kreises wird angesprochen.

EinstiegAllein durch Zeichnen und Zählen der Heftkaros las­sen sich die Flächeninhalte der Quadrate bestimmen. Beim Zeichnen von Quadraten bei einem vorgege­benen Flächeninhalt stellt sich hier die Frage nach der Länge einer Quadratseite. Dies kann durch An­schauen der Zeichnungen und Abzählen der Kästchen gelöst werden.

Impulse Flächeninhalte von Quadraten mit einer Grund­

seite entlang der Heftkaros sind besonders leicht anzugeben; bei anderen Quadraten müssen halbe (viertel …) Karos zu ganzen Karos ergänzt wer­den, um sie zählen zu können. Mit der Formel A = a · a = a 2, lassen sich Flächeninhalte bei be­kannter Länge der Grundseite berechnen:

A: a = 1 cm; A = 1 cm2 B: a ≈ 1,4 cm; A ≈ 1,96 cm2 (Durch Zerlegen in

Heftkaros und Ergänzen halber Karos zu ganzen, lässt sich der genaue Flächeninhalt A = 2 cm2 be­stimmen.)

C: a = 1,5 cm; A = 2,25 cm2

D: a ≈ 2,1 cm; A ≈ 4,41 cm2 (genau: 4,25 cm2) E: a ≈ 1,8 cm2; A ≈ 3,24 cm2 (genau: 3,25 cm2) Individuelle Lösungen Hier muss zu einem vorgegebenen Flächeninhalt

die entsprechende Seitenlänge bestimmt werden, was hier durch Betrachten der Zeichnung gelingt. Anschließend misst man die Seitenlänge und führt den Begriff Quadratwurzel ein.

A = 0,5 cm2; a ≈ 0,7 cm

MerkkastenDas Bestimmen der Quadratwurzel ist die Umkeh­rung des Quadrierens. Bereits beim Messen der Seitenlängen der Quadrate erfahren die Schülerin­nen und Schüler, dass oft nur näherungsweise die Länge der Grundseite bzw. die Wurzel aus einer Zahl bestimmt werden kann. Quadratwurzeln werden hier als positive Zahlen eingeführt.Schülerinnen und Schüler verwechseln oft 5 2 und 5 · 2. Deshalb sollte man anfangs parallel zur Potenz­schreibweise 2 52 3 auch die ausführliche Form (5 · 5) schreiben.

Weiter geht’sDie Quadratzahlen von 12 bis 202, (252 = 625 und eventuell 322 = 1024, da √

____ 1000 ≈ 32) sollten wie­

derholt und auswendig gelernt werden. Auf die Be­sonderheit bei Zehnerpotenzen wie Verdopplung der Anzahl der Nullen beim Quadrieren bzw. Halbieren der Anzahl der Nullen beim Berechnen der Qua­dratwurzel wird eingegangen. Daneben zeigen die Beispiele, dass beim Quadrieren einer negativen Zahl stets eine positive Zahl entsteht.

a) 169 b) 10 000 c) 9 _ 16 d) 81 e) 0,36 f) 0,000 049 a) 7 b) 1000 c) 14 d) 3 _ 4 e) 0,06

Aufgaben

1  a) 25 b) 49 c) 81 d) 121 e) 400 f) 1600

2  a) 36 b) 64 c) 144 d) 0,25 e) 0,81 f) 0,04

g) 4 _ 9 h) 1 _ 16 i) 1 _ 64

3  a) Die Zahlen 0 und 1.b) Brüche und Dezimalzahlen, z. B.: (0,5) 2 = 0,25; (0,01)2 = 0,0001; 2  1 _ 4 3 2 = 1 _ 16

Für alle positiven Zahlen, die kleiner als 1 sind, ist die Quadratzahl kleiner als die ursprüngliche Zahl.

4  a) 64 0,64 0,0064b) 121 1,21 0,0121 c) 324 3,24 0,0324

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5  a) 5 b) 7 c) 8d) 9 e) 11 f) 19g) 15 h) 12 i) 13

6  a) 0,4 b) 0,2 c) 0,1d) 1,3 e) 1,5 f) 1,9

g) 1 _ 2 h) 3 _ 5 i) 7 _ 12

7  a) 49 b) 12 c) 121 d) 19

8  Vor der Lösung der Aufgabe können an der Tafel die auswendig gelernten Quadratzahlen als Gedächt-nishilfe notiert werden. a) 4 < 5 < 9 2 2 < 5 < 3 2

2 < √__ 5 < 3

b) 3 < √__

12 < 4 c) 4 < √___

20 < 5d) 5 < √

___ 30 < 6 e) 8 < √

___ 80 < 9

f) 10 < √___

120 < 11 g) 24 < √___

600 < 25h) 31 < √

____ 1000 < 32 i) 22 < √

___ 500 < 23

InformationAuf das Quadrieren und Wurzelziehen bei Brüchen und die Verwendung der Bruchtaste am Taschenrech­ner sollte zusätzlich eingegangen werden.

9  a) ≈ 2,24 b) ≈ 3,46 c) ≈ 4,47d) ≈ 5,48 e) ≈ 8,94 f) ≈ 10,95g) ≈ 24,49 h) ≈ 31,62 i) ≈ 22,36

10  a) 729 b) 2809c) 4225 d) 1,2544 ≈ 1,25e) 2,0164 ≈ 2,02 f) 0,2025 ≈ 0,20g) 1,010 025 ≈ 1,01 h) 0,000 009 ≈ 0,00i) 0,000 001≈ 0,00

11  a) √__

10 ≈ 3,162 b) √__

13 ≈ 3,606c) √

_____ 56,25 = 7,500 d) √

___ 2,8 ≈ 1,673

e) √____

3969 = 63,000 f) √____

1995 ≈ 44,665

g) √____

0,01 = 0,1 h) √__

1 _ 30 ≈ 0,183

i) √__

2 _ 7 ≈ 0,535

12  Die Ziffer ist 9, denn die letzte Ziffer ist eine 7 und 7 2 = 49. (3,47) 2 = 12,040 9

13  Vor dem genauen Berechnen mit dem Taschen-rechner sollte stets das Schätzen erfolgen.a) √

_____ 10 m2 ≈ 3,16 m

b) √______

85 dm2 ≈ 9,22 dmc) √

_______ 500 cm2 ≈ 22,36 cm

14  Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises lautet A = π · r 2. Wenn man daher den Flächenin­halt des Kreises A durch π dividiert, erhält man das Quadrat des Kreisradius. Zieht man dann die Wurzel, erhält man den Radius. Das gerundete Ergebnis lau­tet r ≈ 6,18 cm.

15  Beim Berechnen mit dem Taschenrechner muss vor dem Wurzelziehen ein Gleichheitszeichen einge­tippt werden.a) ≈ 1,8 cm b) ≈ 41,3 cm c) ≈ 10,0 cmd) ≈ 16,9 mm e) ≈ 0,56 mf) Achtung: 20 a = 2000 m2; r ≈ 25,23 m

RandspalteEs gibt unendlich viele irrationale Zahlen, zum Bei­spiel √

__ 2 , √

__ 11 und π.

Weiteres Angebot: QuadratwurzelnBestimme die Wurzeln. Vergleiche die Werte. Dabei fällt dir bestimmt etwas auf!a) √

__ 2 √

___ 20 √

___ 200 √

____ 2000 √

______ 20 000 √

______ 200 000

b) √__ å √

___ å0 √

___ å00 √

____ å000 √

______ å0 000 √

______ å00 000

Lösunga) 1,414 4,472 14,142 44,721 141,421 447,214b) 2,6458 8,3666 26,458 83,666 264,58 836,66Der hundertfache Wert unter der Wurzel entspricht dem 10­fachen Wert.

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2  Kubikwurzeln

Hier wird der Zusammenhang von Potenzieren und Radizieren auf die dritte Dimension ausgeweitet. In der Regel wird der Taschenrechner verwendet. Die Schülerinnen und Schüler sollten sich zunächst mit den notwendigen Tasten vertraut machen, insbeson­dere mit dem Gebrauch der „2nd“­Taste bzw. der ent­sprechenden Taste auf ihrem Taschenrechner. Es werden sowohl Kopfrechenübungen gestellt als auch Anwendungsaufgaben, die mit dem Taschen­rechner zu lösen sind. Die Aufgaben sind nicht expli­zit mit Taschenrechner­Symbol ausgewiesen.

EinstiegDie Einstiegssituation kann ergänzt werden durch alltagsnahe Gegenstände, Verpackungen oder Kisten. Diese sind natürlich nur im Idealfall wirklich würfel­förmig. Der Begriff „Kubikwurzel“ stammt vom latei­nischen Wort „Kubus“ = Würfel ab.

Impulse Der Rauminhalt des Behälters mit den angege­

benen Maßen ist V = 50 cm · 50 cm · 50 cm = (50 cm) 3 = 125 000 cm3. Da das Rechnen mit Kubikwurzeln an dieser Stelle

noch nicht eingeführt ist, können die Schülerinnen und Schüler diese Aufgabe nur durch Probieren lösen. Die Innenmaße des Behälters sind 60 cm · 60 cm · 60 cm, da 216 000 cm3 = (60 cm)3.

Das Ausprobieren mit dem Taschenrechner liegt jedoch nahe.

MerkkastenDie Schülerinnen und Schüler verstehen die Bedeu­tung und Entstehung der Kubikwurzel sehr schnell, da sie schon mit dem Umgang von Quadratwurzeln vertraut sind. Hier bietet es sich an, einige Kopfre­chenübungen zu Kubikwurzeln mit kleinen Zahlen zu machen.Wichtig ist auch die Thematisierung der Einheiten: Die Einheiten werden mitpotenziert, so dass Volu­meneinheiten entstehen. Diese sind aus der 8. Klasse, etwa bei den Berechnungen am Quader geläufig.

Aufgaben

1  a) 216 b) 1000 c) 64d) 1331 e) 2197 f) 1 000 000g) 216 000 h) 0,125 i) 2,197

2 a)  6 b) 10 c) 4d) 12 e) 14 f) 20g) 30 h) 0,4 i) 1,2

3  a) (2 cm) 3 = 8 cm3 b) (3 cm) 3 = 27 cm3

c) (4 cm) 3 = 64 cm3 d) (5 cm) 3 = 125 cm3

e) (10 cm) 3 = 1000 cm3 f) (1 cm) 3 = 1 cm3

4  Zuerst muss die Kantenlänge des Würfels berechnet werden. Die Kantenlänge des Würfels beträgt

3

√______

729 cm3 = 9 cm. Damit gilt für die Oberfläche

O = 6 · (9 cm) 2 = 486 cm2.

5  a) 3,7 b) 4,6 c) 4,9d) 7,9 e) 17,1 f) 0,9

6  Ein Liter entspricht 1 dm3 = 1000 cm3. Der Würfel hat also eine Kantenlänge von 3

√_______

1000 cm3 = 10 cm.

7  Die Kantenlänge eines Würfel, der die tägliche Kohlefördermenge aufnehmen könnte, müsste 3

√_________

240 000 m3 = 62,1 m lang sein. Der 1978 von Krupp Industrietechnik gebaute Schau­felradbagger „288“ arbeitet zurzeit im Tagebau Garz­weiler (Rheinbraun) und ist seit seiner Inbetriebnah­me bis heute der größte Bagger der Welt. Er erreicht eine Tagesleistung von 240 000 Kubikmeter Kohle oder Abraum.

RandspalteDie dritte Wurzel einer Zahl hoch drei ist wieder die Zahl selbst, also 18. Wurzelziehen ist der inverse Vor­gang zum Potenzieren positiver Zahlen.

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3   Potenzen

Als Erweiterung des Quadrierens und Hinführung zu Zehnerpotenzen lernen die Schülerinnen und Schüler das Potenzieren kennen. Die Hochzahl (der Expo­nent) wird auf den Bereich der natürlichen Zahlen beschränkt.

Einstieg und ImpulsDiese Legende über das Schachbrett und die Reiskör­ner wurde von einem Perser bereits im 13. Jahrhun­dert niedergeschrieben. Der Weise Sissa Ibn Dahir wollte den König, der seine Untertanen tyrannisierte, belehren und ihm nachweisen, wie wichtig für einen Herrscher seine Untertanen sind. Als Dank für diese Lehre bekam der Weise einen Wunsch frei (Reiskör­ner auf dem Schachfeld). Der König war zunächst über die Geringfügigkeit des Wunsches erzürnt, musste aber erkennen, dass er ihn niemals würde erfüllen können. Damit wurde dem König eine zweite Lehre erteilt, nämlich, dass man scheinbar Geringfü­giges nicht unterschätzen soll.Präsentiert man den Schülerinnen und Schülern die Legende zunächst ohne die Abbildung im Schulbuch, so können Vermu tungen hinsichtlich der Reismenge (Anzahl der Reiskörner bzw. Reisgewicht) erfolgen. Dazu sollte den Schülerinnen und Schülern die An­zahl der Felder eines Schachfeldes und das Gewicht von Reis bekannt sein (50 Reiskörner wiegen etwa 1 g; 50 000 Körner rund 1 kg).

Feld 5 6 7 8 9 10

Regel 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9

Anzahl Reiskörner

16 32 64 128 256 512

Die Schülerinnen und Schüler erkennen anhand der Tabelle, dass am Ende eine riesige Menge von Reiskörnern vorhanden sein muss. Eine genauere Berechnung und Abschätzung erfolgt an späterer Stelle (S. 24 Aufgabe 11) und sollte nicht vorweg­genommen werden.

Die Gesamtzahl der Reiskörner kann mit dem Term 2 63 + (2 63 – 1) = 2 64 – 1 (oder Summe der Einzelwerte an Reiskörnern für jedes Schachfeld) berechnet wer­den. Das ergibt ausgerechnet 18 446 744 073 709 551 615 Reiskörner, also etwa 369 Milliarden Tonnen Reis.

MerkkastenDie Potenzschreibweise wird als Kurzschreibweise für ein Produkt aus vielen gleichen Faktoren eingeführt. In dem Zusammenhang kann auf Raummaße 1 m3 (= 1 m · 1 m · 1 m), 1 dm3 … hingewiesen werden.

Weiter geht’s a) 2 5 = 32 b) 2 9 = 512 c) 212 = 4096 d) 2 14 = 16 384 Bei Bruchzahlen müssen Zähler und Nenner

poten ziert werden. Um die Potenz einer Summe oder Differenz zu berechnen, muss zuerst das, was in den Klammern ist, berechnet werden; das Ergebnis wird dann potenziert.

a) 0,125 b) 16

c) 9 _ 16 d) – 32

Aufgaben

1  a) 16 b) 1 c) 25 d) 64e) 2 f) 125 g) 64 h) 10 000

2  a) 7 · 7 · 7 · 7 = 2401b) 25 · 25 · 25 = 15 625c) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 000d) 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0e) 12 · 12 = 144f) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243g) 1,5 · 1,5 · 1,5 = 3,375h) 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,000 001

3  a) 1 048 576b) 2 147 483 648c) 65 536d) 78 125e) 16 807f) 387 420 489g) 20 736h) 3 486 784 401

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4  a) 275 854,7354b) 0,000 32c) 567 869,252d) 1,051e) 2401f) – 2187

5  a) verschieden: 3 7 = 2187; 7 3 = 343b) gleich: (– 62) = 36; 62 = 36c) gleich: 2 4 = 16; 42 = 16d) gleich, denn 5 3 = 5 · 5 · 5 und damit gilt 5 3 · 5 3 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5 6 = 15 625

6  Diese Aufgaben lösen die Schülerinnen und Schüler durch Probie ren.a) 3 3 b) 0,01 3 c) 5 4

d) 0,2 4 e) 5 0 f) 10 1

g) 2  2 _ 3 3 4 h) 2  3 _ 13 3 2

7  1. Generation: 1 weiblicher Kohlweißling2. Generation: 100 weibliche Kohlweißlinge3. Generation: 100 · 100 = 1002 = 10 000 weibliche KohlweißlingeEs sind aber auch 10 000 männliche Kohlweißlinge, also insgesamt 200 000 Enkelinnen und Enkel.

8  a) 0,04 = 0,2 2

b) 1,21 = 1,1 2

c) 2  1 _ 5 3 · 2  1 _ 5 3 · 2  1 _ 5 3 = 2  1 _ 5 3 3 = 1 _ 125

d) 9 _ 144 = 2  3 _ 12 3 2

9  Je nach Taschenrechner wird ab einer bestimmten Potenz 2 z. B. 3 21 3 das Ergebnis als Produkt einer Dezi­malzahl mit einer Zehnerpotenz angegeben. Dabei fehlen Ziffern, die nicht mehr angezeigt werden können.Große Zahlen können mit dem Taschenrechner nicht auf beliebig viele Stellen dargestellt werden. Hier kommt es meist auf Größenordnungen an, bei denen nur die ersten Ziffern relevant sind.32 = 9 3 Å2 = 53Å 44Å3 3 = 2å 3 Å3 = Å 594 3233 4 = 8Å 3 Å4 = 4 å82 9693 5 = 243 3 Å5 = Å4 348 90å3 6 = å29 3 Å6 = 43 046 å2Å3 å = 2Å8å 3 Åå = Å29 Å40 Å633 8 = 656Å 3 Å8 = 38å 420 4893 9 = Å9 683 3 Å9 = Å Å62 26Å 46å3 Å0 = 59 049 3 20 = 3 486 å84 40Å3 ÅÅ = Ååå Å4å 3 2Å ≈ Å,046 035 32 · Å0 Å0

= Å0 460 353 200

10  a) 1-mal gefaltet: 2 Lagen (21 Lagen; 0,1 mm · 2 = 0,2 mm dick)2-mal gefaltet: 4 Lagen (22 Lagen; 0,1 mm · 4 = 0,4 mm dick)3-mal gefaltet: 8 Lagen (23 Lagen; 0,1 mm · 8 = 0,8 mm dick)b) 10­mal gefaltet: 2 10 Lagen = 1024 Lagen; 0,1 mm · 1024 = 102,4 mm = 10,24 cmc) 2 25 = 33 554 432 Lagen = 3 355 443,2 mm = 335 544,32 cm = 3,3554432 kmDies ist nicht möglich, da beim Falten die Papier­größe stets halbiert wird.

11  a) 90 5 = 5 904 900 000b) 100 5 = 10 000 000 000 = 10 Mrd.; Es sind fast dop­pelt so viele Menschen wie bei Teilaufgabe a).c) Gründe gibt es viele, z. B. …… überschneiden sich die Bekanntenkreise verschie­dener Personen … kennt man zum Großteil Personen aus einem ört­lich begrenzten Gebiet… hat jeder Mensch Bekannte, weiß aber nicht, wen diese Menschen kennen. So hat man zu den Bekann­ten eines Bekannten eigentlich keinen Kontakt.

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4  Zehnerpotenzen

Mithilfe von Zehnerpotenzen können sehr große und sehr kleine Zahlen übersichtlich und lesbar dargestellt werden. Solche Zahlen werden auf dem Taschenrechner mithilfe von Zehnerpotenzen abgebil­det, da die Anzeigefläche begrenzt ist.

Einstieg und ImpulsZu Beginn wird man im Unterrichtsgespräch die Be­griffe Stern, Lichtjahr und Galaxie klären:Stern: großer Himmelskörper, der aus Gasen besteht und Licht und andere Strahlung aussendet.Galaxie: Ansammlung von Millionen bis Milliarden von Sternen (und Planeten) in einem System, z. B. der Andromedanebel oder die Kleine und Große Magellan’sche Wolke.Lichtjahr: siehe Seite 21 Nr. 16 Die Darstellung der Anzahl der Sterne der Milch­

straße mit Zehnerpotenzen wird als Vereinfachung/ Kurzschreibweise unübersichtlicher großer Zahlen eingeführt. Die Milchstraße besteht aus 100 Mil­liarden Sternen, also 100 000 000 000 Sternen oder 10 11 Sternen.

MerkkastenAb einer Milliarde wiederholt sich bei den Zahl­bezeichnungen das System. Die Endungen ­illion und ­illiarde wechseln sich ab:

Å0 12 = Billion; 1015 = BilliardeÅ0 Å8 = Trillion; 1021 = TrilliardeÅ0 24 = Quadrillion; 10 27 = QuadrilliardeÅ0 30 = Quintillion; 1033 = Quintilliarde

Weitere Vorsilben, mit denen Bezeichnungen für große Zahlen gebildet werden können, sind Sext­, Sept­, Okt­, Non­, Dez­, Undez­, Duodez­, Tredez­, Quattuordez­. Sie stammen aus dem Lateinischen und bilden Potenzen der Million ab. Eine Billion ist eine Mil lion 2, eine Trillion eine Million 3 …

Weiter geht’sBildet man nun das Produkt zweier Zehnerpotenzen bzw. großer Zahlen, wird die Anzahl der Nullen addiert. a) 10 000 000 000 = 10 10 = 10 Milliarden b) 10 000 000 000 000 = 10 13 = 10 Billionen c) 1 000 000 000 000 000 = 10 15 = 1 Billiarde Der Taschenrechner zeigt die Ergebnisse mithilfe

von Zehnerpotenzen an. Dabei wird die Basis 10 als 1 abgebildet.

Sabrina hat nur teilweise Recht. Bei Zehnerpoten­zen gibt die Zahl rechts in der Taschenrechneran­zeige die Anzahl der Nullen an. Bei Produkten aus einer Dezimalzahl und einer Zehnerpotenz (z. B. 1,4 · 10 5) gibt sie die Stellen an, um die das Kom­ma bei positiver Zahl nach rechts (bei negativer nach links) verschoben werden muss.

a) 10 8 = 100 000 000 = 100 Millionen b) 10 12 = 1 000 000 000 000 = 1 Billion c) 10 1 = 10

Aufgaben

1  Neben der Schreibweise sollte hier auch das Vorle-sen großer Zahlen geübt werden.a) 100b) 10 000c) 100 000 000 (100 Millionen)d) 10 000 000 000 (10 Milliarden)e) 10 000 000 (10 Millionen)f) 100 000 000 000 (100 Milliarden)

2  a) 10 6 b) 10 9

c) 10 12 d) 10 15

3  a) Die Anzeige bedeutet 10 14, also 100 000 000 000 000 (100 Billionen). Ömer erwartet eine hohe Zahl und kennt die Potenzschreibweise nicht.b) 10 7 · 10 7 = 10 14

L 20

4  a) 1013, d. h. 13 Nullen b) 107, d. h. 7 Nullenc) 1011, d. h. 11 Nullen d) 1024, d. h. 24 Nullen

5  a) 2 · 10 000b) 4 · 100 000c) 9 · 100 000d) 82 · 1 000 000e) 704 · 1 000 000f) 10 045 · 1000 g) 683 062 · 1 000 000h) 3 · 1 000 000

6  a) und b) (Å) 400 000 = 4 · 10 5

(2) 400 000 000 000 = 4 · 10 11

(3) 4 000 000 000 000 000 = 4 · 10 15

7  a) 2 · 10 3 b) 5 · 10 6

c) 3,4 · 10 6 d) 8 · 10 9

e) 10 · 10 12 = 10 13 f) 101 · 10 9 = 1,01 · 10 11

8  An den gewählten Beispielen wird deutlich, dass die Potenzschreibweise erst bei größeren Zahlen sinnvoll und übersichtlich ist. a) 124 · 102 = 1,24 · 10 4

b) 7 · 10 10 c) 25 · 10 8 = 2,5 · 10 9

d) 386 · 10 3 = 3,86 · 10 5

e) 566 · 10 6 = 5,66 · 10 8

f) 3211 · 10 4 = 3,211 · 10 7

9  Hier kann man nicht schematisch vorgehen. Da die Zahlen nicht in der sog. wissenschaftlichen Nota-tion stehen (vor der Zehnerpotenz stehen nur Zahlen zwischen 0 und 10). Das (gedachte) Komma muss ver-schoben werden um so viele Stellen wie der Exponent angibt.a) 120 000 b) 4 200 000c) 8 000 000 d) 11 100 000 000e) 410 f) 75 000g) 375 h) 6 000 000 000

10  Gibt man das Produkt so wie abgedruckt in den (zehnstelligen) Rechner ein, so erhält man ein falsches Ergebnis, da der Rechner Nullen, die nicht auf der Anzeige erscheinen, bei der Berechnung nicht berücksichtigt. Daher empfiehlt sich die Eingabe der Zahlen als Zehnerpotenzen:1,2 · 1012 · 1,2 · 1011 = 1,44 · 1023

Diese Aufgabe bereitet die Information vor.

InformationDas Umwandeln und Eingeben von Zahlen mit mehr als 10 Stellen in den Taschenrechner kann in Partner­arbeit geübt werden. Jeder Partner denkt sich für den anderen Zahlen aus, die dieser in Zehnerpotenz­Darstellung aufschreibt. Zahlen wie 123 456 789 876 können nur gerundet in einen Taschenrechner mit 10­stelliger Anzeige einge­geben werden. Dies spielt (entsprechende Rundung vorausgesetzt) bei derart großen Zahlen jedoch kaum eine Rolle.

11  Die fehlenden Angaben finden die Schülerinnen und Schüler auf der Randspalte.a) 5Å2 · 10 6 B = 512 000 000 B Å · 10 9 B = 1 000 000 000 B 2 · 10 9 B = 2 000 000 000 B 20 · 10 9 B = 20 000 000 000 Bb) Der Speicherbedarf eines Songs hängt von der Länge und vor allem der Qualität ab, mit der er ab­gespeichert wird. (Benötigt ein Song 4 MB, so passen auf einen 2­GB­Player etwa 500 Songs.) Eine Lösung der Aufgabe setzt aktuelle Recherche im Internet voraus.

RandspalteDie genannten Vorsilben für Vielfache von Einheiten werden dabei auf unterschiedliche Einheiten ange­wandt. So gibt es z. B. neben dem Kilogramm etwa den Kilometer. Einheiten, auf die diese Vorsilben angewandt werden, sind unter anderem Watt (Lei­stung), Ampere (Stromstärke) oder Hertz (Frequenz). Obiges gilt nicht für die Vorsilbe „Hekto“, die man nur noch bei „hektar“ (1 ha = 100 a = 10 000 m2) antrifft.

L 21

InformationStellt man kleine Zahlen mit vielen Stellen nach dem Komma ausführlich dar, wird ebenfalls die Dreierglie­derung der Ziffern verwendet. Hierbei werden vom Komma aus immer 3 Stellen nach rechts zusammen­gefasst.Die Bezeichnungen für kleine Zehnerpotenzen befin­den sich auf der Randspalte.

12  a) 10 – 2 b) 10 – 6

c) 10 – 5 d) 10 0

e) 10 – 8 f) 10 – 10

13  a) 0,01 = 10 – 2

b) 0,000 001 = 10 – 6

c) 0,001 = 10 – 3 d) 0,000 000 001 = 10 – 9

e) 0,002 = 2 · 10 – 3

f) 0,0034 = 34 · 10 – 4 = 3,4 · 10 – 3

14  a) 0,01b) 0,0001c) 0,000 000 1d) 0,000 000 000 1e) 0,000 000 000 001f) 0,000 000 000 000 001g) 0,000 000 01h) 0,1i) 0,000 000 000 000 000 001

15  a) 5 · 10 – 3

b) 8 · 10 – 7

c) 25 · 10 – 6 = 2,5 · 10 – 5

d) 44 · 10 – 9 = 4,4 · 10 – 8

e) 123 · 10 – 8 = 1,23 · 10 – 6

f) 1024 · 10 – 7 = 1,024 · 10 – 4

16  a) 1,3 sb) 500 s = 8 min 20 s c) 14 500 s = 4 h 1 min 40 sd) 3 · 10 5 km · 60 · 60 · 24 · 365 = 9,4608 · 10 12 km

≈ 10 Billionen km

17  a) Die Ausdehnung der Milchstraße umfasst etwa 100 000 Lichtjahre. Dies entspricht 100 000 · 9,5 · 10 12 km = 9,5 · 10 17 km.b) 6 · 10 4 · 9,5 · 10 12 km = 5,7 · 10 17 km

18  a) Masse der Erde: 5 977 000 000 000 000 000 000 tMasse des Mondes: 73 500 000 000 000 000 000 tb) Die Erde ist etwa 81,32­mal so schwer wie der Mond.

19  a) 2 7,5 · 1017 3 : 365 = 2,05 · 1015

Das sind pro Tag etwa 2,05 · 1015 kWh.b) Ein 4­Personen­Haushalt benötigt pro Jahr etwa 4000 kWh.Die von der Sonne abgestrahlte Energie im Jahr be­trägt das 1,875 · 1014­Fache.c) Primärenergieverbrauch pro JahrDeutschland: 4000 Mrd. kWh = 4 · 1012 kWhWelt: 113 000 Mrd. kWh = 1,13 · 1015 kWh(aus www.energieverbraucher.de)

Weiteres Angebot: PlanetenÜbungsaufgaben zum Eingeben großer Zahlen in den Taschenrechnera) Gib in der Zehnerpotenzdarstellung an, so dass die Zahlen in den Taschenrechner eingegeben wer­den können. Mittlere Entfernungen der Planeten von der Sonne:Merkur: 57 900 000 000 mErde: 149 600 000 000 mSaturn: 1 432 000 000 000 mNeptun: 4 509 000 000 000 mb) Die Erde hat eine Masse von rund 5 977 000 000 000 000 000 000 t. Der Jupiter ist etwa 300­mal so schwer wie die Erde. Welche Masse hat er? Die Sonne ist rund 333 000­mal so schwer wie die Erde. Berechne ihre Masse.c) 362 000 000 000 000 m2 der Erdoberfläche sind mit Wasser bedeckt. Das sind 71 % der Erdoberfläche. Berechne die Größe der Erdoberfläche.

Lösungena) Merkur: 5,79 · 10 10 m; Erde: 1,496 · 10 11 mSaturn: 1,432 · 10 12 m; Neptun: 4,509 · 10 12 mb) Masse Erde: 5,977 · 10 21 tMasse Jupiter: 5,977 · 10 21 t · 300 = 1,7931 · 10 24 tMasse Sonne: 1,990 341 · 10 27 tc) Wasserfläche: 3,62 · 10 14 m2

Erdoberfläche: ≈ 5,1 · 10 14 m2

L 22

Thema: Ganz klein – winzig klein –   nanoklein

Bei dieser Sonderseite wurden Themen aus der Welt der Insekten und der Nanotechnologie ausgewählt, um deutlich zu machen, wo im Alltag bzw. im Bereich der Technologie sehr kleine Zahlen Verwendung fin­den. Bei den Größenumrechnungen wird durch die vorgegebenen Einheiten deutlich, dass Angaben durch Zehnerpotenzen und die Einheiten „Meter“ oder „Kilo“ für diese Bereiche unübersichtlich sind und man deshalb auf die Einheiten nm, µm oder mg aus­weicht. Will man allerdings Größen miteinander ver­gleichen, so ist eine gemeinsame Einheit notwendig.

Aufgaben

1  a) Die Jugendlichen müssen darauf achten, dass sie für den Vergleich eine der gegebenen Einheiten wählen (mg, g, kg) und durchgehend verwenden.Eine Stechmücke wiegt 2,5 mg = 2,5 · 10– 3 g.Sei x die gesuchte Anzahl von Mücken. Da x Mücken 1 g wiegen, gilt: 2,5 · 10– 3 · x = 1; x = 1

__ 2,5 · 10– 3 = 400

400 Mücken wiegen also 1 g.Wenn die Mücken 1 kg = 103 g wiegen sollen, so gilt:

2,5 · 10– 3 · x = 103 ;

x = 103

__ 2,5 · 10– 3 ;

x = 400 000

400 000 Mücken wiegen 1 kg.

b) Individuelle Lösungen

2  Da die Einheiten „µm“ und „nm“ im Vergleich zu „Meter“ definiert sind, ist es hier am leichtesten, auch „Meter“ als gemeinsame Vergleichseinheit zu wählen. „Mikrometer“ und „Nanometer“ sind aber auch als Ver-gleichseinheit vorstellbar.a) Größe vom Plasmodium: 20 µm = 20 · 10– 6 mGröße vom Virus: 40 nm = 40 · 10– 9 m

20 · 10– 6

__ 40 · 10– 9 = 0,5 · 103 = 500

Ein Plasmodium ist 500­mal größer als ein Virus.b) Individuelle Lösungen

3  Zuerst wird „Millionstel Gramm“ wie auch „Milli-gramm“ in der Potenzschreibweise in „Gramm“ ausge-drückt.a) Gewicht der Pollen:

0,5 · 1 __ 1 000 000 g = 0,5 · 10– 6 g

Die Biene sammelt x Pollen, um 20 mg = 20 · 10– 3 g zu erhalten. Es gilt also:

0,5 · 10– 6 · x = 20 · 10– 3 ;

x = 20 · 10– 3

__ 0,5 · 10– 6 = 4 · 103 = 4000.

Die Biene muss 4000 Pollen pro Flug sammeln.b) 25 kg bis 30 kg = 25 · 106 mg bis 30 · 106 mgBei 13 Flügen sammelt eine Biene 13 · 20 mg = 260 mg und fliegt dabei 85 km. Um 25 · 106 mg (bzw. 30 · 106 mg) zu sammeln, fliegt sie

85 · 25 · 106

__ 260 ≈ 8 200 000 km (bzw. ≈ 9 800 000 km).

4  a) x Nanoröhrchen von 20 nm = 20 · 10– 9 m erge­ben nebeneinander 1 mm = 10– 3 m, es gilt also: 20 · 10– 9 · x = 10– 3 ; x = 50 000. b) x Wasserstoffatome mit der Dicke von 0,1 nm sol­len nebeneinander 20 nm ergeben, es gilt also: 0,1 · x = 20; x = 200.c) Da das Haar „dick“ im Vergleich zum Nanoröhr­chen ist, wäre hier z. B. eine sinnvolle Frage, wie viele Nanoröhrchen nebeneinander ein Haar ergeben (500 000).

L 23

Üben – Wiederholen

Die Rubrik „Üben – Wiederholen“ dient als weiterer Aufgabenpool zur Ergänzung, Wiederholung und Überprüfung. Außerdem werden hier Inhalte der ver­schiedenen Lerneinheiten vernetzt.

Aufgaben

1 a) √

__ 9 = 3; b) √

____ 8000 ≈ 89,44;

√___

0,9 ≈ 0,95; √___

800 ≈ 28,28; √

____ 0,09 = 0,3; √

___ 80 ≈ 8,94;

√_____

0,009 ≈ 0,095; √__ 8 ≈ 2,83;

√______

0,0009 = 0,03 √___

0,8 ≈ 0,89c) √

_ 1 = 1;

√__

10 ≈ 3,16; √

___ 100 = 10;

√____

1000 ≈ 31,62; √

______ 10 000 = 100

2  a) 5,3 · 10 6 b) 1,01 · 10 9

c) 2,0001 · 10 7 d) 1 · 10 – 2

e) 7 · 10 – 4 f) 2,003 · 10– 1

3  a) √__ Å = Å

√___

Å2Å = ÅÅ √

______ Å2 32Å = ÅÅÅ

√________

Å 234 32Å = Å ÅÅÅ √

_________ Å23 454 32Å = ÅÅ ÅÅÅ

b) Man kann so weiter machen bis √

_________________ 123 456 789 876 543 21 = 111 111 111.

c) Die Zahlen, die unter dem Wurzelzeichen stehen, sind die Quadratzahlen von Zahlen, die aus lauter Einsen bestehen.d) Der Taschenrechner liefert das gerundete Ergebnis 1,234 567 877 · 1014.Das genaue Ergebnis lautet 123 456 787 654 321.

4  a) √___

Å6 = 4 b) √___

8Å = 9 √

_____ Å Å56 = 34 √

_____ 9 80Å = 99

√______

ÅÅÅ 556 = 334 √______

998 00Å = 999 √

_________ ÅÅ ÅÅ5 556 = 3 334 … √

_________ 99 980 00Å = 9 999 …

c) √___

49 = 7 √

_____ 4 489 = 67

√______

444 889 = 667 √

_________ 44 448 889 = 6 667 …

5 √

___ Å2Å = Å1 √

___ 484 = 22

√_____

10 201 = 101 √_____

12 321 = 111 √

_____ 14 641 = 121 √

______ 40 804 = 202

√______

44 944 = 212 √_______

1 002 001 = 1001Sowohl die Zahlen als auch die Wurzeln aus den Zahlen bilden Ziffernfolgen, aus spiegelbildlich ange­ordneten Ziffern (sogenannte Palindrom­Zahlen). Bei der Endziffer 1 taucht auch in der Wurzel die Endziffer 1 auf; bei der Endziffer 4 eine 2.

6  a) 815 ≈ 3,5 · 10 13 b) 752 ≈ 8,8 · 10 43

c) 690 ≈ 1,1 · 10 70

7  a) 1 _ 10 m = 1 · 10 – 1 mb) 10 3 W (Watt, d. h. Einheit für die Leistung)c) 10 – 3 Ð (Ohm, d. h. Einheit für den elektrischen Wider stand)d) 10 9 B (Byte, d. h. Einheit für die Speicherkapazität)e) 10 3 J (Joule, d. h. Einheit für Energie)f) 10 12 Wg) 1

_ 1000 s = 10 – 3 s

h) 10 6 Bi) 10 6 Hz (Hertz, d. h. Einheit für Frequenz)j) 10 3 Wh (Wattstunde, d. h. Energie pro Stunde)

8  a) nach 1 Woche: 2 · 5 cm2 = 2 1 · 5 cm2 = 10 cm2

nach 2 Wochen: 2 2 · 5 cm2 = 20 cm2

nach 3 Wochen: 2 3 · 5 cm2 = 40 cm2

nach 4 Wochen: 2 4 · 5 cm2 = 80 cm2

b) nach 8 Wochen: 2 8 · 5 cm2 = 1280 cm2 c) Die Aufgabe kann mithilfe einer Tabelle gelöst werden. 2 m2 = 20 000 cm2; 2 12 · 5 cm2 = 20 480 cm2

Nach rund 12 Wochen ist der Teich zugewachsen.

Randspalte Eine Lösung der Aufgabe erfordert eine aktuelle Re­cherche im Internet. Je nach Typ der Kamera und Auf­lösung der Fotos kann eine unterschiedliche Anzahl von Bildern gespeichert werden.Auch bei CD/DDCD (650 MB/900 MB), einer DVD (4,7 GB/17 GB) oder einem USB­Stick (4 GB/16 GB) ändern sich die technischen Daten fortlaufend.

L 24

9  √___

625 = 2525 – √

___ 25 = √

__ 16 + 16

100 – √_ 1 = 88 + √

___ 121

√___

225 = √__

81 + √___

36

10  Susis Behauptung ist richtig. Multipliziert man die Ziffern der Einerstellen natürlicher Zahlen, so er­hält man die Einerstelle des Produktes. Bei Quadrat­zahlen von natürlichen Zahlen tritt dabei die Ziffer 2 niemals auf. 0 2 = 0; 1 2 = 1; 2 2 = 4; 3 2 = 9; 4 2 = 16; 5 2 = 25; 6 2 = 36; 7 2 = 49; 8 2 = 64; 9 2 = 81; …

11  Diese Aufgabe eignet sich zur Gruppenarbeit. Sie kann etwa mithilfe einer Tabellenkalkulation (Poten zierungsoperator ^) gelöst werden:

Feld Reiskörner Feld ReiskörnerÅ Å 33 429496å2962 2 34 85899345923 4 35 ÅåÅå9869Å844 8 36 34359å383685 Å6 3å 68åÅ94å6å366 32 38 Å,3å439E+ÅÅå 64 39 2,å48å8E+ÅÅ Frachtschiff8 Å28 40 5,49å56E+ÅÅ (≈ Å0 995 t)9 256 4Å Å,0995ÅE+Å2Å0 5Å2 42 2,Å9902E+Å2ÅÅ Å024 43 4,39805E+Å2Å2 2048 44 8,å9609E+Å2Å3 4096 45 Å,å5922E+Å3Å4 8Å92 46 3,5Å844E+Å3Å5 Å6384 4å å,0368åE+Å3Å6 32å68 48 Å,40å3åE+Å4Åå 65536 49 2,8Å4å5E+Å4Å8 Å3Å0å2 50 5,6295E+Å4Å9 262Å44 5Å Å,Å259E+Å520 524288 Sack 52 2,25Å8E+Å52Å Å0485å6 (≈ 2Å kg) 53 4,5036E+Å522 209åÅ52 54 9,00å2E+Å523 4Å94304 55 Å,80Å44E+Å624 8388608 56 3,60288E+Å625 Å6ååå2Å6 5å å,205å6E+Å626 33554432 58 Å,44ÅÅ5E+Åå2å 6åÅ08864 59 2,8823E+Åå28 Å342Ååå28 60 5,å646ÅE+Åå29 268435456 LKW 6Å Å,Å5292E+Å830 5368å09Å2 (≈ Å0,å t) 62 2,30584E+Å83Å Å0å3å4Å824 63 4,6ÅÅ69E+Å832 2Å4å483648 64 9,2233åE+Å8

Gezählt wird immer von links nach rechts, d. h. oberhalb vom ersten Feld liegt das neunte Feld.

Bei Erfüllung des Wunsches würden sich auf dem letzten Feld 2 63 Körner befinden. Das sind etwa 9,22337 · 10 18 Körner, die rund 1,844674 · 10 11 t wiegen würden. Allein auf dem 64. Feld würde sich somit das 3689,349­Fache der deutschen Getreide­ernte befinden. Mit der Summenfunktion ergeben sich insgesamt 1,84467E+19 Reiskörner.

12  a) 1 µg = 10 – 6 g; 0,01 µg = 10 – 8 gDie Waage wiegt also auf 1

__ 100 000 000 g genau.b) 0,000 000 01 g

13  a) 3 · 10 7 = 30 000 000b) 1,234 · 10 13 = 12 340 000 000 000c) 6,4 · 10 8 = 640 000 000d) 2,011 · 10 12 = 2 011 000 000 000

14  In 1 g sind 3,5 · 10 9 Bakterien; in 1 kg somit 3,5 · 1012 Bakterien und in 100 kg sind 3,5 · 10 14 Bakterien.

15  a) 3 · 10 8 m/sb) 4 · 107 mc) 6 · 10 12 Zellend) 8,6 · 10 – 4 cme) 8 · 10 – 4 cm

16  a) An einem Tag wurden 4 · 60 · 60 · 24 Men­schen, also 345 600 Menschen geboren.b) In einem Monat mit 30 Tagen wurden 10 368 000 Menschen geboren.c) An 365 Tagen wurden 126 144 000 Menschen geboren.

17  blondes Haar: 60 000 mm = 60 mbraunes Haar: 44 000 mm = 44 mschwarzes Haar: 40 000 mm = 40 mrotes Haar: 36 000 mm = 36 m

18  a) 10 000 · 9 · 10 – 5 m = 0,9 mb) 9 mc) 900 md) 900 000 m

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Aufgabenvorschläge für Klassenarbeiten zu Kapitel 1

1  Berechne. Runde (wenn notwendig) die Ergeb­nisse auf zwei Dezimalstellen.a) √

__ 4 + √

__ 16 b) 1,22

c) √__ 8 + 19 d) (4 – 1,5) 3

e) √__

1 _ 4 + (0,2) 2 f) 2  2 _ 3 3 4

2  Schreibe als Zehnerpotenz.a) 5 Millionen b) 4 300 000 000c) 1

_ 1000 d) 0,0005

e) 10 Billionen f) 0,205

3  Schreibe folgende Zahlen mithilfe von Zehner­potenzen:a) Die Chinesische Mauer (Mauerwerk) hat ein Volu­men von rund 200 000 000 m3.b) Der Assuan­Staudamm in Ägypten staut eine Wasser menge von rund 2,5 Milliarden m3. c) Ein Tabakrauchteilchen hat eine Größe von 0,000 05 mm.

4  Das menschliche Herz schlägt durchschnittlich pro Stunde 5000­mal. Gib die Ergebnisse mithilfe von Zehnerpotenzen an.a) Wie oft schlägt es in einem Jahr?b) Herr Müller feiert seinen 50. Geburtstag. Wie oft hat sein Herz schon geschlagen (ohne Schaltjahre)?

5  In einen Würfel passen genau 64 Liter. Berechne seine Kantenlänge und seine Grundfläche.

a

a

a

6  Ein rotes Blutkörperchen hat einen Durchmesser von 8

_ 1000 mm. Es wird mit 3500­facher Vergrößerung in einem Schulbuch abgebildet. Wie groß ist der Durch­messer des Blutkörperchens auf der Abbildung in cm?

7  Ein Bauer möchte sein quadratisches Grundstück einzäunen. Sein Grundstück ist 2,25 a groß. Das Tor ist 2,30 m breit. Wie viel Meter Zaun werden benötigt?

8  Ein Schachbrett hat 64 Schachfelder und einen Flächeninhalt von 1296 cm2. a) Berechne die Seiten­länge des Schachbretts.b) Das Schachbrett hat einen Rand von 2 cm. Wie lang ist die Seite eines Schachfeldes?c) Wie groß ist die Fläche eines Schachfeldes?

Lösungen1  a) 6 b) 1,44 c) ≈ 21,83

d) 15,625 e) 0,54 f) 16 _ 81 ≈ 0,20

2  a) 5 · 106 b) 4,3 · 109 c) 10– 3

d) 5 · 10– 4 e) 1013 f) 2,05 · 10– 1

3  a) 2 · 10 8 m3 b) 2,5 · 10 9 m3 c) 5 · 10 – 5 mm

4  a) Jahr: 43 800 000­mal = 4,38 · 10 7­malb) 2,19 · 10 9­mal

5  64 ø = 64 dm3 = 64 000 cm3

Kantenlänge: a = 3

√_______

64 000 cm3 = 40 cmGrundfläche: a2 = (40 cm) 2 = 1600 cm2

6  Durchmesser: 0,008 mm · 3500 = 28 mm = 2,8 cm

7  2,25 a = 225 m2

Seitenlänge: √______

225 m2 = 15 mZaunbedarf: 15 m · 4 – 2,30 m = 57,70 m

8  a) Seitenlänge des Schachbretts: √

_______ 1296 cm2 = 36 cm

b) Seitenlänge eines Schachfeldes: 1 _ 8 · (36 cm – 4 cm) = 4 cm

c) Fläche eines Schachfeldes: (4 cm) 2 = 16 cm2