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Jahrgang 8 G- Kurs

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Potenzen

Du bist jetzt hier: 1 Potenzen

2 Zehnerpotenzen3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen5 Quadratwurzeln6 Kubikwurzeln

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Potenzen

4³ = 4 · 4 · 4125 = 12 · 12 · 12 · 12 · 1268 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 677 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7

Eine Potenz gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selber malgenommen wird:

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Potenzen

42 = 4 · 4

122 = 12 · 12

62 = 6 · 6

Eine besondere Potenz ist die Quadratzahl. Hier ist die Hochzahl immer die 2.

Wir erinnern uns: Beim Quadrat ist die Fläche immer

A = a · a = a²a

aA

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Potenzen

43 · 4 =

Man kann mit Potenzen rechnen, ohne diese jeweils auszuschreiben:

4 · 4 · 4 · 4 =

Beispiel: 44

Das gilt, auch wenn es nicht „·4“, sondern „das Vierfache von“ heißt:

44 · 4 =

Das geht doch auch

direkt!?Einmal „·4“ mehr, also …

45

Das Vierfache von 47 = 48

Das Vierfache, also „·4“!

4·4·4·4·4·4·4 ·4

also 8 mal

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Potenzen

(4 + 3)²+ 2 · 5 =

Für Potenzen gelten Vorfahrtregeln wie für „+“ , „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch.

Beispiel:

14 + 2 · 5 =

Zuerst KLammer

Dann „+“ und „-“

Zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Punkt- und zuletzt Strichrechnung.

Dann Potenz72 + 2 · 5 =Dann „·“ und

„:“

14 + 10 =

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Potenzen

Es gibt noch andere Auffälligkeiten!

34 · 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 39 Aha, ich muss also

nur 4 + 5 = 9 rechnen

Das ist ‚ne Rechenregel!

74 · 78 = 74+8 = 712

34 · 35 = 34+5 =39

Mit Buchstaben:xm · xn = xm+n

Das ist ja viel weniger Arbeit!

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Potenzen

102 = 10 · 10 = 100

103 = 10 · 10 · 10 = 1000

Bei genauer Betrachtung fällt auf, das die Hochzahl immer der Anzahl der Nullen entspricht!

Eine weitere besondere Potenz ist die Zehnerpotenz. Hier ist die Grundzahl immer die 10.

107 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10000000

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Potenzen

Übrigens

1 000 000 000 000 = 1012 Billionen

1 000 000 000 = 109 Milliarden

10 = 101 Zehn100 = 102 Hundert

1000 = 103 Tausend10 000 = 104 Zehn- Tausend

100 000 = 105 Hundert-Tausend

1 000 000 = 106 Millionen10 000 000 = 107 Zehn- Millionen

100 000 000 = 108 Hundert-Millionen

10 000 000 000 = 1010 Zehn- Milliarden100 000 000 000 = 1011 Hundert-Milliarden

10 000 000 000 000 = 1013 Zehn- Billionen

100 000 000 000 000 = 1014 Hundert-Billionen

1 000 000 000 000 000 = 1015 Billiarden10 000 000 000 000 000 = 1016 Zehn- Billiarden

100 000 000 000 000 000 = 1017 Hundert- Billiarden

1 = 100 Eins

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Potenzen

Wir kennen:

= 109

= 105

10

10 00000000 100000000 = 108

10000000 = 107

1000000 = 106

100000 10000 = 104

1000 = 103

100 = 102

= 101

10-1 =1 = 100

0,1 0,01 10-2 =0,001 10-3 =0,0001 10-4 =0,00001 10-5 =

Neu! Über die Hochzahl können wir auch kleine Zahlen definieren!

Die Hochzahl zeigt, wie oft das Komma von der 1 weg verschoben wird!

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Potenzen

Zehnerpotenzen mit negativem Exponent beschreiben den Rechenschritt „:10“

Und weiter gilt

Die negative Hochzahl einer Zehnerpotenz gibt also an, wie oft durch 10 geteilt wird.

10-1 = = 0,1 1

10

10-2 = = 0,01 1

10 · 10

10-3 = = 0,001 1

10 · 10 · 10

Wenn wir „:10“ als Bruch ausdrücken, können wir schreiben:

.. und so weiter!

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Potenzen

Grosse Zahlen mit Zehnerpotenzen

Man kann sehr große Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken !

26890000000000011 Nullen,

(11 Kommastellen)!

= 2689 · 1011Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle !

= 268,9 · 1012

= 26,89 · 1013

= 2,689 · 1014

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Potenzen

Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen

Man kann sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken !

0,00026894 Kommastellen

= 2,689 · 10-4

Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle, aber in die andere Richtung!!

= 26,89 · 10-5

= 268, 9 · 10-6

= 2689 · 10-7

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4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln

6 Kubikwurzeln

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Potenzen

Quadratwurzel

Bisher haben wir das Ergebnis einer Potenzierung gesucht:

5² =

Beispiel:

5 · 5 =

25

Jetzt haben wir das Ergebnis und suchen die Zahl, die mit sich selber malgenommen das Ergebnis ergibt.

? · ? = 16

Diese Berechnung hat eine bestimmte Schreibweise:

? = 162

Man sagt dazu: „Wurzel“, hier „Wurzel 16“.

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Potenzen

Quadratwurzel

Aus dem 1 x 1 kennen wir schon verschiedene Ergebnisse

Beispiel:

16 =

2 4 denn 4 · 4 = 16

9 =2 3 denn 3 · 3 =

925 =

2

5 denn .....

Andere Zahlen gehen nicht glatt auf:

8 =2 2,8284271247461900976033774484194

...

5 =2 2,2360679774997896964091736687313

..

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Potenzen

Quadratwurzel

Die Wurzel gilt nicht als Term, also „Rechenanweisung“, sondern als Zahl.

Man könnte also schreiben:

1, 2, 9, 16, 5, 6, 7, 8, 81, 10, 11, =2 2 2

1, 2, 3, 4, 25, 6, 7, 8, 9, 100, 11, =2 2 2

oder:

9 =2

3 Es ist also nicht nur 9 ist

2

3 usw.sondern

9 2Damit liegt die Zahl zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 4.

2 7 (= 2,64575131106459...) ... und die Zahlzwischen den natürlichen Zahlen 2 und 3.

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Potenzen

Quadratwurzel

Man kann bei einigen Zahlen vorhersehen, ob das Ergebnis einer Wurzel eine „glatte“ Zahl ergibt:

Beispiel: 16 = 4

2

1600 = 402

aber: 160 = 12,649110642

36 = 62

3600 = 602

aber: 360 = 18,973665962

Du kommst selber drauf. Achte auf die Anzahl der Nullen!

16000 = 126,49110642

36000 = 189,73665962