Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung...
-
Upload
adelhard-mundinger -
Category
Documents
-
view
103 -
download
0
Transcript of Potenzen JG 9 Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung...
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Potenzen und WurzelnZusammenfassung
Jahrgang 8 G- Kurs
Wenn dieses Symbol erscheint, musst du
die Taste drücken, damit es weitergeht
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Du bist jetzt hier: 1 Potenzen
2 Zehnerpotenzen3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen5 Quadratwurzeln6 Kubikwurzeln
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
4³ = 4 · 4 · 4125 = 12 · 12 · 12 · 12 · 1268 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 677 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
Eine Potenz gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selber malgenommen wird:
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
42 = 4 · 4
122 = 12 · 12
62 = 6 · 6
Eine besondere Potenz ist die Quadratzahl. Hier ist die Hochzahl immer die 2.
Wir erinnern uns: Beim Quadrat ist die Fläche immer
A = a · a = a²a
aA
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
43 · 4 =
Man kann mit Potenzen rechnen, ohne diese jeweils auszuschreiben:
4 · 4 · 4 · 4 =
Beispiel: 44
Das gilt, auch wenn es nicht „·4“, sondern „das Vierfache von“ heißt:
44 · 4 =
Das geht doch auch
direkt!?Einmal „·4“ mehr, also …
45
Das Vierfache von 47 = 48
Das Vierfache, also „·4“!
4·4·4·4·4·4·4 ·4
also 8 mal
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
(4 + 3)²+ 2 · 5 =
Für Potenzen gelten Vorfahrtregeln wie für „+“ , „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch.
Beispiel:
14 + 2 · 5 =
Zuerst KLammer
Dann „+“ und „-“
Zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Punkt- und zuletzt Strichrechnung.
Dann Potenz72 + 2 · 5 =Dann „·“ und
„:“
14 + 10 =
24
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Es gibt noch andere Auffälligkeiten!
34 · 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 39 Aha, ich muss also
nur 4 + 5 = 9 rechnen
Das ist ‚ne Rechenregel!
74 · 78 = 74+8 = 712
34 · 35 = 34+5 =39
Mit Buchstaben:xm · xn = xm+n
Das ist ja viel weniger Arbeit!
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Du bist jetzt hier:1 Potenzen
2 Zehnerpotenzen3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen5 Quadratwurzeln6 Kubikwurzeln
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
102 = 10 · 10 = 100
103 = 10 · 10 · 10 = 1000
Bei genauer Betrachtung fällt auf, das die Hochzahl immer der Anzahl der Nullen entspricht!
Eine weitere besondere Potenz ist die Zehnerpotenz. Hier ist die Grundzahl immer die 10.
107 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10000000
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Übrigens
1 000 000 000 000 = 1012 Billionen
1 000 000 000 = 109 Milliarden
10 = 101 Zehn100 = 102 Hundert
1000 = 103 Tausend10 000 = 104 Zehn- Tausend
100 000 = 105 Hundert-Tausend
1 000 000 = 106 Millionen10 000 000 = 107 Zehn- Millionen
100 000 000 = 108 Hundert-Millionen
10 000 000 000 = 1010 Zehn- Milliarden100 000 000 000 = 1011 Hundert-Milliarden
10 000 000 000 000 = 1013 Zehn- Billionen
100 000 000 000 000 = 1014 Hundert-Billionen
1 000 000 000 000 000 = 1015 Billiarden10 000 000 000 000 000 = 1016 Zehn- Billiarden
100 000 000 000 000 000 = 1017 Hundert- Billiarden
1 = 100 Eins
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Du bist jetzt hier:1 Potenzen
2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen
4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen5 Quadratwurzeln6 Kubikwurzeln
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Wir kennen:
= 109
= 105
10
10 00000000 100000000 = 108
10000000 = 107
1000000 = 106
100000 10000 = 104
1000 = 103
100 = 102
= 101
10-1 =1 = 100
0,1 0,01 10-2 =0,001 10-3 =0,0001 10-4 =0,00001 10-5 =
Neu! Über die Hochzahl können wir auch kleine Zahlen definieren!
Die Hochzahl zeigt, wie oft das Komma von der 1 weg verschoben wird!
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Zehnerpotenzen mit negativem Exponent beschreiben den Rechenschritt „:10“
Und weiter gilt
Die negative Hochzahl einer Zehnerpotenz gibt also an, wie oft durch 10 geteilt wird.
10-1 = = 0,1 1
10
10-2 = = 0,01 1
10 · 10
10-3 = = 0,001 1
10 · 10 · 10
Wenn wir „:10“ als Bruch ausdrücken, können wir schreiben:
.. und so weiter!
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Du bist jetzt hier:1 Potenzen2 Zehnerpotenzen3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen
4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen5 Quadratwurzeln6 Kubikwurzeln
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Grosse Zahlen mit Zehnerpotenzen
Man kann sehr große Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken !
26890000000000011 Nullen,
(11 Kommastellen)!
= 2689 · 1011Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle !
= 268,9 · 1012
= 26,89 · 1013
= 2,689 · 1014
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen
Man kann sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken !
0,00026894 Kommastellen
= 2,689 · 10-4
Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle, aber in die andere Richtung!!
= 26,89 · 10-5
= 268, 9 · 10-6
= 2689 · 10-7
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Du bist jetzt hier:1 Potenzen2 Zehnerpotenzen3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen
4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln
6 Kubikwurzeln
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Quadratwurzel
Bisher haben wir das Ergebnis einer Potenzierung gesucht:
5² =
Beispiel:
5 · 5 =
25
Jetzt haben wir das Ergebnis und suchen die Zahl, die mit sich selber malgenommen das Ergebnis ergibt.
? · ? = 16
Diese Berechnung hat eine bestimmte Schreibweise:
? = 162
Man sagt dazu: „Wurzel“, hier „Wurzel 16“.
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Quadratwurzel
Aus dem 1 x 1 kennen wir schon verschiedene Ergebnisse
Beispiel:
16 =
2 4 denn 4 · 4 = 16
9 =2 3 denn 3 · 3 =
925 =
2
5 denn .....
Andere Zahlen gehen nicht glatt auf:
8 =2 2,8284271247461900976033774484194
...
5 =2 2,2360679774997896964091736687313
..
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Quadratwurzel
Die Wurzel gilt nicht als Term, also „Rechenanweisung“, sondern als Zahl.
Man könnte also schreiben:
1, 2, 9, 16, 5, 6, 7, 8, 81, 10, 11, =2 2 2
1, 2, 3, 4, 25, 6, 7, 8, 9, 100, 11, =2 2 2
oder:
9 =2
3 Es ist also nicht nur 9 ist
2
3 usw.sondern
9 2Damit liegt die Zahl zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 4.
2 7 (= 2,64575131106459...) ... und die Zahlzwischen den natürlichen Zahlen 2 und 3.
JG 9Potenzen & Wurzeln Zusammenfassung Klassenarbeit
Potenzen
Quadratwurzel
Man kann bei einigen Zahlen vorhersehen, ob das Ergebnis einer Wurzel eine „glatte“ Zahl ergibt:
Beispiel: 16 = 4
2
1600 = 402
aber: 160 = 12,649110642
36 = 62
3600 = 602
aber: 360 = 18,973665962
Du kommst selber drauf. Achte auf die Anzahl der Nullen!
16000 = 126,49110642
36000 = 189,73665962