17100 Algebra-Training 1 Mi TI-Nspire CAS

Algebra-Training

mit TI Nspire CAS

Grundlagen der Algebra

(Klasse 7 bis 10)

Die wichtigsten Methoden per Hand trainieren und mit TI Nspire CAS berechnen

Datei-Nr. 17100

Friedrich W. Buckel

www.mathe-cd.de

Erstellt fr Texas Instruments

Stand 30. August 2007

Vorwort

Dieses Trainingsheft dient einem doppelten Zweck. Schler, die mit einem CAS-Rechner arbeiten, mssen dennoch die grundlegenden Verfahren beherrschen. Daher ist es doch naheliegend, Nspire auch als Kontrolle fr ausfhrliche Berechnungen zu verwenden.

Daher sind einerseits die wichtigsten Rechenmethoden und Grundaufgaben zur Wiederholung aufgelistet. Andererseits wird sind die Texte ein Nspire-Algebra-Lehrbuch, so dass man die Aufgaben mit diesem CAS-Rechner berprfen kann. Zustzliche Trainingsaufgaben ergnzen dieses Angebot.

Bei der Behandlung mancher Aufgaben sind oftmals Lsungswege gefordert, die mehrere Schritte erfordern. Diese kann uns ein CAS-Rechner nicht abnehmen. Hier dient er dann nur als Rechenhilfe mit der Konsequenz, dass man sich genau berlegen muss, welche Berechnungen oder Umformungen Nspire leisten soll. Entsprechend muss man auch die Ergebnisse interpretieren und kann nicht alles unkontrolliert bernehmen. Wer hier erwartet, dass nun pltzlich CAS-Rechner alles tun und leisten sollen, der hat eine falsche Erwartungshaltung.

Dieser vermeintliche Nachteil aller CAS-Rechner wird dabei immer wieder zum Vorteil. Die Fhigkeiten dieser Gerte beruhen auf einer Software, die in der Lage sein soll, alle unsere mathematischen Bedrfnisse zu befriedigen. Dass dies keine Software leisten kann, ist naheliegend. Daher werden auch immer wieder Ergebnisse angezeigt, die den strengen Mathematiklehrer nicht zufrieden stellen. An einigen Stellen des Heftes wird darauf hingewiesen. Dies soll uns daran erinnern, dass CAS-Rechner nur Hilfsmittel sein knnen, und dass die Verantwortung fr die logisch und sachlich korrekte Lsung immer noch bei der Person liegt, die den Rechner bedient, und diese auch in der Lage sein muss, die angezeigten Ergebnisse zu bewerten. Sicher wird die Software weiter entwickelt und wird auch dann und wann manches Ergebnis anders darstellen knnen. Die eigene Denkleistung muss also nicht nur bei der Bedienung sondern auch bei der Auswertung erbracht werden.

Dieser Text kann und will nicht das Handbuch des TI Nspire ersetzen. Dennoch wird an vielen Stellen ausfhrlich auf die Bedienung dieses vielseitigen Gertes hingewiesen. Dazu gibt es am Ende des Textes einen Index.

Noch ein Hinweis zu den Begriffen Befehl und Funktion. Wenn wir Nspire eine Gleichung lsen lassen wollen, geben wir den Befehl solve() ein. Ruft man ihn ber das Men auf, erscheint solve() auf dem Display, man kann ihn aber auch manuell ber die Tastatur eingeben. Die Klammern deuten an, dass es sich im Sinne der Informatik eigentlich um eine Funktion handelt. Der in die Klammer einzutragenden Gleichung wird eine Lsungsmenge zugeordnet. Dennoch verwende ich dafr und fr andere Funktionen des Nspire meistens den Begriff Befehl.

Im Sinne des schulischen Alltags erteilen wir Nspire auch einen Befehl: Rechne bitte und nimm uns die Arbeit ab, soweit dies eben mglich ist.

INHALT 1 TI Nspire als Taschenrechner Eingaberegeln

1.1 Dezimalpunkt statt Dezimalkomma 1 1.2 Zahlenfaktor vor Klammern 1 1.3 Multiplikationspunkt erforderlich ? 1 1.4 Die Grundrechenarten 2 1.5 Markieren, Kopieren und Einfgen 2 1.6 Rechnen mit negativen Zahlen 3 1.7 Gemischte Zahlen (Brche) 4

2 Teilbarkeit

2.1 Primzahluntersuchungen 5 2.2 Primfaktorzerlegung 5 2.3 Grter gemeinsamer Teiler (ggT) 6 2.4 Kleinstes gemeinsames Vielfaches 6 2.5 Divisionsrest 7 2.6 Ganzzahliger Anteil 7 2.7 Aufgaben 8

3 Bruchrechnen

3.1 Eingabe von Brchen 11 3.2 Eingabe und Rechnen mit gemischten Zahlen (Brchen) 11 3.3 Verwandlung unechter Brche in gemischte Zahlen 12 Die Systemvariable ans 13 3.4 Aufgaben zu Brchen 13

4 Arbeit mit Tabellen

4.1 Proportionale Gren 17 Lineare Regression 21 4.2 Proportionale Zuwchse Linearitt 23 4.3 Antiproportionale Gren 28

5 Potenzrechnen

5.1 Grundlagen 35 5.2 Potenzgesetze 36 5.3 Umformungsaufgaben 37

6 Wurzelrechnungen

6.1 Grundlagen zur Quadratwurzel 38 6.2 Regeln des Wurzelrechnens 39 6.3 Grundaufgabe: Den Nenner rational machen 39 6.4 Was passiert bei negativem Radikand? 40 6.5 Grundlagen zu n-ten Wurzeln 41 6.6 Geschachtelte Wurzeln 42 6.7 Trainingsaufgaben 43

7 Termumformungen 7.1 Mit Termen Werte berechnen 45 7.2 Die Funktionsschreibweise von Nspire verwenden 46 7.3 Gleichwertige (quivalente Terme) 47 7.4 Trainingsaufgaben 48 7.5 Binomische Formeln 51 7.6 Polynomische Formeln 52 7.7 Trainingsaufgaben 53 7.8 Faktorisieren 54 7.9 Trainingsaufgaben 56 7.10 Faktorisierung mittels quadratischer Gleichungen 58 7.11 Rechnen mit Bruchtermen 59 Polynomdivision 61 7.12 Terme mit Wurzeln und Potenzen 62 Signum-Funktion 63

8 Lineare Gleichungen

8.1 Grundbegriffe 65 8.2 Lineare Gleichungen mit einem Parameter 66 8.3 Trainingsaufgaben 67

9 Bruchgleichungen

9.1 Grundlagen 69 9.2 Gleichungen, die nicht auf quadratische Gleichungen fhren 69 9.3 Gleichungen, die auf ein quadratische Gleichung fhren 71 9.4 Trainingsaufgaben 71

10 Quadratische Gleichungen

10.1 Die allgemeine quadratische Gleichung 73 10.2 Besondere Gleichungsformen 73 10.3 Trainingsaufgaben 73 10.4 Biquadratische Gleichungen 74 10.5 Andere Gleichungen mit Substitution lsen 75

11 Wurzelgleichungen

11.1 Theoretisches 76 11.2 Beispiele 76

12 Besonderheiten bei Gleichungen

12.1 Gleichungen mit Parameter 77 12.2 Die Probe machen 78 12.3 Die Punktprobe machen 80 12.4 Allgemeingltige Gleichungen 80 12.5 Formeln umstellen 81

13 Gleichungen hheren Grades 82

14 Verwendung komplexer Zahlen 84

15 Geradengleichungen Lineare Funktionen 15.1 Eine Gleichung mit zwei Unbekannten 86 15.2 Eine lineare Funktion definieren 87 15.3 Berechnen von Listen von Funktionswerten 88 15.4 Trainingsaufgaben 89 15.5 Lsungsmenge einer linearen Gleichung als Gerade darstellen 92 15.6 Analyse der Geradengleichung 93

16 Gleichungssysteme 16.1 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten 94 16.2 (2,2)-Systeme mit Parameter 98 16.3 Drei Gleichungen mit zwei Unbekannten 103 16.4 Drei Gleichungen mit drei Unbekannten 104 16.5 Geometrische Deutung einer Gleichung mit 3 Unbekannten 105 16.6 Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten 107

17 Logarithmen

17.1 Grundlagen 109 17.2 Trainingsaufgaben zur Algebra der Logarithmen 112

18 Exponentialgleichungen 115

19 Logarithmusgleichungen 118

Stichwortverzeichnis 121

17100 Algebra-Training 1 mit TI Nspire 1

1 TI Nspire als Taschenrechner: Eingaberegeln

1.1 Dezimalpunkt statt Dezimalkomma!

Bei der Eingabe von Dezimalzahlen ist darauf zu

achten, dass Nspire kein Dezimalkomma sondern

nur den Dezimalpunkt versteht, der unten in der Mitte

auf einer weien Taste vorgegeben ist. Rechts am

Rande findet man auch ein Komma, wer dieses

als Dezimalkomma verwendet, begeht einen Syntaxfehler.

Merke: Ein Dezimalzahlen werden mit einem Dezimalpunkt eingegeben.

1.2 Zahlenfaktor vor Klammern

Steht eine Zahl vor einer Klammer, setzt Nspire auch sofort einen Mal-Punkt dazwischen: Aus 5(3 1)+ wird sofort ( )5 3 1 + mit dem Ergebnis 20. In der 2. Beispielrechnung habe ich eingebeben

( )22 x 3+ . Nspire berechnet nichts; sondern fgt in die Aufgabe und in die Ausgabe nur einen

Mal-Punkt ein !

Hinweis: Zur Berechnung bentigt man den Befehl expand() (= Entwickle ), den man ber

den Befehl ( ) ( )Algebra Entwickleb4 2 erhlt (siehe spter).

Merke: Ein Zahlenfaktor vor einer Klammer bentigt kein Multiplikationszeichen!

1.3 Multiplikationspunkt erforderlich?

In folgenden Fllen darf das Multiplikationszeichen weggelassen werden:

a) Zahlenfaktor vor einem Funktionszeichen

Die Eingabe ( )5 cos 30 wurde mit drei verschiedenen Grundeinstellungen berechnet. In der ersten Zeile war die Grundeinstellung Bogenma und EXAKT. Dazu

gibt es kein geeignetes Ergebnis! In der 2. Zeile habe ich die Grundeinstellung auf Gradma

gendert und verlangt, dass eine Nherungszahl ausgegeben wird (Approximiert), siehe

untere Abbildung. Dazu wird ( )O5cos 30 4,33013 ausgegeben. Eine Nherungszahl erhlt man jedoch auch bei der Grundeinstellung EXAKT durch

/ . Schlielich habe ich mit der Grundeinstellung Gradma und Exakt gearbeitet, und das erhalten, was

ein Schler eigentlich wissen muss: ( ) 525 cos 330 = . Der Malpunkt zwischen der Zahl 5 und der Funktion

cos (Kosinus) wurde von Nspire selbst eingefgt!


b) Gibt man 5 3 ein, fgt Nspire einen Multiplikationspunkt ein. Bei der Grundeinstellung

EXAKT wird nichts berechnet, wenn man eingibt. Will man die Nherungszahl, sollte / eingetippt werden.

c) Als Ausblick sei erwhnt, dass man in der Rechnung

( )a 2 a + den Multiplikationspunkt vor der Klammer bentigt, sonst wird diese Fehlermeldung angezeigt.

Allerdings wird zur Berechnung expand() bentigt!

1.4 Die Grundrechenarten

Man kann natrlich Nspire als gewhnlichen Taschenrechner verwenden:

Beispiel 1: 4 128 97 609 + = Dies sollte kein Problem darstellen.

Beispiel 2: ( )25 1,3 17 447,1+ = Man beachte, dass Nspire Dezimalpunkt statt Dezimalkomma verlangt!

Bei der Grundeinstellung EXAKT wird ein Bruch ausgegeben. Erst mit der Tastenkombination

/ erhlt man die Dezimalzahl! Diese kann man sofort nach dem Bruchergebnis eintippen.

1.5 Markieren, Kopieren und Einfgen

Die Aufgabe in der 3. Zeile habe ich nicht neu eingetippt sondern kopiert. Man geht dazu so vor:

(1) Der Cursor wird so lange nach oben bewegt ( auf der Cursorscheibe), bis die Aufgabe

(in der 2. Zeile links) markiert ist.

(2) Mit der Tastenkombination /C wird dann die Aufgabe in den Speicher kopiert.

(3) Dann bewegt man den Cursorstrich an die Stelle, an der die Aufgabe eingefgt werden soll und drckt /V .

Will man nur einen Teilausdruck kopieren, markiert man zunchst die ganze Aufgabe und bewegt

dann darin den Strich-Cursor zum Anfang des zu kopierenden Terms, dann hlt man g gedrckt

und bewegt den Cursor weiter nach rechts bis zum gewnschten Ende. Dann wird mit /C

kopiert und mit /V eingefgt.

Das Kopieren einer Aufgabe in eine neue Zeile geht zustzlich mit einem Trick:

Bentigt man eine Befehlszeile in gleicher oder leicht vernderter Form noch einmal, bewegt man

den Cursor nach oben ( ) bis der gewnschte Ausdruck schwarz hinterlegt ist. Dann drcke man

einfach - und schon wurde der markierte Ausdruck in die unterste Eingabezeile kopiert. Jetzt kann man den Cursor zum Korrigieren an die gewnschten Stellen bewegen.


Beispiel 3: 2854 : 42 Eine Divisionsaufgabe wird nach als Bruch dargestellt. Das Ergebnis wird als gekrzter Bruch ausgegeben, wenn

die Grundeinstellung Auto oder EXAKT ist. Soll der

Nherungswert (Dezimalzahl) angezeigt werden, bentigt man , was man durch / erhlt. Beispiel 4: Potenziert wird mit der Taste l :

Beispiel 5: 103

5

Mit wurde der Bruch ermittelt, mit / die Dezimalzahl mit der Ausgabe 3,072E-7.

Dies ist die abkrzende Schreibweise fr 73.072 10 und bedeutet, dass man fr eine Dezimalzahl das Komma noch

um 7 Stellen nach links schieben muss: 0,000 000 3 | 072HJJJJJJJJJ . 8

35

wird als .000008 ausgegeben. Dies liegt an der

Systemeinstellung Flie 6, bei der eine sechste Dezimalstelle,

die nicht 0 ist, gerundet ausgegeben wird. Wrde man

Flie 7 als Grundeinstellung festlegen, knnte Nspire eine Stelle mehr anzeigen (siehe letzte Zeile!)

1.6 Rechnen mit negativen Zahlen

(1) Es gibt zwei Minuszeichen-Tasten! Die Taste - dient der Ausfhrung der Subtraktion. Die Taste v liefert ein negatives Vorzeichen. Es gibt wichtige Unterschiede im Gebrauch?

a) Schreibt man eine negative Zahl in eine Klammer, etwa fr die Rechnung ( )32 , dann haben beide Vorzeichen dieselbe Wirkung. Eigentlich ist das Vorzeichen-Minus v zu verwenden, doch das Subtraktionsminus erzeugt die Rechnung (0 2)3 mit dem gleichen Ergebnis (siehe Abb.).

Die Klammer muss man brigens nicht schlieen. Nspire schliet sie automatisch.

b) Beginnt man eine Rechnung mit dem Subtraktionsminus, dann fgt Nspire sofort davor die

Variable ans ein, d h. er geht davon aus, dass wir vom letzten Rechenergebnis (answer) etwas

subtrahieren wollen. Gibt es kein vorangegangenes Ergebnis, folgt eine Fehlermeldung.

War das letzte Ergebnis 30, und man mchte in einer neuen Rechnung -5 + 4 = -1 berechnen,

erhlt man aus diesem Grund 29.

Merke: Beginnt eine neue Rechnung mit einer negativen Zahl, muss man unbedingt

das Vorzeichen-Minus verwenden v .

/

v-


c) ACHTUNG: Die Eingabe 5 3v (Vorzeichen- Minus) ndert Nspire in eine Multiplikation ab: ( )5 3 15 = . Man kann diese Rechnung brigens auch mit dem

Subtraktions-Minus ohne Klammer als Produkt eingeben:

5 3 (was eine nicht zulssige Schreibweise ist).

(2) Wir wollen noch eine Warnung beachten, die allgemein gilt:

Soll eine negative Zahl potenziert werden, bentigt man eine Klammer, wie folgendes Beispiel zeigt:

Im ersten Fall wird -3 potenziert: ( ) ( )( )

( )( )( )

( )

4

9 9

3 3 3 3 3 9 9 81!

= + = +

= = = + Wird wie im zweiten Fall ohne Klammer gerechnet, dann gilt das Minuszeichen fr das Ergebnis der

Potenz 34 = 81 , weshalb das Ergebnis negativ wird.

(3) Man kann mit negativen Zahlen auch experimentieren und Rechnungen ausprobieren, die man im Unterricht vielleicht noch nicht besprochen hat. 52 2 2 2 2 2 32= = versteht jeder. Aber Schler der Klasse 8 verstehen noch nicht, was 2-5 bedeuten soll.

In der 1. Zeile wurde eingegeben,

also das Vorzeichen-Minus, in der zweiten wurde das

Subtraktions-Minus verwendet. Man kann ahnen

(und berprfen), dass ist !

1.7 Gemischte Zahlen (Brche)

Eine gemischte Zahl 125 stellt 125 + dar. Der Versuch, 125 einzugeben (zuerst 5, dann das

Bruchsymbol /p ) scheitert, da Nspire sofort einen Bruch erzeugt, in dessen Zhler 5

steht. Gibt man zuerst 12 ein, bewegt dann den Cursor

vor den Bruch und fgt dann die 5 ein, wird daraus 52 (siehe Abbildung).

Merke: Gemischte Zahlen kennt Nspire also nicht, er versteht diese als Produkt!

Soll mit der gemischten Zahl 125 gerechnet werden, muss diese Zahl

als Summe 125 + dargestellt werden

2lv5

551

22 =


2 Teilbarkeit

2.1. Primzahluntersuchungen

WISSEN: Eine Primzahl hat laut Definition genau 2 Teiler, die Zahl 1 und sich selbst.

Daher ist 1 keine Primzahl!, denn 1 hat genau einen Teiler, 2 ist die einzige gerade Primzahl. Nspire kennt natrlich einen Befehl zur Abfrage, ob eine Zahl eine Primzahl ist:

MERKE: Der Befehl isPrime() untersucht, ob die folgende Zahl eine Primzahl ist. Liegt eine Primzahl vor, wird true ausgegeben, wenn nicht false.

Man findet diesen Befehl im Katalog k .

Rechts eine Reihe solcher Tests.

Nspire wei also, dass 1 sowie Dezimalzahlen und

negative Zahlen keine Primzahlen sein knnen,

und dass 2 die einzige gerade Primzahl ist.

2.2 Primfaktorzerlegung

WISSEN: Jede Zahl lsst sich auf eindeutige Weise in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen.

Beispiel: 84 2 42 2 2 21 2 2 3 7= = = oder 84 12 7 3 4 7 3 2 2 7= = = Ergebnis: 284 2 3 7= Es gibt meist verschiedene Wege, eine Zahl in mehreren Schritten so lange in Faktoren aufzuspalten, bis nur noch Primzahlen brig sind. Das Ergebnis ist jedoch von der Art der Zerlegung unabhngig.

MERKE: Der Befehl factor() zerlegt Zahlen in Primfaktoren.

Diesen Befehl kann man manuell eintippen oder man sucht ihn aus der groen Befehlsliste heraus.

Diese trgt das Buchsymbol , genauer sieht sie so aus: k Dort muss man die 1. Option (aufgeschlagenes Buch) auswhlen. Dann gibt man den Buchstaben F ein und schon der erste

Befehl ist der gesuchte factor(). Man kann den Befehl auch eintippen.

Beispiele factor(84). Das Ergebnis ist 284 2 3 7= . factor(48) Das Ergebnis ist 448 2 3= . Oder: 7128 2 2 2 2 2 2 2 2= = Oder: 5 3 21488375 3 5 7= Oder: 1999 = 1999

Oder: 42762 2 3 7127= Achtung: Diese Ergebnisse sagen uns auch, dass offenbar 1999 und 7127 Primzahlen sind, denn sie wurden nicht weiter in Primfaktoren zerlegt!


2.3 Grter gemeinsamer Teiler (ggT)

Jede Zahl hat eine bestimmte Menge an Teilern, die aus ihren Primfaktoren zusammengesetzt sind.

Beispiel: Menge aller Teiler von 84: { }84T 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84= Menge aller Teiler von 48: { }48T 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48= Die Menge der gemeinsamen Teiler von 48 und 84 ist

( ) { }48 84gT 48,84 T T 1,2,3,4,6,12= = Der grte gemeinsame Teiler von 48 und 84 ist also 12: ( )ggT 48,84 12= . Man kann diese Zahl auch ber die Primfaktorzerlegung von 48 und 84 gewinnen. Dazu schreibt man alle Primfaktoren dieser Zahlen so oft auf, wie sie vorkommen, aber nur gleiche Faktoren untereinander. Die gemeinsamen (also untereinander stehenden) Primzahlen ergeben den ggT:

MERKE: Die Berechnung des grten gemeinsamen Teilers (ggT) geschieht mit der Funktion gcd(). (gcd = greatest common divisor)

Man findet sie im ( )Zahlb2 3 oder gibt sie direkt ein.

Hinweis zur Abbildung: ggT(13,15) = 1 heit, dass sie

teilerfremd sind, also auer den 1 keinen gemeinsamen

Teiler haben. Und weil 20 ein Teiler von 100 ist, folgt

ggT(20,100) = 20.

2.4 Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Man kann zu jeder Zahl die unendlich groe Menge ihrer Vielfachen angeben.

Beispiel: Die Menge der Vielfachen von 12 ist { }12V 12,24,36,48,60,72,84,...= Die Menge der Vielfachen von 16 ist { }16V 16,32,48,64,80,96...= Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist ( )kgV 12,16 48= Man kann diese Zahl auch ber die Primfaktorzerlegung von 12 und 16 gewinnen. Dazu schreibt man alle Primfaktoren dieser Zahlen so oft auf, wie sie vorkommen, aber nur gleiche Faktoren untereinander. Alle (untereinander stehenden) Primzahlen ergeben das kgV.

MERKE: Das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache) berechnet man mit der Funktion lcm(). lcm = lowest common multiple

Man findet sie im ( )Zahlb2 2 oder tippt sie manuell ber die Tastatur ein.

Rechts noch drei Beispiele

2 2 32 2 3

48 2 284

2

7

2 13ggT 2

=

=

=

=

12 2 2 2 316 2 2

ggT 2 2 2 2

2

8

2

3 4

= =

= =


2.5 Divisionsrest

Welcher Rest bleibt, wenn man 24 durch 19 dividiert?

MERKE: Der Divisionsrest wird durch die Funktion mod() oder durch die Funktion remain() berechnet.

Aufruf von remain(): ( ) ( )Zahl Restb2 4 Aufruf von mod(): ( ) ( ) ( )Zahl Bruch Modb2 6 5

remain(1267,87) = 49 und ( )1267,87 49=mod bedeutet: Dividiert man 1267 durch 87, dann bleibt der Rest 49.

Man kann dies auch anders berprfen, indem man den Bruch in einen ganzen und einen Bruchteil zerlegen lsst. Im Zhler erkennt man dann den Rest 49. (Der Befehl propFrac() wird in Bruchrechnen besprochen. Rechts noch ein Beispiel zum Divisionsrest:

Welcher Rest bleibt, wenn man 24 durch 19 teilt ?

remain(24,19) = 5 und mod(24,19) = 5

berprfung der Teilbarkeit: Wenn eine Zahl a durch eine Zahl b teilbar ist, dann ist der

Divisionsrest 0. Will man also wissen, ob 37 ein Teiler von

11249 ist, dann rechnet man mod(11249,37) = 1.

Weil der Rest 1 bleibt, ist 37 kein Teiler von 11249. Dies kann man mit propFrac() genauer sehen,

das den Bruch in eine gemischte Zahl zerlegt. 3. und 4. Zeile: 24 ist ein Teiler von 169.

(Siehe auch die Hinweise in den Lsungen zu Aufgabe 5 auf der letzten Seite).

4.6 Ganzzahliger Anteil bei einer Division

Das Men birgt noch viele Funktionen, die wir jetzt nicht

alle besprechen wollen. Auf eine Funktion sei aber noch

hingewiesen, denn sie gehrt zur Division:

Die Funktion iPart() berechnet den ganzzahligen Anteil

einer Division bzw. eines Bruches.

Wie oft geht 7 in 48 ? berechnet man durch ( )487iPart . Die dargestellte Rechnung wird so eingegeben: b262 gefolgt vom Bruch. Dann wird ermittelt, dass der Nenner 7 eben 6 mal

im Zhler 48 enthalten ist (plus Rest natrlich).

Dieses Ergebnis liefert uns auch propFrac(), das den Bruch in eine gemischte Zahl zerlegt.


2.7 Aufgaben

(1) Berechne jeweils den grten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache

manuell und mit Nspire von

a) 72 und 84, b) 18 und 54 c) 225 und 750

d) 24, 36 und 60 e) 30,96 und 108

Berechne nur mit Nspire:

(2) Stelle fest, welche Zahlen Primzahlen sind:

a) 197 b) 546 c) 771 d) 359

(3) Zerlege die folgenden Zahlen in Primfaktoren:

a) 546 b) 22816 c) 373 d) 2400

(4) Welcher Rest bleibt bei folgenden Divisionen?

a) 256 : 89 b) 1658 : 351 c) 2077 : 24 d) 1579 : 135

(5) Ist die eine Zahl ein Teiler der anderen?

a) 34 und 2584 b) 351 und 23167 c) 39 und 4875

(6) Welches ist der ganzzahlige Anteil bei dieser Division

anders formuliert: Wie oft geht die erste Zahl in die zweite ?

a) 45 : 7 b) 257 : 27 c) 1457 : 13 d) 16533 : 2458

Zerlege diese Divisionen auch in Bruchform in eine gemischte Zahl (verwende propFrac() ).


Lsungen

(1) Berechne die grten gemeinsamen Teiler manuell und mit Nspire von

a) 72 und 84, b) 18 und 54 c) 225 und 750

d) 24, 36 und 60 e) 20,45 und 18

a) b)

c)

d) e)

Im Falle von drei oder mehr Zahlen, zu denen das kgV oder ggT zu berechnen ist, muss man die

Befehle wie gezeigt verschachteln, das Nspire fr die Funktionen gcd() und lcm() nur zwei

Argumente vorsieht.

(2) Stelle fest, welche Zahlen Primzahlen sind:

a) 197 b) 546 c) 771 d) 359

546 ist als gerade Zahl keine Primzahl (2 ist die

einzige gerade Primzahl) und 771 hat die Quersumme

15 und ist somit durch 3 teilbar!

( )ggT 18;

18 2 3

54kgV(18,54) 2 3 3 3 5

2 3 3 1

354

82

4

3 3 3= =

= =

=

=

( )ggT 225,kgV(225,750)

225 9 25 3 3 5 5750 10

750 3 52 3 3 5 5 5 2

5 752

75 2 3 5 5

5

5

0=

= = = =

=

==

20

ggT 1kgV 2 2 5 3 3 2

20 2 2 545 5 3

0

318 2 3 3

9 180=

=

=

= = =

=

gg

24

T

2 2 2 336 2 2 3 360 2 2 3 5

kgV 2 2 2 3 3 5 363

02 2 12=

= = =

= ==

ggT 2 2kgV 2 2 2

72 2 2 2 3

3 3 7 504

384 2 2 3 7

3 12=

= =

=

= =

Diese drei Zahlen sind teilerfremd.


(3) Zerlege die folgenden Zahlen in Primfaktoren: a) 546 b) 22816

c) 373 d) 2400

(4) Welcher Rest bleibt bei folgenden Divisionen?

a) 256 : 89 b) 1658 : 351

c) 2077 : 24 d) 1579 : 135

Man kann mod() oder remain() verwenden

(5) Ist die eine Zahl ein Teiler der anderen?

a) 34 und 2584 b) 351 und 23167 c) 39 und 4875

Hinweise zu a)

Zunchst ist es wichtig, dass die kleinere Zahl als

zweite eingegeben wird, denn durch sie wird geteilt.

Der Rest 0 gibt an, dass 34 ein Teiler von 2584 ist.

Dies erkennt man auch, wenn man nur dividiert

(Nspire wandelt 2584/34 nach sofort in einen Bruch um). Das Ergebnis ist keine Dezimal-

zahl, also ist 34 ein Teiler von 2584. Der Befehl propFrac() dividiert und gibt das Ergebnis als

gemischten Bruch aus. Da man nur die ganze Zahl 76 erhlt, gibt es keinen Rest und daher ist

34 ein Teiler von 2584.

Hinweise zu b)

In der ersten Zeile erkennt man den Rest 1, also

ist 351 kein Teiler von 23167. Dies erkennt man auch

nach der Division in Zeile 2. Bei der Grundeinstellung

EXAKT wird hier wieder der Bruch ausgegeben, also

geht die Division nicht ohne Rest. Mit / erhlt man die Nhungszahl. Schlielich zeigt

propFrac() die Zerlegung in einen gemischten Bruch,

der Restbruch zeigt im Zhler den Divisionsrest 1 an!

(6) Welches ist der ganzzahlige Anteil bei dieser Division

a) 45 : 7 b) 257 : 27

c) 1457 : 13 d) 16533 : 2458


3 Bruchrechnen

3.1 Eingabe von Brchen Man ruft das Bruchsymbol durch /p auf und gibt dann jeweils Zhler und Nenner ein.

Nspire wandelt aber auch automatisch jede Divisionsaufgabe nach in einen Bruch um:

Beispiel 1 54 715 12 8+ Beispiel 2 ( )2,5 5 33 2 5 Das Ergebnis wird bei der Grundeinstellung EXAKT als Bruch ausgegeben 1912 . Gibt man /

ein oder lautet die Grundeinstellung Approximiert erhlt man eine Nherungszahl als Ergebnis!

Die Grundeinstellung AUTO(matisch) ergibt in Beispiel 1 das Bruchergebnis, in Beispiel 2 wird

dagegen sofort (!) die Dezimalzahl 1.583333 angezeigt. Daher empfehle ich EXAKT als Vorgabe.

Beispiel 3 3 28 33

3411 45

= ?

Fr Doppelbrche muss man im Zhler bzw. Nenner

nochmals das Bruchsymbol anklicken.

3.2 Eingabe und Rechnen mit gemischten Zahlen (Brchen)

Eine gemischte Zahl 235 stellt 235 + dar. Der Versuch, 235 einzugeben (zuerst 5, dann das

Bruchsymbol /p ) scheitert, da Nspire sofort einen Bruch erzeugt, in dessen Zhler 5 steht.

Gibt man zuerst 23 ein, bewegt dann den Cursor vor den

Bruch und fgt dann die 5 ein, wird daraus 52 (siehe rechts).

Merke: Gemischte Zahlen kennt Nspire also nicht, er versteht diese als Produkt!

Soll mit der gemischten Zahl 235 gerechnet werden, muss diese Zahl

als Summe 235 + dargestellt werden

Beispiel 4 152 2 2 173 3 3 3 35 5= + = + =

Die Eingabe 235 wird von Nspire als Produkt interpretiert

und ergibt 103

Beispiel 5 Durch diesen Umstand ist die Eingabe bei solchen Aufgaben mhsam: Gib die folgende Aufgabe ein und lasse sie berechnen. Das Ergebnis wird nach Beispiel 9 gezeigt:

/

7 5 3 75 1 : 4 2

8 12 16 10+


Fr die Eingabe der Summe 7 710 102 2= + werden zustzliche Klammern bentigt, es sei denn, man verwendet

zwei Minuszeichen wie in der zweiten Darstellung.

Nach wandelt Nspire diese Berechnungen zuerst in einen Doppelbruch um:

Trotz der Mglichkeiten von CAS-Rechnern mssen Schler die Fhigkeit besitzen, die Ergebnisse auch manuell zu berechnen.

Aufgabe 6

Berechne 7 5 3 7

5 1 : 4 28 12 16 10+ manuell.

Die ausfhrliche Rechnung steht auf der nchsten Seite.

3.3 Verwandlung unechter Brche in gemischte Zahlen

Beispiel 7 Wie kann man manuell und mit Nspire mit aus dem unechten Bruch 25051 das Ergebnis 250 4651 514= + berechnen? MERKE:

Mit propFrac() kann man unechte Brche in gemischte Zahlen umrechnen.

Den Befehl: propFrac() kann man entweder eintippen oder aus dem Men so aufrufen:

( ) ( ) ( )Zahl Bruchwerkzeuge Echter Bruchb2 5 1 , propFrac() erscheint mit geffneter Klammer im Display.

Hier die ausfhrliche Berechnung:

250 : 51 4 Rest 46= d.h. 250 4651 514= +

Beispiel 8

Hier weitere Berechnungen, bei denen ich direkt mit

propFrac() beginne, weil ich das Ergebnis als gemischte

Zahl bekommen mchte!

Die 3. Zeile ist besonders interessant, denn

fr eine gemischte Zahl muss man noch das Minuszeichen

ausklammern: 8 9 4811 15 555 8 2 =


Hinweis: Arbeit sparen mit der Systemvariablen ans

Nspire verfgt ber eine Systemvariable mit dem Namen ans (answer), in der er die letzte Antwort

(Ergebnis) speichert. Die Verwendung von ans erspart die erneute Eingabe des umzuwandelnden Bruches, denn nach Eingabe von wird ans sofort durch ihren Wert (Inhalt) ersetzt.

ans gibt man durch /v ein oder manuell durch _ANS_ . Wird ans in Klammern bentigt, lsst man die beiden Leerzeichen weg.

Beispiel 9 ( )284 73 5 3+ Nach erhlt man zunchst den unechten Bruch.

Soll das Ergebnis jedoch als gemischte Zahl erscheinen,

knnte man propFrac( 72845 ) eingeben.

Schneller geht es jedoch, wenn man die Systemvariable ans verwendet: b251/v

Nach wird ans durch den Bruch ersetzt:

Beispiel 10 Schneller geht es allerdings, wenn man eine Berechnung

gleich mit propFrac() beginnt ,wenn das Ergebnis wieder

zerlegt angegeben werden soll:

3.4 Aufgabe 11

Berechne diese Aufgaben von Hand und vergleiche das Ergebnis mit der Nspire-Lsung. Eine wichtige bung, damit man das Bruchrechnen nicht verlernt!

(a) 3 3 4 35 8 7 8 + (b) 11 16 38 76: :

9 81 14 49

(c) 5 2 74 11 518 45 30

+ (d) 4 12 83 2 551 85 15

(e) 1 11 143 1 28 85 27 (f) 24 15 13

35 26 8 +

(g) 26 9 33:15 20 40 (h)

2 3 7 803 4 15 19 +

(i) 3 3 75 2 25 4 19

(j) 2 1 22 : 4 2

35 5 3

(k) ( )( )

3 315 425 2 16 3 2

+ (l)

3736 20

5 1 2 273 3 9:

+ +

23 29

4517

5... 2

2= =


Lsung zu Aufgabe 6

7 5 3 7 21 10 15 56 31 175 565 1 : 4 2 6 : 2 6 :8 12 16 10 24 80 24 80

+ + = =

175 119 175:24 80

= =25 7=

24 3

8010

119 17 7= 25 10 250 4643 17 51 51= = =

Lsungen Zu Aufgabe 11

(a) 3 3 45 8 + 3

7 8

2

9 3 9 7 12 5 63 60 12340 14 280 280 280

+ += + = = =

(b) 11 16 38 76 11: :9 81 14 49 9

=1

819

3816

1

14 2

497

76 2

99 7 99 28 7116 4 16 16

= = =

(c) 5 2 7 25 4 21 8 44 11 5 10 10 10 118 45 30 90 90 45

+ + = = =

Die 3. Zeile rechts zeigt die beste Eingabe:

Gleich mit propFrac() beginnen und die zu

subtrahierende gemischte Zahl ohne Klammern

mit zwei Minuszeichen eingeben!

(d) 4 12 8 4 12 8 4 5 12 3 8 17 120 83 2 5 3 2 5 6 6 651 85 15 51 85 15 255 255 17

+ = + = = =

(e) 1 11 14 25 96 68 253 1 28 85 27 8 85 27 = =

596

8

32

85 17

684

27 9

5 4 4 80 889 9 9 = = =

Man kann auch 96 und 8 durch 8 krzen: 96 8 12= ! Wichtig ist die Erkenntnis: 85 5 17 und 68 4 17= =

Da bei (f) keine gemischte Zahl vorgegeben ist, verzichte ich auf propFrac().


(f) 24 15 13 24 26 35 15 13 624 525 13 114935 26 8 35 26 8 910 8 910 + + + = = = 70

13 11498 560

=

Wenn man hier nach der Klammer gleich den Bruch

eingeben will, also ohne dem Malpunkt, dann

erzeugt Nspire einen Bruch mit der Klammer im Zhler!

(g) 26 9 33 26 4 9 3 33 104 27 40 77: :15 20 40 60 40 60 33 = = =

7

60 3

402

33 3

149

= zu (g):

(h) 2 3 7 80 2 20 3 15 7 4 80 573 4 15 19 60 19 + + = =

3

60 3

804

19 1

33

=1

4 4 =

(i) 3 3 7 12 15 7 17 7 575 2 2 3 2 2 25 4 19 20 19 20 19

= = = 3

20 4

459

1927 364 4

= =

(j) 2 1 2 2 3 10 72 33 10 722 : 4 2 2 : 2 :35 5 3 35 15 35 15 35

= = = 7

153

216 55123 161 161

= =

(k) ( )( )

33 3155 2 4

5 2 16 3 2

+ = 5 4

5 16 6

3 5 3:4 36 4

= =36

927 25

5 5 5= =

(l) 3 7 5 3 9 35 27 87

36 20 180 180 18030 21 45 5 551 2 2 1 7 2

3 3 7 9 3 3 2 9 18 18

8

180:

+ += = = =

+ + + +10

18 455 275

=

Nach


4 Arbeiten mit Tabellen

4.1 Proportionale Gren

Zuerst ffnet man eine neue Seite und whlt mit c3 gleich den Tabellenmodus (Lists &

Spreadsheets) aus. Wir bearbeiten jetzt das

Beispiel 1 Der Umrechnungskurs EURO Dollar wurde am 1. August 2008 mit 1,365

angegeben, d.h. fr 1 Euro () erhlt man 1,365 US-Dollar ($).

Dazu erstellen wir eine Tabelle.

Da wir jetzt Dezimalzahlen verwenden wollen, verwenden wir die Grundeinstellung Approximiert, die

wir so einstellen: ( ) ( )Systeminfo Systemeinstellungenc8 2 :

Nun beginnen wir unser Tabellenblatt mit Werten zu fllen.

In den Kopf der ersten Spalte schreiben e (fr Euro) und

besttigen das mit . Daraufhin fllen wir die erste Spalte

mir den Werten 1, 2, 3 bis 10.

Die 2. Spalte nennen wir d, besttigen mit und bewegen

uns in das Feld darunter. Nach Eingabe von = erscheint dort

d =. Wir ergnzen durch die Umrechnungsformel d e 1.365= und erhalten eine Anfrage: Soll e eine Spalte oder eine Variable

darstellen? Wir whlen statt Spaltenverweis Variablenverweis!

Daraufhin wird die zweite Spalte mit Werten gefllt.

Wir verbreitern nun noch diese zweite

Spalte und ffnen ein Men durch

b12 . Daraufhin ist diese

Spalte dunkel gefrbt. Wir bettigen

die Cursortaste nach rechts und verbreitern

damit die Spalte, was wir durch

abschlieen.


Im zweiten Schritt wollen wir diese Tabelle in ein Koordinatensystem bertragen. Dazu ffnen wir eine neue Seite im Grafikmodus c2 .

Die Achsenbeschriftung x und y passt nicht zu unserer Aufgabe.

Daher ndern wir dies und ffnen das Men durch ( ) ( )Grafiktyp Streu Plotb3 3 :

Damit werden in der Eingabezeile zwei Fenster eingeblendet,

die eine nderung der Variablen ermglichen.

Durch ffnet sich eine Liste der verfgbaren Variablen.

Fr die x-Achse whlen wir e aus, e , fr die y-Achse d.

Nach erneutem e werden die Paare als Punkte angezeigt.

brigens kann man diese

Darstellung verndern.

Mittels ekann man das

Schaubild aktivieren (dann zeigt

Nspire einen Cursorpfeil).

Bewegt man dieses auf die

Punkte, verwandelt er sich in

eine Hand (Zeichen der Zielerkennung!).

Nun knnen wir durch ( )Attribute/b2 ein Spezialmen ffnen und die Punkte als Kreise,

Kreuze usw. darstellen lassen.

In der zweiten Reihe dieses

Spezialmens kann man einstellen,

dass die Punkte verbunden werden

sollen. Darunter gibt es sogar noch

die Mglichkeit, einzelne Punkte

ausblenden zu lassen.

Auswertung:

Im Unterricht behandelt man, dass die Gren e und d, welche durch die Beziehung d 1,365 e= verknpft sind, proportional sind. Ferner: Die zu den Zahlenpaaren gehrenden Punkte liegen auf

einer Ursprungsgeraden.

WISSEN: Zwei Gren x und y heien proportional,

wenn die Quotienten aller Zahlenpaare konstant sind.

Hier hatte diese Proportionalittskonstante den Wert d

1,365e= .


Beispiel 2 berprfe, ob die folgende Tabelle eine Proportionalitt darstellt:

Im Physikunterricht misst man die Dehnbarkeit einer Feder. Durch angehngte Massestcke erzeugt

man eine Dehnungskraft F und misst die zugehrige Verlngerung s der Feder.

Die Abbildung zeigt links die lose herabhngende Feder. Dann im Zustand, in dem 100 g mit der Gewichtskraft 1 N nach unten ziehen. Die Feder wird dadurch um 5 cm gedehnt.

(N = Newton, Maeinheit fr die Kraft)

Hngen insgesamt 200 g an der Feder, ziehen also 2 N nach unten, dann beobachtet man eine Dehnung um 10 cm.

Eine Dehnung durch 3 N ergibt eine Verlngerung um 15 cm.

Dies kann man brigens nicht beliebig lange durchfhren. Irgendwann ist die Feder berdehnt, dann erhlt man abweichende Verlngerungen und die Feder kehrt dann nach Abnehmen der Massen auch nicht mehr in den Ausgangszustand zurck. Sie ist dann unbrauchbar geworden.

Zusammenstellung der Messergebnisse in einer Tabelle:

F = Kraft in N 1 2 3

s = Verlngerung in m 0,05 0,10 0,15

Man erkennt eindeutig eine Proportionalitt zwischen der Kraft F und der Verlngerung s. Dafr schreiben wir knftig F s . Das ist die Abkrzung fr ist proportional zu. Schauen wir uns die quotientengleichen Brche an:

F 1N 2 N 3 N N20

s 0,05 m 0,10 m 0,15 m= = = =

Alle drei Wertepaare haben den Quotienten Nm20 . Seine Bedeutung ist unmittelbar verstndlich:

Man bentigt die Kraft 20 Newton pro Meter (Dehnung)

Diesen Quotienten nennt man die Federkonstante oder auch Federstarre. Man verwendet dafr den Buchstaben D. Damit kann man das Ergebnis des Dehnungsexperimentes so formulieren:

Die dehnende Kraft ist proportional der Dehnungsstrecke (Verlngerung) der Feder.

Dies ist ein Naturgesetz. Man es kurz so schreiben: F s

oder als Gleichung: F Ds=

oder auch umgeformt so: F D s=

1N

2 N

3 N


Das eigentliche Naturgesetz ist die Proportionalitt, die beiden Gleichungen dienen nur der Berechnung weiterer Ergebnisse.

Nun stellen wir uns vor, ein Schler experimentiert alleine mit der Feder und will sehen, wie weit das mglich ist (die Feder ist ihm also egal ). Er ergnzt die obige Tabelle so:

F = Kraft in N 1 2 3 . 6 7 8 10

Verlngerung s in m 0,05 0,10 0,15 . 0,30 0,33 0,35 0,37

Dann fllt schon an der Tabelle auf, dass die s-Werte bei 7N, 8N und 10 N nicht mehr Schritt halten: Sie sind kleiner als man erwarten wrde.

Das zeigen auch die Werte der Quotienten:

F 7 N N

21,2s 0,33 cm cm= , F 8 N N22,9

s 0,35 cm cm= , F 10 N N27,0

s 0,37 cm cm= .

Jetzt liegen keine quotientengleiche Brche mehr vor !

bertragen wir die Tabelle in ein Koordinatensystem, dann wissen wir, dass man bei proportionalen Gren erwarten kann, dass die zu den Wertepaaren gehrenden Punkte auf einer Ursprungsgerade liegen. Hier die Tabelle mit s in cm statt m, was fr die Zeichnung gnstiger ist.

F = Kraft in N 1 2 3 . 6 7 8 10

Verlngerung s in cm 5 10 15 . 30 33 35 37

Das Diagramm zeigt den Elastizittsbereich an, in dem die Proportionalitt gilt, und den berdehnungsbereich, in dem man die Feder zerstrt.

Dort liegen die Punkte nicht mehr auf der Ursprungsgeraden.

berdehnungsbereich

Elastizittsbereich


Nun zur Bearbeitung dieser Aufgabe mit Nspires Tabellenkalkulation

Nebenstehende Abbildung zeigt, wie man in die 1. Spalte

die Werte der Verlngerung s bertrgt und in die 2. Spalte

die Werte der Dehnungskraft F.

Zur berprfung, ob eine Proportionalitt vorliegt, lsst

man Nspire die Quotienten aus F und s berechnen.

Dazu schreibt man in die 2. Zeile die Formel f / s= und beantwortet die Fragen, ob es sich um Spalten- oder

Variablenverweise handelt mit Variablenverweise.

Daraufhin fllt Nspire die 3. Spalte mit den Quotienten.

Man sieht, dass die Paare bis s = 30 cm quotientengleich

sind. Darber hinaus endet der Proportionalittsbereich.

Die bertragung in ein Koordinatensystem gelingt wie oben

beschrieben. Da man jedoch nur vier Punkte sehen kann,

mssen wir das Schaubild Zoomen: Wir mssen wieder mit

der Tab-Taste den Pfeilcursor im Schaubild aktivieren und

dann ber /b51 das Diaglogfeld Achsen-

einstellungen aufrufen.

Hier trgt man die Werte ein, die zur Tabelle passen

und erhlt dann die Darstellung aller Punkte.

Schlielich tragen wir noch die Gerade ein, die zur

Proportionalittsgleichung Fs 0,2 bzw. F 0,2 s= = ein. Dazu stellen wir den anderen Grafiktyp ein:

( )Funktionb31 und knnen dann in der Eingabe zeile die Funktion f1(x) .2 x= eingeben, die nach auch dargestellt wird.

Man erkennt jetzt sehr schn, dass die ersten 5 Punkte

auf dieser Geraden liegen und somit zum Proportionalitts-

gehren. Darber hinaus wird die Feder berdehnt und

damit zerstrt.


Beispiel 3 Messung des Benzinverbrauchs Klaus hat zu vier Fahren die zurckgelegten Kilometerzahlen

und die dazu verbrauchten Benzinmengen aufgeschrieben.

Nebenstehende Tabelle zeigt die Eintrge. In der 3. Spalte

wurden die Quotienten Weg pro Liter berechnet. Man erkennt,

dass die Werte nicht konstant sind. Es liegt also keine

Proportionalitt vor. Das ist auch klar, denn alle Fahrten

waren ganz unterschiedlich.

Wir knnen nun hergehen und den Mittelwert dieser vier Quotienten ermitteln: ( )11,7 11,2 12,3 10,6 km4 Liter11,45+ + + = Dazu zeichnen wir die Verbrauchsgerade ein:

Ohne Einheiten gilt: 4 sV 11,45 s 11,45 V= = .

Berechnung der optimalen Geraden durch das Verfahren der linearen Regression

Diese Methode wird hier nicht erklrt, sondern nur beschrieben.

1. Schritt: Man ffne die Tabelle mit den Daten (siehe oben).

2. Schritt: Mit folgender Meneingabe ffnen wir ein Dialogfeld: ( ) ( ) ( )Stastistik Stat. Berechn. Lineare Regr. mx+b3b4 1

Die x-Liste steht unter li (Liter), die y-Liste in der Spalte km.

Die Geradengleichung (RegEqn) speichert Nspire (hier) als

f6 ab. Weiter unten folgt noch die Eingabe der Ergebnisse

in Spalte d. Mit dem Cursorpad kann man immer die Liste

der mglichen Eingaben anzeigen lassen. Nach (OK)

zeigt Nspire die ergnzte Tabelle an:

3. Schritt: In der Darstellung der vier Punkte lschen wir die

dort noch vorhandene Gerade: Mit dem Zeiger markieren,

/x, dann ( )Lschen/b4 . Jetzt aktivieren wir mit e die Eingabezeile und suchen mit dem Cursorpad f6, also

die Gleichung der Regressionsgeraden:

( )6f x 11,5117 x 1,05572= . Ihr Schaubild ist keine

Ursprungsgerade mehr,

aber sie nher sich am

besten den Punkten an.

Liter

Verbrauch


Anwendung der Proportionalittseigenschaft

Wissen: Sind zwei Gren proportional, und kennt man ein Wertepaar, dann kann man zu jedem

anderen Wert die Partnerzahl berechnen, denn alle Paare sind dann quotientengleich.

Beispiel

Ein 6 m langer Holzbalken hat die Masse 66 kg. Es geht im folgenden um Balken der gleichen

Holzsorte mit gleichem Querschnitt: Welche Masse besitzen Balken der Lnge 2,50 m?

Wie lang ist ein Balken der Masse 38,4 kg ?

Lsung

Man muss nun wissen, dass Lnge und Masse bei gleichem Balken-Querschnitt proportionale Gren

sind. Das gegebene Wertepaar ( )1P 6 m | 66 kg hat somit denselben Quotienten wir die beiden Paare ( )2 2P 2,5 m | y mit noch unbekannter Masse und ( )3 3P x | 38,4 kg mit noch unbekannter Lnge.

Daher muss gelten 2

2,5 m 6 m

y 66 kg= und 3x 6 m

38,4 kg 66 kg= .

Solche Bruchgleichungen lst man, indem man die Diagonalprodukte bildet (ber Kreuz multipliziert):

2 22

2,5 m 6 m 2,5 m6 m y 2,5 m 66 kg y

y 66 kg= = =

1166 kg6 m

27,5 kg=

33

3x 6 m 6 m 38,4 kg

66 kg x 6 m 38,4 kg x38,4 kg 66 kg

= = =66 kg

3,49 m

Mit Nspire lst man dies entweder, indem man diese Rechnung

aufschreibt und ihn dann als Taschenrechner fr das Ergebnis

einsetzt. Man kann aber auch die Bruchgleichung eingeben

und lsen lassen (Lsen von Gleichungen siehe Text 141):

Hinter die Gleichung muss man ein Komma setzen, dahinter

folgt die Angabe der Unbekannten, nach der man die Gleichung auflsen soll. Bei der Einstellung

EXAKT erhlt man mit ein Bruchergebnis, mit / eine Dezimalzahl. Bei der Vorgabe

AUTO(matisch) wird gleich die Dezimalzahl ausgegeben.

Diese Aufgaben kann man auch als Dreisatz formulieren, was angesichts dieser schnellen

Berechnung ber Proportionalitt also Bruchgleichungen umstndlich wirkt:

6 m Balken wiegen 66 kg 66 kg Balken entsprechen 6 m Lnge

1 m Balken wiegt dann 11 kg 1 kg Balken entspricht 666 m Lnge

2,5 m Balken wiegen 11kg 2,5 27,5 kg = 38,4 kg Balken entsprechen 6 38,466 m 3,49 m =

oder gleich so

/

/


6.2 Proportionale Zuwchse - Linearitt

Einfhrendes Beispiel 1: Taxifahrt

Ein Taxifahrer hat das Recht, seine Fahrt mit einer Grundgebhr zu beginnen. Auf seinem Taxameter steht daher bei Beginn der Fahrt bereits eine Startsumme. Wenn er dann abfhrt, luft das Zhlwerk und ermittelt den Endpreis, die Zunahme des Preises geht proportional zur gefahrenen Wegstrecke.

a) Elmar fhrt mit dem Taxi Nummer 22 und fragt den Taxifahrer zuvor nach seinen Preisen. Dieser antwortet ihm: Meine Grundgebhr ist 2 , und pro km verlange ich 1,20 . Was bezahlt dann Elmar fr eine Fahrstrecke von 6 km ? Stelle eine Berechnungsformel fr dieses Taxi auf, in der folgende Gren vorkommen: y zu bezahlender Fahrpreis n Grundgebhr: m Fahrpreis pro km x Gefahrene Wegstrecke.

Lsung Der Fahrpreis besteht aus den Fixkosten (Grundgebhr) n = 2 und den eigentlichen Fahrkosten,

die man durch die Formel kmFK 1,20 x= berechnen kann. x ist dabei die Fahrstrecke, gemessen in Kilometer. Setzt man beide Kostenanteile zusammen und dann gilt fr den zu bezahlenden

Gesamtpreis y: kmy 2 1,2 x= + . Dies ist eine lineare Gleichung der Form y n m x= + .

Eine ausfhrliche Preistabelle (manuell oder mit Nspire) bringt

uns bersicht. In die erste Spalte (Bezeichnung x) gibt man die

km-Werte 1 bis 10 ein. In die zweite (y) die Formel fr den

Fahrpreis: 2 1,2 x= + . Daraufhin erfragt Nspire die Art der Variabeln x. Wir mssen eingeben, dass es sich um

eine Variable handelt. Nach OK wird die zweite Spalte

mit den Fahrtkosten der zu den in Spalte A stehenden

Wegstrecken gefllt. Dies wre die manuell erstellte Tabelle

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 3,2 4,4 5,6 6,8 8 9,2 10,4 11,6 12,8 14

yx 3,2 2,2 1,87 1,7

Nun geht es darum, zu berprfen, ob eine Proportionalitt

vorliegt. Dazu berechnet man einige Quotienten .Jetzt kann man die Tabellenfhigkeiten von Nspire

ausntzen und mit einem Befehl in der 3. Spalte alle Quotienten berechnen lassen. Damit ist gezeigt,

dass keine Proportionalitt vorliegt, denn die Quotienten sind nicht konstant! Wer gut beobachtet,

stellt jedoch fest, dass die Kostenzunahme whrend der Fahrt proportional zur Wegstrecke ist.

Dies zeigt die Spalte D an. Dort werden die Quotienten aus der Preiszunahme y 2 (Kosten minus

Grundgebhr) und der Wegstrecke berechnet, und dieser Wert ist konstant 1,2 !


Aufgabe: Stelle die Wertepaare (x|y) der Tabelle grafisch dar.

Lsung In einem neuem Grafikfenster whlt man als Grafiktyp Streu-Plot b33 und gibt x und y als

Werte aus der Tabelle ein. Dann kann man das Bild gnstig zoomen und schlielich die Gerade mit

der Gleichung y 1,2 x 2= + darber legen: b31 und ( )1f x 2 1.2 x= + eingeben. Man erkennt sehr schn die einzelnen Wertepaare als Punkte und die Gerade, die nun keine Proportionalitt mehr darstellt, weil sie nicht mehr durch den Ursprung geht.

Fortsetzung der Aufgabe.

b) Herbert fhrt mit dem Taxi 99, von dem er wei, dass der Taxifahrer pro Kilometer 0,75 berechnet. Er glaubt daher, dass dieser gnstiger ist. Er bezahlt fr 12 km genau 13,00 . Wie hoch ist hier die Grundgebhr ? Stelle die Berechnungsgleichungen fr den Fahrpreis auf

Wir verwenden die oben ausgedachte Taxigleichung, nach der

sich die Kosten aus den Fixkosten (Grundgebhr) und den

Fahrkosten zusammensetzen: y m x n= + . Setzt man x = 12 km, kmm 0,75= und y = 13

ein, dann ergibt das

13 0,75km

= 12 km9

n+

Subtrahiert man 9 auf beiden Seiten, folgt n = 13 - 9 = 4 .

Daraus ergibt sich fr Taxi 99 diese Taxigleichung kmy 0,75 x 4 = +

Wir knnen mit Nspire beide Taxis vergleichen, indem wir ihre Taxigleichungen grafisch darstellen:

Die kleine Abbildung zeigt die

Rohversion der Nspire Ausgabe.

Nach geschicktem Zoomen entsteht

die rechte Darstellung.

Der Menpunkt /b63

lsst den Schnittpunkt anzeigen. Dazu muss zuerst der Pfeilcursor sichtbar sein und dann mssen

die Geraden markiert und fixiert werden (Pfeil auf die Gerade, dann /x), damit Nspire weis, wen

er schneiden soll. Diese Schnittpunktskoordinaten haben eine interessante Konsequenz: Man muss

sich klar werden, dass im Bereich x = 0 bis x = 4,44 km der Preis bei Taxi 22 geringer ist.

Ab x = 4,44 km Fahrstrecke schlgt der niedere Km-Preis bei Taxi 99 durch und gleicht die hhere

Grundgebhr aus. Taxi 22 ist also fr Kurzstrecken zu empfehlen, Taxi 99 mehr fr Langstrecken.

T22T99


Beispiel 2: Wasserbehlter fllen und wiegen

Ein Glasbecken mit 2 cm Wandstrke wird mit eine Flssigkeit gefllt.

Man wiegt whrend des Fllens und notiert folgende Daten: 12 Liter wiegen mit Behlter 20,6 kg und 21,4 L ergeben eine Gesamtmasse von 30 kg.

a) Welche Masse hat der Glasbehlter, b) Welche Gesamtmasse ergeben 36 Liter ? c) Wie viel Liter sind im Becken, wenn die Waage 47 kg anzeigt ? d) Stelle die Gleichung fr das Fllen auf und stelle sie im Schaubild dar.

Manuelle Lsung

Die Gesamtmasse m besteht aus der Glasmasse mG und der Flssigkeitsmasse mF.

Diese allein ist proportional zur Flssigkeitsmenge (Liter).

Hier eine Tabelle mit den 4 genannten Wertepaaren:

Menge in L 0 12 17 36 x2

Gesamtmasse m in kg mg 23 29 y1 47

Inhalt in kg 0 23 mg 29 mg

1. Lsungsweg: (Fr Schler, die schon mit Gleichungen umgehen knnen)

Die Menge in Liter und der Inhalt in kg sind proportional, also haben wir diese zwei quotientengleichen Paare: ( ) ( )1 g 2 gP 12 | 23 - m und P 17 | 29 m Es gilt daher: g g

23 - m 29 m

12 17

= | 12 17

( ) ( )g g23 - m 17 29 m 12 = Ausmultiplizieren der Klammern: N Ng g

391 348

23 17 m 17 29 12 m 12 =

Ordnen:

( )g g

43g gm 17 12 m 5

391 348 m 17 m 12

= =

Links zusammen rechnen, rechts mg ausklammern und dann zusammenfassen:

g43 5 m= also g43

m 8,65

= = .

Damit kann man die Tabelle ergnzen:

Menge in L 0 12 17 36 x2

Gesamtmasse in kg mg 23 29 y1 47

Inhalt in kg 0 23 mg

= 14,4

29 mg

20,4

Z1 47 mg

=38,4


Jetzt kann man fr die beiden fehlenden Paare den Inhalt ber quotientengleiche Paare berechnen (Proportionalitt):

36 L sind das Dreifache von 12 Litern, also betrgt auch der Inhalt das Dreifache, nmlich von 14,4 kg, ergibt z1 = 43,2 kg und eine Gesamtmasse von y1 = 43,2 kg + 8,6 kg = 51,8 kg.

Der Quotient des 1. Paares ist: 14,4

1,212

= , diesen wenden wir auf das

letzte Paar an, ergibt 238,4

x 321,2

= = .

Oder so: 2 22

14,4 38,4 12 38,414,4 x 12 38,4 x 32

12 x 14,4

= = = =

2. Lsungsweg: (unter Verwendung der Geradengleichung)

Wir (sollten) wissen, dass diese Paare zu einer linearen Beziehung gehren. Es gilt also eine Gleichung der Form y m x n= + . Das 1. Paar ( )1P 12 | 23 kann man einsetzen und erhlt: 23 m 12 n= + (1) Das 2. Paar ( )2P 17 | 29 liefert durch Einsetzen: 29 m 17 n= + (2) Subtrahieren wir beiden Gleichungen, erhalten wir aus (2) (1):

656 5 m m 1,2= = = .

Setzen wir dies in (1) ein, folgt: 23 1,2 12 n n 23 14,4 8,6= + = = Damit gehorcht unser Zusammenhang der Gleichung y 1,2 x 8,6= + . Dabei ist 8,6 die Masse des Glasbehlters und 1,2 der Faktor, um aus der Literzahl den Inhalt in kg zu berechnen.

Mit dieser Gleichung y 1,2 x 8,6= + knnen wir jetzt b) und c) lsen:

Zu x = 36 Liter gehren y 1,2 36 8,6 51,8 (kg)= + = und aus y = 47 kg Gesamtmasse folgt

( )38,41,238,4

47 1,2 x 8,6 1,2 x 47 8,6 x 32 L= + = = =

Schaubild der Geraden:

17100 Algebratraining 1 mit Nspire 27

Lsung mit Nspire Wir beginnen mit dieser Tabelle, von der wir die beiden vollstndig bekannten Paare eingeben.

Menge in L 0 12 17 36 x2

Gesamtmasse in kg mg 23 29 y1 47

Nach der Eingabe in die Spalte A und B wird die Methode

der linearen Regression aufgerufen (Siehe Seite 22).

Hier die Schritte der Reihe nach: b413 .

Dann erscheint das Dialogfenster.

Fr x verwenden wir li (Liter), fr y ma (Masse).

Das Ergebnis lassen wir in C eintragen.

Dann erhlt man das was rechts oben dargestellt

ist. Die Spalte D habe ich noch verbreitert!

Nun folgt die grafische Darstellung der beiden Punkte und der zugehrigen Geraden:

Man sieht aber nichts! Das wird klar, wenn man erkennt, dass

unsere y-Achse nur bis 10 geht, die beiden Punkte aber bei 23

und 29 liegen. Also zoomen wir die Darstellung.

Der Tabelle entnehmen wir : x von 0 bis 40 und y von 0 bis 60 (y1).

Die beiden Punkte

zeichnen wir als Streuplot,

die Gerade ber den

Menpunkt Funktion und

zwar ist es f2 !

Die Geradengleichung stellt die Fllgleichung dar. Wir sehen sofort, dass fr die Fllmenge x = 0 die

Masse f2(0) = 8,6 (kg) vorhanden ist. Die beiden anderen Werte erhlt man so:

Bei 36 L Fllung ist y ) 51,8 kg und

zu y = 47 kg gehren x = 32 Liter Wasser.


6.3 Antiproportionale Gren

WISSEN: Liegen zwei Gren vor, bei denen die Paare immer dasselbe Produkt bilden,

heien diese Gren umgekehrt proportional oder antiproportional.

Beispiel 1: Sandlieferung

Familie Hoch hat einen LKW mit Sand bestellt. Der Fahrer kippt weil bei der Anlieferung niemand zu Hause ist die 2 t einfach vor das Haus auf Einfahrt zur Garage und fhrt wieder weg.

Als Familie Hoch wieder zurckkehrt, beschlieen sie, den Sand wegzuschaffen, hinter das Haus an die neue Baustelle. Herr Hoch beginnt gleich und arbeitet eine Stunde lang mit Schaufel und Schubkarre. Er bewltigt 20 Karren, von denen wir annehmen wollen, dass jeder 25 kg Sand aufnimmt.

1. Frage: Wie lang muss Herr Hoch arbeiten ?

Die Lsung ist einfach: Die 2 t Sand sind 2000 kg Sand, sie verteilen sich auf insgesamt 200025 80= Schubkarren. Wir knnen also festhalten, dass Herr Hoch 80 Schubkarren hin und her fahren muss. Dazu braucht er dann 4 Stunden. Wir knnen also formulieren: Herr Hoch braucht 4 Stunden, um die 2 t Sand wegzuschaffen.

2. Frage: Herr Hoch holt seinen Bruder zu Hilfe. Dann sind es also zwei Personen, die arbeiten. Herr Hoch schafft in einer Stunde 20 Schubkarren Sand weg, sein Bruder auch, dann schaffen sie also zu zweit 40 Karren weg. Fr die 80 Karren Sand brauchen sie also nur 2 Stunden.

3. Frage: Nun nehmen wir an, dass Frau Hoch und der groe Sohn auch noch mithelfen. Wenn jeder pro Stunde 20 Karren bewltigt, dann schaffen 4 Personen 80 Karren, also bentigen sie noch genau eine Stunde. Ergnze die folgende Tabelle:

Zahl der Personen 1 2 4 8 10 12

Arbeitszeit in h

1 Person arbeitet 4 h 2 Personen arbeiten 2 h 4 Personen arbeiten 1 h 8 Personen arbeiten 12 h = 30 min

10 Personen arbeiten 410 h 24 min= 12 Personen arbeiten 20

604

12 h h 20 min= = .

Also sollte die Tabelle so ausgefllt sein:

Zahl der Personen 1 2 4 8 10 12

Arbeitszeit in h 4 2 1 12

25

13

2 48 10

12

2:4:

8:10:

12:


Die Pfeile ber der Tabelle zeigen, wie man durch Multiplikation nach rechts zu den nchsten Zahlen kommt. Die Pfeile unter Tabelle zeigen, wie man zu den entsprechenden Werte kommt: Jetzt muss man dividieren.

Also: Oben multiplizieren / unten dividieren.

Wir denken uns die Tabelle um ein Paar erweitert. Schreiben wir rechts hinten 6 (Personen) an, Dann erhlt man dies aus 2 Personen durch Multiplikation mit 3, die Arbeitszeit erhlt man dann durch Division mit 3, also 23 h . Wrden wir von 12 Personen ausgehen, mssten wir oben dividieren und unten multiplizieren;

Zahl der Personen 2 12 6

Arbeitszeit in h 2 13

23

Also: Oben dividieren / unten multiplizieren.

Unsere Tabelle enthlt 6 Paare, die ich hier aufschreibe:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 2 3 4 5 62 5 3P 1| 4 ; P 2 | 2 ; P 4 | 1 ; P 8 | ; P 10 | ; P 12 | . Bei proportionalen Gren waren diese Paare quotientengleich, hier sind sie produktgleich:

Jedes dieser Paare hat das Werte-Produkt 4 !

Als Gleichung: x y 4 = Stellt man die Paare einer umgekehrten Proportionalitt (=Antiproportionalitt) in einem Koordinaten-

system zusammen, liegen sie auf einer Hyperbel. Ihre Gleichung heit hier x y 4 = bzw. 4yx

=

3

3:

2:

2

Eine solche Kurveheit Hyperbel


Mit Nspire knnen wir hierzu zweierlei Aufgaben lsen:

(1) Man kann die Gleichung der Antiproportionalitt

vorgeben und dazu die Hyperbel zeichnen lassen.

In einem neuen Grafikfenster c2 kann man sich

die Funktion f1 darstellen lassen (mit der Cursortaste

in der Eingabezeile auswhlen). Da wir hier nur positive

Werte bentigen, kann man das Fenster zoomen (Wenn

das Koordinatensystem aktiviert ist die Tab-Taste so lange

drcken, bis der Pfeilcursor erscheint, kann man das Men

/b42 aufrufen und dann das gewnschte Feld

markieren).

Es gibt jetzt die Mglichkeit, sich eine Wertetabelle zeigen

zu lassen b25 :

Oder man gibt einige Paare in ein

Spreadsheet c3 ein, untersucht

die Paare und findet so die Kurvengleichung.

Hier die 6 Paare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 2 3 4 5 62 5 3P 1| 4 ; P 2 | 2 ; P 4 | 1 ; P 8 | ; P 10 | ; P 12 | . In der Spalte C gibt man die Formel x y= ein und erhlt dann berall den Wert 4. Also haben

wir die Gleichung x y 4 = herausgefunden.

Zwischendurch fragt Nspire ab, ob x und y

Variablen sind!


Beispiel 2

Sehen wir uns ohne einen sachlichen Hintergrund diese Tabelle an:

x 4 3 12 30 2 1

y 6 8 12 60 2 3

Die zugehrige Aufgabenstellung lautet: Ergnze die fehlenden Werte so, dass eine Umgekehrte

Proportionalitt vorliegt!

Lsung Die ersten beiden Paare lassen erkennen, dass das Produkt x y 24 = ist. Dis muss fr alle Paare gelten. Rechnet man von Hand, muss man folglich stets 24 durch den gegebenen Wert dividieren um

den fehlenden zu bekommen.

Nspire kann dies mit einer Funktion und

einer Listenberechnung lsen:

Nach der Funktionsdefinition lsst man die

y-Werte der vier x-Werte 12, 30, 2 und 1

simultan berechnen, wozu man sie in

geschweifte Klammern setzt (das ist dann

eine Liste).

Um eine y-Liste einsetzen zu knnen,

muss man allerdings erst nach x umstellen lassen. Dann verwende ich die Ergebnisgleichung mittels

der Systemvariablen ans (in ihr speichert Nspire immer das letzte Ergebnis!), setze dahinter den

Mitoperator | und dann die Liste der vier gegebenen y-Werte. Daraufhin liefert uns Nspire die

zugehrigen x-Partner!

Hier noch das zugehrige Schaubild.

ans


Beispiel 3 Testfahrten auf einer Rennstrecke.

Auf einer Versuchsstrecke lsst man einen ICD mit verschiedenen konstanten Geschwindigkeiten

eine Messstrecke durchfahren. Die Ergebnisse wurden in folgender Tabelle zusammengefasst:

iv kmh180

kmh140

kmh125

kmh230

kmh262

kmh202

It 40 min 50 min 60 min 29 min 28 min 34 min

Bestimme eine Regressionsfunktion.

Lsung

Man muss nun beobachten, dass mit abnehmender (Durchschnitts-)Geschwindigkeit die Fahrdauer zu

nimmt. Das lsst den Verdacht auf eine umgekehrte Proportionalitt aufkommen.

Wissen: Zwei Gren heien ungekehrt proportional, wenn ihre Paare produktgleich sind. Es sollte also stets v t konst. = sein.

Dies berprft man etwa mit einem Taschenrechner, oder mit einer

Tabellenkalkulation, wie sie auch Nspire besitzt:

Man sieht das, was beim Anblick der Tabelle zu vermuten war.

Die sicher sehr ungenauen Zeitangaben erzeugen keine konstanten

Produkte. Also lassen wir die Funktion durch die Methode der

Regression bestimmen.

Wir bentigen die Berechnung der Potenzregression durch

b319

Die gesuchte Potenz-

funktion basiert auf der

Gleichung ( ) bf x a x= . Mit den Ergebnissen

a = 9526,88 und

b = -1,05667

erhlt man ( ) 1,056671f x 9527 x . Das ist beinahe ( )1 1,069530f x x .

Information:

Die Qualitt der Regression ist sehr gut, denn der Korrelationskoeffizient ist r 0,99= . Er sollte mglichst nahe bei 1 oder -1 sein, dann erhlt man gut brauchbare Kurve.


Nun zu den Hintergrnden: Eine genau gemessene Antiproportionalitt basiert auf dem Produkt

v t k = Der Mittelwert der 6 Produktergebnisse ist 7096. Damit kme man auf 7096tv

=

Physikalisch gesehen sieht das so aus: Bei einer angenommenen gleichfrmigen Bewegung ist s ss v t bzw. v oder tt v

= = =

Man erkenn daraus, dass die Proportionalittskonstante die Lnge der Teststrecke darstellt.

Nur mit den Einheiten stimmt etwas nicht:

Bei uns hat v die Einheit kmh

, daher mssen wir die Fahrzeit in Stunden angeben:

1 Minute = 1 h60

, also mssen wir die Produkte noch durch 60 dividieren:

Beispiel: v1 = 180 kmh und 40

1 60t 40 min h= = . Daher wird 40 180 40kmh 60 60s v t 180 h km 120 km

= = = = (die Lnge der Teststrecke).

Zur Regressionsfunktion f1 habe ich noch die

Kurve mit der Gleichung ( )2 7096f x x= eingegeben, deren Zhler aus dem Mittelwert

der Produkte entstanden ist.

Sie ist links oben die untere Kurve.

Man sieht, dass sie auch eine gute

Nherung darstellt.

Beispiel 4 Eine einfache Anwendung:

Im Herbst bringt Herr Obst seine pfel in die Mosterei. Es werden dabei 48 Flaschen zu 0,75 Liter

abgefllt. Wie viele Flaschen zu je 0,8 Liter htte das gereicht?

Lsung:

Gegeben ist das Paar ( )48 | 0,75 L . Dazu bilden wir ( )x | 0,8 L . Die Gren Anzahl der Flaschen und ihr Inhalt sind antiproportional, also liegen produktgleiche Paare

vor: x 0,8 L 48 0,75 = Division durch 0,8 L fhrt auf 48 0,75 Lx 45

0,8 L= =

Ergebnis: Das Obst reicht auch fr 45 Flaschen mit je 0,8 L Inhalt.

Die Nspire-Lsung mit der Produktgleichung ist verblffend einfach!


5 Potenzrechnen 5.1 Grundlagen

a) WISSEN: n Faktoren

na = a a a ... a wenn n eine natrliche Zahl ist.

Beispiele: ( )5 322 2 2 2 2 23 3 3 3 3 3 243= = ( ) ( ) ( ) ( )35 5 5 5 125 = = b) Zusatzvereinbarung:

Oa 1= c) Fr negative ganze Exponenten definiert man

nn1

aa =

Beispiele: 4 41

161

22 = = ,

1 177 = und 10 101 1102422

= = . d) Wer schon mit Wurzeln rechnen kann, muss wissen:

12a a= , 13 3a a= usw.

Beispiele: 129 9 3= = , 3138 8 2= = .

Nspire hat zum Quadrieren die Taste q und fr andere Potenzen l . Zustzlich gibt es noch die Tasten unds u fr Potenzen mit der Basis 10 bzw. e (=2,718).

Die Rechnung 13 3a a= kann

Nspire nicht schreiben,

da er alle n-ten Wurzeln,

die keine Quadratwurzeln

sind nur als Potenz

darstellt. 133 a a= kann er also schreiben.

Zwei Anmerkungen zu Nspires Berechnungen:

Bei der Grundeinstellung EXAKT, die ich stets vornehme,

gibt er das Ergebnis von 2,1-3 als Bruch aus. Erst mit

/ erhlt man eine Dezimalzahl. Die fhrende 0 zeigt

Nspire nicht an.

Und bei 0,521,2 versucht er irgendwelche Zerlegungen

vorzunehmen, die wir jedoch gar nicht haben wollen. Daher empfiehlt sich daher gleich / !

Das Rechnen mit Wurzeln ( 6) ist ein Spezialfall des Potenzrechnens

/

/


5.2 Potenzgesetze

Fr das Rechnen mit Potenzen gibt es einige Rechengesetze, die man beherrschen muss:

1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: m n m na a a + = z.B. ( ) ( )2 3 2 3 59 9 9 9 9 9 9 9 9+ = = =

( )5 5 1 64 4 4 4 4 4 4 4 4 4+ = = = 2. Division von Potenzen mit gleicher Basis:

m n

m

n n m

a falls m na 1 falls m na a

1 falls m n

>=


5.3 Umformungsaufgaben

Schler werden im Unterricht damit geplagt, quivalenzumformungen durchzufhren, deren Sinn nur

darin besteht, die Potenzgesetze richtig anzuwenden. Die berprfung der Ergebnisse mit Nspire ist

dabei ntzlich. Hier ein paar Beispiele solcher Qulereien:

a) 2 3 4 3 4 3(54x y ) (162 x y ) NR: 354 2 27 2 3= = , 4162 2 81 2 3= = ( ) ( )4 33 2 3 4 3 4 4 122 3 x y 2 3 x y 2 3 = = 8 12x y 3 122 3 9 12x y 1 22 x

x= = denn

1212 12 12 12 0 12 12

12

33 3 3 3 1 oder 3 3 13

= = = = =

b) ( )( )

( )1 24 2 3 2 4 2 6 42 3 42 3

a b a c a b a cb dc d

=

4c2

2 1 226 3 4

aa b db dd b d

= =

c) ( ) ( )2 24 2 4 2 8 4 2 4 8 4 2 4a b a b a 2a b b a 2a b b + + = + + + + 8 4 8 4

2 22a 2ba b

= + = +

Die Rechnungen zu a) und b) kann man

nur im Ergebnis vergleichen, den Weg dazu

sieht man natrlich nicht.

Die Aufgabe c) erfordert die Anwendung

der binomischen Formeln.

Nspire liefert mit factor() das auf den

Hauptnenner gebrachte Ergebnis,

mit expand() zeigt er dasselbe Ergebnis,

das auch oben gezeigt worden ist.

Expand() hilft hier, weil eine Summe mit im Spiel ist!

Diese Beispiele sollen gengen, denn mehr Mglichkeiten hat man mit Nspire nicht. Er berechnet in

jedem Fall das Ergebnis, nur kann dies nicht immer in der vom Lehrer gewnschten Form sein!


6. Wurzelrechnungen

6.1. Grundlagen zur Quadratwurzel

WISSEN: Unter der Zahl 2 versteht man diejenige positive Zahl,

deren Quadrat die Zahl 2 ist.

Unter der Zahl a versteht man diejenige nicht-negative Zahl,

deren Quadrat die Zahl a ist.

Weil eine Quadratzahl a nie negativ sein kann, muss in einem Term a

der Radikand a stets nicht negativ also a 0 sein.

Die Quadratwurzel gibt man mit der Tastenkombination /q ein.

Wir schauen uns an, welche Besonderheiten zu beachten sind und ben zugleich noch das manuelle

Wurzelziehen, denn dies sollte man trotz Nspire beherrschen!

Beispiele

a) 324 18= und

b) 3 3 5

55

=

Bei dieser Berechnung wurde mit 5 erweitert, damit im Nenner keine Wurzel mehr steht. Man nennt das den Nenner rational machen.

Beobachtung:

Der Nenner wird also bei der Grundeinstellung EXAKT automatisch rational gemacht.

Soll der Nherungswert ausgegeben werden, dann muss man entweder die Berechnung nochmals mit der Tastenfolge / also ( ) durchfhren, oder aber aus dem Men den Befehl In Dezimal konvertieren abrufen: b21 .

Nach entsteht die dargestellte Lsung:

ndert man die Grundeinstellung auf APPRX,

wird gleich ein Nherungswert ausgegeben.

Das Rechnen mit Wurzeln stellt fr Nspire natrlich kein

Problem dar:

Die Nherungszahl erhlt man bei EXAKT stets ber / .

Die Zeilen 1 und 3 zeigen, dass Nspire selbstverstndlich

die Regeln des Wurzelrechnens beherrscht,

/


6.2 Regeln des Wurzelrechnens

(1) Wurzeln darf man nicht so addieren, dass man die Radikanden addiert: 15 5 20+

(2) Multipliziert man Wurzeln dann darf man ihre Radikanden multiplizieren: 5 7 35 =

(3) Dividiert man Wurzeln dann darf man ihre Radikanden

dividieren: 20 20

4 255

= = =

(4) Enthlt ein Radikand eine Quadratzahl als Faktor, dann darf man aus diesem (teilweise) die Wurzel ziehen: 20 4 5 4 5 2 5= = = (Partielles Wurzelziehen) (5) In der Rechnung ( )15 5 5 3 5 5 3 1+ = + = + hat Nspire die 15 zerlegt und dann 5 ausgeklammert, und das ohne weiteren Befehl.

6.3 Grundaufgabe: Den Nenner rational machen

Darunter versteht man die Umformung eines Bruches, dessen Nenner eine Wurzel enthlt, in einen

Bruch, dessen Nenner wurzelfrei ist. Dies geschieht meist durch Erweitern (seltener durch Krzen).

Methode 1: Der Nenner enthlt keine Summe:

Dann macht Nspire bereits nach den Nenner rational, wie folgende Beispiele zeigen:

a) 5 5 5

33 3

3 3

3

= =

b) 2 2 2

2

12 12 12 123 2

48 8 16

= = =

=

c) 24 24 24 12

5 2 55 2 5 2

2 2 2

2= = =

Methode 2: Der Nenner enthlt eine Summe (oder Differenz)

a) Der Bruch 1

2 1 kann durch Erweiterung mit ( )2 1+

und Anwendung der 3. Binomische Formel im Nenner so

umgewandelt werden, dass der Nenner rational wird:

( )

( )( )2 1

2 1

1 2 1 2 12 1

2 1 12 1

+++

+= = = +

Das klappt bei Nspire CAS auf Anhieb, wenn die Grundeinstellung EXAKT ist. Lautet sie APPRX,

wird wie immer eine dezimale Nherungszahl ausgegeben. Der Grafikrechner Nspire kann nur das.

ACHTUNG: Diese Erweiterungsmethode sollten Schler beherrschen!

/


b) 5 1

5 1

+

fhrt auf 5 3

2

+.

Soll dies von Hand berechnet werden, muss man mit 5 1+ erweitern:

( )( )( )( )

( )22

2

5 1 5 1 5 2 5 1 6 2 5 35 1 5

5 15 11 4 25 1 5

+ + + + + += = = = =++

Rechts die Abbildung zu weiteren Berechnungen. Man muss in der Lage sein, diese Aufgaben auch ohne CAS zu lsen: Nspire ist der kontrollierende Lehrer!

c) ( )( )( )( )

2 3 22 3

2 3 2 3

3

2 3

+++ = +

( )

( )( ) ( )2

2 2 6 3 5 2 65 2 6 5 2 6

2 3

2 3

2 3 12 3

+ + += = = = + = +

+

d) ( )22 3 2 2 2 3 3 5 2 6+ = + + = + wurde in c) im Zhler bentigt

e) ( )( )

( ) ( )29898 98 98 98

8 2 8 1 9 2 2 2 9 4 2 9 4 28 1

9 4 2

9 4 2

= = = =

+ +

+

( ) ( ) ( )9 4 2 9 498 98 2 9 4 2 18 8 2

81 16 2

2

49

= = = + =

+ ++

Dieses Ergebnis wird bei Nspire nicht zu Ende gerechnet. Der implementierte Algorithmus kann

nie fr alle Flle gerstet sein. Aber er gibt jedoch eine Mglichkeit, das Ergebnis zu verbessern.

Dazu verwendet man den Befehl expand(), den man ber ( ) ( )Algebra Entwickleb4 3 aufruft. Und weil das letzte

Ergebnis entwickelt werden soll, gibt man ein:

expand(ans) . Die Folge sieht man rechts!

6.4 Was passiert bei negativem Radikand?

4 :

Erst wenn man die Grundeinstellung auf komplexe Zahlen

ndert (Kartesisch) erhlt man das komplexe bzw. imaginre

Ergebnis: 4 2 = i (2. Zeile) ! Mehr dazu bei Quadratische Gleichungen.


6.5 Grundlagen zu n-ten Wurzeln

WISSEN: Unter der Zahl 3 2 versteht man diejenige positive Zahl,

deren 3. Potenz die Zahl 2 ist: ( )33 2 2= : Dritte Wurzel aus 2. Unter der Zahl 4 2 versteht man diejenige nicht-negative Zahl,

deren 4. Potenz die Zahl 2 ist. ( )44 2 2= : Vierte Wurzel aus 2. In einer n-ten Wurzel n a muss der Radikand a stets nicht negativ

also a 0 sein.

Die n-te Wurzel n gibt man mit der Tastenkombination /l ein.

Beispiele

a) 3 2 schreibt Nspire in eine Potenz um.

Man lernt, dass 3132 2= ist.

In der Einstellung EXAKT schreibt Nspire die 3. Wurzel nur

in eine Potenz um, gibt man sofort nach der 1. Zeile

/ ein, wird daraus eine Dezimalzahl als Nherungs-

wert angezeigt; ebenso bei der Grundeinstellung APPRX.

In der 3. Zeile versuche ich eine Probe und gebe die

Anweisung, das letzte Ergebnis hoch 3 zu nehmen. Wir erwarten dann die Zahl 2. Nach

geschieht folgendes. Ans wird durch die Dezimalzahl ersetzt und das Ergebnis ist nicht genau 2. Dies

liegt daran, dass man 3 2 nur nherungsweise angeben kann!

Um die folgenden Rechnungen zu verstehen, muss

man Potenzrechnen beherrschen. Hier die Erklrung fr die

gezeigten Ergebnisse:

b) 3 3 3 33 54 27 2 27 2 3 2= = =

c) ( )24 1 11 144 4 224 4 2 2 2 2= = = = = d) 7123 4

1 1 1 34 7143 34 12 12 122 2 2 2 2 2 2 2

+ + = = = = = Merke: Nspire gibt in der Darstellung EXAKT 3. und hhere Wurzeln immer nur als Potenzen aus. Man wird also nie eine 12. Wurzel als Ergebnis erhalten (wie in der Aufgabe d).

Hinweis: Potenzrechnen ist manuell sehr schwierig und erfordert hinreichend lange bungen.

Dies sprengt den Rahmen dieses Textes.

/


6.6 Geschachtelte Wurzeln

a) 8 wird mittels in eine Potenz umrechnet:

( ) 11 1 122 2 48 8 8 8= = = und mit 38 2= folgt dann ( )3 1 31 44 48 2 2= = . In der Schule verlangt man dann vom Schler, dass er daraus etwa 4 3 42 8= macht. Das erreicht man mit CAS-Rechnern kaum.

Auch der Befehl Expand (Entwickle) im b43

schreibt die Potenz nicht in eine Wurzel um. Es muss nicht extra erwhnt werden, dass die

Nherungszahl stets mit / ausgegeben wird.

b) Mehr geschieht bei 33 8 8 2= = . c) Was aber passiert bei 3 54 ? Hier sehen wir ein Ergebnis in Potenzform. Das liegt daran, dass es

hier keine wirklich sinnvolle Umformung gibt !

Aufgabe Erklre die gezeigten CAS-Ergebnisse der rechten Abbildung.

Lsung Dazu muss man 54 in Primfaktoren zerlegen: 354 2 27 2 3= = , dann folgt: ( )33 6 1 31 1 116 6 6 6 6254 54 2 3 2 3 2 3 2 3= = = = = . Man knnte noch

16 62 2= ersetzen.

d) 2 8 2 2 2 3 2+ = + = 4 143 2 3 2 3 2= = = !

e) 14

3 34 4

314

34

4

2 2 1 1 1 1 22 28 2 2 2 22 2

2 2

2= = = = = =

=

Hier wurde mit 342 erweitert, damit im Nenner die Wurzel verschwindet:

Hier sieht man brigens, wie man trotz CAS Aufgaben stellen kann, die Schler zwingen, ihre

Algebrafhigkeiten unter Beweis zu stellen !

f) ( )24 1 11 44 24 4 2 2 2= = = = und g) ( ) 11 224 11 12 2416 2 2 2 2 = = = = werden perfekt ausgegeben.

h) Die Ausgabe hherer als Quadratwurzeln im Ergebnis scheint nicht mglich zu sein, denn

schon die einfache Aufgabe 5 5 52 2 2 2+ = kann Nspire nur als Potenz ausgeben.

( )c( )d( )e

(a)

(b)

(f )

(g)

(h)


Weitere Beispiele:

i) ( ) ( )1111 51 11 1 12 2 2 252 2 2 2 2 2 32 2+= = = = = j)

( )( )

2 5 55 5 11

2 2 32 2

5 2 132

2

12

8 2 2 2 1 2 12 2 28 2 22 28

2

2 2

= = = == = = =

k) ( ) ( )22 5 2 5 4 121 5 322

3 12 2

2

4 1 3243 9 3 3 3 3 3 333 93

= =

= = = =

Auf ein Problem soll noch hingewiesen werden:

Bei geraden Wurzeln kann der Radikand nie negativ sein. Bei ungeraden Wurzeln darf er

laut Vereinbarung auch nie eine negative Zahl sein.

Also existiert auch 3 8 nicht. Nspire liefert aber -2 als Ergebnis, weil ja 3( 2) 8 = ist. Dieses Ergebnis ist also durchaus sinnvoll, aber in Deutschland unzulssig, wird aber von (nahezu ?)

allen Rechnern so gemacht.

6.7 Trainingsaufgaben zum Wurzelrechnen

Alle Aufgaben sind von Hand und dann zur Kontrolle mit Nspire zu lsen.

Ziehe teilweise die Wurzeln oder mache die Nenner rational

(a) 2048 (b) 1088 (c) 32 98

(d) 168

(e) 83

(f) 3

82

Verwende nun auch die Befehle expand() bzw. factor(). Beweise die Ergebnisse durch eigene Rechnung!

(g) ( )22 3+ (h) ( )( )8 7 8 7+ (i) ( )24 45 3 (j) ( )23 34 2 (k) ( )( )3 7 7 5 3 7 7 5 + (l)

4

1040

(m) 42 2+ (n)

5 2 65 2 6+


Lsungen der Trainingsaufgaben

(a) 10 52048 1024 2 2 2 2 2 32 2= = = = (b) 1088 8 17= (c) 32 98 4 2 7 2 4 7 2 56 = = = (d) 2

216 16 16 2 4 2

48 8 = = =

(e) 8 8 2 2 3 2 6 2 63

33 3 3 33

= = = =

(f) 3

8 22=

3

3

3

2

4

4

2

2

33 42 71

3 6 622 4 2 2 2 2+= = = =

(g) ( )22 3 4 4 3 3 7 4 3+ = + + = + (h) ( )( ) 2 28 7 8 7 8 7 8 7 1+ = = = (i) ( )2 2 24 4 4 4 4 4 45 3 5 2 5 3 3 5 2 15 3 = + = + Hier zeigt sich Nspire zunchst hilflos! Der Versuch mit dem Befehl expand() (Entwickle) bringt uns einen Schritt weiter. Doch zufriedenstellend ist das Ergebnis keineswegs. berraschenderweise hilft der Befehl factor() b32 noch weiter und bringt nahezu das gewnschte Ergebnis. Allerdings besttigt sich die Beobachtung, dass man hhere Wurzeln nur mit Bruchexponenten erhlt.

(j) ( )23 3 3 3 334 2 16 2 4 2 4 = + 33 38 2 2 8 4= + 3 32 2 4 4= +

(k) ( )( )3 7 7 5 3 7 7 5 9 7 49 5 + = 63 245 182= =

(l) 3 34 4

4 3 4

34

44 434

10 10 12 5 0 2 5 10 2 52 540 2 5 2 52 5

= = =

34 42 5 250= =

(m) ( )

( )( )( )4 4 2 244 22 2 2 2

2 2

2 2

=

+ = +

( ) ( )4 2 2 2 2 2 4 2 2

2

= = =

Hier wird expand() bentigt !

(n) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

25 2 6 5 2 6 5 2 6 25 20 6 4 6

25 4 65 2 6 5 2 6 55

22 6

5 2 6 66 5 2+ + + +

+ + = = = + +

49 20 6= +

ans

ans

ans

ans


7 Termumformungen

7.1 Mit Termen Werte berechnen

Jeder Term stellt eine Berechnungsvorschrift dar, der Zahlen und Variable (Unbekannte) enthlt.

Terme mit einer Variablen sind beispielsweise 5x 8 , 2x 4x 6+ , ( )3a 1 5 , ( )2z 52z 3+ , Terme mit zwei Variablen sind etwa 2 2a b , u v 2 u 3 v + , y2 x Ersetzt man die Variable durch eine Zahl, dann liefert der Term ein Ergebnis, einen Wert.

Beispiele: Terme mit einer Variablen

a) Ersetzt man x in 5x - 8 durch die Zahl 3, erhlt man die Berechnung 5 3 8 mit dem Ergebnis 7. Man sagt dann, der Zahl 3 wird der Wert 7 zugeordnet. Diese Zuordnung kann

man dann auch so schreiben:

( )T x 5x 8= und ( )T 3 5 3 8 7= = . Diese Schreibweise zeigt den Term T(x) und die Berechnung des Wertes der Zahl 3 durch T(x).

b) Der Term ( ) 2f x x 4x 6= ist ein quadratischer Term, weil die Variable x sogar im Quadrat vorkommt. Der Zahl x = -2 ordnet dieser Term den folgenden Wert zu:

( ) ( ) ( )2f 2 2 4 2 6 4 8 6 6 = = + = . c) Der Term ( ) ( )g a 3a 1 5= ordnet der Zahl a = 15 den Wert ( ) ( )g 15 3 15 1 5 220= = zu. d) Und der Bruchterm ( ) ( )2z 52z 3h z += ordnet z = 0 den Wert ( ) ( )25 253 9h 0 = = zu. Werte einsetzen mit Nspire

Nspire verwendet dazu den Mit-Operator |, der ein senkrechter Strich ist. Man findet ihn auf der

Tastatur links neben der Taste A. Dahinter schreibt man die Variable die ersetzt werden soll, ein

Gleichheitszeichen und die einzusetzende Zahl.

Die Abbildung zeigt die Berechnung der

Werte, wie sie oben manuell ermittelt

worden sind.

Nspire rechnet auch mit Listen

Nspire besitzt die Mglichkeit, die Werte mehrerer Terme in einer Rechenzeile zu berechnen.

Dazu schreibe man die einzusetzenden Zahlen in eine geschweifte Klammer (Mengenklammer)

{ }1,2,3,4,5 und erhlt dann eben falls in einer solchen Klammer die zugehrigen Werte. Man nennt hier eine solche Menge eine Liste.

Die Abbildung zeigt zwei Beispiele fr eine

Listenberechnung.


Beispiele: Terme mit zwei Variablen

In Termen mit 2 Variablen bentigt man zwei Zahlen zum Einsetzen, also ein Zahlenpaar.

e) Den Term 2 2a b kann man durch ( )1f a,b bezeichnen. Man liest das f1 von a Komma b. Setzen wir fr a die Zahl 6 und fr b die Zahl 4 ein, dann liefert der Term dazu den Wert 20.

Die Berechnung kann man so aufschreiben: ( ) 2 21f 6,4 6 4 36 16 20= = = . f) ( )2f u,v u v 2 u 3 v= + ordnet dem Zahlenpaar ( )5 | 1 den Wert -2 zu: ( )2f 5,1 5 1 2 5 3 1 5 10 3 2= + = + = g) Der Term ( ) yp x,y 2 x= ordnet dem Zahlenpaar ( )3 | 2 den Wert 18 zu: ( ) ( )2p 3 | 2 2 3 2 9 18 = = = Werte einsetzen mit Nspire

Werden zwei Zahlen in zwei Variable eingesetzt, verwendet

man dazu and. Dieses Wort entnimmt man entweder dem Katalog k eingeben. Man gibt den Anfangsbuchstaben a

ein und steuert dann den Balkencursor zum gewnschten

Befehlswort. Oder man gibt and mit der Tastatur ein, muss aber davor bzw. dahinter ein Leerzeichen _ einfgen.

Rechts sehen wir die Berechnungen, die oben manuell erstellt

worden sind.

Man achte auf die zweite und dritte Zeile:

In der zweiten Zeile wurde das Produkt u v ohne den Multiplikationspunkt geschrieben, was nicht erlaubt ist. Nspire versteht uv als eine Variable, bestehend aus zwei Schriftzeichen.

Daher wird uv auch nicht ersetzt und bleibt im Ergebnis stehen. Die dritte Zeile zeigt die korrekte

Schreibweise!

7.2 Die Funktionsschreibweise von Nspire verwenden

Man kann einen Term auch mit dem Befehl define() in Nspire eingeben. Dies hat den Vorteil, dass

der Term (man sagt meistens dazu auch die Funktion) gespeichert ist und immer wieder aufgerufen

werden kann. Den Befehl define() ruft man ber das Men so auf:

( ) ( )Extras Definiereb1 1 Die Abbildung zeigt die Definition der Funktion ( )T x 5x 8= . Dann wurden die Werte zu x = 3, x = -5 und 23x = berechnet,

Die vierte Zeile zeigt eine Listenberechnung fr 5 Zahlen.

Und wenn man nicht mehr wei, welcher Term sich hinter

t(x) verbirgt, kann man sich das zeigen lassen.


7.3. Gleichwertige (quivalente) Terme

Beispiel: Setzt man in 2x 5y 3x 8y+ das Paar ( )2 | 3 ein, erhlt man den Wert -7: ( ) ( )2 2 5 3 3 2 8 3 4 15 6 24 7 + = + + = Diesen Term 2x 5y 3x 8y+ kann man durch Zusammenfassen vereinfachen: 2x 5y 3x 8y x 3y+ = , denn 2x - 3x = -x und 5y 8y = - 3y. Setzt man jetzt das Paar ( )2 | 3 ein, folgt ( )2 3 3 2 9 7 = = . Der vereinfachte, zusammengefasste Term liefert nicht nur fr das Zahlenpaar ( )2 | 3 , sondern fr alle Zahlenpaare dieselben Werte.

Terme, die fr alle einzusetzenden Paare dieselben Werte liefern, nennt man gleichwertige oder quivalente Terme.

Weitere Beispiele fr quivalente Terme:

a) ( )12x 8x 3x 2x 4 12x 8x 3x 2x 4 5x 4 + = + + = + b) ( )4 2x 3 8x 12+ = + c) ( )( ) 2 2x 2 x 5 x 2x 5x 15 x 3x 10+ = + = Mit Nspire zeigen, dass zwei Terme gleichwertig sind

Es gibt verschiedene Mglichkeiten dazu:

(1) Einfache Terme fasst Nspire bereits mittels

zu quivalenten Termen zusammen (1. Zeile).

Dies klappt leider nicht bei allen Termen!

(2) Man lsst den einen Term per expand() umformen.

Dann wird sich in vielen Fllen der gesuchte zweite Term ergeben.

Wie man sieht, erfordern die Terme b) und c) den Befehl expand(), denn mit (siehe 3. und

5. Zeile) wird nichts verndert.

(3) Kennt man das Ergebnis (also den vermeintlichen

einfacheren quivalenten Term), kann man aus dem

gegebenen Term und dem Ergebnisterm eine

Gleichung bilden und diese mit besttigen.

Sind beide Terme gleichwertig (quivalent), gibt Nspire die Antwort true aus,

In der vierten Zeile habe ich rechts +10 statt -10 geschrieben, daher sind die Terme nicht

gleichwertig. Nspire stellt dies auch fest und reagiert so, dass er die Gleichung noch einmal

anzeigt.

MERKE: Gibt Nspire eine Gleichung noch einmal aus, dann ist sie nicht allgemeingltig.


7.4 Trainingsaufgaben

Berechne zu den gegebenen Zahlen die Werte

(1) a) ( )T x 12x 5= mit x = -2 und x = 5 b) ( ) 212T x x 4x 2= + mit x = -3, x = -2 usw. bis x = 3 c) ( ) ( )( )T a,b a b a b= + mit a = 5, b = 3 und mit a = 2, b= -5 d) ( )T x,y 2xy x 5y= + + mit x = 3, y = 2 und mit 12x , y 10= = .

Vereinfache die gegebenen Terme manuell in quivalente Terme.

berprfe anschlieend mit Nspire, ob das Ergebnis richtig ist.

(2) a) 12x 3y 18x 9y+ + b) ( ) ( )2 x 3 5 4 2x+ c) ( ) ( )4x 3x 5 2 x 3+ + d) ( ) ( )25x x 2 4 x 3x 1 + e) ( )( )x 4 x 5+ f) ( )( )3x 1 2x 5 + g) ( )( )2x 4x 2 3x 5+ h) ( )( )( )3x 2 4x 1 2x 6 + i) ( )( )2x y x 2y + j) ( )2x 3y+


Lsungen zu Aufgabe 1

a) ( )T x 12x 5= mit x = -2 und x = 5 (

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