190 5 Drücke in Bunkern und Silos 191 192 - mvt.ovgu.de · Dieser Lastfall tretenkann dann , wenn...

Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014

190

5 Drücke in Bunkern und Silos 191

5.1 Einleitung - Silohavarien 191

5.2 Berechnungsmodell - Scheibenelementmethode 192

5.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft 192

5.2.1.1 Herleitung der JANSSEN-Gleichung 192

5.2.1.2 Schaftdruck bei Schüttgutbewegung nach oben 194

5.2.1.3 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ 196

5.2.1.4 Entleerungsdrücke im Schaft 197

5.2.2 Berechnung des Vertikaldruckes im Silotrichter 198

5.2.2.1 Füllzustand 198

5.2.2.2 Entleeren 203

5.2.3 Druckberechnung mittels bautechnischer Standards 204

5.3 Einfluß der Schüttguteigenschaften 209

5.4 Abschätzung der Wandstärken 211

5.4.1 Zugbeanspruchung und Bewehrung von Stahlbetonsilos 211

5.4.1.1 Zugbeanspruchung im Mantel von Stahlbetonsilos 211

5.4.1.2 axiale Zugbeanspruchung im Mantel von Metallblechtrich-

tern 211

5.4.1.3 ringförmige Zugbeanspruchung im Mantel von Metallblech-

zylindern 212

5.4.2 Ausbeulen eines Metallblechsilos 215


191

5 Drücke in Bunker und Silos - Gliederung, Bild F 5.1

5.1 Einleitung - Silohavarien

− Wahrscheinlichkeit des Versagens von Stahlbetonsilos ist mehr als 20 mal höher als bei anderen Stahlbetonhochbauten! → frühere Havariebilder (Dias):

B 1 - 8: aus "Silo-Handbuch6" u.ä. B 9 - 16: Havarien einer Uranerzrolle im Tiefbau (1990) und eines Si-

los für Therephthalsäure (1986) − prinzipieller Verlauf der Drücke eines Massenflußbunkers, s. Bild F 5.2

• charakteristischer Spannungsumschlag ("Switch") am Übergang zwi-schen Schaft-Trichter, d.h. aktives - in passives (plastisches) Span-nungsfeld, siehe Bild 5.1:

• tritt sowohl bei Massenfluß am Schaftende als auch bei Kernfluß (KF) am Beginn des Schüttgut-trichters auf; ist infolge Schwan-kungen der Höhe der KF-Zone nur schwerer lokalisierbar,

Bild 5.1: Horizontaldruckverlauf über der Höhe bei Kernfluß mit „Switch“

- Spannungsstoß auch in einer FEM-Modellrechnung (s. Eibel u.a.) darstell-bar, siehe Bild F 5.3

• Darstellung von Größe und Richtung der größten und kleinsten Hauptspannung σ1 und σ2

• Spannungsstoß am Übergang Schaft-Trichter • Geschwindigkeitsprofil, siehe Bild 5.2 rechts

→ in der Achse die größte Geschwindigkeit → an der Wand die kleinste

Bild 5.2: Geschwindigkeitsprofil im Schaft

ph

ph


192

5.2 Berechnungsmodell - Scheibenelementmethode

5.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft

5.2.1.1 Herleitung der JANSSEN-Gleichung

Kräftegleichgewicht an einem hori-

zontalen Scheibenelement der inkre-

mentellen Höhe dy

Bild 5.3: Kräftegleichgewicht an einem horizontalen Scheibenelement

Voraussetzung: pv = const. und ρb = const. über den Durchmesser D des Schaftes, Bild F 5.4 und Bild 5.3

( ) AdygUdypApAdpp0F bWvvv ⋅⋅⋅ρ+⋅⋅−⋅+⋅+−=↓=∑ mit

vFh

hww

ppptanp

⋅λ=⋅ϕ=

( 5.1)

λF Horizontaldruckverhältnis beim Füllen mit λF = 0 ... 1, wobei gilt: λF = 0 Festkörper

λF = 1 isostatischer Zustand (Flüssigkeit)

gpAUtan

dydp

bvwFv ⋅ρ=⋅⋅ϕ⋅λ+ ( 5.2)

Lösung: als gemeinsame Übung:

vwFbv p

AUtang

dydp

⋅⋅ϕ⋅λ−⋅ρ=

63

vb

v

Hpg

dydp

−⋅ρ= ( 5.3)

wenn hier ein charakteristischer Höhenwert so definiert wird:

UtanAH

wF63 ⋅ϕ⋅λ

= ( 5.4)

Allgemeine Lösung durch Trennung der Variablen

v63bv

63 pHgdydpH −⋅⋅ρ=⋅

Die allgemeine Randbedingung lautet: für H = 0 sei pv = pv0 ≠ 0

∫∫ =−⋅⋅ρ

⋅H

0

p

p v63b

v63 dy

pHgdpH

v

0v

( ) HpHglnH v

0v

p

pv63b63 =−⋅⋅ρ⋅−

630v63b

v63b

HH

pHgpHgln −=

−⋅⋅ρ−⋅⋅ρ bzw.

−−=

−⋅⋅ρ+⋅⋅ρ−

630v63b

v63b

HHexp

pHgpHg

dy

pv

ρb⋅g⋅dy

pv + dpv

pn pw

y


193

−⋅+

−⋅⋅⋅ρ−⋅⋅ρ=

630v

6363b63bv H

HexppHHexpHgHgp

−⋅+

−−⋅⋅⋅ρ=

630v

6363bv H

HexppHHexp1Hgp ( 5.5)

Für die gewöhnlich zutreffenden Randbedingung, dass bei freier Schüttgut-

oberfläche H = 0 auch pv0 = 0 ist, folgt die bekannte JANSSEN-Gleichung1:

−−⋅⋅⋅ρ=

6363bv H

Hexp1Hgp ( 5.6)

wobei ( )

( ) 63b63v

63bv

Hg63,0HHpHgHp

⋅⋅ρ⋅==⋅⋅ρ=∞→∞

z.B. für einen zylindrischen Schaft gilt:

⋅ϕ⋅λ⋅−−⋅

ϕ⋅λ⋅⋅⋅ρ

=

=⋅π⋅

⋅π=

DHtan4exp1

tan4Dgp

4D

D4D

UA

wFwF

bv

2

( 5.7)

Endwert pv∞

0,63 pv∞

ρb

g H⋅ ⋅

H H63

Bild 5.4: Vertikaldruckverlauf über der Füllhöhe des Schaftes

Praktische Schlussfolgerungen für die geometrische Apparategestaltung

der Schüttgutspeicherbehälter:

• für Schüttgutsilos ist pv ∼ D → )H(fpv ≠∞ , man baut Schäfte mit gerin-

gem Durchmesser aber großer Höhe, d.h. üblicherweise mit großem Schlankheitsgrad H/D >> 1,5!

• für Flüssigkeitstanks ist pv ∼ H → gilt dagegen )D(fHgpv ≠⋅⋅ρ= ,

man baut also Tanks mit geringer Höhe aber großem Durchmesser!

1 Janssen, H.A., Versuche über Getreidedrücke in Silozellen, Z. VDI 39 (1895) 1045-1049


194

5.2.1.2 Schaftdruck bei Schüttgutbewegung nach oben

Wenn man nun versucht, von unten die Schüttgutsäule entgegen der Schwerkraft nach oben zu drücken, Bild 5.3, muss das Vorzeichen der Wanddruckes (Wandschubspannung bzw. Wandreibungswiderstandes) pw umgekehrt werden.

Dieser Lastfall kann dann auftreten, wenn das Silo vergleichsweise weich aufgehängt ist und sich aufgrund der hohen Fülllasten gegenüber der Position des steif gebetteten Austraggerätes etwas absenkt, siehe Bild F 7.12.2 unten in Schüttec_7.doc#-Abzugskräfte, und folglich das Austrag-gerät die inkompressible Schüttgutsäule entgegen der natürlichen Fließrich-tung der Schwerkraft nach oben in den Schaft (Trichter wird vernachlässigt) hinein drücken muss, Bild 5.5.

Bild 5.5: Vertikaldruck & nach unten gerichteter Wandreibungswiderstand

Die Kräftebilanz lautet jetzt mit der Vorzeichenumkehr der Wand-schubspannung pw:

( ) AdygUdypApAdpp0F bWvvv ⋅⋅⋅ρ+⋅⋅+⋅+⋅+−=↓=∑ ( 5.8)

0gpAUtan

dydp

bvwFv =⋅ρ−⋅⋅ϕ⋅λ− ( 5.9)

vwFbv p

AUtang

dydp

⋅⋅ϕ⋅λ+⋅ρ=

Und mit dem charakteristischen Höhenwert Gl. ( 5.4) ist:

63

vb

v

Hpg

dydp

+⋅ρ= ( 5.10)

Allgemeine Lösung durch Trennung der Variablen

v63bv

63 pHgdydpH +⋅⋅ρ=⋅

Die übliche Randbedingung lautet, für H = 0 sei pv = 0:

∫∫ =+⋅⋅ρ

⋅H

0

p

0 v63b

v63 dy

pHgdpH

v

( ) HpHglnH vp

0v63b63 =+⋅⋅ρ⋅

6363b

v63b

HH

HgpHgln =

⋅⋅ρ

+⋅⋅ρ bzw.

=

⋅⋅ρ+⋅⋅ρ

6363b

v63b

HHexp

HgpHg

⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ+

6363b63bv H

HexpHgHgp

dy

pv

ρb⋅g⋅dy

pv + dpv

pn

pw

y


195

⋅⋅⋅ρ+⋅⋅ρ−=

6363b63bv H

HexpHgHgp

Daraus folgt eine exponentielle Vertikaldruckzunahme eines inkompressib-len Schüttgutes (ρb ≈ const. ≠ f(pv)) über der Füllhöhe H als sozusagen „in-verse“ JANSSEN-Gleichung:

−

⋅⋅⋅ρ= 1

HHexpHgp

6363bv ( 5.11)

Charakteristische Werte sind:

( )( ) [ ]( ) ∞=∞→

⋅⋅ρ⋅=−⋅⋅⋅ρ====

HpHg718,11718,2HgHHp

00Hp

v

63b63b63v

v

Gleichheit wird mit dem isostatischen Druck bei H* = 1,718.H63 erreicht,

Bild 5.6:

63b*

b H718,1gHg ⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ d.h. 63* H718,1H ⋅= ( 5.12)

1,72 ρb g H63

Hgb ⋅⋅ρ

H H* = 1,72 H63

pv

Bild 5.6: Exponentieller Vertikaldruckverlauf über der Schaftfüllhöhe, siehe dazu auch im Kapitel 7 (Austraggeräte) Schüttec_7.doc#Vertikaldruck_Tr bzw. Bild F 7.12.3 in Folien_PM_SGT_7.pdf


196

5.2.1.3 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ

ϕw σ2

ϕe

ph(a) σx(a)

ph σx

pv σy

σR

ϕe

σM

σx ph(p)

σy pv

σy(a) pv(a) σ1

σ

ϕe

τ EFO WFO

(p) - passiver (a) - aktiver Spannungs- zustand •

Bild 5.7: Spannungen am MOHR-Kreis

(1) Voraussetzung pv = σ1 und ph = σ2 sind Hauptspannungen, d.h. aufgrund der Achsensymmetrie ist das nur in der Hauptachse des Schaftes erfüllt!

Es ist 21

21

M

Resin

σ+σσ−σ

=σσ

=ϕ ( 5.13)

( ) ( )e2e1

e221e1

sin1sin1sinsin

ϕ+⋅σ=ϕ−⋅σϕ⋅σ−σ−=σ−ϕσ

im aktiven Spannungszustand pv ≈ σ1 bzw. ph ≈ σ2

v

h

e

ea

1

2

pp

sin1sin1

≈ϕ+ϕ−

=λ=σσ

(5.14)

Dies gilt streng nur für den aktiv-plastischen Spannungszustand ohne Berücksichtigung der Wandreibung und bei hinreichender Verformbar-keit (Möglichkeit der horizontalen Ausdehnung) der Schaftwände. Ge-wöhnlich werden jedoch bei axialer Kompression eines Schüttgutes in einem Behälter mit steifen Außenwänden größere λa-Werte als mit der Gl.(5.14) berechnet erhalten ⇒ λ(4). Im passiven Spannungszustand drehen sich die Hauptspannungsrichtungen um, d.h. pv ≈ σ2, bzw. ph ≈ σ1 und es gilt:

v

h

e

ep

2

1

pp

sin1sin1

≈ϕ−ϕ+

=λ=σσ

( 5.15)


197

(2) ph, pv sind keine Hauptspannungen, aber unabh. von der Wandreibung, d.h. für rauhe Wände bzw. innerhalb des Schüttgutes gültig, s. Bild F 5.5

eMR sin ϕ⋅σ=σ ( 5.16)

eRhM sinp ϕ⋅σ=−σ ( 5.17)

eRMv sinp ϕ⋅σ=σ− ( 5.18)

eRMh sinp ϕ⋅σ−σ=

Einsetzen der Gl.( 5.16) des effektiven Fließortes (EFO)

( )e2

Me2

MMh sin1sin- =p ϕ−⋅σ=ϕ⋅σσ

eRMv sinp ϕ⋅σ+σ= ( )e

2Me

2MMv sin1sinp ϕ+⋅σ=ϕ⋅σ+σ=

e2

e2

v

h

sin1sin1

pp

ϕ+ϕ−

==λ ( 5.19)

(3) allgemeiner Fall der Berücksichtigung der Wandreibung

( )( )w2

e2

w2

w2

w2

sinsinsin-1= wenn sin1sin1

ϕ−ϕϕ∆∆+ϕ+∆−ϕ−

=λ ( 5.20)

→ für den aktiven Spannungszustand bzw. → für den passiven Spannungszustand gilt analog

( ) ∆−ϕ+∆+ϕ−

=λw

2w

2

p sin1sin1

( 5.21)

Es ist also ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )p1p32031 λ<λ<λ<λ<λ<λ

(4) Aktiv-elastischer (Kompressions-) Spannungszustand d.h., um ein großes ph zu erhalten, Verwendung eines sog. Ruhedruck-beiwertes (empirisch!):

e0 sin1 ϕ−=λ ( 5.22)

→ Um ein großes ph zu erhalten: Bauingenieure verwenden zur ⇒ Be-messung von Stahlbetonwänden )sin1(2,1 eϕ−⋅=λ , siehe DIN 1055/06

(5) Für Abschätzungen der Fülldrücke im Schaft (JENIKE, ROBERTS):

4,0=λ ( 5.23)

Um ein großes pv zu erhalten, → Verwendung von gewöhnlich )3(λ und

zwar für → Trichterlasten, Drücke auf Austragsgeräte usw.

5.2.1.4 Entleerungsdrücke im Schaft

⇒ Zunahme der Horizontalspannungen im Schaft beim Entleeren - auch schon beim Füllen durch starke Kompression und Setzen und zwar durch - Ausbildung eines Fließtrichters beim Kernfluß oder


198

- Imperfektionen der Wand, d.h. örtliche Konvergenzen der Wand und Umformen des aktiv-plastischen Spannungszustandes, der durch örtli-che Wanddivergenzen gefördert wird, in den passiv-plastischen Span-nungszustand;

⇒ Ausgleich dieser örtliche Konvergenzen durch - divergente Schaftwandneigung von etwa 0,5° (JENIKE) möglich - Einführen von Lasterhöhungsfaktoren cj für die Wandnormalspan-

nungen (Horizontaldrücke, siehe TGL 32 274/09 o. DIN 1055/06).

5.2.2 Berechnung des Vertikaldruckes im Silotrichter

5.2.2.1 Füllzustand

Berechnung mittels unten beginnender Höhenkoordinate y, Bild F 5.4:

Bild 5.8: Differentielles Scheibenelement im Trichter Bild 5.9: Beide Wanddruckkomponenten

Die Terme dpv⋅dA → 0 und dy.dA → 0 sind sehr klein und können vernachlässigt werden

− Voraussetzungen: • ρb = const., pv = const. über den Querschnitt • Wandreibungsdruck

v1wnww pktanptanp ⋅⋅ϕ=⋅ϕ= (5.24)

• Das Verhältnis der Normalspannung pn auf die Trichterwand zum mittleren Vertikaldruck pv wird konstant gesetzt und k1 -Wert genannt,

v

n1 p

pk = ( 5.25)

um eine analytische Lösung des folgenden Kräftegleichgewichtes am Scheibenelement zu erhalten:

− Kräftegleichgewicht:

( ) ( ) ( )

θ⋅⋅θ⋅+

θ⋅⋅θ⋅+

+⋅⋅⋅ρ−+⋅−⋅+−⋅=↑=∑

cosdyUsinp

cosdyUcosp

dAAdygdppdAAdppAp0F

nw

bvvvvvv

( ) 0AdygdyUtankdyUtankpdApdpA b1w1vvv =⋅⋅⋅ρ−⋅⋅θ+⋅ϕ⋅+⋅−⋅−

mit dyA: ⋅− folgt:

dy

dA

(pv + dpv)⋅A

ρb⋅g⋅dy⋅A θ

pv⋅A

pn

pw dA⋅(pv + dpv)

y θ

θ

pwcosθ pw

pn pn

.sinθ

θ

θ


199

( ) 0gAUtantank

dydA

A1p

dydp

bw1vv =⋅ρ+

⋅ϕ+θ⋅−⋅+ ( 5.26)

Nebenrechnungen:

( )

l2tany2+l2= U ; tan2yl=2xl= Atany2=x2= U ; tanyx= Atany8=2x4= U; tany4x42x= A

tanyx

222

2222

⋅≈θ⋅θ⋅⋅θππθπ=π

θ⋅θ==

θ=

allgemein: 1m

tanyUA

+θ⋅

= (5.27)

y1

tanyl2tanl2=

dydA

A1

y2

tanytany2=

dydA

A1

y2

tany4tan8y=

dydA

A1

22

2

22

2

=θ⋅⋅⋅

θ⋅⋅⋅

=θπθπ

⋅

=θ

θ⋅

allgemein: y

1mdydA

A1 +

=⋅ ( 5.28)

Gln. (5.27) und ( 5.28) einsetzen in Gl. ( 5.26):

( ) 0gtany

1mtantanky

1mpdydp

bw1vv =⋅ρ+

θ⋅

+ϕ+θ−

++

( ) 0gtan

tan1k11my

pdydp

bw

1vv =⋅ρ+

θϕ

+⋅−⋅++

( ) 0g1tan

tan1k1my

pdydp

bw

1vv =⋅ρ+

−

θϕ

+⋅⋅+− ( 5.29)

= k

Mit dem Exponent: ( )

−

θϕ+θ

⋅⋅+= 1tan

tantank1mk w1 ( 5.30)

folgt die in y hyperbolische Differentialgleichung 1. Ordnung (bzgl. pv)

0gy

pkdydp

bvv =⋅ρ+⋅− ( 5.31)

Umgeschrieben2 ist: ( )y

ygpkdy

ydp bvv ⋅⋅ρ−⋅= ( 5.32)

2 Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A., Musiol, G. und H. Mühlig, Taschenbuch der Mathe-matik, S.555, Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008

y

x

θ


200

⇒ Der Lösungsansatz wird durch folgende Funktionen3 gegeben, mit der Integrationskonstanten C

( )1k

ygyCyp bkv −

⋅⋅ρ+⋅= für k ≠ 1 ( 5.33)

[ ])yln(gCy)y(p bv ⋅⋅ρ−⋅= für k = 1 ( 5.34)

Überprüfung für k ≠ 1:

1kygpyC b

vk

−⋅⋅ρ

−=⋅ 1kg

yykC

1kgykC

dydp b

kb1kv

−⋅ρ

+⋅⋅=−⋅ρ

+⋅⋅= −

Gl. ( 5.33) in ( 5.31) einsetzen:

1kg

1kyg

ykp

yk

1kg

1kygp

yk

dydp bb

vbb

vv

−⋅ρ

+−

⋅⋅ρ⋅−=

−⋅ρ

+

−⋅⋅ρ

−=

( )1k1kgp

yk

dydp b

vv +−

−⋅ρ

+= und gpyk

dydp

bvv ⋅ρ−=

0gpyk

dydp

bvv =⋅ρ+− q.e.d.

Es kann nun die Integrationskonstante C unter der folgenden Randbedin-gung erhalten werden: ⇒ wenn )tanU/(A)1m(Hy Tr θ⋅+== , Gl.(5.44), entspricht 0,vv pp = dem

Vertikaldruck des darüber befindlichen Schaftes

( )1kHgHCpHyp Trbk

Tr0vTrv −⋅⋅ρ

+⋅===

−⋅⋅ρ

−=1kHgp

H1C Trb

0vkTr

(5.35)

Einsetzen in Gl.( 5.33) und es folgt:

( )1k

ygHy

1kHgpyp b

kTr

kTrb

0vv −⋅⋅ρ

+⋅

−⋅⋅ρ

−=

k

Tr

Trb0,v

bv H

y1kHgp

1kygp

⋅

−⋅⋅ρ

−+−

⋅⋅ρ= deshalb gilt für k ≠ 1:

k

Tr0,v

k

TrTr

Trbv H

ypH

yH

y1kHgp

⋅+

−⋅

−⋅⋅ρ

= ( 5.36)

Für den isostatischen Spannungszustand, d.h. für k = 0 folgt aus Gl. ( 5.36)

( ) 0,vTrbTrb0,vbv pyHgHgpygp +−⋅⋅ρ=⋅⋅ρ++⋅⋅ρ−= ( 5.37)

wobei dann mit der Gl.( 5.30) der minimale k1 - Wert folgt:

wminv

nmin,1 tantan

tanppk

ϕ+θθ

=

= ( 5.38)

3 Walters, J.K., A theoretical analysis of stresses in axially-symmetric hoppers and bunkers, Chem. Engng. Sci. 28 (1973) 779


201

Darüber hinaus ist für k = 1 (bei sehr kompressiblem Schüttgut):

Tr0,v

Trbv H

ypy

Hlnygp ⋅+

⋅⋅⋅ρ= ( 5.39)

Nach MOTZKUS4 läßt sich der k1-Wert aus Betrachtungen am MOHR-schen Spannungskreis mit dem komplementären Wandneigungswinkel zur Horizontalen α = 90° - θ gewinnen:

α⋅λ⋅ϕ+α⋅λ−

+λ+

= 2sintan2cos2

12

1k w1 ( 5.40)

0

0

1

1

Trichter-höhe y/HTr

y HTr

pv,0 = 0

Vertikaldruck ( )p g Hv b Tr/ ρ ⋅ ⋅

isostatischer Spannungszustand k = 0

k = 0,5

k = 1

k = 2

k = 4

k = 0,1

Bild 5.10: Dimensionsloser Vertikaldruck im Trichter für den Füllzustand Tabelle 5.1: Empfohlene Werte für k und k1 zur Ermittlung der Spannungen im Auslaufbereich eines Silotrichters im Füllzustand, ROBERTS/McLEAN

k - Wert k1 - Wert Bemerkungen hinsichtlich Abschätzung der Verti-

kalspannung pv Schüttgutkompres-

sibilität Aufhängung des Austraggerätes

0 k1, min oberer isostatischer Grenzwert, sehr sicher,

völlig inkompressibel starr angebracht

0,1 Gl.( 5.40) inkompressibel steif aufgehängt 0,45 Gl. ( 5.40) mäßig kompressibel nachgiebig 0,9 Gl. ( 5.40) kompressibel nachgiebig 1,0 Gl. ( 5.40) ausreichend sicher sehr kompressibel

Gl.( 5.30) 1,0 gute Schätzung des Mit-telwertes gemessener pv

2⋅(m+1) Gl. ( 5.40) unterer Grenzwert gemes-

4 Motzkus, V.: Belastungs von Siloböden und Auslauftrichtern durch körnige Schüttgüter, Diss. TU Braunschweig 1974


202

sener pv, unsicher Berechnung mittels oben beginnender Höhenkoordinate h: ⇒ Besser ist, Höhe vom Schaft-Trichteransatz beginnend in die Tiefe laufen

zu lassen, d.h. hHy Tr −= ⇒ Randbedingung: für TrHy = oder günstiger h = 0 ist 0vv pp = mit

pv0 Vertikaldruck des Schaftes ⇒ in Gl. ( 5.33) einsetzen, zur Bestimmung der Integrationskonstanten:

( )1kHgHCpHyp Trbk

Tr0vTrv −⋅⋅ρ

+⋅===

−⋅⋅ρ

−= −

1kHgpHC Trb

0vk

Tr (5.35)

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) Tr

kTrTrb

Tr

TrTrb0v

k

Tr

Tr

TrbkTr

Trb0v

kTrv

H1khHHg

H1kHhHgp

HhH

1khHghH

1kHgpHhp

⋅−−⋅⋅⋅ρ

−⋅−

⋅−⋅⋅ρ+⋅

−=

−−⋅⋅ρ

+−⋅

−⋅⋅ρ

−⋅= −

und schließlich folgt für k ≠ 1:

( ) 0v

k

Tr

Tr

k

Tr

Tr

Tr

TrTrbv p

HhH

HhH

HhH

1kHghp ⋅

−+

−−

−−⋅⋅ρ

= , ( 5.41)

Für k = 0 folgt als Plausibilitätstest wiederum der maximal mögliche, isostatische Spannungszustand eines inkompressiblen Schüttgutes:

( ) 0vTr

TrTrTrb0v

Tr

TrTrbv p

HHhH

1Hgp1

HhH

1Hghp +

−−−

⋅⋅ρ=+

−

−−

⋅⋅ρ=

( ) 0vb0vTr

Trbv phgp

Hh

1Hghp +⋅⋅ρ=+

−−

⋅⋅ρ= q.e.d.

0,vbv phg)h(p +⋅⋅ρ= ( 5.42)

Und für k = 1, also ein sehr kompressibles Schüttgut, ist:

−⋅⋅⋅ρ−⋅

−=

Tr

TrTrb0,v

Tr

Trv H

hHlnHgpH

hH)h(p ( 5.43)

⇒ Problem: Es wird hier eine äquivalente, dem axialsymmetrischen oder ebenen Spannungszustand äquivalente Trichterhöhe HTr bis zur Spitze benötigt:

• θ⋅

=tan2DHTr mit D als äquivalenter Schaftdurchmesser bzw. Trich-

terbreite B (analog hydraulischem Durchmesser) oder

h


203

• θ⋅

⋅=

tanUA2HTr

bzw. mit der Gl. (5.27): ( )

θ⋅⋅+

=tanU

A1mHTr , (5.44)

wobei Abweichungen zur geometrischen Höhe von Keiltrichtern mit un-terschiedlich geneigten Seitenwänden auftreten werden. Wegen voraus-setzungsgemäß L >> B könnte bei m = 0 der Anteil der Stirnwände am Gesamtumfang U vernachlässigt werden.

⇒ Problematik Koeffizient k siehe auch ff-Berechnung.

5.2.2.2 Entleeren

- passives Spannungsfeld mit größter Hauptspannung zumindest in der Ach-se horizontal gerichtet, d.h. ph ≈ σ1 → Einsetzen der Dimensionierungsgleichung (4.25), → maximal mögliche Spannung, größte Hauptspannung σ1, am Auslauf:

( ) ( )W

minb1 2sin1m

ffbgϕ+θ⋅+

⋅⋅⋅ρ=σ (5.45)

→ oder mit θ⋅⋅= tany2b bzw. ( ) θ⋅−⋅= tanhH2b Tr eingesetzt für die

von oben beginnende Höhe h

( )( ) ( )W

Trb1 2sin1m

tanffhHg2ϕ+θ⋅+

θ⋅⋅−⋅⋅ρ⋅=σ (5.46)

→ für Abschätzungen insbesondere bei kohäsionslosen Schüttgütern ist ff ≈ 1,3 ausreichend bemessen,

- Neben den hohen Wandnormallasten pn im Trichter sind auch bei Einbau-ten im Schaft erheblich gestiegene Horizontaldrücke beobachtbar. Im Abschnitt 4.1 Gl.(4.30) Schüttec_4.doc - Sigma1_SigmaW_Verhältnis wird das interessierende Verhältnis der unbekannten größten Hauptspan-nung an der Wand zum meßbaren Wandnormaldruck pn im Trichter ab-geleitet

( )

ϕϕ

+ϕ⋅ϕ

ϕ⋅ϕ+=

σ

e

wwe

we

n

1

sinsinarcsinsinsin

tansin1p

, ( 5.47)

wobei man eine vergleichsweise einfache und überschaubare Beziehung für den Winkel zwischen der Richtung der Wandnormalspannung pn und der Richtung der größten Hauptspannung σ1 an der Wand erhält:

ϕϕ

+ϕ⋅=βe

ww sin

sinarcsin21 ( 5.48)


204

Mit den Gln.(5.45) und ( 5.49) folgt der für das radiale Spannungsfeld ty-pische lineare Verlauf des Wandnormaldruckes von der Trichterspitze mit (HTr - h) = 0 = pn beginnend:

( )

( )( ) wew

e

wweTrb

n tansin12sin)1m(sinsinarcsinsinsintanffhHg2

pϕ⋅ϕ+⋅θ+ϕ⋅+

ϕϕ

+ϕ⋅ϕ⋅θ⋅⋅−⋅⋅ρ

= (5.50)

- Nach MOTZKUS4 wird der k1-Wert gemäß Gl.( 5.25) für Entleeren im Massenfluß (Index E, M) empirisch modifiziert mit

( )[ ]( )w

2ww

2ew

M,E tancot1cottancottan1tantancot

ϕ⋅θ+⋅θϕ−θ−ϕ+⋅λ⋅ϕ−ϕ−θ

=λ (5.51)

eM,E

Me tan)(tan ϕ⋅λ

λ=ϕ (5.52)

mit dem komplementären Wandneigungswinkel zur Horizontalen α = 90°-θ

α⋅λ⋅ϕ+α⋅λ−

+λ+

= 2sin)(tan2cos2

12

1)k( M,EMe

M,EM,EM,E1 (5.53)

α⋅λ⋅ϕ−α⋅λ−

= 2cos)(tan2sin2

1)k( M,EMe

M,EM,E2 (5.54)

Plausible Ergebnisse liefert auch:

( ) wM,E1M,E2 tank)k( ϕ⋅= (5.55)

Der Exponent k der Druckberechnung nach Gl.( 5.41) ist für Entleeren im Massenfluß:

( ) θ⋅λ⋅ϕ⋅+= cot)(tan)1m(k M,EMeM,E (5.56)

⇒ gesamte Berechnung in Anlehnung an MOTZKUS4, s. F 5.6, F 5.7, F 5.8

5.2.3 Druckberechnung mittels bautechnischer Standards

− Berechnung gemäß TGL 32 274/09 vom Mai 1987 (siehe auch Grundla-gen von MOTZKUS4), Unterscheidung in * Füllen: ⇒ Gleitbruch (Setzungen entlang der Wand, s. Massenfluß)

⇒ Materialbruch (Setzungen im Gut, analog Kernfluß) * Entleeren: ⇒ Massenfluß

⇒ Kernfluß − Druckverlauf über die Höhe H bzw. h, siehe Bild F 5.9

• Zusatzlasten (-Wandnormaldrücke) ∆pn zu den rechnerischen Hori-zontal- oder Normaldrücken infolge des Spannungsumschlages beim


205

Entleeren für Massen- bzw. Kernfluß gemäß der beiden deutschen Standards:

nnE,n ppp ∆+= oder njE,n pcp ⋅= ( 5.57)

∗ TGL 32 274/09, siehe auch HAMPE5 ♦ Schaft: cj = c1 oder c2 oder c3 oder c4 c1 = 1,2 ... 1,6 Lastbeiwert für zentrisches Entleeren c2 = 1,5 ... 2,7 Lastbeiwert für exzentrisches Entleeren c3 = 1,7 ... 2,1 Lastbeiwert für Entleeren im Kernfluß c4 = 2,1 ... 4,0 Lastbeiwert für Entleeren im Massenfluß ♦ Trichter:

( ) θ⋅−+= coscc1c 14j für Entleeren im Massenfluß ( 5.58)

♦ angesetzt als Rechtecklasten, siehe Tabelle 5.2

Tabelle 5.2: Typische Lastbeiwerte nach TGL 32 274/09

c1: über die gesamte wirksame Schafthöhe y = H und damit Lastbreite bE = H c2: an der Stelle y = H/2 für die wirksame Lastbreite bex = D/4 c3: am Übergang des Schüttguttrichters zur Schaftwand

MFtan2bDy

θ−

= für die wirksame

Lastbreite 2/Dbswitch =

c4: an der Stelle y = H für die wirksame Lastbreite θ⋅= cos2/Dbswitch (hier TGL korrigiert!)

♦ Berücksichtigung von Zusatzlasten (passiver Druck) bei Abküh-lung (Kontraktion) der Wand

TEl

)T(lEp l0

T,n ∆⋅α⋅=∆

⋅=∆ ( 5.59)

und folgender Verdichtung des sich durch die Temperaturwech-sel - eine Wandausdehnung bewirkt das Nachrutschen des Schüttgutes, eine Wandkontraktion die Schüttgutverdichtung - zunehmend versteifenden Schüttgutes nach THEIMER (1966):

( ) ( )bw

b

w

bw,lT,n

1EE

s2B.oD

ETp

ν−+⋅

⋅∆⋅α≈∆ ( 5.60)

D o. B Schaftdurchmesser oder -breite Eb Elastizitätsmodul des verdichteten Schüttgutes, z.B.

≈(7...70) N/mm2 für Getreide, 100 N/mm2 für Ze-mentklinker

Ew Elastizitätsmodul des Wandbaustoffes ≈ 200 kN/mm2

5 Hampe, E., Silos, Bnd. 1 Grundlagen, Verlag für Bauwesen, Berlin 1987


206

sw Wanddicke αl,w thermischer Längenausdehnungskoeffizient der Wand,

≈(10...13)⋅10-6 1/K für Stahl und Beton, bzw. ≈(18...24)⋅10-6 1/K für Aluminium

νb ≈ 0,4 Querdehnungszahl des verdichteten Schüttgutes ∆T Temperaturdifferenz durch

⇒ heißes Füllgut ⇒ biochemische Reaktionen des Gutes, ≈ 30 K für

Getreide, ≈ 35 K für Gärfutter (DIN 1055/06) ⇒ Tag - Nacht - Wechsel ⇒ Sonneneinstrahlung - Schatten ⇒ Wind- oder Regenabkühlung

♦ qualitative Abschätzung v. Grenzzuständen mittels Zusatzlasten njj cc:c ⋅= mit cn = 1,1 ... 1,3 durch

- Streuung der Schüttguteigenschaften, - Abweichungen und Imperfektionen (Unrundheiten, Beulen) der

ausgeführten Bauwerksgeometrie, - Unsicherheiten in den zu berücksichtigenden Betriebszuständen.

♦ Aber keine Berücksichtigung von Zusatzlasten bei Nachgie-bigkeit der Wände wie bei DIN 1055/06.

∗ DIN 1055/06, siehe auch MARTENS6 ♦ Das Horizontaldruckverhältnis entspricht dem des Ruhedruck-

beiwertes λ0 der Bodenmechanik. Mit dem Zusatzfaktor 1,2 liefert es vergleichsweise hohe Horizontaldrücke insbesondere im obe-ren Schaftbereich

)sin1(2,1 eϕ−⋅=λ ( 5.61)

♦ Der Entleerungsfaktor beträgt ebenfalls eh = 1,2 ... 1,7 (≡ c1 der TGL) für die Wandnormaldrücke ph und pn, wobei

nhE,n pep ⋅= ( 5.62)

♦ Berücksichtigung der Nachgiebigkeit der Schaftwände, insbeson-dere bei den verformungsempfindlichen kreisrunden Silos mit-tels drehsymmetrischer Ersatzlasten

E,hE,h pp ⋅κ=∆ mit ( 5.63)

)s2/(D02,05,01 w⋅+β⋅+=κ für 70)s2/(D w ≤ Beton

D/H31 ⋅β⋅+=κ für 100)s2/(D w ≥ Stahl

und mit dem sog. Ungleichförmigkeitsfaktor

6 Martens, P.(Ed.): Silo-Handbuch, Ernst & Sohn, Berlin 1988


207

Grah β⋅β⋅β⋅β=β , ( 5.64)

der ein Maß für die Zusatzlasten darstellt, d.h. β = 0 und folglich κ = 1 für Flüssigkeiten.

Tabelle 5.3: min. und maximale Ungleichförmigkeitsfaktoren

Werkstoff D/(2 sw) βmin βmax Beton 10...40 0,12 1/3 Stahl > 200 0,02 0,22

⇒ βa: Exzentrisches Entleeren erzeugt Schlotbildung verbunden mit einer ungleichmäßigen Horizontaldruckverteilung um den Schaft-umfang. Zwei Druckmaxima treten im Öffnungswinkel von etwa ϕ0 ≈ ± 60° der Achse der Auslauföffnung zur Schaftmitte auf.

⇒ βr: Dünnwandige biegeweiche Konstruktionen können sich den Wirkungen von Lastspitzen entziehen. Ein Maß hierfür ist das Verhältnis der elastischen Wandlängen

05,03,06)25...20(

71

ss

EE

LL

Stahl,r

Beton,r4 34 3

Stahl,W

3Beton,W

Stahl

Beton

Stahl,el

Beton,el =ββ

≡≈⋅≈⋅=

⇒ βG: Eine Flüssigkeit würde wegen der gleichmäßigen Druckver-teilung keine Zusatzlasten erzeugen, d.h. βG = 0. Kohäsive, plas-tisch verformbare mineralische Güter haben vergleichsweise ge-ringe Werte, βG = 0,4...0,6, steife und elastische Güter dagegen eher höhere, βG > 0,6. Deshalb bekommen „gutmütige“ geringe und „böswillige“ Schüttgüter hohe Schüttgutbeiwerte, z.B. für So-jaschrot βG ≥ 3,0.

Tabelle 5.4: Bedingungen für die Teilfaktoren von Schüttgütern

Beiwerte β-Werte Abmessungs-verhältnisse

Bemerkungen

Schlank-heit

βh = 1 H/D < 1 wirksame Steifigkeit der eingespannten Rohrenden

8,0D/H2,0h +⋅=β 1 ≤ H/D ≤ 4 Steifigkeitsabnahme βh = 1,6 H/D > 4 Steifigkeit der eingespan-

nten Rohrenden läßt nach Ausmitte βa = 1 a/D < 1/6 mittige Druckverteilung D/a6a =β a/D ≥ 1/6 Horizontaldruckmaxima Steifig-keit

βr = 0,3 70)s2/(D w ≤ st

eifer Beton „harte“ oder steife Auf-nahme von Lastspitzen

βa = 0,05 100)s2/(D w ≥

„weicher“ Stahl elastische Aufnahme von Lastspitzen

Schüttgut βG = 0,4...1,0 je nach Partikelkontakt-deformierbarkeit


208

a Exzentrizität (Ausmitte) ♦ am Schaft-Trichterübergang: maximal mögliche, isostatische Las-

terhöhung für Massenfluß als Dreieckslast für die wirksame Last-breite θ⋅⋅= cosD3,0bswitch angenommen:

[ ]Hsonst)1D/Hfürgewöhnlich(Dgp bswitch >⋅⋅ρ= ( 5.65)

switchnE,n ppp +=

♦ keine Berücksichtigung von Zusatzlasten bei Kernfluß wie in der TGL mit c3!

♦ keine Berechnung der Vertikaldrücke im Trichter möglich! • Erhöhung der Wandschubspannung τw bzw. des Wandreibungsdruckes

pw beim Entleeren cj = 1,1 • Beim periodischen Homogenisieren feinkörniger, staubender, gut flui-

disierbarer Schüttgüter mit Luft entsteht im Zuge der Bettausdehnung (Wirbelbetthöhe HW) eine mehr oder weniger homogene Wirbel-schicht (Index W) mit isostatischer Druckverteilung, d.h. flüssigkeits-analoges Verhalten pv = ph:

Hg)8,0...6,0(HgHH

Hgp bbW

F,bW,bW,h ⋅⋅ρ⋅≈⋅⋅ρ⋅≈⋅⋅ρ= , ( 5.66)

die sich nach einer bestimmten Absetzzeit tsink auf die normale Füll-höhe Hb,F durch Entlüftung und Mobilisierung der Feststoffreibung wieder absinkt. Damit werden wiederum die Schüttgutdrücke (Index b) wirksam.

• Das Gleiche kann auch beim schnellen Einfüllen (SF) feinkörniger, staubender, gut fluidisierbarer Schüttgüter passieren, d.h., wenn die Füllstandszunahme-Geschwindigkeit betragsmäßig größer als die cha-rakteristische Sink- oder Entlüftungsgeschwindigkeit des Pulvers wird

ksinSF vv ≥ :

ksin

SFksin

SFSF t

HvA

Vv =≥=

( 5.67)

Wenn die Steiggeschwindigkeit vSF im oberen Schaftbereich für kleine A/U < 1 m vergleichsweise groß wird h/m10A/Vv SFSF >= (DIN

1055/06), dann erhält man für die horizontaldruckwirksame Tiefe (Permeabilitätsfaktor 2)

ksinSFSF tv2H ⋅= ( 5.68)

und dem zugehörigen maximalen Horizontaldruck:

SFbSF,h Hg8,0p ⋅⋅ρ⋅≈ . ( 5.69)


209

Tabelle 5.5: Mittlere Entlüftungszeiten und Grenzsteiggeschwindig-

keiten (gewöhnlich vSF,G ≈ 10 m/h und (A/U)G ≈ 1 m) von staubenden,

gut fluidisierbaren Schüttgütern (TGL 32 274/09 u. MARTENS, S.75)

Schüttgut Absetzzeit tsink in h vSF,G in m/h Getreidemehl 0,04...0,07 25 A/U Kalksteinmehl 0,18 6 A/U Thomasphosphat 0,07 27 A/U Zement 0,11 10 A/U

• Die TGL-Zusatzlasten entsprechen recht gut den Meßwerten für Wei-zen (Meßwerte nach SCHOLZ (1988)), Bild F 5.9

5.3 Einfluß der Schüttguteigenschaften

→ ρb geht linear ein !

→ Darstellung der Funktionen pv, pn, pw = f(ϕe, ϕw) für Massen- und Kern-fluß (θ = 10° und 30°),

Es wurden die jeweils maximalen Drücke - gewöhnlich treten sie am Schaft-Trichter-Übergang auf - aufgetragen, die mit dem Faktor

U/Agb ⋅⋅ρ dimensionslos gemacht wurden, siehe Bilder F 5.10, F 5.11

( ) ( )

U/AHgIpIp

U/Agp,p,p,p

p,p,p,p

b

ww

b

maxwnhvmaxwnhv

⋅⋅⋅ρ=

⋅⋅ρ=

∗

∗∗∗∗

( 5.70)

→ Haupteinfluß über Horizontaldruckverhältnis λ (bzw. k-Wert in TGL) → mit ↑ϕe (zunehmende Haftkräfte !)

• pv ↑ für MF und KF in Schaft und Trichter • ph ↓ im Schaft für MF und KF • pn u. pw ↑ im Trichter für MF und KF

→ mit ↑ ϕe (zunehmende Wandhaftkräfte) • pv ↓ in Schaft und Trichter für MF und KF sowie pn ↓ • pw hat ausgeprägtes Maximum bei ϕw = 10 bis 30°, d.h. bei den üb-

lichen gemessenen Werten Berechnungsbeispiel geg.: Kalzit D = 2,75 m H = 12 m θ = 12 ° MF bmin = 1,2 m θ = 30 ° KF bmin = 2,4 m ges.: pv, ph, pn, pw für Füllen und Entleeren


210

für H = 12 m h = ... an der Auslauföffnung gewählt: ϕst = 46° → ϕe ≈ 46 ... 47° ρb ≈ 420 ... 430 kg/m3 ϕw = 31°

m) 2,4 ,(30 m 0,3=

m) 1,2 ,(12 m 65,3tan2

bDh

°

°=θ⋅

−=

Ergebnisse: siehe BUDRU-Ausdrucke im handschriftl. Vorlesungsskript


211

5.4 Abschätzung der Wandstärken

5.4.1 Zugbeanspruchung und Bewehrung von Stahlbetonsilos

5.4.1.1 Zugbeanspruchung im Mantel von Stahlbetonsilos

⇒ bei Stahlbetonsilos größte Probleme durch • hohe Horizontaldrücke durch die Spannungsumlagerung von den

aktiven in den passiven Zustand ph ≈ σ1, • Biegemomente durch ungleichförmige oder exzentrische Schüttgut-

lasten und/oder Baugrundsetzungen, • hohe Horizontaldrücke durch Staubexplosionen; kritische Beanspruchung auf Ringzug (tangentiale Zugspannung) muß

durch die Horizontalbewehrung in einem höhebezogenen Quer-schnittselement wwSt sdh/dhsA ≡⋅≈ (Wandstärke) aufgenommen

werden; Bild F 5.12 ⇒ Kräftegleichgewicht an einem Trichterelement (oder Schaftelement θ = 0,

bm = D = Di) in horizontaler Richtung mit der Lastkomponenten pn/cosθ des Wandnormaldruckes (siehe Apparatetechnik I (1983) S.101) auf die trapezförmige Schnittfläche des Trichters dhbm⋅ :

∑ ⋅⋅σ⋅−⋅⋅θ== ϕ dhA2dhbcos/p0F Stmn ( 5.71)

bm mittlerer Innendurchmesser des Trichters

mit θ⋅+=θ⋅−=+

= tandhbtandhb2bbb 21

21m

Im einaxialen Spannungszustand sei die Vergleichsspannung so groß wie die größte Hauptspannung σv = σ1 = σϕ, und folglich

s

St,Fzul

St

mn

cosA2bp

νσ

=σ≤θ⋅

⋅=σϕ ( 5.72)

σF,St 0,2% Dehngrenze eines Baustahles νs Sicherheitsbeiwert Unter Berücksichtigung eines Lasterhöhungsfaktors cj folgt dann für den höhebezogenen Mindest-Bewehrungsstahlbedarf

θ⋅σ⋅⋅ν⋅⋅

=cos2

cbpA

St,F

jsmnSt ( 5.73)

5.4.1.2 axiale Zugbeanspruchung im Mantel von Metallblechtrichtern

⇒ Lastfall (1) Problem des Abreißens angehängter Trichter aufgrund des Vertikaldruckes des Schüttgutes im darüber liegenden Schaft:


212

⇒ Kräftegleichgewicht an einem Trichterelement in vertikaler oder axialer Richtung mit dem Vertikaldruck pv auf die kreisförmige Schnittfläche des Trichters 4/D2

iπ und der axialen Gegenspannung σa auf die kreis-ringförmige Schnittfläche der Trichterwand ( ) wm

2i

2a sDDD4/ ⋅⋅π=−⋅π :

( )∑ −⋅π

⋅σ−⋅π

⋅=→= 2i

2aa

2iv DD

4D

4p0F bzw.

s

FV

2

i

ava 1

DDp

νσ

≤σ=

−

⋅=σ ( 5.74)

Daraus folgt die minimale Wandstärke:

F

siv

am

2iv

)1(w 4Dp

D4Dps

σ⋅ν⋅⋅

≈σ⋅⋅

⋅= ( 5.75)

5.4.1.3 ringförmige Zugbeanspruchung im Mantel von Metallblechzylin-

dern

⇒ Lastfall (2) Anwendung der „Kesselformeln“ für Behälter unter Innen-druckbelastung (siehe Apparatetechnik I (1983) S. 96 ff):

⇒ Kräftegleichgewicht an einem Schaftelement Di = Dinnen) in horizontaler Richtung mit dem Wandnormaldruck pn auf die rechteckige Schnittfläche des Innenzylinders dhDi⋅ und der tangentialen Gegenspannung σt = σϕ auf die beiden streifenförmigen Wandschnittflächen des Schaftes dhsw ⋅ :

∑ ⋅⋅σ⋅−⋅⋅==→ dhs2dhDp0F wtin bzw. ( 5.76)

w

int s2

Dp ⋅=σ ( 5.77)

Diese einfache Beziehung entspricht somit der Gl.( 5.73).

⇒ Streng genommen muß nun die dreiaxiale Spannungsverteilung am zy-lindrischen Volumenelement im elastischen Zustand bemüht werden (siehe auch Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_Zylkoord Gl.(3.224) und Bild 3.30, beachte hier: + = Zug in der Werkstoffmechanik!), und zwar gelten in der Wand für die

Tangentialspannung: ( )( ) 1D/D

1D/Dp 2ia

2xa

nt −+

⋅=σ ( 5.78)

Radialspannung: ( )( ) 1D/D

1D/Dp 2ia

2xa

nr −−

⋅−=σ ( 5.79)

Axialspannung: ( )[ ] 12iana 1D/Dp

−−⋅=σ ( 5.80)

mit der Wandkoordinate Dx zwischen Innen- und Außendurchmesser:

Di ≤ Dx ≤ Da ( 5.81)


213

wobei Da = Di + 2 sw

Nach Mittelung erhält man für die Tangentialspannung (siehe Appara-

tetechnik I (1983) S. 97):

( )[ ]w

in

1

i

iwin

1iant s2

DpD

Ds2Dp1D/Dp⋅⋅

=

−⋅+⋅=−⋅=σ

−− ( 5.82)

Radialspannung: 2/pnr −=σ ( 5.83)

Bild 5.11: Spannungsverteilung am radialen Volumenelement in Zylin-

derkoordinaten

Bild 5.12: Zur Schubspannungshypothese

von TRESCA

⇒ Anwendung der Schubspannungshypo-these (gemäß TRESCA) für das Gleiten duktiler Metallmembrane (b >> sw) als notwendiges Stoffgesetz:

Eine mittlere Vergleichsspannung (= maximale Zugspannung) folgt aus maxV 2 τ⋅=σ und den beiden Hauptspannungen in tangentialer (σ1) und

radialer (σ2) Richtung2

rtRmax

σ−σ=σ=τ und damit das Stoffgesetz

s

FrtV ν

σ≤σ−σ=σ ( 5.84)

Nach Einsetzen der Gln.( 5.82) und ( 5.83) in Gl.( 5.84) erhält man

w

wan

w

mn

w

win

n

w

inV s2

sDps2

Dps2sDp

2p

s2Dp

⋅−

⋅=⋅

⋅=⋅+

⋅=+⋅⋅

=σ ( 5.85)

und nach der minimalen Wandstärke umgestellt, für den Zylinder mit Be-rücksichtigung eines Lasterhöhungsfaktors cj:

σr σt

τ τmax

σ

+ Zug

dr

σa σt

σt

r dϕ

σa

σr

σr + dσr σ

σr = 0

σa

σt

σr = - pn

pn

Di

Da sw

+ Zug

- Druck


214

ns

F

jan

ns

F

jin

F

jsmnw

p2

cDp

p2

cDp2

cDps

+νσ

⋅

⋅⋅=

−νσ

⋅

⋅⋅=

σ⋅

⋅ν⋅⋅= ( 5.86)

und bei Berücksichtigung einer Trichterneigung θ lautet es schließlich

θ⋅

+

νσ

⋅

⋅⋅=

θ⋅

−

νσ

⋅

⋅⋅=

θ⋅σ⋅

⋅ν⋅⋅=

cosp2

cDp

cosp2

cDpcos2

cDps

ns

F

jan

ns

F

jin

F

jsmn)2(w ( 5.87)

Es wird die größte der errechneten Mindest-Wandstärken für die Lastfälle (Ast), (1) und nachfolgend (2) ausgewählt und mit entsprechenden Zuschlä-gen versehen ist sie bei der Bemessung anzuwenden. Beispiel: Kalzit: σF,St = 400 N/mm2 Baustahl St A-III νs = 1,67 • maximaler Normaldruck beim Entleeren

⇒ Lastbeiwert c1 = 1,2 für Kalksteinmehl s. TGL 32 274/09 ⇒ Lastbeiwert c4 = 2,8 für Massenfluß u. Kalksteinmehl s. TGL 32

274/09 ⇒ Lastbeiwerte für das Entleeren:

( ) ( )Massenflußfür t Maximalwer als 57,2c

12cos2,18,21coscc1c

j

14j

=

°⋅−+=θ⋅−+=

⇒ pn = 15,64 kPa Maximalwert des Wandnormaldruckes am Schaft-Trichter-Übergang aus vorheriger numerischer Druckberechnung

⇒ Mindest-Bewehrungsstahlbedarf für den Stahlbetontrichter

θ⋅σ⋅⋅ν⋅⋅

=cos2

cbpA

St,F

jsmnSt ( 5.88)

mm/m 18=dRundeisen 14Ad

m/cm 36,2A

m/mm236 12cosmm/kN104002

2,571,67 m 2,75 kPa 64,15A

StSt

St

2St

223St

=π

⋅=

=

=°⋅⋅⋅

⋅⋅⋅= −

Ein gegenüber Großsilos D = 15 m vergleichsweise geringer Stahlbedarf

⇒ Mindest-Metallwandstärke für den Trichter bei axialer Zugbeanspru-chung Aluminium - AlMg3 F18 als Wandwerkstoff

σF = 80 MPa und E = 70⋅103 MPa ⇒ pv = 23,67 kPa Maximalwert des Vertikaldruckes am Schaft-Trichter-

Übergang aus vorheriger numerischer Druckberechnung


215

F

siv

am

2iv

)1(w 4Dp

D4Dps

σν

≈σ

= ( 5.89)

mm34,0mm/N804

67,1m75,2kPa67,23s 2)1(w =⋅

⋅⋅=

Die notwendige Wanddicke beträgt weniger als 1 mm und damit ist die-ser Lastfall vernachlässigbar klein.

⇒ Mindest-Metallwandstärke für den Trichter bei Ringzugbeanspruchung pn = 15,64 kPa Maximalwert des Wandnormaldruckes am Schaft-Trichter-Übergang aus vorheriger numerischer Druckberechnung

θ⋅

−

νσ

⋅⋅=

cosp2

cDps

ns

St,F

jin)2(w ( 5.90)

mm18,112cosmm/N01564,0

67,1mm/N802

57,2m75,2kPa64,15s2

2)2(w =°⋅

−

⋅⋅=

Die notwendige Mindest-Wanddicke beträgt ohne Zuschläge etwa 1,2 mm und ist auch für diesen Lastfall (2) vergleichsweise klein aber größer als im Lastfall (1).

→ Ausbeulen ist das kritische Stabilitätsproblem!

5.4.2 Ausbeulen eines Metallblechsilos

→ Bei Metallblechsilos treten meistens Probleme durch mangelhafte Stabili-tät infolge Beulens auf.

→ gültige Richtlinien: TGL 13 503/01 und 02 (April 1982) DIN 18 800 Teil 4 (Oktober 1988) DASt-Ri 013 (Juli 1980)

→ ideal aufnehmbare Beulspannung σki infolge Beanspruchung durch eine Axiallast am isotropen homogenen Zylinder:

( ) m

w

m

w2ki D

sE21,1Ds

13E2

⋅⋅=⋅ν−

⋅=σ ( 5.91)

E Elastizitätsmodul ν = 0,3 Querkontraktionszahl Dm = Di + s mittlerer Silodurchmesser, sw Wandstärke

→ Abminderung der idealen Spannung σki durch Beulfaktoren zur Trag-spannung σkr (TGL 13 503/01) - elastischer Bereich Fkr 6,0 σ⋅≤σ

FkiBBkr 6,0ck σ⋅≤σ⋅⋅=σ ( 5.92)


216

- plastischer Bereich FkrF6,0 σ≤σ≤σ⋅

FkiBB

FFkr ck

3,01,1 σ≤

σ⋅⋅

σ⋅−⋅σ=σ ( 5.93)

kB inhomogene Lasteinleitung, = 1 bei Axialdruck, = 1,2 bei Biegung

cB Imperfektionen und Vorbeulen in den Blechen für den elasti-schen Bereich,

σF Fließ- oder Streckgrenze (z.B. Stahl) bzw. 0,2 %-Dehngrenze (z.B. Aluminium) für das Versagen von 10% quasihomoge-ner Werkstoffproben, z.B. = 240 N/mm2 für St 38

• nach TGL 13 503/01 S. 16 ist cB,min = 0,14 wenn die größte Vorbeul-tiefe w0 = 2⋅sw bei längs verschweißten Rohren erreicht ist;

• ansonsten 0,14 ≤ cB ≤ 0,33 in Abhängigkeit von der Vorbeultiefe und des Verlaufes der Rohrschweißnähte

• nach DASt wenn Dm/sw < 5000,

w

mB

s200D1

52,0c

⋅+

= ( 5.94)

ansonsten Übergang zum Beulen ebener Bleche → Bei sehr hohen Silos (wie Rohre), Schlankheitsgrad

)s2/(D25,0D/H w> geht das Zylinderbeulen in das Knicken über.

→ weitere Abminderung der Tragspannung durch den Knickfaktor ϕk , s. Tab. TGL 13 503/01 in Abhängigkeit vom Trägheitsradius i, wenn

wmw3m sD=A sD

8I ⋅⋅π⋅

π= ( 5.95)

I Trägheitsmoment A Ringquerschnittsfläche

24

DsD64

DDAIi m

wm

4i

4a =

⋅⋅−

== ( 5.96)

und der Schlankheitsgrad i/H2K ⋅=λ , mit 2⋅H = Knicklänge eines ein-

seitig eingespannten Stabes, sind (ungünstigster Fall, siehe auch TGL 13 503/02 S. 2). Lastfall, bei dem das Schalenbeulen in das Stabknicken bei sehr schlanken Zylindern übergeht.

→ Die zulässige Spannung ist

∑σ≥⋅ν

⋅⋅ϕ⋅⋅⋅=

νϕ⋅σ

=σ k,wmkr

wKBB

kr

kkizul D

sEkc21,1 ( 5.97)

ϕK = f(λK) Knickfaktor, < 1 (s. TGL 13 503/01 Tab. S. 17 ff) → Stabilitätskriterium mit Vergleichsspannung als Summe der einzelnen

Lastanteile σw,k aus der


217

− Wandreibung des Schüttgutes σw,b − Windlast bei Außenaufstellung σw,w − Schneelast σw,s →0 (vernachlässigt) − Eigenlast σw,e

zule,ww,wb,w σ≤σ+σ+σ ( 5.98)

→ Schüttgutlast aus dem aufsummierten Wandreibungsdruck Ipw; Berücksichtigung aller oben liegenden Schüttgutschichten bei einer be-stimmten Höhe H - entspricht einer Kraft, die als Linienlast über den mittleren Umfang mm DU ⋅π= verteilt ist:

( )[ ]

( )( )

( )[ ]636363b

H

06363b

H

063

bH

0ww

HH/HexpHHU

Ag

H/HexpHHU

Ag

dHH/Hexp1U

AgdHpIp

−−+⋅⋅⋅ρ

=

−+⋅⋅⋅ρ

=

−−⋅⋅⋅ρ

== ∫∫

( )[ ]

−−−⋅⋅⋅ρ

= 6363b

w H/Hexp1HHU

AgIp ( 5.99)

als Spannung mit dem Lasterhöhungsfaktor cj = 1,1 beim Entleeren

w

jw

wm

jmw

Ring

jmwb,w s

cIpsD

cDIpA

cUIp ⋅=

⋅⋅π

⋅⋅π⋅=

⋅⋅=σ

w

jwb,w s

cIp ⋅=σ ( 5.100)

→ Windlast bei Außenaufstellung, siehe Bild F 5.13 Biegemoment im Zylinder Mw mit ρw ≈ 1,2 kg/m3 - Luftdichte (ϑ = 20°C) vm,w ≈ 30 m/s mittlere Windgeschwindigkeit

HDA aw ⋅= angeströmte Schaftquerschnittsfläche

( )2

vAHcF

2w,m

wwwww ⋅⋅ρ⋅ψ⋅= ( 5.101)

cw = 0,6 für turbulente Umströmung glatter Kolonnen (Zylinder) ψw(H) berücksichtigt das Windgeschwindigkeitsprofil über die Hö-

he, analog einer Kanalströmung

2H dHH dHHD

2v

cdHFM2HH

Ha

2w,m

www

HH

Hww

r

r

r

r

∫∫∫ =⋅⋅ρ⋅ψ⋅==++

2HFM ww ⋅= für ψw ≈ const., ( 5.102)

W Widerstandsmoment


218

w2m

w

w3m

mwmwww,w sD

M4sD28DM

I2DM

WM

⋅⋅π⋅

=⋅⋅π⋅⋅⋅

=⋅⋅

==σ

w2m

ww,w sD

M4⋅⋅π

⋅=σ ( 5.103)

→ Eigenlast ∑ GiF vom Zylinder, Dach und Aufbauten z. B. Schaft wmswG sDHgF ⋅⋅π⋅⋅⋅ρ=

wm

Gie,w sD

F⋅⋅π

=σ ∑ ( 5.104)

→ aus den Gln. ( 5.97), ( 5.98), ( 5.100), ( 5.103) und ( 5.104) folgt schließ-lich die Mindest-Wandstärke um Beulen zu vermeiden

wwm

Gi

w2m

w

w

jpw

mkr

wKBB ssD

FsD

M4s

cID

sEkc21,1⋅

⋅⋅π+

⋅⋅π⋅

+⋅

≥⋅ν

⋅⋅ϕ⋅⋅⋅ ∑ ,

bzw. zusammengefaßt:

⋅π+

⋅π⋅

+⋅⋅⋅ϕ⋅⋅⋅

ν⋅= ∑

m

Gi2m

wjw

KBB

krm)3(w D

FDM4cIp

Ekc21,1Ds ( 5.105)

Gewöhnlich werden die Schüttgutlasten im ersten Term der runden Klammer den höchsten Lastanteil aufbringen! Diese Mindest-Wandstärken sind noch mit Zuschlägen für Korrosion sw,Ko, Ausgleich von Fertigungstoleranzen sw,Fe, für baulichen Besonder-heiten sw,Bau u.ä. zu versehen:

Bau,wFe,wKo,wmin,ww sssss +++= ( 5.106)


219

Beispiel Kalzit: Aluminium - AlMg3 F18 als Wandwerkstoff ρsw = 2,7 t/m3 σF = 80 MPa E = 70⋅103 MPa H63 = 6,76 m ϕw = 31° ρb = 430 kg/m3

ψw ≈ 1,4, wenn der Siloschaft auf einem Betonfundament o. Stahlleichtbau-gerüst etwa 6 m über Boden steht,

( )[ ]

kN/m 20,4=kN/m 1,15,18cIkN/m 5,18I

6,7612-exp-1 m 6,76- m 12s4 m

m 2,75 m 9,81 t 43,0I

jpw

pw

23pw

⋅=⋅

=

⋅⋅⋅⋅

=

kNm 8,892m12 m 75,2

sm

230

mkg2,14,16,0M

22

2

22

3w =⋅⋅⋅⋅⋅=

kN/m 1,15 m 75,2

kNm 8,894DM4

222m

w =⋅π⋅

=⋅π⋅

Schaftwandstärke sw = 3 mm vorabgeschätzt, einschließlich 2-fache Lasterhöhung für Dach, Staubfilter, weitere Dachauf-bauten u.ä.

Aufbauten undDach für Erhöhung 200%ige

tabgeschätz mm 3=s kN 8,162kN 24,8

m103m75,2m12sm81,9

mt7,2F 3

23Gi

=⋅=

⋅⋅⋅π⋅⋅⋅= −∑

kN/m 91,1DF

m

Gi =⋅π

∑

→ größte Last folgt aus dem →Schüttgut 20,4 kN/m → Wind 15,2 kN/m → Eigenlast 1,91 kN/m

5,1 ,95,0 krk =ν≈ϕ siehe TGL 13 503/01

( ) mm 7,391,11,154,20kN 7095,0114,021,1

m/kNmm1,5 m 75,2s2

min,w =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

mit mm 95,2s 22,0

m103200m 75,21

52,0c minw,

3-

B =⇒=

⋅⋅+

=

Mit den Zuschlägen für Korrosion sw,Ko, Ausgleich von Fertigungstoleran-zen sw,Fe, für baulichen Besonderheiten sw,Bau u.ä.:

mm10mm1mm1mm4mm7,3ssssss

w

Bau,wFe,wKo,wmin,ww

=+++=

+++= ( 5.107)

190 5 Drücke in Bunkern und Silos 191 192 - mvt.ovgu.de · Dieser Lastfall tretenkann dann , wenn...

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