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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-1

5. Schwerpunkt

5.1 Gruppe paralleler Kräfte

5.2 Körperschwerpunkt

5.3 Flächenschwerpunkt



● Gesucht:– Angriffspunkt, Betrag und Richtung der resultierenden

Einzelkraft GR

G2

G1

Gi

Gn

GR

xS

x1

xP

S



● Gleiche Kraft:

– Die Richtung von GR stimmt mit der Richtung der Kräfte G

i

überein.

– Betrag von GR:

● Gleiches Moment um Bezugspunkt P:

● Der Punkt S heißt Kräftemittelpunkt oder Schwerpunkt.

GR=G1G2Gn=∑i=1

n

Gi

x SGR=∑i=1

n

x iGi x S=1GR∑i=1

n

xiGi



● Die Summe der Momente der einzelnen Kräfte bezüglich des Schwerpunkts ist Null:

M S=∑i=1

n

xS−x i G i=x S∑i=1

n

Gi−∑i=1

n

x iG i=xSGR−∑i=1

n

x iGi=0



● Die Schwerkraft ist ein pa-ralleles Kraftfeld.

● Die resultierende Ge-wichtskraft greift im Massenschwerpunkt an.

x

y

zG

S

xS

yS

zS

Δmi



● Gewichtskraft G:

● Massenschwerpunkt:

G=∑ gmi=mg

∑ x i gmi=x SG=x Smg

x S=1m∑

x imi

yS=1m∑

yimi

z S=1m∑ z imi

– Ergebnis:

– Das Moment der Ge-wichtskraft um den Schwerpunkt verschwindet.

∑ yi gmi= ySG= ySmg

∑ z i gmi=z SG=zSmg



– Mit der Massendichte ρ gilt:– Der Grenzübergang zu infinitesimalen Volumenelementen

ΔVi führt auf:

mi=iV i

x S=1m∫V

x dV

yS=1m∫V

ydV

z S=1m∫V

z dV



● Homogene Körper:– Bei einem homogenen Körper ist die Massendichte

konstant:– Der Massenschwerpunkt stimmt mit dem Volumenschwer-

punkt überein:

– Die Werte sind für viele Körper tabelliert.

x S=1V ∫V

x dV , yS=1V ∫V

y dV , zS=1V ∫V

z dV

=const. m=V



● Symmetrien:– Bei Körpern mit einer Symmetrieebene liegt der Schwer-

punkt in der Symmetrieebene.– Bei Körpern mit zwei Symmetrieebenen liegt der Schwer-

punkt auf der Schnittgeraden der Symmetrieebenen.– Bei Körpern mit drei Symmetrieebenen liegt der Schwer-

punkt im Schnittpunkt der Symmetrieebenen.



● Zusammengesetzte Körper:– Der Schwerpunkt kann aus

den Massen und Schwer-punktskoordinaten der Teil-körper berechnet werden:

– Wenn alle Teilkörper ho-mogen sind und die glei-che Massendichte haben, dann gilt:

x S=1m∑

x Simi

yS=1m∑

ySimi

z S=1m∑ z Simi

x S=1V ∑

x SiV i

yS=1V ∑

ySiV i

z S=1V∑ zSiV i



● Beispiel:– Der Körper besteht aus

einem homogenen Qua-der und einem homo-genen Zylinder.

– Beide Teilkörper haben die gleiche Massendichte.

– Abmessungen:● a = 6cm, b = 5cm,

c = 2cm● d = 4cm, h = 8cm

x

y

z

a

b

c

h

d



– Volumen:● Quader:

● Zylinder:

● Gesamt:

V Q=a⋅b⋅c=60 cm3

V Z=

4⋅d 2h=100,53 cm3

V=V QV Z=160,53cm3

– Schwerpunkt:● Symmetrie:

● Quader:

● Zylinder:

● Gesamt:

x S= y S=0 cm

zQS=c2=1 cm

z ZS=ch2=6 cm

z S=zQSV Qz ZSV Z

V=4,13cm



● Beispiel: Gelochte Platte

x

y

S1

S2

y

z

10

6

2

2,5

1,5

Ø2

Alle Maße in cm



– Volumen:● Platte:

● Loch:

● Gesamt:

– Schwerpunkt:● Symmetrie:● Platte: ● Loch:

V 1=6⋅10⋅2=120

V 2=−

4⋅22⋅2=−2

z S=1

xS 1=5, yS 1=3

xS 2=10−2,5=7,5yS 2=6−1,5=4,5

● Gesamt:

V=120−2=113,7

x S 1V 1=5⋅120=600x S 2V 2=−7,5⋅2=−47,12

x S=600−47,12113,7

=4,863

yS 1V 1=3⋅120=360yS 2V 2=−4,5⋅2=−28,27

yS=360−28,27113,7

=2,918



AS

dA

x

y

x xS

y

yS

V=t⋅A

dV=t⋅dA

Volumen:

Volumenelement:

● Homogene dünne Scheibe mit konstanter Dicke t :



– Koordinaten des Schwerpunkts:

● Flächenschwerpunkt:– Der Punkt mit den Koordinaten

wird als Flächenschwerpunkt bezeichnet.

x S=1V∫V

x dV=1At∫A

x t dA=1A∫A

x dA

yS=1V∫V

y dV=1A t∫A

y t dA=1A∫A

y dA

x S=1A∫A

x dA , yS=1A∫A

y dA



● Statische Momente:– Die Integrale

heißen statische Momente oder Flächenmomente erster Ordnung.

– Sie spielen in der Theorie der Balkenbiegung eine wichtige Rolle.

– Statische Momente bezüglich des Schwerpunkts sind Null.– Achsen durch den Schwerpunkt heißen Schwerachsen.– Symmetrieachsen sind Schwerachsen.

S y=∫A

x dA , S x=∫A

ydA


x

y

ydA

b

a

h


● Beispiel: Dreieck – Fläche:

– Flächenelement:

– Breite:

dA=b y dy

b y =a−ahy=a 1−

yh

A=12a h



– Statisches Moment um die x-Achse:

– y-Koordinate des Schwerpunkts:

S x=∫A

y dA=∫0

h

ya 1−yh dy=a∫0

h

y− y2

h dy=a [ y2

2−y3

3h ] y=0y=h

=a h2

2−h2

3 =16a h2

yS=S xA=

16a h2

12a h

=13h



S

– Der Abstand des Schwerpunkts von den anderen beiden Seiten berechnet sich ebenso.

– Ergebnis: Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Parallelen zu den Seiten, deren Abstand von den Seiten 1/3 der jeweiligen Höhe beträgt.



● Zusammengesetzte Flächen:– Der Schwerpunkt kann aus den Flächen und den Koordina-

ten der Schwerpunkte der Teilflächen berechnet werden:

– Die Koordinaten der Schwerpunkte elementarer Flächen sind tabelliert.

x S=1A∑ x Si Ai , yS=

1A∑ ySi Ai


3

6

6

4

AS

A2

A1

S1

S2

Maße in cm

x

y

x

y


● Beispiel:



– Fläche 1:

– Gesamt:

– Fläche 2:

A1=4cm⋅3 cm=12cm2

x S 1=1,5cmy S 1=2cm

A2=2cm⋅6 cm=12cm2

x S 2=3cmy S 2=41cm=5cm

A=12cm212cm2

=24 cm2

x S=1,5cm⋅12cm23cm⋅12cm2

24cm2=183624

cm=2,25cm

yS=2cm⋅12cm25cm⋅12cm2

24cm2=246024

cm=3,5cm



a

S

a

5a

8a

ys

x

y

● Beispiel: U-Profil – Gegeben:● a = 2cm

– Gesucht:● Koordinaten des

Schwerpunkts– Symmetrie:

● xS = 0



=

-

8a

5a

6a

4a

A1

A2

S1

S2



A1=40a2 , yS 1=2,5a A2=24a

2 , yS 2=2a

yS=2,5a⋅40a2−2a⋅24a2

40a2−24a2=100−4816

a=5216a=3,25a

yS=6,5cm

– Fläche 1:

– Gesamt:

– Fläche 2:

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