6 Für jedes Prisma gelten die folgenden AusPrismen 2€¦ · 6 Für jedes Prisma gelten die...

6 Prismen Schülerbuchseite 148 – 150

78

6 Prismen

Auftakt Seiten 148, 149

Seite 148

1 Der Name Giant’s Causeway bedeutet auf Eng-lisch „Damm der Riesen“.Die Säulen sind aus Basalt. Basalt ist ein Gestein vulkanischen Ursprungs.

2 Die Felsen sehen wie Säulen aus. Auf dem mitt-leren Bild erkennt man die Deckflächen der Säulen besonders gut. Es sind unterschiedliche Vielecke. Die Mantelflächen bestehen aus senk-recht stehenden Rechtecken.

Seite 149

3 Fünf- und Sechsecke kommen am häufigsten vor.

1 Prisma Seiten 150, 151

Seite 150

Einstieg

Æ Bild links: Der Turm steht auf einem regelmäßi-gen Sechseck. Die Außenwände sind Rechtecke. Bild Mitte oben: Das Nurdachhaus steht auf ei-nem Rechteck. Vorder- und Rückseite bestehen aus Dreiecken, zwei Rechtecke bilden das Dach. Bild Mitte unten: Das Wohnhaus steht auf einem Rechteck. Zwei Außenwände sind recht-eckig, zwei Außenwände haben die Form eines Trapezes.Bild rechts: Das Hochhaus steht auf einem Drei-eck (mit abgerundeten Ecken). Die drei Außen-flächen sind rechteckig.

Æ Individuelle Skizzen Æ Zum Beispiel:

Alle Gebäude bestehen jeweils aus zwei de-ckungsgleichen Vielecken (Dreieck, Trapez, Sechseck) und einer unterschiedlichen Anzahl von Rechtecken. Beim Turm und beim Hochhaus liegen die Viel-ecke unten und oben (Grund- und Deckfläche). Beim Nurdachhaus und beim Wohnhaus liegen die Vielecke seitlich.

1 Die Körper in (1) und (4) sind Prismen. (1): Dreieckprisma; (4): Sechseckprisma

2 Für jedes Prisma gelten die folgenden Aus-sagen:(1) Grund- und Deckfläche sind deckungsgleich.(5) Manche Flächen sind Rechtecke.(6) Grund- und Deckfläche haben gleich viele Eckpunkte.Begründungen, weshalb die anderen Aus-sagen nicht für jedes Prisma gelten: (2) ist zum Beispiel bei einem Dreieck- oder einem Sechseckprisma nicht gültig; (3) gilt nur für die Dreieckprismen; (4) ist zum Beispiel bei einem Trapezprisma nicht gültig.)

Seite 151

3 Zusammen gehören die Prismen (1) und (6); (2) und (8); (3) und (7); (4) und (5).

A a) Fünfeckprisma, das auf der Grundfläche steht.b) Dreieckprisma, das auf einem Mantelrechteck liegt.c) Viereckprisma, das auf einem Mantelrechteck liegt.

B (1) ist ein Prisma, das auf einem Mantelrechteck liegt. Die vordere und die hintere Fläche sind kongru-ente Trapeze. Sie sind die Grundfläche und die Deckfläche. Alle anderen Flächen sind Recht-ecke.(2) ist kein Prisma. Keine der drei viereckigen Flächen ist ein Rechteck. Also hat der Körper keine Mantelfläche aus Rechtecken.Andere Begründung: Grund- und Deckfläche sind Dreiecke von unterschiedlicher Grö-ße. Grund- und Deckfläche sind daher nicht kongruent.(3) ist kein Prisma. Der Körper steht auf einem Sechseck. Dieses Sechseck müsste die Grund-fläche sein, weil die Mantelfläche eines Prismas aus Rechtecken besteht. Es gibt aber kein zwei-tes Sechseck, also keine Deckfläche.Andere Begründung: Der Körper hat nur zwei rechteckige Flächen, nämlich links und rechts außen. Prismen haben aber mindestens drei rechteckige Flächen, die die Mantelfläche bilden.

AAACHTUNG: Sie arbeiten mit der Manuskriptfassung der Lösungen. Sie enthalten möglicherweise Fehler.Gern können Sie Rückmeldungen an die folgende email-Adresse senden: [email protected] Verkaufsauflage erscheint im Frühjahr 2018 unter der ISBN 978-3-12-744383-7.


79

Seite 151, links

4 Links oben: Die Schachtel ist ein Sechseckpris-ma. Das Prisma steht auf der Grundfläche.Rechts oben: Der Werkzeugkasten ist ein Sechs-eckprisma. Das Prisma liegt auf einem Mantel-rechteck.Links unten: Die Zahnpasta-Verpackung ist ein Dreieckprisma. Das Prisma liegt auf einem Man-telrechteck.Rechts unten: Die Packung ist ein Sechseckpris-ma. Das Prisma liegt auf einem Mantelrechteck.

5 Dreieckprisma:5 Flächen; 9 Kanten; 6 EckpunkteViereckprisma: 6 Flächen; 12 Kanten; 8 EckpunkteFünfeckprisma:7 Flächen; 15 Kanten; 10 EckpunkteSechseckprisma:8 Flächen; 18 Kanten; 12 Eckpunkte

Seite 151, rechts

4 Links oben: Das Glas (unterhalb des Halses) ist ein Sechseckprisma mit einem gleichmäßigen Sechseck als Grundfläche. Das Prisma steht auf seiner Grundfläche.Rechts oben: Wenn man sich die Mutter mit Material aufgefüllt vorstellt, dann hat sie die Form eines regelmäßigen Sechseckprismas. Das Prisma liegt auf seiner Grundfläche.Links unten: Die Packung hat die Form eines Fünfeckprismas. Das Prisma liegt auf einem Mantelrechteck.Rechts unten: Wenn man den Inbus-Schlüssel gerade biegen würde, so hätte dieser die Form eines regelmäßigen Sechseckprismas. Das Pris-ma würde auf einem Mantelrechteck liegen.

5 a) So kann man die Anzahlen beispielsweise für ein Achteckprisma finden:Das Achteckprisma hat eine Grund- und eine Deckfläche und acht Mantelrechtecke, also zehn FlächenGrund- und Deckfläche haben je acht Kanten, dazu kommen acht Mantelkanten. Das Prisma hat also 3 · 8 = 24 Kanten.Grund- und Deckfläche haben je acht Eckpunkte. Das Prisma hat also sechzehn Eckpunkte.

GrundflächeAnzahl der

Flächen Kanten Eckpunkte

Dreieck 5 9 6

Viereck 6 12 8

Fünfeck 7 15 10

Sechseck 8 18 12

Siebeneck 9 21 14

Achteck 10 24 16

Neuneck 11 27 18

Zehneck 12 30 20

Elfeck 13 33 22

Zwölfeck 14 36 24

b) Anzahl der Flächen: Pro Zeile erhöht sich die Zahl um 1. Anzahl der Kanten:Pro Zeile erhöht sich die Zahl um 3. Anzahl der Eckpunkte:Pro Zeile erhöht sich die Zahl um 2. c) Anzahl der Flächen: n + 2Die Anzahl der Flächen ist gleich der Anzahl der Eckpunkte der Grundfläche erhöht um 2. Denn die Anzahl der Eckpunkte der Grundfläche ergibt die Anzahl der Seitenflächen; hinzu kom-men die Grundfläche und die Deckfläche.Anzahl der Kanten: 3 · nDie Grundfläche hat genauso viele Kanten wie Eckpunkte. Hinzu kommen genauso viele Kanten bei der Deckfläche und auch bei der Mantel-fläche.Anzahl der Eckpunkte: 2 · nDie Anzahl der Eckpunkte kommt einmal in der Grundfläche und einmal in der Deckfläche vor.

2 Netz Seiten 152, 153

Seite 152

Einstieg

Æ Individuelle LösungenSchneidet man die Schachtel an den senkrecht stehenden Kanten auf, kann man die Seitenflä-chen herunterklappen.

Æ Individuelle LösungenDie Grundfläche muss etwas vergrößert werden, damit der Deckel auf das Unterteil passt.


80


1

2

Seite 153

3

4cm

5cm 7cm

7cm

6cm

4

4cm

4cm

4cm

5cm

5cm

A Mögliche Lösung:Zeichnung im Maßstab 1 : 2

5 cm

3 cm

4 cm6 cm


81

6 Prismen Schülerbuchseite 153

B Mögliche Lösung:Zeichnung im Maßstab 1 : 2

6 cm

4 cm

6 cm6 cm

Seite 153, links

5

6 Zum Beispiel:

Seite 153, rechts

5 a) Bandnetz4cm

b) Sternnetz

4cm

6 Die Zahlen 1 bis 8 werden auf den Flächen so verteilt, dass gegenüberliegende Zahlen die Summe 9 haben. Folgende Zahlen gehören zu-sammen: 1 – 8; 2 – 7; 3 – 6; 4 – 5.


82


Es sind verschiedene Verteilungen möglich, zum Beispiel:

1

2

3

8

4

7

6

5

3 Oberflächeninhalt Seiten 154, 155

Seite 154

Einstieg

Æ Dilan möchte die drei Bretter hochkant aufstel-len. Linus möchte sie auf die langen Kanten stellen.

Æ Die Menge der benötigten Schutzfarbe hängt von der dreieckigen Deckfläche ab, auf der die Figur stehen wird. Dieses Dreieck ist für den flachen Sockel viel größer als für den hohen Sockel.

1 a) G = 12 b) G = 1 _ 2 · 7 · 4 = 14

u = 5 + 6 + 5 = 16 u = 4 + 7 + 8 = 19 M = 16 · 2 = 32 M = 19 · 3 = 57 O = 2 · 12 + 32 = 56 O = 2 · 14 + 57 = 85 Der Oberflächen- Der Oberflächen- inhalt beträgt 56 cm2. inhalt beträgt 85 cm2.

Seite 155

2 a) G = 30 u = 12 + 6 + 3 + 6 = 27M = 27 · 5 = 135O = 2 · 30 + 135 = 195Der Oberflächeninhalt beträgt 195 cm2.

b) G = 1 _ 2 · 12 · 5 = 30

u = 12 + 13 + 5 = 30M = 30 · 9 = 270O = 2 · 30 + 270 = 330Der Oberflächeninhalt beträgt 330 cm2.

c) G = 1 _ 2 · 10,5 · 4 = 21

u = 10,5 + 8,5 + 5 = 24M = 24 · 4 = 96O = 2 · 21 + 96 = 138Der Oberflächeninhalt beträgt 138 cm2.

A a) u = 14 + 15 + 13 = 42M = u · h = 42 · 10 = 420O = 2 · G + M = 2 · 84 + 420 = 588Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt 588 c m 2 .b) u = 12 + 15 + 4 + 17 = 48M = u · h = 48 · 8 = 384O = 2 · G + M = 2 · 120 + 384 = 624Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt 624 c m 2 .

B a) G = 1 _ 2 · 6 · 6 = 18

Der Grundflächeninhalt beträgt 18 c m 2 .u = 6 + 6 + 8,5 = 20,5M = u · h = 20,5 · 6 = 123O = 2 · G + M = 2 · 18 + 123 = 159Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt 159 c m 2 .

b) G = 1 _ 2 · 10 · 12 = 60

Der Grundflächeninhalt beträgt 60 c m 2 .u = 10 + 13 + 13 = 36M = u · h = 36 · 4 = 144O = 2 · G + M = 2 · 60 + 144 = 264Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt 264 c m 2 .

Seite 155, links

3 G = 10 · 6 = 60 u = 2 · (10 + 8) = 36M = 36 · 10 = 360O = 2 · 60 + 360 = 480Der Oberflächeninhalt beträgt 480 cm2.

4 u = 4,5 + 5 + 8,5 = 18M = 18 · 5 = 90O = 2 · 9 + 90 = 108Der Oberflächeninhalt beträgt 108 cm2.

5 a) G = 1 _ 2 · 1,2 · 1,15 = 0,69

u = 2 · 1,3 + 1,2 = 3,8M = 3,8 · 2,0 = 7,6O = 2 · 0,69 + 7,6 = 8,98O = 8,98 m2 ≈ 9 m2

Es werden etwa 9 m2 Stoff verarbeitet.b) 9 · 150 = 1350Der Zellstoff wiegt etwa 1350 g = 1,35 kg.


83


Seite 155, rechts

3 G = 1 _ 2 · (18 + 9,5) · 12 = 165

u = 18 + 12,5 + 9,5 + 13 = 53M = 53 · 6 = 318O = 2 · 165 + 318 = 648Der Oberflächeninhalt beträgt 648 cm2.

4 a) G = 1 _ 2 · 25 · 15 = 187,5

u = 25 + 17 + 12 = 54M = 54 · 5 = 270O = 2 · 187,5 + 270 = 645Der Oberflächeninhalt beträgt 645 cm2.b) G = 7 · 12 = 84u = 2 · 7 + 2 · 15 = 44M = 44 · 5 = 220O = 2 · 84 + 220 = 388Der Oberflächeninhalt beträgt 388 cm2.

c) G = 1 _ 2 · (10,7 + 3,3) · 12 = 84

u = 10,7 + 6,1 + 3,3 + 8,7 = 28,8M = 28,8 · 5 = 144O = 2 · 84 + 144 = 312Der Oberflächeninhalt beträgt 312 cm2.

5 Das Dach besteht aus zwei Rechtecken und zwei Dreiecken.

ODach = 2 · 6,0 · 1,7 + 2 · 1 _ 2 · 3,0 · (2,8 – 2,0)

= 20,4 + 2,4 = 22,8Die Wände bestehen aus zwei gleich großen Rechtecken und aus einem kleineren Rechteck auf der Rückseite.OWände = 2 · 6,0 · 2,0 + 3,0 · 2,0 = 30Ogesamt = 22,8 m2 + 30 m2 = 52,8 m2 Es wurden ungefähr 55 m2 Zeltplane verarbeitet. (Die Zeltplane links und rechts vom Eingang wurde in der Rechnung nicht berücksichtigt, weshalb großzügig aufgerundet wurde.)

4 Schrägbild Seiten 156, 157

Seite 156

Einstieg

Æ Bild ganz links:Das Prisma wird von links unten gesehen.zweites Bild von links:Das Prisma wird von rechts oben gesehen.drittes Bild von links:Das Prisma wird von links oben gesehen.Bild ganz rechts:Das Prisma wird von rechts unten gesehen.

Æ Individuelle Lösungen Æ Individuelle Lösungen

1 a)

b)

c)

h = 8cm

Seite 157

2 a) b)

c)


84


A

B

Seite 157, links

3 a)

h = 8cm

b)

h = 8cm

4

h = 4cm

Seite 157, rechts

3 a)

45°

b)

45°

c)

45°

d)

45°


85


4 Schrägbild Seite 158

Seite 158, links

5 a)

45°

b)

6

c = 8cm

a = 8cm

b = 8cm

h = 6cm

7 Länge der Halle: Wenn 1 cm 3 m entspricht, entsprechen 10 cm 30 m. Im Schrägbild sind das dann 5 cm.

15m

6m 30m

8 Figur links: Dreieckprisma

Figur rechts: Sechseckprisma

Seite 158, rechts

4 Hinweis: Im ersten Druck des Schülerbuchs sind die Körperhöhen falsch angegeben. Richtig sind folgende Vorgaben:a) h = 10 cm b) h = 10 cm c) h = 8 cm


86


a)

10cm7,5cm

7,5cm

9cm

b)

10cm7,5cm

6,5cm

7cm

c)

7cm

3cm

8cm

4cm

8,5cm8,5cm

5 Zuerst konstruiert man die Grundflächen als normale Vielecke. In den Aufgabenteilen a) und b) muss man die Höhen zeichnen und ihre Längen messen. Mithilfe der Höhen kann man

anschließend die Grundflächen im Schrägbild zeichnen. a)

A c = 10cm

hc

a = 5cmb = 7cm

B

C

hc

h = 9cm

b)

a = 9cm

b = 6cm

A

hT

B

CD

α = 70°

h = 7cm

45°


87


c)

A a = 10cm

c = 6cm

b = 8cm

B

CD

45°

6 a) Die Profilleiten sind Prismen, weil sie jeweils eine Grund- und eine Deckfläche haben, die parallel zueinander liegen und deckungsgleich sind und eine Mantelfläche, die aus Rechtecken besteht.b) Die Skizzen orientieren sich an den Abbildun-gen im Schulbuch.

5 Volumen Seite 159

Seite 159

Einstieg

Æ Der Quader besteht aus 8 x 8 x 6 = 384 Würfeln. Æ Die Grundfläche des Prismas besteht aus 10

ganzen und 5 halben Quadraten. Da der Würfel aus 8 Schichten besteht, enthält das Prisma 8 · 10 = 80 ganze Würfel und 8 · 5 = 40 halbe Würfel.

Æ 40 halbe Würfel entsprechen 20 ganzen Wür-feln. Daher besteht das grüne Prisma aus 80 + 20 = 100 Würfeln.

Æ Individuelle Überlegungen, zum Beispiel:• Am einfachsten ist, das Prisma in der Höhe zu

halbieren. Dann enthält es 4 · 10 = 40 ganze und 4 · 5 = 20 halbe, also insgesamt 50 gan-ze Würfel.

• Man versucht die Grundfläche so zu verklei-nern, dass sie aus halb so vielen Quadraten besteht. Das grüne Prisma hat eine Grundflä-che, die aus 12,5 Quadraten besteht. Das halb so große Prisma sollte also eine Grundfläche haben, die aus 6,25 Quadraten besteht. Ver-schiedene Teilungen der Grundfläche sind dabei möglich.

1 a) V = 15 · 5 b) V = 25 · 4 V = 75 cm3 V = 100 cm3

c) V = 10 · 8 d) V = 11 · 9 V = 80 cm3 V = 99 cm3

5 Volumen Seiten 160, 161

Seite 160

2 a) G = 1 _ 2 · 6 · 5 = 15

V = 30 · 4 = 120Das Volumen beträgt 120 cm3.

b) G = 1 _ 2 · (7 + 5) · 6 = 36


c) G = 1 _ 2 · 6 · 4 = 12


d) G = 1 _ 2 · (8 + 5) · 3 = 19,5

V = 19,5 · 7 = 136,5Das Volumen beträgt 136,5 cm3.

3 a) Gesucht ist der Grundflächeninhalt G. V = G · h52 = G · 4 | : 413 = GDer Grundflächeninhalt beträgt 13 cm2.b) Gesucht ist die Höhe h des Prismas. V = G · h 98 = 28 · h | : 283,5 = hDie Höhe des Prismas beträgt 3,5 cm.c) Gesucht ist der Grundflächeninhalt G. V = G · h 55 = G · 11 | : 11 5 = GDer Grundflächeninhalt beträgt 5 cm2.d) Gesucht ist die Höhe h des Prismas. V = G · h116 = 14,5 · h | : 14,5 8 = hDie Höhe des Prismas beträgt 8 cm.


88


A V = G · h = 33 · 3 = 99Das Volumen des Prismas beträgt 99 cm 3 .

B G = a · h a = 7 · 4 = 28V = G · h = 28 · 5 = 140Das Volumen des Prismas beträgt 140 c m 3 .

Seite 160, links

4 a) G = 1 _ 2 · (14 + 4) · 6 = 54

V = 54 · 12 = 648Das Volumen beträgt 648 cm3.b) G = 1 _ 2 · 12 · 18 = 108

V = 108 · 7,5 = 810Das Volumen beträgt 810 cm3.

5 Prisma Grundfläche Höhe

(1) 3 Quadrate 4 Diagonallängen


(3) 1 _ 2 · 3 · 4 = 6 Quadrate 2 Diagonallängen


Wenn man zu jedem Prisma die Grundfläche und die Höhe bestimmt, sieht man, dass (2) und (3) das gleiche Volumen haben. Diese beiden Prismen haben eine doppelt so große Grundflä-che wie die Prismen (1) und (4), dafür sind ihre Höhen halb so lang. Damit sind alle Volumen gleich groß.

Seite 160, rechts

4 a) b) c) d)

G 35 cm2 24 cm2 60 dm2 6 m2

h 22 cm 8 cm 7,5 dm 13,5 m

V 770 cm3 192 cm2 450 dm3 81 m3

5 a) (1) Konstruktion des Dreiecks nach SSS; gemessen: hc = 6 cm

A c = 5cm

b = 6,5cm a = 6,5cm

B

C

hc

(2) gemessen: ha = 3 cm

A30°

a = 6cm B

CD

ha

(3) Konstruktion des Dreiecks nach SSS; gemes-sen: hc = 9,5 cm

A B

b = 11cm a = 11cm

c = 5,5cm

C

hc

(4) gemessen: hT = 4 cm

b = 5cm

c = 3cm

a = 9cm

d = 5cm hT

A H B

CD

Rechnungen zu a) und b)

Figur G in cm2 V in cm3

(1) 1 _ 2 · 5 · 6 = 15 15 · 8 = 24

(2) 6 · 3 = 18 18 · 8 = 144

(3) 1 _ 2 · 11 · 9,5 = 52,25 52,25 · 8 = 418

(4) 1 _ 2 · (9 + 3) · 4 = 24 24 · 8 = 192

Seite 161, links

6 a) Die Vorder- und die Rückseite des Hauses sind parallel zueinander liegende, deckungs-gleiche Fünfecke. Sie bilden die Grund- und die Deckseite des Prismas. Die Seitenwände und die Dachflächen sind Rechtecke. Sie bilden die Man-telfläche des Prismas. Die Breite des Hauses entspricht der Höhe des Prismas (h = 9,20 m).


89


b) Die Grundfläche ist ein Fünfeck; es setzt sich aus einem Rechteck und einem Dreieck zusam-men.Grundfläche berechnen:G = ARechteck + ADreieck

G = 8,5 · 3,8 + 1 _ 2 · 8,5 · 4,4 = 51

V = 51 · 9,2 = 469,2Das Volumen des Hauses beträgt 469,2 m3.

7 a) Das Schrägbild wird im Maßstab 1 : 10 gezeichnet, 1 cm in der Zeichnung entspricht 1 dm in Wirklichkeit.

1,5dm 7dm

17dm

b) G = 1 _ 2 · 7 · 1,5 = 5,25

V = 5,25 · 17 = 89,25Das Volumen der Rampe beträgt 89,25 dm3.c)  89,25 · 0,3 kg = 26,775 kg ≈ 27 kgEin Helfer sollte die Rampe allein hochheben können.Hinweis: Im ersten Druck des Schülerbuchs ist hier ein Fehler. Es muss heißen: 1 dm 3 des Mate-rials wiegt 0,3 kg.

8 a) G = 1 _ 2 · 8,0 · 6,9 = 27,6

V = 27,6 · 43,5 = 1200,6 Das Dreiecksprisma hat ein Volumen von 1200,6 cm3.

b) G = 1 _ 2 · (10,5 + 5,5) · 7,5 = 60

V = 60 · 43,5 = 2610 Das Dreiecksprisma hat ein Volumen von 2610 cm3.c) G = 2610 kgW = 2610 kg – 1200,6 kg = 1409,4 kg

p % = 1409,4

_ 2610 = 0,54 = 54 %

Das Volumen der Dreiecksverpackung ist um 54 % kleiner als das Volumen der Trapezver-packung.Hinweis: Hier muss man die Frage genau lesen, um zu wissen, welches Volumen dem Grund-wert, also 100 %, entspricht.

Seite 161, rechts

6 Das Volumen der Tasche wird näherungsweise bestimmt, indem die Tasche als ein Prisma mit Trapezförmiger Grundfläche betrachtet wird.

G = 1 _ 2 · (23 + 32) · 42 = 1155

V = 1155 · 17 = 19 635V = 19 635 cm3 = 19,635 dm3 ≈ 20 øDie Angabe des Herstellers stimmt etwa. Eine genauere Angabe ist nicht sinnvoll, da die Ta-sche nicht exakt ein Prisma ist. Außerdem ist für die Kunden nur das ungefähre Volumen von Interesse.

7 a) G = 1 _ 2   · (0,45 + 1,60) · 1,15 ≈ 1,18 

V = 1,18 · 3,2 ≈ 3,78 In die Schaufel passen etwa 3,8 m3 Erde.b) Im Maßstab 1 : 10 entspricht 1 m in Wirklich-keit 1 dm im Modell. Damit beträgt das Volumen der Schaufel etwa 3,8 dm3 = 3,8 ø.

8 a) Die Fläche des Querschnitts ist zusammen-gesetzt aus einem Dreieck links, einem Trapez, einem Rechteck und einem zweites Dreieck rechts.Flächeninhalt des Querschnitts:

G = 1 _ 2 · 14 · 3 + 1 _ 2 · (3 + 6) · 4 + 5 · 6 + 1 _ 2 · 6 · 7 = 84

Der Flächeninhalt des Querschnitts beträgt 84 m2. b) V = 84 · 12 000 = 1 008 000Das Volumen des Deichs beträgt 1 008 000 m3.

EXTRA: Zusammengesetzte Körper Seiten 162, 163

Seite 162

1 Der Hauptbau ist ein Achteckprisma, aus dem der Innenhof ausgespart ist. Die acht Türme sind ebenfalls Achteckprismen. Für jeden Turm gilt: Sieben seiner acht Mantelrechtecke liegen frei, das achte gehört zur Wand des Hauptbaus.

2 a) (1) Viereckprisma mit einer Raute als Grund-fläche(2) Dreieckprisma(3) Kein Prisma. Der Körper hat keine gegen-überliegenden kongruenten Flächen, also keine Grund- und Deckfläche. (4) Dreieckprisma(5) Fünfeckprisma. Grund- und Deckfläche set-zen sich aus zwei Dreiecken zusammen, die zu-sammen ein Fünfeck ergeben.


90


(6) Kein Prisma. Der Körper hat keine gegen-überliegenden kongruenten Flächen, also keine Grund- und Deckfläche.b) • Gruppe 1

(1) O = 4 AD + 2 AQ + 2 AR O = 4 · 25 + 2 · 50 + 2 · 70 O = 340 cm2 (2) O = 2 · 2 · AD + 2 · AQ + 2 · AR O = 2 · 2 · 25 + 2 · 50 + 2 · 70 O = 340 cm2 (3) O = 4 · AD + 2 · AQ + 2 · AR O = 4 · 25 + 2 · 50 + 2 · 70 O = 340 cm2 (4) O = 2 · AD + 2 · 2 · AQ + 2 · AR O = 2 · 25 + 4 · 50 + 2 · 70 O = 390 cm2 (5) O = 2 · 2 · AD + 3 · AQ + AR + (AR – AQ) O = 2 · 2 · 25 + 3 · 50 + 70 + (70 – 50) O = 340 cm2 (6) O = 4 · AD + 3 · AQ + AR + (AR – AQ) O = 4 · 25 + 3 · 50 + 70 + (70 – 50) O = 340 cm2

• Gruppe 2 stellt fest, dass sich die Körper (1), (2) und (3) sowie die Körper (5) und (6) aus denselben Teilflächen zusammensetzen. Die drei Oberflächeninhalte können anschließend so berechnet werden wie bei Gruppe 1.

• Gruppe 3 arbeitet ähnlich wie Gruppe 2. Mit ihrer Überlegung sind nur die Werte für 4 AQ + 2AR und 5 AQ + 2 AR zu berechnen.

• Gruppe 4 untersucht die innen liegende Kontaktfläche und stellt fest, dass bei den Körpern (1), (2), (3), (5) und (6) die Fläche AQ innen liegt. Diese Körper haben also den glei-chen Oberflächeninhalt. Beim Körper (4) liegt die kleinere Fläche AD innen. Somit ist klar, dass der Körper (4) den größten Flächeninhalt hat. Um den Oberflächeninhalt zu berechnen, be-rechnen sie zuerst den Oberflächeninhalt der beiden Dreieckprismen und subtrahieren da-von die doppelte Kontaktfläche. O2 Prismen = 2 · (2 AD + 2 AQ + AR) O2 Prismen = 2 · (2 · 25 + 2 · 50 + 70) O2 Prismen = 440 Für den Körper (4) erhält man: O = O2 Prismen – 2 · AD O = 440 – 2 · 25 O = 390 cm2 Für die Körper (1), (2), (3), (5) und (6) erhält man: O = O2 Prismen – 2 · AQ

O = 440 – 2 · 50 O = 340 cm2

Seite 163

3 a) Individuelle Lösungenb) Körper (1) Rechenweg von Finn:

O = 6 · 6 + 1 _ 2 · 6 · 6 + 6 · 8,5 + 1 _ 2 · 6 · 6

+ 8,5 · 6 + 1 _ 2 · 6 · 6 + 1 _ 2 · 6 · 6 + 6 · 6

O = 246 cm2

Rechenweg von Lena:

O = (2 · 1 _ 2 · 6 · 6 + (6 + 6 + 8,5) · 6)

+ (2 · 1 _ 2 · 6 · 6 + (6 + 6 + 8,5) · 6)

– 2 · 6 · 6 O = 159 + 159 – 24 O = 246 cm2

Körper (2) Rechenweg von Finn:

O = 5 · 92 + 9 · 5 + 2 · 1 _ 2 · 12 · 9 + 4 · 15

+ 4 · 12O = 666 cm2

Rechenweg von Lena:

O = 6 · 92 + 2 · 1 _ 2 · 12 · 9 + (9 + 12 + 15) · 4

– 2 · 4 · 9O = 666 cm2

Körper (3)Rechenweg von Finn:O = 10 · 6 + (10 + 6 + 10 + 6) · 6 + 2 · 6

+ 2 · 6 + 2 · 1 _ 2 · 6 · 4 + 5 · 6 + 5 · 6

O = 360 cm2

Rechenweg von Lena:O = (2 · 10 · 6 + (10 + 6 + 10 + 6) · 6)

+ ( 2 · 1 _ 2 · 6 · 4 + (6 + 5 + 5) · 6 ) – 2 · 6 · 6

O = 312 + 120 – 72O = 360 cm2

4 Finja addiert die Oberflächeninhalte der beiden Körper und subtrahiert anschließend den Flä-cheninhalt der gemeinsamen Fläche zweimal.a) O = 6 · 102 + 6 · 52 – 2 · 52

O = 600 + 150 – 50O = 700 cm2

b) O = 6 · 102 + 6 · 62 – 2*62 O = 600 + 216 – 72O = 744 cm2


91


5 Einfaches Hausa) Wandfläche (gelbe und blaue Flächen)OWandfläche = 2 · 5 · 3 + 2 · 4 · 3OWandfläche = 54 m2

b) Dachfläche (rote Flächen)

ODach = 2 · 4 · 3,2 + 2 · 1 _ 2 · 5 · 2ODach = 35,6 m2

c) OAußenfläche = OWandfläche + ODach

OAußenfläche = 54 + 35,6OAußenfläche = 89,6 m2

Die Ergebnisse des einfachen Hauses können und sollen für die anderen Häuser genutzt wer-den.Beispiel: Die Wandfläche des Typs „Duett“ erhält man, indem man die Wandfläche des einfachen Hauses verdoppelt und die Fläche, an der die Häuser aneinanderhängen, zweimal abzieht.

TypLang-haus

Duett Sierra Trio

Wandfläche in m2 126 84 144 138

Dachfläche in m2 112,4 71,2 142,4 106,8

Außenfläche in m2 238,4 245,2 286,4 244,8

EXTRA: Wer findet das größte Prisma? Seite 164

Seite 164

Individuelle LösungenDie Abbildungen im Schülerbuch legen nahe, die Netze in der gezeigten Lage auf einem DIN-A4-Blatt zu orientieren.Die folgende Tabelle enthält die Volumina der opti-malen Netze.

Steckbrief Volumen

oben links 193 cm3

oben rechts 157 cm3

Mitte links 238 cm3

Mitte rechts 243 cm3

unten links 187 cm3

unten rechts 289 cm3

Das größte Volumen erhält man also, wenn man das Sternnetz und als Grundfläche das gleichseitige Dreieck wählt.

Basistraining Seiten 166, 167

Seite 166

1 (1) Der Körper ist kein Prisma, weil die zwei dreieckigen Flächen nicht parallel zueinander liegen.(2) Der Körper ist ein Prisma, welches auf sei-ner Grundfläche steht. Die zwei kongruenten, parallel zueinander liegende Trapeze bilden die Grund- und Deckfläche, die übrigen vier Recht-ecke bilden die Mantelfläche.(3) Der grüne Körper ist ebenfalls ein Trapez-prisma (zwei kongruente, parallel zueinander liegende Trapeze als Grund- und Deckfläche. Es liegt auf einem Mantelrechteck. Insgesamt gibt es vier Mantelrechtecke.(4) Der Körper ist kein Prisma. Die Vorderfläche und die obere Fläche haben die Form eines Tra-pezes. Diese sind jedoch nicht kongruent und liegen auch nicht parallel zueinander.

2 a) Sechseckprisma: 8 Flächen, 18 Kanten, 12 Eckpunkteb) 10-Eckprisma: 12 Flächen, 30 Kanten, 20 Eckpunkte

3 a)

b)


92


4 Skizzen mit freier Hand sind nicht abgebildet.a)

8cm

4cm

4cm 4cm

4cm4cm

b)

6cm

5cm

4cm 4cm

4cm4cm

c)

7cm

4cm 3cm

3cm

5cm

5cm

d)

8cm

3cm

3cm

2cm

2cm 2cm

5cm 2cm

5 a) u = 5 + 5 + 6 = 16M = 16 · 4 = 64O = 2 · 12 + 64 = 88Der Oberflächeninhalt beträgt 88 cm2.b) u = 10 + 6,5 + 5,5 = 22M = 22 · 3 = 66O = 2 · 16,5 + 66 = 99Der Oberflächeninhalt beträgt 99 cm2.

6 a) G = 1 _ 2 · 12 · 5 = 30

u = 12 + 13 + 5 = 30M = 30 · 8 = 240O = 2 · 30 + 240 = 300Der Oberflächeninhalt beträgt 300 cm2.


93


b) G = 1 _ 2 (10 + 7) · 4 = 34

u = 10 + 5 + 7 + 4 = 26M = 26 · 8 = 208O = 2 · 34 + 208 = 276Der Oberflächeninhalt beträgt 276 cm2.

Seite 167

7 a)

3cm

3cm

3cm

b)

3cm

3cm

3cm

8 a)

b)

c)

d)

9 a) V = 15 · 5 b) V = 13 · 7 V = 75 cm3 V = 91 cm3

10 a) G = 1 _ 2 (9 + 6) · 4 b) V = 30 · 8

G = 30 cm2 V = 240 cm3

11 a) • Umfang der Grundfläche

u = 8,5 + 5 + 10,5 u = 24 cm

• Mantelflächeninhalt M = 24 · 4 M = 96 cm2

• Oberflächeninhalt O = 2 · 21 + 96 O = 138 cm2

• Volumen V = 21 · 4 V = 84 cm3

b) • Umfang der Grundfläche

u = 12 + 6,5 + 7,5 + 13 u = 39 cm

• Mantelflächeninhalt M = 39 · 5 M = 195 cm2

• Oberflächeninhalt O = 2 · 78 + 195 O = 351 cm2

• Volumen V = 78 · 5 V = 390 cm3


94


12 a) Leah hat nicht recht, denn die obere Fläche liegt etwas schräg im Vergleich zur Standfläche. Also kann es sich nicht um ein Prisma handeln, welches auf der Grundfläche steht. Besser ist es, den Körper anders zu betrachten.Alina hat recht. Sie sieht zwei parallel zueinan-der liegenden Trapeze und vier Rechtecke der Mantelfläche. Moritz stört sich möglicherweise am runden Plastikdeckel oder hat das Prisma noch nicht erkannt. Wenn man die Milchpackung auf die Seite legt, die auf dem Bild rechts zu sehen ist, kann man (vom Deckel abgesehen) das Trapez-prisma, welches dann auf der Grundfläche steht, leichter erkennen.b) Maße der trapezförmigen Grundfläche:a = 20,4 cm; c = 18,8 cm; hT = 7,0 cmHöhe des Prismas: h = 7,3 cm

G = 1 _ 2 · (20,4 + 18,8) · 7,0 = 137,2

V = 137,2 · 7,3 = 1001,56 V = 1001,56 cm3 ≈ 1,002 dm3 = 1,002 øDas berechnete Volumen passt zu der Angabe auf der Packung (1 ø).

Anwenden. Nachdenken Seiten 168, 169

Seite 168

13 (1) ist ein Prisma, denn alle Eigenschaften werden erfüllt. Das Prisma steht auf einem der Mantelrechtecke.(2) ist kein Prisma, denn zwei der Eigenschaften werden nicht erfüllt: Grund- und Deckfläche sind nicht kongruent; es gibt keine Mantelfläche, die aus Rechtecken besteht (die Vierecke sind Trapeze).(3) ist kein Prisma, weil die hintere Fläche grö-ßer als die vordere Fläche ist.Die Eigenschaft „Grund- und Deckfläche kongru-ent“ wird also nicht erfüllt. Entsprechend sind nur zwei der Mantelvierecke Rechtecke.(4) ist kein Prisma, denn Grund- und Deckfläche sind nicht kongruent. Entsprechend sind nur zwei Vierecke der Mantelfläche Rechtecke.(5) ist ein Prisma, denn alle Eigenschaften wer-den erfüllt. Das Prisma liegt auf einem der Man-telrechtecke.(6) ist kein Prisma, weil die hintere Fläche grö-ßer als die vordere Fläche ist.Die Eigenschaft „Grund- und Deckfläche kongru-ent“ wird also nicht erfüllt. Entsprechend sind nur zwei der Mantelvierecke Rechtecke.

14 Skizzen mit freier Hand sind nicht abgebildet.Zeichnungen im Maßstab 1 : 4a)

7cm

4cm4cm

5cm5cm

6cm

b)

7cm

4cm6cm 5cm

6cm

6cm

15 Zeichnungen im Maßstab 1 : 4a) Bandnetz

6cm

4cm

3cm

3cm


95


b) Sternnetz

6cm

4cm

3cm

3cm

c) Es sind verschiedene Netze möglich, zum Beispiel:

6cm

4cm

4cm

4cm

3cm

3cm

16 a) (1) auf einem Mantelrechteck liegend

6cm

h = 5cmhc = 3,8cm

6cm

4cm

(2) Um dieses Schrägbild zu zeichnen, muss man zuerst im Schrägbild (1) die Höhe hc ein-zeichnen und ihre Länge messen (hc = 3,2 cm).

h = 5cm

hc

((Achtung Höhe ist 3,77/3,8 cm?))

b) Sternnetz

5cm

6cm

6cm

4cm

50%

17 a) Die Grund- und die Deckfläche des Prismas sind gleichseitige Dreiecke. Die Mantelfläche des Prismas besteht aus drei Quadraten.

b) G = 1 _ 2 · 15 · 13 = 97,5

u = 3 · 15 = 45M = 45 · 15 = 675O = 2 · 97,5 + 675 = 870Der Oberflächeninhalt beträgt 870 cm2.V = 97,5 · 15 = 1462,5Das Volumen des Prismas beträgt 1462,5 cm3.

18 a) Die Raute wird mithilfe des Dreiecks ABC (nach SSS) konstruiert.

ha

A Ba = 5cm

5cm8cm

CD

gemessene Höhe der Raute: ha = 4,8 cmFlächeninhalt der Grundfläche: G = 5 · 4,8 = 24u = 4 · 5 = 20 M = 20 · 6 = 120O = 2 · 24 + 120 = 168Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt 168 cm2.


96


b) O = 2 G + MO = 2 G + u · hEinsetzen der gegebenen Größen und Umstellen der Formel nach h:248 = 2 · 24 + 20 · h248 = 48 + 20 h | – 48200 = 20 h | : 20 10 = hDas Prisma muss eine Höhe von 10 cm haben.

Seite 169

19 a) (1) auf einem Mantelrechteck liegend

c = 6cm

b = 4cm

a = 9cm

d

h = 5cm

(2) auf der Grundfläche stehend

d

a

c

b

h

b) Höhe des Trapezes: hT = b = 4 cm;die Länge der Seite d kann im Schrägbild (1) ge-messen werden: d = 5 cm Flächeninhalt der Grundfläche:

G = 1 _ 2 · (9 + 6) · 4 = 30

u = 9 + 4 + 6 + 5 = 24M = 24 · 5 = 120O = 2 · 30 + 120 = 180Der Oberflächeninhalt beträgt 180 cm2.c) V = 30 · 5 = 150Das Volumen beträgt 150 cm3.

20 a) Die Grundfläche besteht aus zwei Dreiecken und einem Trapez.

G = 1 _ 2 · 2,5 · 6 + 1 _ 2 (7,5 + 6) · 2 + 1 _ 2 · 4 · 7,5

= 7,5 + 13,5 + 15 = 36u = 2,5 + 2 + 4 + 8,5 + 2,5 + 6,5 = 26M = 26 · 8 = 208O = 2 · 36 + 208 = 280Der Oberflächeninhalt beträgt 280 cm2.

b) V = 36 · 8 = 288Das Volumen beträgt 288 cm3.

21 a) Konstruktion der Grundfläche nach SSS

A c = 7cm

a = 7,5cmb = 6,5cm

B

hc

gemessene Höhe hc = 6,0 cm

G = 1 _ 2 · 7 · 6,0 = 21

Der Grundflächeninhalt beträgt 21 cm2.b) u = 7 + 7,5 + 6,5 = 21Der Grundflächeninhalt (G = 21 cm2) und der Umfang der Grundfläche (u = 21 cm) sind bei allen Prismen gleich.

Prisma M in cm2 O in cm2

(1) 21 · 1 = 21 2 · 21 + 21 = 63

(2) 21 · 2 = 42 2 · 21 + 42 = 84

(3) 21 · 4 = 84 2 · 21 + 84 = 126

c) Berechnen des Volumens: V = G · hPrisma (1): V = 21 cm3

Prisma (2): V = 42 cm3

Prisma (3): V = 84 cm3

d) Das Volumen von Prisma (2) ist doppelt so groß wie das Volumen von Prisma (1). Das Vo-lumen von Prisma (3) ist doppelt so groß wie das Volumen von Prisma (2). Das liegt daran, dass die Köperhöhe jeweils verdoppelt wird. Der Oberflächeninhalt verdoppelt sich nicht. Das kann man sich leicht klar machen: Wenn sich die Körperhöhe verdoppelt, verdoppelt sich zwar auch der Mantelflächeninhalt, der Flächeninhalt von Grund- und Deckfläche bleibt aber gleich.

22 Umstellen der Formel nach G: G = V _ h

Umstellen der Formel nach h: h = V _ G

a) b) c) d)

V 96 cm3 480 cm3 686 cm3 1080 cm3

G 8 cm2 64 cm2 14 cm2 14,4 cm2

h 12 cm 7,5 cm 49 cm 75 cm


97


23 a) Das Brunnenbecken hat die Form eines Acht-ecks. b) V = 5000 ø = 5000 dm3 = 5 m3

h = 60 cm = 0,6 m V = G · h 5 = G · 0,6 | : 0,68,

_ 3 = G

Der Grundflächeninhalt beträgt ungefähr 8 m2.

24 a) Beide Häuser sind Prismen. Bei Haus A liegt die Grundfläche vorne, bei Haus B seitlich. Die Grundflächen setzen sich aus einem Rechteck und einem gleichschenkligen Dreieck zusam-men.(1) G = ARechteck + ADreieck

G = 9,0 · 6,0 + 1 _ 2 · 9,0 · 2,4 = 64,8

u = 9,0 + 6,0 + 5,1 + 5,1 + 6,0 = 31,2M = 31,2 · 6,4 = 199,68O = 2 · 64,8 + 199,68 = 329,28Der Oberflächeninhalt des Hauses (mit Boden-fläche) beträgt ungefähr 329 m2.(2) G = ARechteck + ADreieck

G = 6,4 · 6,0 + 1 _ 2 · 6,4 · 2,4 = 46,08

u = 6,4 + 6,0 + 4,0 + 4,0 + 6,0 = 26,4M = 26,4 · 9,0 = 237,6O = 2 · 46,08 + 237,6 = 329,76Der Oberflächeninhalt des Hauses (mit Boden-fläche) beträgt ungefähr 330 m2.b) Den Oberflächeninhalt des Hauses ohne Bodenfläche berechnet man am einfachsten, indem man vom Ergebnis aus Teilaufgabe a) die Bodenfläche subtrahiert. Die Bodenfläche ist bei beiden Häusern gleich groß.(1) O’ = 329,28 – 9,0 · 6,4 = 271,68Der Oberflächeninhalt des Hauses ohne Boden-fläche ungefähr 272 m2.(2) O’ = 329,76 – 9,0 · 6,4 = 272,16Der Oberflächeninhalt des Hauses ohne Boden-fläche beträgt ungefähr 272 m2.

25 Jedes Haus ist ein Prisma, das auf einem seiner Mantelrechtecke liegt; die Grundfläche des Pris-mas setzt sich aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammen. Beide Häuser sind gleich.• Berechnung des Oberflächeninhalts eines der

Häuser: G = ARechteck + ADreieck

G = 9,0 · 4,0 + 1 _ 2 · 9,0 · 2,6 = 47,7

u = 9,0 + 4,0 + 5,2 + 5,2 + 4,0 = 27,4 M = 27,4 · 8,0 = 219,2 O = 2 · 47,7 + 219,2 = 314,6 Der Oberflächeninhalt eines Hauses beträgt 314,6 m2. Oberflächeninhalt beider Häuser: Ogesamt = 2 · 314,6 = 629,2 Der Oberflächeninhalt beider Häuser be-trägt, wenn sie getrennt voneinander stehen, 629,2 m2.

• Berechnung des Oberflächeninhalts der Häu-ser, wenn diese angrenzend gebaut werden: Diesen Oberflächeninhalt berechnet man am einfachsten, indem man vom gesamten Ober-flächeninhalt der Häuser den Flächeninhalt der gemeinsamen Wand zweimal abzieht. Oangrenzend = 629,2 – 2 · 4,0 · 4,0 = 597,2 Der Oberflächeninhalt beider Häuser be-trägt, wenn sie angrenzend gebaut werden, 597,2 m2.


6 Für jedes Prisma gelten die folgenden AusPrismen 2€¦ · 6 Für jedes Prisma gelten die...

Documents

Transcript of 6 Für jedes Prisma gelten die folgenden AusPrismen 2€¦ · 6 Für jedes Prisma gelten die...