6. Quantenrealität 6.1. Das Paradoxon von Einstein, Podolski und Rosen ( EPR-Paradoxon ) Postulate...

6. Quantenrealität6.1. Das Paradoxon von Einstein, Podolski und Rosen ( EPR-Paradoxon )

Postulate der klassischen Realität:1) Realität: Physikalische Phänomene werden durch reale physikalische

Objekte bzw. Größen bewirkt, die unabhängig von deren Beobach-tung durch den Experimentator (oder durch Katzen) existieren.

2) Logik: Die Gesetze der (zweiwertigen) Logik sind auf physikalische Ereignisse anwendbar.

3) Lokalität: Eine irgendwie geartete Wirkung zwischen zwei Systemen überträgt sich höchstens mit Lichtgeschwindigkeit.

V

zA B

Beispiel: Massenpunkt im Potentialtopf

Teilchen ist in A Teilchen ist nicht in B

Teilchen ist nicht in A Teilchen ist in B

Quantenrealität: Das reine Quantensystem ist fundamental unscharf (d. h. nicht-lokal). Durch Beobachtung wird ein scharfer Zustand erzeugt. Die Beobachtung deckt keinesfalls nur einen vor der Messung schon vorliegenden Zustand auf.

Bemerkung: Die QM ist nicht-lokal. Hingegen ist die Kausalität nicht verletzt: Wegen der Zufälligkeit von nicht-lokalen Quanten-effekten kann mit diesen keine Information übertragen werden.

V

z

A BGrundzustand:

Aufenthaltswahrscheinlich-keit symmetrisch auf A und

B verteilt.

V

z

A BMessung eines Beobachters in A oder B Teilchen wird zufällig lokalisiert. Beobachter A weiß danach instantan,

ob in B ein Teilchen beobachtet würde.

x

EPR-Gedankenexp.: Symmetrischer Zerfall eines ruhenden Teilchens

Beispiele: , γγπ0 00 BB

Idealer DetektorMessgröße pA

AB

Mutterteilchen ruhend ( Ruhelage unscharf) BA pp BA pp

Messung von pA in A Impuls pB in B instantan festgelegt

Folge: Zwar ist die Schwerpunktskoordinate xA xB unscharf, jedoch ist der Abstand xA xB scharf.

EPR-Folgerung:

pB muss vorher real gewesen sein und wurde nur aufgedeckt.

Varianten nach Bohm:

a) Erzeugung eines Spin-½-Paars mit Gesamtspin S 0

0s,sχSs,sχss 21z21z2z1 0s,sχSs,sχss 21z21z2z1

ssS 21

ssS 21

ss 2

1z2z1 ss 2

1z2z1

Erzeugungvon

50%

50%

z-Achse beliebig aber fest

Stern-Gerlach-

Filter

100%Stern-

Gerlach-Test-Filter

b) Erzeugung von Photon-Paaren mit identischer (unbestimmter) Polarisation P

Methode: Nichtlineare Kristalle

P

Detektor

Polfilter

Achse

Polarisation unbestimmt

ErzeugungsortP

PolfilterTest-Analysator

Detektor

6.2. Die Bellsche Ungleichung

John Bell (1928-1990)Elementarteilchen-/

Beschleunigerphysiker CERN

Der (feige?) Ausweg aus der Nichtlokalität (und damit aus dem EPR-Paradoxon):

Hypothese: Der mikroskopische Quanten-zustand wird durch verborgene Parameter vollständig, d. h. ohne prinzipielle Unschär-fen festgelegt. ,,Leider“ sind diese Parame-ter aber prinzipiell unmessbar (und Ihr Experimentatoren braucht es daher gar nicht erst zu versuchen. Ätsch!).

• Ein reines Quantensystem ist ein statistisches Ensemble der vollständig bestimmten Mikrozustände.

• Wellenfunktion Häufigkeitsverteilung innerhalb des Ensembles.

John Bells bahnbrechende Entdeckung: Auch wenn die verborgenen Parameter selbst nicht messbar sind, erzeugt ihre reine Existenz messbare Effekte!

Der Ausweg der verborgenen Paramter ist nicht feige und kein Ätsch.

Beispiel: Spin-½-Paar mit Gesamtspin S 0 (Singulett 00)

S 0

00

①② αn

βn

Spinfilter 1 Achse αn

Spinfilter 2 Achse βn

Zähler 1Zähler 2

Quantenmechanisch: Wenn ein Spin bzgl. gemessen wurde, ist die Frage ,,Was hätte man bei einer Messung bzgl. gemessen“ sinnlos.

αn

γn

Klassische Realität: Wenn ein Spin bzgl. gemessen wurde, besitzt er trotzdem einen definitiven Wert bzgl. . Dieser Wert ist aber ein verborgener Parameter und daher nicht messbar.

αn

γn

Quantenmechanische Berechnung von N( ): ssS 21

ssS 21

S 0

00

①② αn

βn

Zähler 1Zähler 2 χ 2

100 χ

21

00

2432

43

21

χ2121

22

21

2 20ssss2ssS00

Übung: 0ss0000 χj2χj1 0ss

0000 χj2χj1 kj4

χ21kj3

1

χk2j1 δssδss2

0000

Einteilchen-Messoperator für bezüglich :21 s,s

βα n,n

2β1α

sn

21sn

21 ,

0sn

1sn

α1α1

21

αα1α1

21

0sn

1sn

β2β1

21

ββ2β1

21

Beweis:

S 0

00

①② αn

βn

Zähler 1Zähler 2 χ 2

100 χ

21

00

Einteilchen-Messoperator für bezüglich :21 s,s

βα n,n

2β1α

sn

21sn

21 ,

Folgerung:

snsnβ|αN 00χ

2β1

21

1α1

21 )()(

snsnβ|αN 00χ

2β1

21

1α1

21 )()(

snsnβ|αN 00χ

2β1

21

1α1

21 )()(

snsnβ|αN 00χ

2β1

21

1α1

21 )()(

ssnnsnsnβ|αN 00

2

0000χk2j1

3

1k,jkβjα

1

χ2β2

1

χ1α2

141

0

0

kj2

41 δ

βα41

kj

3

1k,jkβjα4

141 nn1δnn

αn

βn

Bsp.: Koplanare Spinanalysatoren: αβcosnn βα

2αβ2

21

41 sinαβcos1αβNβ|αN 2

αβ221

41 sinαβcos1αβNβ|αN

1104

114

0 14

αβP

βα,

βα

βα,

βα

βα,

βα,

βα,

βα

50% je falls

50% je falls

25% je falls

21

41

Def.: Korrelationsfunktion 1αβN4αβP 1αβN4αβP

Zusammenfassung: 1αβN4αβP 1αβN4αβP

Klassische Realität mit verborgenen Parametern

γβNαγNαβN γβPαγP1αβP γβPαγP1αβP

Quantenmechanische nicht-lokale Realität

αβcos1αβN 41 αβcosαβP αβcosαβP

Beispiel: 0º 90º 45º

245cosγβP

245cosαγP

090cosαβP

21

21

γβPαγP2

11αβP

Die Quantenmechanik verletzt die Bellsche Ungleichung. Die Hypothese der klassichen Realität mit verborgenen Parametern ist

experimentell überprüfbar.

p

p

2pkin cmE

p

6.3. Experimentelle Tests der Bellschen UngleichungHeute in modernen Labors zur Quantenoptik Routine für jede Studentin!

a) Spin-½-Systeme: Proton-Proton-Streuung

Proton-Beschleuniger

Wasserstoffgas

p

Streufolie (C)

Detektoren

Detektoren

Dominanter Streumechanismus:

pp

p

p

Spin-Flip

LS-Kernkraft Spin-abhängige Streurichtung

a) Die Bellsche Ungleichung wird verletzt. Die klassiche Realität ist unhaltbar!

b) Die Vorhersage der Quantenmechanik wird bestätigt!

Klassisch verbotener Bereich

b)2-Photon-Systeme: Laseranregung von Atomen (Ca, Hg)

Optisches Pumpen (Laser)

J 0

J 0

Grundzustand (stabil)

Angeregter Zustand (metastabil)

J 1MJ 1

MJ 0 MJ 1

1

2

Makroskopische Abstände ( 100 km) mit Lichtfaser-Leitung realisiert.

P

Detektor

AchseAngeregte QuellatomeP

Polfilter, -Platte...Test-Analysator

Detektor

Polfilter, -Platte...x

y

z

1γ2γ

MJ

1 0 1

1 0 1

verschränkt

Wahl der Quantisierungsachse ist willkürlich. Zwei Beispiele:

MJ-Quantisierung bzgl. z-Achse

MJ Polarisationszustand 1 2 1 2

1 1 y-linear y-linear

0 0 z-linear z-linear

1 1 y-linear y-linear

MJ-Quantisierung bzgl. x-Achse

MJ Polarisationszustand 1 2 1 2

1 1 R-zirkular R-zirkular

0 0

1 1 L-zirkular L-zirkular

Verschränkung mit positiver Photon-Spinkorrelation

1

2

MJ

1 0 11 0 1

P

Detektor

AchseAngeregte QuellatomeP

Polfilter, -Platte...Test-Analysator

DetektorPolfilter, -Platte...

x

y

z

1γ2γ

c) 2-Photon-Systeme: Frequenzhalbierung mit nichtlinearen Kristallen

Grundzustand

Angeregter Zustand

virtuelles Zwischenniveau

Pump-Laser

ω

1

2

ω21

ω21

d)2-Photon-Systeme: Positronium-Zerfall

ee

Grundzustand: 1 1S0 (L S J 0)

E 511 keV

E 511 keV Zerfall

L , R

L , R

Resultat immer gleich: Quantenmechanik , klassische Realität

6.4. Quanten-Kryptografie Weitere Anwendungen:• Teleportation• Quanten-Computer

Kryptografie: Lehre der Ver-/Entschlüsselung

Alice

Sender

Bob

EmpfängerEve

Spion

Informationskanal (Funk, Kabel, Lichtleiter, ...)

7-Bit Binärcodierung (Beispiel):

Zeichen Binärcode ⋮ ⋮

a 1100001b 1100010c 1100011 ⋮ ⋮

Vernam-Verschlüsselung ( Bit-,,Addition“ )

b1 b2 b1 b2

0 0 00 1 11 0 11 1 0

Logisches XOR

Wichtige Eigenschaft: bbbb 1221 bbbb 1221

Verschlüsselung des Bits b1

Entschlüsselung des Bits b1 b2

Beispiel:

Alice

Binär

Schlüsselcode

D e a r B o b

1000100 1100101 1100001 1110010 0100000 1000010 1101111 1100010

1101111 1010111 0101011 1011110 1001001 1100001 1001000 0110101

0101011 0110010 1001010 0101100 1101001 0100011 0100111 1010111

+ 2 J 6 I # / W

Empfangen

Schlüsselcode

Bob liest

0101011 0110010 1001010 0101100 1101001 0100011 0100111 1010111

1101111 1010111 0101011 1011110 1001001 1100001 1001000 0110101

1000100 1100101 1100001 1110010 0100000 1000010 1101111 1100010

D e a r B o b

Datenübermittlung

b1 b2 b1 b2

0 0 00 1 11 0 11 1 0

Theorem: Ist Schlüsselcode Zufallsfolge von Bits, ist die Vernam-Codierung ohne Kenntnis des Schlüsselcodes prinzipiell nicht brechbar.

Problem: Wie kommunizieren Alice und Bob den Schlüsselcode?

Lösung 1: Persönliches Treffen und Austausch eines Schlüsselbuches (z.B. mit Codes für jeden Tag des kommenden Jahres). Sehr anfällig! Buch kann unbemerkt von Eve ausspioniert werden.

Lösung 2: Public-Key-Methoden (z.B. RSA-Keys): Übermittle öffentlich einen Verschlüsselungscode. Entschlüsselung erfordert Zusatzkenntnis (z.B. die Primfaktorzerlegung des Schlüssels), deren Berechnung mit heutigen Computern nicht (effizient) möglich ist. Problem: Quantencomputer erlauben die Berechnung!

Lösung 3: Ad hoc Erzeugung von Codes durch simultane Messung an verschränkten Photonen. Vorteil: Spionage während der Übertragung wird sicher aufgedeckt. Quantenkryptografie

Erzeugung von echter Zufallsfolge von Bits, identisch für Alice und Bob:

Orientierung der Nicol-Prismen jeweils zufällig unter 0º oder 45º

1

Detektor

-Quelle

Nicol-Prisma 2

1γ2γ

verschränkt mit identischer Polarisation

Nicol-Prisma 1

DetektorO.S.

A.O.S.

0

O.S.

A.O.S.

1

0

Alice Bob

45º 0º 25% 25% 25% 25%

0º 45º 25% 25% 25% 25%

Prisma 1 Prisma 2 Häufigkeiten der Paare0 0 1 1 0 1 1 0

0º 0º 50% 50% 45º 45º 50% 50%

Identische Zufalls-folge bei gleicher

Prismen-Orientierung

Völlig unkorrelierte Folgen bei ungleicher

Orientierung

Nach der Datennahme Alice und Bob kommunizieren öffentlich die Zeitpunkte (aber nicht die Messungen) identischer Prismenorientierun-gen und selektieren beide die zugehörige Zufallsfolge von Bits:

b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b14 b15 b16 b17

Als Verschlüsselungscode verwenden beide die Subfolge:

b1 b3 b5 b7 b9 b11 b13 b15 b17 b19 b21 b23 b25 b27 b29 b31

Sicherheitstest: Zur Abwehr von Lauschangriffen von Eve vergleichen Alice und Bob anschließend öffentlich die komplementäre Subfolge:

b2 b4 b6 b8 b10 b12 b14 b16 b18 b20 b22 b24 b26 b28 b30 b32

Wenn die Vergleichszufallsfolgen für Alice und Bob völlig identisch sind, wird der Verschlüsselungscode validiert. Sonst wird ein neuer Code generiert (nachdem Eve aufgespürt und vertrieben wurde).

Fall 1: Die Orientierung bei Eve ist (zufällig) identisch mit der bei Alice Das Resultat bei Alice bleibt unverändert.

Effekt eines Lauschangriffs von Eve:

Fall 2: Die Orientierung bei Eve ist nicht identisch mit der bei Alice Das Resultat bei Alice ändert sich in 50% der Fälle. Dies

fliegt beim Sicherheitstest sofort auf!

Die Methode ist völlig abhörsicher, da keine verborgenen Parameter existieren, d. h. da durch das Lauschen ( Messung) das Photon fundamental verändert wird.

Die Methode ist völlig abhörsicher, da keine verborgenen Parameter existieren, d. h. da durch das Lauschen ( Messung) das Photon fundamental verändert wird.

-Quelle

Nicol-Prisma (0º oder 45º)

1γ2γO.S.

A.O.S.

1

0

zu Alice zu Bob

Eve

Polarisation wie gemessenPolarisation

wie gemessen

Photon-Quelle

... es sei denn ...

-Quelle

Quanten-Klonierer

1γ2γ

zu Alicezu Bob

Eve

2γ

2γzu Eve’s Detektor

... aber ach ...

No-Clone-Theorem: Quantenobjekte sind nicht klonierbar.

No-Clone-Theorem: Quantenobjekte sind nicht klonierbar.

Beweis (exemplarisch für diesen Fall):

Wirkung des hypothetischen Klon-Operators:

KK

KK

KK

ψψ0ψK

1101K

0000K

KK

KK

KK

ψψ0ψK

1101K

0000K

Klonierung von 2 :

KKK

2

K

2

KK0110βα11β00αψψ0ψK

Jedoch:KKKKK

11β00α01Kβ00Kα0ψK

Widerspruch ⃞

Anfangszustand des im Klonierer erzeugten Photons (o.B.d.A.): K

0Quantenzustand des Photons 2 : 1β0αψ

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