8 Das Bohrsche Atommodell 1.Einführung 1.1. Quantenmechanik – versus klassische Theorien 1.2....

8 Das Bohrsche Atommodell

1. Einführung1.1. Quantenmechanik – versus klassische Theorien1.2. Historischer Rückblick

2. Kann man Atome sehen? Größe des Atoms3. Weitere Eigenschaften von Atomen: Masse, Isotopie4. Atomkern und Hülle: das Rutherfordexperiment5. Das Photon: Welle und Teilchen6. Teilchen als Welle (de Broglie)7. Heisenbergsche Unschärferelation8. Das Bohrsche Atommodell 8.1. Experimenteller Befund 1: Diskrete Spektren

8.2. Experimenteller Befund 2: Franck Hertz Versuch8.3. Model: Die Bohrschen Postulate8.4. Veranschaulichung des Models 1: Rydbergatome8.5. Korrektur durch endliche Kernmasse8.6. Veranschaulichung des Models 2: Myonische Atome8.7. Veranschaulichung des Models 3: Positronium, Antiwasserstoff8.8. Weitere Korrektur: Sommerfeld8.9. Bohrmodell und DeBroglie Wellen8.10. Die Grenzen des Bohrmodells

9. Grundlagen der Quantenmechanik


9.1. Operatoren, Messwerte9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe9.6. Der Tunneleffekt

9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop

9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator

Klassische Mechanik Quantenmechanik Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion

komplexwertig(r,t)

normierbar s 2(x) dx =1stetig differenzierbar

Evolutionsgleichung

Hamilton Gleichungen Schrödingergleichung

Messgrössen

Funktionen von r,p Operatoren

Ort: x(t)

Impuls mv(t)=m dx(t)/dt

Drehimpuls L=

X (Multiplikation mit x)

Energie (Hamilton-Funktion)

)(),( rVm

pprHE

2

2

Drehimpulsoperator

Hamiltonoperator

)(),(ˆ rVm

irH 2

H2

Basis

Abgeleitet,allgemein:ersetzt x,p durchOperatoren

Messung:Jede Einzelmessung kannals Zahlenwert nur die Eigenwerte des Operatorsliefern.Beispiel 1: ImpulsEigewertgleichung:

Beispiel 2: Energie:H (x) = E (x)

Energieeigenwerte(Diskrete Energien)

Energieoperator

Wellengleichung für ein Teilchenim Potentzial V(r)Zeitabhängige SG daraus folgtmit (r),t)=(r) eiE/~ t die stationäre SG,siehe extra slide

Prinzip 2:

Jeder physikalischen Größe A(r, p) (“Observable“), die eine Funktion von Ort r und Impuls p eines Teilchens ist, entspricht ein Differentialoperator Â, den man erhält, indem man p durch -iħ ersetzt:

Prinzip 1:9. Grundlagen der Quantenmechanik

Zeitabhängige Schrödingergleichung:Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle

A(x,t) = A0 cos(kx - t)

Ansatz:

Für zeitunabhängiges Potential

Wie kommt man drauf?Geraten, aber naheliegend!Wieso ist das die Energie?Zunächst nur Konstante die E heisstDimension Energie: ~ == Energie*ZeitGesamtenergie klärt sich bei Anwendung






Stationäre Schrödingergleichung


Ansatz:

Linear: wenn a(x) und b(x) Lösungen sindLöst auch

x) = A * a(x) + B * b(x)

Bsp: Überlagerungen von Ebenen Wellen zu Wellenpaketen







Ansatz:

Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: (x)=Aeikx + B e-ikx

löst:

Kinetische EnergieKonstante EIst dieEnergie des Systems(da V(x)=0 nur kinetische Energie)







Ansatz:


löst:


Mit Zeitabhängigkeit:

löst:


Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten

V(x)=0 für 0·x¸L1 sonst

(x)=Aeikx + B e-ikx

(x·0)=(x¸L)=0

(x=0) = 0 ) A+B=0 ) (x)=A(eikx - e-ikx)=2iA sin(kx)

Randbedingung 1

(x=L) = 2iA sin(kL) = 0) kL= n (n=1,2,3 ...)

Rand-bedingung 2

Quantenzahlen n

Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

N ist nicht Anzahl der KnotenN=0 ist psi=o kein Teilchen

Mögliche Energieniveaus in der Box:

fehlte

Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung





Bemerkungen:1) Nur feste Impulse2) Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0)3) Woher kommt die Quantisierung??4) Zeitentwicklung der Zustände?

hängt von En (n2) ab!


Visualisierung der Zeitabhängikeit der Zustände:a) Eigenzustände haben keine Zeitabhängikkeit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit

http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/en/stationary.html

Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Real Imaginärteil





Bemerkungen:1) Nur feste Impulse2) Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0)3) Woher kommt die Quantisierung??4) Zeitentwicklung der Zustände?

5) Was passiert wenn manandere Energie, Wellenfunktionerzwingt?z.B. Barriere aufziehen?


Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero. WAS PASSIERT??

http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm

9. Grundlagen der QuantenmechanikTeilchen mit Anfangsimpuls in 2 dim Potentialtopf

http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm

(kx , ky) = (0.86 , 0.5)

(x , y) = (2 , 2)




Wichtigste Lehre aus dem Beispielunendlicher Potentialtopf:

Quantenzahlen, und die Quantisierungeiner Größe sind Folge der Randbedingungenund der Forderung nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Am Beispiel der Potentialtopf ist dies ohneexplizites Lösen der Schrödingergleichungersichtlich, bei „echten“ Potentialen ist diesetwas versteckter, das Prinzip ist aber gleich.

Ausblick: Die Quantisierung des Drehimpulses wird sichauch herausstellen als Folge von Randbedingungen,allerdings nicht des Potentials, sondern aus der Rotation


9.1. Operatoren, Messwerte9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe9.6. Der Tunneleffekt

9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop

9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator

(II)

Bereich (II):

Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung

11.4. Potentialstufe

x

E(x

)

E0

(I)

Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A eikx + B e-ikx

2

(x)=C ex + D e-x

(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )

I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=(C-D) (ii)


reel ) C=0 weil sonst II(x!1) divergiert

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C ex + D e-x


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)


Fall a) E<E0

C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)= (A+B) )

Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

ik+ik-

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C ex + D e-x


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)


Fall a) E<E0

reel ) C=0 weil sonst II(x!1) divergiert

C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)= (A+B) )

Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

ik+ik-

1. Potentialwall reflektiert vollständig2. Wellenfunktion dringt in den klassisch verbotenen Bereich ein

Energieerhaltung??? E t > ~

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C ex + D e-x


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)


Fall b) E>E0

klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter

(x)=C eik‘x + D e-ik‘x D=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen

D=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C ex + D e-x


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)


Fall b) E>E0

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C ex + D e-x

I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

Fall b) E>E0

(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen

C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0)2. Wellenfunktion

|A|2

|B|2

|D|2

(II)(I)



x

E(x

)

E0


Bereich (II):

2

(x)=C ex + D e-x

|A|2

|B|2

|D|2


I(x=0)=II(x=0) ) A+B=C+D (i)

) ik(A-B)=-(C-D) (ii)

1. Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0)2. Wellenfunktion

9. Grundlagen der QuantenmechanikVeranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen:

gausspaket-auf-potentialstufe-mit-halber-energie07_06b.mov

E = ½ Ekin

Ort

Impuls+ auf Stufe zu- reflektiert

Teilchen läuft mit doppelter Energie der Stufe auf die Stufe zuein klassisches Teilchen würde mit 1/2Ekin weiterlaufen!


Teilchen läuft “bergab”: klassisch würde es beschleunigt weiterlaufen

gausspaket-potentialstufe-bergab07_06c.mov


Potentialstufe in 2 Dimensionen

gausspaket-2dim-potentialstufe-07_08a.mov

Farbcode:Farbe: PhaseSättigung: Amplitude

9. Grundlagen der Quantenmechanik9.6. Der Tunneleffekt

(II)(I)

x

E(x

)

E0

Idee: kann man die Welle “freisetzen”??


(I) (II) (III)

x0 a

E0

(x)=A eikx + B e-ikx

(x)=A‘ eikx

Randbedingungen:

I(0)=II(0) , II(a)=III(a)

Transmissionskoeffizient (E<E0)

für a >>1(dicke Barriere)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

T

ENERGY (eV)

Höhe 0.3eV, Breite 1nm

(x)=C ex + D e-x


Transmission hängt ab von:1. Barrierenhöhe (Exponentiell)2. Barrierenbreite a3. Masse

Makroskopisch irrelevant


Ekin<E

Fragen:1. Energieerhaltung ???2. Wie lange braucht das Teilchen?


9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen

Alpha Zerfall: Pollonium 212Po -> + 208Pb + 8.78 MeV

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/alptun2.html#c1

208Pb

He

Kernkräfte

Coulombabstossung

1012 Tunnel-wahrscheinlichkeit

Coulomb versus Kasten!

9. Grundlagen der Quantenmechanik9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen

9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop

•Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional•Dämpfung!!!•Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation)

Elektronen in Metallspitzequasi frei

Wand: Potentialstufe

Zwischenraum: Potentialbarriere

x

0 a

Spitze

Substrat

Zwischenraum

9. Grundlagen der Quantenmechanik9.6.1. Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen

9.6.2. Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop

•Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional•Dämpfung!!!•Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation)

STM-still07_18a.mov

STM-scanning07_18c.mov

9. Grundlagen der Quantenmechanik9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator

Klassische Lösung: harmonische SchwingungOszillation zwischen Ekin und Epot

Stationäre Schrödingergleichung:

Potential:

Enn2

E(x

)E0




Potential:

(x)

(x)|2

Substituiere:

Lösung für C=1

E=1/2 ~

Gausskurve:1. Tunnels in den klassich verbotenen Bereich2. Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0 (Hier ist klassisch ein Minimum!)




Potential:

(x)

(x)|2

Substituiere:

Lösung für C=1

E=1/2 ~

Hermitesche Polynome


Harmonischer Oszillator:1. Energieniveus äquidistant (~)2. Nullpunkstenergie 1/2 (~)

Kastenpotential:En n2

Bohrsche Atom: En 1/n2

9. Grundlagen der QuantenmechanikRayleigh, Jeans Strahlungsgesetzt

Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh diskret

9. Grundlagen der QuantenmechanikVergleich QM – Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit

=20

=4

=0


Überlagerung von Zuständen 0,1

Ort

Impuls

05_03c.mov

Merke:Grosse Auslenkung

Kleiner mittleren Impuls!


Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden

Gauss:läuft NICHT ausseinander(dank Potential)

Wellenpaket im Impuls undOrtsraum

05_10c.mov

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