บทที่6 เทคนิคการอินทิเกรต ...¸šทที่...

บทที่ 6เทคนิคการอินทิเกรต

(Techniques of Integration )ถึงแมจะมีสูตรมากมายหลายสูตร ที่ทำใหอินทิเกรตฟงกชันตางๆ ได แตยังมีอินทิกรัล

อีกหลายรูปแบบ ที่ ไมสามารถนำสูตรพื้นฐานมาใชได ดังนั้น เราจำเปนจะตองใช เทคนิคบางประการเขามาชวยในการหา จึงจะหาผลลัพธ ไดสำเร็จ วัตถุประสงคของการศึกษาหัวขอนี้จึงเนนในแงของการเพิ่มเติมและพัฒนาเทคนิคของการอินทิเกรตใหเปนระบบ เพื่อที่นักศึกษา จะสามารถเลือกใชระเบียบวิธีที่เหมาะสมกับรูปแบบของตัวถูกอินทิเกรต ซึ่งจัดเปนรูปแบบตางๆ ไดเทคนิคสำคัญของการอินทิเกรต แบงได ดังนี้

1. อินทิกรัลของฟงกชันตรีโกณมิติรูปแบบแนนอน (Certain Trigonometric Integrals)2. การหาปริพันธ โดยแทนคาฟงกชันตรีโกณมิติ (Integration by Trigonometric

Substitutions)3. การหาปริพันธโดยใชเศษสวนยอย (Integration by partial fractions)4. การหาปริพันธโดยใชวิธีทีละสวน (Integration by parts)

6.1 สูตรการอินทิเกรตพื้นฐาน (Basic Integration Foormulas)6.1.1 สรุปสูตรของการอินทิเกรตพื้นฐานที่เราทราบและมีการใชอยางกวาง

ขวางกำหนดให u และ v เปนฟงกชันของ x, และ C , k และ n เปนคาคงตัวใดๆ แลวจะได

1. ∫ du = u+ C

2. ∫ kdu = ku+ C

.3 ∫undu =

un+1

n+ 1+ C เมื่อ n ̸= −1

4. ∫ (du± dv) =∫du±

∫dv

241

แคลคูลัส 1 สำหรับวิศวกร ผูชวยศาสตราจารยชนกกานต สหัสทัศน

5. ∫ cosudu = sin u+ C

6. ∫ sin udu = − cosu+ C

7. ∫ sec2 udu = tanu+ C

8. ∫ csc2 udu = − cotu+ C

9. ∫ secu tanudu = secu+ C

10. ∫ cscu cotudu = − cscu+ C

11. ∫ tanudu = ln | secu|+ C

12. ∫ cotudu = ln | sinu|+ C

13. ∫ secudu = ln | secu+ tanu|+ C

14. ∫ cscudu = ln | cscu− cotu|+ C

15. ∫ du√a2 − u2

= arcsin(ua) + C, u2 < a2

16. ∫ du

a2 + u2=

1

aarctan(u

a) + C, a > 0

17. ∫ du

u√u2 − a2

=1

aarcsec |u

a|+ C, |u| > a > 0

18. ∫ sinhudu = coshu+ C

19. ∫ coshudu = sinhu+ C

20. ∫ sech2 udu = tanhu+ C

21. ∫ csch2 udu = − cothu+ C

22. ∫ sech u tanhudu = − sechu+ C

23. ∫ csch u cothudu = − cschu+ C

24. ∫ tanh udu = ln cosh u+ C

25. ∫ cothudu = ln | sinhu|+ C

26. ∫ du√a2 + u2

= arcsinh u

a+ C, a > 0

242

ผูชวยศาสตราจารยชนกกานต สหัสทัศน แคลคูลัส 1 สำหรับวิศวกร

27. ∫ du√u2 − a2

= arccosh u

a+ C, |u| > a

28.

∫du

a2 − u2=

1

aarctanh u

a+ C ; |u| < a,

1

aarccoth u

a+ C ; |u| > a,

6.2 การอินทิเกรตของฟงกชันตรีโกณมิติรูปแบบแนนอน(Integration of Certain Trigonometric)

การอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณมิติไดกลาวมาแลวในบทที่ 5 และในหัวขอนี้จะไดกลาวถึงเทคนิคการอินทิเกรต ของฟงกชันตรีโกณมิติที่มีรูปแบบตางๆ ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้

6.2.1 เทคนิคการอินทิเกรตแบบที่ 1 อินทิเกรตอยูในรูป∫sinn x cosm xdx

เมื่อ m หรือ n เปนจำนวนเต็มบวกใดๆกรณีที่ 1 ถากำลังของ sinx คือ n เปนจำนวนเลขคี่บวก

1). แทนคา u = cosx และ du = − sinxdx

2). กระจาย sinn−1 x cosm x[sinxdx]

3). ใชเอกลักษณ sin2 x = 1− cos2 xและเปลี่ยน sinn−1 ใหอยูในรูปของ u = cos x

ตัวอยาง 6.2.1 จงหา ∫ sin3 x cos2 xdxวิธีทำ จะพบวากำลังของ sinx คือ 3 ซึ่งเปนจำนวนคี่

ให u = cos x ดังนั้น du = − sin xdx ดังนั้น

243


∫sin3 x cos2 xdx =

∫sin2 x sinx cos2 xdx

=

∫(1− cos2 x) cos2 x sin xdx

=

∫(cos2 x− cos4 x) sinxdx

=

∫(u2 − u4) sinx

du

(− sinx)

= −∫

(u2 − u4)du

= −u3

3+

u5

5+ C

ดังนั้น ∫sin3 x cos2 xdx = −cos3 x

3+

cos5 x5

+ C

ตัวอยาง 6.2.2 จงหา ∫ sin3 x cos9 xdxวิธีทำ จะพบวากำลังของ sinx คือ 3 ซึ่งเปนจำนวนคี่

ให u = cos x ดังนั้น du = − sin xdx ดังนั้น


∫sin2 x sinx cos9 xdx

=

∫(1− cos2 x) cos9 x sin xdx

=

∫(cos9 x− cos11 x) sin xdx

=

∫(u9 − u11) sinx

du

(− sinx)

= −∫

(u9 − u11)du

= −u10

10+

u11

11+ C

ดังนั้น ∫sin3 x cos9 xdx = −cos10 x

10+

cos11 x5

+ C

244


กรณีที่ 2 ถาเลขยกกำลัง m ของ cosx เปนจำนวนคี่บวก1) แทนคา u = sinx และ du = cosxdx2) กระจายฟงกชันเปน sinn x cosm−1 x(cosxdx)3) ใชเอกลักษณ cos2 x = 1− sin2 x

และแปลง cosm−1 x ใหอยูในรูปของ u = sinx

ตัวอยาง 6.2.3 จงหา ∫ sin2 x cos5 xdxวิธีทำ จะพบวากำลังของ cosx คือ 5 ซึ่งเปนจำนวนคี่

ให u = sinx ดังนั้น du = cos xdx ดังนั้น


∫sin2 x cos4 x cosxdx

=

∫sin2 x(1− sin2 x)2 cosxdx

=

∫u2(1− u2)2 cos x du

cos x

=

∫u2(1− u2)2du

=

∫u2(1− 2u2 + u4)du

=

∫(u2 − 2u4 + u6)du

=u3

3− 2u5

5+

u7

7+ C

ดังนั้น ∫sin2 cos5 xdx =

sin3 x

3− 2 sin5 x

5+

sin7 x

7+ C

245


กรณีที่ 3 ตัวเลขชี้กำลัง n และ m เปนจำนวนคู1). ใชเอกลักษณ sin2 x =

1

2[1− cos 2x] และ cos2 x =

1

2[1 + cos 2x]

2). ลดกำลังของฟงกชันไซน (sinx) และฟงกชันโคไซน (cosx)

ตัวอยาง 6.2.4 จงหา ∫ sin4 xdx

วิธีทำ

∫sin4 xdx =

1

4

∫(1− cos 2x)2dx

=1

4

∫(1− 2 cos 2x+ cos2 2x)dx

=1

4(x− 2

∫cos 2xdx+

∫cos2 2xdx)

=1

4{x− sin 2x+

∫(1 + cos 4x

2)dx}

=1

4{x− sin 2x+

∫1

2dx+

∫ cos 4x2

}dx

=1

4{x− sin 2x+

1

2x+

1

8sin 4x}+ C

=x

4− sin 2x

4+

x

8+

sin 4x

32+ C

ดังนั้น ∫sin4 xdx =

x

4− sin 2x

4+

x

8+

sin 4x

32+ C

246


จากตัวอยางที่กลาวมาจะพบวา เลขชี้กำลังของ sin x และ cos x ตางก็เปนจำนวนเต็มบวก แตถาหากวาเลขชี้กำลังของ sin x และ cos x ไมเปนจำนวนเต็มบวกก็ยังคงใชหลักการคิดในทำนองเดียวกันไดอีก ดังตัวอยาง 6.2.5 ดังนี้ตัวอยาง 6.2.5 จงหา ∫ cos3 x√

sinxdx

วิธีทำ ให u = sin x แลว du = cos xdx ดังนั้น∫ cos3 x√sin x

dx =

∫ cos2 x√sinx

cos xdx

=

∫1− sin2 x√

sinxcosxdx

=

∫1− u2

√u

cosx du

cosx

=

∫1− u2

√u

du

=

∫1− u2

u12

du

=

∫(u

−12 − u

32 )du

= 2u12 − 2

5u

52 + C

จะไดวา ∫ cos3 x√sinx

dx = 2 sin 12 x− 2

5sin 5

2 x+ C

6.2.2 เทคนิคการอินทิเกรตแบบที่ 2 อินทิเกรตอยูในรูป∫tann x secm xdx

วิธีการหาคาอินทิเกรต ที่ฟงกชันอินทิเกรตอยูในลักษณะนี้ ∫ tann x secm xdx ก็จะมีวิธีทำที่คลายๆ กันกับเทคนิคการอินทิเกรตแบบที่ 1 ที่ไดกลาว ซึ่งขึ้นอยูกับคา m และ n วาเปนจำนวนคูหรือจำนวนคี่ สามารถแยกเปนกรณีตางๆ ไดดังนี้กรณีที่ 1 เมื่อ m เปนจำนวนคู

1) ใหแทนคา u = tanx และ du = sec2 xdx2) กระจาย tann x secm x เปน tann x secm−2 x sec2 x3) ใชเอกลักษณ sec2 x = 1 + tan2 x และกระจาย secm−2 x ในรูปของ u = tanx

ตัวอยาง 6.2.6 จงหา ∫ tan3 x sec6 xdxวิธีทำ ให u = tanx ดังนั้น du = sec2 xdx

247


และจากเอกลักษณ sec2 x = 1 + tan2 x จะไดวา

sec4 x = (1 + tan2 x)2

= 1 + 2 tan2 x+ tan4 x

ดังนั้น ∫tan3 x sec6 xdx =

∫tan3 x sec2 x sec4 xdx

=

∫u3 sec2 x(1 + tan2 x)2

du

sec2 x

=

∫u3(1 + 2u2 + u4)du

=

∫(u3 + 2u5 + u7)du

=u4

4+

2u6

6+

u8

8+ C

=u4

4+

u6

3+

u8

8+ C

นั่นคือ ∫tan3 x sec6 xdx =

tan4 x

4+

tan6 x

3+

tan8 x

8+ C

กรณีที่ 2 ถา m และ n เปนจำนวนคี่1) ใหแทนคา u = secx และ du = secx tanxdx

2) กระจาย tanx secm x เปน tann−1 x secm−1 x(secx tanx)

3) ใชเอกลักษณ tan2x = sec2 x− 1 และเปลี่ยน tann−1 x ใหอยูในรูป u = secx

ตัวอยาง 6.2.7 จงหา ∫ tan5 x secxdxวิธีทำ ให u = secx ดังนั้น du = secx tanxdx

และจากเอกลักษณ tan2 x = sec2 x− 1 จะไดวา

tan4 x = (sec2 x− 1)2

= sec4 x− 2 sec2 x+ 1

248


ดังนั้น ∫tan5 x secxdx =

∫tan4 x tanx secxdx

=

∫(sec2 x− 1)

2(tanx secx)dx

=

∫(u2 − 1)

2(tanx secx) du

tanx secx

=

∫(u2 − 1)

2du

=

∫(u4 − 2u2 + 1)du

=u5

5− 2u3

3+ u+ C

นั่นคือ ∫tan5 x secxdx =

sec5 x5

− 2 sec33

+ secx+ C

กรณีที่ 3 ถา n เปนจำนวนคู และ m เปนจำนวนคี่1) ใหใชเทคนิคการอินทิเกรตทีละสวน โดยที่ให u = tanx ดังนั้น du = sec2 x และ

dv = secx tanxdx ดังนั้น

dv = secx tanx∫dv =

∫secx tanxdx

v = secx

2) ลดกำลังของเลขชี้กำลังของ tann x และ secm x

3) ใชเอกลักษณ

tan2 x = sec2 x− 1

∴ sec2 x = tan2 x+ 1

249


ตัวอยาง 6.2.8 จงหา ∫ tan7 x sec4 xdxวิธีทำ ให u = secx ดังนั้น du = secx tanxdx จะไดวา∫

tan7 x sec4 xdx =

∫tan6 x tanx sec3 x secxdx

=

∫(sec2 x− 1)3 sec3 x secx tanxdx

=

∫(sec6 x− 3 sec4 x+ 3 sec2 x− 1) sec3 x secx tanxdx

=

∫(u6 − 3u4x+ 3u2x− 1)u3du

=

∫(u9 − 3u7 + 3u5 − u3)du

=1

10sec10 x− 3

8sec8 x+

3

6sec6 x− 1

4sec4 x+ C

6.2.3 เทคนิคการอินทิเกรตแบบที่ 3 อินทิเกรตอยูในรูป∫cotn x cscm xdx

วิธีการหาคาอินทิเกรต ที่ฟงกชันอินทิเกรตอยูในลักษณะนี้ ∫ cotn x cscm xdx ก็จะมีวิธีทำที่คลายๆ กันกับเทคนิคการอินทิเกรตแบบที่ 2 ที่ไดกลาว ซึ่งขึ้นอยูกับคา m และ n วาเปนจำนวนคูหรือจำนวนคี่ และใชเอกลักษณ csc2 x = cot2 x+ 1 หรือ cot2 x = csc2 x− 1

ตัวอยาง 6.2.9 จงหา ∫ csc4x cot2 xdxวิธีทำ ให u = cot x ดังนั้น du = − csc2 xdx จะไดวา∫

csc4x cot2 xdx =

∫csc2x cot2 x csc2 xdx

=

∫(cot2 x+ 1) cot2 x csc2 xdx

=

∫(u2 + 1)u2 csc2 x du

− csc2 x

= −∫(u2 + 1)u2du

=

∫(u4 + u2)du

= −(u5

5+

u3

3) + C

ดังนั้น ∫csc4x cot2 xdx = −(

cot55

+cot33

) + C

250


6.2.4 เทคนิคการอินทิเกรตแบบที่ 4 อินทิเกรตอยูในรูป1) ∫ sin(ax) cos(bx)dx2) ∫ sin(ax) sin(bx)dxและ 3) ∫ cos(ax) cos(bx)

ในกรณีที่ 1-3 ถา a = b คิดวิธีการอินทิ เกรต ตามหัวขอ 6.2.1 และสำหรับกรณีa ̸= ±b จะใชเอกลักษณมาชวยดังนี้

sin{(a+ b)x} = sin ax cos bx+ sin bx cos ax (6.1)sin{(a− b)x} = sin ax cos bx− sin bx cos ax (6.2)

นำสมการ (6.1)+(6.2) จะได

sin{(a+ b)x}+ sin{(a− b)x} = 2 sin ax cos bx

ดังนั้น∫

sin ax cos bxdx =1

2

∫sin{(a+ b)x}+ sin{(a− b)x}dx

นั้นคือ∫

sin ax cos bxdx = −1

2{cos(ax+ bx)

a+ b+

cos(ax− bx)

a− b}+ C (6.3)

ในทำนองเดียวกันสามารถพิสูจนไดวา∫sin ax sin bxdx =

1

2{sin(ax− bx)

a− b− sin(ax+ bx)

a+ b}+ C (6.4)

และ∫

cos ax cos bxdx =1

2{sin(ax− bx)

a− b+

sin(ax+ bx)

a+ b}+ C (6.5)

ตัวอยาง 6.2.10 ∫sin 3x cos 7xdx

วิธีทำ ∫sin 3x cos 7xdx =

1

2

∫{sin 10x+ sin(−4x)}dx

=1

2

∫{sin 10x− sin(4x)}dx

=1

20(− cos 10x)− 1

8(− cos 4x) + C

=1

8cos 4x− 1

20cos 10x+ C

251


แบบฝกหัด 6.2

จงหา

1. ∫ sin2 x cos3 xdx

2. ∫ sin 3x sin 2xdx

3. ∫ cos4 2x sin3 2xdx

4. ∫ sin4 3x cos2 3xdx

5. ∫ tan3 3x sec4 3xdx

6. ∫ sin 2x cos 4xdx

7. ∫ sin3 x cos xdx

8. ∫ tan3 3x sec 3xdx

9. ∫ sin 3x cos 5xdx

10. ∫ cot 3x csc4 3xdx

11. ∫ cot3 xcscx dx

12. ∫ ( secxtanx

)4dx

�� △ N∁▽Ha♢�⋆�� △ N∁▽Ha♢�⋆

252


6.3 การอินทิเกรตโดยแทนคาฟงกชันตรีโกณมิติ(Integration by Trigonometric Substitutions)ในการอินทิเกรตบางครั้ง เราจะเห็นวาฟงกชันที่ถูกอินทิเกรตอยูในรูปของ√a2 − b2x2

หรือ √a2 + b2x2 หรือ √

b2x2 − a2

การหาคาอินทิเกรตของฟงกชันดังกลาวจำเปนตองแปลงรูปใหมโดยรูปแบบใหมที่เราแปลงไดนั้น ตองสามารถอินทิเกรตไดงายขึ้น สามารถแบงได 3 รูปแบบดังนี้

1) ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูป √a2 − b2x2

2) ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูป √a2 + b2x2

3) ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูป √b2x2 − a2

6.3.1 ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูป √a2 − b2x2

วิธีการหา ให x =a

bsin θ หรือ sin θ =

bx

aดังนั้น

a2 − b2x2 = a2 − b2a2

b2sin2 θ

= a2 − a2 sin2 θ

= a2(1− sin2 θ)

= a2 cos2 θ

จะไดวา

√a2 − b2x2 = a cos θ (6.6)

และ

dx =a

bcos θdθ (6.7)

นำสมการ 6.6 และ 6.7 แทนคาในโจทยจะไดรูปใหมซึ่งสามารถอินทิเกรตได

ตัวอยาง 6.3.1 จงหา ∫ √9− x2dx

วิธีทำ ให x = 3 sin θ ดังนั้น dx = 3 cos θdθ

253


จะไดวา ∫ √9− x2dx =

∫ √9− (3 sin θ)23 cos θdθ

=

∫ √9− 9 sin2 θ3 cos θdθ

=

∫ √9(1− sin2 θ)3 cos θdθ

=

∫ √9(cos2 θ)3 cos θdθ

=

∫3 cos θ3 cos θdθ

= 9

∫cos2 θdθ (6.8)

และเนื่องจากcos2 θ =

1

2(1 + cos 2θ) (6.9)

นำสมการ (6.9) ไปแทนในสมการ (6.8)จะได ∫ √

9− x2dx = 9

∫1

2(1 + cos 2θ)dθ

=9

2θ +

9 sin 2θ

4+ C

=9

2θ +

9

42 sin θ cos θ + C (6.10)

เนื่องจาก x = 3 sin θ ดังนั้น θ = arcsin(x3)

จากรูป 6.1 จะได cos θ =

√9− x2

3และจากสมการ (6.10) จะไดวา∫ √

9− x2dx =9

2arcsin(x

3) +

x√9− x2

2+ C

ตัวอยาง 6.3.2 จงหา ∫ √4− 25x2

xdx

วิธีทำ ให x =2

5sin θ ดังนั้น dx =

2

5cos θdθ

และ√4− 25x2 =

√4− 25(

2

5sin θ)2

=√4− 4 sin2 θ

=√4(1− sin2 θ)

= 2 cos θ

254


รูปที่ 6.1: รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่สรางจาก θ = arcsin(x3)

ดังนั้น ∫ √4− 25x2

xdx =

∫2 cos θ25

sin θ(2

5cos θdθ)

=

∫2 cos2 θ

sin θdθ

= 2

∫1− sin2 θ

sin θdθ

= 2

∫1

sin θdθ − 2

∫sin θdθ

= 2

∫csc θdθ − 2 sin θdθ

= 2 ln | csc θ − cot θ|+ 2 cos θ + C (6.11)

จากรูป 6.2 และสมการ (6.11) จะได∫ √

4− 25x2

xdx = 2 ln | 2

5x−

√4− 25x2

5x|+ 3

√4− 25x2

2+ C

= 2 ln |2−√4− 25x2

5x|+ 3

√4− 25x2

2+ C

255


รูปที่ 6.2: รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่สรางจาก θ = arcsin(5x2)

6.3.2 ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูป √a2 + b2x2


btan θ เมื่อ −π

2< θ <

π

2จะไดวา

dx =a

bsec2 θdθ (6.12)

และ√a2 + b2x2 =

√a2 +

a2b2 tan2 θ

b2

=√

a2 + a2 tan2 θ

= a√1 + tan2 θ

= a sec θ (6.13)

นำสมการ (6.12) และ (6.13) มาแทนคาในโจทยที่เราตองการหาคาอินทิเกรต จะไดตัวถูกอินทิเกรตรูปแบบใหม ซึ่งรูปแบบใหมนี้จะชวยใหเราอินทิเกรตไดงายขึ้น

256


ตัวอยาง 6.3.3 จงหา ∫ dx

x√9 + 4x2

วิธีทำ ให x =3

2tan θ ดังนั้น dx =

3

2sec2 θdθ และ

√9 + 4x2 =

√9 + 4(

3

2tan θ)2

=√

9 + 9 tan2 θ

=√

9(1 + tan2 θ)

= 3√

(1 + tan2 θ)

= 3 sec θ

ดังนั้น ∫dx

x√9 + 4x2

=

∫ 32

sec2 θdθ(32

tan θ)(3 sec θ)

=1

3

∫csc θdθ

=1

3ln | csc θ − cot θ|+ C (6.14)

และจากกำหนดให x =3

2tan θ สามารถสรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได คือ

รูปที่ 6.3: รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่สรางจาก θ = arctan(2x3)

257


จากรูป 6.3 และสมการ (6.14) จะได∫dx

x√9 + 4x2

=1

3ln |

√9 + 4x2

2x− 3

2x|+ C

=1

3ln |

√9 + 4x2 − 3

2x|+ C

6.3.3 ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูป √b2x2 − a2


bsec θ จะไดวา sec θ =

bx

aสามารถวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได

ดังรูป 6.4 และ

รูปที่ 6.4: รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่สรางจาก θ = arcsec(bxa)

√b2x2 − a2 =

√b2(

a

bsec θ)2 − a2

=√a2 sec2 θ − a2

= a√

sec2 θ − 1

= a tan θ

จะไดวา√b2x2 − a2 = a tan θ (6.15)

258


และ

dx =a

bsec θ tan θdθ (6.16)

นำสมการ (6.15) และ (6.16) แทนคาในโจทยจะไดรูปใหมซึ่งสามารถอินทิเกรตได

ตัวอยาง 6.3.4 จงหา ∫ dx√25x2 − 4

วิธีทำ จากกำหนดให x =2

5sec θ สามารถสรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได คือ

รูปที่ 6.5: รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่สรางจาก θ = arcsec(5x2)

และเนื่องจาก x =2

5sec θ ดังนั้น dx =

2

5sec θ tan θdθ และ

√25x2 − 4 =

√25(

2

5sec θ)2 − 4

=√4 sec2 θ − 4

=√

4(sec2−1)

= 2 tan θ

259


ดังนั้น∫

dx√25x2 − 4

=

∫ 2

5sec θ tan θdθ

2 tan θ

=1

5

∫sec θdθ

=1

5ln | sec θ + tan θ|+ C (6.17)

จากรูป 6.5 และสมการ (6.17) จะได∫dx√

25x2 − 4=

1

5ln |5x

2+

√25x2 − 4

2|+ C

=1

5ln |5x+

√25x2 − 4

2|+ C

ตัวอยาง 6.3.5 จงหา ∫ √x2 − 4

xdx

วิธีทำ ให x = 2 sec θ ดังนั้น dx = 2 sec θ tan θdθ

ดังนั้น ∫ √x2 − 4

xdx =

∫ √(2 sec θ)2 − 4

x2 sec θ tan θdθ

= 2

∫ √tan2 θ tan θdθ

= 2

∫(sec2 θ − 1)dθ

= 2

∫sec2 θdθ − 2

∫dθ

= 2 tan θ − 2θ + C

= 2

√x2 − 4

2− 2 arcsec(x

2) + C

260



จงหาคาของ

1. ∫ dx

(4− x2)32

2. ∫ dx

(9 + x2)2

3. ∫ √25− x2

xdx

4. ∫ √x2 + 4dx

5. ∫ dx

x2√9− x2

6. ∫ x arcsinxdx

7. ∫ x3√a2 − x2dx

8. ∫ dx

x2√a2 − x2

9. ∫ x arccosxdx

10. ∫ ex√1− e2xdx

�� △ N∁▽Ha♢�⋆�� △ N∁▽Ha♢�⋆

261


6.4 การอินทิเกรตโดยใชเศษสวนยอย(Integration by Partial Fractions)ในการอินทิเกรตบางครั้งสามารถทำไดงายขึ้นโดยการเขียนฟงกชันปริพันธใหอยูในรูป

เศษสวนยอย แลวหาอินทิเกรตของผลรวมของฟงกชันแทน เพื่อใหเขาใจวัตถุประสงคของการหาอินทิเกรตโดยวิธีแยกเศษสวนยอยโดยรวดเร็ว จะแสดงตัวอยางวิธีบวกเศษสวนยอยของ 2 จำนวนดังนี้

5

3x+ 1+

2

5x− 1=

5(5x− 1) + 2(3x+ 1)

(3x+ 1)(5x− 1)

=31x− 3

(3x+ 1)(5x− 1)

=31x− 3

15x2 + 2x− 1

และถานักศึกษาตองการหาคาของ ∫31x− 3

15x2 + 2x− 1dx

แนวคิดของเราก็คือ1. เราตองแยก 31x− 3

15x2 + 2x− 1=

5

3x+ 1+

2

5x− 1

2. และเราทราบวา ∫ 31x− 3

15x2 + 2x− 1dx =

∫(

5

3x+ 1+

2

5x− 1)dx

ดังนั้น ∫31x− 3

15x2 + 2x− 1dx =

∫(

5

3x+ 1+

2

5x− 1)dx

=5

3ln|3x+ 1|+ 2

5ln|5x− 1|+ C

แตถาเปนการหาปริพันธของฟงกชันตรรกยะอื่นซึ่งเราไมทราบ เราตองการวิธีการคิดยอนกลับเพื่อหาเศษสวนยอยตางๆ เหลานั้น วิธีการหาเศษสวนยอยเหลานั้น เรียกวา วิธีการแยกเศษสวนยอย (Partial Fraction) เชน ถาตองการแยก 31x− 3

15x2 + 2x− 1เราจะตองอาศัยวิธีคิด

ดังนี้สมมติให

31x− 3

15x2 + 2x− 1=

31x− 3

(3x+ 1)(5x− 1)

=A1

3x+ 1+

A2

5x− 1

262


แลวหาคา A1, A2 ตอไป การแยกเศษยอยของฟงกชันตรรกยะ P (x)

Q(x)เมื่อ P (x) และ Q(x) เปน

พหุนามที่ไมมีตัวประกอบรวม สามารถทำไดโดยมีลำดับขั้นตอนดังนี้1. ถาระดับขั้นของ P (x) มากกวา ระดับขั้นของ Q(x) ใหหารยาว P (x) ดวย Q(x)

เสียกอน และไดผลลัพธดังนี้P (x)

Q(x)= S(x) +

R(x)

Q(x)

ซึ่ง S(x) และ R(x) เปนพหุนาม โดยที่ระดับขั้นของ R(x) นอยกวา Q(x)

2. ถา (x − a)m เปนตัวประกอบของ Q(x) แลวจะเกิดผลบวกของเศษสวนยอย m

เศษสวนยอย จากตัวประกอบ (x− a)m ในรูปของ

A1

(x− a)+

A2

(x− a)2+

A3

(x− a)3+ . . .+

Am

(x− a)m

3. ถา (ax2 + bx+ c)n เปนตัวประกอบของ Q(x) แลวจะเกิดผลบวกเศษสวนยอย n

เศษสวนยอยจากตัวประกอบ (ax2 + bx+ c)n ในรูปของ

A1x+B1

(ax2 + bx+ c)+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ . . .+

Anx+Bn

(ax2 + bx+ c)n

4. ถาตองการหาอินทิเกรตของฟงกชันตรรกยะ ใหแยกเปนผลบวกของตัวถูกอินทิเกรตของแตละเศษสวนยอย แลวหาผลลัพธโดยวิธีตางๆ ที่เราเรียนรูมาแลว ตามความเหมาะสม

เพื่อใหเขาใจไดงายขึ้น ก็อาจจะขยายความใหละเอียดมากขึ้นไดวา ถานักศึกษาตองการแยกเศษสวนยอยของฟงกชัน P (x)

Q(x)ซึ่ง P (x) มีระดับขั้นนอยกวาระดับขั้นของ Q(x) แลว

สามารถแยกไดเปน 4 กรณี ดังนี้

6.4.1 กรณีตัวประกอบของ Q(x) เปนตัวประกอบเชิงเสนที่ไมซ้ำกัน

Q(x) = (x− a1)(x− a2) . . . (x− an) (6.18)

จะแยกไดP (x)

Q(x)=

A1

(x− a1)+

A2

(x− a2)+ . . .+

An

(x− an)(6.19)

จะเห็นไดวา Q(x) มีตัวประกอบเชิงเสนที่ไมซ้ำกัน n ตัว แตละตัวประกอบ (x−ai) เกิดเศษสวนยอย 1 ตัว ในรูปของ Ai

(x− ai), i = 1, 2, . . . , n และจะตองหาคาคงตัว Ai, i = 1, 2, . . . , n

ตอไป

263


ตัวอยาง 6.4.1 จงหาคา ∫x2 + 2x+ 3

x3 − xdx

วิธีทำ พิจารณาx2 + 2x+ 3

x3 − x=

x2 + 2x+ 3

x(x2 − 1)

=x2 + 2x+ 3

x(x− 1)(x+ 1)

กำหนดx2 + 2x+ 3

x(x− 1)(x+ 1)=

A

x+

B

(x− 1)+

C

(x+ 1)(6.20)

x2 + 2x+ 3

x(x− 1)(x+ 1)=

A(x− 1)(x+ 1) +B(x)(x+ 1) + Cx(x− 1)

x(x− 1)(x+ 1)

x2 + 2x+ 3 = A(x2 − 1) +B(x2 + x) + C(x2 − x)

x2 + 2x+ 3 = Ax2 − A+Bx2 +Bx+ Cx2 − Cx

x2 + 2x+ 3 = (A+B + C)x2 + (B − 1)x− A

เทียบสัมประสิทธิ์ของ x2 1 = A+B + C

เทียบสัมประสิทธิ์ของ x 2 = B − 1

เทียบสัมประสิทธิ์ของ x0 3 = −A

แกสมการไดสัมประสิทธิ์เปน A = −3, B = 3, C = 1

นำคา A,B,C ไปแทนในสมการ (6.20) จะไดx2 + 2x+ 3

x(x− 1)(x+ 1)=−3

x+

3

(x− 1)+

1

(x+ 1)

∴∫

x2 + 2x+ 3

x3 − xdx =

∫x2 + 2x+ 3

x(x− 1)(x+ 1)dx

=

∫(−3

x+

3

(x− 1)+

1

(x+ 1))dx

= −3 ln |x|+ 3 ln |(x− 1)|+ ln |(x+ 1)|+ C

6.4.2 กรณีตัวประกอบบางตัวของ Q(x) เปนตัวประกอบเชิงเสนที่ซ้ำกัน

Q(x) = (x− a1)(x− a2)(x− a3)m

264


จะแยกไดP (x)

Q(x)=

A1

(x− a1)+

A2

(x− a2)+

B1

(x− a3)+

B2

(x− a3)2+ . . .+

Bm

(x− am)m

จะเห็นไดวาในกรณีนี้ Q(x) แยกเศษสวนยอยได m+ 2 เศษสวนยอยจากตัวประกอบ (x− a1) แยกเศษสวนยอยได 1 เศษสวนยอยจากตัวประกอบ (x− a2) แยกเศษสวนยอยได 1 เศษสวนยอยและจากตัวประกอบ (x− a3)

m แยกเศษสวนยอยได m เศษสวนยอยแลวหาคาคงตัว A1, A2, B1, B2, . . ., Bm ตอไป

ตัวอยาง 6.4.2 จงหาคา ∫x+ 8

x3 − 3x+ 2dx

วิธีทำ พิจารณาx+ 8

x3 − 3x+ 2=

x+ 8

(x− 1)2(x+ 2)(6.21)

=A

(x− 1)+

B

(x− 1)2+

C

(x+ 2)(6.22)

x+ 8 = A(x− 1)(x+ 2) +B(x+ 2) + C(x− 1)2 (6.23)

จะหาคา A, B, C โดยเลือกคา x ที่เหมาะสม ดังนี้เลือก x = 1 ; แทนลงในสมการ (6.23) จะได

1 + 8 = A(0) +B(3) + C(0)

9 = 3B

B = 3 (6.24)

เลือก x = −2 ; แทนลงในสมการ (6.23) จะได

−2 + 8 = A(0) +B(0) + C(−3)2

6 = 9C

C =6

9=

2

3(6.25)

เลือก x = 0 ; แทนลงในสมการ (6.23) จะได

8 = A(−1)(2) +B(2) + C(1)

8 = −2A+ 2B + C (6.26)

265


นำคา B และ C จากสมการ (6.24) และ (6.25) ไปแทนในสมการ (6.26) จะได

8 = −2A+ 2(3) +2

3

A = −2

3(6.27)

นำคา A, B และ C จากสมการ (6.27), (6.24) และ (6.25) ไปแทนในสมการ (6.22) จะไดวาx+ 8

x3 − 3x+ 2=

−23

(x− 1)+

3

(x− 1)2+

23

(x+ 2)

∴∫

x+ 8

x3 − 3x+ 2dx =

∫{

−23

(x− 1)+

3

(x− 1)2+

23

(x+ 2)}dx

= −2

3ln |x− 1| − 3

(x− 1)+

2

3ln |x+ 2|

6.4.3 กรณีตัวประกอบของ Q(x) เปนตัวประกอบกำลังสองที่ไมซ้ำกันดังตัวอยาง กำหนดให

Q(x) = (x− a1)(x− a2)(ax2 + bx+ c) (6.28)

และP (x)

Q(x)=

A1

(x− a1)+

A2

(x− a2)+

Bx+D

(ax2 + bx+ c)(6.29)

จะเห็นไดวาเกิดเศษสวนยอยทั้งหมด 3 ตัว คือตัวที่ 1 คือ A1

(x− a1)เกิดจากตัวประกอบ (x− a1)

ตัวที่ 2 คือ A2

(x− a2)เกิดจากตัวประกอบ (x− a2)

และตัวที่ 3 คือ Bx+D

(ax2 + bx+ c)เกิดจากตัวประกอบ ax2 + bx+ c

ตัวอยาง 6.4.3 จงหาคา ∫dx

x5 − x2

วิธีทำ พิจารณา1

x5 − x2=

1

x2(x3 − 1)

=1

x2(x− 1)(x2 + x+ 1)

กำหนดให 1

x5 − x2=

A

x2+

B

x+

C

x− 1+

Dx+ E

x2 + x+ 1(6.30)

266


จะไดวา

1 = A(x− 1)(x2 + x+ 1) +Bx(x− 1)(x2 + x+ 1) + Cx2(x2 + x+ 1)

+ (Dx+ E)x2(x− 1) (6.31)1 = A(x3 − 1) +B(x4 − x) + C(x4 + x3 + x2) +Dx4 + Ex3 −Dx3 − Ex2 (6.32)1 = (B + C +D)x4 + (A+ C + E −D)x3 + (C − E)x2 −Bx− A (6.33)

จะหาคา A และ C โดยเลือกคา x ที่เหมาะสม ดังนี้เลือก x = 0 ; แทนลงในสมการ (6.31) จะได A = −1

เลือก x = 1 ; แทนลงในสมการ (6.31) จะได C =1

3และจะหาคา B, D และ E โดยวิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ จากสมการที่ (6.33) จะไดวา

B = 0

B + C +D = 0

A+ C + E −D = 0

C − E = 0

ดังนั้น E =1

3

D = −1

3

นำคา A, B, C , D และ E ที่ไดไปแทนในสมการ (6.30) จะได1

x5 − x2= − 1

x2+

0

x+

13

x− 1+

−13x+ 1

3

x2 + x+ 1

= − 1

x2+

1

3(x− 1)− (x− 1)

3(x2 + x+ 1)

ดังนั้นจะไดวา∫dx

x5 − x2=

∫{− 1

x2+

1

3(x− 1)− (x− 1)

3(x2 + x+ 1)}dx

= −∫

dx

x2+

1

3

∫dx

(x− 1)− 1

3

∫x− 1

(x2 + x+ 1)dx

=1

x+

1

3ln |x− 1| − 1

6

∫(2x+ 1− 3)

(x2 + x+ 1)dx

=1

x+

1

3ln |x− 1| − 1

6ln |x2 + x+ 1|+ 1

2

∫dx

(x+ 12)2 + 3

4

=1

x+

1

6ln (x− 1)2

x2 + x+ 1+

1√3

arctan 2x+ 1√3

+ C

267


6.4.4 กรณีตัวประกอบของ Q(x) เปนตัวประกอบกำลังสองที่ซ้ำกันดังตัวอยาง กำหนดให

Q(x) = (x− a1)(ax2 + bx+ c)

m (6.34)

และP (x)

Q(x)=

A1x+B1

ax2 + bx+ c+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ . . .+

Amx+Bm

(ax2 + bx+ c)m+

D

(x− a1)(6.35)

จะเห็นไดวา เกิดเศษสวนยอยทั้งหมด m + 1 ตัว โดยเกิดเศษสวนยอย m ตัว จากตัวประกอบ(ax2 + bx+ c)m และเศษสวนยอย 1 จากตัวประกอบ (x− a1)

ตัวอยาง 6.4.4 จงหาคาของ ∫x3 − 3x

(x2 + 1)2dx

วิธีทำ พิจารณาx3 − 3x

(x2 + 1)2=

Ax+B

(x2 + 1)2+

Cx+D

(x2 + 1)(6.36)

x3 − 3x = (Ax+B) + (Cx+D)(x2 + 1)

x3 − 3x = Ax+B + Cx3 + Cx+Dx2 +D

x3 − 3x = cx3 +Dx2 + (A+ C)x+ (B +D) (6.37)

จะหาคา A, B, C , และ D โดยวิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ จะไดวา จากสมการที่ (6.37) จะไดวา

C = 1

D = 0

A = −4

B = 0

นำคา A, B, C และ D ที่ไดไปแทนในสมการ (6.36) จะไดx3 − 3x

(x2 + 1)2=

(−4)x+ 0

(x2 + 1)2+

(1)x+ 0

(x2 + 1)

∴∫(x3 − 3x

(x2 + 1)2)dx =

∫(

(−4)x

(x2 + 1)2+

x

(x2 + 1))dx

=2

(x2 + 1)+

1

2ln |x2 + 1|+ C

268




1. ∫ xdx

x2 − 3x− 4

2. ∫ x2 − 3x− 1

x3 + x2 − 2xdx

3. ∫ dx

x3 + x

4. ∫ 2x3dx

(x2 + 1)2

5. ∫ x3 + x− 1

(x2 + 1)2dx

6. ∫ dx

e2x − 3exdx

7. ∫ dx

x2 + 7x+ 5

8. ∫ exdx

x3 + x

9. ∫ dx

ex(ex + 1)2

10. ∫ tan θ

1− sin θdθ

�� △ N∁▽Ha♢�⋆�� △ N∁▽Ha♢�⋆

269


6.5 การอินทิเกรตโดยใชวิธีทีละสวน (Integration by Parts)การอินทิเกรตของฟงกชันที่เปนผลคูณ เชน ∫

xexdx, ∫ ex sinxdx, ∫ x lnxdx จำเปนตองใชวิธีหาปริพันธแบบแยกสวน

6.5.1 กฎผลคูณในรูปการอินทิเกรต(Product Rule in Integral Form)เมื่อ u และ v เปนฟงกชันที่หาอนุพันธไดของ x จากกฎการหาอนุพันธการคูณ

d

dx(uv) = u

dv

dx+ v

du

dx

∴ udv

dx=

d

dx(uv)− v

du

dx(6.38)

อินทิเกรตทั้งสองขางของสมการ (6.38) เทียบกับ x จะได∫(u

dv

dx)dx =

∫(d

dx(uv))dx−

∫(vdu

dx)dx∫

udv = uv −∫

vdu

หรือ สูตรการอินทิเกรตโดยใชวิธีแยกสวน คือ∫

u(x)dv = u(x)v(x)−∫

v(x)du (6.39)

หลักการสำคัญของการการอินทิเกรตแบบแยกสวน คือ ตองแยกตัวถูกอินทิเกรตออกเปน 2 สวน สวนหนึ่งเปน u และอีกสวนหนึ่งเปน dv สรุปไดดังนี้

1). เลือก u ซึ่งเมื่อหา du แลว ทำใหเกิดตัวอินทิเกรตใหมเปน ∫vdu

ซึ่งงายกวาการอินทิเกรตเดิม คือ ∫udv

2). เลือก dv ซึ่งเปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดงาย3). พยายามจัดกลุมฟงกชันที่มีหลายฟงกชันในตัวถูกอินทิเกรต ใหเปนกลุมโตที่สุด ให

เปน dv เพื่อลดความยุงยากที่จะเกิดขึ้นในการอินทิเกรตใหม

ตัวอยาง 6.5.1 จงหาคาของ ∫x sinxdx

วิธีทำ สำหรับโจทยขอนี้ มีทางเลือก u และ dv อยู 4 รูปแแบบ ดังนี้รูปแบบที่ 1 กำหนดให

270


u = 1 dv = x sinxdx

du = 0∫dv =

∫x sinxdx

v =∫x sinxdx

∴ รูปแบบที่ 1 ใชไมได เพราะ คา v ที่ไดทำใหโจทยอยูไดรูปแบบเดิม

รูปแบบที่ 2 กำหนดให

u = x dv = sinxdx

du = dx∫dv =

∫sinxdx

v = − cosx

เมื่อลองแทนคา u, v, du, dv ลงไปในสมการ (6.39) จะได∫x sin xdxdv = x(− cos x)−

∫(− cosx)dx

= −x cos x+

∫cosxdx

= −x cos x+ sinx+ C (6.40)

∴ รูปแบบที่ 2 ใชไดและไดคำตอบคือ ∫x sin x− = −x cosx+ sinx+ C


u = x sinx dv = dx

du = (x cos x+ sinx(1))dx∫dv =

∫dx

v = x

เมื่อลองแทนคา u, v, du, dv ลงไปในสมการ (6.39) จะได∫x sinxdxdv = (x sin x)x−

∫(x(x cos x+ sinx(1)))dx (6.41)

จากสมการ (6.41) ดูยุงยากกวาโจทยเดิม ∴ รูปแบบที่ 3 ใชไมได (รูปแบบที่ 3 คุณไมไดไปตอ)

271



u = sinx dv = xdx

du = cos xdx∫dv =

∫xdx

v =x2

2

เมื่อลองแทนคา u, v, du, dv ลงไปในสมการ (6.39) จะได∫x sinxdxdv =

x2

2sinx−

∫x2

2cos xdx (6.42)

จากสมการ (6.42) ดูยุงยากกวาโจทยเดิม ∴ รูปแบบที่ 4 ใชไมได (รูปแบบที่ 4 คุณไมไดไปตอ)

ตัวอยาง 6.5.2 จงหาคาของ ∫lnxdx

วิธีทำ กำหนดให u = lnx, dv = dx

∴ du =1

xdx, v = x

ดังนั้นจากสูตร ∫udv = uv −

∫vdu

จะไดวา ∫lnxdx = x lnx−

∫x1

xdx

= x lnx− x+ C

ตัวอยาง 6.5.3 จงหาคาของ ∫x cos xdx

วิธีทำ กำหนดให u = x, dv = cos xdx∴ du = dx, v = sinx


∫vdu

272


จะไดวา ∫x cosxdx = x sinx−

∫sin xdx

= x sinx+ cos x+ C

ตัวอยาง 6.5.4 จงหา ∫ tan2 x secxdxวิธีทำ กำหนดให u = tanx ดังนั้น du = sec2 xdx และ dv = secx tanxdx ดังนั้น

dv = secx tanx∫dv =

∫secx tanxdx

v = secx

และ จาก ∫udv = uv −

∫vdu จะไดวา∫

tan2 x secxdx = tanx secx−∫

secx sec2 xdx

= tanx secx−∫

secx(tan2 x+ 1)dx

= tanx secx−∫

(secx tan2 x+ secx)dx

= tanx secx−∫

secx tan2 xdx−∫

secxdx

∴ 2

∫tan2 x secxdx = tanx secx−

∫secxdx

ดังนั้น ∫tan2 x secxdx =

1

2(tanx secx−

∫secxdx)

=1

2(tanx secx− ln | secx+ tanx|) + C

273


ตัวอยาง 6.5.5 จงหาคาของ ∫ex cos xdx

วิธีทำ กำหนดให u = ex, dv = cosxdx∴ du = exdx, v = sinx


∫vdu

จะไดวา ∫ex cosxdx = ex sinx−

∫ex sin xdx

= ex sinx− I1 (6.43)

กำหนดให I1 =∫ex sinxdx

ให u = ex, dv = sin xdx

∴ du = exdx, v = − cos x

I1 =

∫ex sinxdx

= −ex cosx+

∫ex cos xdx (6.44)

นำสมการคา I1 จากสมการ (6.44) ไปแทนคาในสมการ (6.43) จะไดวา∫ex cos xdx = ex sinx− I1

= ex sinx− {−ex cosx+

∫ex cos xdx}

= ex sinx+ ex cosx−∫

ex cosxdx

2

∫ex cos xdx = ex sinx+ ex cosx+ C∫ex cos xdx =

ex sinx+ ex cos x2

+ C

274


......

6.1 หมายเหตุ

.

ประโยชน อยาง ยิ่ง ประการ หนึ่ง ของ วิธี อิน ทิ เกรต ที ละ สวน คือ การ สราง สูตร ลด ทอน(Reduction Formulas) ซึ่งคือสูตรที่มีผลลัพธ เปนรูปการอินทิเกรตรูปแบบเดิมทุกประการแตอันดับของฟงกชันตัวถูกอินทิเกรตลดนอยลง ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง 6.5.6 จงสรางสูตรลดทอนสำหรับ In =∫

cosn xdxวิธีทำ เพราะวา cosn x = cosn−1 x cos x ดังนั้นจากสูตรอินทิเกรตทีละสวน

∫udv = uv −

∫vdu

กำหนดให

u = cosn−1 x

du = (n− 1) cosn−2 x(− sin x)dx

dv = cosxdx

v =

∫cos xdx = sin x

In = cosn−1 x sin x+ (n− 1)

∫sin2 x cosn−2 xdx

= cosn−1 x sin x+ (n− 1)

∫(1− cos2 x) cosn−2 xdx

หรือ∫

cosn xdx = cosn−1 x sin x+ (n− 1)

∫cosn−2 xdx− (n− 1)

∫cosn xdx

ดังนั้น

(1 + n− 1)

∫cosn xdx = cosn−1 x sinx+ (n− 1)

∫cosn−2 xdx∫

cosn xdx =1

ncosn−1 x sinx+

n− 1

ncosn−2 xdx

ซึ่งจะเห็นไดวา ถานำสูตรลดทอนนี้ไปใชในการอินทิเกรตฟงกชัน cosn x แตละครั้งที่ใชสูตรจะลด

275


กำลังของ cosn x ลงครั้งละ 2 เสมอ ดังตัวอยาง

n = 1,

∫cos xdx = sinx+ C

n = 2,

∫cos2 xdx =

1

2cosx sinx+

1

2

∫dx

=1

2cosx sinx+

x

2+ C

n = 3,

∫cos3 xdx =

1

3cos2 x sinx+

2

3

∫cosxdx

=1

3cos2 x sinx+

2

3sinx+ C

n = 4,

∫cos4 xdx =

1

4cos3 x sinx+

3

4

∫cos2 xdx

=1

4cos3 x sinx+

3

4(1

2cosx sinx+

x

2) + C

ทำนองเดียวกัน เราสามารถใชวิธีอินทิเกรตทีละสวนในการสรางสูตรลดทอน∫sinn xdx = −sinn−1 x cos x

n+

n− 1

n

∫sinn−2 xdx

ตัวอยาสงการใชสูตรลดทอน ∫sinn xdx

n = 1,

∫sinxdx = − cos x+ C

n = 2,

∫sin2 xdx = −1

2sinx cos x+

1

2

∫dx

= −1

2sinx cos x+

x

2+ C

n = 3,

∫sin3 xdx = −1

3sin2 x cosx+

2

3

∫sinxdx

= −1

3sin2 x cosx− 2

3cos x+ C

n = 4,

∫sin4 xdx = −1

4sin3 x cosx+

3

4

∫sin2 xdx

= −1

4sin3 x cosx+

3

4(−1

2sin x cos x+

x

2) + C

276


ตัวอยาง 6.5.7 จงใชสูตรลดทอนในการคำนวณหา I =∫ π

0sin10 xdx

วิธีทำ

n = 10, I =

∫ π

0

sin10 xdx

= − 1

10sin9 x cos x

∣∣∣π0+

9

10

∫ π

0

sin8 xdx

I =9

10

∫ π

0

sin8 xdx

n = 8, I =9

10(−1

8sin7 x cosx

∣∣∣π0+

7

8

∫ π

0

sin6 xdx)

= (9

10)(7

8)

∫ π

0

sin6 xdx

และทำซ้ำไปเรื่อยๆ จะไดวา

I = (9

10)(7

8)(5

6)

∫ π

0

sin4 xdx

I = (9

10)(7

8)(5

6)(3

4)

∫ π

0

sin2 xdx

และ

I = (9

10)(7

8)(5

6)(3

4)(1

2)

∫ π

0

dx

= (9

10)(7

8)(5

6)(3

4)(1

2)(π

2)



1. ∫ √1 + x

xdx

2. ∫ arctanx

1 + x2dx

3. ∫ dx

x3 + ax2

4. ∫ dx

1 + sinx

277


5. ∫ x2e−3xdx

6. ∫ x3sinxdx

7. ∫ arccos 2xdx

8. ∫ x arctanxdx

9. ∫ x cos2 xdx

10. ∫ dx

e2x + ex

11. ∫ √1− x

1 + x

12. ∫ cos2 xsinx

dx

�� △ N∁▽Ha♢�⋆�� △ N∁▽Ha♢�⋆

278

บทที่6 เทคนิคการอินทิเกรต ...¸šทที่...

Documents

Transcript of บทที่6 เทคนิคการอินทิเกรต ...¸šทที่...