ROLF SCHNEIDER

A D D I T I V E T R A N S F O R M A T I O N E N K O N V E X E R K O R P E R

In der Theorie der konvexen K~Srper spielt die Minkowskische Addition eine bedeutende Rolle. Ein Studium der mit der Addition vertr~iglichen Abbildungen der Menge der konvexen K~Srper in sich diirfte daher von Interesse sein. Es bezeichne R" die Menge der konvexen K~Srper (nichtleere, kompakte, konvexe Teilmengen) des n-dimensionalen euklidischen Vektor- raumes Rn(n >>. 2). Die Minkowskische Addition ist erkl~irt durch

Kl + g 2 = {xl + x 2 l x , ~ K , , i = l, 2} ffir K1, Kz~R".

Eine Abbildung T : R " ~ R" mit T(KI+Kz)=TKI+TKz ffir aUe KI, K2eR" heiBe additive Transformation von R". Die additiven Transformationen von R" sind von kaum zu fiberschauender Vielfalt. Selbst die in [4] und [5] unter- suchten Abbildungen dieser Art, die zus~tzlich stetig (bezfiglich der Haus- dorff-Metrik) und bewegungs~iquivariant sind, sind noch so mannigfach, dab erst durch weitere Bedingungen geometrisch einfach zu beschreibende Ab- bildungen ausgesondert werden k6nnen. Die Forderung der Bewegungs- ~iquivarianz, so geometrisch plausibel sie auch ist, schlieBt von vornherein eine Klasse besonders naheliegender additiver Transformationen aus, namlich die durch Affinit~iten oder (auBer ffir n = 2) durch Bewegungen des ~" induzierten. Im folgenden verzichten wir daher auf eine ~quivarianzfor- derung; wir bestimmen hingegen alle additiven Transformationen von R", die das Volumen der K~Srper unge~indert lassen. Das Volumen sei mit V bezeichnet. Ist ~ :R"~R" eine Abbildung und M=Rn, so schreiben wir {o~X I x~M}=oeM.

SATZ. SeiT eine additive Transformation yon Rn mit V (TK)= V(K) fiir alle K eR". Dann gibt es eine volumentreue Affinitat ~: R"~ R" derart, daft fiir jeden K6rper K e ~" das Bild TK ein Translat yon ~K ist.

Die SchluBfolgerung des Satzes sagt lediglich aus, dab TK ein Translat von ~K ist; es gibt also eine Abbildung t : R" -~ R" mit TK= ~K+ t (K). Die Abbildung T ist also noch nicht vollst/indig beschrieben, solange t nicht bekannt ist, aber eine weitergehende Bestimmung (die vielleicht gar nicht so von Interesse ist) dfirfte schwierig sein. Die einzige Information fiber t ergibt sich aus der Additivit/it von T: Es ist t (K1 +K2)= t (K1)+t (K2) ffir K1, K2 e R". Diese Eigenschaft ist aber wohl zu schwach, um eine explizite Beschreibung des Translationsvektors t zu ermSglichen.

Geometriae Dedicata 3 (1974) 221-228. All Rights Reserved Copyright © 1974 by D. Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland

222 ROLF SCHNEIDER

Beweis des Satzes. Ist K ein Translat yon L, also K = L + {x} mit einem Vektor x ~ " , so schreiben wir im folgenden K_~L. Strecken S1, ..., Sk~R ~ sollen linear unabh~ingig heil3en, wenn die Vektoren P l - q l .. . . ,Pk--qk linear unabh~ingig sind, wobei Pi, qi die Endpunkte yon S i bezeichnen (i= 1,..., k). Die Dimension eines konvexen KSrpers K e R ~ sei mit dim K bezeichnet.

Sei T eine additive Transformation yon R" mit V (TK)= V (K) fiir alle KeR". Sind $1 .... , S,~ R" linear unabh~ingige Strecken, so ist S1 + - " + S, ein n-dimensionales Parallelepiped. Es ist also V (S1 + - " + S , ) > 0 und daher V ( T S a + . . . + T S , ) = V ( T ( S I + . . . + S , ) ) > O , das heiBt d im(TSl+- . .+ +TS,)=n. Fiir i=1,. . . , n gilt ferner V ( S l + " ' + S i - l + S i + x + " ' + S n ) = O und folglich V ( T S I + " ' + T S i _ I + T S i + I + . . . + T S , ) = O . Die K6rper TS1 .... , TSi_x, TSi+l .... , TS,, deren Summe also hOchstens (n-1)-dimen- sional ist und daher in einer Hyperebene liegt, liegen somit selbst in paral- lelen Hyperebenen. Wegen dim (TS1 +.. . + TS,) = n enth~It der K6rper TS eine Strecke, die nicht zu den genannten Hyperebenen parallel ist. Dies gilt fiJr i= 1,..., n. Wir k6nnen daher sukzessive je eine Strecke ~i~TSi (i= = 1, ..., n) w/ihlen derart, dab diese Strecken linear unabh~ingig sind. Sei Hi die (eindeutig bestimmte) Hyperebene durch den Ursprung, die parallel ist zu den Strecken S1 .... , Si-l , Si+~,..., S,. Da die K6rper TSa, TSz ... . , TSi-1, TSi+l,..., TSn in parallelen Hyperebenen liegen und diese wegen ,~j = TSj zu Hi parallel sein mtissen, liegt insbesondere TS1 in einer zu Hi paraIlelen Hyperebene ( i=2, . . . ,n) und damit in einem zu ("lz_<i~,Hi parallelen affinen Unterraum. Dieser Unterraum ist eindimensional, da die Hyperebenen//1 .... , H, in allgemeiner Lage sin& Also ist TS1 eine Strecke. Analog sind TS2 .... , TS, Strecken, und die Strecken TS~,..., TS, sind linear unabh/ingig.

Das Bild eines einpunktigen KSrpers ist ebenfalls einpunktig: Enthielte T{x} eine Strecke, so g/ibe es n - 1 der linear unabh~ingigen Strecken TS1,..., TS,, etwa TSI .... TS,_~, so dab V (TS1 + . . '+ TS,_I + T{x})>0 ist, im Widerspruch zu V (S~ +.. . + S,_ 1 + {x}) = 0. Aus der Additivit/it yon T folgt jetzt insbesondere T (K+ {x}) = TK+ T{x} ~- TK; mit anderen Worten:

(1) K ~- K'=~ TK ~- TK ', K, K' ~R".

Wit erkl/iren nun eine Abbildung ~b:R"~{0}-~ R" durch ~ u = p - q fiJr ue R"~{0}, wobei konv {p, q} = T (konv {0, u}) sei (konv bezeichnet die konvexe Hiille). Um die Definition von ~ sinnvoll zu machen, muB fiir jede Bildstrecke eine Reihenfolge tier Endpunkte festgelegt werden, was jeweils willktirlieh geschehen kann. Wit w/ihlen eine Basis el,..., e, des R" sowie n Zahlen th, ..., r/,e { -1 , 1} und bezeichnen mit e die nichtausgeartete homo- gene affine Abbildung von N" auf sich mit eei=~/i~bei ftir i=1 ..... n (die

A D D I T I V E T R A N S F O R M A T I O N E N KONVEXER KORPER 223

Faktoren r h werden sp/iter festgelegt). Beachtet man, dab fiir irgend n linear unabMngige Strecken S , = k o n v { p , q,} ( i = l , . . . , n ) das yon den Vektoren P l - q~,..., P . - q, aufgespannte Parallelepiped ein Translat der Minkowskischen Summe $1+ ... + S . ,st, so folgert man aus den Eigen- schaften der Abbildung T, dal3 die Affinit/it e volumentreu ,st. Wir setzen nun q~=e-lO. Die Abbildung q~ hat dann die Eigenschaften q~e,=the ~ ftir i = 1 .. . . , n und

Idet (q)ul, ..., ~OUn)l = Idet (ul, ..., u,)l fiir ul, ..., u, eR"~{0} .

Insbesondere gilt fiir ue R '~{0}

det (el, ..., e~_ 1, (pu, e,+l, ..., e , )= =8, (u) det (el, ..., e,_~, u, e,+l, ..., en)

mit ~ , (u )e{-1 , 1} ( i = l , . . . , n ) . Ist also u=Y~vie,, s o ,st q,u=Y~,,(u)v,e,. Wir konnen nun annehmen, die Zahlen th,. . . , ~/, seien so gew/ihlt worden, dab ftir den Vektor e = e l + . . . + e , die Gleichung e i (e )= l ftir i=1, . . . , n besteht. Dann gilt ftir einen beliebigen Vektor u = ~ v , e ~ R"~{0}, o.B.d.A. mit v~ # 0,

Idet (e, e2, ..., e~-l, (ou, el+l, ..., e,I = = Idet (e, e2 .... , ei_ ~, u, e~+l, ..., e,)l,

folglich I~,(u)v,-~(u)v~l--Iv,-vd fiir i = 2 , . . . , n . Daraus ergibt sich e,(u)=e~ (u), falls v,¢O. Somit gilt q)u=u oder - u fiir alle ueR"\{0}. Ftir die dutch

UK = o~- l T K ftir alle KeFt"

erkl/irte Abbildung U bedeutet das

(2) US ~ S fiir jede Strecke S e ~".

Dies ergibt sich aufgiund der Definition und des eben nachgewiesenen Charakters der Abbildung q~ zun/ichst fiir jede Strecke mit einem Endpunkt im NuUpunkt, und wegen (1) folgt es dann allgemein. Die Abbildung U hat nattirlich ebenfalls die Eigenschaften der Additivit~t und der Volumentreue.

Im folgenden benutzen wir die durch die Gleichung

V (K + 2B + IaL) = (n - r - s)! r! s! x O<r,s

r + s < n

x V ( K , n - r - s ; B , r ; L , s ) 2 " # ~

(2, # > 0 ) erklgrbaren gemischten Volumina V ( K, n - r - s ; B, r; L, s) der

224 ROLF SCHNEIDER

K/Srper K, B, L~ R" (Bonnesen-Fenchel [1]; wir haben

V(K, .. . ,K, B .. . . , B, L, ..., L)= V(K, n - r - s ; B, r ,L ,s)

gesetzt). Als niitzlich erweisen sie sich hier aufgrund der folgenden Bemerk- ung.

HILFSSATZ 1. Sind B, L e W K6rper mit U (2B)_~2B und U (2L)_~2L fiir 2>-0, so gilt

V(UK, n - r - s ; B , r ; L , s ) = V ( K , n - r - s ; B , r ; L , s )

fftr alle K ~ n ( r , s=0, ..., n; r + s<n). In der Tat folgt aus den Voraussetzungen V(UK+2B+ktL)=V(K+

+2B+#L) , so dab Entwicklung beider Seiten und Koeffizientenvergleich die Behauptung ergibt.

Zun/ichst sei nun n=2 vorausgesetzt. Nach (2) und Hilfssatz 1 gilt V(UK, S ) = V(K, S) fiir alle Strecken ,7. Das bedeutet ([1], S. 45), dab die konvexen Bereiche UK und K in jeder Richtung gleiche Breiten haben. Daher gilt

VZ,: + ( - VK) = K + ( - I0 ,

wenn - K den aus K durch Spiegelung am Ursprung hervorgehenden K~Srper bezeichnet. W/ihlen wit speziell ein Dreieck D, so ist D + ( - D ) ein zentralsymmetrisches Sechseck. Die Darstellung dieses Sechsecks in der Form UD+ ( -UD) ist, wie man leicht sieht, nut dann m~glich, wenn UD~-#D+ (1- / l ) ( - D ) mit einem /1~[0,1] ist. Wegen V(UD)= V(D) kann dann nut # = 0 oder p = 1 sein. Est ist also

UD ~- ~(D)D mit 8(D)~{ - 1 , 1} fiirjedesDreieckDeR2.

Wit zeigen, dab die Funkt ion, auf der Menge ~3 c R 2 der (nichtausgear- teten) Dreiecke konstant ist. Angenommen, das w/ire nicht der Fall. Da die Menge ~3 (versehen mit der Hausdorff-Metrik) zusammenh/ingend ist, k/Snnen nicht sowohl {De~)] e(D)= 1} als auch {De~ le (D)= -1} often in ~3 sein. Es gibt also o.B.d.A, ein Dreieck D ~ 3 mit e (D)= l und eine Folge (D,),~ ~ von Dreiecken mite (D,)= - 1 und lim D, = D. Aus

v (D + ( - D.)) = v ( v D + yD.) = v ( u ( D + 1 ) . ) ) =

= v ( D + D.)

folgt mit n ~ oo wegen der Stetigkeil der Minkowskischen Addition und der Volumenfunktion

6V(D) = V(D + ( -D)) = V(D + D) = 4V(D),

ADDITIVE TRANSFORMATIONEN KONVEXER K(JRPER 225

ein Widerspruch. Es ist also entweder UD~-D fiir alle Dreiecke D oder UD_~ - D fiir alle D. Nehmen wir zun/ichst an, es liege der erste Fall vor. Da jedes Polygon P eiR 2 Minkowskische Summe von Dreiecken und Strecken ist, folgt UP "~ P ftir jedes Polygon P e !R e. Nach Hilfssatz 1 gilt also V (UK, P ) = V (K, P) ftir beliebige KeiR 2. Wegen der Stetigkeit der gemischten Volumina erlaubt ein Approximationsargument den Schlul3 auf V (UK, L)= V (K, L) ftir alle L~IR z. Hieraus folgt

UK ~- K fiir K~IR 2 ,

wie man auf elementare Weise einsehen kann. Anstelle eines derartigen Beweises verweisen wir abet auf den weiter unten folgenden Hilfssatz 2, tier ohnehin ben/Stigt wird. Im zweiten Fall, wenn also UD ~ - - D ftir alle Dreiecke D gilt, ergibt sich (bei Beachtung der fiir jede Strecke S giiltigen Relation - S ~ - S ) ganz analog V (UK, L)= V (K, - L ) = V ( - K , L) ftir alle L~IR 2 und daraus

U K ~- - K ffir K~IR 2 .

Nun sei n->3. Ist E ein zweidimensionaler linearer Unterraum yon R", HE: ~ " ~ E die Orthogonalprojektion auf E und IRE ciR" die Menge der in E liegenden konvexen K6rper, so wird durch UE =l IEU ] IRE eine additive Abbildung UE: IRE ~ IRE erldart. Offenbar gilt auch

(YES -~ S fiir jede Strecke S ~ IRE.

Wit zeigen, dab Ue das zweidimensionale Volumen vE der in E liegenden KOrper nicht ~ndert. Dazu sei K E IRE zweidimensional. Angenommen, UEK

w~ire h~Schstens eindimensional. Dann liegt UK in einer Hyperebene, die E in einer Geraden schneider. W~ihlen wir n - 1 linear unabh~ngige Strecken $1 .... , S,_1 in dieser Hyperebene, so ist

o = v ( v K + s l + ... + s , _ ~ ) = v ( K + s , + ... + s , _ 3 > 0 ,

ein Widerspruch. Also ist UEK zweidimensional. Angenommen, UK ent- hielte eine Strecke $1, die nicht zu E parallel ist. Wfihlen wit n - 3 Strecken $2,..., S,-2 derart, dab K+ S~ +.. . + S,-2 n-dimensional ist, so gilt

0 < v ( ~ / c + s2 + ... + s . _ ~ ) = v ( ~ + s2 + ... + s , _ ~ ) = 0 ,

ein Widerspruch. Also ist

(3) UEK ~- UK fiir alle K~IR E

(flit ein- oder nulldimensionale K gilt das trivialerweise). SchlieBlich w~ihlen wir n-2 paarweise orthogonale Strecken Sx,..., S,-2 tier L~inge 1, die

226 R O L F S C H N E I D E R

orthogonal zu E sind. Dann ist

oE(V K) =V(V K + + ... + S . - 2 ) =

= V ( U K + S1 + "'" + Sn-2 ) =

= v ( K + Sl + ... + S . - 2 ) = vE ( K ) .

Die Abbildung Us hat also alle Eigenschaften, die im eben betrachteten zweidimensionalen Fall der Abbildung U zukamen. Nach dem dort er- haltenen Ergebnis und wegen (3) gilt

UK~-~(E)K mit 8 ( E ) s { - 1 , 1 } ffiralleKs.RE.

Dies gilt fiir jeden zweidimensionalen linearen Unterraum E von K. Wegen (1) gilt UK~-e(E)K fiir alle zweidimensionalen KsR", wenn E die zur affinen Htille yon K parallele Ebene durch den Ursprung bedeutet. Dureh ein Argument/ihnlieh dem im zweidimensionalen Fall benutzten 1/iBt sieh nun wieder leicht zeigen, dab e (E) entweder durchweg 1 oder durchweg - 1 ist. Es gilt also entweder UL'~L fiir alle zweidimensionalen Ls!R" oder UL_~ - L fiir alle solehen L. Im ersten Fall ergibt sieh fiir einen beliebigen K6rper Ks .~ n gem~iB Hilfssatz 1

V (VK,..., VK, L) = V(K, ..., K, L)

fiir alle zweidimensionalen L, woraus nach dem gleich zu beweisenden Hilfssatz 2 (angewandt mit i = n - 1 ) U K ~ - K fiir alle n-dimensionalen KsR" folgt. Insbesondere gilt UB~-B ftir jede Kugel B und daher nach Hilfssatz 1 auch

V(UK, B .... , B , L ) = V ( K , B ..... B ,L) .

Abermalige Anwendung yon Hilfssatz 2 (jetzt mit i= 1) liefert UK~-K fiir alle mindestens zweidimensionalen K s R" und somit, in Anbetracht von (2), fiir alle KsR". Im zweiten Fall ergibt sich analog UK ~- - K ftir K s R ". Damit ist ein entsprechendes Ergebnis wie im zweidimensionalen Fall er- zielt. Bei beliebigem n>2 gilt also entweder TK~-ccK fiir alle K s ~ ~ oder TK ~ c¢ ( - K) = c¢'K fiir alle K s ~", wo ~' ebenfalls eine volumentreue Affinit~it ist. Das war die Behauptung des Satzes.

Es bleibt der benutzte Hilfssatz nachzuweisen, demzufolge ein konvexer KSrper durch die Werte gewisser gemischter Volumina bis auf Translation eindeutig bestimmt ist. Die nachfolgende Formulierung ist allgemeiner als fiir unsere Zwecke notwendig.

HILFSSATZ 2. Sei i s{ l , ..., n-l}. Sind K, R s ~ " konvexe K6rper der Dimension > i + 1 mit

(4) V ( K , i ; B , n - i - 1 ; L , 1 ) = V ( I ~ , i ; B , n - i - 1 ; L , 1)

ADDITIVE TRANSFORMATIONEN KONVEXER K()RPER 227

fiir eine Kugel B und alle zweidimensionalen konvexen Bereiche L~.~", so gilt K ~I~.

Vermutlich sind elementarere Beweise als der folgende mtiglich; dieser liefert jedoch ein allgemeineres Ergebnis, das vielleicht auch ftir sich nicht uninteressant ist. Es geniigt n/imlich, die Gleichung (4) nur fiir diejenigen konvexen Bereiche L zu fordern, die kongruent sind zu einem festen Dreieck D, vorausgesetzt, dab nicht alle Winkel von D rationale Vielfache von rc sind. In der Tat, sei D ein solches Dreieck, und sei (ftir ein festes i)

(5) V ( K , i ; B , n - i - 1 ; f D , 1 ) = V ( I ~ , i ; B , n - i - 1 ; f D , 1)

ffir alle Drehungen 6 des R". Nach einer bekannten Integraldarstellung der gemischten Volumina ist

B, n - i - 1; L, 1) = r"-'-ln -1 f hr.(u) dp, (K, u), V(K, i; i g

S n - 1

wenn r den Radius der Kugel B bezeichnet. Dabei ist S "-1 die Einheits- sph~ire des R"; hL ist die (auf S "-1 eingeschr~inkte) Stiitzfunktion des kon- vexen K~Srpers LER", und p, (K, • ) ist das i-te Oberfl/ichenmaB des Ktirpers KER n (siehe z.B. Busemann [2], §8, 9). Aus (5) und (6) folgt fiir das signierte BorelmaB v =/t i (K, • ) - / A (g, • ) die Gleichung

f 6ho dv = 0 S n - I

ftir alle Drehungen 6; dabei ist (6hD) (u ) := hD(f-lu)=h~o(u) ffir u~S "-1. Mit geliiufigen SchRissen der elementaren harmonischen Analyse (siehe z.B. [3], auch fiir weitere geometrische Anwendungen) folgt daraus v=0, falls es ftir jedes mE (0, 1, 2, ...} eine Kugelfunktion Y,, der Ordnung m auf S "-1 gibt mit

f hDY,.do9 ~0 S n - 1

(a~ ist das iibliche Lebesgue-MaB auf S"-1). DaB dies fiir die StiJtzfunktion ho eines Dreiecks D mit wenigstens einem mit rc inkommensurablen Winkel zutrifft, ist in [4], §5, gezeigt worden (zumindest fiir m ~ 1; die Giiltigkeit auch fi.ir m = 1 l~iBt sich durch geeignete Lage des Dreiecks (Steinerpunkt nicht im Nullpunkt) erreichen, ist im iibrigen aber unwesentlieh wegen SYldv=0) . Aus v = 0 und dimK_>_i+ 1, dimg>__i+ 1 folgt nun nach einem bekannten Satz (z.B. [2], §9), dab sich die K6rper K und g nur um eine Translation unterscheiden.

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L I T E R A T U R

1. Bonnesen, T. und Fenchel, W., Theorie der konvexen Kdrper, Berlin 1934. 2. Busemann, H., Convex Surfaces, New York 1958. 3. Schneider, R., 'Functional Equations Connected with Rotations and Their Geometric

Applications', L'Enseignement Math. 16 (1970), 297-305. 4. Schneider, R., 'Equivariant Endomorphisms of the Space of Convex Bodies', Trans.

Am. Math. Soc. (erscheint). 5. Schneider, R.,'Bewegungs/iquivariante, additiveundstetigeTransformationen konvexer

Bereiehe' Arch. Math. (erscheint).

Ansehrift des Verfassers: Rol f Schneider,

Technische Universitfit Berlin,

Fachbereich Mathematik,

1 Berlin 12,

(Eingegangen am 31. Oktober 1973)