Als Mathematiker noch rechnetenIna Prinz

Das Rechnen stellte zu Beginn der Neuzeit eine Fähigkeitdar, die aufgrund wirtschaftlichen Aufschwungs, Wachs-tum von Handel und Verwaltung in Europa, immer drin-gender gebraucht wurde. Es wurde von Rechenmeisternmeist in Rechenschulen gelehrt. Lesen und Schreibenlernte man in den Lateinschulen. Die Anfänge der abend-ländischen Mathematik wurden an den Artistenfakultätender Universitäten unter den sieben freien Künsten imQuadrivum (Arithmetik, Geometrie, Musik und Astro-nomie) gelehrt. So sollte man vermuten, dass die Gildeder Rechenmeister von den Mathematikern jener Zeitgetrennt war. Dem ist aber nicht so. Wir werden feststel-len, dass die besten Mathematiker der Zeit auch Autoreneinfacher Rechenbücher waren. Um die Vermittlung desRechnens zu vereinfachen, aber auch um ein eventuel-les Selbststudium der Schüler zu ermöglichen, begannensie, ihr Wissen niederzuschreiben. Diese Niederschrif-ten gehören zu den ersten gedruckten Büchern in deut-scher Schriftsprache überhaupt. Insofern sind die Werkenicht nur aus mathematikhistorischer Sicht interessant,sondern auch unter kulturhistorischen Gesichtspunkten.

Frühestes und bekanntestes Beispiel ist sicherlich dasberühmte „Liber Abaci“1 von Leonardo da Pisa (1180-1241), der weithin Fibonacci genannt wurde. DiesesWerk besteht zum größten Teil aus Aufgaben, die einklassisches Rechenbuch ausmachen. Nach der Einführungder indisch-arabischen Ziffern werden die Grundrechen-arten erklärt und schließlich folgt ein ausführlicher Teilzum Dreisatz, der „Regula De Tri“. Das Rechnen mitdem falschen Ansatz, die sogenannte „Regula Falsi“ unddas Rechnen mit doppeltem falschen Ansatz werden er-klärt, bevor dann mathematisch anspruchsvollere Aufga-ben folgen. Es finden sich zahlreiche Beispiele aus dersogenannten Unterhaltungsmathematik, die auch in diefrühneuzeitlichen Rechenbücher in Deutschland Einganggefunden haben. Teilweise sind sogar die Zahlenbeispieledieselben.

Ein überzeugendes Beispiel für die Tatsache, dass die ers-ten Rechenmeister in Deutschland auch Mathematikerwaren, ist Johannes Widmann (etwa 1460/65–1505) ausEger, der 1486 an der Universität Leipzig die erste Alge-bravorlesung hielt und der 1489 das Werk „Behende unhübsche Rechnung auff allen Kauffmanschaften“ (Abb. 1)bei Konrad Kachelofen in Leipzig drucken ließ.

Sein Werk stand somit gemeinsam mit dem von UlrichWagner verfassten Bamberger Rechenbuch, das 1483von Heinrich Petzensteiner als erstes umfangreicheresRechenbuch in deutscher Sprache gedruckt wurde, amBeginn einer Fülle von Lehrwerken der Elementarmathe-matik in der Volkssprache.

Abbildung 1. Johannes Widmann (etwa 1460/65–1505), Behendeun hübsche Rechnung auff allen Kauffmanschaften, Leipzig 1489

Christoph Rudolff (um 1500 geboren) war besonders fürseine Abhandlungen zur Algebra bekannt. Aber er ver-fasste 1526 auch das Werk „Künstliche Rechnung mitder Ziffer unnd mit den Zalpfenningen, sampt der Welli-schen Practica, und allerley vortheil auff die Regel De Tri“(Abb. 2), das er bei Johann Singriener in Wien druckte.

Adam Ries (1492–1559) war ein Rechenmeister, dessenName heute noch geläufig ist. Will ein Schüler partoutkeine Einsicht beim Rechenlernen zeigen, hilft der Lehrergern mit dem Ausspruch nach: „Das macht nach AdamRiese . . . “. Welche Unterschiede zwischen Adam Ries’Werk und dem anderer Rechenmeister seines Zeitaltersführten dazu, dass er Eingang in das kollektive Gedächtnisgefunden hat?

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Abbildung 2. Christoph Rudolff (um 1500 geboren), KünstlicheRechnung mit der Ziffer unnd mit den Zalpfenningen, samptder Wellischen Practica, und allerley vortheil auff die Regel DeTri

Abbildung 3. Adam Ries (1492–1559), Rechenbuch, auff Linienund Ziphren, in allerley Handthierung, Geschäften unndKauffmanschafft

Adam Ries, gelegentlich auch Riese oder Ris geschrieben,1492 in Staffelstein geboren, hielt sich zwischen 1518–1522/23 in Erfurt auf, wo er die Bekanntschaft mit demaus Annaberg stammenden Arzt und Gelehrten GeorgSturtz (*1488) machte. Sturtz, dessen Familie im säch-sischen Bergbau reich geworden war, ließ Ries in sei-ner umfangreichen Bibliothek in der Engelsburg studie-ren. Dort lernte Ries das Rechenbuch Widmanns ken-nen, die Bücher von Jacob Köbel und Johann Böschen-stein sowie eine Handschrift, die sich zuvor in WidmannsBesitz befunden haben mag (jetzt Handschrift in der säch-sischen Landesbibliothek, Dresden, C80, f349v). Dochauch mit den volkssprachlichen Texten Heinrich Schrei-bers sowie dem Algorismus Ratisbonensis, dem Bamber-ger Rechenbuch und dem Wiener Algorismus setzte ersich auseinander. Dabei war Ries ein sehr kritischer Le-ser, was sich im Vorwort zu seiner Coß zeigt, einer Hand-schrift, die erstmals transkribiert 1992 gedruckt wurde.Dort schrieb er über Widmann: «Ferner Hatt mir eurachtparkeitt [G. Sturtz] auch furgehaltenn Das Buchlein,so Magister Johannes widmann Von eger Zusamen gele-senn, wie das selbig seltzam und wunderlich Zusamen ge-tragenn Vnd an wenigk ortten rechte underweisung sey

Welches ich dan mit gantzem vleuß gelesenn und das sel-big also befunden, Auch Das exemplar gesehnn Darausßer die fragstugk und anderß genumen» (Coß 1,2), [Gärt-ner 2000, S. 207]. Welche Quellen Ries meinte, ist nichtganz klar. Es kann sich bei der Vorlage Widmanns sowohlum die Handschrift aus Dresden handeln als auch um dasBamberger Rechenbuch von Ulrich Wagner. Eingehende-re Untersuchungen hierzu findet man bei [Gärtner 2000].Auf jeden Fall hat sich Ries intensiv mit den Arbeiten sei-ner Vorgänger auseinandergesetzt. Ries hatte keine Uni-versitätsausbildung als Mathematiker, sondern war Auto-didakt. Er hat sich sein Wissen erlesen und dieses durch-aus konstruktiv verarbeitet. Vielleicht macht das den Reizseiner Rechenbücher aus, speziell seines zweiten Rechen-buchs „Rechenbuch, auff Linien und Ziphren, in allerleyHandthierung, Geschäften unnd Kauffmanschafft“ (Abb.3), das in mehr als hundert Auflagen publiziert wurdeund als bekanntestes Rechenbuch schlechthin gilt.

Da Ries sich sein Wissen aus Büchern selbst erarbeitenmusste, hat er sich intensiv Gedanken darüber gemacht,wie man am Besten lernt und welches Vorgehen beimVermitteln des Rechnens das Verständnis befördert. So

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Abbildung 4. Heinrich Schreiber, Ain new kunstlich Buch welchesgar gewiß und behend lernet nach der gemainen regel Detre,welschen practic, regeln falsi un etliche regeln Cossemancherlay schöne un zuwissen notürfftig rechnung, Nürnberg1518

Abbildung 5. Michael Stiefel, Deutsche Arithmetica, 1545

zeichnet sich sein Werk gegenüber zahlreichen anderenRechenbüchern durch eine klare Struktur aus. Er formu-liert kurz und knapp, aber klar. Er beginnt didaktisch ge-schickt mit dem Einfachen und arbeitet sich zum Kompli-zierten vor. Das macht sein Rechenbuch so einzigartig. Eswar und ist nicht immer üblich, klar strukturiert und ge-gliedert das Wissen zu vermitteln. Ries beherrschte auchden Kunstgriff, schon Bekanntes oder zumindest Geläu-figes, wie das Rechnen auf den Linien, als Aufhänger zuverwenden, um die Scheu vor dem Rechnen mit der Fe-der, was das Rechnen mit indisch-arabischen Ziffern be-deutete, zu nehmen.

Zu den Rechenmeistern, die auch Mathematiker waren,gehörte Heinrich Schreiber, genannt Grammateus, der1518 das Buch „Ain new kunstlich Buch welches gargewiß und behend lernet nach der gemainen regel De-tre, welschen practic, regeln falsi un etliche regeln Cos-se mancherlay schöne un zuwissen notürfftig rechnung“(Abb. 4) in Nürnberg drucken ließ. Heinrich Schreiberwar Lehrer des oben erwähnten Christoph Rudolff.

Michael Stiefel verfasste neben seiner „Arithmetica inte-gra“, in der er sich mit negativen Zahlen, Exponentialzah-len und Zahlenfolgen, aber auch mit Logarithmen befass-

te, mehrere praktische Rechenbücher wie beispielsweise1545 die „Deutsche Arithmetica“ (Abb. 5).

Jacob Köbel hatte in Heidelberg studiert und das Quadri-vium, zu dem Arithmetik, Geometrie, Astronomie undMusiklehre gehörten, 1481 abgeschlossen. Er ließ 1514in Augsburg sein „Ain New geordnet rechen biechlin“(Abb. 6) drucken, in dem er für den Laien sehr ausführ-lich das Rechnen erläutert.

Zur Frage Mathematiker versus Rechenmeister schreibtFolkerts [2011, S. 19]:

Es ist bemerkenswert, dass es im sächsisch-thüringischen Raum keine scharfe Trennung zwi-schen der (praktischen) Mathematik der Rechen-meister und der (theoretischen) Mathematik an denUniversitäten gegeben hat.

Diese noch nicht vorhandene Trennung zwischen prak-tischer und theoretischer Mathematik war, wie das Bei-spiel von Leonardo da Pisa zeigt, nicht regional begrenzt,sondern wohl in der frühen Neuzeit üblich.

Es stellt sich nun die Frage, ob es in den praktischen Re-chenbüchern auch Aufgaben gab, die über das notwen-dige praktische Wissen für einen Rechenschüler hinaus-

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Abbildung 6. Jacob Köbel, Ain New geordnet rechen biechlin, Augsburg 1514

gingen und ein wenig von der Kunstfertigkeit des Autorsvermittelten? Diese Frage lässt sich eindeutig bejahen undwird nachfolgend an einigen Beispielen dargestellt. Meistfinden sich diese Aufgaben im Teil der sogenannten Un-terhaltungsmathematik.

Das bekannteste Beispiel stammt auch hier sicherlich ausdem berühmten „Liber Abaci“ von Fibonacci2. Beschrie-ben wird die als Fibonacci-Zahlen bekanntgewordene Zah-lenfolge anhand des Wachstums einer Kaninchenpopula-tion. Er fragt, wie viele Kaninchenpaare innerhalb einesJahres aus einem einzigen Paar entstehen, wenn jedesPaar ab dem zweiten Lebensmonat ein weiteres Paar proMonat wirft. Leonardo da Pisa löst die Aufgabe durch ei-ne zweigliedrige Rekursion Fn = Fn−1+Fn−2 mit F0 = 0und F1 = 1. Demnach ist die Anzahl der Kaninchenpaarein einer Periode gleich der Anzahl in der Vorperiode plusden neugeborenen Paaren, was nach Annahme die Anzahlder Paare in der Vorvorperiode ist. Er kommt dann aufdas Ergebnis, dass nach einem Jahr 377 Kaninchenpaarein seiner Zucht leben müssten.

Diese Aufgabe zu den Fibonacci-Zahlen ist natürlich sehrspeziell und unterscheidet sich stark von den üblichenAufgabenstellungen in einem Rechenbuch. Ihr Inhalt istohne Frage anspruchsvoller. Leonardo da Pisa erklärt im

zweiten Teil seines liber abaci diese Rekursion unabhängigvon dem Kaninchenbeispiel und erwähnt auch, dass die-se Zahlenreihe beliebig fortgeschrieben werden kann („etsic posses facere per ordinem de infinitis numeris men-sibus“). Der Vollständigkeit halber sei noch angemerkt,dass Fibonacci-Zahlen schon in der frühen indischen Ma-thematik behandelt wurden.

Bei Fibonacci finden sich auch zahlreiche Varianten vonklassischen Dreisatzaufgaben, wie beispielsweise die überLöwen, Leoparden und Bären [Sigler 2002, S. 279], diedurchaus ein wenig fordernder, wenn auch mathematischbei weitem nicht so anspruchsvoll sind. Hier geht es dar-um, dass die Zeit angegeben wird, die ein Löwe, ein Leo-pard und ein Bär jeweils brauchen, um ein Schaf zu fres-sen. Die Frage lautet dann, wie lange es dauert, bis alledrei gemeinsam ein Schaf gefressen haben. Diese Aufga-be findet sich mit anderen Tieren und anderen Zahlen-beispielen in zahlreichen Rechenbüchern: So beschreibtbeispielsweise Filippo Calandri in seiner „Aritmetica“ von1518 diese Aufgabe mit einer schönen grafischen Verzie-rung (Abb. 7). Auch bei Widmann und Albrecht findetsich diese Aufgabe [Prinz 2009, S. 164 ff.].

Textaufgaben, in denen Tiere vorkamen, waren bei denfrühneuzeitlichen Rechenmeistern beliebt. Die Ursprün-

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Abbildung 7. FilippoCalandri, Aritmetica,1518

ge dieser Aufgaben reichenaber weit zurück. So findetsich in einem der frühsten er-haltenen Rechenbücher, demChiu Chang Suan Shu, daszwischen 202 v. Chr. und 9n. Chr. in China geschriebenwurde, eine Rechenaufgabevon einem Hund und einemHasen. Die Aufgabe lautet:Ein Hase hat 100 SprüngeVorsprung vor einem Hund.Dieser macht 250 Schrit-te und ist immer noch 30Schritt von dem Hasen ent-fernt, ohne diesen zu errei-chen. Wie viele Schritte hät-te er noch laufen müssen, umden Hasen zu erreichen?3

Eine nahezu identische Auf-gabe findet sich z. B. auch imWerk von Christoff Rudolff(Abb. 8) [vgl. Prinz 2009, S.176].

Der Hauptunterschied ist, dass der Hund in dieser Auf-gabe den Hasen „ereylen“ wird, während er in dem chi-nesischen Rechenbuch aufgibt. Es handelt sich bei beidenAufgaben um einfache Dreisatzaufgaben.

Es gab aber auch mathematisch anspruchsvollere Auf-gaben, deren praktischer Nutzen für den Rechenschü-ler nicht unmittelbar erkennbar ist, wie zum Beispieldie Aufgabe, die das exponentielle Wachstum durch dieSumme von Zweierpotenzen erklärt. Diese Aufgabe, diegewöhnlich mit dem klassischen Beispiel des Reiskorn-Schachbrett-Problems erläutert wurde, hat Johann Al-brecht in seinem Rechenbuch in Form der „Hufnägel“-Aufgabe angeführt. Hier geht es darum, dass ein reicherHerr für einen Feldzug ein prachtvolles Schlachtroß ge-schenkt bekommt, der Bauer, der ihm das Pferd schenkt,jedoch eine kleine Bitte äußert. Der reiche Herr mögeihm für den ersten von insgesamt 32 Hufnägeln 1 Pfenniggeben, für den zweiten 2, für den dritten 4 usw. Albrechtrechnet die Aufgabe aus und stellt fest, dass dem Bauernmehr als 170 Tonnen Goldes zustünden. Eine Summe, diekein reicher Herr zu jener Zeit je hätte aufbringen kön-nen. [Vgl. Prinz 2009, S. 188 ff.].

Wir können somit zusammenfassend feststellen, dass diemeisten Autoren von Rechenbüchern in der Regel aucheine umfassendere mathematische Ausbildung hatten. Sieversuchten auch mathematisches Wissen, das über denunmittelbaren praktischen Nutzen von Rechenaufgabenfür die Schüler hinausging, zu vermitteln, wahrscheinlichum das Besondere und das Schöne der Mathematik zu-mindest in Ansätzen zu zeigen.

Die Bilder in diesem Artikel zeigen ausschließlich Werkeaus der historischen Buchsammlung des Arithmeums inBonn. Das Arithmeum, das 1999 als zentrale Einrichtungder Universität in Bonn eröffnet wurde und die weltweitumfassendste Sammlung historischer Rechenmaschinenpräsentiert, beherbergt inzwischen auch eine herausra-gende Sammlungen historischer Rechen- und Mathema-tikbücher. Leser, die nun auf den Geschmack gekommensind, können das Arithmeum von Dienstag bis Sonntag11–18 Uhr besuchen. Sie sind herzlich eingeladen. (Wei-tere Informationen auf www.arithmeum.de).

Anmerkungen1. Leonardo Pisano, Liber abbaci, Codice Magliabechiano, C. I.2626, Badia Fiorentina, n. 73, übersetzt von [Sigler 2002]2. Leonardo Pisano, Liber abbaci, Codice Magliabechiano, C. I.2626, Badia Fiorentina, n. 73, übersetzt von [Sigler 2002]3. Die Antwort lautet: 1071/7 Schritte. [Vgl. Vogel 1968, S. 63].

Literatur

Folkerts, Menso: Die Mathematik im sächsisch-thüringischen Raumim 15. und 16. Jahrhundert. In: Gebhardt, Rainer (Hrsg.):Kaufmanns-Rechenbücher und mathematische Schriften der frühenNeuzeit. Annaberg 2011. (S. 1–22).

Gärtner, Barbara: Johannes Widmanns „Behende und hubscheRechnung“. Die Textsorte „Rechenbuch“ in der frühen Neuzeit. Tü-bingen 2000.

Prinz, Ina: Rechnen wie die Meister. Berlin 2009. Zusammen mit denFaksimiledrucken: Deutsche Rechenbücher des 16. Jahrhunderts:Johannes Widmann, Adam Ries, Christoff Rudolff, Johann Albrecht.

Sigler, Laurence: Fibonacci’s Liber Abaci. A Translation into ModernEnglish of Leonardo Pisano’s Book of Calculation. New York 2002.

Vogel, Kurt: Chiu Chang Suan Shu. Neun Bücher ArithmetischerTechnik. Braunschweig 1968.

Prof. Dr. Ina Prinz, Arithmeum, Lennéstrasse 2, 53113 Bonnprinz@or.uni-bonn.de

Ina Prinz studierte Kunstgeschichte, Jura undorientalische Kunstgeschichte und promovierte2004. Bereits als Studentin übernahm sie die Lei-tung des Arithmeums in Bonn und liebt dieseHerausforderung nach wie vor. Seit mehr als fünfJahren hält sie Vorlesungen für Informatikstudie-rende zur Geschichte des Rechnens, wobei dieRechenmeister der frühen Neuzeit einer ihrerForschungsschwerpunkte sind.

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