Anhang 1: Matrizenalgebra

Der Anhang 1 enthalt die elementaren Grundlagen der Matrizenalgebra, soweit diese fiir das Verstiindnis des behandelten Stoffes und das selbstiindige Operieren mit Matrizen und Vektoren erforderlich sind. Ergiinzende und vertiefende Infor-mationen finden sich in der unter A 1.6 aufgefiihrten Literatur.

AI.I Bezeichnungen und Definitionen

Matrizen: Jedes rechteckige Feld von Symbolen, Zahlen, Funktionen oder auch Matrizen, auf das gleiche mathematische Operationen angewendet werden diirfen, wird als Matrix bezeichnet. Dieses Feld wird in m Zeilen und n Spalten geordnet, in eine rechteckige Klammer eingefaBt und durch ein Symbol abgekiirzt:

all a12 a lj a ln a21 a22 a2j a 2n

a = a(mxn) = ail a i2 a ij ain

= [aij] • (AU)

am1 am2 .. . a mj ... a mn

Die Elemente aij der Matrix a tragen zur Identifizierung den Zeilenindex i = l(l)m und den Spaltenindexj = l(l)n. Zeilen und SpaJten heiBen gemeinsam Reihen. Die Angabe (m x n) nennt man Ordnung von a.

Zeilenmatrizen (Zeilenvektoren): Jede Matrix mit m = 1 wird als Zeilenmatrix oder Zeile bezeichnet:

(A 1.2)

Spaltenmatrizen (Spaltenvektoren): Jede Matrix mit n = 1 wird als Spaltenmatrix oder Spalte bezeichnet:

ALl Bezeichnungen und Definitionen 307

a = a(mxl) = (A 1.3)

Nullmatrix: Eine Matrix, deren siimtliche Elemente den Wert Null annehmen, wird als Nullmatrix bezeichnet und mit 0 abgekiirzt.

Untermatrizen und Hypermatrizen: Jede Matrix kann in Untermatrizen zerlegt werden. Ihre Darstellung in diesen Untermatrizen bezeichnet man als Hypermatrix. Ein Beispiel ist:

(Al.4)

Quadratische M atrizen: Matrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenzahl m = n wer-den als quadratisch bezeichnet; sie besitzen die gleichen Anzahlen von Zeilen- und Spaltenelementen sowie die Ordnung m = n

au a 12 ali a lm a21 a22 a21 a2m

a = aIm) = ail al2 ail aim

(AU)

aml am2 ami amm

Die Elemente ail bezeichnet man als Hauptdiagonale, ihre Summe als Spur: m

sp(a) = L ail· (A 1.6) 1=1

Quadratische Matrizen zeichnen sich durch einige Besonderheiten aus, die im folgenden behandelt werden sollen.

Regularitiit: Die Funktion

au a12 alm

det(a) = all all a2m (A 1.7)

aml am2 amm

308 Anhang 1: Matrizenalgebra

einer quadratischen Matrix a wird als deren Determinante bezeichnet. 1st det(a) #= 0, so heiSt a reguliir, sonst singuliir. In einer regularen Matrix sind alle Zeilen bzw. Spalten voneinander linear unabhangig. In einer singularen Matrix konnen bis zu r* ~ m Zeilen bzw. Spalten voneinander linear abhangig sein; die Zahl r = m - r* bezeichnet man dann als Rang von a, die Zahl r* als Rangabfall.

Symmetrie und Antimetrie: Jede quadratische Matrix mit

aij = aji heiSt symmetrisch,

aij = - aji heiSt antimetrisch (schiefsymmetrisch).

Jede quadratische Matrix a laSt sich additiv in eine symmetrische und eine antimetrische Teilmatrix zerlegen; Beispiel:

a=a.+.a=[~ ~J=[~ ~J+[ -~ ~l Definitheit: Symmetrische Matrizen • mit einer fiir beliebiges x #= 0 geltenden quadratischen Form (siehe (A1.14»

Q(x) = xT ·.·x > 0, 'Ix #= 0 (A1.8)

hei6en positiv definit~ in diesem Fall ist • gleichzeitig regular. Gilt Q ~ 0, so ist • positiv semi-definit und singular.

Diagonalmatrizen: Jede quadratische Matrix d mit der Eigenschaft: dij #= 0 fUr i = j, dij = 0 fiir i #= j heiSt Diagonalmatrix:

dll 0 0 0 0 d22 0 0

d = diag [dj ] = 0 0 ... dii ••• 0 = rd11 d22 ••• dii •• • dmmJ.

0 0 0 ... dmm (A 1.9)

Jede Diagonalmatrix mit d11 = d22 = ... dii = ... dmm = d heiBt Skalarmatrix. Jede Skalarmatrix mit d = 1 heiBt Einheitsmatrix oder Einsmatrix der Ordnung m und wird mit I abgekiirzt:

[10 ... 0] 1- ! 1'" r -rll .. , 1J ' (A 1.10)

Bandmatrizen: Jede quadratische Matrix, deren nichtverschwindende Glieder urn die Hauptdiagonale gruppiert sind, heiBt Bandmatrix:

A1.2 Rechenregeln 309

bll b l2 0 0 0 b21 b22 b23 0 0

b= 0 b32 b33 0 0 (ALlt)

0 0 0 bm-l,m-l bm-l,m 0 0 0 bm,m-l bm,m

Dreiecksmatrizen: Jede quadratische Matrix, deren samtliche Elemente auf einer Seite jenseits der Hauptdiagonalen verschwinden, heiSt Dreiecksmatrix. Man un-terscheidet obere (rechte) und untere (linke) Dreiecksmatrizen:

rIm ] [ 111 0 ... 0 ] r~m , I = I~l 1~2 ... ~ .

. . . r mm Iml 1m2 Imm

(A Ll 2)

Fur die Determinanten von Dreiecksmatrizen gilt:

det(r) = rll -r22 - ... r mm, det(l) = 111 -/22 - ••• Imm . (A l. 13)

AI.2 Rechenregeln

Transposition: Vertauscht man bei einer (m x n)-Matrix a aIle Zeilen und Spalten, so gewinnt man die transponierte (n x m)-Matrix aT:

all a21 amI

[au au ... aln a12 a22 am2 a21 a22 ... a," ] aT = (ALl4) a = . . . , amI am2 amn

aln a2n amn

Das Transponieren entspricht einem Spiegeln aller Elemente an der Hauptdiago-nalen; daher gilt:

(aT)T = a fur aIle Matrizen, aT = a fur symmetrische (quadratische) Matrizen, aT = - a fUr antimetrische (quadratische) Matrizen.

Addition und Subtraktion: Zwei Matrizen gleicher Ordnung werden addiert (sub-trahiert), indem aile Elemente gleicher Position addiert (subtrahiert) werden:

c(m x n) = a(m x n) + b(m x n) erfordert cij = aij + bij fUr aIle i,j , c(m x n) = a(m x n) - b(m x n) erfordert cij = aij - bij fUr aIle i,j .

310 Anhang 1: Matrizenalgebra

Definiert man die Nullmatrix als Differenz zweier gleicher Matrizen:

a=b --+ a-b=O, (AU5)

so folgt aus obiger Beziehung, daB zwei Matrizen gerade dann gleich sind, wenn sie gleiche Ordnung besitzen und aIle Elemente gleicher Position identisch sind. Die Addition von Matrizen ist

kommutativ: sowie assoziativ:

a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) . (AU6)

Skalierung: Bei der Multiplikation einer Matrix a mit einem Skalar A. wird jedes Element dieser Matrix mit dem Skalar multipliziert:

A.aln ] A.a2n

... A.~mn (AU7)

Multiplikation zweier Matrizen: Das Produkt einer Matrix a der Ordnung (m x n) mit einer Matrix b der Ordnung (n x p) ist durch eine Matrix c der Ordnung (m x p) definiert, fiir deren Elemente

n

Cij = Lair brj fiir i = l(l)m,j = l(l)p (AU8) r= 1

gilt. Das Matrizenprodukt existiert daher nur, wenn die Spaltenzahl von a der Zeilenzahl von b entspricht. Die angegebene Definitionsgleiehung liiBt sich beson-ders anschaulich mit Hilfe des Multiplikationsschemas von FALK in einen Berech-nungsalgorithmus iibersetzen:

+--P--t-

Beispiel: [LLn G ~ = ~J [~ : l~ ]

(AU9)

Das Matrizenprodukt einer Zeile mit einer Spalte ergibt somit ein einzelnes Element, einen Skalar. Die Matrizenmultiplikation verhiilt sieh:

assoziativ: (a·b)·c = a·(b·c) ,

distributiv: a . (b + c) = a· b + a· c , aber nieht kommutativ: a . b =!- b· a .

AuBerdem gilt:

l·a=a·l=a, (a·b· ... c·d)T=dT·cT· ... bT·aT . (A 1.20)

A1.3 Normen und KonditionsmaBe 311

Inversion: Jede reguliire (quadratisehe) Matrix a der Ordnung n besitzt genau eine reguliire (quadratisehe) Inverse a -1 der Ordnung n, fiir welehe gilt:

a·a- 1 = a- 1 ·a = I. (A1.21)

Zur Bereehnung der Inversen a -1 interpretiert man a· a - 1 = a· x = I als Kurz-sehreibweise fiir n lineare Gleiehungssysteme (siehe Tafel 1.8) und bestimmt x = a - 1 dureh spaltenweise Losung. Fiir Inverse gel ten folgende Rechenregeln:

(aT)-l = (a- 1 )T, (a.b .... C·d)-l = d- 1 ·c- 1 •.•. b- 1 ·a- 1 . (A 1.22) Pseudo-Inversion: Reehteekmatrizen a der Ordnung (m x n) besitzen reehte oder linke Pseudo-Inversen (Halbinversen) a*, a** mit folgenden Eigensehaften:

Rechtsinverse a * gemii.13 a(m x n) . a(':. x m) = I(m x m) existiert, sofem a zeilenreguliir mit m < n, Linksinverse a** gemii.13 a(':.*x m)· a(m x n) = I(n x n) existiert, sofem a spaltenreguliir mit m > n.

Der Proze.13 der Pseudo-Inversion ist mehrdeutig; zur eindeutigen Losung sind Zusatzbedingungen erforderlieh [A1.2].

Orthogonalitiit: Jede reelle quadratisehe Matrix a, deren Produkt mit ihrer Transponierten die Einheitsmatrix ergibt, hei.l3t orthogonal:

Fiir orthogonale Matrizen gilt: det(a) = ± 1.

Ahnlichkeitstrans!ormation: Die beiden dureh die Transformation

b* = a-l·b·a

(A 1.23)

(A 1.24)

verbundenen Matrizen b, b* werden als zueinander iihnlich bezeiehnet; fiir sie gilt: det(b*) = det(b).

KongruenztransJormation: Die beiden dureh die Transformation

b** = aT·b·a (A 1.25)

verbundenen Matrizen b, b** werden als zueinander kongruent bezeiehnet. Kon-gruenztransformierte Matrizen entstehen im Zusammenhang mit kontragredienten TransJormationen von Spalten, dureh welche die Invarianz der Skalarprodukte dieser Spalten besehrieben wird. Beispiel: P = aT. s ist kontragredient zu v = a· V, deshalb: W = vT·s = VT ·aT·s = VT• P.

Al.3 Normeo uod Kooditioosma8e

Zur Abschiitzung relativer Fehler von Matrixoperationen dienen Normen von Vektoren, d.h. von Zeilen oder SpatteD, und von Matrizen sowie KonditionsmajJe.

312 Anhang 1: Matrizenalgebra

Als Norm definiert man dabei eine den in a vereinigten Elementen zugeordnete Zahl II a II, die ein MaD der GrojJe von a darstellt.

Vektornormen: Folgende Normen eines Vektors v der Ordnung m sind ge-briiuchlich:

Summennorm, ;=1

IIvllz = +JvT "v = Ivl Euklidische Norm, Spektralnorm,

IIvlloo = maxlv;l, i = l(l)m Maximumnorm. (A 1.26)

Matrixnormen: Vektor- und Matrixnormen sind miteinander vertriiglich, wenn fiir sie die Dreiecksungleichung

II a " v II :s;; II a II " II v II (A 1.27)

erfiillt ist. Folgende Matrixnormen sind gebriiuchlich: m

lIal1 1 = max L laul ,j = l(l)n Spaltensummennorm, ;=1

Euklidische Norm, Spektralnorm n

Iiall oo = max L la;jl ,i = l(l)m Zeilensummennorm. j=l

(A 1.28)

Konditionsmafte: Schlecht konditionierte (instabile) Losungsverfahren vergroBern relative Fehler der Eingabedaten in die Ausgabedaten hinein. Ein MaD zur Beurtei-lung der Losungsqualitiit eines Algorithmus bilden Konditionszahlen der betei-ligten Matrizen. Beispielsweise gilt fiir eine quadratische, reguliire Matrix a:

cond (a)H = i\ Ctl an r !Idet (a) I HADAMARDsche Konditionszahl, cond (a)p = lIallp"lIa- 1 lip . (A 1.29)

Diese Konditionszahlen liegen numerisch zwischen 1 (optimale Kondition) und o (Instabilitiit), dabei bezieht sich der Index p auf die weiter oben aufgefiihrten Normen. 1m Abschnitt 1.3.6 waren zu (A 1.29) reziproke KonditionsmaBe k = [cond (a)]-l verwendet worden, weil diese die Fehler der dort behandelten Gleichungsauftosung in natiirlicherer Weise beschrieben.

Al.4 Lineare Gleichungssysteme

Gegeben sei das System von m linearen Gleichungen

a"x=b (A 1.30)

Al.4 Lineare Gleichungssysteme 313

mit der KoeJfizientenmatrix a(mxm), der rechten Seite b(mx 1) und dem Vektor der Unbekannten x(m x 1):

(Al.3l)

Alle Koeffizienten aij' bi: i, j = l(l)m seien vorgegebene, reelle Zahlen. Dann heiBt derjenige Vektor x, dessen Komponenten Xi: i = l(l)m gerade das Gleichungssy-stem (Al.30) zu einer Identitiit machen, Losungsvektor von (Al.30).

Wegen der allgemeinen VerfUgbarkeit von Mikrocomputern und leistungs-flihigen Losungsalgorithmen wird die Auflosung linearer Gleichungssysteme in der Baustatik i.a. in einer Black-Box-Arbeitsweise erfolgen. Trotzdem sollte der be-rechnende Ingenieur das von ihm gestartete Losungsverfahren kennen und even-tuelle Schwiichen entdecken konnen. Man unterscheidet folgende Verfahren:

Direkte Losungsverfahren: Diese Verfahren liefern exakte Losungen, wenn man von den Rundungsfehlern in der Maschine absieht. Zu den direkten Losungsverfahren gehoren

• das Eliminationsverfahren von GAUSS (siehe Tafel 1.7): dieses iiberfiihrt a in eine obere Dreiecksmatrix r, so daB das System durch Riickwiirtselimination gelost werden kann;

• das Verfahren von GAUSS-JORDAN; • das Verfahren von CHOLESKY fUr eine symmetrische, positiv definite Koeffi-

zientenmatrix: Nach Zerlegung von a in zwei gleiche Dreiecksmatrizen entsteht aus (Al.30) rT·r·x=b, durch Vorwiirtselimination wird dies in r·x=rT·b transformiert, woraus durch Riickwiirtselimination x bestimmt werden kann;

• verschiedene Verfahren fUr Koeffizientenmatrizen mit Bandstruktur.

Pivot-Strategien verwenden in jedem Schritt jeweils diejenige Einzelgleichung mit dem betragsmiiBig groBten Element (= Pivot-Element) zur Elimination; durch sie wird der Rundungsfehler minimalisiert.

Iterative Losungsverfahren: Diese Verfahren gehen von einem Startvektor x(O) der Losung aus und verbessern diesen schrittweise. Neben den maschinellen Run-dungsfehlern tritt bei ihnen der iterative Abbruchfehler auf; beide Fehlerarten miissen sich aber nicht akkumulieren. Iterationsstrategien wei sen i.a. nur fUr bestimmte Strukturen der Koeffizientenmatrix a Konvergenzverhalten auf. Zu den iterativen Verfahren gehOren

• die Gesamtschrittverfahren nach JACOBI, • das Einzelschrittverfahren nach GAuss-SEIDEL (siehe Abschnitt 3.2.6), • die Relaxationsverfahren (siehe Abschnitt 3.2.6).

314 Anbang 1: Matrizenalgebra

Jeder Black-Box-Anwender soUte Techniken kennen, um die Stabilitiit des von ihm verwendeten Losungsalgorithmus beurteilen zu konnen. Besonders bei sich ver-groBemder Ordnung m und schlechter Konditionierung von a konnen Rundungs-fehler die LOsung unbrauchbar werden lassen. Ein besonders scharfer Genauigkeits-test basiert auf der folgenden, quadratischen und reguliiren Matrix m-ter Ordnung:

m+2 1 0 0 0

1 -- --2m+2 2 2m+2

1 1

1 0 0 0

2 2

0 1

1 1

0 0 2 2

0 0 1

1 0 0 (A1.32) a= 2

0 0 0 0 1 1 2

1 0 0 0

1 m+2 -- --2m+2 2 2m+2

deren exakte Inverse lautet:

m m-l m-2 m-3 ... 2 1 m-l m m-l m-2 ... 3 2

a- 1 = m-2 m-l m m-l 4 3 (A1.33)

2 3 4 5 m m-l 1 2 3 4 m-l m

Hieraus lassen sich gemii6 den Angaben der Tafel 1.8 genau m lineare Testsysteme herleiten, sofem man nicht die gesamte Inversion testen will (kann).

At.S Eigenwertaufgaben

Wir unterscheiden die allgemeine Eigenwertaufgabe

a'x = lb·x: (a - lb)·x = 0 bzw. yT· a = lyT 'b: yT '(a - lb) = 0

sowie die spezielle Eigenwertaufgabe (b = I) a'x = lx: (a - lI)·x = 0 bzw .

(A 1.34)

(A1.35)

A1.5 Eigenwertaufgaben 315

Hierin bezeichnen:

• a eine beliebige quadratische Matrix der Ordnung m, • b eine beliebige quadratische Matrix der Ordnung m. 1m Fall b :!- I muB a oder

b reguliir sein, urn das allgemeine Eigenwertproblem durch Multiplikation mit der existierenden Inversen in ein spezielles Eigenwertproblem transformieren zu konnen, beispielsweise

det(b):!-O: b- 1 ·(a-Ab)·x=(b- 1 ·a-A.I)·x=O. (A1.36)

• x m Rechtseigenvektoren (m x 1), • Y m Linkseigenvektoren (m x 1), beide als Losungsvektoren ihrer jeweiligen

Eigenwertaufgabe. • A m Skalare, die sog. Eigenwerte als Losung der charakteristischen Polynome

det (a - Ab) = 0 bzw. det (a - AI) = 0 , (A 1.37)

den Losungsbedingungen der jeweiligen Eigenwertprobleme.

Die spezielle Eigenwertaufgabe

(a - AI)·x = 0 bzw. yT ·(a - AI) = 0 (A 1.38)

besitzt m Eigenwerte Am als Wurzeln ihres charakteristischen Polynoms. Jedem Eigenwert Am ist mit der Vielfachheit seines Auftretens ein Eigenvektor xm zugeord-net, der bis auf seine Liinge bestimmt ist. Es gel ten folgende Siitze:

• a besitzt gerade r Eigenwerte :!- 0, wenn r den Rang von a bezeichnet. • a besitzt nur dann wenigstens einen Eigenwert A = 0, wenn det(a) = 0 gilt. • Die Anzahl der Nulleigenwerte von a stimmt mit deren Rangabfall uberein. • Zu verschiedenen Eigenwerten gehorende Eigenvektoren sind linear unab-

hiingig. • Zu einem einfachen (p-fachen) Eigenwert gibt es genau einen (mindestens einen,

jedoch hOchstens p) linear unabhiingigen Eigenvektor (unabhiingige Eigenvekto-ren).

m m

• Es gilt: sp(a) = L ali = L Ai' det(a) = A1 • A2 • A3 ' ... Am . (A 1.39) i=1 i=1

• Rechts- und Linkseigenvektoren verschiedener Eigenwerte Ai :!- Ak sind zueinan-der orthogonal: xl 'Yk = 0 .

• Rechts- und Linkseigenvektoren reguliirer Matrizen lassen sich orthonormieren: xl 'Yk = t5ik (t5ik: KRONECKER Delta).

SpezieUe Eigenwertprobleme symmetrischer Matrizen spielen eine wichtige Sonder-rolle; fUr sie gilt:

• Siimtliche Eigenwerte sind reell. • Fur positive Definitheit von a sind alle Eigenwerte positiv. • Rechts- und Linkseigenvektoren des gleichen Eigenwerts sind identisch.

Ordnet man in diesem Fall siimtliche m Eigenwerte Ai in der Diagonalmatrix A. an, der M odalmatrix, siimtliche Eigenvektoren xm in korrespondierender Reihenfolge

316 Anhang I: Matrizenalgebra

in u:

(A 1.40)

so transformiert sich das urspriingliche Eigenwertproblem in:

a·x = A.·x --+ a·u = u·A. . (A1.4l) Unter Voraussetzung orthonormierter Eigenvektoren uT • u = I entsteht hieraus durch Linksmultiplikation mit uT :

(A 1.42)

Durch diese Kongruenztransformation wird a in eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen iiberfiihrt, was als Eigenrichtungs- oder Hauptachsentransformation bezeichnet wird.

Als Beispiel transformieren wir die Nachgiebigkeitsbeziehung (2.40) eines ebe-nen, dehnstarren Stabelementes auf die Hauptachsen:

['IJP 1 [2 lJP [M1JP 'r = 6E1 1 2 . Mr Das Eigenwertproblem

(1P-AI).X=([~ ~J-A[~ ~J}x=o fiihrt iiber die Losungsbedingung

det (1 P - AI) = 12 ~ A 2 ~ )" = A 2 - 4A + 3 = 0 auf die beiden Losungen:

(A1.43)

A1 =3:x1 =f[!} A2 =l:x2 =f[_!} u=f[! _!} Damit lautet die Transformation von fP in ihre Eigenrichtungen:

(A 1.44)

Die Matrix fP* beschreibt das Nachgiebigkeitsverhalten des Elementes fiir die neuen Variablen

(Al.45)

d.h. fiir symmetrische und antimetrische Stabendvariablen.

A1.6 Literatur 317

Literatur

A1.1. Zunniihl, R.: Matrizen und ihre technischen Anwendungen, 4. Aufiage. Springer-Verlag, Berlin/Gottingen/Heidelberg 1964.

A 1.2. Zunniihl, R., Falk, S.: Matrizen und ihre Anwendungen fUr Angewandte Mathematiker, Physiker und Ingenieure, Teil 1 und 2, 5. Auftage. Springer-Verlag, Berlin/Gottingen/Heidelberg 1984.

A1.3. Engeln-MiiUges, G., Reutter, F.: Fonneisammlung zur Numerischen Mathematik mit Standard-FORTRAN 77-Programmen, 6. Aufiage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zurich 1988.

Al.4. Ayers, F.: Matrices. Schaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, New York 1962. A 1.5. Herschel, F.G.: Methoden der Ingenieunnathematik. Beitrag im Stahlbau Handbuch, Band 1, 2.

Auftage. Stahlbau-Veriags-GmbH, Koln 1982. A 1.6. Tomig, W.: Numerische Mathematik fUr Ingenieure und Physiker, Band 1 und 2. Springer-

Verlag, Beriin/HeidelbergiNew York 1979. A1.7. Bjork, A., Dahlquist, G.: Numerische Methoden. Verlag R. Oldenbourg, Munchen 1979. A1.8. Stoor, J. und Stoor, J., Bulirsch, R.: EinfUhrung in die Numerische Mathematik I und II, 2.

Auftage. Springer-Verlag, Berlin/HeidelbergiNew York 1976.

Anhang 2: Matrizencodes

A2.1 Allgemeine Erliuterungen

Matrizencodes oder Matrizeninterpretationssysteme [A2.1, A2.2, A2.3] fiihren Matrizenoperationen in Computem aus. Sie bestehen aus Operationsfolgen der linearen Algebra und Strukturmechanik. Eine einzelne Operation transformiert einen oder mehrere zu benennende Matrixoperanden in eine Ergebnismatrix, zumeist unter Angabe zusiitzlicher Steuerparameter.

Jede Matrizenoperation wird in einem zugehOrigen Programm-Modul durch Aufruf seines Namens und der Namen der Operanden (sowie durch Nennung eventueller Steuerparameter) aktiviert. Daher bilden die Modulnamen gleicbzeitig die syntaktischen Elemente einer dem Code zugeordneten symbolischen Sprache; die Aneinanderreihung dieser Namen ergibt das Programm. Ein zentraler Ver-waltungsmodul identifiziert Operatoren und Operanden, er organisiert die ge-wiinschten Zuordnungen, verwaitet den Arbeitsspeicher und spiirt logische Fehler auf [A2.4, A2.6].

Die Verkniipfung der erwiihnten Sprachelemente zu einem individuellen Ab-laufschema, dem Programm, ergibt sich unmittelbar aus dem strukturmechani-schen Algorithmus: die Modulaktivierung erfolgt im Sinne eines interpretativ arbeitenden Ubersetzungsvorganges. Jeder Modul besitzt datentechnisch nur einen Ein- und Ausgang; Modulverkniipfungen erfiillen aile Eigenschaften eines struktu-rierten Algorithmus [A2.5]. Der von uns in diesem Buch fiir die Darstellung eiiriger Grundalgorithmen verwendete Matrizencode MSD-micro [A2.7] wurde in FORTRAN 77 codiert und baut auf dem Hilfsmittel der Precompilertechnik auf. MSD-micro ist auf allen Mikrocomputern mit den Compilerversionen ~ 3.30 von MS-FORTRAN lauifahig.

A2.2 Operationsanweisungen in MSD-micro

1m folgenden werden die in diesem Buch aufgefiihrten sowie weitere Anweisungen von MSD-micro in einer Kurzform erliiutert. Zur ErhOhung der Ubersichtlichkeit wurde auf die Angabe aller Steuerparameter verzichtet; der hieran interessierte Leser sei auf [A2.7] verwiesen.

A2.2 Operationsanweisungen in MSD-micro 319

Systemanweisungen: START Loschen des Arbeitsspeichers LOAD Einlesen einer Matrix in den Arbeitsspeicher PRINT Ausdrucken einer Matrix STOP Beendigen eines Programmlaufs

Algebraische Matrizenoperationen: ADD Addition zweier Matrizen SUB Subtraktion einer Matrix von einer anderen TRANS Transponieren einer Matrix MAMUL Multiplikation zweier Matrizen SCALE Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar ZERO Bildung einer Nullmatrix DUPL Duplizieren einer Matrix EXRC Zeilen- und Spaltentausch in einer Matrix

Untermatrizenoperationen: DELRC Bildung einer Untermatrix durch Loschen von Zeilen und Spalten

STOSM ADDSM RMVB SELECT

einer Matrix Abspeichern einer Untermatrix in einer Matrix Addition einer Untermatrix in eine Matrix Extrahieren einer Untermatrix aus einer Matrix Aussondern von Elementen aus einer Spalte

Gleichungsloser: SOLVE Losung eines linearen Gleichungssystems INVERT Inversion einer nichtsinguHiren Matrix PSINV Bildung der Halbinversen einer zeilenregularen Rechteckmatrix CHOLl Dreieckszerlegung einer Matrix nach CHOLESKY CHOL2 Losung eines linearen Gleichungssystems nach Dreieckszerlegung

durch Vorwartseinsetzen CHOL3 wie vor, jedoch durch Riickwartseinsetzen

Stabstatikoperationen: ADDSTF Einbau von Element-Steifigkeitsmatrizen in eine Gesamt-Steifig-

FORMF FORMK CONDEN ROTATE

ELSTIF

keitsmatrix Bildung einer Element-Flexibilitatsmatrix Bildung einer Element-Steifigkeitsmatrix Kondensation einer Steifigkeitsmatrix Berechnung der Drehtransformationsmatrix ce eines Elementes aus den Element-Knotenbeziehungen und den Knotenkoordinaten Berechnung von k; aus den Elementdaten, den Element-Knotenbe-ziehungen und den Knotenkoordinaten

320 Anhang 2: Matrizencodes

Literatur

A2.1. Wilson, E.L.: SMIS-Symbolic Matrix Interpretive System. University of California, Berkeley, Department of Civil Engineering, Division SESM, Report No. 73-3, 1973

A2.2. Hahn, W., Mohr, K.: APL/PCXA, Erweiterung der IEEE-Arithmetik fur technisch-wissenschaft-Iiches Rechnen. C. Hanser Verlag, Munchen 1988

A2.3. Wilson, E.L.: CAL 78-Computer Analysis Language. University of California, Berkeley, Depart-ment of Civil Engineering, Division SESM, Report No. 79-1, 1979

A2.4. Kratzig, W.B., Metz, H., Schmid, G., Weber, B.: Mlss-SMls; Ein Matrizeninterpretationssystem der Strukturmechanik fur Praxis, Forschung und Lehre. Techn.-wiss. Mitteilungen Nr. 77-5 des IKIB, Ruhr-Universitiit Bochum 1977

A2.5. Mills, H.D.: Mathematical foundation for structured programming. Report No. FSC 72-6012, IBM Federal Systems Division, Gaithersburg/Maryland 1972

A2.6. Kratzig, W.B., Weber, B.: Modulare Programmsysteme a1s alternatives DV-Konzept in der Statik und Dynamik der Tragwerke. Die Bautechnik 60 (1983), H.3, S. 92-97

A2.7. Weber, B. et al.: MSD-micro; Matrizencode der Statik und Dynamik auf Mikrocomputern. Benutzerhandbuch 6.04, Institut fUr Statik und Dynamik, Ruhr-Universitat Bochum 1988

Sachverzeichnis

Abbruchfehler, 300 Abziihlkriterium, 3 Aul3ere Kinematen, 61, 191, 160 Akkumulationsfehler, 300 Auflagergrol3en, 62, 94, 100, 160 Aufpunkt, 46, 51, 207 Ausgabephase, 282 Automatic Structure Cutter, 154

Bandmatrix, 308 Bandstruktur, 294 Bandweiten-Optimierung, 295 Basis, rechtshiindige kartesische

globale, 58, 159 lokale, 59, 159

Berechnungsphase eines Programmsystems, 282 Biege1inienermittlung, 44, 101, 126

Definitheit von Matrizen, 308 Deformationsmethode, 198 Diagonaldominanz, 212 Direkte Steifigkeitsmethode, 260

Algorithmus, 285 Tragwerksmodell, 272

Diskontinuitiit, 7 Diskretisiertes Tragwerksmodell

direkte Steifigkeitsmethode, 275 Kraftgrol3enverfahren, 91 VVeggrol3enverfahren, 177 VVeggrol3enverfahren mit vollstiindigen inneren

Variablen, 245 Drehtransformation

ebener Stabelemente, 71, 266 riiumlicher Stabelemente, 73, 270

Drehungsanteil, 221 Drehungsfaktor, 221 Drehwinkelverfahren, 197

Algorithmus, 203 Iterationstechniken, 217

Dreiecksmatrix, 309 Dynamische Vertriiglichkeitsmatrix, 92

Eigenspannungen, 12 Eigenwertaufgabe, 141, 314

EinfluBinformationen von b, 100, 126 EinfluBlinien

Ermittlung, 44, 203 fUr VVeggrol3en, 44, 102, 126 fUr Kraftgrol3en, 47, 50, 101, 126 fUr statisch Unbestimmte, 53

Eingabefehler, 299 Eingabephase,282 Einheitszustiinde,7, 11, 112

Gruppen, 137 kompakte, 154 verallgemeinerte, 135

Einmischvorgang, 265, 277 Einzelverformungen, 39, 101 Elastizitiitsgleichungen, 10, 26, 113

Losungskontrollen, 15 Losungsstabilitiit, 37

Elastizitiitsmatrix, 26, 29 Element-

Knotenbeziehungen, 283 Nachgiebigkeitsbeziehung, 77 Nachgiebigkeitsmatrix, 79 Steifigkeitsbeziehung, 162, 243 Steifigkeitsdaten, 283 Steifigkeitsmatrix, 163, 195, 240

Eliminationsverfahren, 33 Energiesatz, 87 Ergiinzungszustand, 12 Ergebniszuveriiissigkeit, 299 Extremalsatz von CASTIGLIANO, 30

Fehlerdiagnose, 15 Fehlermoglichkeiten, 299 Feld-Ubertragungsbeziehung, 288 Festhaltekraftgrol3en, 167

globale, 265 unabhiingige, 170, 234 vollstiindige, 236, 254

Festigkeit, 2 Flexibilitiitsmatrix

aller Elemente, 81 eines Elementes, 79 Gesamt-,92

322 Sachverzeichnis

Formanderungsarbeit,4O F ortIeitungszahl, 226 Freiheitsgrade

aktive, 110 innere, 297 Koppel-, 297 reduzierte, 132 wesentliche, 60 zusatzliche kinematische, 111

Gesamt-Nachgiebigkeitsbeziehung, 92, 112 Steifigkeitsbeziehung, 179, 245 Ubertragungsgleichung, 292

Gleichgewicht Formulierungsvarianten, 93 Kontrollen, 15

Gleichgewichtsmatrix, 66, 92 Gleichgewichtstransformation, 68, 90, 176 Globale Elementsteifigkeiten, 265 Globale VolleinspannkraftgriiBen, 265 Gruppen von Einzelwirkungen, 137

Hauptsysteme automatische Wahl, 149 kinematisch bestimmte, 172 statisch bestimmte, 7, 110 statisch unbestimmte, 48, 144 unterschiedliche, 137

Inzidenzmatrix, 72, 263 Inzidenztabelle, 276, 283 Innere Zwangsbedingungen, 132 Iterationstechniken beim Drehwinkelverfahren,

217 Iterationsvorschrift nach GAUSS-SEIDEL, 219

Kinematische Bestimmtheit, 172 Bindungen,4 Ermittlung der Lagerreaktionen, 261 Formfunktionen, 231 Freiheitsgrade, wesentIiche, 60 Kette, zwangslaufige, 214 Kompatibilitat, 169 Vertraglichkeitsmatrix, 172 Zulassigkeit, 235

Knoten-drehwinkel, 75, 199 gleichgewichtsbedingungen, 3, 65 gleichungen, 202, 209 lasten,61

Knotenpunkt, 58, 159 Knoten-

steifigkeit, 211 weggriiBen, 75, 160 zusatzlasten, 83, 183 iibertragungsbeziehung, 288

KonditionsmaB, 38 Konformitat, 232

Kongruenztransformation, 92, 142, 179,311 Kontinuitatsbedingung, 10 Kontragredienz, 72, 90, 174 Kopplung von Freiheitsgraden, 135 KraftgriiBen

auBere, 61, 160 innere, 65, 76, 160

KraftgriiBenverfahren reduzierter Algorithmus, 119 Standardalgorithmus, 115, 122

Lagerreaktionen, 62, 94 Lagerungsbedingungen, 283 Lastgruppenverfahren, 138 Lastvektor, 290 Lastzustand, 7, II, 112

verallgemeinerter, 135

Makroelementtechnik, 297 Matrix

der Pik-Zahlen, 35 der 0ik-Zahlen, 29 Norm, 312 quadratische, 307 symmetrische, 308

Matrizencodes, 123, 183, 318 Modalmatrix, 315 Momentenausgleichsverfahren

von CROSS, 225 von KANI, 220

Nachgiebigkeit, 161 Nachgiebigkeitsmatrix, 29

aller Elemente, 81 eines Elementes, 79 Gesamtstruktur, 92

Nebenbedingungen, 4, 65 Netzgleichung, 213 Normen von Vektoren und Matrizen, 315

Orthogonalisierungsverfahren, 141 Orthogonalitat

der Drehtransformationsmatrizen, 267 der Einheitszustande, 16, 41, 140 von Matrizen, 71, 311

Orthonormierungsbedingung, 142

Parallelschaltung von Elementen, 165 Positive Definitheit

der Element-Flexibilitatsmatrix, 79 der Element-Steifigkeitsmatrix, 163

Postprocessing, 282 Potential, 230

konjugiertes, 130 Preprocessing, 282 Prinzip

der virtuellen KraftgriiBen, 39, 87 der virtuellen WeggriiBen, 87, 175

Programm-alterung, 300 fehler, 299 system, 292

Pseudo-Inversion, 153,311

Quadratische Matrix, 307

RAYLEIGH-RITZ-Verfahren, 232, 238 Reduktionssatz, 40, 125 Reduzierte Element-Steifigkeitsmatrix, 163 Regularitiit, 307

der Element-Nachgiebigkeit, 79 der Element-Steifigkeit, 163

Reihenschaltung von Elementen, 79, 165 Relaxationsfaktoren, 220 Relaxationsverfahren, 219 Riegelverschiebungsfreiheitsgrad, 214 Rundungsfehler, 300

Schnittgro8en-Zustandslinien,7, 100 Approximationen, 132

Schnittuferklaffung, 7, 11 Schubweichheit, 80, 165 Sekundiirstruktur, 83, 184 Semi-Definitheit der vollstiindigen Stabsteifigkeit,

239 Singularitiit

der Gesamt-Steifigkeitsmatrix, 260 der vollstiindigen Elementsteifigkeit, 239

Stabdrehwinkel, 75, 199 Stabeinwirkungen, 82, 167, 250 Stabelement, 58, 80, 159, 166,242

nichtprismatisches, 190 Stabendkraftgro8en, 63

abhiingige, 63 globale, 71, 266 unabhiingige, 65, 160 vollstiindige, 69

Stabendmomentenbeziehungen, 199 Stabendtangentenwinkel, 75 Stabendverformungen, 84, 88

lastabhiingige, 84 temperaturbedingte, 85

Stabendweggro8en, 73 abhiingige, 76 globale, 266 vollstiindige, 74 unabhiingige, 76, 160

Stabilitiit, 2 Stabliingung, 75 Stabsteifigkeit, 200 Standard-Kraftgro8enalgorithmus, 115 Standard-Weggro8enalgorithmus, 181, 183 Starrkorperbedingung, 232 Statische Unbestimmtheit, 2, 110 Statische Zuliissigkeit, 131 Statisch-geometrische (kinematische) Analogie,

90, 176

Sachverzeichnis 323

Statisch Uberziihlige, 7, 110 Statisch Unbestimmte, 7 Steifigkeit, 2, 161

eines Gelenkstabes, 200 eines Normalstabes, 200

Steifigkeitsmatrix aller Elemente, 166,244 eines Elementes, 163 Gesamt-, 179 globale, 268 reduzierte, 163, 233 vollstiindige, 236, 242

Substrukturen Methode der, 297 starre, 135

Triigerrost, 97, 103 Tragstruktur, 1 Tragwerke mit

unverschieblichem Knotennetz, 201 verschieblichem Knotennetz, 212

Tragwerksmodell, 1 diskretisiertes, 58, 91, 159, 177, 245, 275

Transformation Gleichgewichts-, 65, 176 kinematische, 86, 172

Transposition, 309

Ubertragungsverfahren, 286 Ungleichgewichtsmomente, 218 Untermatrix, 307

Vektornorm, 312 Verformungskompatibilitiit, 90, 169, 176 Verformungskontrollen, 15 Verschiebungsfeldapproximation, 232 Verschiebungsgleichung, 213 Verteilungszahl,277 Volleinspannkraftgro8en

globale, 265 unabhiingige, 168 vollstiindige, 236, 254

Volleinspannmomente, 200, 219, 226 Vollstiindigkeit, 232 Vorzeichenkonvention II, 163

Wechselwirkungsenergie, 76, 81, 91, 161 WeggroBen

iiuBere, 59, 160 innere, 73, 76, 80

Zeilendefizit von g, 11 0 Zustandsgro8en

iiuBere, 59, 160 innere, 63, 73, 160

Zustandsinformationen von b, 100, 126 Zwangskraftzustand, 12

Anteil der StabendkraftgroBen, 113 Zwangsliiufige kinematische Kette, 214

W. Tiimig, P. Spellucci

Numerische Mathematik fur Ingenieure

und Physiker Band 1

Numerische Methoden der Algebra 2.liberarb. u. erg. Aufl. 1988. XV, 345 S. 15 Abb. Brosch. DM 58,-ISBN 3-540-19192-5

Inhaltsiibersicht: Hilfsmittel, Nullstellenberechnung bei Gleichungen. -Lasung linearer Gleichungssysteme. - Lasung nichtlinearer Gleichungs-systeme. - Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren. - Literatur-verzeichnis. - Sachverzeichnis.

Band 2

Numerische Methoden der Analysis 2., liberarb. u. erg. Aufl. 1990. XIV, 471 S. 50 Abb. Brosch. DM 68,-ISBN 3-540-51891-6

Inhaltsiibersicht: Interpolation, Approximation und numerische Integra-tion. - Numerische Lasung von gewahnlichen Differentialgleichungen. -Numerische Lasung von partiellen Differentialgleichungen. - Literatur-verzeichnis. - Sachverzeichnis.

Dieses zweibfuldige Werk ist ein Lehr-und Nachschlagewerk. Es will Ingenieure und Naturwissenschaftler mit der Auswahl von solchen efftzienten numeri-schen Verfahren vertraut machen, die bei der Lasung von technischen und natur-wissenschaftlichen Aufgaben von Bedeu-tung sind.

R. Zurmiihl, S. Falk

Matrizen und ihre Anwendungen fur Angewandte Mathematiker, Physiker und ingenieure

5., Uberarb. und erw. Aufl.

Tei11

Grundlagen 1984. XIV, 342 S. 53 Abb. Geb. DM 98,- ISBN 3-540-12848-4

Inhaltsiibersicht: Der MatrizenkalkUl. - Lineare Gleichungen. - Quadrati-sche Formen nebst Anwendungen. - Die Eigenwertaufgabe. - Struktur der Matrix. - Blockmatrizen. - SchluBbemerkung. - Weiterfiihrende Literatur. -Namen- und Sachverzeichnis.

Tei12

Numerische Methoden 1986. xv, 476 s. 103 Abb. Geb. DM 128,- ISBN 3-540-15474-4 Inhaltsiiberischt: GrundzUge der Matrizen-numerik. - Theorie und Praxis der Transfor-mationen. - Lineare Gleichungen und Kehr-matrix. - Die lineare Eigenwertaufgabe. - Die nichtlineare Eigenwertaufgabe. - Matrizen in der Angewandten Mathematik und Mechanik. - Literatur zu Tei11 und Teil2. - Namen- und Sachverzeichnis.

Dieses Standardwerk ist geschiitzt wegen seiner praxisnahen, klaren Sprache bei gleich-zeitig praziser Darstellung. Es wurde aktuali-siert, ohne die bisher geschiitzten VorzUge aufzugeben; wegen der damit verbundenen inhaltlichen Erweiterung wurde eine Zweitei-lung vorgenommen.