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Lotterien: Lotterie: Zufallsvariable mit Auszahlungen

x, die mit gewissen Wahrscheinlichkeiten p eintreten.

Akteure wählen zwischen Lotterien Annahme: Akteure kennen Auszahlungen

und WahrscheinlichkeitenBsp: verschiedene

Investitionsmöglichkeiten, Schadeneintrittswahrscheinlichkeiten (Versicherung)

Entscheidungskriterium unter Unsicherheit

In einer naiven Sichtweise könnte man sich bei Entscheidungen unter Unsicherheit nach den maximalen Erwartungswert orientieren. D.h: man beurteilt die verschiedenen Lotterien nach ihrem Erwartungswert.

St. Petersburg ParadoxonMan wirft eine faire Münze. Wenn Kopf zu liegen kommt erhält man 2 Euro, bei Zahl wird noch einmal geworfen. Kommt beim zweiten Wurf Kopf so erhält man 4 Euro andernfalls wird noch einmal geworfen. Das Spiel wird solange weitergespielt bis Kopf geworfen wird.

E(x) = ∑pixi = ∑ (1/2i) * 2i = 1+1+1+1+....= ∞Doch niemand würde sein ganzes Geld in dieses Spiel investieren.

Daniel Bernoulli

Bernoulli schlug vor die Auszahlungen vorher mit dem ln zu transformieren, womit sich ein endlicher Wert der Erwartungssumme ergab.Das war der Startpunkt zum:Erwartungsnutzenkonzept, später interpretierte man ln als eine spezielle Nutzenfunktion.

Von Neumann –MorgensternErwartungsnutzentheorie Von Neumann und Morgenstern haben den

theoretischen Aufbau der Erwartungswert Nutzentheorie formuliert. Indem sie über eine Präferenzrelationen mit gewissen Eigenschaften beweisen können, dass dann eine reelle Funktion existiert, die konsistent ist in der Wiedergabe des Nutzenniveau. (Aus Präferenz für eine Lotterie folgt höheres Nutzenniveau für die Lotterie)

Präferenzrelation ≻ die auf der Menge der einfachen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über

den Raum der Auszahlungen X definiert ist erfüllt: Asymmetrie:Es gibt kein Paar p und q aus P, so dass p ≻q und q ≻p gilt

Negative TransitivitätWenn p ≻q, dann gilt für ein drittes Element z entweder p≻z oder z≻q oder beides.

Substitutionsaxiom oder UnabhängigkeitsaxiomWenn p≻q und α Element (0,1) und r eine andere

Wahrscheinlichkeitsverteilung dann gilt: α p+(1- α )r ≻ α q +(1- α )r

Archimedisches AxiomWenn p ≻q ≻r. Dann existieren Zahlen α und β in (0,1) , sodass α p+(1- α )r ≻q ≻ βp+(1- β)r

TheoremEine Präferenzrelation ≻ ,die auf der Menge P der einfachen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den Raum der Auszahlungen X definiert ist erfüllt die Axiome der Asymmetrie, der negativen Transitivität, der Substitution und das Archimedische Axiom dann und nur dann wenn eine Funktion u: X→ℝ existiert die das folgende erfüllt:

p≻q↔∑u(x)p >∑u(x)q

v präsentiert die gleiche Relation, dann und nur dann wenn es Konstanten a und b größer Null gibt, so dass

v = au + bDas heißt ≻ hat ein Erwartungsnutzen Repräsentation. Jeder mögliche Preis hat eine zugehöriges Nutzenniveau. Diese Funktion ist eindeutig bis auf eine positive affine Transformation

Das Allais ParadoxonNobelpreis 1953Widerspruch zur Erwartungsnutzentheorie(Substitutionsaxiom)

Wähle zwischen 1 und 2:

Lotterie 1 und 2p1 x1

0.33 25 0000.66 24 0000.01 0p2 x2

1 24 000

Wähle zwischen 3 und 4:

Lotterie 3 und 4p3 x3

0.33 25 0000.67 0P4 x4

0.34 24 0000.66 0

Die meisten wählen Lotterie 2 und Lotterie 3Das Widerspricht dem SubstitutionsaxiomMan kann zeigen, dass die Differenz des Erwartungsnutzen von A und B und von C und D gleich ist, aber nach den empirischen Präferenzen einmal größer und einmal kleiner 0 ist.

Schreibe die Lotterie wie unten auf, dann sieht man, dass jeweils die letzten Zeilen ident sind und so bei einem Erwartungsnutzen vergleich weggelassen werden können. Eine Präferenz der Lotterie 2 über 1 bedeutet: E(u(x1-x2)) = 0.33*u(25 000) +0.01u(0)-0.34u(24 000)<0Eine Präferenz von 3 über 4 bedeutet jedoch E(u(x3-x4)= 0.33*u(25 000) +0.01u(0)-0.34u(24 000)>0 Wiederspruch

Allais Paradoxonp1 x1

0.33 25 000

0.01 0

0.66 24 000

p2 x2

0.34 24 000

0.66 24 000

p1 x1

0.33 25 0000.01 00.66 24 000p2 x2

0.34 24 0000.66 24 000

Beispiel einer Lotterie Lotterie: U(x) = x0.5

P x0.5 10000.5 0

w0= 1000E(x) = 500Var(x) = 125 000

Der Value von der Lotterie V(x) = E(u(x)) = 0.5*(10000.5) =15,81

Das Sicherheitsäquivalent w*:

Zwischen welchem sicheren Wert w* und dem Anfangsvermögen plus Lotterie ist der Akteur indifferent?

U(w*) = ∑piU(w0 + xi)

Bsp:(w*0.5) = 0.5*20000.5 + 0.5 * 1000 0.5=

38,17 W* = 38,172 = 1457.106

Der Ask-PriceDer Angebotspreis

Minimaler Preis um den der Akteur die Lotterie verkaufen würde. D.h. er ist indifferent zwischen verkaufen und halten der Lotterie.

pa = w*-woBsp.:Pa = 1457.106 – 1000 = 457.1

Der Bid-priceNachfragepreispreis

Welche maximale Zahlungsbereitschaft hat ein Akteur um eine Lotterie zu kaufen?

U(w0) = ∑piU(w0 +x –pb)

Bsp: 10000.5 = 0.5(2000 – pb)0.5 + 0.5(1000 –

pb)0.5

Risiko

Man sagt jemand ist risikoneutral wenn die Nutzenfunktion eine lineare Funktion ist.

Eine lineare Nutzenfunktion bedeutet, dass der Erwartungsnutzen immer gleich dem Erwartungswert ist.

Eu(x) = E(x)

Die Sicherheitsprämie

Die Sicherheitsprämie gibt die Risikoaversion des Akteurs an

П = E(x) –paП = 0 risikoneutralП > 0 risikoaversП < 0 risikofreudig

Arrow Pratt Approximationder absoluten Risikoaversion

Durch Umformen und Näherungsweise Berechnung erhält man folgende Formel:П ≌ 0.5var(x)(-u´´(w0+E(x))/u´(w0+E(x))

Die Größe der Risikoprämie hängt von der Varianz ab und das Vorzeichen von der Krümmung durch die Steigung.

Da die Steigung positiv ist (je mehr Geld desto besser) ist das Vorzeichen und damit per Definitionem auch das Risikoverhalten von der Krümmung abhängig.

Folgerung:

Ist u´´ < 0 ⇒ П > 0 risikoavers u konkav Ist u´´ > 0 ⇒ П < 0risikofreudig u konvexIst u´´ = 0 ⇒ П = 0risikoneutral u linear

Andere Definition von Risikoverhalten

Aus der Jensen Ungleichung für konvexe Funktionen erhält man die in der Literatur häufig verwendete Definition von Risikoverhalten:

u(E(x)) > E(u(x)) Risikoaversu(E(x)) < E(u(x)) Risikofreudigu(E(x)) = E(u(x)) Risikoneutral

Der Nutzen einer sicheren Auszahlung ist beim risikoaversen höher als der Erwartungsnutzen einer Auszahlung mit dem gleichen Erwartungswert.

Grad der absoluten Risikoaversion Aa

Aa = -U´´(w)/U´(w)

Aa ist ein lokales Maß von Risikoverhalten. Man nennt es den absoluten Grad der Risikoaversion.

Ta = 1/Aa

heißt Grad der RisikotoleranzBeides sind Funktionen abhängig vom Vermögen.

Grad der relativen Risikoaversion

Ar = - wU´´(w)/U´(w)

Ar = w Aa

Ob man den Grad des Risikoverhaltens mit relativen oder absoluten Grad der Risikoaversion misst hängt von der Gegebenheit der Lotterie ab: Bei additiven Lotterien ist das relevante Maß Aa bei mulitplikativen Lotterien Ar.

Die quadratischen Nutzenfunktion U(x) = a + bx –cx2

0

20

40

60

80

1 3 5 7 9

11

13

15

17

19

21

23

25

wealth

utility

Die logarithmische Nutzenfunktionu(x) = lnx

0

1

2

3

4

5

1 5 9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

wealth

utility

Die negative Exponentialfunktionu(x) = - exp(-αx)

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

wealth

utility

Das Erwartungswert-VarianzKriterium

Geht man von einem quadratischen Nutzenindex aus wobei aber die Beschränkung b-2cx > 0 (mehr Geld ist besser) gilt erhält man das Erwartungswert-Varianzkriterium bei dem die Bewertung der Lotterie nur vom Erwartungswert und der Varianz der Lotterie abhängt

Herleitung des Erwartungswert –Varianz Kriteriums aus dem quadratischen Nutzenindex

(E(u(w0+x)) =

=∑ pi (a+b(w0 + xi) –c (w0 +xi)2)

= a∑pi + bw0∑pi +b∑ pi xi– c(w02∑pi +2w0∑pixi

+∑pixi2)

= a+ bw0+bE(x) – c(w02 +2w0E(x) +∑pixi

2)Aus Var(x) = E(x2)- (E(x))2 folgt= a+ bw0+bE(x) – c(w0

2 +2w0E(x) +E(x)2+Var(x))

Erwartungswert-Varianzkriterium

V = E(wo+x) –kVar(x)

k ist der Grad der RisikoaversionBei einem positiven k ist der Akteur risikoavers und umso größer k ist umso größer ist der Grad der Risikoaversion

Die Indifferenzkurven

Die Indifferenzkurven zwischen Erwartungswert und Varianz sind je nach Risikoverhalten:

steigende Funktionen für risikoaversefallende Funktionen für risikofreudige horizontal für risikoneutrale Akteure

Risiko nach Rothschild -Stiglitz

Seien x und y Zufallsvariablen (Ausgänge einer Lotterie) und F(x) und G(x) die kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die Akteure risikoavers und sei E(x) gleich E(y), dann sind folgende vier Aussagen äquivalent:

G(y) ist zumindest genauso risikoreich wie F(x), wenn alle risikoaversen Akteure indifferent zwischen den beiden Lotterien sind oder F(x) bevorzugen.

G(y) ist zumindest genauso risikoreich wie F(x), wenn man G(y) aus F(x) erhält indem man den Erwartungswert gleich läßt aber mehr Gewichte auf die tails der Verteilung gibt.

G(y) ist zumindest genauso risikoreich wie F(x), wenn die Zufallsvariable y = x + „white noise“.

G(y) ist risikoreicher wenn die Fläche unter der kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilung als erste größer wird.(Integralbedingung)

Folgerungen:

Größere Varianz muss nicht immer größeres Risiko bedeuten.

Risiko hängt auch von den höheren Momenten ab. (Skewness und Kurtosis)

Folgerungen:

Für Akteure mit quadratischer Nutzenfunktion ist die Varianz das optimale Risikomaß.

Für normalverteilte Auszahlungen ist die Varianz das optimale Risikomaß.

Bsp. Von J.E. Ingersoll Jr (1987)

Lotterie x: x p0 0.54 0.5

E(x) = 2 Var(x) = 4 Lotterie y: y p

1 7/89 1/8

E(y) = 2 Var(y) = 7

Hat der Akteur einen Nutzenindex von U(w) = w0.5 und sei w0 =1

E(U(w0 + x)) = 1.62

E(U(w0 + y)) = 1.63

Man sieht dass skew und kurtosis ungleich 0 sind - die Symmetrie und die tails hängen von den höheren Momenten ab.

Stochastische Dominanz

Risiko nach Rothschild Stiglitz wird auch als stochastische Dominanz zweiter Ordnung bezeichnet.

Gegeben sind zwei Zufallsvariablen X und Y mit den Verteilungsfunktionen F ung G Dann heißt Y riskanter als X wenn gilt:

t

dxxFxGt 0))()((:

Stochastische Dominanz

Die Theorie der stochastischen Dominanz wird mit der Erwartungsnutzentheorie verbunden: Es kann gezeigt werden, dass für alle u aus der Menge der monton steigenden und konkaven Funktionen gilt: Eine Zufallsvariable X dominiert Y genau dann wenn E(u(X)) >(=) Eu(Y)) .

Stochastische Dominanz

Vergleicht man zwei Lotterien mit dem gleichen Erwartungswert, betrachte die Verteilungsfunktionen, welche zuerst, den größeren Flächeninhalt hat ist riskanter – überlege warum.

Versicherung und Vermögen

Vermögen ohne Versicherung:Anfangsvermögen...w0 Schadeneintrittswahrscheinlichkeit...pSchadenshöhe...SErwartetes Endvermögen ohne

Versicherung:E(wf) = p(w0-S) + (1-p) w0

= w0-pS

Endvermögen und Versicherung

Vermögen mit VersicherungSchadenersatzleistung ... ZPrämiensatz der Versicherung... ПPrämie...Z ПDas erwartete Vermögen ändert sich so zu:E(wf) = p(w0- Z П -S + Z ) + (1-p)(w0- Z П)

= w0- pS + (p - П)Z

Die versicherungstechnisch faireVersicherungsprämie

Eine Versicherung ist versicherungstechnisch fair, wenn die Prämie pro versicherte Geldeinheit gleich der Schadeneintrittswahrscheinlichkeit ist.

p = П

Das erwartete Endvermögen verändert sich auf: E(wf) = w0- pS d.h das erwartete Vermögen bleibt bei einer fairen Versicherung unverändert

Jedoch ändert sich die Auszahlung je nach Deckungsgrad der Versicherung.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert sich durch die Versicherung das erwartete Endvermögen jedoch nicht.

Ohne Versicherung:w0 = 35 000 Euro

S = 10 000 Europ = 1%Wahrscheinlichkeitsvertei

lung

1%...25 00099%...35 000

Mit Versicherung:w0 = 35 000 EuroS = 10 000 Europ = 1%П = 100 (fair 1% von S)Z = 10 000Wahrscheinlichkeitsverteilu

ng

1%...34 90099%..34 900

Vollversicherung Versicherungsprämie ist fair Versicherungsnehmer kennen das Risiko Das Versicherungsunternehmen kennt die

Schadenseintrittwahrscheinlichkeit. Die Änderung des Risikos ist beobachtbar.

Sind diese Punkte erfüllt tritt bei risikoaversen Konsumenten Voll-versicherung ein: Er hat höheren Nutzen an einem sicheren Vermögen als an einem unsicheren mit gleichen Erwartungswert.

Erwartungsnutzen und Versicherung

Erwartungsnutzen und faire Versicherungsprämie

Eine faire Versicherungsprämie geht von einem risikoneutralen Verhalten der Versicherung aus, da die Prämie nur vom Erwartungswert abhängt, dass ist sinnvoll wenn vollständige Risikodiversifikation möglich ist.

Sind die übernommenen Risiken jedoch nicht völlig unabhängig wird sich die Versicherung risikoavers verhalten und einen Risikoaufschlag verlangen.

Optimaler Versicherungsvertrag

Definition: Ein Versicherungsvertrag ist optimal, wenn er das Problem

Max E[u(w0-P- x +l(x)] unter den Nebenbedingungen

P = (1+λ)E[l(x)]Und l(x) ist steigend mit 0l(x) x Für

alle x in [0,w0]

Versicherungsvertrag mit Selbstbehalt

Versicherungsverträge mit Selbstbehalt werden durch die Funktion:

l(x) = max[0,x-D], D0D ist der Selbstbehalt, charakterisiert.

Optimaler VersicherungsvertragDer optimale Versicherungsvertrag l* nach

der vorherigen Definition ist ein Versicherungsvertrag mit Selbstbehalt.

Das heißt von allen möglichen Versicherungsverträgen(Teilversicherung oder Selbstbehalt oder kombinierte Modelle alle mit gleichem Erwartungswert) ist für risikoaverse Akteure der mit dem Selbstbehalt optimal.

Optimaler Versicherungsvertrag

Beweis: Man verwendet die Beurteilung von Lotterien nach Rotschild und Stiglitz, welche nach einem Kriterium besagt, dass bei gleichen Erwartungswert diejenige Lotterie risikoreicher ist, welche von den kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zuerst größer ist. Man kann nun zeigen, dass dies für alle anderen Vertragsformen gilt.