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Aufgabenkultur Offene Aufgaben

Bei Mathematikaufgaben, deren Lsung nicht eindeutig ist, spricht man von offenen Aufgaben. Es gibt im Wesentlichen vier Strategien, wie man offene Aufgaben gewinnen kann: Strategie 1: Fragen stellen lassen Strategie 2: Informationen weglassen oder Informationen hinzufgen Strategie 3: Verbalisieren Stellung nehmen Interpretieren Strategie 4: Abschtzen Ein Bild als Ausgangspunkt, Fermiaufgaben Kernidee der offenen Aufgaben: Offene Aufgaben machen Schler offen fr Mathematik! Folgende Beispiele sollen dies verdeutlichen. 1. Variation einer Sachaufgabe Oft lsst sich eine klassische Sachaufgabe, wie sie in jedem Schulbuch steht, ganz einfach in eine offene Aufgabe verwandeln. Ein Parkplatz ist 5000 m2 gro. Jeder Stellplatz ist 3 m breit und 5 m lang, 40% der Flche werden fr Zufahrtswege bentigt. Wie viele Autos knnen auf dem Platz parken? Diese Aufgabe hat genau eine Lsung. Lassen wir nun alle Zahlenvorgaben weg: Ein Parkplatz ist ungefhr so gro wie ein Fuballplatz. Wie viele Autos knnen in etwa darauf parken? Erklre deine berlegungen! (Von Dr. Volker Ulm) Es entsteht eine Aufgabe, die Annahmen, Entscheidungen, Vereinfachungen und Abschtzungen erfordert, d.h. eine Aufgabe, die viel Freiraum fr mathematisches Arbeiten erffnet. 2. Stellung nehmen Offene Aufgaben erhlt man immer, wenn man die Schler auffordert, zu etwas Stellung zu nehmen. Ein Beispiel: Ein erfolgreicher Fuballprofi prahlt: Die Bosse vom Verein wollten mir nur ein Drittel Gehaltsaufbesserung geben, aber ich habe auf ein Viertel bestanden. Wenn sie nicht nachgegeben htten, htte ich doch glatt den Verein gewechselt. Was meinst Du zu dem Fall?

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3. Einstieg in neue Themen Offene Aufgaben eignen sich hervorragend als Trffner fr neue Lerninhalte. Folgende Aufgabe wurde gestellt bevor das Thema Dezimalzahlen behandelt wurde. Wusstest Du, dass im Berufsverkehr im Durchschnitt nur 1,2 Personen in einem Auto sitzen? Die folgenden Fragen knnen als Hilfestellung dienen. Was bedeutet das? Wie waren die Autos besetzt, wenn 10 Autos kontrolliert wurden? Bei 40 kontrollierten Autos waren 39 mit je einer Person besetzt. Ist das mglich? In 40 Autos saen 60 Personen. Wie viele Personen saen durchschnittlich in

einem Auto? 4. Mathematik aus der Zeitung

In folgender Zeitungsmeldung wird eine Fehlerquote eingerumt. Berechne damit eine obere und eine untere Grenze der Bevlkerungszahl in China! Was hltst du von der Genauigkeit in der berschrift? In China leben offiziell 1 133 682 501 Menschen PEKING, 31. Oktober (Reuter). Die Ergebnisse der jngsten Volkszhlung in China sind nach Angaben der auslndischen Behrden berprft und fr korrekt befunden worden. Am Dienstag waren erste Ergebnisse der vierten landesweiten Zhlung in China bekannt gegeben worden. Am Stichtag 1. Juli 1990 lebten demnach 1 133 682 501 Menschen in der Volksrepublik. Die Behrden selbst gehen von einer Fehlerquote bei der Erfassung von 0,6 Prozent aus. Gemessen an dem Ergebnis der Volkszhlung von 1982 bedeutet dies einen Bevlkerungszuwachs um 125,5 Millionen, zugleich wird damit das bevlkerungspolitische Soll um 20 Millionen berschritten. (Frankfurter Rundschau, 1.11.1990) [HERGET; SCHOLZ 1998 und HERGET 1999] 5. Fehler als Lerngelegenheit, bung zum Verbalisieren Hochwasser 2005 Reporter: Pro Sekunde flieen 1100m Wasser durch die Iller. Dazu Minister Schnappauf zum Hochwasserschutz: Wir brauchen Auffangbecken fr die Iller von ein paar Millionen Liter. Sozialpolitik Jeder zweite Euro, d.h. jede vierte Mark wird fr Soziales ausgegeben. Wirtschaftspolitik Bernd Rrup: Wir brauchen eine jhrliche Wachstumsrate von 1,7% um eine lineare Wirtschaftsentwicklung zu haben.

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6. Abschtzen Ein Bild als Ausgangspunkt Bilder haben im Vergleich zu Texten einen hohen Aufforderungscharakter und knnen auf vielerlei Art zu mathematischem Denken und Arbeiten inspirieren. Zeitung lesen unter erschwerten Bedingungen ... Wie hoch ist ein Stapel von 11 111 Blatt Papier? Wie schwer ist wohl dieser Stapel Zeitungen? (Aus Produktive Mathematikaufgaben, Herget, Cornelsen Verlag, ISBN 3-464-54360-9) Hier kommt es natrlich nur vordergrndig auf das Endergebnis an. Viel wichtiger sind die vielschichtigen Modellbildungsprozesse, die zur Lsung fhren. Die Schler mssen die Situation analysieren, vereinfachen und in die Sprache der Mathematik bersetzen. Anschlieend mssen sie das mathematische Problem mit den ihnen verfgbaren Werkzeugen bearbeiten und das Ergebnis in der vorliegenden Situation interpretieren. Vor allem gewinnen die Schler auch Mut, selbststndig ein Problem anzupacken und eigene Wege in der Mathematik zu gehen. Es gibt ja nicht nur die einzige Lsung oder den richtigen Lsungsweg, den nur der Lehrer vorher kennt. 7. Fermi-Fragen Dem amerikanischen Physik-Nobelpreistrger Enrico Fermi (1901- 1954) wird nachgesagt, dass er seine Studenten mit einer speziellen Art von Fragen angeleitet hat, ungewohnte, zunchst unlsbar erscheinende Probleme anzupacken.

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Ein Beispiel: Haare wachsen sehr langsam. In der heutigen Mathematikstunde wchst jedes Haar auf deinem Kopf ein kleines Stckchen heraus. Stelle dir alle diese kleinen Stckchen aneinander gelegt vor. Welche Haarlnge wchst insgesamt whrend dieser Unterrichtstunde aus deinem Kopf heraus? Die Situation ist leicht verstehbar, besitzt einen engen Bezug zum Alltag, doch man hat nicht die leiseste Ahnung, wie die Antwort lauten knnte. Auch hat man das Gefhl, dass die Informationen nicht ausreichen, um berhaupt eine Lsung zu finden. Allerdings muss man nur den Mut besitzen, anzufangen, Alltagswissen zu aktivieren, plausible Annahmen zu machen und sich von einer Unter-Frage zur nchsten zu hangeln, z.B.: Wie oft gehe ich zum Friseur? Welche Haarlnge wird dabei abgeschnitten? Wie lang wchst ein Haar pro Stunde? Wie viele Haare habe ich auf dem Kopf? Welche Flche bedecken die Haare? Wie viele Haare wachsen auf 1 cm2 Kopfhaut? Einige weitere Fermi-Fragen als Anregungen: Wie viel Geld verraucht ein Raucher in seinem Leben? Wie viele Noten werden in allen deutschen Schulen pro Jahr erteilt? Wie viele Luftballons passen in unser Klassenzimmer? Wie viele Buchstaben hat die Samstagsausgabe der Sddeutschen Zeitung? Wie viel Zeit hast du in deinem bisherigen Leben im Badezimmer verbracht? Wie lang wird der Streifen, wenn man eine Tube Zahnpasta ausdrckt? Hier kommt es fr die Schler auf Kreativitt und Phantasie ebenso an wie auf harte mathematische Arbeit. 8. PISA Aufgaben Flche eines Kontinents Hier siehst du eine Karte der Antarktis. Schtze die Flche der Antarktis, indem du den Mastab der Karte benutzt. Schreibe deine Rechnung auf und erklre, wie du zu deiner Schtzung gekommen bist.

1000 km

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Aufgabenbeispiele Aufgaben, die eigenverantwortliches Arbeiten in besonderem Mae frdern, sind Aufgaben, die in ihrer Struktur eine gewisse Offenheit besitzen, Aufgaben, bei denen die Schler whrend der Bearbeitung eine gewisse Autonomie erfahren. Betrachten wir einige Beispiele, um ein Gefhl dafr zu erhalten, was Offenheit bedeutet. Dabei werden sich gleichzeitig Strategien zeigen, mit denen man offene Aufgabe gewinnen kann, um eigenverantwortliches Arbeiten im alltglichen Unterricht anzustoen. Fragen stellen lassen Ein Beispiel zur Bevlkerungsentwicklung:

Die Entwicklung der Weltbevlkerung Auf der Homepage der Vereinten Nationen (http://www.undp.org/popin) findet man unter anderem Informationen ber die Entwicklung der Weltbevlkerung. Die Tabelle nebenan enthlt dazu einige Daten.

a) berlege dir zu dieser Thematik interessante Fragestellungen und versuche sie zu beantworten.

b) Informiere dich mit Hilfe des Internets

ber Bevlkerungsentwicklung, stelle deine Ergebnisse bersichtlich dar und prsentiere sie deinen Mitschlern.

Die beschriebene Situation wirft implizit Fragestellungen auf wie z.B.:

Wie lassen sich die Daten graphisch bersichtlich darstellen? Welche Visualisierungsart ist dazu zweckmig? Wie gro war der prozentuale Zuwachs in den einzelnen Jahrzehnten? In welchem Jahrzehnt war der prozentuale Zuwachs am grten? Um wie viel Prozent ist die Weltbevlkerung im 20. Jh. gewachsen? Wie wird sich die Weltbevlkerung weiterhin entwickeln? Wie viele Menschen leben in 50 Jahren auf der Erde? Wie hat sich die Bevlkerung in den vergangenen 2000 Jahren entwickelt? Gibt es einen Funktionsterm, der diesen Zusammenhang beschreibt? Wie ist die Situation in Deutschland?

Jahr Bevlkerung in Mrd. 1900 1,65 1910 1,75 1920 1,86 1930 2,07 1940 2,30 1950 2,52 1960 3,02 1970 3,70 1980 4,44 1990 5,27 2000 6,06

http://www.undp.org/popin

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Informationen weglassen Aufgaben im Fach Mathematik wie auch in den Naturwissenschaften sind in der Regel so formuliert, dass sie genau die zur Lsung bentigten Informationen enthalten. Sind mehr Informationen gegeben, verwirrt dies die Schler, fehlen Informationen wir die Aufgabe als unlsbar eingestuft. Es ist klar, dass dies absolut knstliche Situationen sind, die es nur in der Schule gibt. Realistische Probleme sind selten in allen Details definiert. Ein Beispiel fr eine klassische Sachaufgabe: Ein Parkplatz ist 5000 m2 gro. Jeder Stellplatz ist 3 m breit und 5 m lang, 40% der Flche werden fr Zufahrtswege bentigt. Wie viele Autos knnen auf dem Platz parken? Diese Aufgabe luft auf die eine Lsung hinaus, die der Aufgabensteller im Hinterkopf hatte. Es kommt vor allem darauf an, die gegebenen Zahlen richtig miteinander zu kombinieren. Lassen wir alle Zahlenvorgaben weg: Ein Parkplatz ist ungefhr so gro wie ein Fuballplatz. Wie viele Autos knnen in etwa darauf parken? Erklre deine berlegungen! Es entsteht eine