Ausgewählte Kapitel der Physik

MechanikLehre von den Kräften = Dynamik

11.04.23

Mechanik

• Dynamik: Kraft und MasseEine Kraft beeinflusst einen Körper insofern sie seinen Bewegungszustand ändert,und / oder ihn deformiert. Nur durch diese Wirkung wird Kraft erkennbar. Fundamentale Kräfte sind die Gravitationskraft, die elektrische- und die magnetische Kraft.

Unter „Masse“ verstehen wir zwei verschiedene Erscheinungsformen desselben Körpers, und zwar:

Die Schwere = Graviation = MassenanziehungDie Trägheit = Widerstand gegen Änderungen des Bewegungszustands.

[Träge Masse] = [schwere Masse] = 1kg (Paris)

• Newtonsche Axiome

11.04.23

Die Newtonschen Axiome verknüpfen die Bewegungen mit den sie verursachenden Kräften.

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• Erstes Axiom von Sir Isaak Newton

11.04.23

Die Ursache jeder Bewegungszustands-Änderung ist das Wirken von Kräften.

Das Trägheitsprinzip besagt:

Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine äußeren Kräfte auf ihn wirken.

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• Zweites Axiom von Sir Isaak Newton

11.04.23

1N ist die Kraft, die der Masse1 kg die Beschleunigung 1 m/s² erteilt.

Die wirkende Kraft und die erzielte Beschleunigung sind zueinander proportional

F = ~ aDie Proportionalitäts-konstante ist die Masse

F = m * a[F] =1kg*1m/s² =1Newton

Wenn eine Bewegungsänderung beobachtet wird,dann steckt eine Kraft dahinter!

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• Zweites Axiom von Sir Isaak Newton

11.04.23

1N ist die Kraft, die der Masse1 kg die Beschleunigung 1 m/s² erteilt.

Auf jeden Körper wirkt die Schwerkraft der Erde bzw. anderer (Himmels-) Körper. Die Masse ist schwer, lat.: „gravis“ . Die Gravitation des einen Körpers wirkt auf eine andere schwere Masse anziehend. Und umgekehrt. (Ob es eine abstoßende Gravitation gibt, wir derzeit untersucht)Unter der Gewichtskraft versteht man die Kraft, die auf ihn im Schwerefeld einer großen Masse wirkt.Diese Kraft bewirkt ebenfalls eine beschleunigte Bewegung (wenn man die Probe nicht zurückhält)

Die Gewichtskraft (=Gewicht) ergibt sich zu:G = m*g m= Masse in kgG = m * 9,81 m/s² Erdbescheunigung auf Meeresniveau

Äquator: g=9,780 m/s² 45° n. Breite g=9,806 m/s² Pol: g=9,832 m/s²

Wenn eine Bewegungsänderung beobachtet wird,dann steckt eine Kraft dahinter!

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• Drittes Axiom von Sir Isaak Newton

11.04.23

Das Reaktions- oder Wechselwirkungsprinzip:Jede Kraft besitzt eine Gegenkraft von gleichem Betrag aber entgegengesetzter Richtung.Die Angriffspunkte der Kräfte liegen in zwei verschiedenen Körpern.

Beispiele: Gravitationskraft, Kräfte zwischen zwei Magneten, elektrische Kräfte zw. Geladenen Körpern, Kernkräfte, Kräfte bei elastischen Verformungen, Kräfte zwischen Molekülen,…

Wenn zwei Kräfte an einem Körper angreifen, sind dies nicht Reaktionskräfte im Sinne des 3. Axioms.Diese können sich kompensieren oder auch ein Drehmoment erzeugen.

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• Dynamik der Drehbewegung

11.04.23

Wenn sich eine Punktmasse (oder ein Massepunkt eines starren Körpers) auf einer Kreisbahn bewegt, so ist ständig eine zum Mittelpunkt gerichtete (= zentrale) Beschleunigungwirksam. Die Kreisbewegung verlangt daher eine zum Rotationszentrum gerichtete Kraft, die Zentripetalkraft. Es gilt wie bei der Translation:

F = m*ar

Die Zentralbeschleunigung ar hängt mit der Bahngeschwindigkeit der Umdrehung zusammen:

ar = v²/r = ² * r

Fr = m*ar = m*v²/r =m*² *r

Die nach Außen wirkende Gegenkraft Fz ist gleich groß!

Fr = -Fz

Die Corioliskraft ist eine Kraft die auftritt, wenn man sich auf der rotierenden Scheibe mit v nach Außen oder Innen bewegt.

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• Dynamik der Drehbewegung

11.04.23

Die Formel: Fr = m*ar (= -Fz )

beschreibt die Zentralkraft bei der Rotation. Mit dieser Kraft wird ein Masseteilchen auf der Kreisbahn zurückgehalten. (Sonst würde es tangential wegfliegen).

Eine Tangetialkraft ist notwendig, wenn man die Scheibe in Rotation versetzen möchte, bzw. wenn die Winkelgeschwindigkeit geändert werden soll:

Ft ~

Für den Antrieb ist auch entscheidend, in welchem Abstand von der Drehachse die Kraft angreift, wie groß also das Drehmoment M = Ft * r (Kraft mal Hebelarm) ist:

M ~ Die Trägheit gegenüber der Bewegungsänderung hängt nicht bloß von der Masse ab, sondern auch von deren Verteilung J im Hinblick auf die Drehachse:

M = J * Der Proportionalitätsfaktor J heißt Massenträgheitsmoment

Das Massenträgheitsmoment berechnet man aus Radius ri² mal Masse mi aufsummiert über alle Punkte des Körpers.

Diese Integrale sind für zahlreiche Geometrien schon berechnet und tabelliert

2J r dm

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• Massenträgheitsmoment

11.04.23

Eine (punktförmige) Masse auf einer Kreisbahn hat das Trägheitsmoment : J = m*r²z.B. m=100g, r=1,5m J= m.r² = 0,225 kg.m²

Ein Ring besteht aus hintereinander gereihten Massenpunkten im gleichen Abstand r vom Drehpunkt. Damit wird J= r² m z.B. m=0,5Kg, r=30cm, J=0,3².0,5 kg.m²=0,045kg.m²

Bei einer Scheibe muss richtig integriert werden. Die inneren Massen tragen wegen des Quadrats von r weniger zum Trägheitsmoment bei als gleiche Massen weiter außen.z.B. Eine Scheibe mit Masse 2kg und Durchmesser 20cm; J= ½ M*R² = ½ 2kg.(0,1m)² = 0.01kgm²

2

4 222 21

20 0

Herleitung der Formel für axiale Zylinder aus: .

Volumenselement: * * * * * * . *

* * . * * *2 * * *4 2

i

R

J r dm

dm dV h db dr h r d dr

R RJ h r r d dr h V M R

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• Massenträgheitsmoment - Drehachsen

11.04.23

Bei Kenntnis des Trägheitsmoments Js um eine Drehachse durch den Schwerpunkt lässt sich das Trägheitsmoment um eine um den Abstand s parallel verschobene Drehachse mit dem Satz von Steiner berechnen.

J = Js + m.s²

Mechanik

11.04.23