Prof. Dr. Eleni ChatziInstitut fur Baustatik und Konstruktion

D-BAUG - FS2020

BAUSTATIK II

HAUSUBUNG #10

Kapitel: Stabilitat

Thema: Knicklast

Aufgabe 1.

Eine 8m hohe, an ihren Enden gelenkig gelagerte Stutze mit rechteckigem Hohlquerschnitt

(Abmessungen in [mm]) wird durch eine gleichmassig verteilte Querbelastung q in z-Richtung

und eine Druckkraft F in der x-Achse beansprucht.

Gegeben: System und Einwirkung

Gesucht: 1) Maximale Ausbiegung der Stutze infolge q = 50kN/m und F = 2MN .

2) F damit die maximale Druckspannung (300N/mm2) nicht uberschritten wird.

Annahmen:

� Stutze initial perfekt gerade und eigenspannungsfrei

� Elastizitatsmodul E = 205kN/mm2

Baustatik II HAUSUBUNG #10

Losungsweg

a) Maximale Ausbiegung der Stutze infolge q = 50kN/m und F = 2MN .

Iy = 0.5891· 109 mm4 ; A = 26.4· 103 mm2

� w1 : Verformung 1. Ordnung infolge q

w1 =5

12· L4· q · L

2

8EI· L =

5QL4

384EI= 22.09mm

� µ : Vergrosserungsfaktor nach Vianello

FE =π2EI

L2cr

= 18′623.6 kN

µ =1

1− F/FE= 1.1203; α = F/FE = 0.1074

� wtot : Gesamtverschiebung

wtot = w11

1− F/FE= 24.74mm

Mtot =q · L2

8+ F · wtot = 449.4kNm

b) Fmax fur σ ≤ 300MPa bestimmen

σ =N

A+My

Iyz

FS2020 Chair of Structural Mechanics & Monitoring Seite: 2/4

Baustatik II HAUSUBUNG #10

M =q · L2

8+ F ·

(5QL4

384EI· 1

1− F/FE

)

σ = −FA

+

[q · L2

8+ F ·

(5QL4

384EI· 1

1− FF E

)]· zIy

= −fy

F = 3486 kN

�

Aufgabe 2.

Gegeben: System (l, EI = Konstant) und Einwirkung F

Gesucht: Knickkraft fur EA→ 0; EA→∞; EA = EI/3/l2

Hausübung 10 Seite 1/1

Prof. Dr. Eleni ChatziProfessur für Strukturmechanik

Institut für Baustatik und KonstruktionD-BAUG

BAUSTATIK II HAUSÜBUNG 10

Name:

Assistent:

Aufgabe 1

Eine 8 m hohe, an ihren Enden gelenkig gelagerte Stütze mit rechteckigem Hohlquerschnitt (Abmessungen in [mm]) wird durch eine gleichmässig verteilte Querbelastung q in z-Richtung und eine Druckkraft F in der x-Achse beansprucht.

a) Wie gross ist die maximale Ausbiegung der Stütze infolge q = 50 kN/m und F = 2 MN?

b) Wie gross darf F höchstens sein, damit die maximale Druckspannung im Betrag von 300 N/mm2 nicht überschritten wird?

Annahmen:

- Stütze initial perfekt gerade und eigenspannungsfrei

- Elastizitätsmodul E = 205 kN/mm2

Aufgabe 2 (Prüfung Herbst 2011)

Gegeben: System (𝑙,  𝐸𝐼 = konstant), Einwirkung 𝐹  

Gesucht: Knickkraft für  EA → 0; 𝐸𝐴 → ∞; 𝐸𝐴 = 𝐸𝐼3 ∙ 𝑙

Losungsweg

KnickkraftEA→ 0: Fk =

EIπ2

l2cr

Lcr=2l= 2.47EI

l2

EA→∞: Fk =EIπ2

l2cr

Lcr=0.7l= 20.1EI

l2

EA = EI/3/l2: Biegelienie mit quadratischer Parabel approximiert

FS2020 Chair of Structural Mechanics & Monitoring Seite: 3/4

Baustatik II HAUSUBUNG #10

(I)

Gegebenes System (II) Vereinfachte Darstellung des statischen Systems

(I)

Verformte Figur mit ω0 maximale Auslenkung wegen φ2. (II) SKD (III) [M IIN ] (IV) [M II

H ]

(I) M IH

ω1 =1EI [∫M IHM

IIN ds+

∫M IHM

IIH ds]

= 1EI [

512 l

2Fω0 − 13 l

2ω0EI3l2

]

= ω0l2

EI (5F12 −

EI9l2

)

Wir berechnen jetzt: a = ω1ω0

= l2

EI (5F12 −

EI9l2

)

Die Knicklast ist bei a = 1 erreicht: Fk =83EIl2

�

FS2020 Chair of Structural Mechanics & Monitoring Seite: 4/4