Bedingte Wahrscheinlichkeit - univie.ac.athomepage.univie.ac.at/marcus.hudec/Lehre/SS 2006... ·...

1

Statistik für SoziologInnen 1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten

© M

arcus Hudec

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Das Konzept bedingter Wahrscheinlichkeit erlaubt zu untersuchen, inwieweit sich die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von Ereignissen durch das Eintreten anderer Ereignisse ändern.Entwicklung anhand eines empirischen Beispiels mit 2 Merkmalen und einer sog. 4-FeldertafelMerkmal: Gesundheitszustand mit den Ausprägungen krank (D+) oder gesund(D-)Merkmal: Testergebnis mit den Ausprägungen Test positiv oder negativ (T+ bzw. T-)Von Interesse ist hier nicht nur die Wahrscheinlichkeit krank zu sein: P(D+) sondern insbesondere die Wahrscheinlichkeit krank zu sein, wenn ein positiver Test vorliegt: P(D+|T+)


© M

arcus Hudec

Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Anhand eines Labortests (Digitalis-Konzentrationim Blut) kann das Vorliegen einer bestimmten Herz-Krankheit diagnostiziert werden. 1975 wurde dazu folgende Statistik veröffentlicht:T+...positiver Test T- negativer TestD+...Krankheit D- gesund

D+ D- TotalT+ 25 14 39T- 18 78 96

Total 43 92 135

2


© M

arcus Hudec

Randverteilungen

D+ D- TotalT+ 0,185 0,104 0,289T- 0,133 0,578 0,711

Total 0,318 0,682 1,000Randverteilung (marginale Verteilung):

P(D+) = 0,318 P(D-) = 0,682

P(T+) = 0,289 P (T-) = 0,711Die Randverteilung eines Merkmals ergibt sich jeweils durch Summation über alle Ausprägungen des anderen Merkmals.


© M

arcus Hudec

Bedingte Verteilungen

D+ D- TotalT+ 25 14 39T- 18 78 96

Total 43 92 135Wir interessieren uns nun für die Krankheits-wahrscheinlichkeit gegeben der Test ist positiv

Bedingte Verteilung:P(D+|T+) = 25/39 = 0,64 P(D+|T+) = P(D+ ∩ T+)/P(T+)= 0,185/0,289 = 0,64P(D-|T+) = 14/39 = 1- P(D+|T+) = 0,36P(D-|T+) = P(D- ∩ T+)/P(T+)= 0,104/0,289 = 0,36

3


© M

arcus Hudec

Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten

Bedingte Verteilung gegeben ein negativer Test liegt vor:P(D-|T-) = 0,578 / 0,711= 0,813P(D+|T-) = 0,133 / 0,711= 0,187

D+ D- TotalT+ 0,64 0,36 0,289T- 0,187 0,813 0,711

Total 0,318 0,682 1,000In obiger Tabelle sind die bedingten Verteilungen des Gesundheitszustandes bei Kenntnis des Testergebnisses ausgewiesen (Zeilenprozent).


© M

arcus Hudec

Interpretation von bedingten Wahrscheinlichkeiten

SummaryOffensichtlich verändert die Kenntnis des Testergebnisses meine Krankheitswahrscheinlichkeiten:– P(D+) = 0,318– Bei einem positiven Test gilt P(D+|T+) = 25/39 = 0,64– Bei einem negativen Test gilt P(D+|T-) = 18/96 = 0,187

d.h. der Test ist informativ für das Merkmal GesundheitszustandLesehinweis:P(A|B) … Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, gegeben [oder unter der Bedingung], das Ereignis B ist eingetreten

4


© M

arcus Hudec

Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten

Bedingte Verteilung gegeben D+ (Person ist krank) liegt vor:P(T+|D+) = 25 / 43 = 0,581 P(T+|D-) = 14 / 92 = 0,152P(T- |D+) = 18 / 43 = 0,419 P(T- |D-) = 78 / 92 = 0,848

D+ D- TotalT+ 0,581 0,152 0,289T- 0,419 0,848 0,711

Total 0,318 0,682 1,000In obiger Tabelle sind die bedingten Verteilungen des Testergebnisses bei Kenntnis des Gesundheitszustandes ausgewiesen (Spaltenprozent).


© M

arcus Hudec

2 Maßzahlen für die Güte von diagnostischen Tests

D+ D- TotalT+ 0,185 0,104 0,289T- 0,133 0,578 0,711

Total 0,318 0,682 1,000P(D+) = 0,318 P(T+) = 0,289

Sensitivität des Tests P(T+|D+) = 25/43 = 0,185/0,318=0,581

Spezifität des TestsP(T-|D-) = 78/92=0,578 / 0,682= 0,848

5


© M

arcus Hudec

Sensitivität

Von einem guten diagnostischen Test wünschen wir uns, dass er möglichst viele Kranke erkennt, das heißt, diese durch ein positives Ergebnis anzeigt. Der Anteil unter allen Kranken, die positiv getestet werden, heißt Sensitivität, da er angibt, wie sensibel der Test auf das Vorliegen der Krankheit reagiert.Sensitivität: P(T+|D+) … Wahrscheinlichkeit eines positiven Testergebnisses gegeben der Proband ist krank


© M

arcus Hudec

Spezifität

Weiters wünschen wir uns, dass der Test möglichst spezifisch ist, also nur auf das Vorliegen der Krankheit anspricht. Jeder nicht Erkrankte, der trotzdem positiv getestet wird, deutet auf einen Mangel an Spezifität [~ P(T+|D-)] hin. Als Spezifität des Tests bezeichnen wir deshalb den Anteil der korrekt negativ Getesteten unter den nicht Erkrankten.Spezifität: P(T-|D-) …Wahrscheinlichkeit eines negativen Testergebnisses gegeben der Proband ist gesund

6


© M

arcus Hudec

Statistische Qualität

Durch die beiden Kriterien Spezifität und Sensitivität kann die statistische Qualität eines diagnostischen Tests charakterisiert werden.Wünschenswert ist es, wenn ein Test in beiden Kriterien möglich nahe an 100% herankommt.Leider wird dieses Idealziel in der Praxis nicht erreicht. Sowohl Kranke als auch Gesunde können positiv oder negativ getestet werden. Deshalb kann aus dem Testergebnis nicht sicher, sondern nur mit einer bestimmten Wahrschein-lichkeit auf das Vorliegen der Krankheit geschlossen werden.


© M

arcus Hudec

Prädikativer Wert

Von Interesse sind in der Praxis folgende bedingten Wahrscheinlichkeiten:Der positive prädikative Wert oder auch Voraussagewert eines positiven Testergebnisses, gibt die Wahrscheinlichkeit an, krank zu sein, wenn ein positiver Test vorliegtP(D+|T+) Der negative prädikative Wert oder auch Voraussagewert eines negativen Testergebnisses, gibt die Wahrscheinlichkeit an, gesund zu sein, wenn ein negativer Test vorliegtP(D-|T-)

7


© M

arcus Hudec

Allgemeine Fragestellung

Die Anwendung dieser Überlegungen gehen weit über diagnostische Tests in der Medizin hinausBeispiele:Alkomat …Test auf AlkoholisierungLügendetektorenAutomatische Erkennung von FalschgeldTests auf Kreditwürdigkeitetc.Letztlich bei jeder binären Entscheidung unter Unsicherheit auf der Basis empirischer Evidenz


© M

arcus Hudec

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Ereignis B eingetreten ist (wobei P(B)>0 sein muss) ist wie folgt definiert:

P A B P A BP B

P A B P A B P B( | ) ( )( )

( ) ( | ) ( )=∩

⇒ ∩ = ⋅

Multiplikationssatz für zwei Ereignisse

8


© M

arcus Hudec

Visualisierung des Prinzips der bedingten Wahrscheinlichkeiten

A BA ∩ B

E

BA*

E*=BP(A|B)~P(A*)Durch die Bedingung kommt es zu einer Einschränkung des Ereignisraumes


© M

arcus Hudec

Beispiele

Für einen männlichen Österreicher gelten folgende Wahrscheinlichkeiten (Sterbetafel 1980/81):– P(Alter ≥ 70) = 0,59– P(Alter ≥ 80) = 0,28

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann, der den 70. Geburtstag feiert, auch den 80. Geburtstag feiern kann ?

P(Alter ≥ 80| Alter ≥ 70) = P(Alter ≥ 80 ∩ Alter ≥ 70) / P(Alter ≥ 70) =P(Alter ≥ 80) / P(Alter ≥ 70) = 0,28 / 0,59 = 0,47

– Es ist evident, dass Berechnungen über Prämien von Lebensversicherungen oder Rentensystemen auf bedingten Wahrscheinlichkeiten basieren müssen!

9


© M

arcus Hudec

Berechnung von marginalen Wahrscheinlichkeiten

D+ D- TotalT+ 0,185 0,104 0,289T- 0,133 0,578 0,711

Total 0,318 0,682 1,000

P(T+) = P(T+ ∩ D+) + P(T+ ∩ D-) = 0,185 + 0,104 = 0,289

D+ D- TotalT+ 0,581 0,152 0,289T- 0,419 0,848 0,711

Total 0,318 0,682 1,000

P(T+) = P(T+|D+).P(D+) + P(T+|D-).P(D-)== 0,581*0,318 + 0,152*0,682= 0,289

Durch Summation der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten

Durch gewichtete Summation der bedingten Wahrscheinlichkeiten


© M

arcus Hudec

Totale Wahrscheinlichkeit

A=(A ∩ B) ∪ (A ∩ B') ... Partition von A auf Basis von B

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B') =

P(A|B).P(B) + P(A|B').P(B')

Beantwortung von Wahrscheinlichkeitsaussagen unter Berücksichtigung verschiedener Szenarien

10


© M

arcus Hudec

Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Wir verändern die Zahlen des vorigen Beispiels:T+...positiver Test T- negativer TestD+...Krankheit D- gesund

D+ D- TotalT+ 12 8 20T- 48 32 80

Total 60 40 100P(T+) = 0,2 P(D+)=0,6P(D+|T+) = 12/20 = 0,6 P(D+|T-) = 48/80 =0,6P(D+ ∩ T+) = 12/100 = 0,12 = P(D+).P(T+) = 0,2*0,6

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT


© M

arcus Hudec

Stochastische Unabhängigkeit (Beispiel)In diesem Beispiel verändert die Kenntnis des Testergebnisses meine Krankheitswahrscheinlichkeiten nicht:P(D+) = 0,60Bei einem positiven Test gilt P(D+|T+) = 12/20 = 0,60Bei einem negativen Test gilt P(D+|T-) = 48/80 = 0,60

D+ D- TotalT+ 0,60 0,40 0,20T- 0,60 0,40 0,80

Total 0,60 0,40 1,00

Dieser Test ist nicht informativ für das Merkmal Gesundheitszustand. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten und die marginale Wahrscheinlichkeit sind gleich.

11


© M

arcus Hudec

Stochastische Unabhängigkeit (Beispiel)

Man beachte im Beispiel:P(D+ ∩ T+) = 12/100 = 0,12

P(D+ ∩ T+) = P(D+).P(T+|D+) = In diesem Fall

P(D+).P(T+) = 0,2*0,6 = 0,12Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit ergibt sich im Fall stochastischer Unabhängigkeit aus dem Produkt der marginalen Wahrscheinlichkeiten.Die gemeinsame absolute Häufigkeit ergibt sich im Fall stochastischer Unabhängigkeit aus dem Produkt der marginalen absoluten Häufigkeiten durch die Gesamtzahl der Beobachtungen.


© M

arcus Hudec

Stochastische Unabhängigkeit (Theorie)

Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt:

P(A ∩ B) = P(A).P(B)Korollar:Wenn zwei Ereignisse unabhängig sind gilt:P(A|B) = P(A) bzw. P(B|A) = P(B).

12


© M

arcus Hudec

Beispiel: Assoziation von Produktkäufen

Produkt AKauf 700 70%kein Kauf 300 30%

1000 100%

Produkt BKauf 600 60%kein Kauf 400 40%

1000 100%

Information über 2 Produkte (2 univariate Randverteilungen)


© M

arcus Hudec

Szenario: Keine Assoziation zwischen den Produkten

Bei Unabhängigkeit ergeben sich die gemeinsamen Wahrschein-lichkeiten aus dem Produkt der Randverteilungen!

Produkt A Kauf kein Kauf GesamtKauf 420 280 700kein Kauf 180 120 300Gesamt 600 400 1000

Produkt A Kauf kein KaufKauf 42% 28% 70%kein Kauf 18% 12% 30%Gesamt 60% 40% 100%

Produkt B

Produkt B

13


© M

arcus Hudec


P(Kauf von B|Kauf von A) = 420/700 = 0,60P(Kauf von B|kein Kauf von A) = 180/300 = 0,60



Produkt B

Produkt B


© M

arcus Hudec

Szenario: Positive Assoziation zwischen den Produkten

Produkt A Kauf kein KaufKauf 550 150 700kein Kauf 50 250 300Gesamt 600 400 1000


Produkt B

Produkt B


14


© M

arcus Hudec

Szenario: Negative Assoziation zwischen den Produkten




Produkt B

Produkt B


© M

arcus Hudec

Szenario:Maximale Positive Assoziation zwischen den Produkten



Produkt B

Produkt B

15


© M

arcus Hudec

Szenario: Maximale Negative Assoziation zwischen den Produkten



Produkt B

Produkt B


© M

arcus Hudec

Maßzahlen der Assoziation

Wir betrachten 2 binäre MerkmaleA (A1, A2) B (B1, B2)

Kreuzproduktverhältnis (cross product ratio)cpr = a*d/b*c Wertebereich: 0 bis +∞Assoziationskoeffizient nach Yule: Q=(cpr-1)/(cpr+1) Wertebereich: -1 bis +1

B1 B2 SummeA1 a b a+bA2 c d c+d

Summe a+c b+d N

16


© M

arcus Hudec


cpr=420*120/280*180=1 Q=0



Produkt B

Produkt B


© M

arcus Hudec

Szenario: Positive Assoziation zwischen den Produkten



Produkt B

Produkt B

cpr=250*550/150*50=18,33 Q=0,90

17


© M

arcus Hudec

Szenario: Negative Assoziation zwischen den Produkten



Produkt B

Produkt B

cpr=360*60/340*240=0,26 Q=-0,58


© M

arcus Hudec

Szenario:Maximale Positive Assoziation zwischen den Produkten



Produkt B

Produkt B

cpr=600*300/0*100=+ ∞ Q=1

18


© M

arcus Hudec

Szenario: Maximale Negative Assoziation zwischen den Produkten



Produkt B

Produkt B

cpr=300*0/300*400= 0 Q=-1


© M

arcus Hudec

Zur Interpretation der Cross Product Ratio

Das Verhältnis von Chance zu Gegenchance nennt man „odds“odds:= p/(1-p)z.B. Würfelwurfodds(für einen 6er)=(1/6)/(5/6)=1/5Man spricht auch die Chancen stehen 1 zu 5Reziprokwert der Odds ist jene Auszahlung, die zu einer fairen Wette führtDie Cross Product Ratio ist das Verhältnis der odds (odds-ratio) für zwei unterschiedliche Bedingungen

19


© M

arcus Hudec

Zur Interpretation der Cross Product Ratio

D+ D- TotalT+ 0,64 0,36 0,289T- 0,187 0,813 0,711

Total 0,318 0,682 1,000odds(D+|T+) = 0,64/0,36 = 1,78odds(D+|T-) = 0,187/0,813= 0,23odds-ratio(D+) = 1,78/0,23 = 7,74Das relative Risiko einer Erkrankung ist bei Vorliegen eines positiven Testbefundes 7,7 mal so hoch wie bei Vorliegen eines negativen Testbefundes.


© M

arcus Hudec

Beispiel

Aus der Statistik einer Versicherung ist bekannt, dass 10% aller Personen in einem Jahr einen Unfall erleiden.Diskutiere die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in einem Intervall von 2 Jahren unfallfrei ist!

Jahr2 Jahr2 Jahr2Jahr1 Unfall kein Unfall Summe Jahr1 Unfall kein Unfall Summe Jahr1 Unfall kein Unfall SummeUnfall 1 9 10 Unfall 10 0 10 Unfall 0 10 10kein Unfall 9 81 90 kein Unfall 0 90 90 kein Unfall 10 80 90Summe 10 90 100 Summe 10 90 100 Summe 10 90 100

Uanbhängigkeit Pechvogel Aus Schaden klug

20


© M

arcus Hudec

Beispiel: Bedingte Wahrscheinlichkeit

In einer Population mit gleichen Anteilen von Männern und Frauen wurde festgestellt, dass 5% der Männer und 1% der Frauen farbenblind sind.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei zufälliger Auswahl einer farbenblinden Person, einen Mann bzw. eine Frau zu selektieren?Notation:– F...farbenblind N...normalsichtig– M...männlich W...weiblich


© M

arcus Hudec


Fiktive Population von 1000 Personen:

Daraus lassen sich folgende Wahrscheinlichkeiten ableiten:

F N Gesamt

M 25 475 500

W 5 495 500

Gesamt 30 970 1000

21


© M

arcus Hudec


Wahrscheinlichkeitstabelle:

P(M|F) = P(M∩F)/P(F) = 25/30 = 0.025/0.03 = 5/6P(W|F) = P(W∩F)/P(F) = 5/30 = 0.005/0.03 = 1/6

F N Gesamt

M 0,025M∩F

0,475M∩N

0,500M

W 0,005W∩F

0,495M∩N

0,500W

Gesamt 0,030F

0,970N

1,000


© M

arcus Hudec

Beispiele

In einer Kleinstadt sind folgende Daten bekannt:– Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter

Bürger ein Sparbuch besitzt = 0,75. P(S) = 0,75– Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter

Bürger Aktien besitzt = 0,25. P(A) = 0,25– Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter

Bürger Vermögen hat (Besitz eines Sparbuchs oder von Aktien) = 0,775. P(A ∪ S) = 0,775

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bürger sowohl Aktien als auch ein Sparbuch besitzt?P(A ∩ S) = P(A) + P(S) - P(A ∪ S) =

0,25 + 0,75 - 0,775 = 0,225

22


© M

arcus Hudec

Beispiele

Sind die Ereignisse Besitz eines Sparbuchs und Besitz von Aktien stochastisch unabhängig ?

P (A ∩ S) =?= P(A).P(S)0,225 ≠ 0,75*0,25 ==> Die Ereignisse A und S sind nicht unabhängigWie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Aktienbesitzer (bzw. ein Nicht-Aktienbesitzer) ein Sparbuch hat?P(S|A) = P(S ∩ A) / P(A) = 0,225 / 0,25 = 0,9P(S|A') = P(S ∩ A') / P(A') = 0,525 / 0,75 = 0,7P(S ∩ A') = P(S) - P(S ∩ A) = 0,75-0,225=0,525


© M

arcus Hudec

Beispiel: Unabhängige Ereignisse

In einem Flugzeug gibt es 2 von einander unabhängige automatische Navigationssysteme A und B. Die Verfügbarkeit für das System A sei 0,99 und für B 0,96.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Pilot zu einer manuellen Navigation greifen muss?A ... System A funktioniert P(A) = 0,99B ... System B funktioniert P(B) = 0,96P(A ist defekt) = P(A') = 1 - 0,99 = 0,01P(B ist defekt) = P(B') = 1- 0,96 = 0,04P(beide Systeme defekt) = P(A' ∩ B') =

= 0,01 x 0,04 = 0,0004

23


© M

arcus Hudec

Beispiel: Unabhängige Ereignisse

Eine Expertenkommission besteht aus 3 Experten A, B, C. Jeder Experte hat eine individuelle Irrtumswahrschein-lichkeit, die wie folgt gegeben ist:– P(A irrt) = P(A) = 0,10– P(B irrt) = P(B) = 0,15– P(C irrt) = P(C) = 0,12

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Meinung der Mehrheit korrekt ist, wenn die 3 Experten voneinander unabhängig urteilen?P(Mehrheit irrt nicht) = P(A' ∩ B' ∩ C) + P(A' ∩ B ∩ C') + P(A ∩ B' ∩ C') + P(A' ∩ B' ∩ C') = 0,9 x 0,85 x 0,12 + 0,9 x 0,15 x 0,88 + 0,1 x 0,85 x 0,88 + 0,9 x 0,85 x 0,88 = 0,0918 + 0,1188 + 0,0748 + 0,6732 = 0,9586


© M

arcus Hudec

Russisches Roulette

Beim russischen Roulette mit einem 6-Schuss Revolver befindet sich nur eine scharfe Patrone in der Trommel.Die Wahrscheinlichkeit, dass sich nach zufälliger Wahl der Trommelposition ein Schuss löst ist demnach 1/6.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Hasardeur 2 unabhängige Versuche überlebt?Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Hasardeur 6 (n) Versuche überlebt?

24


© M

arcus Hudec

Russisches Roulette

X ein Schuss fällt P(X)=1/6X‘ kein Schuss fällt P(X‘)=5/6Kein Schuss bei 2 Versuchen:5/6*5/6=0,69 ... Hasardeur(2) überlebtZumindest ein Schuss bei 2 Versuchen: 1- 5/6*5/6=0,31... Hasardeur(2) stirbtKein Schuss bei 6 Versuchen:(5/6)^6=0,33Zumindest ein Schuss bei 6 Versuchen:1- (5/6)^6=0,67Allgemeine Überlebenschance: (5/6)^n


© M

arcus Hudec

Beispiel: Totale Wahrscheinlichkeit

In einer Population mit gleichen Anteilen von Männern und Frauen wurde festgestellt, dass 5% der Männer und 1% der Frauen farbenblind sind.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Person farbenblind ist?Notation:– F...farbenblind N...normalsichtig– M...männlich W...weiblich

P(F) = P(F|M).P(M) + P(F|W).P(W)== 0,05*0,5 + 0,01*0,5=0,03

25


© M

arcus Hudec

Beispiel: Theorem von Bayes

Daten zur Farbenblindheit

Wie verändern sich diese Wahrscheinlichkeiten, gegeben die Person ist farbenblind ?

a prioriWahrschein-

lichkeitenM 0,5

W 0,5

Gesamt 1


© M

arcus Hudec

Theorem von Bayes

P B A P B AP A

P A BP A

P A B P BP A

P B A P A B P BP A

P B A P A B P BP A B P B P A B P B

( | ) ( )( )

( )( )

( | ) ( )( )

( | ) ( | ) ( )( )

( | ) ( | ) ( )( | ) ( ) ( | ' ) ( ' )

=∩

=∩

=⋅

=⋅

=⋅

⋅ + ⋅

26


© M

arcus Hudec


P(M|F) = P(F|M) x P(M) / P(F)P(F) = P(F|M) x P(M) + P(F|W) x P(W) =

= 0,05 x 0,5 + 0,01 x 0,5 = 0,03Satz von der totalen WahrscheinlichkeitP(M|F) = 0,05 x 0,5 / 0,03 = 5/6 = 0,833P(W|F) = 1 - P(M|F) = 1 - 5/6 = 1/6 = 0,167P(M|N) = P(N|M) x P(M) / P(N) = 0,95 x 0,5 / 0,97 = 0,49P(W|N) = 1- P(M|N) = 0,51Man beachte den unterschiedlichen Informationsgehalt von F/N in bezug auf M/W


© M

arcus Hudec


Zusammenfassung der Daten zur Farbenblindheita priori

Wahrschein-lichkeiten

Posteriorgegeben

Farbenblind

Posteriorgegeben

NormalsichtigM 0,5 0,833 0,49

W 0,5 0,167 0,51

1 1 1

27


© M

arcus Hudec


P(D+|T+) = P(T+|D+) x P(D+) / P(T+)P(T+) = 39/135 = 0,289P(T+|D+) = 25/43 =0,581P(D+) = 43/135 = 0,318P(D+|T+) = 0,581 x 0,318 / 0,289 = 0,64Daten:

D+ D- TotalT+ 25 14 39T- 18 78 96

Total 43 92 135


© M

arcus Hudec


Zusammenfassung der Datena priori

Wahrschein-lichkeiten

Posteriorgegeben

positiver Test

Posteriorgegeben

negativer TestD+ 0,318 0,640 0,187

D- 0,682 0,360 0,848

1 1 1

28


© M

arcus Hudec

Beispiel: Mammography

Die Daten stammen aus Kerlinowske et al. 1996, JAMA „Likelihood Ratios for Modern ScreeningMammography -Risk of Breast Cancer Based on Age and Mammographic Interpretation“Die Wahrscheinlichkeit, dass eine symptomfreie Frau im Alter von 55 Jahren Brustkrebs hat, beträgt 0,6% (d.h. die Prävalenz = P(D+) = 0,006)


© M

arcus Hudec

Beispiel

Wenn eine symptomfreie Frau im Alter von 55 Jahren Brustkrebs hat, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen positiven Mammografie-Befund P(T+) erhält, 94 Prozent.Sensitivität des Tests = 0,94Wenn eine dieser Frauen jedoch keinen Brustkrebs (D-) hat, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie dennoch einen positiven Mammografie-Befund erhält nur 7 Prozent.Spezifität des Tests = 0,93

29


© M

arcus Hudec

Zentrale Frage

Eine 55-jährige Frau, ohne einschlägige Symptome, ist dem Rat ihres Arztes gefolgt, im Rahmen der Brustkrebsfrüherkennung jedes Jahr eine Mammografie durchführen zu lassen. Bei einer solchen Untersuchung erhält sie einen positiven Befund. Schockiert über das Ergebnis, fragt sie ihren Arzt:

«Heißt das, ich habe Brustkrebs?»

«Nein, das kann man noch nicht sicher sagen.»

«Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich tatsächlich Brustkrebs habe?»


© M

arcus Hudec

Beispiel

Ihre Schätzung für die korrekte Wahrscheinlichkeit, dass die Patientin mit einer positiven Mammographie tatsächlich Brustkrebs hat, lautet

_ _ , _ %

30


© M

arcus Hudec

Schema der Diagnostik

A priori Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung (Prävalenz)

Diagnostischer Test

P(T-|D-) Spezifität

P(T+|D+) Sensitivität

Posteriore Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung

Falls Test positiv ist

P(D+|T+) = ???

Falls Test negativ ist

P(D-|T-) = ???


© M

arcus Hudec

Beispiel

Welche korrekte statistische Angabe kann der Arzt der Patientin geben?Prävalenz = P(D+) = 0,006Sensitivität des Tests P(T+|D+) = 0,94 Spezifität des Tests bzw. 1-Spez P(T-|D-) = 0,93 bzw. P(T+|D-) = 0,07P(D+|T+) = ???

31


© M

arcus Hudec

Theorem von Bayes

( | ) ( )( | )( )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )Pr( | )

Pr (1 ) (1 Pr )

P T D P DP D TP T

P T P T D P D P T D P DSens ävP D T

Sens äv Spez äv

+ + ⋅ ++ + =

++ = + + ⋅ + + + − ⋅ −

⋅+ + =

⋅ + − ⋅ −

Theorem von Bayesa prioriWahrschein-lichkeit

posterioreWahrschein-lichkeit


© M

arcus Hudec

Anwendung des Bayes Theorem

P(T+) = P(T+|D+)*P(D+) + P(T+|D-)*P(D-)== 0,94*0,006 + 0,07*0,994 =0,07522

P(D+|T+) = P(T+|D+)*P(D+)/P(T+)== 0,94*0,006/0,07522=0,07498

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Patientin mit einer positiven Mammographie tatsächlich Brustkrebs hat, beträgt 7,5%In einer amerikanischen Studie lagen 95 von 100 befragten Ärzten in ihrer Schätzung zwischen 70% und 80%.

32


© M

arcus Hudec

Formulierung in absoluten Zahlen

Brustkrebs (D+)

Gesund(D-) Summe

Test +

Test -

Summe 10.000100.000


© M

arcus Hudec


Brustkrebs (D+)

Gesund(D-) Summe

Test +

Test -

Summe 600 99.400 100.000

0,6% <=== Prävalenz

33


© M

arcus Hudec


Brustkrebs (D+)

Gesund(D-) Summe

Test +564 94,0% <=== Sensitivität

Test -

Summe 600 99.400 100.000


© M

arcus Hudec


Brustkrebs (D+)

Gesund(D-) Summe

Test +564 6.958 7,0% <=== 1 minus

Spezifität

Test -36

Summe 600 99.400 100.000

34


© M

arcus Hudec


Brustkrebs (D+)

Gesund(D-) Summe

Test +564 6.958

Test -36 92.442 93,0% <=== Spezifität

Summe 600 99.400 100.000


© M

arcus Hudec


Brustkrebs (D+)

Gesund(D-) Summe

Test +564 6.958 7.522

Test -36 92.442 92.478

Summe 600 99.400 100.000

35


© M

arcus Hudec


Brustkrebs (D+)

Gesund(D-) Summe

Test +564 6.958 7.522

Test -36 92.442 92.478

Summe 600 99.400 100.000

564/7.522= 7,5%


© M

arcus Hudec

Prävalenzabhängigkeit von Tests

Ein ELISA zum Test auf HIV-Antikörper besitze 99.99% Sensitivität und 98% Spezifität.Wir setzen diesen Test nun in zwei Situationen ein. In Population A (“Normalpopulation”) liege die Prävalenz bei 0.01%. Population B („Risiko-Population“) habe eine Prävalenzvon 5%. In beiden Fällen wollen wir wissen, wie sicher wir bei einem positiven Test sein können, dass der Proband tatsächlich HIV-positiv ist.

Ergebnis bei A: P(D+|T+) =0,5%Ergebnis bei B: P(D+|T+) =72%

36


© M

arcus Hudec

Lügendedektoren und das Theorem von Bayes

Gastwirth(1978):+ ...Test ergibt Person lügt - ... Test zeigt an Person lügt nicht L ... Person lügt in Wirklichkeit W ... Person spricht die Wahrheit

P(+|L) = 0,88 P(-|L) = 0,12P(-|W) = 0,86 P(+|W) = 0,14a) Routinetest bei Personalselektion

P(W) = 0,99 P(L) = 0,01P(+) = P(+|W)P(W) + P(+|L)P(L) =0,14*0,99+0,88*0,01=0,1474P(L|+) = P(+|L)P(L)/P(+) = 0,88*0,01/0,1474=0,0597P(W|+) = P(+|W)*P(W)/P(+) = 0,14*0,99/0,1474=0,9403P(W|-) = P(-|W)*P(W)/P(-) = 0,86*0,99/0,853=0,998P(L|-) = 1 - P(W|-) = 0,002


© M

arcus Hudec

Lügendedektoren und das Theorem von Bayes

b) Verändern der subjektiven Wahrscheinlichkeitb1) P(W) = 0,50 P(L) = 0,50P(+) = P(+|W)P(W) + P(+|L)P(L) =0,14*0,5+0,88*0,5=0,51P(L|+) = P(+|L)P(L)/P(+) = 0,88*0,5/0,51 = 0,863P(W|+) = P(+|W)*P(W)/P(+) = 0,14*0,5/0,51 = 0,137P(L|-) = P(-|L)P(L)/P(-) = 0,12*0,5/0,49 = 0,122P(W|-)= 1- P(L|-) = 0,878b2) P(W) = 0,20 P(L) = 0,80P(+) = P(+|W)P(W) + P(+|L)P(L) =0,14*0,5+0,88*0,5=0,732P(L|+) = P(+|L)P(L)/P(+) = 0,88*0,8/0,732 = 0,96P(W|+) = P(+|W)*P(W)/P(+) = 0,14*0,2/0,732 = 0,04P(L|-) = P(-|L)P(L)/P(-) = 0,12*0,8/0,268 = 0,36P(W|-)= 1- P(L|-) = 0,64

Bedingte Wahrscheinlichkeit - univie.ac.athomepage.univie.ac.at/marcus.hudec/Lehre/SS 2006... ·...

Documents

Transcript of Bedingte Wahrscheinlichkeit - univie.ac.athomepage.univie.ac.at/marcus.hudec/Lehre/SS 2006... ·...