Betriebszust�nde und Tragf�higkeitsnachweis vonZahn- und Keilwellen-Verbindungen

Prof. Dr.-Ing. P. Dietz VDI, Dr.-Ing. K. Wesolowski VDI,

Dipl.-Ing. U. Burgtorf VDI, Dipl.-Ing. M. Garzke VDI, Clausthal-Zellerfeld

1 Zusammenfassung

Die Auslegung von Zahnwellen-Verbindungen erfolgt im industriellen Einsatz

h�ufig auf zul�ssige Fl�chenpressung. Dies f�hrt oftmals zu einer �berdimen-

sionierung, in besonderen F�llen aber dennoch zum Versagen der Verbindung.

Auch die bestehende Berechnungsnorm DIN 5466 liefert im Zusammenhang

mit gestiegenen Leistungsdichten und Gewichtseinsparungen keine befriedi-

gende Dimensionierungsgrundlage, so da§ eine �berarbeitung der Berech-

nungsnorm dringend erforderlich ist. Es werden die Berechnungsgrundlagen

des neuen Normentwurfs vorgestellt, die verschiedenen Betriebszust�nde sowie

die haupts�chlich beeinflussenden Geometrieparameter Z�hnezahl und Verbin-

dungsbreite. Auf Verschlei§vorg�nge als eine weitere Versagensursache wird

nur kurz eingegangen und auf entsprechende Literatur verwiesen.

Splined joints in industrial use are often dimensioned to maximum flank pres-

sure. This leads mostly to an overdimensioning but still in some special applica-

tions to the damage of the shaft-hub-connection. The existing standard DIN

5466 for the calculation of load capacity is still a non satisfactory dimensioning

basis concerning rising power densities and weight savings, wherefore a revi-

sion of the standard was urgently necessary. The calculation bases of the new

draft standard will be presented as well as the different operating states and

the main influencing geometry parameters number of teeth and width of spline.

The wear processes in splined joints are shortly discussed and referred to corre-

sponding literature.

1

2 Einleitung

Zur �bertragung von Drehmomenten bei gleichzeitiger axialer Verschiebbarkeit

von Welle und Nabe werden h�ufig Zahnwellen-Verbindungen mit Profilen nach

DIN 5480 /1/ eingesetzt. Die gro§e Anzahl im Eingriff befindlicher Formele-

mente (Zahnpaare) erm�glicht die �bertragung hoher Drehmomente bei gerin-

gen Nabenau§endurchmessern. Kosteng�nstige Anwendungen erschlie§en sich

insbesondere bei Herstellung gro§er St�ckzahlen mittels spanender und vor

allem spanloser Herstellungsverfahren.

Bisherige Ð z.T. stark vereinfachte Ð Berechnungsans�tze f�r Mitnehmerver-

zahnungen wie die Berechnung auf Basis einer zul�ssigen Flankenpressung /2/

oder anderer einfacher mechanischer Ersatz- und Versuchsmodelle /3,4/ f�hren

aufgrund ihrer starken Vereinfachungen zu �berdimensionierten Zahn- und

Keilwellen-Verbindungen. Die komplexe Passungsproblematik von Welle und

Nabe und daraus resultierende Einfl�sse auf Lastverteilung und �bertragungs-

f�higkeit sowie variierende Betriebsbedingungen f�hren dennoch immer wieder

zu Verschlei§- oder Bruchsch�den an dieser formschl�ssigen Welle-Nabe-Ver-

bindung.

Im Zusammenhang mit gestiegenen Leistungs- und Sicherheitsanforderungen

ist ein verbesserter Berechnungsansatz zur sicheren Auslegung von Zahn- und

Keilwellen-Verbindungen erforderlich. Die Untersuchung des Betriebs- und

Beanspruchungsverhalten von Zahnwellen-Verbindungen ist ein Forschungs-

schwerpunkt am Institut f�r Maschinenwesen der TU Clausthal. Aus den

Ergebnissen umfangreicher numerischer und experimenteller Untersuchungen,

die von der Forschungsvereinigung Antriebstechnik e.V., der Deutschen For-

schungsgemeinschaft und der Volkswagenstiftung gef�rdert werden, ist ein

neuer Ansatz zur Berechnung von Zahn- und Keilwellen-Verbindungen ent-

wickelt worden /5-7/. Dieser Berechnungsansatz ist die Grundlage f�r die �ber-

arbeitung der Norm DIN 5466 /8/.

3 Sch�den an Zahnwellen-Verbindungen

Die Beeinflussung der Lebensdauer und Tragf�higkeit von Zahn- und Keilwel-

len-Verbindungen erfolgt durch zwei prinzipiell verschiedene Vorg�nge: Ver-

2

schlei§ und Erm�dung. Das verschlei§bedingte Abtragen von Zahnflankenbe-

reichen f�hrt zu einer Spiel- und Exzentrizit�tsvergr�§erung und damit zum

'Aufbrauchen' der Formschlu§elemente. Durch die geometriebedingten Kerben

entstehen Spannungs�berh�hungen, die bei statischer Last zum Gewaltbruch

und bei dynamischer Beanspruchung zum Dauerbruch der Verbindung f�hren.

Eine Analyse der Ausfallursachen f�hrt zu folgenden Ergebnissen:

¥ Bei Gewalt- und Dauerbr�chen beginnen die Anrisse meist in der Kerbe im

Zahnfu§ direkt am Verbindungsrand oder an einem Ort in unmittelbarer

N�he des Verbindungsrandes innerhalb der Verbindung /9/, Bild 3.1.

¥ Das Verformungsverhalten der Verbindung und insbesondere der Steifig-

keitssprung an den Verbindungsr�ndern bewirken eine ungleichf�rmige

Beanspruchungsverteilung �ber der Verbindungsl�nge mit einer Last�berh�-

hung am Verbindungsanfang /10/. Weitere Belastungsspitzen entstehen

durch verzahnungsgeometrisch bedingte Kerbwirkungen am Zahnfu§ von

Welle und Nabe. An der Lasteinleitungsstelle resultiert aus der �berlagerung

der einzelnen Spannungsmaxima ein komplizierter dreiachsiger Spannungs-

zustand, der den Dauerbruch f�rdern kann /3,7/.

3

Bild 3.1: Links: Dauerbruch an einer Zahnwellen-Verbindung /11/Oben: Gewaltbruch an einer Keilwelle /9/

¥ Die Lastaufteilung auf die einzelnen Zahn-

paare einer Verbindung wird ma§geblich

vom Verzahnungsspiel und der Verzah-

nungsqualit�t beeinflu§t. Die Summentei-

lungsabweichungen sind demnach ma§ge-

bend f�r die Zahl und die Belastung der

tragenden Zahnpaare, ferner f�r das Ver-

formungsverhalten der Verbindung /9/.

¥ Die Lastverteilung �ber dem Verbindungs-

umfang wird entscheidend durch das Bela-

stungsverh�ltnis aus Drehmoment und

Querkraft beeinflu§t. Das gilt ebenfalls f�r

die Relativbewegungen zwischen Welle und

Nabe /9/ und damit f�r das Verschlei§ver-

halten der Verbindung /4,5/, Bild 3.3.

¥ Bei Zahnwellen-Verbindungen mit Relativ-

bewegungen sind alle wichtigen Verschlei§-

mechanismen Ð Adh�sion, Abrasion, Ober-

fl�chenerm�dung und Tribooxidation Ð wie in tribologischen Systemen vor-

handen /4/. Dabei spielt neben den Oberfl�chenreaktionen im Kontaktbereich

der Abtransport der Verschlei§produkte eine entscheidende Rolle.

4 Beanspruchung von Zahn- und Keilwellen-Verbindungen

4.1 Allgemeine Betriebszust�nde flankenzentrierter Verbindungen

Die �u§ere Belastung hat einen wesentlichen Einflu§ auf den Betriebszustand

der Verbindung. Die Belastung einer flankenzentrierten Zahn- oder Keilwellen-

Verbindung kann sich entsprechend der Aufgabenstellung und Randbedingun-

gen des Einsatzbereiches aus den vier Grundbeanspruchungsarten Drehmo-

ment T, Querkraft FQ, Axialkraft Fax und Biegemoment Mb zusammensetzen,

Bild 4.1.

Durch das Biegemoment Mb und die Axialkraft Fax wird ein resultierendes

Moment Mges erzeugt. Zusammen mit der Querkraft FQ, in der auch Eigenge-

4

Bild 3.3: Verschlei§erscheinungenan einer Zahnwelle

wichtskr�fte ber�cksichtigt

sind, f�hrt das Gesamtmoment

Mges zu einem vom Flanken-

spiel abh�ngigen Fluchtungs-

fehler zwischen der Wellen- und

Nabenachse. Aufgrund der

Schiefstellung ergeben sich die

h�chsten Beanspruchungen in

den Randbereichen der Verbin-

dung. Die Ermittlung der maxi-

malen Beanspruchungen kann

daher auf den h�chstbeanspruchten Bereich am Verbindungsrand beschr�nkt

und n�herungsweise an einem ebenen Scheibenmodell durchgef�hrt werden. Im

ebenen Verbindungsmodell wird das Gesamtbiegemoment Mges durch eine das

Moment erzeugende Querkraft FMb ersetzt und mit der Querkraft FQ nach

Gr�§e und Richtung zur resultierenden Querkraft Q zusammengesetzt, Gl.(4.1).

Die Belastungen des ebenen Verbindungsmodells reduzieren sich dadurch auf

das Drehmoment T und die resultierende Querkraft Q. Die durch diese Bela-

stungskombination gepr�gten ebenen Betriebszust�nde lassen sich f�r ideale

(d.h. abweichungsfreie) Verbindungen mit Hilfe der charakteristischen Gr�§e

'ideeller Hebelarm der Querkraft' H beschreiben /10/. Diese Gr�§e beschreibt die

L�nge des Hebelarms, an dem die Querkraft Q angreifen m�§te, um das Dreh-

moment T zu erzeugen, Gl.(4.2):

Der wirksame Abstand der Flankennormalkraft F zur Achse der Verbindung ist

als der Wirkradius rw definiert, Bild 4.2. In Abh�ngigkeit des Verh�ltnisses

ideeller Hebelarm H zu Wirkradius rw ergeben sich damit unterschiedliche

Betriebszust�nde /8/.

5

Bild 4.1: Schematische Darstellung der auf die Verbin-dung wirkenden Belastungen

r r rQ F FQ Mb= + (4.1)

FQ

T

Fax

Mb

Ein

span

nu

ng

der

Wel

le

H =

TQ

(4.2)

Der Wirkwinkel αw kann aus dem geometrischen Zusammenhang zwischen

Flankenmittenradius rm und dem geometrieabh�ngigen Wirkradius rw mit

Gl.(4.3) beschrieben werden. F�r Mitnehmerverbindungen mit evolventischer

Flankenform entspricht der Wirkradius dem Grundkreisradius rb. Der f�r die

Bestimmung des Wirkwinkels erforderliche Flankenmittenradius rm l�§t sich

�ber Gl.(4.4) berechnen.

F�r die Berechnung von Mitnehmerverzahnungen mit Kopfkantenbruch mu§ in

Gl.(4.4) statt des Kopfkreisdurchmessers da (Index 1: Welle; Index 2: Nabe) der

entsprechende Kopfkantenbruchdurchmesser eingesetzt werden.

Mit dem Verh�ltnis des ideellen Hebelarms H zum Wirkradius rw lassen sich

drei grundlegende Betriebszust�nde festlegen:

a) Belastung durch reines Drehmoment, Sonderfall

Bei einer idealen Verbindung, die ausschlie§lich Drehmoment �bertr�gt, blei-

ben Welle und Nabe zentrisch (Bild 4.3), alle der Momentenrichtung zugeord-

6

r

d d4m

a1 a2=+

(4.4)

Bild 4.2: Kr�ftegleichgewicht am Beispiel einer starren Zahnwellen-Verbindung

cos

rrww

mα = (4.3)

neten Flanken ber�hren sich und erfahren eine gleichgro§e Belastung. Der Fall

wechselnder Drehmomentbeanspruchung unter Ber�cksichtigung des Eigenge-

wichts entspricht wegen der kontinuierlichen �nderung des ideellen Hebelarms

H = T/Q (mit Q hier = Eigengewicht der Verbindung) dem Fall der Mischbela-

stung (vgl. Abschnitt c)).

b) Belastung durch reine Querkraft, Sonderfall

Bei reiner Querkraftbelastung tritt bei spielbehafteten Verbindungen eine Mit-

tenverlagerung zwischen Wellen- und Nabenachse auf, Bild 4.4. Die Verlage-

7

Bild 4.4: Stellung von Welle und Nabe bei reiner Querkraft�bertragung einer flankenzentrier-ten, idealen Zahnwellen-Verbindung

Bild 4.3: Stellung von Welle und Nabe bei reiner Drehmoment�bertragung einer flankenzen-trierten, idealen Zahnwellen-Verbindung

rung setzt sich aus einem kraftunabh�ngigen Teil durch �berbr�ckung des

freien Weges und einem elastischen Anteil zusammen, der von der Kraftgr�§e,

dem Verbindungsspiel, der Lage, den elastischen Eigenschaften und der Anzahl

im Eingriff befindlicher Flanken abh�ngt. Die Belastung ist auf wenige im Ein-

griff befindliche Z�hne aufgeteilt.

c) Mischbelastung durch Drehmoment und Querkraft

Die Lastaufteilung und relative Position von Welle und Nabe werden durch das

Verh�ltnis der aufgebrachten Lasten beeinflu§t. Bei Belastung mit �berwiegen-

dem Drehmoment wird sich ein Zustand �hnlich Bild 4.3 einstellen. Eine Rela-

tivverschiebung zwischen den Wellen- und Nabenflanken wird nur auftreten,

wenn die Gr�§e der Querkraft die ihr entgegengerichteten Reibkr�fte �ber-

steigt. Die H�he der Querkraft ist von der Flankenbelastung (Pressung durch

das zu �bertragende Drehmoment), der elastischen Nachgiebigkeit der Zahn-

paare und dem Reibbeiwert abh�ngig. Ist die Querkraft geringer, entsteht nur

eine Mittenverlagerung aufgrund elastischer Nachgiebigkeiten der Zahn- oder

Keilpaare und die Wellen- und Nabenflanken gleiten nicht aufeinander ab.

Ist die Belastung �berwiegend querkraftgepr�gt, erfolgt eine Mittenverlagerung

�hnlich Bild 4.4. W�hrend des Umlaufs der Verbindungen sind die Flanken-

paare einem Wechsel der Last unterzogen mit einem stattfindenden Abgleiten.

Durch dieses gleichzeitige Einwirken von Relativbewegungen und den Wechsel

der Lastflanken f�hrt diese Lastkombination zu erh�htem Verschlei§.

Es lassen sich somit f�r flankenzentrierte Verbindungen drei Betriebszust�nde

feststellen, die wie folgt definiert bzw. charakterisiert werden k�nnen:

Betriebszustand I 0 ≤ H < rw�berwiegende oder reine Querkraftbelastung, Wechsel der belasteten Zahn-

flanke bei Umlauf, gro§e Relativbewegungen

Betriebszustand II rw ≤ H < Hgr�berwiegende Drehmomentbelastung, geringe Relativbewegungen

Betriebszustand III Hgr ≤ H < ∞�berwiegende oder reine Drehmomentbelastung, keine Relativbewegungen

8

4.2 Beanspruchungsverhalten von Zahnwellen-Verbindungen bei

reiner Drehmomentbelastung

Zur Kl�rung des Spannungs- und Verformungsverhaltens von Zahnwellen-Ver-

bindungen unter Drehmomentbelastung wurden umfangreiche dreidimensio-

nale Finite-Elemente-Kontaktrechnungen durchgef�hrt. Die Ergebnisse dieser

Untersuchungen f�hrten zu einer �berarbeitung der Berechnungsvorschriften

der DIN 5466.

Am Beispiel des Belastungsfalls Torsion werden die zwei am st�rksten den

Beanspruchungszustand beeinflussenden Geometrieparameter Z�hnezahl und

Verbindungsbreite betrachtet.

Die Beanspruchungen im Kerbbereich drehmomentbelasteter Zahnwellen ent-

stehen durch die Flankennormalkraft F, die in eine Umfangskraft FU und in

eine Radialkraft FR zerlegt werden kann, Bild 4.5. Die Umfangskomponente

erzeugt im Zahnfu§ eine Schubbeanspruchung sowie durch die Zahnbiegung

auf der Kraftangriffsseite eine Zugbeanspruchung (-> Zugseite, Indizes z) und

auf der lastfreien Zahnseite eine Druckbeanspruchung (-> Druckseite, Indizes

d). Die Radialkomponente verursacht eine Druck- und eine Tangentialspan-

nung.

Ebenso kann die Flankennormalkraft der Nabe in eine Umfangskraft FU und in

eine Radialkraft FR aufgespalten werden (Bild 4.5), wobei durch die Umfangs-

komponente im Zahnfu§ eine Schubbeanspruchung sowie durch die Zahnbie-

9

Bild 4.5: Schematische Darstellung der Flankenkr�fte und der hochbeanspruchten Bereiche inWellen- und Nabenzahn

Druckseite (d) Zugseite (z)

F

FU

FR

FU

FR F

Zugseite

gung auf der Kraftangriffsseite eine Zugbeanspruchung entsteht. Eine Unter-

scheidung in Zug- und Druckseite wie bei der Welle kann bei der Nabe entfal-

len, da die Beanspruchungen auf der Zugseite durch die Nabenaufweitung kriti-

scher sind als auf der Druckseite /8/.

Die Auswertung der Kontaktrechnungen erfolgte durch Aufnahme der Ver-

gleichsspannungen nach der Gestalt�nderungsenergiehypothese in den Zahn-

fu§bereichen auf der Druckseite der Welle sowie auf den Zugseiten bei Welle

und Nabe. Beim Vergleich der Spannungsverl�ufe im Zahnfu§bereich k�nnen

grunds�tzliche Unterschiede zwischen

Verbindungen mit kleinen und gro§en

Z�hnezahlen festgestellt werden. In

Bild 4.6 sind beispielhaft zwei Zahn-

wellen-Verbindungen mit kleiner (z=6)

und gro§er (z=62) Z�hnezahl darge-

stellt. Der Verlauf der Vergleichsspan-

nung �ber der Verbindungsl�nge f�r

Druck- und Zugseite der Welle ist f�r

diese zwei sowie f�r eine weitere Ver-

bindung mit Z�hnezahl z=20 in Bild

4.7 aufgetragen. Die Verbindung mit

Z�hnezahl z=6 zeigt kein ausgepr�gtes

Spannungsmaximum am Verbin-

10

Bild 4.6: Vergleich der Querschnittsfl�cheneiner Zahnwellen-Verbindung mitkleiner und gro§er Z�hnezahl beigleichem Bezugsdurchmesser dB

z = 6

z = 62

Ver

glei

chss

pan

nu

ng

Dru

ckse

ite

Axialkoordinate

z = 6

z = 20

z = 62

u

a

Z�hnezahl

Bild 4.7: Vergleich der Zahnfu§spannungsverl�ufe in der Welle �ber der Verzahnungsbreitef�r verschiedene Z�hnezahlen

gemeinsameVerbindungsbreite

von Welle und Nabe

dungsbeginn (a). Die maximale

Vergleichsspannung befindet sich

im Bereich vor der Kontaktzone,

in dem der Einflu§ der Zahnbie-

gung abgeklungen ist und der

Zustand ungest�rter Torsion (u)

vorliegt /6,14/. Mit zunehmender

Z�hnezahl wird ein ausgepr�gtes

Spannungsmaximum am Verbin-

dungsbeginn erkennbar, wobei das Maximum auf der Druckseite vor dem Ver-

bindungsbeginn liegt und auf der Zugseite direkt am Kontaktbeginn zu finden

ist. Die Ursache ist im Verlauf des Kraftflusses zu sehen, der von der Nabe �ber

die Kontaktzone in die Welle verl�uft.

Bei gleicher Drehmomentbelastung weisen Zahnwellen mit geringer Z�hnezahl

eine h�here Beanspruchung im Bereich ungest�rter Torsion (u) (Bild 4.8) auf

als Verbindungen mit gro§er Z�hnezahl. Der Grund daf�r liegt in den unter-

schiedlichen Widerstandsmomenten der Zahnwellen aufgrund unterschiedli-

cher Querschnittsfl�chen begr�ndet, wie die Gegen�berstellung von Zahnwel-

len-Verbindungen mit stark unterschiedlichen Z�hnezahlen in Bild 4.6 leicht

erkennen l�§t. Analog zur Berechnung der Beanspruchungen in zylindrischen

St�ben unter Torsion gilt auch f�r Zahnwellen-Verbindungen der umgekehrt

proportionale Zusammenhang zwischen der Schubspannung und dem Wider-

standsmoment (τ = T/Wt). Daraus erkl�rt sich die h�here Vergleichsspannung

der Verbindung mit geringerem Widerstandsmoment. Zahnwellen mit geringer

Z�hnezahl werden vorrangig auf Torsion beansprucht, Zahnwellen mit gro§er

Z�hnezahl unterliegen speziell am Verbindungsbeginn erh�hter Biegebeanspru-

chung.

In verschiedenen Untersuchungen wurde gezeigt, da§ sich mit Verwendung

gr�§erer Verbindungsbreiten als b = 0,5¥dB die maximalen Zahnfu§spannun-

gen nur noch unwesentlich reduzieren lassen /6,10,15/. In Bezug auf die Wellen-

zahnfu§beanspruchung liegt bei Drehmomentbelastung das optimale Verh�lt-

nis Verbindungsbreite zu Bezugsdurchmesser bei b/dB = 0,6.

11

Bild 4.8: Skizze einer Zahnwellen-Verbindung mitDarstellung des Verbindungsanfangs (a)und des ungest�rten Bereichs (u)

Ein

span

nu

ng

der

Wel

le

(u) (a)

Am Verbindungsanfang ist die Zusammensetzung der Zahnfu§-Vergleichsspan-

nung aus den Teilbeanspruchungen Torsion und 'ebene Zahnscheibe' unter

Flankenlast von der Verbindungsbreite abh�ngig. Die Vergleichsspannung im

Zahnfu§ der Welle ist f�r eine Verbindung mit mittlerer Z�hnezahl und Verbin-

dungsbreiten von b/dB = 0,05 und 0,5 in Bild 4.9 dargestellt. Die Spannungen

der sehr kurzen, einer Zahnscheibe entsprechenden Verbindung sind viel h�her

als in einer Verbindung optimaler Verbindungsbreite. Bei sehr kurzen Verbin-

dungen weist die Flankenpressung eine nahezu gleichm�§ige Verteilung �ber

der Verbindungsbreite auf, bei optimaler Verbindungsbreite eine starke Pres-

sungs�berh�hung am Verbindungsbeginn, die zum Verbindungsende abf�llt.

Der Belastungszustand in einer kurzen Verbindung kann mit einer Biegebean-

spruchung und in breiteren Verbindungen mit einer Torsionsbeanspruchung

verglichen werden. Daher �berwiegt der Torsionsanteil an der maximalen Ver-

gleichsspannung bei breiten Verbindungen deutlich, bei kurzen Verbindungen

und mittleren bis gro§en Z�hnezahlen der Anteil der Zahnscheibe ('Zahnbie-

gung'). Bei kleinen Z�hnezahlen �berwiegt jedoch grunds�tzlich der Torsions-

anteil.

4.3 Ermittlung einer resultierenden Beanspruchung

Die Bestimmung einer maximal auftretenden Flankennormalkraft Fmax erfolgt

12

b/dB = 0,5

b/dB = 0,05

Ver

glei

chss

pan

nu

ng

Zu

gsei

te

Verbindungsendeb/dB = 0,05

Verbindungsendeb/dB = 0,5 b/dB = 0,5

b/dB = 0,05

Axialkoordinate

u

a

Bild 4.9: Vergleich der Zahnfu§spannungsverl�ufe in der Welle �ber der Verzahnungsbreitef�r verschiedene Breiten/Bezugsdurchmesser-Verh�ltnisse b/dB /6/

in Abh�ngigkeit des Betriebszustandes (Kap. 4.1.) mit der zugeh�rigen Glei-

chung. Mit der maximalen Flankennormalkraft kann die maximale Flanken-

pressung der Verbindungsscheibe ps mit der Zahnbreite b und durch Ber�ck-

sichtigung eines geometrieabh�ngigen Breitenfaktors kb die maximale Flanken-

pressung pmax einer Zahn- bzw. Keilwellen-Verbindung berechnet werden. Die

maximale Pressung der Verbindungsscheibe ps wird zur Berechnung der Bean-

spruchungen σs1,z/d (Indizes: z = Zugseite; d = Druckseite) durch die Flanken-

normalkraft F im Kerbbereich der verzahnten Wellenscheibe ben�tigt. Der

Berechnungsansatz f�r die Umfangskomponente FU ist mit dem eines einge-

spannten Biegebalkens und f�r den Radialkraftanteil FR mit dem einer unter

Au§endruck belasteten Voll- oder Hohlwelle vergleichbar. F�r alle anderen auf

die Zahnwelle einwirkenden Einzelbelastungen werden �ber entsprechende

Widerstandsmomente (Torsion, Biegemoment) bzw. Querschnittsfl�chen (Quer-

kraft und Axialkraft) die maximalen Beanspruchungen berechnet:

maximale Beanspruchung der Wellenscheibe σs1,z/dmaximale Torsionsspannung τtmax1maximale Biegespannung σbmax1,(a/u)maximale Schubspannung durch Querkraft τsn1maximale Zug-/Druck-Spannung σax1,(a/u).

Indizes: 1 = Welle; a = Verbindungsanfang; u = ungest�rter Bereich

z = Zugseite; d = Druckseite

Aus den einzelnen Beanspruchungskomponenten kann eine resultierende Ver-

gleichsspannung im Kerbbereich der Welle (Zahnfu§ausrundung) berechnet

werden. Dabei mu§ zwischen verschiedenen Orten (ungest�rter Bereich und

Verbindungsanfang) der m�glichen maximalen Zahnfu§spannung sowie zwi-

schen Zug- und Druckseite der Welle unterschieden werden. Die resultierende

Vergleichsspannung am Verbindungsanfang (a) ist f�r die Zugseite nach

Gl.(4.5) und f�r die Druckseite nach Gl.(4.6) zu berechnen.

13

σ σ σ σ τ τv1,z,a bmax1,a ax1,z ax1,ak= + ⋅( ) + ⋅( ) + ⋅ ⋅( ) +

21 1

21 1

2123k ks z s z t z t sn, , , max (4.5)

σ σ σ σ τ τv d a b a ax d ax a s d s d t d t snk k k1 1 1 1

21 1

21 1

2123, , max , , , , , , max= + ⋅( ) + ⋅( ) + ⋅ ⋅( ) +

(4.6)

Mit den Einflu§faktoren kax1 f�r die Beanspruchungsanteile aus der Axialkraft,

ks1 aus Zahnbiegung, Schub und Druck und kt1 f�r die Torsionanteile wird die

Einleitung der Flankenbelastung in den Kerbbereich direkt am Verbindungsan-

fang ber�cksichtigt. Durch den Steifigkeitssprung beim �bergang von der Welle

auf die Nabe erreicht die Flankenpressung am Verbindungsrand auf der Seite

der Welleneinspannung den Maximalwert pmax, der �rtlich sehr begrenzt auf-

treten kann. Die unmittelbar neben dem Gr�§twert der Pressung au§erhalb der

Verbindung liegenden Flankenbereiche erfahren keine �u§eren Lasten. Die

Auswirkungen der maximalen Pressung auf die Spannungen im Kerbbereich

werden durch diese abst�tzenden Flankenbereiche abgeschw�cht und das Mit-

tragen dieser Bereiche in der Berechnung durch Einflu§faktoren ber�cksichtigt.

In die Gleichungen sind jeweils die Maximalwerte der einzelnen Beanspru-

chungsanteile f�r Zug- und Druckseite einzusetzen.

Bei ausreichendem Abstand vom Verbindungsanfang ist der Einflu§ der Span-

nungskomponenten aus Zahnbiegung, Schub und Druck vollkommen abgeklun-

gen, die entsprechenden Einflu§faktoren werden zu null und entfallen. Die Ein-

flu§faktoren f�r Torsion und Axialkraft werden zu eins, da die Torsionbean-

spruchung im Kerbbereich ungest�rt von der Steifigkeits�nderung ist und sich

die Beanspruchung aus der Axialkraft gleichm�§ig �ber den Wellenquerschnitt

verteilt hat. Die Berechnung der Vergleichsspannung im ungest�rten Bereich

(u) erfolgt damit erheblich vereinfacht nach Gl.(4.7).

Zur Ermittlung der kritischen Spannung im Kerbbereich der Welle m�ssen die

einzelnen resultierenden Vergleichsspannungen nach Gl.(4.5) bis Gl.(4.7) mit-

einander verglichen werden. Die Vergleichsspannung ist f�r statische und

dynamische Lastanteile getrennt zu berechnen.

Die Berechnung der Beanspruchungen in der Zahnnabe erfolgt analog zur

Berechnung der Zahnwelle. Zus�tzlich kommt mit der Fliehkraft bei schnell

drehenden Naben eine weitere Belastungskomponente hinzu und der bei Naben

geringe Schubspannungsanteil aus der Querkraftbelastung wird vernachl�s-

sigt:

14

σ σ σ τ τv u b u ax u t sn1 1 1

212

123, max , , max= +( ) + ⋅ +( ) (4.7)

maximale Beanspruchung der Nabenscheibe σs2maximale Torsionsspannung τtmax2maximale Biegespannung σbmax2maximale Zug-/Druck-Spannung σax2 maximale Fliehkraft-Beanspruchung σωmax2.

Indizes: 2 = Nabe

Aus den einzelnen Beanspruchungskomponenten kann eine resultierende Ver-

gleichsspannung im Kerbbereich der Nabe (Zahnfu§ausrundung) berechnet

werden. Die Berechnung unterscheidet zun�chst zwischen Verbindungen mit

beidseitigem Wellen�berstand (Bild 4.8) und einseitigem Naben�berstand (Bild

4.10), da bei einseitigem �berstand am Verbindungsende (e) nicht vernachl�s-

sigbare Biegespannungen entste-

hen k�nnen. Bei d�nnwandigen

Naben ist die Vergleichsspannung

an beiden Verbindungsr�ndern

(Index a: Verbindungsanfang,

Seite zur Welleneinspannung;

Index e: Verbindungsende) zu

bestimmen, bei dickwandigen

Naben gen�gt die Berechnung am

Verbindungsanfang (a).

Im Gegensatz zur Berechnung der Kerbbeanspruchung der Wellenscheibe,

gen�gt bei der Nabe die Ermittlung der resultierenden Spannung auf der Zug-

seite, da durch die Nabenaufweitung die Beanspruchung der Zugseite kritischer

als die der Druckseite ist. Die resultierende Vergleichsspannung ist am Verbin-

dungsanfang (a) nach Gl.(4.8) und bei d�nnwandiger Nabe zus�tzlich am Ver-

bindungsende (e) nach Gl.(4.9) zu berechnen.

15

Bild 4.10: Skizze einer Zahnwellen-Verbindung miteinseitigem Naben�berstand unter Biege-beanspruchung und Kennzeichnung desVerbindungsanfangs (a) und -endes (e)

Ein

span

nu

ng

der

Wel

le

(e)

(a)

FQ

σ σ σ σ τω ωv a ax a ax s a s t a tk k k k2 2 2

22 2 2 2

22 2

23, , , max , max= ⋅( ) + ⋅ + ⋅( ) + ⋅ ⋅( ) (4.8)

σ σ σ σ σ τω ωv e b ax e ax s e s t e tk k k k2 2 2 22

2 2 2 22

2 22

3, max , , max , max= + ⋅( ) + ⋅ + ⋅( ) + ⋅ ⋅( ) (4.9)

Die Einflu§faktoren kax2 f�r die Beanspruchungsanteile aus der Axialkraft, ks2aus Zahnbiegung, Schub und Druck und kt2 f�r die Torsionanteile ber�cksichti-

gen die Einleitung der Flankenbelastung in den Kerbbereich der Nabe und sind

von der Verbindungssteifigkeit und der Nabeneinspannung abh�ngig.

Zur Ermittlung der kritischen Spannung im Kerbbereich der Nabe m�ssen die

einzelnen resultierenden Vergleichsspannungen nach Gl.(4.8) und Gl.(4.9) mit-

einander verglichen werden. Die Vergleichsspannung ist f�r statische und

dynamische Lastanteile getrennt zu berechnen.

Die Berechnungsgrundlagen der Tragf�higkeitsberechnung sind allgemeing�l-

tig und gelten sowohl f�r Keilwellen- als auch f�r Zahnwellen-Verbindungen

mit beliebiger Flankenform. Zur Berechnung sind jeweils geometrieabh�ngige

Parameter zu bestimmen (z.B. mittels Finite-Elemente-Untersuchungen), die

f�r Zahnwellen-Verbindungen mit Zahnform nach DIN 5480 bereits ermittelt

wurden und in Teil 2 der DIN 5466 (z.Zt. im Entwurf) /16/ enthalten sein wer-

den.

In DIN 5466 ist weiterhin ein Abschnitt zur Auslegung von Zahn- und Keilwel-

len-Verbindungen auf Verschlei§ enthalten. Als weiterf�hrende Literatur sei

hier auf Sch�fer /5/ verwiesen

Mit den dargestellten Berechnungsgrundlagen ist am Institut f�r Maschinen-

wesen der TU Clausthal ein Tabellenkalkulationsprogramm auf der Basis von

Microsoft Excel entwickelt worden, das die Ermittlung der Beanspruchungen in

Zahnwellen-Verbindungen nach DIN 5480 erm�glicht /17/.

16

5 Literatur

/1/ DIN 5480: Zahnwellen-Verbindungen mit Evolventenflanken, Teil 1 bis 16.

Beuth Verlag, Berlin 1986/1991

/2/ Decker, K.-H.: Maschinenelemente - Gestaltung und Berechnung. Carl

Hanser Verlag, M�nchen 1990

/3/ Kohl, G.: Ein Ansatz zur Berechnung der Zahnfu§spannungen an Zahnwel-

lenverbindungen. Dissertation TU Clausthal 1986

/4/ Zapf, R.: Betriebs- und Verschlei§verhalten flankenzentrierter Zahnwellen-

verbindungen mit Schiebesitz. Dissertation TU Clausthal 1986

/5/ Sch�fer, G.: Der Einflu§ von Oberfl�chenbehandlungen auf das Verschlei§-

verhalten flankenzentrierter Zahnwellen-Verbindungen mit Schiebesitz.

Dissertation TU Clausthal 1995

/6/ Wesolowski, K.: Dreidimensionale Beanspruchungszust�nde und Festig-

keitsnachweis drehmomentbelasteter Zahnwellen-Verbindungen unter

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1996

/7/ Dietz, P; Wesolowski, K.: Abschlu§bericht zum Forschungsvorhaben "Zahn-

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1994

/8/ DIN 5466 E: Vorlage zum Entwurf Tragf�higkeitsberechnung von Zahn-

und Keilwellen-Verbindungen. DIN Normenausschu§ Antriebstechnik,

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/9/ Dietz, P.: Die Berechnung von Zahn- und Keilwellenverbindungen. Selbst-

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/10/ Villmer, F.J.: Zum Mechanismus der Lastverteilung in Zahnwellen-Verbin-

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/11/ Dietz, P; Sch�fer, G.; Wesolowski, K.: Betriebsverhalten und Lebensdauer

von Zahnwellen-Verbindungen. DVM-Bericht 121: Maschinenelemente und

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Zahnwellen-Verbindungen. Untersuchungsbericht der Fa. John Deere

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/13/ Garzke, M.: Beanspruchungsverhalten von Zahnwellen-Verbindungen

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Maschinenwesen der TU Clausthal 1996

/14/ Garzke, M.: Untersuchungen zum Beanspruchungs- und Pressungverhal-

ten von Zahnwellen-Verbindungen unter Drehmomentbelastung mit der

Finite-Elemente-Methode. Unver�ffentlichte Studienarbeit, Institut f�r

Maschinenwesen der TU Clausthal 1994

/15/ Sch�pf, H.J.: Festigkeitsuntersuchungen an Zahnwellen-Verbindungen mit

Spannungsoptik und Dauerschwingversuchen. Dissertation TU M�nchen

1976

/16/ DIN 5466-2 E: Vorlage zum Entwurf Tragf�higkeitsberechnung von Zahn-

und Keilwellen-Verbindungen: Zahnwellen-Verbindungen nach DIN 5480.

DIN Normenausschu§ Antriebstechnik, Frankfurt 1996

/17/ Burgtorf, U.; Garzke, M.: Anleitung zum Berechnungsprogramm zur Trag-

f�higkeitsberechnung von Zahnwellen-Verbindungen nach DIN 5466 E,

Geometrie nach DIN 5480. Institut f�r Maschinenwesen der TU Clausthal

1996

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