Bewegungslehre (Kinematik) Bewegung ist eine Grundtätigkeit des Menschen. Auch wenn wir schlafen, bewegen sich unsere Muskeln, Herz und Lunge. Im physikalischen Sinne ist Bewegung jede Veränderung der Position und/oder Lage eines Körpers. Bewegungen muss man relativ betrachten, weil es kein absolutes Bezugssystem gibt. Ein Körper in einem Auto beispielsweise ist relativ zu diesem in Ruhe, das Auto kann sich aber durchaus bewegen. Die Straße, die in Bezug auf die Erde in Ruhe ist, kreist mit ihr um die Sonne, während die Sonne innerhalb der Milchstraße kreist usw. usw. Eine relative Betrachtung bedeutet, dass Ruhezustand bzw. Bewegung eines Körpers immer in der Relation zu einem anderen Körper, dem Bezugskörper, betrachtet wird. Aus verschieden Blickwinkeln betrachtet kann ein Körper verschiedene Bewegungsformen aufweisen, zum Beispiel steht ein Wagen in der Garage, mit der Garage zusammen betrachtet ist der Wagen im Ruhezustand, trotzdem kreist der Wagen mit der Garage und der Erde zusammen um die Sonne. Die Bewegungen haben sowohl eine Richtung als auch eine Größe. Das Maß ist die Geschwindigkeit. Die Physiker haben auf die Gleichmäßigkeit und Gleichförmigkeit der Bewegung Wert gelegt.

• Wenn ein Körper seinen Ort oder seine momentane Lage gegenüber anderen Körpern nicht ändert, ist er gegenüber diesen Körpern „in Ruhe“.

• Ändert ein Körper jedoch seinen Ort oder seine Lage gegenüber anderen Körpern, dann bewegt er sich.

Eine Aussage darüber, ob ein Körper ruht oder sich bewegt, kann nur getroffen werden, wenn ein Bezugssystem vorhanden ist. Wird nichts anderes gesagt, geht man in der Physik immer von der Erde als Bezugssystem aus. Demnach befindet sich ein Körper in Ruhe, wenn er relativ (d.h. „bezogen auf“) zur Erde sich nicht bewegt.

• Da sich die Erde um die Sonne, die Sonne wiederum um andere Himmelskörper bewegt usw. , kann man prinzipiell kein Bezugssystem angeben, das sich absolut ( d.h. „vollkommen“) in Ruhe befindet!

© Reinhard Laun �1

Die Kinematik (Bewegungslehre) ist ein Teilgebiet der Mechanik, das die Bewegungen von „Massenpunkten“ beschreibt. Dabei werden die Ursachen, die eine Änderung des Bewegungszustandes herbeiführen, nicht behandelt.In der Bewegungslehre gehen wir von der Annahme aus, dass die gesamte Masse des bewegten Körpers in einem „Massenpunkt“ vereinigt ist und der Massenpunkt außer der Bahnbewegung keine anderen Bewegungen zusätzlich ausführen kann.

• Man unterscheidet zwischen der Bewegung des „Massenpunktes“ auf einer idealisierten geraden Linie; man spricht dann von einer Translation.

• Bewegt sich der Körper dagegen auf einer Kreisbahn, sprechen wir von Rotation.

Man unterscheidet verschiedene Bewegungsarten, wie z.B.:

• gleichförmige Bewegungen (Geschwindigkeit = konstant; Beschleunigung = Null)

• gleichmäßig beschleunigte Bewegungen ( Geschwindigkeit = nicht konstant; Beschleunigung = konstant)

• ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen (Geschwindigkeit = nicht konstant; Beschleunigung = nicht

konstant)

Bewegungsart Geschwindigkeit Beschleunigung

gleichförmig konstant null

gleichmäßig beschleunigt

ändert sich gleichmäßig konstant

ungleichmäßig beschleunigt

ändert sich ungleichmäßig ändert sich

© Reinhard Laun �2

A. Gleichförmige, geradlinige Bewegungen

Eine gleichförmige Bewegung findet immer dann statt, wenn die Bewegung mit gleichem Wegzuwachs pro Zeiteinheit abläuft.

Definition: Eine Bewegung heißt gleichförmig geradlinig, wenn

die Bewegung stets gleich schnell erfolgt und sich die Bewegungsrichtung nicht ändert.

• Unter der Geschwindigkeit v (v = velocitas; lat. Geschwindigkeit) versteht man den Quotienten aus zurückgelegtem Weg s (s = spatium ; lat. Strecke) und der hierzu benötigten Zeit t ( t = tempus; lat. Zeit).

Als Merkmale oder Eigenschaften einer gleichförmigen Bewegung können wir aufzählen:

1. Weg und Zeit sind proportional: s~ t. 2. Der Quotient aus Weg und Zeit ist konstant. 3. Die Geschwindigkeit ist konstant. 4. Der Wegzuwachs pro Zeiteinheit ist konstant. 5. Der Weg ist nach einer linearen Funktion von der Zeit abhängig: s = v . t . Dabei ist die Geschwindigkeit v gleich der Steigung der Geraden).

Diese Eigenschaften bestehen nicht unabhängig voneinander, sie stehen in einer bestimmten Beziehung. Dieser Zusammenhang ist immer gegeben, wenn zwischen zwei physikalischen Größen (in unserem Fall dem Weg und der Zeit) Proportionalität besteht.

© Reinhard Laun �3

v = st

s = v ⋅t

Die Geschwindigkeit wird in „ Meter pro Sekunde“ (m/s) angegeben. Es ist jedoch erlaubt, die Geschwindigkeit auch in den Einheiten „Kilometer pro Sekunde“ (km/s) oder „Kilometer pro Stunde“ (km/h) anzugeben.

Umrechnung:

1 km / h = 0,277 m / s = 27,7 cm / s 1 m/s = 3,6 km/h

• Um eine Vorstellung zu bekommen, welche Durchschnitts-geschwindigkeiten in unserer Umwelt auftreten, folgt nun eine Zusammenstellung mittlerer Geschwindigkeiten:

Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) ca. 300 000 km/sErde auf ihrer Umlaufbahn (um die Sonne) 30 000 m/sErdbebenwelle 3600 m/sSchallgeschwindigkeit im Knochen 3600 m/sSchallgeschwindigkeit in Wasser 1540 m/sGewehrkugel 870 m/sSchallgeschwindigkeit in Luft 330 m/sSchwalbe 80 m/sRennpferd 25 m/sAdler 24 m/sHundert – Meter - Sprinter 10 m/sFallschirmspringer 4 m/sFußgänger 1,5 m/sBlutströmungsgeschwindigkeit (Aorta) 21,5 - 87,5 cm/sBlutströmungsgeschwindigkeit (Vena cava) 10,7 - 60 cm/sSchneeflocke 20 cm/sSchnecke 1 mm/sWachstum von Gras 1 µm/sWachstum von Haaren 0,01 µm/s© Reinhard Laun �4

Gleichmäßig beschleunigte, geradlinige Bewegungen

• Das Formelzeichen für die Beschleunigung ist “a”. Das „a“ steht für acceleration (= Beschleunigung).

• Eine gleichgmäßig beschleunigte Bewegung liegt immer dann vor, wenn die Geschwindigkeit v in gleichen Zeitabschnitten um den selben Betrag zu nimmt.

• Die Geschwindigkeitsänderung v und das dazu benötigte Zeitintervall t sind einander proportional.

Unter der „Beschleunigung a“ versteht man den Quotienten aus einer Geschwindigkeitsänderung v und dem dazugehörigen Zeitintervall t.Die Einheit der Geschwindigkeit ist “Meter pro Sekunde” (m/s). Die Einheit der Beschleunigung ist folglich:

Erdbeschleunigung bzw. Fallbeschleunigung “g” • Die Erdbeschleunigung ist die Beschleunigung, die ein Körper im

freien Fall erreicht. Auf alle Körper wirkt die Schwerkraft der Erde. • Das Formelzeichen für die Erd-, Fall- oder Schwerebeschleunigung

ist “g”. Auf der Erdoberfläche beträgt die Fallbeschleunigung (am Normort 45° nördl. Breite auf Meeresspiegelhöhe)

© Reinhard Laun �5

a⎡⎣ ⎤⎦ =v⎡⎣ ⎤⎦t⎡⎣ ⎤⎦

= m/ ss

= ms2

g= 9,80665ms2

Kreisbewegung Kreisbewegungen kennen wir in unserem Alltag von der Zentrifuge, von Ventilatoren, von der Drehanode der Röntgenröhre usw. • Typisch für Kreisbewegungen ist

die Drehfrequenz und die Winkelgeschwindigkeit.

Drehfrequenz: Alle Punkte eines umlaufenden Körpers führen in einer bestimmten Zeit die gleiche Zahl Umdrehungen aus. Die Drehfrequenz n, umgangssprachlich auch als Drehzahl bezeichnet, ist die Anzahl der Umdrehungen N pro Zeiteinheit t in der Einheit 1/Sekunde = s−1 bzw. 1/Minute (= min−1).Berechnungsformel:

Winkelgeschwindigkeit

• Die Winkelgeschwindigkeit ist in der Physik eine vektorielle Größe, die angibt, wie schnell sich ein Winkel mit der Zeit um eine Achse ändert.

• Die Winkelgeschwindigkeit hat das Formelzeichen ω (= griech. “ω” sprich: Omega).

• Die Winkelgeschwindigkeit wird auch Kreisfrequenz genannt.

Da eine volle Kreisumrundung ( = 360° ) = 2π entspricht und eine volle Umdrehung die Zeit T = 1/f dauert, gilt folgende Formel:

© Reinhard Laun �6

n= Nt

ω = 2πT

Graphische Darstellung der Bewegungen Das Aufzeigen von Beziehungen bzw. Zusammenhängen zwischen zwei physikalische Größen nennt man eine graphische Darstellung. Die Zeichnung selbst heißt Graph.Man kann folgende Graphen in entsprechenden Diagrammen zeichnerisch darstellen:

• Weg - Zeit - Funktionen s =f(t) das heißt: Der Weg als Funktion der Zeit• Geschwindigkeit - Zeit - Funktionen v =f(t) das heißt: Die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit• Beschleunigung - Zeit – Funktionen a =f(t) das heißt: Die Beschleunigung als Funktion der Zeit

A. die geradlinige, gleichförmige Bewegung • Eine geradlinige, gleichförmige Bewegung eines Körpers liegt

vor, wenn sich der Körper längs einer geraden Bahn konstant mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt. (z.B. Rolltreppen, Förderbänder usw.)

v = konstant (Die Geschwindigkeit ändert sich nicht.)

• Die Geschwindigkeit v gibt an, wie schnell oder langsam sich ein Körper bewegt.

• Die Geschwindigkeit v kann berechnet werden mit der Gleichung:

• Bei einer geradlinigen, gleichförmigen Bewegung legt ein Körper in gleichen Zeiten gleiche Wege zurück.

• Weg und Zeit sind zueinander proportional. Ein Anfangsweg muss berücksichtigt werden.

• Der Quotient aus dem zurückgelegten Weg und der dafür erforderlichen Zeit ist konstant.

© Reinhard Laun �7

v = ΔsΔt

Δs =WegänderungΔt = Zeitänderung

• Im Weg-Zeit-Diagramm ergibt sich eine Gerade. Der Anstieg ist gleich der Geschwindigkeit.

Im obigen Beispiel legt der Körper in 6 Sekunden eine Weglänge (Strecke) von genau 3 m zurück.Wenn wir in die Formel für die Geschwindigkeit v diese Werte einsetzen, erhalten wir folgende Geschwindigkeit:

A. Wenn wir die Gleichung umformen, können wir aus der Geschwindigkeit und der Zeit den zurückgelegtenWeg berechnen.

© Reinhard Laun �8

v = ΔsΔt

= 3m6s =0,5ms

Weg=Geschwindigkeit iZeits = v it

Beispiel 1

Ein Zug fährt um 8 Uhr morgens in Bahnhof A ab und erreicht 4 Stunden später den 480 km entfernen Bahnhof B. a) Wie schnell ist der Zug durchschnittlich gefahren? b) Zeichen das s-t-Diagramm.

Lösung:

a) Antwortsatz: Der Zug hat ein durchschnittliche Geschwindigkeit von v = 120 km/h.

b)

© Reinhard Laun �9

v = ΔsΔt

= 4804kmh

=120kmh

Beispiel 2

Ein Personenzug fährt um 8 Uhr morgens in Bahnhof A ab und erreicht 4 Stunden später den 480 km entfernen Bahnhof B. Wie schnell ist der Zug durchschnittlich gefahren? Ein Güterzug verläßt um 8 Uhr den Bahnhof B und kommt nach 6 Stunden in Bahnhof A an. Wo und wann begegnen sich die beiden Züge?

Geschwindigkeit vom Personenzug: v1 = s1/t1 = 480 km/4 h=120 km/h

Geschwindigkeit vom Personenzug: v2 = s2/t2 = 480 km/6 h= 80 km/h

© Reinhard Laun �10

——

s2

———

s2

———

Wenn sich die beiden Züge treffen, gilt: t1 = t2 = tAußerdem gilt: s1 +s2 = sges

Um t1 zu erhalten, muss die Formel v1 = s1/t1 = 480 km/4 h=120 km/h nach t1 aufgelöst werden:

Die beiden Züge treffen sich nach 144 Minuten.Der Personenzug hat bis zum Treffpunkt genau

zurückgelegt .Und wieviel Kilometer war der Güterzug unterwegs?

Gesamtstrecke : 288 km + 192 km = 480 km

© Reinhard Laun �11

t ⋅(v1 + v2)= 480kms1 + s2 = 480km

t = 480kmv1 + v2

= 480km120km

h+80km

h

= 480200h=2,4h=144min

s1 = v1 ⋅t =120kmh

⋅2,4h=288km

s2 = v2 ⋅t =80kmh

⋅2,4h=192km

Beispiel 3

Ein Autofahrer fährt um 8 Uhr mit der Geschwindigkeit v1 von Ort A nach Ort C. Die Gesamtstrecke beträgt 30 km.Ein Radfahrer fährt zur gleichen Zeit mit der Geschwindigkeit v2 im 18 km entfernteren Ort B nach Ort C.Der Autofahrer braucht für seine Fahrt 30 Minuten. Der Radfahrer aber trifft erst um 8:48 Uhr dort ein.Wann und wo überholt der Autofahrer den Radfahrer?

Autofahrer:

Radfahrer:

© Reinhard Laun �12

v1 =s1t1

= 30km30min =1 kmmin = 60km

h=60km

h

v2 =s2t2

= 12km48min =0,25 kmmin = 15km

h=15km

h

Lösungsweg:Wenn sich Autofahrer und Radfahrer treffen, haben sie die gleiche Zeit benötigt. als gilt: t1 = t2 = tZum Zeitpunkt t hat der Autofahrer 18 km mehr Weg zurückgelegt als der Radfahrer:

Antwortsatz: Die beiden Fahrzeug begegnen sich nach 24 Minuten.

Antwortsatz: Das Auto überholt den Radfahrer um 8:24Uhr an einer Stelle, die 6 km vom Ausgangsort B des Radfahrers und 24 km vom Ausgangsort A des Autofahrers entfernt ist.

© Reinhard Laun �13

s1 = v1 ⋅t s2 = v2 ⋅t +18kmv1 ⋅t = v2 ⋅t +18kmv1 ⋅t − v2 ⋅t =18kmt ⋅(v1 − v2)=18km

t = 18km(v1 − v2)

t = 18(60−15)h=

1845h=0,4h=24min

s1 = v1 ⋅t s1 =60kmh

⋅0,4h=24km

B. die geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung Nicht jede Bewegung erfolgt mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Mal wird ein Körper schneller, man wird er langsamer. Man spricht dann von einer Beschleunigung oder einer Verzögerung. Auch die Bewegung eines Autos im Straßenverkehr lässt sich mit Hilfe einfacher Bewegungen beschreiben. Gas und Bremse dienen dazu, die Größe der Geschwindigkeit zu verändern, mit dem Lenkrad wird die Richtung verändert. Merke: Die Verzögerung (0 Bremsvorgang) unterscheidet sich von der Beschleunigung nur Dur h den negativen Zahlenwert. Beschleunigung a> 0 und Verzögerung a>0

• Kennzeichen für eine nicht gleichförmige Bewegung ist die „Beschleunigung a“.

Wenn die Beschleunigung konstant ist, kann man die Geschwindigkeit nach folgender Formel berechnen:

Das Weg-Zeit-Gesetz der geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung lautet:

© Reinhard Laun �14

a= ΔvΔt

a⎡⎣ ⎤⎦ =m/ ss

= ms2

Beschleunigung= GeschwindigkeitsänderungZeit

v = a⋅t

s = 12a⋅t2

Oft will man eine Beziehung zwischen dem Weg, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung ohne die Zeit berechnen. Dann muss man die Formeln entsprechend umformen:

wird erweitert mit 2a —->

weil v = a. t —> 2.a.s = v2

daraus folgt:

a) ohne Anfangsgeschwindigkeit

Das v-t- Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

© Reinhard Laun �15

s = 12a⋅t2

2a⋅s = a2 ⋅t2

v = 2as

Das s-t- Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

b) mit Anfangsgeschwindigkeit v0 Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit der Anfangs-geschwindigkeit v0 werden die obigen Formeln entsprechend ergänzt:

Die zum Zeitpunkt des Starts (t = 0) vorhandene Anfangsgeschwindigkeit ändert sich gleichmäßig um Δ v= a.t, die Beschleunigung a bleibt konstant (a = konst.)

v - t - Diagramm

s Weg, in der Zeit t zurückgelegtv0 Anfangsgeschwindigkeitv Endgeschwindigkeitt Dauer der Beschleunigunga Beschleunigung während der Zeit t konstant

© Reinhard Laun �16

• Der im v- t - Diagramm zurückgelegte Weg s entspricht der Fläche des Trapezes unter der Kurve:

Da die Fläche des Trapezes der Summe von der Rechtecksfläche und der Dreiecksfläche entspricht, kann man diese Formel auch so schreiben:

Aus dem v - t -diagramm kann man auch ablesen, dass die Gesamtgeschwinidigkeit die summe von v0 und Δ v= a.t ist.

Durch Einsetzen und Umformen der gegebenen Gleichung kann man t eliminieren und erhält schließlich folgende Formel:

© Reinhard Laun �17

s =vo + v2

s = v0 ⋅t +Δv ⋅t2

s = v0 ⋅t +a⋅t ⋅t2

s = v0 ⋅t +12a⋅t

2

v = v0 +a⋅t

v = v02 +2a⋅s

Beispiel 1

Ein Auto soll in 10 s von 0 auf 100 km/h beschleunigt werden. a) Berechne die Beschleunigung a.b) Berechne den zurückgelegten Weg.

Lösung: Zuerst muss man die Einheit km/h in m/s umrechnen:

Antwortsatz: Das Auto beschleunigt mit 2,77 m/s2.

Antwortsatz: Das Auto legt in 10s einen Weg von ca. 138,89 m zurück.

© Reinhard Laun �18

a= vt=100km

h10s =

1001000m3600s10s = 100⋅0,277m10s2 =2,77m

s2

s = vo+ v2 ⋅t =0+100km

h2 ⋅10s =

1001000m3600s2 ⋅10s

s = 27,772 ⋅10m=138,89m

Beispiel 2

Ein Auto fährt mit 20 km/h an einer schule vorbei. Danach gibt der Fahrer Gas und beschleunigt dann 6 Sekunden lang sein Fahrzeug mit 1,5 m/s2. a) Welche Geschwindigkeit hat dann das Auto?b) Welche Wegstrecke wird in dieser Zeit durchfahren?

�

�

Antwortsatz: Das Auto erreicht ein Endgeschwindigkeit von v= 14,55 m/s.

�

Antwortsatz: Das Auto durchfährt in den 6 Sekunden eine Strecke von s= 60,3 m.

v0 =20kmh

=201000m3600s =5,55ms

v = v0 +a⋅t =5,55ms+1,5m

s2⋅6s =14,55m

s

s =33,3m+27m=60,3m

© Reinhard Laun �19