Bürointernes Seminar Dipl.-Ing. Matthias ... -...

Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090

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Stabilität

Besondere Probleme und Lösungsstrategien

Bürointernes Seminar

Dipl.-Ing. Matthias Küttler


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Bürointernes Seminar.............................................................................. Fehler! Textmarke nicht definiert.

Stabilität – besondere Probleme und praktische Lösungsstrategien............................................................................3 1 Grundlagen am Beispiel des Knickstabes ...............................................................................3

1.1 Die DGL .............................................................................................................................................................3 1.1.1 Mathematische Lösung des Problems: ........................................................................................................3

1.2 Stabilitätsfaktoren.............................................................................................................................................4 1.3 Anwendung auf einen Knickstab .....................................................................................................................6

1.3.1 Problemstellung...........................................................................................................................................6 1.3.2 Lösung mit dem Weggrößenverfahren........................................................................................................7

1.4 Schlußfolgerungen: ...........................................................................................................................................9 1.5 Verallgemeinerung des Falles ..........................................................................................................................9

2 Praktische Nachweisführung ............................................................................................................11 2.1 Nachweisführung mit Rechenprogrammen ..................................................................................................11

2.1.1 Allgemeines zu FEM – Programmen ........................................................................................................11 2.1.2 Berechnung mit FEM – Stabwerken .........................................................................................................12 2.1.3 Der DISCHINGER – Test.........................................................................................................................14 2.1.4 Die Vollständigkeit der Lösung (Sturmsche Folge) ..................................................................................14 2.1.5 Ungewollte Ausmitte.................................................................................................................................15

2.2 Bestimmung von Knicklängen mit Diagrammen und Programmen ..........................................................16 2.2.1 Berechnung mit FEM Programm und Diagrammen..................................................................................17 2.2.2 Knicklängen bei verschieblichen Rahmen ................................................................................................20 2.2.3 Verfahren bei aussteifenden Bauteilen ohne eigene Normalkräfte ...........................................................22

2.3 Poltreues Knicken ...........................................................................................................................................23 2.4 Berechnungen nach Theorie II. Ordnung .....................................................................................................24

2.4.1 Berechnung mit EUROSTAHL oder Microfe...........................................................................................24 2.4.2 Berechnungen im Stahlbetonbau...............................................................................................................25 2.4.3 Gesamtsysteme aus Stahlbeton .................................................................................................................27

3 Berechnung mit Variationsansätzen (Energiemethode).............................................28 3.1 Einleitung .........................................................................................................................................................28 3.2 Potential eines Knickstabes ............................................................................................................................28 3.3 Näherungsverfahren mit der Energiemethode .............................................................................................30

4 Instabilitäten mit Verdrehungen......................................................................................................34 4.1 Drillknicken .....................................................................................................................................................34 4.2 Kippen ..............................................................................................................................................................36 4.3 Biegedrillknicken.............................................................................................................................................38

4.3.1 Biegedrillknicken (klassische Nachweise) ................................................................................................38 4.3.2 Biegedrillknicken mit Programmen ..........................................................................................................38 4.3.3 Die Mitwirkung von Verstärkungen..........................................................................................................39 4.3.4 Wölbfedern zur Verstärkung der BDK-Verhaltens ...................................................................................41 4.3.5 Beispiel zu Kippeigenwerten.....................................................................................................................42 4.3.6 Biegedrillknicken durch Berechnungen nach Theorie II. Ordnung...........................................................47 4.3.7 Zur Aussteifung von Dachbindern ............................................................................................................53

4.4 Kippen von Stahlbetonbindern ......................................................................................................................53 4.4.1 Übliche Näherungsansätze in der Literatur ...............................................................................................54


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Stabilität – besondere Probleme und praktische Lösungsstrategien 1 Grundlagen am Beispiel des Knickstabes 1.1 Die DGL Für den Biegestab gilt die bekannte DGL

( ) ( ) ( )( )IIIIxIxExp ω=− Gering gekrümmte Stäbe sind Stäbe, bei denen die Krümmung

II

I

II

K ωω

ω≈

+= 3

21 gilt.

Existiert eine Normalkraft, so führt diese bei der Krümmung der Stabachse zu Umlenkkräften von

( ) ( ) NxKxPu ⋅= Somit wird für constIE ≡

IIIV

IEN ωω +=0

Diese Gleichung ist eine homogene DGL, die für 0=ω immer erfüllt ist. Nichttriviale Lösungen er-

geben sich nur für bestimmte Werte IE

N. Diese Lösungen nennt man Eigenwerte der Gleichung.

1.1.1 Mathematische Lösung des Problems: Die DGL ist eine homogene DGL mit konstanten Koeffizienten. Sie wird mit dem xeλ -Ansatz gelöst

( ) xex λω = .

Da gilt ( ) xx

x

eedd λλ λ= , wird

IEN240 λλ += bzw.

22

240 λελ

l+= mit

IENl=ε (Stabkennzahl)

00 4321 −==−== λλελελl

il

i

Damit ( ) 4321 AxAeAeAxix

lix

l ++⋅+⋅=−

εε

ω und mit der Eulerschen Formel1:

1 Die EULERsche Formel (nach dem Mathematiker Leonhardt Euler 1707 – 1783) gilt für alle komplexe Zahlen:

xixe ix sincos ±=± zu Einzelheiten vergleiche ein Lehrbuch der Funktionentheorie


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( ) 4321 sincos ClxCx

lCx

lCx ++

+

=

εεω ,

wobei die Konstanten aus den Randbedingungen gewonnen werden können. Diese Gleichung be-schreibt die Verformung im Knickfall. 1.2 Stabilitätsfaktoren Aus dieser Differentialgleichung können die Einheitsfaktoren gewonnen werden, die zur Berech-nung Theorie II. Ordnung mit dem Weggrößenverfahren benötigt werden. Die Ableitungen der Lö-sungsgleichung sind:

Für den beidseits eingespannten Stab mit Randverdrehungen und einer Rand-verschiebung gilt damit:

Aus diesem Gleichungssystem lassen sich die Lösungen für die Integrationskonstanten gewinnen: (Für die weitere Betrachtung sind nur C1 und C2 von Interesse da nur diese zur Ermittlung des Bie-gemomentes benötigt werden)

Eingesetzt in 2

2

dxwd

ergibt sich für das Moment am linken Trägerende („a“):

Mit den Substitutionen: Geht die Gleichung über in: Die Stabsteifigkeitsmatrix lautet damit (ohne Stabsehnenlängenänderungen) für bezogene Längen ausgeschrieben:

M a EI C 1 ε( ) cos ε 0⋅( )⋅ ε2

⋅ C 2 ε( ) sin ε 0⋅( )⋅ ε2

⋅+( )⋅

α ε( ) sin ε( ) ε cos ε( )⋅−( ) ε⋅ 2 2 cos ε( )⋅− ε sin ε( )⋅−

:= β ε( ) ε2

ε sin ε( )⋅−

2 2 cos ε( )⋅− ε sin ε( )⋅−:=

M a α ε( ) β ε( )+( ) ψ⋅ α ε( ) ϕ a⋅+ β ε( ) ϕ b⋅+

w x( ) C 1 cos ε x⋅( )⋅ C 2 sin ε x⋅( )⋅+ C 3 x⋅+ C 4+

xw x( )d

dC 1− sin ε x⋅( ) ε⋅⋅ C 2 cos ε x⋅( ) ε⋅⋅+ C 3+

2xw x( )d

d

2C 1− cos ε x⋅( ) ε

2⋅⋅ C 2 sin ε x⋅( ) ε

2⋅⋅−

M a EI−1 cos ε( )−( )

2− cos ε( )⋅ 1+ cos ε( )2+ sin ε( )2

ε sin ε( )⋅−+ψ⋅

sin ε( ) ε−

ε 2− cos ε( )⋅ 1+ cos ε( )2+ sin ε( )2

ε sin ε( )⋅−+( )⋅ϕ b⋅

sin ε( ) ε cos ε( )⋅−

ε 2− cos ε( )⋅ 1+ cos ε( )2+ sin ε( )2

ε sin ε( )⋅−+( )⋅ϕ a⋅−+

ε2

⋅⋅

C1 ε( ) 1− cos ε( )+

2− cos ε( )⋅ 1+ cos ε( )2+ sin ε( )2

+ ε sin ε( )⋅−ψ⋅

sin ε( ) ε−

ε 2 cos ε( )⋅ 1− cos ε( )2− sin ε( )2

− ε sin ε( )⋅+( )⋅ϕb⋅+

sin ε( )− ε cos ε( )⋅+

ε 2 cos ε( )⋅ 1− cos ε( )2− sin ε( )2

− ε sin ε( )⋅+( )⋅ϕa⋅+

C2 ε( ) sin ε( )−2

cos ε( )⋅ 1− cos ε( )2− sin ε( )2

− ε sin ε( )⋅ ψ⋅+1 cos ε( )−

ε 2 cos ε( )⋅ 1− cos ε( )2− sin ε( )2

− ε sin ε( )⋅+( )⋅ϕb⋅+

sin ε( )− ε cos ε( )⋅+

ε 2 cos ε( )⋅ 1− cos ε( )2− sin ε( )2

− ε sin ε( )⋅+( )⋅ϕa⋅+

w 0( ) 0 Durchbiegung links

Durchbiegung rechts

Verdrehung links

Verdrehung rechts

w 1( ) ψ l⋅

ϕ 0( ) ϕax

w o( )dd

0

ψ

ϕb

ϕa

1

cos ε( )ε− sin ε( )⋅

0

0

sin ε( )ε cos ε( )⋅

ε

0

1

1

1

1

1

0

0

C1

C2

C3

C4

⋅

ϕ 1( ) ϕbx

w 1( )dd


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0 γ ε( ) ε2

− ε2

γ ε( ) ε crπ2

Eine analoge Berechnung ist für den einseitig eingespannten Stab möglich. Die Randbedingungen werden nun:

Es ergibt sich daraus: Und so wird substituiert: Damit wird die Stabsteifig-keitsmatrix: Die Stabilitätsfaktoren α, β und γ ergeben sich damit (siehe Dia-gramm): Mit diesen Stabilitätsfaktoren ist eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung mit dem Weggrößenver-fahren möglich. Es werden einfach die Stabsteifig-keitsmatrizen nach Theorie II. Ordnung an Stelle der bekannten Matrizen verwendet. Für die bekannten Eulerfälle wird hier: Eulerfall 1:

Matrix des gelenkigen Stabes; gehaltene Frei-heitsgrade gestrichen. Es folgt:

Eulerfall 2: Nach Streichung der gehaltenen Zeilen und Spalten wird: und damit schließlich: D.h. es ergeben sich die

bekannten Ergebnisse.

Eulerfall 3: Der Eulerfall 4 führt auf andere Berechnungen, die weiter unten gezeigt werden sollen.

w 0( ) 0 Durchbiegung links

Durchbiegung rechts

Verdrehung links

Biegemoment rechts

w 1( ) ψ0

ψ

0

ϕa

1

cos ε( )

ε2 cos ε( )⋅

0

0

sin ε( )

ε2 sin ε( )⋅

ε

0

1

0

1

1

1

0

0

C1

C2

C3

C4

⋅ϕ 0( ) ϕa

M 1( ) 0

γ ε( ) ε2 sin ε( )⋅

sin ε( ) ε cos ε( )⋅−( ):=γ ε( ) ε

2−

γ ε( )

γ ε( )− ε2

+

0

γ ε( )γ ε( )

γ ε( )−

0

γ ε( )− ε2

+

γ ε( )−

γ ε( ) ε2

−

0

0

0

0

0

C1 ε( ) sin ε( )−

sin ε( ) ε cos ε( )⋅−ψ⋅

sin ε( )sin ε( ) ε cos ε( )⋅−

ϕa⋅+

C2cos ε( )−

sin ε( )− ε cos ε( )⋅+ψ⋅

cos ε( )sin ε( )− ε cos ε( )⋅+

ϕa⋅+

Ma EI− sin ε( ) ψ− ϕa+( ) ε2

sin ε( )− ε cos ε( )⋅+⋅⋅⋅

α ε( ) β ε( )+( ) 2⋅ ε2

−

α ε( ) β ε( )+

α ε( ) β ε( )+( ) 2⋅ ε2

− −

α ε( ) β ε( )+

α ε( ) β ε( )+

α ε( )

α ε( ) β ε( )+( )−

β ε( )

α ε( ) β ε( )+( ) 2⋅ ε2

− −

α ε( ) β ε( )+( )−

α ε( ) β ε( )+( ) 2⋅ ε2

−

α ε( ) β ε( )+( )−

α ε( ) β ε( )+

β ε( )

α ε( ) β ε( )+( )−

α ε( )

γ ε( ) ε2

−

γ ε( )

γ ε( )− ε2

+

0

γ ε( )γ ε( )

γ ε( )−

0

γ ε( )− ε2

+

γ ε( )−

γ ε( ) ε2

−

0

0

0

0

0

0α ε( )β ε( )

β ε( )α ε( )

0 α ε( )2

β ε( )2− ε

3 2− sin ε( ) cos ε( )⋅⋅ ε cos ε( )2⋅ ε−+ 2 sin ε( )⋅+

2 cos ε( )⋅ 2− ε sin ε( )⋅+( )2⋅

0 2 sin ε( )⋅ 1 cos ε( )−( )⋅ ε cos ε( )21−( )⋅+ 2 sin π( ) π cos π( ) 1+( )⋅− 1 cos π( )−( )⋅

d. h. 0 2 sin ε( ) ε cos ε( ) 1+( )⋅− ε cr π

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

1

2

3

4

AlphaBethaGamma

π

α π( ) 2.47=

β π( ) 2.47=

γ π( ) 0.00=

0 α ε( ) sin ε( ) ε cos ε( )⋅−( ) ε⋅

2 2 cos ε( )⋅− ε sin ε( )⋅−sin ε( ) ε cos ε( )⋅− ε cr 1.43029665312π


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1.3 Anwendung auf einen Knickstab 1.3.1 Problemstellung

Als Beispiel sei der Fall untersucht, daß eine Stütze über zwei Geschosse durchläuft und federnd gehalten wird.

Hier ergeben sich 2 DGL (für jeden Stab eine). Es wird: ( ) ( ) ( ) 4131121111 sincos CCCC +++= ξξεξεξω ( ) ( ) ( ) 8272262252 sincos CCCC +++= ξξεξεξω mit ( )011 =lω Durchbiegung oben ( ) 011 =lIIω Moment oben ( ) 022 =− lω Durchbiegung unten ( ) 022 =− lIIω Moment unten ( ) ( )00 21 ωω = Durchbiegung an Feder ( ) ( )00 21

IIII ωω = Moment an Feder

( ) ( ) ( )000 121 ωωω ⋅=−IE

CIIIIII Querkraft und

Durchbiegung an Feder ( ) ( )00 21

II ωω −= Verdrehung an Feder

1

212 l

l⋅= εε

Die Lösungsstrategien sind:

- Mathematische Lösung durch das Aufstellen der Gleichungen und die Lösung für 81 CC − sowie die Suche der −ε Werte, bei denen nichttriviale Lösungen möglich sind.

- Ansatz einer Verformungsfigur und Auswertung des Potentials der Kräfte. (Siehe Kap. 3)

F

C

1l

2l


Seite 7

- In Spezialfällen (z.B. bei 21 ll = ) können die Eigenformen zutreffend eingegrenzt werden. So lassen sich die antimetrischen Formen unmittelbar anschreiben, die symmetrischen Formen durch einfache Gleichungen angeben.

- Lösung mit den Ansätzen des Weggrößenverfahrens nach Theorie II. Ordnung. - Lösung mittels FEM – Ansätzen.

1.3.2 Lösung mit dem Weggrößenverfahren Die allgemeine Lösung des Problems kann durch die Gleichung des Weggrößenverfahrens nach Th. II. Ordnung gefunden werden. Die Steifigkeitsmatrix des Systems wird aus der Stabsteifigkeitsmatrix des gelenkig gelagerten Stabes gewonnen, wobei die Verschiebung und die Verdrehung des Punktes vor der Feder gesucht werden. Zusam-mengesetzt aus dem unteren und dem oberen Stab lautet die Matrix:

+−

−

+⋅−−⋅+

PunktesgestütztendesngVerschiebu

PunktesgestütztendesVerdrehung

llll

llll

ll

l

2

2

1

122

221

1

22

221

132

312

2213

2

31

2231

1

γγγγ

γγχεεγγ

mit IElC 31⋅

=χ .

Mit der Definition εεε

εεγλcossin

sin;2

1

2

−==

ll

ergibt sich für die Determinante der Matrix

( ) ( ) ( )( )λεχλελεεελεχλλεε +⋅−⋅⋅⋅+⋅−⋅+⋅⋅= 1cossincossin1sinsin0 2

Ist die Zwischenstützung unendlich starr, so wird daraus nach Division durch χ ( ) ( ) ελλεεελελλεε ⋅⋅⋅+⋅−+⋅⋅= cossincossin1sinsin0 Diese Gleichungen sind Bestimmungsgleichungen für ε , die selbstverständlich nur numerisch ausgewertet werden können. Im Sonderfall

( )211 ll ==λ wird daraus:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1

2

3

4

π1 λ+

εs

ε3 χ( )

χ

Lösung in Abhängigkeit von der Feder für λ 0.75= χCEI

l13⋅

γ ε( ) ε2

−

γ ε( )

γ ε( )− ε2

+

0

γ ε( )γ ε( )

γ ε( )−

0

γ ε( )− ε2

+

γ ε( )−

γ ε( ) ε2

−

0

0

0

0

0


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( ) ( )( )εεχεεχεεχεεεεχ cos2sinsin2cossinsin0 222 −−⋅=−⋅⋅−= Diese Gleichung hat eine Nullstelle für 0sin =ε , d.h. πε = . Dieser Eigenwert ist offenbar von der Federkonstanten χ unabhängig. Diese Lösung erfüllt auch die Gleichung für starre Zwischenstüt-zung. Für alle πε ≠ vereinfacht sich die Gleichung dann wegen 0sin ≠ε durch Division durch ε2sin zu ( )22tan εχεεχ −=⋅ Diese Gleichung führt für πε = zu ( )220 πχπχ −⋅=⋅ , woraus sich die kritische Feder ermitteln läßt, d.h.

22πχ =crit und 31

22l

IECcritπ

=

Für diese Fe-der sind offen-bar beide Lö-sungen gleich. Knicklasten der beiden Knickformen für unterschiedliche Federn Zur Bestimmung der Eigenform müssen die Lösungen in die DGL eingesetzt werden. Es ergibt sich ein Gleichungssystem für die Konstanten und damit die Lösung für die Eigenformen.

1 0 1

1

2

3

4

5

6

Symmetrisache KnickformAntimetrische Knickform

x

x1

ω 2 x 2π 2,( ) ω 1 x1( ),0 0.5 1 1.5 2

1

2

3

4

5

6

Knickform bei C critKnickfigur bei schwacher Federnicht mögliche Knickfigur 1.4 C crit

1( )EI 1050kN m2⋅= l1 3m=

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

500

1000

1500

SymmetrischAntimetrisch

Bezogene Feder

Kni

ckla

st in

kN

2π 2 2.8π 2


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1.4 Schlußfolgerungen: Zur Beurteilung eines Stabilitätsproblems sind gelegentlich recht aufwendige Rechnungen erfor-derlich. Um festzustellen, ob die niedrigste Knicklast gefunden wurde, müssen die Untersuchungen vollständig sein, d.h. es genügt nicht, eine Knicklast gefunden zu haben, sondern die niedrigst mögliche Knicklast ist zu suchen. Knickstabilisierungen wie Federn haben einen Schwellenwert, von dem an die Federn als steif ein-geschätzt werden können. Daraus kann allgemein geschlossen werden, daß sehr steife Federn (z.B. Befestigungen von Stützen am Gebäude) ohne Fehler als starre Stützung angenommen wer-den dürfen. Im Zweifelsfall ist leicht zu überprüfen, ob gilt critvorh CC ≥ . Die Knicklängenbeiwerte ermitteln sich dann aus einem Vergleich mit dem „Euler – Stab“ aus

22

2

2

2

βπε⋅

⋅=⋅=l

EIl

EINcr zu: επβ = .

1.5 Verallgemeinerung des Falles

Sind in den verschiedenen Stababschnitten unterschiedliche Längskräfte, so wirkt sich das auf die Bestimmung der kritischen Last aus, da in den Knickfaktoren die Normalkraft des Stabes steht.

Mit dem Verhältnis 1

2

NN

=ν läßt sich die Steifigkeitsmatrix des Sy-

stems anschreiben:

ε2 sin ε( )⋅sin ε( ) ε cos ε( )⋅−

l 1

ε2− ν2⋅ l 22⋅ sin ε ν⋅

l 2

l 1⋅

⋅

l 1 sin ε ν⋅l 2

l 1⋅

− l 1⋅ ε ν⋅ l 2⋅ cos ε ν⋅l 2

l 1⋅

⋅+

⋅

l 2+


l 12

ε2− ν2⋅ l 22⋅ sin ε ν⋅

l 2

l 1⋅

⋅

l 1 sin ε ν⋅l 2

l 1⋅

− l 1⋅ ε ν⋅ l 2⋅ cos ε ν⋅l 2

l 1⋅

⋅+

⋅

l 22

−


l 12

ε2− ν2⋅ l 22⋅ sin ε ν⋅

l 2

l 1⋅

⋅

l 1 sin ε ν⋅l 2

l 1⋅

− l 1⋅ ε ν⋅ l 2⋅ cos ε ν⋅l 2

l 1⋅

⋅+

⋅

l 22

−


l 13

ε2− ν2⋅ l 22⋅ sin ε ν⋅

l 2

l 1⋅

⋅

l 1 sin ε ν⋅l 2

l 1⋅

− l 1⋅ ε ν⋅ l 2⋅ cos ε ν⋅l 2

l 1⋅

⋅+

⋅

l 23

+ε

2

l 13

−

ε ν⋅l 2

l 1⋅

2

l 23

−CEI

+

F2

1l

C

2l

N2 F1

N1=F1+F2


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Durch Nullsetzen der Determinante ergibt sich die Knickbedingung zu:

In Abhängigkeit von 1

2

NN

=ν ausgewertet ergibt sich für eine beliebige Feder und eine beliebi-

ges Längenverhältnis:

Ermittelt man für diesen Stab die Knicklängenfaktoren β, so ergeben sich wegen der unterschiedli-chen Stabkennzahlen in den beiden Stabteilen verschiedene β - Werte:

Hier zeigt sich, daß der Knicklängenbeiwert für den oberen Stab (Stab 2) gegen unendlich geht, d.h. die Stabschlankheit übersteigt jede Grenze. Gleichwohl ist dieser Stab nur formal im Wider-spruch zu DIN 18800 T. 2, denn seine Knicklast ist genau das ν2 –fache des unteren Stabteiles, d.h. die Berechnung hat zu theoretischen Knicklängen geführt, die bei gleichmäßiger Laststeige-rung oben und unten zum gleichzeitigen Versagen beider Stabteile führen würden. Dieser Effekt tritt praktisch bei allen Rahmenberechnungen auf, deren obere Stützen regelmäßig geringere Normalkräfte haben als die unteren. Zu bedenken ist, daß dieser Einfluß lastfallabhängig ist und damit die β - Werte lastfallabhängig werden.

0 λ 1χ

ε2

−

⋅ ν

2+

ε⋅ ν⋅ ν sin ε ν⋅ λ⋅( )⋅ cos ε( )⋅ cos ε ν⋅ λ⋅( ) sin ε( )⋅+( )⋅ 1− 2 ν2

−( ) ν2

⋅+ ν2

λ⋅ 1+( ) χ

ε2

⋅+

sin ε ν⋅ λ⋅( )⋅ sin ε( )⋅+

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

1

2

Stabkennzahl unterer TeilStabkennzahl oberer Teil

ε

νN2

N1

Kritische Stabkennzahl für λ 0.85= und die Feder C2 EI⋅

l13

.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

2

4

6

8

10Knicklängenbeiwert unterer TeilKnicklängenbeiwert oberer Teil

β

N2


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2 Praktische Nachweisführung 2.1 Nachweisführung mit Rechenprogrammen 2.1.1 Allgemeines zu FEM – Programmen Die Bemessung von stabilitätsgefährdeten Tragwerken ist in Normen geregelt. Bei den festge-schriebenen Rechenverfahren sind jedoch die Lösungen des Stabilitätsfalles vorher zu erledigen, d.h. die eigentliche Stabilitätsbetrachtung ist, wenn mit dem Programm „Stahlträger“ gerechnet wird, vorher zu erledigen. Es sind dann die Knicklängenbeiwerte β einzugeben, die vorher be-stimmt wurden. Der weitere Nachweis folgt dann einem in der Norm vorgeschriebenen Formalis-mus, der sich zur programmierten Abarbeitung eignet. Die Bestimmung der Knicklänge bzw. des Knickeigenwertes ist mit einem FEM – Stabwerkspro-gramm möglich (z.B. microfe oder Eurostahl). Dieses Programm arbeitet im Prinzip mit der De-formationsmethode wie vorn gezeigt. Im Unterschied zur vorn gezeigten Berechnung wird vom Programm nur eine numerische Lösung herbeigeführt. Auch werden die Stabilitätsfaktoren α, β und γ durch die jeweils ersten TAYLER – Reihenglieder2 ersetzt:

Funktion TAYLER-Reihe

Diese Näherung trifft nur bei kleinen Stabkennzahlen ε zu. So muß ε stets kleiner als 1 sein, um den Fehler kleiner als 0.57% zu halten. Dies erreichen die Programme, indem sie Balken in min-destens 5 gleiche Teile teilen. Der größte Wert der Stabkennzahlen bei nicht gebetteten Stäben beträgt ε = 2π (Stabkennzahl einer beidseitig eingespannten Stütze – Eulerfall 4). Durch Teilung

2 Die Herleitung der Elementsteifigkeitsmatritzen wird üblicherweise nicht wie hier mit der Differentialgleichung vorge-nommen, sondern durch die Variation der Formänderungsarbeit (sh. Kap. 3). Bei dieser Berechnung werden die Winkel-funktionen jeweils durch die ersten TAYLER – Glieder ersetzt (Nach dem Mathematiker Brook TAYLER 1685 – 1731). Es entstehen so die gleichen Funktionen, wie bei der Berechnung mit der DGL und der Begrenzung auf das jeweils 2. Reihenglied.

T A Y L E R E N T W I C K L U N G der Stabilitätsfunktionen:

α x( )x sin x( )⋅ x2 cos x( )−

2 1 cos x( )−( )⋅ x sin x( )⋅−:= 4

215

x2⋅−

116300

x4⋅−

127000

x6⋅−

β x( )x2 x sin x( )⋅−

2 1 cos x( )−( )⋅ x sin x( )⋅−:= 2

130

x2⋅+

1312600

x4⋅+

11378000

x6⋅+

γ x( )x2 sin x( )⋅

sin x( ) x cos x( )⋅−:= 3

15

x2⋅−

1175

x4⋅−

27875

x6⋅−

Funktion 1. Glied 2. Glied 3. Glied

α 215

0.133= 116300

1.746 10 3−×= 1

270003.704 10 5−

×=

β 130

0.033= 1312600

1.032 10 3−×= 11

3780002.91 10 5−

×=

γ 15

0.2= 1175

5.714 10 3−×= 2

78752.54 10 4−

×=


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des Stabes in 5 Teile wird ε1 = 0.4π = 1.257 und der Fehler wird maximal (0.4π)2x 0.005714 = 0.009 = 0.9%. 2.1.2 Berechnung mit FEM – Stabwerken Lastfall 1

Als Beispiel wird ein Rahmen be-rechnet: Stiele I PE 270, Riegel I PE 360. Der Rahmen wird in zwei Last-fällen untersucht. Im Lastfall 1 befin-det sich die Last im wesentlichen auf der unteren Ebene. Die Knicklän-genbeiwerte der Stäbe ergeben sich aus der Systemknicksicherheit des Rahmens und der in diesem Lastfall errechneten Stablängskraft: 1. Eigenknickform der LK 1 mit Sy-stemknicksicherheit 1.25 Unten links: N = 569 kN L = 6 m Ncrit = 1.25 x 569 = 711.25 kN

165.2

0235596.0

01.16025.7116

=

⋅==

==

EI

EIEIkNm

cr

cr

επβ

ε

Unten rechts: N=509 kN Ncrit = 636.25 kN

289.225.6366

==

EIkNm

πβ

Oben links: N = 56.9 kN L = 4 m

269.103059.0

==πβ

Oben rechts: N = 3.61 kN

500 500

60


Seite 13

77.4007705.0

==πβ

Die Unterschiedlichkeit der Ergebnisse zeigt, daß sich diese Berechnung nicht für einen prakti-schen Nachweis eignet. Trotzdem soll noch ein zweiter Lastfall untersucht werden: Lastfall 2

1. Eigenknickform der LK 2 mit Systemknicksicherheit 7.81 Untere Stäbe: N = 85 kN Ncrit = 7.81 x 85 kN = 663.85 kN

241.2

59.15485.6636

=

=

==

cr

cr EIEIkNm

επβ

ε

Obere Stäbe:

N = 85 kN

361.3=β Selbstverständlich wird man ein sol-ches System immer nach Theorie II. Ordnung berechnen, und so die Pro-blematik der β - Werte umgehen. Da-bei ist das so aufgezeigte Problem je-doch nicht beseitigt, da die stark un-terschiedlichen Schlankheiten im Sy-stem auf eine nur begrenzte Gültigkeit der elastischen Ansätze schließen lassen. Bei der großen Schlankheit sind auch Vorverformungen von gro-ßer Auswirkung. Bei der Berechnung nach Theorie II. Ordnung muß darum eine ungewollte Ausmitte berücksichtigt werden. Diese Ausmitte ist so anzusetzen, daß sie die Wirkung des Knickens verstärkt, d.h. sie ist in Richtung der Knickeigen-form anzusetzen. Im Zweifelsfall muß die Knickeigenform erst durch eine Knickuntersuchung des entsprechen-den Lastfalles festgestellt werden.

85

85


Seite 14

2.1.3 Der DISCHINGER – Test EuroStahl bietet die Berechnung eines sogenannten Dischingertestes3 an. Der Test beruht auf fol-gendem einfachen Modell: Sind die Verformungen eines Tragwerken aus Last affin zu seiner Eigenform (Knickbiegelinie), so bewirkt die Normalkraft (die Theorie II. Ordnung) eine lineare Erhöhung sämtlicher Schnittkräfte, weil der Einfluß der Normalkräfte genau diesen Schnittkraft- und Verformungszustand aus Last er-höht. Die so vergrößerte Durchbiegung führt nun wieder zu einem Anwachsen des Momentes. Man kann leicht an jedem beliebigen statischen System zeigen, daß diese Erhöhungen eine geo-metrische Reihe darstellen mit der Summe

ki

III

NNMM

−⋅=

11 4. Nach DIN 18800 T.2 darf die

Wirkung der Theorie II. Ordnung vernachlässigt werden, wenn sie die Schnittkräfte nicht um mehr als 10% erhöht. Dies ist immer erfüllt, wenn

kiNN

−11 nicht größer als 1.1 ist. Der

DISCHINGER – Test bestimmt diesen Faktor und kann somit zur Entscheidung herangezogen werden, ob ein System auf einer bestimmten Eigenform auf Knicken nachgewiesen werden muß. Da die wirkliche Lastbiegelinie aber nicht affin zur Knickbiegelinie ist, liefert der Faktor nur eine Näherung für die Schnittkräfte. 2.1.4 Die Vollständigkeit der Lösung (Sturmsche Folge) Das Programm ermittelt die Knickeigenwerte, indem es wie erläutert die Eigenwerte der Matrizen-gleichung des Weggrößenverfahrens [ ] [ ] [ ]0VuK =⋅ auswertet, d.h. den Fall sucht, bei dem gilt:

[ ] [ ]uK II ⋅=0 . Mit der Beschränkung der Stabilitätsfaktoren auf das jeweils 1. Taylerglied (siehe 2.1.1) wird die Steifigkeitsmatrix linear abhängig von N, d.h. für jeden Stab gilt [ ] [ ] [ ]NIII KNKK ⋅+= , womit die Gleichung des Weggrößenverfahrens in eine einfache Eigen-wertgleichung übergeht, der Form:

[ ] [ ] [ ]NI KNK ⋅⋅+= λdet0 mit [ ] [ ]kritNN =⋅λ

Diese Eigenwertgleichung führt bekanntlich auf ein Polynom n-ten Grades für λ, dessen Nullstellen zu suchen sind, wobei n die Anzahl der kinematischen Unbekannten ist. Dieses Polynom kann, da n im allgemeinen sehr groß ist, nicht unmittelbar gelöst werden. Es muß auf numerischen Verfah-ren zurückgegriffen werden, die Lösungen des Polynoms suchen. Dabei werden nicht alle n Lö-sungen der Gleichung gesucht. Es ist nicht auszuschließen, daß nun unter den ermittelten Lösun-gen nicht alle maßgeblichen Eigenformen sind. Mit diesem Fehler ist bei programmierter Eigen-wertsuche immer zu rechnen. Häufig ist durch einen kritischen Vergleich der Eigenformen ein sol-cher Fehler zu bemerken. Microfe verwendet zur Kontrolle der Vollständigkeit der Lösung die sog. Sturmsche5 Folge. Mit die-ser wird die Anzahl der Nullstellen in einem bestimmten Intervall von λ überprüft, d.h. es wird fest-gestellt, ob in dem geprüften Intervall alle Eigenwerte, d.h. alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms gefunden wurden. (Zu Bedenken ist jedoch, daß Eurostahl keine Instabilität finden kann, die in einer reinen Verdrehung eines Stabes besteht. Instabilitäten, die aus Verdrehungen nicht wölbfreier Stäbe hervorgehen, werden falsch gefunden) Die Anzahl der zu findenden Eigenwerte 3 Nach Prof. DISCHINGER (1887 - 1953) D. war Leiter der Schalenabteilung von Dyckerhoff & Widmann, später Profes-sor an der TU Berlin. Prof. DISCHINGER hat in den 1937 das Verfahren von VIANELLO weiterentwickelt. In diesem Zu-sammenhang ist die hier benutzte Beziehung von ihm veröffentlicht worden. Dieses Verfahren war unter der Bezeich-nung „f – Verfahren“ in DIN 4114 enthalten. 4 Das f – Verfahren nach DIN 4114 verbessert diesen Erhöhungsfaktor mit einem Summanden δ, der die Abweichung

der Lastbiegelinie von der Knickbiegelinie einrechnet zu: 1)( −+⋅=NN

NNMM kikiIII δ

5 Nach dem Schweizer Mathematiker Jacques Charles Francois STURM (1803 - 1855)


Seite 15

ergibt sich in dem gesuchten Intervall durch die Berechnung der Anzahl der Vorzeichenwechsel von bestimmten Partialbruchdivisionen am oberen und unteren Ende des Intervalls6. Das Ergebnis wird im Protokoll der Berechnung ausgegeben. Es teilt also mit, ob zwischen dem oberen und dem unteren ermittelten Eigenwert noch solche liegen, die der Gleichungslöser nicht gefunden hat. Im allgemeinen ist es in einem solchen Falle richtig, die Anzahl der Eigenwerte zu erhöhen und zu su-chen, welche Eigenwerte im zuerst untersuchten Bereich noch gefunden werden. Fehlen maßgeb-liche Eigenwerte, so kann dies die gesamte Stabilitätsberechnung entwerten und damit zum Er-richten eines nicht standsicheren Bauwerkes beitragen. 2.1.5 Ungewollte Ausmitte Wie oben erwähnt, ist die ungewollte Ausmitte immer in Richtung der erwarteten Knickbiegelinie anzusetzen. Während das bei einfachen Systemen häufig eine einfache Schiefstellung ist, muß bei besonderen Systemen die Knickbiegelinie durch eine entsprechende Berechnung bestimmt wer-den oder mit einiger Erfahrung geschätzt werden. Die Größe der ungewollten Ausmitte ist in DIN 18800-02 festgelegt. Sie sind für eine elastisch – plastische Berechnung folgendermaßen anzu-nehmen:

Der Ansatz muß zwar in die gleiche Richtung gehen, wie die Eigenform, braucht aber nicht affin zur Eigenform gewählt zu werden. Er ist jedoch so zu wählen, daß die Schnittkräfte aus Lasten durch die Ausmitte vergrößert werden. Ist das nicht ohne weitere Untersuchungen erkennbar, so

müssen beide Richtun-gen der Ausmitte unter-sucht werden. Die ungewollte Ausmitte berücksichtigt die zu er-wartenden geometri-schen Ausmitten und die Wirkung der Eigenspan-nungen aus dem Schweiß- oder Walzvor-gang ebenso, wie die Wirkung einer Teilplasti-zierung berücksichtigt wird, die sich in den An-nahmen für κ ausdrük-ken. Mit diesen Beiwerten kann die Profilform be-rücksichtigt werden, da die verschiedenen Profile sich beim Knicken unter-schiedlich verhalten. Da spielen Eigenspannun-gen aus der Fertigung ebenso eine Rolle, wie

6 Einzelheiten zum Verfahren der Sturmschen Folge, die aus dem Fundamentalsatz der Algebra hergeleitet werden kann, sowie zu der praktischen Berechnung vergleiche Zurmühl: Praktische Mathematik

Stabart (Zuordnung zur Knickspan-

nungslinie)

Stich der Vorverformung

Beiwert α

a l/300 0.21 b l/250 0.34 c l/200 0.49 d l/150 0.76

Mehrteiliger Stab l/500

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 Knickspannungslinie "a" Knickspannungslinie "b" Knickspannungslinie "c" Knickspannungslinie "d" Biegedrillknicken Eulerhyperbel

Lambda quer

kappa


Seite 16

fertigungsbedingte Imperfektionen. Bei verschieblichen Systemen ist eine Vorverdrehung (Schiefstellung) zu berücksichti-

gen. Diese ist unabhängig von der Querschnittsform mit

+⋅⋅=

nl11

215

4001

0ϕ wo-

bei n die Anzahl der gleichen, an der Tragwirkung beteiligten Stäbe ist und l die Länge in m eingesetzt wird. Die Knickspannungslinien κ nach DIN 18800 berücksichtigen die Querschnittsform und den Effekt, daß die Querschnitte, wenn sie in die Nähe ihrer plastischen Grenztragfä-higkeit geraten, weicher werden, als in unserer elastischen Rechnung angesetzt (Tet-mayer – Gerade). Diesen Effekt kann eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung nicht ohne weiteres berücksichtigen, da die üblichen Programme auf der Grundlage elasti-schen Materialverhaltens beruhen. So berechnet das Programm die Wirkung des Bie-geknickens praktisch nach der klassischen Elastizitätstheorie, d.h. auf der Eulerhyper-bel. Damit ist die Berechnung nach Theorie II. Ordnung je nach der Stabschlankheit und der Art des Stabes ungenauer als die Berechnung mit den κ - Werten, wie sie in der DIN angegeben werden. Vor allem bei Stäben mit λquer = 0.8 . . .1 werden die Trag-fähigkeiten mit der Theorie II Ordnung an sich überschätzt. Um dies zu vermeiden, ist es bei Berechnungen nach Th. II. O. untersagt, die plastische Tragfähigkeit für Momen-te voll anzusetzen. Wpl ist in diesen Fällen auf 1.25 Wel zu begrenzen DIN 18800/02 EL(123). Damit wird die Tragfähigkeit im genannten Bereich λquer = 0.8 . . .1 nur noch leicht überschätzt. Bei λquer = 3 wird sie allerdings um über 5 % unterschätzt. So kann mit dem in der Norm be-schriebenen Ersatzstabverfahren im Einzelfall ein wirtschaftlicheres Ergebnis ermittelt werden. Bei der Festlegung der ungewollten Ausmitte ist das Verfahren der Interaktion zwischen Normalkräften und Biegemomenten mit eingerechnet. Die Werte sind so gewählt, daß sich unter Beachtung der Grenze αpl = 1.25 mit den Interaktionsbeziehungen aus DIN 18800 T.1 EL(755) hinreichend sichere Ergebnisse im gesamten Bemessungsbereich

ergeben. Bei der Berechnung nach EC 3 sind andere Interaktionsbeziehungen vorgesehen, so daß dort die ungewollten Ausmitten in den vorliegenden Fällen anders geregelt wurden. 2.2 Bestimmung von Knicklängen mit Diagrammen und Programmen Es ist auch möglich, Stabwerke mit vorher bestimmten Knicklängen zu berechnen. Diese Berech-nung Arbeitet dann mit den Schnittkräften nach Theorie I. Ordnung. Die Knickgefährdung wird im Nachweis erst eingeführt. Zu beachten ist, daß auch Auswirkungen aus der Verformung auf Stäbe und Stababschnitte ohne eigene Normalkräfte eingearbeitet werden müssen. Da in einer prakti-schen Berechnung die Knicklängen nicht lastfallweise eingegeben werden können, muß hier eine Näherungslösung gefunden werden, die es erlaubt, nur aus den Systemdaten begründete Knick-längenbeiwerte anzugeben. DIN 18800 enthält dazu Hilfswerte und Diagramme. Das sind vor al-lem die Gleichungen für spezielle Baukonstruktionen (Gitterstützen u.ä.) und die Diagramme für beliebig teileingespannte Stützen (Bilder 28 und 29). Die Diagramme Bild 27 und Bild 29 aus DIN 18800 für unverschiebliche bzw. verschiebliche Rah-men stellen die Lösung des Knickproblems an einem einzelnen Stab dar. 2.2.1 Knicklängen in unverschieblichen Rahmen Die rechnerischen Bedingungen für Diagramm Bild 27 lautet (Mit KR = CRl/EI) lautet:


Seite 17

Daraus:

Die für Diagramm Bild 28 ist die Knickbedingung:

und ausgeschrieben:

Diese Graphiken entsprechen den in DIN 18800/02 enthaltenen Diagrammen. Dabei ist die Drehfeder an der Ober- und Unterseite des Sta-bes als bezogene Drehfeder gefaßt worden. Auch die Ausweitung des Diagramms für unver-schiebliche Systeme auf einseitig negative Fe-dern ist erforderlich und sinnvoll, weil diese Stäbe an der Stabilisierung des anschließenden Stabes mitwirken können, das heißt, eine negative Dreh-feder erhalten können. Dies ist durch Auswertung der gegebenen Knick-bedingung leicht möglich. 2.2.1 Berechnung mit FEM Programm und

Diagrammen Damit enthält Bild 27 die exakte Lösung für ein-geschossige, unverschiebliche Tragwerke. Die Lösung für mehrgeschossige Rahmentragwerke

0 α ε( )2α ε( ) K R2⋅+ K R1 α ε( )⋅+ K R1 K R2⋅ β ε( )2

−+

0 2 β ε( ) K R1K R2⋅⋅⋅ ε2 K R1K R2⋅⋅− ε

2 K R1 α ε( )⋅⋅− 2 α ε( ) K R1K R2⋅⋅⋅+ α ε( )2 K R2⋅+ K R1 α ε( )2⋅ β ε( )2 K R1⋅− ε2

α ε( )2⋅−+ ε2

β ε( )2⋅ β ε( )2 K R2⋅− ε2

α ε( ) K R2⋅⋅−+

α ε( ) K 1+

β ε( )β ε( )

α ε( ) K 2+

0

α ε( ) K 1+

α ε( ) β ε( )+( )−

β ε( )

α ε( ) β ε( )+( )−

α ε( ) β ε( )+( ) 2⋅ ε2

−

α ε( ) β ε( )+( )−

β ε( )

α ε( ) β ε( )+( )−

α ε( ) K 2+

0

1

2

3

4

P1

5 P2

6 P3

7

8

P4

P5

P6

h1

h2

h3

l1 l2 Berechnungsbeispiel


Seite 18

ist jedoch nicht eindeutig, da nach DIN 18800/02 Bild 27 die Aufteilung von „K3 bis K6 beliebig“ ist., d.h. die für einen Stab anzurechnende Federsteifigkeit aus den Riegeln grundsätzlich frei gewählt werden kann, wenn nur die Gesamt-Riegelsteifigkeit am Knoten für die dort angeschlossenen Stützen eingesetzt wird. Die elastizitätstheoretisch „richtige“ Lösung ergibt sich, wenn für sämtliche Stützen gilt: nεεε === ...21 . Diese Lösung wäre auch mit einem Rahmenprogramm zu ermitteln. Rechenwerte zum Beispiel: Es ergibt sich für die Riegel:

38765

34321

925,62400

25170

95,41600

25170

cmKKKK

cmKKKK

=====

=====

Für den Fall, daß 654321 PPPPPP ===== Die Berechnung mit dem Diagramm: Aus der Überlegung, daß für alle Stäbe gilt:

i

ii IE

Nlconst ==ε

folgt, daß die beiden Stützenzüge gleiche Bedingungen haben müssen. So sind die Federsteifig-keiten aus den Riegeln jeweils gleich auf beide Seiten aufzuteilen:

351 44,522

cmKK

K R =+

=

Da die Knickgefährdung des unteren Geschosses am größten ist, wird die maximale Steifigkeit dort angesetzt: 0947,0

6003290

44,521

133 =

+== uo CC

und aus Bild 27 (DIN) ergibt sich: )5344,0(53,03 genau=β Die Knicksicherheit der Stäbe des nächsten Geschosses kann nun keine stützende Feder von un-ten in Anspruch nehmen. Es wird:

mlmlmh

mhhcmI

cmI

St

R

466

5,43290

25170

2

1

3

21

4

4

===

===

=


Seite 19

)7226,0(72,00,1

1224,0

4503290

44,521

1

2 ==

=+

=

βu

o

C

C

Die Knicklänge im OG ergibt sich gleich, da hier wiederum die Riegelsteifigkeit von oben zur Ver-fügung steht. Zur Kontrolle der Näherung kann die Stabkennzahl ε für den Knickstab verglichen werden (P = 1000 kN).

113,2

3000600 33

=

⋅⋅=IE

cm βε

750,1

2000450 22

=

⋅⋅=IE

cm βε

24,11 =ε Damit wird 25,1207,1

2

3 <=εε bzw. 25,141,1

1

2 >=εε

Bei der Verwendung von 1ε ist also Vorsicht geboten! Mit einer sehr genauen Auswertung der Knickbedingungen ergibt sich die „exakte“ Lösung zu 5332,08708,02315,1 321 === βββ Die Abweichungen bei den oberen Stäben sind insofern sicherheitstechnisch unbedenklich, als diese Stäbe beim Nachweis sich dann als sicherer herausstellen, als dies mechanisch zutreffend wäre. Da aber constI s = in der Berechnung angesetzt wurde, muß diese scheinbare „Sicherheit“ im System verbleiben, d.h. führt nicht zu falscher Konstruktion. 7 Der Vorteil dieser Berechnung ist, daß die Knicklängenermittlung von der Belastung unabhängig definiert wird. Die Lösung ist jedoch nur dann hinreichend zutreffend, wenn die Stabkennzahlen benachbarter Stäbe 25,18,0

1

≤≤+n

n

εε gilt.

Dies ist im Einzelfall mit Hilfe der Aufteilung der Verdrehsteifigkeiten zu erreichen. In diesem Zu-sammenhang werden auch negative Steifigkeiten möglich. Die Anwendung des Diagramms setzt voraus, daß in den Riegeln keine wesentliche Druckkraft ist. DIN 18800 T 2 nennt die Grenze 0,1≤Riegelε .

7 Die hier durchgeführte Berechnung ist wesentlich genauer als eurostahl dies kann. Mit eurostahl ergeben sich Knick-längenbeiwerte von 56,0;91,0;29,1 321 === βββ


Seite 20

2.2.2 Knicklängen bei verschieblichen Rahmen Jedes unverschiebliche System muß an einem verschieblichen System befestigt sein. Dieses Sy-stem nennt man das aussteifende – das angehängte System wird das ausgesteifte System ge-nannt. Die Berechnung eines Rahmens als ausgesteiftes System ist nur zulässig, wenn das aussteifende System mindestens 5 mal so steif ist wie das ausgesteifte: RaAusst SS 5. ≥

mit ϕvS =

Ist ein System verschieblich, so ergibt sich für ein eingeschossiges System die Knickbedingung aus der oben dargestellten Determinante für sämtliche Stützen:

Zur Anwendung des Diagramms gelten praktisch alle Überlegungen wie bei unverschieblichen Sy-stemen. Hier wird der Verzweigungspunkt jedoch von drei (unbekannten) Formänderungen be-stimmt. Insofern gelingt es nicht, die Knicklängenbeiwerte in nebeneinanderstehenden Stützen in ihrem Unterschied abzulesen. Die Umrechnung

ββ ⋅=sj

jj KN

KN

führt dann die Bedeutung der verschiedenen Belastung noch ein. In Extremfällen (sehr unter-schiedliche Steifigkeit der einzelnen Stiele bzw. stark verschiedene Belastung) kann die Anwen-dung des Diagramms 29 mit o.g. Gleichung zu geringeren Knicklängen führen, als sie für ein un-verschiebliches System ermittelt werden konnte. Dann gilt die Knicklänge des unverschieblichen Teilsystems. (Es handelt sich dann um ein teilweises Versagen). Mit diesem Diagramm lassen sich auch sehr vorteilhaft Systeme mit angekoppelten Stützen berechnen.

Berechnungsbeispiel:

ϕ

v

l

P1 P1 P3 P3

P4 P4

IS IS

IR P2 P2 IR

h1

h2

kNPkNPkNPkNP

cmII

mhmh

ml

SR

20001000800500

25170

5,55,4

4

4

3

2

1

42

1

====

==

==

=

α ε( ) K 1+

α ε( ) β ε( )+( )−

β ε( )

α ε( ) β ε( )+( )−

α ε( ) β ε( )+( ) 2⋅ ε2

−

α ε( ) β ε( )+( )−

β ε( )

α ε( ) β ε( )+( )−

α ε( ) K 2+

0


Seite 21

Zur Stützensteifigkeit tragen offenbar nur die eingespannten Stützen bei. So gilt:

3

3

3

3

925,62

925,62400

25170

87,111450

251702

53,91550

251702

cmK

cmK

cmK

cmK

Ro

Ru

so

su

=

==

=⋅=

=⋅=

Damit für das untere Stockwerk:

0

447,0

87,11153,91925,6241

1

=

=

+⋅

+=

u

o

C

C

für das obere Stockwerk:

( )untenistRiegelC

C

u

o

1

3077,0

87,111925,6241

1

=

=⋅+

=

Damit wird abgelesen:

)3847,1 genau(38,1)2924,2 genau(29,2

==

o

u

ββ

Umrechnung wegen der verschiedenen Belastung:

( )

95,387,111500

935,5510002500229.2 3

3

21

=⋅

⋅⋅+⋅⋅==

cmkNcmkNkNββ

( )

273,253,911300

765,45300021300225,1 3

3

43

=⋅

⋅⋅+⋅⋅==

cmkNcmkNkNββ

Das „richtige“ Ergebnis aus einer Berechnung der exakten Knickdeterminante: 136,2210,4 31 == ββ Der Unterschied der Knicklängen ist recht erheblich. Er ist darauf zurückzuführen, daß das Nähe-rungsverfahren nicht imstande ist, die unterschiedlichen Normalkräfte in den Stielen der verschie-denen Geschosse zu berücksichtigen. Sinnvollerweise sollten verschiebliche Rahmen wie oben nach Theorie II. Ordnung berechnet wer-den, da die Ermittlung von Knicklängen mit Hilfsmitteln wie den genannten nur begrenzt zutreffen-de Ergebnisse liefern kann.


Seite 22

2.2.3 Verfahren bei aussteifenden Bauteilen ohne eigene Normalkräfte Haben die aussteifenden Bauteile keine eigenen Normalkräfte (das kommt zum Beispiel bei Stabilisierungsrahmen in Hallen häufig vor), so versagt die hier gezeigte Knicklängenberechnung. Das gilt auch für aus-steifende Bauteile, die nur geringe eigene Normalkräfte haben. In diesen Fällen ist die Berechnung von Knicklängen mit dem Verfahren sehr un-scharf.

Die Berechnung solcher Systeme gestaltet sich jedoch sehr einfach, da die Knickbiegelinie hier der Biegelinie unter Last entspricht.

Wird die Wirkung des aussteifenden Bauteils in eine Feder umgerechnet mit δ1

=K (wobei δ die

Durchbiegung unter 1 kN Horizontalkraft ist), so läßt sich die Ermittlung der Ausmitte aus Theorie II. Ordnung in einer geometrischen Reihe schreiben:

∞

⋅++

⋅+

⋅+

⋅⋅+=

KlN

KH

KlN

KH

KlN

KH

KlN

KH

KHu II ...

32

wobei die Summe sich für KlN ⋅< anschreiben läßt zu:

−⋅

+=1

11

NKlK

Hu s

II

was gleichbedeutend ist mit

−⋅

+=1

11

NKl

MM III

und wegen des Verzweigungspunktes

lKN

lKuNu

Cr

Cr

⋅=⋅⋅=⋅

ist dies die Gleichung des VIANELLO8 - Verfahrens

Cr

I

Cr

Cr

III

NN

M

NN

NN

MM−

⋅=−

⋅=1

1

1

Die Schnittkräfte in Aussteifungsrahmen sind also regelmäßig mit dem Faktor

8 Nach dem Ingenieur Luigi VIANELLO, der 1898 ein Iterationsverfahren veröffentlicht hat.

l

N

u

NCr

Kl


Seite 23

lKN

d

d

⋅−1

1

zu erhöhen, um den Einfluß der Verformung zu berücksichtigen. Zu beachten ist, daß zur Ermittlung von

δ1

=K der designete E-Modul anzusetzen ist:

1,1

EE d =

Zur Beachtung der Vorverformungen ist nach DIN 18800 T 2 mit dem Vervielfacher

Crd NN /15,111

− zu rechnen.

2.3 Poltreues Knicken Knickberechnungen wie bisher gezeigt, gingen von einer richtungstreuen Last aus, das bedeutet, die Last behält während des Knickvorganges stets ihre Richtung bei. Diese Annahme ist jedoch nicht bei jeder Konstruktion gegeben. So kann auch die Vorstellung von poltreuen Kräften eine sinnvolle und der Baukonstruktion entsprechende Annahme sein. Poltreue Belastun-gen führen zu Knicklängen, die im gesamten möglichen Knicklängenbereich

des Stabes liegen. Sie können damit eine statische Berechnung un-brauchbar werden lassen, da sie zu vollständig anderen Ergebnissen führen, als eine Berechnung mit richtungstreuen Kräften. Dies ist ein häufiger Fehler von Berechnungen und Konstruktionen im Stahlbau.

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

Polabstand a/l

Bet

ha

Knickbedingung ε 1al

+

⋅ tan ε( )

Poltreue Kraft

a

l

Eulerfall 2

Eulerfall 3

Eulerfall 1 Für a = +-∞

Richtungstreue Kraft


Seite 24

Da bei poltreuem Kraftangriff mit jeder Verschiebung eine zusätzliche auslenkende Kraft hervorgerufen wird, lassen sich diese Fälle berechnen indem man an der Krafteinleitungsstelle

eine negative Feder mit der Größe aPKers = eingibt. Mit diesem Ansatz lassen sich sowohl

Knickeigenwerte ermitteln, als auch Berechnungen nach Theorie II. Ordnung durchführen. Auf diese Weise rechnet das Programm „Allgemeines Stützensystem“ von mb im Stahlbetonbau. Konstruktiv ist hier an die Ausführung steifenloser Auflager-konstruktionen zu denken, die in DIN 18800 als steifenlose Lasteinleitungen beschrieben sind. Diese Konstruktionen verbieten sich, wenn die Stütze, die den Träger stützt, nicht wirksam an seitlichem Ausweichen gehindert ist. Aus diesem Grunde sind auch in Aussteifungsrahmen von Baugrubensicherungen immer Rippen vorzusehen. Der Fehler

dieser Bauweise ist häufig und wird von Statik – Aufstellern gern mit dem Hinweis auf die Regeln für steifenlose Lasteinleitung in DIN 18800 verteidigt. Die Wirkung angehängter, durch die Stütze stabilisierter Stützen läßt sich ebenso als poltreues Knicken verstehen. Durch die Wirkung der angehängten Stütze kommt es zu einer

negativen Feder von l

NKers1= , womit sich die Verbindung zur

poltreuen Belastung mit NNlaers

1⋅= ermitteln läßt.

2.4 Berechnungen nach Theorie II. Ordnung 2.4.1 Berechnung mit EUROSTAHL oder Microfe In vielen Fällen wird eine praktische Berechnung nach Theorie II. Ordnung erfolgen. Auf die erfor-derliche Eingabe der ungewollten Ausmitten wurde bereits hingewiesen. Der Vorteil solcher Be-rechnungen ist, daß sich alle Knickeffekte im Gesamtsystem abbilden und keine weiteren Untersu-chungen erforderlich werden. Im allgemeinen ist folgende Vorgehensweise zu empfehlen:

1. Eingeben von System und Belastung. 2. Berechnung des Systems nach Theorie 1. Ordnung mit automatischer Lastfallwahl 3. Bestimmung der kritischen Lastfälle 4. Berechung der Knickeigenform für diese Lastfälle 5. Durchführung des DISCHINGER – Testes für diese Lastfälle. 6. Berechnung und Eingabe der ungewollten Ausmitten. 7. Durchführung der Berechnung nach Theorie II. Ordnung mit anschließender Bemes-

sung. Diese Aufwendige Bearbeitung ist erforderlich, weil moderne Programme es erlauben, sehr um-fangreiche und unübersichtliche Systeme zu untersuchen, die nicht erkennen lassen, welcher Last-fall kritisch ist und in welche Richtung die ungewollte Ausmitte anzusetzen ist. Bei den Ergebnissen wird immer die Gleichungsnummer angegeben, die zur Bemessung des Sta-bes geführt hat. Handelt es sich bei dieser Gleichung um einen Biegedrillknicknachweis, so ist der Nachweis mit EUROSTAHL möglicherweise nicht der wirklich maßgebende. Es gibt im Programm viele Möglichkeiten, Einstellungen für den Biegedrillknicknachweis vorzunehmen, aber die Berech-nung mit dem Programm bleibt eine Näherung, die durch genauere Berechnungen verbessert werden kann. (Einzelheiten siehe unten)

l

N1 N


Seite 25

2.4.2 Berechnungen im Stahlbetonbau

Knickberechnungen im Stahlbetonbau werden durch die nichtlineare Arbeitslinie von Stahlbeton-

querschnitten sehr erschwert. So ist schon seit 1972 kein Knickzahlverfahren mehr genormt. Im Stahlbeton-bau muß nach Theorie II. Ordnung gerechnet werden. Wenn keine modernen für den Stahlbetonbau geeigne-ten Programme vorliegen, so kann auch nach neuer Norm mit den abgeminderten Steifigkeiten gerechnet werden, wie sie seit vielen Jahren im Betonkalender be-schrieben werden (Werte gelten im GZT):

Für Stützen ( )( )EIEIef 21152,0 ρρ +⋅+=

Für Riegel EIEIef ⋅= ρ10

Für Zugstäbe ( )2115 ρρ +=efEI In DIN 1045/01 ist als Regelverfahren ein „Ersatzstab-verfahren“ angegeben, das auf der einfachen Überle-

gung beruht, daß im Stahlbetonbau wohl die Randdehnungen in den Bemessungsquerschnitten bekannt sind, wenn auch die Bewehrung noch zu bestimmen ist. Im GZT ist die Bewehrung plan-mäßig an der Streckgrenze (0,22%) und der gedrückte Rand wird bei Druckgliedern bei ε = -0,2% nachgewiesen. Kennt man diese beiden Stauchungen, so errechnen sich die Krümmungen zu

dk cs εε +

= und, wenn man einen Krümmungsverlauf über die Trägerlänge annimmt, so ermittelt

sich elementar die Verformung zu ( ) dxdxxkus∫∫= . Der Vorteil dieser Berechnung ist, daß sich der

Einfluß der Theorie II. Ordnung ohne jede Iteration errechnen läßt, da die Verformung nach Theo-rie II. O. lastunabhängig geworden ist. Die Annahme des Verlaufes der Krümmung über die Trägerlänge stellt freilich eine Näherung dar, diese ist jedoch relativ genau, da die Krümmung an der Bemessungsstelle (Einspannstelle) immer dominant ist und der von dort aus angenommene Verlauf nur einen kleinen Fehler hervorruft. Die dazu in DIN 1045/01 genannten Gleichungen berücksichtigen noch den Ausnutzungsgrad des Querschnittes. Werden stabilisierte Stützen an der fraglichen Stütze angehängt, so ergibt sich das Moment nach Theorie II. Ordnung einfach unter Beachtung der auslenkenden Kräfte dieser Stüt-zen.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2

2

4

6

8

10

12

14

16TragfähigkeitsgrenzeGrdrungene StützeSchlanke Stütze

Interaktionsdiagramm

Moment

Nor

mal

kraf

t

Bemessungspunkt der gedrungenen Stütze Punkt, an dem die Stabilität erschöpft ist. Gegen das Errei-chen dieses Punktes ist das System zu sichern Bemessungspunkt an dem die Erschöpfung des Quer-schnittes nachgewiesen wird Nutzungszustand (Berechnung der Verformungen)


Seite 26

DIN 1045-01 gibt im weiteren noch die Regeln zu nicht weniger als drei unterschiedlichen Berech-nungsansätzen an, mit denen die Verformung nach Theorie II. Ordnung ermittelt werden kann. Diese Berechnungen führen naturgemäß zu unterschiedlichen Ergebnissen, die in Versuchsbe-rechnungen durchaus um über 50% voneinander abweichende Bewehrungsmengen ermitteln las-sen. Die Grundlagen dieser Berechnungen sollen hier einander gegenübergestellt werden:

• Das γR - Konzept Das γR – Konzept ist in DIN 1045 – 01 in Abschnitt 5.2(2)b und 8.5.1 dargestellt. Es beruht auf folgenden Ansätzen: Die

Druck – Stauchungslinie ist nach Abschnitt 9.1.5 anzuneh-

men. Die zugehörige Beziehung lautet: ( )

−+−⋅

−=η

ηησ21

2

kk

fc

c

Mit

c

cmc

c

c

fEk 10

1

εε

εη

⋅−=

=

Die Arbeitslinie des Stahles ist die in DIN 1045 – 01 Abschn. 9.2.4 gegebene Arbeitslinie. Für alle Materialwerte (Elastizi-tätsmoduli, Bruchfestigkeit und Streckgrenze) sind die rechne-rischen Mittelwerte einzusetzen. Die Mitwirkun g des Betons zwischen den Rissen wird durch die abgebildete Arbeitslinie angenähert. Zur Herstellung der erforderlichen Sicherheit sind die Festigkeiten und die Steifigkeiten des Querschnittes durch den globalen Sicherheitsfaktor γR = 1.3 zu teilen. Bei dieser Art der Berechnung wird die Biegesteifigkeit hoch-bewehrter Stützen jedoch unterschätzt und es wird ein zu gro-ßes Moment nach Theorie II. Ordnung ermittelt. Bei gering bewehrten Querschnitten führt das Verfahren zu wirtschaftli-chen Ergebnissen. Die Programme S407 und S404 von mb arbeiten mit diesem Verfahren.

• Konzept nach Abschn. 8.6.1 (7) DIN 1045 – 01 gibt in einer Anwendungsregel die Genehmi-

gung, eine gleiche Berechnung mit Bemessungswerten durchzuführen, d.h. jeweils mit Werten wie (fcm/γc, Ecm/γc, fy/γs). Zur Berechnung der Querschnittstragfähigkeit sind dann die entsprechenden Rechenwerte (αfck/γs) einzusetzen. Diese Berechnung führt gerade bei hochbewehrten Querschnit-ten zu wirtschaftlichen Ergebnissen. Der Nachteil, daß hier die Querschnittstragfähigkeit mit ande-ren Festigkeitswerten zu berechnen ist, als die Verformungsfähigkeit, spielt bei programmierten Berechnungen keine große Rolle.

• Das Bemessungswertkonzept Wird die Berechnung der Verformung mit dem Parabel – Rechteck – Diagramm ermittelt, so nennt man dies das Bemessungswert-konzept. Diese Berechnung entspricht dem entsprechenden „großen“ Stüt-zenprogramm aus der alten DIN 1045 (S406). Die Ergebnisse liegen in der Mitte zwischen den genannten Ver-fahren, können aber bei schlanken Stützen mit geringen planmä-

ßiger Ausmitte durchaus 30 % über den Ergebnissen des Verfahrens nach Abschn. 8.6.1 (7) liegen.

Mit der Bewertung von unterschiedlichen Ergebnissen beim Prüfen programmierter Berechnungen ist also große Vorsicht geboten.


Seite 27

2.4.3 Gesamtsysteme aus Stahlbeton Die mb – Programme zum Knicken im Stahlbeton können regelmäßig nur eine Stütze berechnen, für diese aber die unterschiedlichsten Randbedingungen berücksichtigen können. Mit diesen Mit-teln ist es möglich, alle Stützen zu berechnen, da eine „falsche“ Aufteilung der Einspannungen und Stützungen stets zu einem Ergebnis auf der „sicheren Seite“ führt. Es ist jedoch streng darauf zu achten, jede Stützung nur einmal anzusetzen. Insofern gelten die gleichen Regeln, wie im Kapitel 2.2.1 und 2.2.2. Zur Demonstration sei ein Beispiel gezeigt:

Aus Windeinfluß (Die Windkräfte werden nach den Regeln der Elastizitätstheorie er-mittelt) Randstütze:

kNm39,93M

kNm26,623,7056,5216,52,4M

d

2

=

=⋅−⋅⋅=

Innenstütze:

kNmMkNmmkNM

d 51.334,25.636.0

==⋅=

Auch die Aussteifung der Vertikalkräfte kann

gleichmäßig auf alle Stützen aufgeteilt werden. Damit ist die Randstütze zu rechnen mit folgenden Annahmen:

Das bedeutet, die Mittelstützen können an den Randstützen stabilisiert werden. Im Gegenzug können die Mittelstützen mit einer Kopffeder gerechnet werden. Diese Feder beträgt für den Eigengewichtslastfall:

mkN

mkNKFeder 692,27

5.6180

==

Für die Gesamtlast beträgt die Feder damit:

mkN

mkNKFeder 154.46

5.6300

==

Bei dieser Berechnung ist mit der gleichmäßigsten Auf-teilung der Beanspruchung zu rechnen, was dann zur geringsten Gesamtbewehrung führen wird.

GR = 360 kN VR = 240 kN

Gm = 720 kN Vm = 480 kN

GR = 360 kN VR = 240 kN

GR = 180 kNVR = 120 kN


Seite 28

3 Berechnung mit Variationsansätzen (Energiemethode) 3.1 Einleitung In moderner Literatur werden Stabilitätsuntersuchungen häufig nicht durch die Lösung der Diffe-rentialgleichung, sondern durch eine Variation des Potentials der Kräfte durchgeführt. Diese Be-rechnungen führen zur gleichen Lösung und sind insofern mit den hier vorgestellten Ansätzen aus-tauschbar. Dieses Verfahren ist darüber hinaus allgemeiner gültig und soll hier dem Prinzip nach vorgestellt werden. Es ist insbesondere bei Aufgaben des Biegedrillknickens unumgänglich. Das Verfahren geht von der Arbeit aus, die ein System bei der Verformung verrichtet bzw. der E-nergie, die im System gespeichert ist. Unter dem Gesamtpotential Π des Systems versteht man die Summe der im System gespeicherten Energie (inneres Potential Πi) und dem negativen Betrag der Arbeit der äußeren Kräfte Πa. Nimmt man eine bestimmte Verformung unter einer konkreten Last, so ist genau dann die Last im Gleichgewicht mit den Spannungen im System, wenn 0=Πδ gilt, d.h. wenn das Potential sich nicht ändert, wenn die Verformung um einem unendlich kleinen Betrag geändert wird. Die zweite Variation des Potentials gibt Auskunft über die Art des Gleichgewichtes. Es gilt: Stabiles Gleichgewicht: 02 fΠδ Indifferentes Gleichgewicht: 02 =Πδ Labiles Gleichgewicht: 02 pΠδ Der gesuchte Punkt der Stabilität (Verzweigungspunkt) ist durch das indifferente Gleichgewicht gegeben. Es muß also die Verformung gesucht werden, für die gilt 02 =Πδ . 3.2 Potential eines Knickstabes

Geht man zur Vereinfa-chung von einem Stab ohne Längsdehnung aus, so ergibt sich für die Ver-schiebung den verschieb-lichen Auflagers die Ver-kürzung, die sich aus der Krümmung der Stabachse ergibt. Für diese gilt

∫ −

+=∆

l

ldxdxdwl

0

2

1

was bei kleinen Verformungen wegen 4222

41

2111

−

+=

+=

dxdw

dxdw

dxdw

dxds

mit

04

≈

dxdw

zu ∫ ∫

=−

+≅∆

l l

dxdxdwldx

dxdwl

0 0

22

21

211 wird9.

Damit wird das äußere Potential zu ∫

−=⋅∆−=Π

l

a dxdxdwxFFl

0

2

2, während das innere Potential

9 Einfacher wird die Herleitung, indem 2

1dxdw

+ als

dxdw

dw

sin aufgefaßt wird und der Sinus in eine Taylerreihe ent-

wickelt nach dem 2. Glied abgebrochen wird.

∆l

F


Seite 29

zu ∫ ′′⋅=Πl

i dxwEI0

2

21

wird10.

Das Gesamtpotential ergibt sich so zu ( )∫ ′′⋅+′⋅−=Π+Π=Πl

ia dxwEIwF02

1. Wird die Verfor-

mung um einen kleinen Betrag wδ variiert, so ergibt sich damit: ( ) ( )www Π−+Π=∆Π δ

( ) ( ) dxwEIwFdxwwEIwwFl l

2

0 0

222

21

21 ′′+′⋅−−′′+′′⋅+′+′⋅−=∆Π ∫ ∫δδ

und ausmultipliziert:

∫ ′′⋅′′⋅+′⋅′⋅−=Πl

dxwwEIwwF0

δδδ (die erste Variation des Potentials)

und ∫ ′′+′⋅−=Πl

dxwEIwF0

222

21 δδδ (die zweite Variation des Potentials)

Als Beispiel sei die Knicklast einer Stütze im Eulerfall 2 ausgerechnet. Wir müssen von einem An-satz für die Eigenform ausgehen. Es sei hier gegenübergestellt: Ansatzfunktion sei eine Parabel 2. Ordnung Ansatzfunktion sei eine Sinuskurve

−

−=

42

22

11llxKw

⋅=

lxKw πsin22

Es zeigt sich: Wenn der zutreffende Ansatz für die Eigenform gewählt wurde, ergibt sich der exakte Wert für den Knickeigenwert. Eine angenäherte Knickeigenform führt zu einer zu hohen Knicklast, ist also eine Näherung auf der unsicheren Seite. Es besteht also die Aufgabe, diejenige Eigenform zu finden, auf der das System ausknicken wird. Diese Berechnungen beruhen auf der Erkenntnis von G.W. LEIBNITZ11, daß die Natur diejenigen Lösungen aus allen möglichen auswählt, die mit einem Minimum an Formänderungsenergie auskommen. In der Mathematik nennt man diese Methode, Eigenformen zu finden, das DIRICHLETprinzip 12 10 Dies ist der Satz von CLAPERYON (nach dem französischen Ingenieur Benoit-Perre- Emile Claperyon 1799 – 1864) 11 Gottfried Wilhelm LEIBNITZ (1646 – 1716) Mathematiker, Universalgelehrter und Philosoph 12 Nach dem Mathematiker Peter Gustav Lejeune DIRICHLET (1805 – 1859), der gezeigt hat, daß der Wert, der das Mi-nimum des Potentials beschreibt, stets ein Gleichgewichtszustand ist.

0 1 2 3 4

10

0 1 2 3 4

10

012

0

l1xF− k1 2 x⋅ l1−( )⋅

2⋅ EI 2k1( )2

⋅+⌠⌡

d 012

0

l1

xF− k2 cos xπ

l1⋅

π

l1⋅⋅

2⋅ EI k2− sin x

π

l1⋅

π2

l12

⋅⋅

2

⋅+

⌠⌡

d

F 12EI

l12

⋅ F π2 EI

l12

⋅

F 9.87EI

l12

⋅


Seite 30

3.3 Näherungsverfahren mit der Energiemethode Die praktische Berechnung mit den oben genannten Formeln führt auf den RAYLEIGH13-

Quotienten

∫

∫

′

′′⋅= l

l

cr

dxw

dxwIEF

0

2

0

2

mit dem die Eigenwerte ermittelt werden. Wie das Beispiel oben

zeigt, ist das Ergebnis aber sehr stark von der Genauigkeit der angesetzten Eigenform ab. Es ist also der Fall zu suchen, für den gilt: min→crF . Dies wird näherungsweise mit dem nach RITZ14 benannten Verfahren berechnet. Zur Untersuchung muß also eine Eigenform angenommen, aus der dann die kritische Last ermittelt werden kann. Wenn die Eigenform jedoch unbekannt ist, so kann mit dem Verfahren von RITZ ein Ansatz von mehreren Funktionen gewählt werden, die jede für sich den Randbedingungen genügen. Diese Funktionen werden durch verschiedene Faktoren so gut an die wirkliche Eigenform angepaßt, wie dies nötig erschein. Es wird also angenommen: ( ) ( ) ( ) ( )xwaxwaxwaxw nnR +++= ...2211 Die Verzweigungslast ist nun dadurch gekennzeichnet, daß das Potential15 der Kräfte ein Minimum wird, d.h. seine erste und zweite Variation verschwinden

∫ ∫ ∫ ′⋅⋅−″=″+′⋅−=Π=l l l

RcrRRR dxwFdxwEIdxwEIwF0 0 0

22222

21

21

210 δδδδδ

ein Minimum wird. Dieses Minimum läßt sich durch Ableitung nach ak nk

aaa k

a

k

i

k

...10 =∂Π∂

−∂Π∂

==∂

Π∂

auf n algebraische Gleichungen zurückführen, mit denen die Faktoren ni aaaa ...,,, 21= bestimmt werden können.

⋅

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

⋅−

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

=

n

n

a

a

a

a

crit

n

i

i

i

i

a

aaa

a

a

a

a

F

a

a

a

a

MMM

M3

2

1

3

2

1

3

2

1

0

000

Dies ist ein verallgemeinertes Eigenwertproblem16, da die nichttriviale Lösung bedeutet, daß:

13 Nach Lord RAYLEIGH eigentlich John William STRUTT, seit 1873 der 3. Baron von Rayleigh (1842 – 1919), Engli-scher Physiker 14 Nach Walter RITZ (1878 – 1909), Schweizer Mathematiker und Physiker. Die Bezeichnung der Verfahren von Ray-leigh und Ritz ist in der Literatur unterschiedlich, da beide Wissenschaftler zu beiden Verfahren veröffentlicht haben. 15 Von den Nichtkonservativen Systemen, bei denen dieses Verfahren nicht anwendbar ist, weil sich ein äußeres Poten-tial nicht angeben läßt, soll hier nicht die Rede sein, da diese Systeme im Bauwesen normalerweise keine Rolle spielen. 16 Ein verallgemeinertes Eigenwertproblem ist ein Problem der Art: [ ] [ ]GK λ+=0 , das durch Linksmultiplikation mit

[ ] 1−G in ein klassisches Eigenwertproblem [ ] [ ] [ ]EKG λ+⋅= −10 übergeht.


Seite 31

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

⋅−

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

=

n

a

a

a

a

crit

n

i

i

i

i

a

a

a

a

F

a

a

a

a

MM3

2

1

3

2

1

det0 d.h. [ ][ ]

⋅−

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

⋅

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

∂Π∂

=

−

EF

a

a

a

a

a

a

a

a

crit

n

i

i

i

i

n

a

a

a

a

MM3

2

1

1

3

2

1

det0

Aus der Lösung dieses Eigenwertproblems gewinnt man unmittelbar gesuchten die Näherungen für die Knicklast D e m o n s t r a t i o n s b e i s p i e l Zur Demonstration des Verfahrens sei eine Stütze mit veränderlichem Querschnitt untersucht. Der Quer-schnitt sei ein Rechteckquerschnitt mit 10 cm Breite. Ein Knicken aus der Bildebene sei aus konstruktiven Gründen ausgeschlossen. Gesucht ist die kritische Last und die erste Ei-genform. Als Ansatz werde ein dreigliedriger Sinusansatz gewählt. Es ist hier sinnvoll, ausschließlich symmetri-sche Ansatzfunktionen zu verwen-den, da die gesuchte Eigenform ebenfalls symmetrisch ist.

Das innere und das äußere Potential werden nun Die zugehörigen Ableitungen ergeben sich zu:

0 1 .104 2 .104 3 .104

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

40cm 20cm

Aufbau der Stütze Trägheitsmoment

wR a1 sin xlπ

⋅ a2 sin3xl

π

⋅+ a3 sin5xl

π

⋅+

0 1 2 3 4

Ansatzfunktionen

Πa12

0

l

x14

a1 cos14

x π⋅⋅

π⋅⋅⋅34

a2 cos34

x π⋅⋅

π⋅⋅⋅+54

a3 cos54

x π⋅⋅

π⋅⋅⋅+

2⌠⌡

d

Π i Ee0

2

xIe x( )1−

16a1 sin

14

x π⋅⋅

π2

⋅⋅⋅916

a2 sin34

x π⋅⋅

π2

⋅⋅⋅−2516

a3 sin54

x π⋅⋅

π2

⋅⋅⋅−

2⌠⌡

d


Seite 32

Daraus ergibt sich die Determinante des Eigenwertes mit:

Etwas genauer wird das Ergebnis, wenn man einen viergliedrigen Ansatz verwendet. Hier wurde ein Potenzreihenansatz verwendet mit (Die Berechnung ist wie oben):

0

437532

π4

⋅13125

16π

2⋅

26252

−+

70875−

8π

2⋅

236252

+

15312524

π2

⋅21875

54−

70875−

8π

2⋅

236252

+

35437532

π4

⋅118125

16π

2⋅

26252

−+

12403125−

64π

2⋅

5906252

+

15312524

π2

⋅21875

54−

12403125−

64π

2⋅

5906252

+

273437532

π4

⋅328125

16π

2⋅

26252

−+

Fcr

18

π2

⋅

0

0

0

98

π2

⋅

0

0

0

258

π2

⋅

⋅+

Der zweite Wert ist offenbar derkleinste , d.h. Fcr 11304.64kNFcr

71087.039

11304.64

313891.979

ai

0.646

0.738−

0.195−

0.996

0.089

0.01

0.25

0.557−

0.792

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

1

0.5

Π i E12

⋅

0

l

xI x( )2xw x( )d

d

2

2

⋅

⌠⌡

d⋅ E

0

2

xI x( )1−

16a1 sin

14

x π⋅⋅

π2

⋅⋅⋅916

a2 sin34

x π⋅⋅

π2

⋅⋅⋅−2516

a3 sin54

x π⋅⋅

π2

⋅⋅⋅−

⋅⌠⌡

d⋅

a1Πa

dd

18

π2

⋅ a1⋅

a2Πa

dd

98

π2

⋅ a2⋅

a3Πa

dd

258

π2

⋅ a3⋅

a1Π i

dd

437532

π4

⋅13125

16π

2⋅

26252

−+

a1⋅70875−

8π

2⋅

236252

+

a2⋅+153125

24π

2⋅

2187554

−

a3⋅+

a2Π i

dd

70875−

8π

2⋅

236252

+

a1⋅354375

32π

4⋅

11812516

π2

⋅2625

2−+

a2⋅+12403125−

64π

2⋅

5906252

+

a3⋅+

a3Π i

dd

15312524

π2

⋅21875

54−

a1⋅12403125−

64π

2⋅

5906252

+

a2⋅+2734375

32π

4⋅

32812516

π2

⋅2625

2−+

a3⋅+

w x( )14

x 2−( ) 2⋅ 1−

a1⋅1

16x 2−( ) 4

⋅ 1−

a2⋅+1

64x 2−( ) 6

⋅ 1−

a3⋅+1

256x 2−( ) 8

⋅ 1−

a4⋅+

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

1

0.5


Seite 33

Der vierte Wert ist offenbar der richtige. Es wird somit kNFcr 07,11078= , d.h. 2% weniger als oben berechnet. Das Programm BK-spezial (unter RUBSTAHL 2005) führt diese Berechnung für einen einseitig fe-dernd gelagerten Stab aus. Als Ansatzfunktionen werden dort Sinusfunktionen verwendet (Bis zu 40 Funktionen).

0

17500

14350

14250

15050

14350

34200

48375

66640011

14250

48375

89250011

16012500143

15050

66640011

16012500143

213640013

Fcr

43

85

127

169

85

167

83

3211

127

83

3611

4813

169

3211

4813

6415

⋅−

Fcr

406024.927

191555.273

60908.987

11078.073

ac

0.121

0.523−

0.764

0.357−

0.35

0.79−

0.502

0.031−

0.195−

0.374−

0.839

0.344−

0.705

0.644

0.179

0.237−


Seite 34

4 Instabilitäten mit Verdrehungen 4.1 Drillknicken Neben den Biegeknickerscheinungen können Stäbe auch durch Drehung versagen. Eine Stütze, die in der Achse ihres Schubmittelpunktes durch eine Normalkraft beansprucht wird, kann durch Drillknicken versagen, wenn kein zusätzliches Biegemoment zur Entstehung des Bie-gedrillknickens beiträgt. Die Differentialgleichung des Drillknickens lautet:

( )[ ] 02

222

4

4

=++++−−⋅xd

dIGryrziiNxd

dIE tMyMMzMyxϑϑ

ω

Diese Gleichung läßt sich exakt auflösen. Die entsprechenden Eigenformen sind wieder Sinusfunktionen. Der erste Eigenwert lautet:

MyMMzMyx

tK

Ki ryrzii

IGs

IEN

+++

+= 22

2

2πω

wobei die Beiwerte Mr (Kindemsche Längen) sind:

+=

+=

∫∫

∫∫

FFzMz

FFyMy

dFyzdFzI

r

ydFzdFyI

r

23

23

1

1

MM yz und sind die Schubmittelpunktsabstände.

Bei doppeltsymmetrischen Querschnitten werden diese 4 Werte zu 0, bei einfachsymmetrischen jeweils, wenn die z-Achse die Symmetrieachse ist, .0=MMz zr sowie Drillknicken wird in der Norm im allgemeinen als Sonderfall des Biegedrillknickens behandelt. Ein

spezieller Nachweis ist nur in wenigen Sonderfällen erforderlich. Dies ist zum Beispiel bei Stützen möglich, die durch Fachwerksverbände mittig gehalten wer-den. Während das Knicken um die „schwa-che“ Achse hier mit einer Knicklänge von 3

ls K ≈ untersucht werden muß,

ist Drillknicken mit einer Knicklänge von l möglich.17 Damit ist die Bemerkung von DIN 18800 EL 306 2. Satz hier nicht an-

zuwenden, da sie sich nur auf Stäbe bezieht, die mit gleicher Knicklänge Biege- und Drillknicken können.

17 Im Hinblick auf das Biegedrillknicken ist bei diesem Stab ebenfalls von einer Lagerung an den Verbandsanschlüssen auszugehen. Die Begriffe sind jedoch nicht eindeutig. Drillknicken wird gelegentlich auch als Sonderfall des Biegedrill-knickens mit gebundener Achse bzw. mit Lastangriff im Schubmittelpunkt behandelt.

Anschluß Verband

3l

3l

3l


Seite 35

Die Eulerlast für Drillknicken ist (bei doppeltsymmetrischen Profilen)

( )22

2

2

2

22

2

2

22

2

2

03897,0121

yx

tK

Kyx

tK

yx

tK

cr iiIsI

sE

ii

Is

IE

ii

IGsIE

N+

⋅+=

++

⋅+=

+

⋅+⋅⋅

= ωω

ω

πµππ

Wenn sich dieses crN kleiner ergibt, als das des Knickens um die schwache Achse, so ist dieser Wert in die Berechnung des Knickens einzusetzen. Beispiel:

Stütze S 240 Nachweis

kNN BKKrit 9,81736310400

21000 2

2

=⋅=π

kN

N DKKrit

396049,77,12

7,8503897,01200000.200.11200

21000 22

2

2

2

=+

⋅⋅+=

π

d.h., es tritt der Nachweis des Drillknickens an die Stelle des Biegeknickens.

824,03960

11224=

⋅=Kλ

Aus Knickspannungslinie ‚c’ wird K = 0,648 damit 1947,0

648,01121,1

241500

<=⋅⋅

Eine Berechnung des Biegeknickens in der schwachen Achse hätte ergeben:

803,057,09,92

49,7400

=→== κλ

24,1962=zuldN d.h. der Stab wäre um 24 % überschätzt worden. Es ist hier darauf hinzuweisen, daß die üblichen Programme diese Betrachtung nicht anstellen und damit dieser notwendige Nachweis leicht vergessen wird.

HEA 300

4 m

4 m

4 m

1500 kN = Nd 1500 kN


Seite 36

4.2 Kippen Kippen ist der Sonderfall des Biegedrillknickens, bei dem keine Normalkraft auftritt. Unter Kippen wird klassisch nur der (normalkraftfreie) Fall verstanden, bei dem die Biegung in nur einer Haupt-achse auftritt. Dieser Fall ist für symmetrische Querschnitte bei Biegung senkrecht zur Symmetrie-achse gut untersucht.

Das Stabilitätsproblem führt auf zwei gekoppelte Differenti-algleichungen, die nicht mehr geschlossen gelöst werden können. Die DGL lauten:

0=+ IIy

IIIIy MvIE ϑ

0=⋅−−+− ϑϑϑϑω y

IIMzy

IIy

IIt

IIII zqrMvMIGIE

Diese Differentialgleichungen sind nicht mehr auf elementare Weise zu lösen, d.h. es ist nur mit einschränkenden Annahmen möglich, Funktionen anzugeben, die Differentialgleichungen erfüllen. Man verwendet zur Suche von Lösungen das unter 3.3 vorgestellte Verfahren von RAYLEIGH – RITZ, mit dem die Verformungsfigur gesucht wird, die mit einem Minimum an Formänderungs-energie auskommt. Beim Kipp-Problem ergeben sich diese Gleichungen erheblich komplizierter, als vorn kür die Stab-knickung gezeigt wurde, da hier zwei unbekannte Funktionen ( ) ( )( )xxu ϑund gesucht werden. Die Rechnung soll hier nicht gezeigt werden. Sie ist in dem Programm BDK-spezial, der RUBstahl CD

für die Ansatzfunktionen πnxlsin programmiert. Mit diesem Programm läßt sich die Lösung der

Kippeigenform exakt feststellen. Die Lösung für das Kipp-Problem mit einem konstanten Moment ist mit dem Ansatz

Lxb

Lxau πϑπ sinsin ⋅=⋅= und möglich. Die Lösung für KritM wurde in DIN 18800 T 2 durch eine

Näherung angegeben mit: ( )

++= 225,05,0 czzNM ppzKiyKi ζ

Diese Gleichung setzt (mit einigen Rundungen) voraus, daß der Träger ein Einfeldträger ist (ga-belgelagert) und die Kippeigenform eine Sinus-Halbwelle ist. Durch den Faktor ζ soll die Form der

Momentenfläche, d.h. die Biegeeinspannung berücksichtigt werden. Durch Linearkombinationen dieser Werte lassen sich Zwischenwerte ermitteln, die der Berechnung zugrun-degelegt werden können. Dabei sind die einzelnen Werte nach dem Anteil ihrer Momentenfläche am Gesamtmoment zu werten. Hat man z.B. ein Moment aus Gleichlast (Nr. 2) von 20 kNm mit 35 kNm aus mittiger Einzellast (Nr. 3) zu

überlagern, so ergibt sich: 256.1

35.15535

12.15520

1=

+

=ζ .

z; w

y; v

My


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Die „richtigen“ Beiwerte ζ sind jedoch auch vom Verhältnis )/( 2lII t ⋅ω abhängig. Die in DIN 18800 angegebenen Werte sind jedoch im allgemeinen auf der sicheren Seite. Weitere Werte können aus der Literatur entnommen werden. Es ist mit dem Formelapparat von DIN 18800 auch möglich, Kipphalterungen in Form von ange-schlossenen Querträgern oder Trapezblechen zu berücksichtigen. Diese Ansätze werden weiter hinten im einzelnen behandelt. Bei den Gleichungen von DIN 18800 T 2 wird immer darauf aufmerksam gemacht, daß sie nur für Träger ohne eigene Torsionsbeanspruchung gelten. Dies ist im konkreten Fall zu prüfen. So sind U-Profile, die ohne aussteifende Konstruktionen belastet werden, nie mit den Normgleichungen nachweisbar. Hier muß auf eine gefährliche Vereinfachung im Programm Eurostahl hingewiesen werden: Eurostahl berücksichtigt die primäre Drillsteifigkeit, beachtet diese Schnittkraft im Nach-weis jedoch nicht. Es wird jedoch ein Hinweis ausgegeben, der vom Anwender nicht überlesen werden darf. Bei der Berechnung von U – Trägern kommt es nur dann zu torsionsfreier Bemessung, wenn die Belastung in der Schubmittelpunktsachse des Trägers angreift. Das ist immer dann gegeben, wenn die Last über biegesteif angeschlossene Querträger eingetragen wird. Im Stahlleichtbau ist dabei zu beachten, daß die Stützweite der Querträger durch den Abstand der Schubmittelpunkte gegeben ist. Auch wenn die Lasteintragung am Schubmittelpunkt gesichert ist, kann es zum Kippen von U-Trägern kommen. Das Statikprogramm mb 320 bietet bei der Berechnung von U – Trägern ver-schiedene Lasteintragungslinien an. Nur wenn Lasteintragung im Schubmittelpunkt gewählt wird, kann das Programm die Biegedrillknicksicherheit nach Norm berechnen. Es wird dann mit den Gleichungen der Norm gerechnet, obwohl diese einen Querschnitt mit Belastung in der Symme-trieachse voraussetzt. In der Praxis kommen solche Fälle nur selten vor. Die oben dargestellten

Träger, deren Belastung durch den Schubmittelpunkt verläuft, sind an den Lasteintragungsstellen gegen Kippen gehalten. Im allgemeinen Fall der Belastung von U – Trägern ist die Torsion zu beachten. S320 berechnet diese Werte, kann aber keinen Kipp-nachweis führen. Nach einem Vorschlag von Prof. Kindmann kann folgendermaßen gerechnet werden:

Wobei Mλ der Wert aus DIN 18800-02 ist, der mit der o.g. Gleichung er-mittelt wird. Zu numerischen Berechnungen siehe weiter unten.

Stützweite Stützweite


Seite 38

4.3 Biegedrillknicken 4.3.1 Biegedrillknicken (klassische Nachweise) Die Differentialgleichungen des allgemeinen Biegetorsionsproblems sind mit beiden Knickrichtun-gen gekoppelt. Eine vollständige theoretische, d.h. formelmäßige Lösung kann nicht angegeben werden. Die Gleichungen und Rechenverfahren in der Norm gelten nach dem Beuth-Kommentar als „Faustformeln“ für den Nachweis die Biegedrillknicksicherheit. Sie sollten bei allen nicht elementa-ren Fällen durch Berechnungen mit geeigneten Programmen oder mit den Ergebnissen der Litera-tur ersetzt werden. Eurostahl führt Biegedrillknicknachweise mit den Gleichungen der Norm, insbesondere mit Glei-chung (27). Die Bedingungen zur Anwendung dieser Gleichung werden im Programm nicht abge-prüft. Dies ist unbedingt vom Anwender zu leisten. Hier ist darauf hinzuweisen, daß diese Glei-chungen nur für Walzprofile und Profile mit ähnlichen Abmessungen gelten, daß keine planmäßi-gen Torsionsmomente auftreten dürfen (hier ist Eurostahl unbedingt kritisch zu werten), und daß bestimmte Profile in der Norm ausgeschlossen werden. Den Einsatz von gewalzten T – Profilen hält der Beuth – Kommentar für nachweisfähig, wenn ky = 1,0 und n = 1,5 angesetzt wird. Der Nachweis des allgemeinen Biegedrillknickens ist mit der angegebenen Normformel nicht zu erbringen. In DIN 18800 T 2 wird auf zwei Werke verwiesen:

- PETERSEN: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen - ROIK, CARL, LINDNER: Biegetorsionsprobleme gerader dünnwandiger Stäbe Beide Werke sind als Erläuterung zur (alten) DIN 4114 aufgebaut. Die jeweils in Diagrammen dar-gestellten Berechnungen für KiM sind jeweils verwendbar. Auch die in der alten Norm genannten Gleichungen können noch verwendet werden. Insbesondere die Gleichung von CHWALLA18 soll hier wegen ihrer Allgemeingültigkeit genannt werden:

( )

+−⋅−+

+−⋅= M

yPM

yPzki z

rzczrz

lEIM

323222

22

2

2

βββ

πζ

Diese Gleichung gilt für gabelgelagerte Einfeldträger mit einfachsymmetrischem Querschnitt. 4.3.2 Biegedrillknicken mit Programmen Die Berechnung von BDK-Nachweisen mit Programmen kann im Grundsatz mit den Verfahren der DIN 18800/02 erfolgen. Dies ist jedoch mit den genannten Nachteilen verbunden. Die BDK-Sicherheit wird in einigen Fällen sogar signifikant unterschätzt. Bei Nachweisen mit Schubfeldern und Drehfedern sind die Ansätze nicht unbedingt auf der sicheren Seite. Nach Angaben von Prof. KINDMANN kann das Nachweisverfahren der DIN um bis zu 40 % zu kleine Verzweigungslasten ergeben, d.h. es können sich wesentlich ungünstigere Bemessungen ergeben als erforderlich. Das sollte aus wirtschaftlichen Gründen vermieden werden. Desweiteren sind programmierte Berechnungen mit dem Ritzschen Verfahrens möglich, die im Grundsatz die Diagramme von PETERSEN bzw. von ROIK, CARL, LINDNER ersetzen, da die Be-rechnungen denen entsprechen, die zur Herstellung der Diagramme verwendet wurden. Der be-sondere Vorteil dieser elektronischen Berechnungen ist, daß weder die Einarbeitung in Bezeich-nungen und Funktionen von Diagrammen, noch die Interpolation zwischen verschiedenen Dia-grammen erforderlich werden. Die praktischen Nachweise lassen sich dann mit den Gleichungen der DIN 18800 führen. Diese Berechnungen sind mit dem Programm BDK-spezial möglich. Als Beispiel sei ein Innenfeld eines Durchlaufträgers aus IPE 360 mit 20 m Länge gezeigt. Wie man deutlich erkennt, ist die Eigenform keine Sinushalbwelle. So ergibt sich eine anderer Eigen-wert als mit der Normformel, die zu folgendem Ergebnis führt:

( ) kNcmM yKi 20258118706185,0185.02000

10402100012.1 22

2

=

+⋅+−⋅

⋅⋅=

π

18 Ernst CHWALLA (1901 – 1960) Professor für Baustatik in Brünn (bis 1945) und Graz (ab 1955). Chwalla gilt als we-sentlicher Vater von DIN 4114.


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Der Unterschied der Ergebnisse ist typisch und zeigt, daß die Berechnung mit der Normformel nicht wirtschaftlich ist. Die komfortabelsten Programme zur Bearbeitung dieser Probleme sind FEM-Programme, die den Biegedrillknickvorgang abbilden. Dazu sind grundsätzlich zwei Wege möglich:

a) Die Berechnung mit 3 D – Elementen mit 7 Freiheitsgraden, d.h. den 3 Verschiebungen und 3 Verdrehungen sowie der Verwölbung,

b) das Modellieren der Struktur mit funktionsfähigen Schalenelementen, um alle Effekte des

Problems abbilden zu können. Beide Modellbildungen werden von verschiedenen Anbietern auf dem Markt angeboten. So exi-stiert ein Programm mit 7 Freiheitsgraden pro Element bei NEMETSCHEK (Stahlträger DIN 18800), Dlubal (RSTAB) hat solche Elemente im 3 D – Stabwerk. KStab von RUBstahl bietet die-sen Ansatz ebenso. Mb arbeitet intern mit einem solchen Ansatz im Programm 750 (Kranbahnträ-ger). Ein verwendbares Programm der Sorte b bieten CSI an. Hier ist auch mit anderen 3 D – Flächen-tragwerksprogrammen eine Berechnung möglich. Vor dem Einsatz dieser Berechnungen sollte man sich jedoch von der Richtigkeit und Vollständigkeit der Lösung überzeugt haben. Mit microfe sind solche Untersuchungen auch möglich. Die Träger müssen jedoch aus Einzelflächen modelliert werden. Vorverformungen sind dann durch Ersatzkräfte abzubilden. 4.3.3 Die Mitwirkung von Verstärkungen DIN 18800 T 2 gibt ein Verfahren an, die Mitwirkung von Drehfedern aus Trapezblechdeckungen zu berücksichtigen. Dabei wird die vorhandene Drehfeder unter Beachtung aller Verschiebungs-möglichkeiten (das sind: die Feder der Dachdeckung, die Anschlußfeder und die Feder im Träger selbst) ermittelt. Der Algorithmus ist in der Norm nachvollziehbar beschrieben. In der Stahlbaupra-xis ist es jedoch üblich geworden, die Trapezprofilbleche mit Setzbolzen auf den Trägern zu befe-stigen, statt Schrauben zu verwenden, wie dies in der Norm vorausgesetzt wurde. Das Einrechnen

Berechnung von Mki für beidseitig gabelgelagerte Träger aus I-Querschnitten

E= 21.000 kN/cm2 freie Drehachse Momentenzustandslinie

G= 8.100 kN/cm2

IZ = 1040,00 cm4

h* = cm a1 = 1,0000

IT = 37,50 cm4 a2 = 0,2525

Iω = 313.600 cm6 a3 = -0,3131

cϑ = 15,0 kNcm/cm a4 = -0,1010

L= 2.000 cm a5 = 0,0303

zp = -18,00 cm a6 = 0,0101

ψ = -0,67 = M yB / M y0 a7 = 0,0000 1. Eigenform für ϑ

k = 0,30 = M yA / M yB a8 = 0,0000max ai = 25 15 ≤ max a i ≤ 100 a9 = 0,0000

Dezimalstellen = 4 der a i a10 = 0,0000

δ M ki = 0,005 ε ≥ 0 a11 = 0,0000

α T = 18,69 [-] a12 = 0,0000

α c = 374 [-] a13 = 0,0000

δ c = 1,03 [-] a14 = 0,0000

a15 = 0,0000

M ki,0 = 34.676 kNcmM ki,0 = Abbruchkriterium der Berechnung : Minimum

ki BKontrolle der Berechnung : o.k.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0,000 0,250 0,500 0,750 1,000

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,000 0,250 0,500 0,750 1,000


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der Trapezprofile ist auch bei Verwendung von Setzbolzen möglich, wobei sich die Berechnung in folgender Weise gestaltet: (Die Feder wird hier von der Auflagerkraft abhängig).

kPkAkM

k

ccc

c

,,,

, 1111

ϑϑϑ

ϑ

++= mit

kAAtbkA ckkkc ,, ϑ⋅=

mit dem Werten kAc ,ϑ : Zeile Positiv-

lage Negativ

lage Schrauben

1,0

abstand e/br

2,0

Schrauben 6,3mm D = 22

Setzbolzen ENP2-21L15

1 X X 5,2 4,0 2 X X 3,1 3,1 3 X X 3,1 3,1 4 X X 2,0 2,0

ePositivlagbeitk

bvorhfürbvorhk

bvorhfürbvorhk

t

b

b

75.0

60,1100

15,1100

15,1

15,1100100

2

=

≤

=

≤

=

( )( )

mminbvorhmkNinAmmint

mmtbeiAkmmtbeiAk

eNegativlagbeitk

A

A

t

00,1095,00,10,175,016,00,10,1

75,0

5,1

=−+==−+=

=

Die Korrekturfaktoren ersetzen die Faktoren in DIN 18800-2. Diese Werte gelten für t = 0.75 mm und A = 1,0 kN/m. In allen fällen sind, wenn die Maximalwerte für vorh b/100 überschritten sind, die Werte von 1,6 bzw. 2,0 einzusetzen. Hat diese Feder eine bestimmte Größe, so ist die Biegdrillknickgefahr gebannt, d.h. es genügt dann der statische Spannungsnachweis. Für diese kritische Feder gibt es zwei Werte: einen für freie und einen für eine gebundene Drehachse, d.h. wenn die Drehachse des Trägers horizontal gehalten ist, muß die Drehfeder nicht so groß werden, wie wenn der Träger horizontal ausweichen kann. Ist diese kritische Drehfeder nicht erreicht, so ist die Feder trotzdem wirksam. Geht man davon aus, daß die Biegedrillknickfigur eine Sinushalbwelle ist, so läßt sich zeigen, daß die Drehfeder sich als Erhöhung der Torsionssteifigkeit verstehen läßt. Es kann einfach gesetzt werden:

Glc

II tt ⋅⋅

+= 2

2*

πυ

Mit der so variierten Torsionssteifigkeit werden alle weiteren Nachweise geführt. Das ist auf der si-cheren Seite, da eine andere Eigenform immer einen größeren Gradienten besitzt, als die Sinus-welle. So kann diese Berechnung angenommen werden. Die Größe des Fehlers wurde oben im Beispiel gezeigt. Es ist natürlich möglich, mit diesen Gleichungen auch die Aussteifung durch Querträger und ähnli-ches zu untersuchen. Dazu muß man aber auch, Angaben zu den Anschlußsteifigkeiten besitzen. Trapezbleche wirken neben der Federwirkung auch als Scheiben, die eine Horizontalverschiebung des Trägers behindern. Man nennt diese Wirkung Schubfeldwirkung. Die Berechnung von Schub-feldern ist in DIN 18807 geregelt. Dabei gehen material- und systemspezifische Beiwerte ein, die


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der DIN oder den entsprechenden Zulassungen der Bleche entnommen werden müssen. DIN 18800 T 2 gibt einen Grenzwert für die Schubfeder an. Ist dieser Grenzwert überschritten, dann ist die Drehachse als gebunden anzunehmen. Ist der Wert nicht erreicht, so ist die Drehachse nicht gebunden, wohl aber durch das Schubfeld an der Verformung gehindert. In der Literatur findet sich ein Ansatz für die Wirkung des Schubfeldes auf das Kippmoment, der in dem Bereich gilt, in dem KritSS < gilt. Die angegebene Gleichung lautet:

( ) M

vorhyKiyKi

hSMMγπ

π ⋅

+

−+= 22

2

,*

,33

32

Sie wurde wiederum aus der Vorstellung gewonnen, daß die BDK-Eigenform eine Sinushalbwelle darstellt. Es existiert in der Literatur auch eine Gleichung, mit der das Schubfeld in eine „adäquate“ Horizon-talfeder umgerechnet wird. Auch diese Gleichung setzt die Sinushalbwelle voraus. Damit ist es möglich, die gleichzeitige Wirkung von Schubfeldern und Drehfedern zu berücksichti-gen. Das ist besonders wertvoll, weil nach DIN 18800 – 02 auch ohne konstruktives Ausbilden ei-nes Schubfeldes 20 % der Wirkung des vollen Schubfeldes angenommen werden dürfen. Numerische Untersuchungen von Prof. KINDMANN zeigen, daß die Kippeigenform bei einer ge-bundenen Drehachse bzw. wenn das Schubfeld größer und die Drehachse stark behindert wird, keine Sinushalbwelle mehr ist. Die Berechnung mit den hier genannten Formeln ist dann nicht auf der „sicheren Seite“, wenn beide Aussteifungen angesetzt werden. Es sollte hier eine numerische Lösung gewählt werden, wie sie weiter unten beschrieben wird. 4.3.4 Wölbfedern zur Verstärkung der BDK-Verhaltens Eine besonders effiziente Methode zur Herstellung von BDK-Sicherheit sind Wölbfedern, die sich relativ einfach einbauen lassen und eine große Wirkung entfalten. Das Problem des Nachweises solcher Wölbfedern ist durch programmierte Lösungen einfach zu behandeln (z.B. RUBstahl - Pro-gramme). Eine Stirnplatte setzt der Verdrillung durch die Verwölbung des Querschnittes mit ihrer Torsions-steifigkeit entgegen. Es ergibt sich eine Einzelwölbfeder von

htbGhIGC Blecht ⋅⋅

⋅=⋅=3

3

ω

Aus der Anschauung läßt sich leicht erkennen, daß nur sehr dicke Kopf-platten von nennenswerter Wirkung sind. Wirksamer sind eingeschweißte U-Profile, die durch ihre BREDTsche Torsionssteifigkeit erhebliche Wölb-behinderungen darstellen. Es wird wieder

h

tb

AGhIGC

i

i

mT ⋅⋅=⋅⋅=

∑

24ω

Dies sind, an der richtigen Stelle angeordnet, sehr wirksame Wölbaussteifungen.


Seite 42

4.3.5 Beispiel zu Kippeigenwerten St 52 HEA 240 auf OG belastet ausgesteift durch Drehfeder aus Trapezblech (und Schubfeld, d.h. das Schubfeld, das noch DIN 18800-02 Element 803 immer angenommen werden kann)

1.) Berechnung „mit Hand“ bzw. mit mb “Stahlträger“

kNS

mkNmc66,1959

/13,13==ϑ

Die Berechnung mit Hand erfolgt mit Hilfe des aus der Annahme sinusförmiger Kippform fol-gender Erkenntnis, daß sich die Drehfeder als Erhöhung der reinen Torsion einsetzen läßt:

422

224

2

2

35,206/810014,3

100013,136,41 cm

cmkNcmkN

cmGlc

II tgest =⋅

⋅+=

⋅⋅

+=π

ϑ

Damit ergibt sich kNmzzcNM ppKiyKi 3335,025,0 22 =++⋅= ζ

mit 004,02061000

3285006.229,1 2 =⋅

⋅== χζ (aus ROIK, CARL, LINDNER 19 Bild 5.21)

Damit bei Berücksichtigung des Schubfeldes:

( ) kNmmkNkNmM yKi 4491.1

23,066,195933

32

1,1333

22

2*

, =⋅

+

−+=

ππ

ohne die Feder wird: 31,1=ζ

und kNmM yKi 0,131= Das mb - Programm enthält diesen Ansatz, dessen Gültigkeit in jedem Einzelfall untersucht werden muß.

2.) Die Berechnung mit dem Rubstahl-Programm für freie Drehachse „BDK spezial“ bringt für den Fall freier Drehachse:

kNmM yKi 17,874= (für das Stützmoment wird kNmkNm 78,58217,87432

=⋅ für das Feldmo-

ment damit 296,39kNm)

Damit gilt 8

)()(2

00

lqMMxMMxM ykiki

⋅=⋅=

19 Die Diagramme im Buch „Biegetorsionsprobleme gerader dünnwandiger Stäbe“ sind nicht besonders genau abzule-sen, die im Buch „Statik und Stabilität der Baukonstruktionen“ von Petersen dargestellten sind jedoch noch weniger ge-nau ablesbar.

29,0 kN / m

10,0


Seite 43

Die zugehörige Eigenform ist in grober Näherung eine Sinuskurve.

Ein ähnlicher Effekt entsteht beim einseitig eingespannten Träger, dessen Obergurt gehalten ist. Die Verdrehung der Eigenform ist wieder durch die Stützmomente bestimmt. Es ergibt sich der unten dargestellte Zusammenhang:

Die Berechnungen mit dem Programm BDK spezial erlaubt keine gleichzeitige Berücksichtigung von Schubfeld und Drehfeder. Es kann lediglich die vollständige Behinderung der Horizontalver-schiebung untersucht werden (gebundenes Kippen).



G= 8.100 kN/cm2

IZ = 2770,00 cm4

h* = cm a1 = 1,0000

IT = 41,60 cm4 a2 = 0,0000

Iω = 328.500 cm6 a3 = -0,0500

cϑ = 13,1 kNcm/cm a4 = 0,0000

L= 1.000 cm a5 = 0,0100

zp = -12,00 cm a6 = 0,0000



Dezimalstellen = 4 der a i a10 = 0,0000δ M ki = 0,005 ε ≥ 0 a11 = 0,0000

α T = 4,95 [-] a12 = 0,0000

α c = 20 [-] a13 = 0,0000

δ c = 0,89 [-] a14 = 0,0000

a15 = 0,0000

M ki,0 = 87.417 kNcm 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,000 0,250 0,500 0,750 1,000

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,000 0,250 0,500 0,750 1,000



G= 8.100 kN/cm2

IZ = 2770,00 cm4

h* = cm a1 = 1,0000

IT = 41,60 cm4 a2 = 0,1800

Iω = 328.500 cm6 a3 = -0,0300

cϑ = 13,1 kNcm/cm a4 = -0,0200

L= 1.000 cm a5 = 0,0000

zp = -12,00 cm a6 = 0,0000




δ M ki = 0,005 ε ≥ 0 a11 = 0,0000

α T = 4,95 [-] a12 = 0,0000

α c = 20 [-] a13 = 0,0000

δ c = 0,89 [-] a14 = 0,0000

a15 = 0,0000

M ki,0 = 57.089 kNcm 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,000 0,250 0,500 0,750 1,000

-1,2

-1,0

-0,8-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,000 0,250 0,500 0,750 1,000


Seite 44

3.) Berechnung für gebundene Drehachse

Die Lösung für das Beispiel ist bei voller Wirksamkeit des Schubfeldes hier mit dem Programm angegeben:

kNmM yKi 24,1252= d.h. das Stützmoment beträgt kNmkNmM AKi 83,83424,125232

, ==

Hier zeigt sich, daß sich die Eigenform stark von einer Sinuswelle abweicht.

Das Ergebnis ist nur 88% des oben mit dem Ansatz von Roik usw. berechneten Wertes, der der Gleichung aus der Norm entspricht. Das ist auf die Abweichung der Eigenform von einer Sinushalbwelle zurückzuführen. Diese Abweichungen wirken sich immer zu einer Überschät-zung des Kippeigenwertes in der Näherung aus, da bei der Näherung nicht die Lösung gefun-den wurde, die das geringste Energieniveau darstellt. Die Berechnung mit dem Ritzschen An-satz gibt für den Stab ohne Feder für das Feldmoment:

kNmM yKi 23,102= . Zur Vervollständigung ist noch der einseitig eingespannte Träger vorgestellt.


E= 21.000 kN/cm2 gebundene Drehachse Momentenzustandslinie

G= 8.100 kN/cm2

IZ = 2770,00 cm4

h* = 23,00 cm a1 = 1,0000

IT = 41,60 cm4 a2 = -0,5540

Iω = cm6 a3 = 0,3150

cϑ = 13,1 kNcm/cm a4 = -0,1390

L= 1.000 cm a5 = 0,0650

zp = cm a6 = -0,0270


k = 0,00 = M yA / M yB a8 = -0,0060max ai = 25 15 ≤ max a i ≤ 100 a9 = 0,0030

Dezimalstellen = 4 der a i a10 = -0,0020δ M ki = 0,005 ε ≥ 0 a11 = 0,0010

α T = 4,44 [-] a12 = -0,0010

α c = 18 [-] a13 = 0,0000

δ c = 0,94 [-] a14 = 0,0000

a15 = 0,0000

| M ki,B | = 138.941 kNcm 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0,000 0,250 0,500 0,750 1,000

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,00,2

0,4

0,6

0,8

0,000 0,250 0,500 0,750 1,000


E= 21.000 kN/cm2 gebundene Drehachse Momentenzustandslinie

G= 8.100 kN/cm2

IZ = 2770,00 cm4

h* = 23,00 cm a1 = 1,0000

IT = 41,60 cm4 a2 = 0,0000

Iω = cm6 a3 = 0,2600

cϑ = 13,1 kNcm/cm a4 = 0,0000

L= 1.000 cm a5 = 0,0500

zp = cm a6 = 0,0000




δ M ki = 0,005 ε ≥ 0 a11 = 0,0000

α T = 4,44 [-] a12 = 0,0000

α c = 18 [-] a13 = 0,0000

δ c = 0,94 [-] a14 = 0,0000

a15 = 0,0000

| M ki,B | = 125.224 kNcm 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,000 0,250 0,500 0,750 1,000

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,000 0,250 0,500 0,750 1,000


Seite 45

Lager und PunktfedernStelle x = 0 1000

uS = -1vM = -1 -1vM' = 0 0wM = -1 -1wM' = -1 -1

ϑ = -1 -1ϑ' = 0 0

Lagerung in w und w'-Richtung

Lagerung in ϑ und ϑ'-Richtung

Lagerung in u-Richtung

Lagerung in v und v'-Richtung

4.) Berechnung mit der Wirkung von Drehfeder und Schubfeld Mit dem Programm K-STAB von Prof. KINDMANN läßt sich das Problem mit einem FEM-Ansatz lösen. Hier ist der gleichzeitige Ansatz des Schubfeldes und der Drehfeder möglich.

Das Kippmoment in Feldmitte ergibt sich zu

kNmM

mmkNM

ki

ki

94,684

6685,524

10/29 22

=

⋅⋅

=

Auch hier zeigt sich, daß die Eigenform keine Sinuswelle ist. Das Ergebnis liegt wie erwartet zwischen den Werten für freie und gebundene Drehachse.

Gleichstreckenlastenvon x bis x qz yq zq qy yq zq nx mx

[cm] [cm] [kN/cm] [cm] [cm] [kN/cm] [cm] [cm] [kN/cm][kNcm/cm]0 1.000 0,2900

Vorverformungen Art: geradlinig + Parabel

von x bis x w-A w-E w-M v-A v-E v-M ϑ-A ϑ-E ϑ-M[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [rad] [rad] [rad]

0 1.000 0,00 0,00 3,50 0,00 0,00 3,50

Querschnittstragfähigkeit mit dem TeilschnittgrößenverfahrenAnzahl nicht erfüllter Querschnittsstellen: 2,00 max. Ausnutzung: 1,044

ohne Begrenzung von αpl =1,25 nach DIN 18800 Ausgabe 11/ 90

Ausnutzung TSV

0,001,002,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

x/l

Eigenform des Systems(Werte unterhalb der x/l-Achse positiv) unterer Grenzwert für ηki = 5,668335

oberer Grenzwert für ηki = 5,668640Mittelwert für ηki = 5,668488

Verdrehung ϑ

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

x/l

Verschiebung v

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

x/l


Seite 46

Zum Vergleich sei noch die Kippsicherheit bei vollem, d.h. bei dem 5 –fachen Schubfeld ge-zeigt.

kNmM

mmkNM

ki

ki

87,844

992,624

10/29 22

=

⋅⋅

=

Im Falle einseitiger Einspannung bringt K-Stab die fol-gende Lösung:

kNmM

mmkNM

ki

ki

78,734

6035,3128

10/299 22

=

⋅⋅⋅

=

Der Wert ηki ist so definiert, daß er für Berechnungen nach DIN 18800 – 02 als Verzweigungslastfaktor ver-wendet werden kann. Zusammenfassung: Die Berechnung mit den zum Teil in der Literatur vorhanden Gleichungen führt schon bei einfachen Systemen, die mit Schubfeldern und Drehfedern ausgesteift sind, zu Ergeb-nissen, die auf der unsicheren Seite falsch sind. Die Berechnung mit dem Programm K – Stab er-möglicht eine zutreffendere und sichere Berechnung. Sie ist in diesen Fällen unbedingt vorzuzie-hen.

Nachweisschnittgrößen Theorie II. Ordnung

Vy-0,5

0,0

0,5

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

Mz-20

0

20

40

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l

Vz-200,0

-100,0

0,0

100,0

200,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l

My-30000-20000-10000

01000020000

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

-60-40-20

0204060

0,0 0,5 1,0

x/lMxp Mxs

Mω-2000

-1000

0

1000

2000

0,00 0,50 1,00

x/l

N0,01,02,03,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l

Gleichgewichtsschnittgrößen Theorie II. Ordnung

Vy0,00,20,40,60,81,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l

Mz-500

50100150200

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l

Vz-200,0

-100,0

0,0

100,0200,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

My-30000-20000-10000

01000020000

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

Mx-60-40-20

0204060

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

Mω-2000-1000

010002000

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

x/l

N0,00,51,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l



Verdrehung ϑ

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

x/l

Verschiebung v

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

x/l


Seite 47

4.3.6 Biegedrillknicken durch Berechnungen nach Theorie II. Ordnung K-STAB bietet eine Bemessung nach Theorie II. Ordnung an. Diese Bemessung wird mit Schnitt-größen durchgeführt, die auf die verformte Stabachse bezogen sind. Diese Schnittgrößen nennt das Programm „Nachweisschnittgrößen“. Die auf die unverformte System bezogenen Schnittgrö-ßen werden unter dem Namen „Gleichgewichtsschnittgrößen“ ausgegeben. Bei der Bemessung werden die Torsionsspannungen (primäre und sekundäre Torsion) beachtet. Die Bemessung selbst erfolgt mit dem Verfahren elastisch – plastisch. Die plastischen Tragfähig-keiten werden nach den von Prof. Kindmann veröffentlichten Regeln ermittelt, die gegenüber den Gleichungen von Prof. Rubin (DIN 18800 T.1) immer sicher sind und sich dadurch unterscheiden, daß der Schubmittelpunkt des plastischen Querschnittes mit dem des elastischen Querschnittes übereinstimmt. Mit den von K – Stab berechneten Schnittkräften ist auch eine elastische Berechnung möglich. Das Ergebnis der Berechnung ist in der Form des abgebildeten Diagramms dargestellt. Beispiel: Durchlaufträger über drei Felder mit Einzellasten Außer diesen Lasten hat das System nur sein Eigengewicht von 5 kN/m zu tragen. Eingabe des Systems: Die Lager sind sämtlich als Gabella-ger auszuführen, d.h. es sind in jedem Lager Aussteifungsbleche anzuord-nen.

Als nicht ausgesteifter Träger ist ein HEM 1000 erforderlich. Lasteingaben:

P = 750 kN

5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00

8.00 14.00 8.00

Lagerung in w und w'-Richtung

Lagerung in ϑ und ϑ'-Richtung

Lagerung in u-Richtung

Lagerung in v und v'-Richtung

QuerschnittswerteHEM 1000 Querschnitt Typ: 3

A= 444,21 cm2 yM = 0,00 cmIz = 18.459 cm4 zM = 0,00 cmIy = 722.299 cm4 ry = 0,00 cmIT = 1.701,27 cm4 rz = 0,00 cmIω = 43.015.036 cm6 rω = 0,00

Projekt: Beispiel:Kommentar:Dreifeldträger mit EinzellastenBerechnung nach der E-Theorie II.Ordnung fy,k = 36,00 kN/cm²Elastizitätsmodul: 21.000 kN/cm² γΜ= 1,10 Abminderung von fy,k, E, G Schubmodul: 8.100 kN/cm² Genauigkeitsschranke für ηki = 1,0E-04ηki berechnen? ja ηki = 1,0850 gewählte Iterationsschritte: 40Stababschnitte Trägerlänge: 3000 cm Σ n= 60 max. Querschnittsausnutz.: 0,954

Abschnitt: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Länge [cm]: 800 1400 800Elemente: 16 28 16

Lager und Punktfedern -1=fest; 0=frei; Wert>0:Feder; -2= alle fest (im Stab) Stelle x = 0 800 2200 3.000

uS = -1vM = -1 -1 -1 -1vM' =wM = -1 -1 -1 -1wM' =

ϑ = -1 -1 -1 -1ϑ' =


Seite 48

Eingabe des Eigengewichtes Bei der Eingabe der Vorverformungen ist zu beachten, daß die Verformung im Sinne der ersten Kippeigenform gestaltet wird. Im weiteren ist die höhere Vorverfor-mung in der schwachen Achse zu beachten. Die Ausgabe der Verformungen erlaubt eine einfache Kontrolle der Eingabe.

Das Ergebnis der Be-rechnung ist die Darstel-lung der Profilausnutzung: Die maximale Auslastung beträgt 0,954, d.h. sie wä-

re gerade zu to-lerieren.

Die Schnittkräfte bezogen auf das verformte System, die dieser Auslastung zugrunde liegen: Die Normalkräfte entstehen durch die Verformungen. Kräfte in kN und kNcm Die Auslastung des Profils wird sehr stark durch die Torsionsspannung beeinflußt, da das Torsionswiderstandsmoment des Trägers nicht sehr groß ist. Eine Berechnung elastisch – plastisch fordert jedoch, diese Beanspru-chungen zu ermitteln und in der Berechnung zu verfolgen.

Gleichstreckenlastenvon x bis x qz yp zp

[cm] [cm] [kN/cm] [cm] [cm]0 3.000 0,050 0,00

Einzellasten Einheiten: kN und cmStelle x = 500 1.000 1.500 2.000 2.500

Fx=Fy=

MzL=Fz= 750,00 750,00 750,00 750,00 750,00

MyL=MxL=MωL=yFx =zFx =yFy =zFy =yFz =zFz = -50,00 -50,00 -50,00 -50,00 -50,00

Vorverformungen Art: geradlinig + Parabel

von x bis x w-A w-E w-M v-A v-E v-M ϑ-A ϑ-E ϑ-M[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [rad] [rad] [rad]

0 800 0,00 0,00 -3,00 0,00 0,00 3,00800 2.200 0,00 0,00 5,00 0,00 0,00 -5,00

2.200 3.000 0,00 0,00 -3,00 0,00 0,00 3,00



Ausnutzung TSV

0,001,002,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

x/l

########

Verschiebung w-1

0

1

2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

Verschiebung v-10

-5

0

5

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

Verdrehung ϑ-0,2

-0,15-0,1

-0,050

0,05

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

Vorverformung v0

-1,00E+01

-5,00E+00

0,00E+00

5,00E+00

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

Vorverformung w0

-5,00E+00

0,00E+00

5,00E+00

1,00E+01

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l


Seite 49

Die Beanspruchung des Trägers ist sehr stark von dem Einfluß der Verformung bestimmt, da sich 1134,1=η ergeben hat. In diesem Fall ist ein großer Effekt zu erwarten, wenn die unter 4.3.4 beschrie-bene Torsionsaussteifung eingebaut wird. Es wird ein HEA 900 gewählt und unter der 2. und 4. Last wird ein Kasten aus 2 U 400 eingeschweißt. So ergibt sich:

( )

310

2

2

10923,284

8.11

2.252

4.11

2.382

2.252.3841.1

8100

4

kNcmcm

cmcmcmcm

cmcmcmkN

h

tb

AGhIGC

i

i

mT

⋅=

=⋅

⋅+⋅

⋅⋅⋅

⋅=

=⋅⋅=⋅⋅=∑

ω

Die Eingabe ändert sich hier indem die Verdrehfeder eingegeben wird:

Das Profil kann auf ein HEA 900 geändert werden: Die Auslastung ergibt sich hier zu: 0,777 < 1 (<0.954)

QuerschnittswerteHEA 900 Querschnitt Typ: 3

A= 320,53 cm2 yM = 0,00 cmIz = 13.547 cm4 zM = 0,00 cmIy = 422.075 cm4 ry = 0,00 cmIT = 736,77 cm4 rz = 0,00 cmIω = 24.961.500 cm6 rω = 0,00


Vy-100,0

-50,0

0,0

50,0

100,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

Mz-20000

0

20000

40000

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l

Vz-2000,0

-1000,0

0,0

1000,0

2000,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l

My-400000

-200000

0200000

400000

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

-10000

-5000

0

5000

10000

0,0 0,5 1,0

x/lMxp Mxs

Mω-2000000

-1000000

0

1000000

2000000

0,00 0,50 1,00

x/l

N-20,0

0,0

20,0

40,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l

Lager und Punktfedern -1=fest; 0=frei; Wert>0:Feder; -2= alle fesStelle x = 0 800 1000 2.000 2.200 3.000

uS = -1vM = -1 -1 -1 -1vM' =wM = -1 -1 -1 -1wM' =

ϑ = -1 -1 -1 -1ϑ' = 2,923E+10 2,9E+10


Seite 50

Der Faktor zur Instabilität wird hier: 1433,1=η Es zeigt sich, daß hier etwa 25% des Materials eingespart werden konnte und die Sicherheit leicht zunimmt. Die Schnittkräfte der beiden Systeme können ver-glichen werden:



Ausnutzung TSV

0,000,501,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

x/l



Verdrehung ϑ

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

x/l

Verschiebung v

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

x/l

Besonders zu beachten ist die Änderungder Torsionsmomente. Die Torsion wirdnun hauptsächlich durch sekundäreTorsion (Wölbkrafttorsion) getragen. Der Beispielfall ist insofern ein kritischerFall, als schon geringe Horizontalkräftezum Versagen des Systems führen dürf-ten. Mithin ist die Konstruktion aber wienachgewiesen zulässig. Auch an der Eigenform ist die Wirkungder eingeschweißten U Profile zu erken-nen.


Vy-40,0

-20,0

0,0

20,0

40,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

Mz-10000

0

10000

20000

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l

Vz-2000,0

-1000,0

0,0

1000,0

2000,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l

My-400000

-200000

0200000

400000

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

x/l

-6000-4000-2000

0200040006000

0,0 0,5 1,0

x/lMxp Mxs

Mω-1000000

-500000

0

500000

1000000

0,00 0,50 1,00

x/l

N-20,0

0,0

20,0

40,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l


Seite 51

Eine weitere konstruktive Möglichkeit wäre es, den Obergurt durch einen Verband auszusteifen. Auch diese Berechnung soll mit dem Programm gezeigt werden: Das Fachwerk wird am Obergurt ange-bracht. Es stabilisiert gleichzeitig einen ebenso belasteten parallelen Träger. Dieses Fachwerk steift den Träger im Ab-stand von 2 m aus. Es besteht aus den Trä-gerobergurten und Rundstahldiagonalen 2d=20 sowie Druckstreben aus Winkelstahl. Es sind zwei Formen des Stabilitäts-versagens vorstellbar: Der Träger kann auf einer Welle kippen, die aller 2 m gehalten ist oder er kann unter Verformung des Fachwerkes kip-pen. Beide Fälle sind nachweispflichtig. Für den Nachweis des Kippens auf der Welle, die aller 2 m gehalten wird, eignet sich das Verfahren, den Obergurt als Druckstab zu betrachten. Die Berech-nung ist bekannt und wird hier nicht betrachtet. Das Kippen mit Verformung des Fachwerkes muß mit KSTAB nachgewiesen werden. Die Wirkung des Fachwerkes ist im wesentlichen eine Schubverformung, da Fachwerke dieser Art sich durch die Verformungsarbeit der Diagonalen durchbiegen. Die Schubsteifigkeit des Trägers ermittelt sich zu

Mit diesem zusätzlichen Verband wird nun die Berechnung mit KSTAB durchgeführt. Es zeigt sich, daß nunmehr der HEA 900 gut ausreicht, um die Standsicherheit herzustellen. Im einzelnen werden die Ergebnisse:

Hier zeigt sich, daß die Verstärkung mit eingeschweißten U – Profilen ähnlich wirksam ist, wie der Einbau eines Verbandes.

Die Eigenform ist hier dargestellt. Der Eigenwert ergibt sich hier etwas höher als mit der Wölbeis-steifung. Das Fachwerk kann mit den Ergebnissen der Be-rechnung nach Theorie II. Ordnung erfolgen. Da an dem Fachwerk zwei Träger stabilisiert werden müssen, ist der Bemessung des Fachwerkes die doppelte Schubfeldkraft zuzuweisen. Die Schub-feldkraft wird von Kstab ausgegeben. Zur Berech-nung ist es auch möglich, die Schubfeldkräfte nu-merisch auszugeben. Schubfeldkräfte sind die

Querkräfte im nachzuweisenden Fachwerk. So kann die Diagonale nachgewiesen werden:

( ) 2003,92/2202cmkNkNd =⋅⋅= πσ

8 m

tef 2.6λ h⋅

d3

FD

h3

Fv+

λ3

121Fo

1Fu

+

⋅+

⋅:=

tef 0.24mm=

T1E

2.6tef⋅ h⋅:= T1 38733kN=

TwirksT12

:= Twirks 19366kN=

Schubfeld Sd*: 1,8E+04 kN zS* = -45,00 cm Abstand der Schubfeldsteifikeit Sd* vom Schwerpunkt



Ausnutzung TSV

0,000,501,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

x/l

(Werte unterhalb der x/l-Achse positiv) unterer Grenzwert für ηki = 1,730957oberer Grenzwert für ηki = 1,731201

Mittelwert für ηki = 1,731079

Verdrehung ϑ

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

x/l

Verschiebung v

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

x/l


Seite 52

Schubfeldkräfte QS*

-30,0-20,0-10,0

0,010,020,030,0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

x/l

QS*

in [k

N]

Ersatzblechdicken für Fachwerke nach Roik:


Seite 53

4.3.7 Zur Aussteifung von Dachbindern

Dachbinder oder Dachträger werden häufig durch Verbände ausgesteift. Die-se Verbände übernehmen dann Wind- und Stabilisierungslasten. Die anzuset-zenden Aussteifungslasten sind nicht in DIN 18800 festgelegt. Es ist auf den EC 3 zurückzugreifen. Von einem Verstoß gegen das Mischungsverbot ist nicht auszugehen, da andere Festlegungen nicht existieren. Eine Arbeit von Prof. Gerold versucht, diesen Ansatz durch eine geschlossene Theorie zu ersetzen, die zu wesentlich geringeren Beanspru-

chungen führt. Ein ähnlicher Ansatz fin-det sich auch bei Petersen. Beide Theorien gehen aber von Fach-werkträgern aus. Sind als Hallenrahmen jedoch Vollwandträger auszusteifen, so liegen die Verhältnisse günstiger, da diese Träger auch eine Torsionssteifigkeit besitzen. So ist diese Beanspruchung auch aus den Ergebnissen von Kstab zu entnehmen. Da die Berechnung hier aber ein Sicherheitselement darstellt, ist auf ex-akte Eingabe der Vorverformung zu achten.

4.4 Kippen von Stahlbetonbindern Auch Stahlbetontragwerke sind grundsätzlich auf Kippen zu untersuchen. DIN 1045-01 gibt eine Grenze an, bei der auf einen Nachweis verzichtet werden darf. Demnach sind Binder ohne Kipp-nachweis zulässig, solange gilt:

4

30

50hlb t ⋅

≥

mit: b - Breite des Druckgurtes h - Trägerhöhe l0t - Die Länge des Druckgurtes zwischen seitlichen Stützen. Wird diese Begrenzung nicht eingehalten, so ist ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung erforder-lich. DIN 1045 gibt für diesen Nachweis eine ungewollte Torsionsbelastung (im Sinne einer unge-

wollten Ausmitte) an. Diese beträgt ql⋅

300. Die Auswirkung dieser ungewollten Ausmitte ist re-

gelmäßig auch für die Aussteifungskonstruktion des Auflagers zu untersuchen. Nach den Angaben der Norm ist die Kippsicherheit nichtlinear zu untersuchen mit dem beschrie-benen Ansatz nach Abschnitt 8.6.1(7) (siehe 2.4.2). Für eine solche Berechnung muß ein geeigne-tes Programm vorliegen.


Seite 54

4.4.1 Übliche Näherungsansätze in der Literatur

• Das Verfahren nach Stiglat Ein sehr gebräuchlicher Verfahren zum Nachweis der Kippsicherheit hat Stiglat 1971ein Nähe-rungsverfahren vorgeschlagen, daß auf einer einfachen Auswertung der Gleichungen der elasti-schen Lösung für einen gabelgelagerten wölbfreien Einfeldträger beruht. Im Unterschied zu einer elastischen Berechnung wird die Torsionssteifigkeit (Reine Torsion) auf 60% des elastischen Wer-tes abgemindert. Die besonderen Eigenschaften des Stahlbetons, d.h. die Nichtlinearität der Last- Verformungskurve wird mit einer tabellierten Funktion eingearbeitet. Die Gleichungen von Stiglat in der Form von 199120 vollständig mit den Ansätzen von DIN 1045 – 01 kompatibel. Sie zeichnen sich durch sehr einfache Handhabung aus. Ein ganz ähnliches Verfahren war in TGL 33405/01 vorgeschrieben. Mit diesem Verfahren läßt sich der Kippeigenwert in einer Gleichung ausdrücken.

• Das Verfahren nach Mehlhorn Beim Verfahren von Mehlhorn wird der Kippeigenwert des Stahlbetonbalkens mit einem sinusför-migen Verformungsansatz bei einer parabelförmigen Momentenfläche bestimmt. Für den Verlauf

der Steifigkeit wird ein Ansatz der dargestellten Form gewählt. Da-mit können die Kippeigenwerte bereitgestellt werden. Die Schnitt-kräfte aus Theorie II. Ordnung werden nun mit dem VIANELLO-Verfahren aus denen aus der ungewollten (und der planmäßigen) Ausmitte ermittelt. Zur Berechnung der Eigenwerte werden Hilfswer-te in Tafeln angeboten, so daß sich das Verfahren durchaus zur Handrechnung eignet. Es besteht jedoch das Problem, die wirksa-men Steifigkeiten zu erfassen. Dies kann grundsätzlich durch Aus-wertung der Bemessungsregeln erfolgen, da diese Ansätze für die Berechnung von Kippproblemen empfohlen wird. Es werden ver-schiedene weniger genaue Näherungen empfohlen, bei denen es möglich ist, auf genaue Berechnung der Steifigkeiten zu verzichten.

Das Verfahren nach Mehlhorn ist damit ohne weiteres im Rahmen der DIN 1045-01 anzuwenden.

Mit diesen Werten wird eine Erhöhung des Biegemomentes nach Theorie II. Ordnung ermittelt. Diese ergibt sich zu:

20 Abgedruckt in Beton- und Stahlbetonbau 1991 Seite 237 - 240

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

500

1000Verlauf von EI

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

5

10

15Verlauf von GI_t

EI ξ( ) E I0⋅ ∆E I0⋅ sin π ξ⋅( )⋅−:=

GIt ξ( ) G It⋅ ∆G It⋅ sin π ξ⋅( )⋅−:=

Mm cE Iz⋅ G⋅ It⋅

l⋅

mit

c π k1⋅ c1 c12 k3+ k4

E Ir⋅

G It⋅⋅+ k5

pz l2⋅ az zM−( )⋅

G It⋅⋅++

⋅

wobei

c1π

lk1⋅

E Iz⋅

G It⋅⋅ zM⋅ k2⋅

k1 1.283=

k22

π2

23

−448

27π3

xb⋅+

k3 134

xb xt⋅+83π

xb xt+( )−

k423

2

π2

−448

27π3

xb⋅+

k51

π2

8

3π3

xb−

0 0.2 0.4 0.6 0.83000

3200

3400

3600

3800

4000

4200

4400

4600

4800

5000Itm=ItrItm=0.9ItrItm=0.8Itr Itm=0.7ItrItm=0.6ItrItm=0.5ItrItm=0.4ItrItm=0.3ItrItm=0.2ItrItm=0.1ItrItm=0

Kritisches Moment

Biegesteifigkeit mitte zu Rand

Kip

pmom

ent


Seite 55

Dieses Moment ist der Bemessung zugrunde zu legen. Das Problem dieser Berechnung ist die Bestimmung der wirksamen Steifigkeiten. Diese können mit den von Röder beschriebenen Verfah-ren errechnet werden. Die Berechnungen lassen sich programmieren und damit für die Praxis handhabbar machen.

Die Anwendung des Vianelloverfahrens ergibt:

ηkiMm

γl My.I⋅νM.m ν0.M.m

ηki2

ηki2

1−

⋅

und damit die Verformung:

θII

Mm νM.m⋅ηki

2

ηki2

1−

0.93+

⋅ 0.93Mm az zM−( )⋅ θ0⋅−

1.15G It⋅ 1 0.85xt−( )⋅ 0.53 E Ir⋅ 2zM Mm⋅− 0.93Mm az zM−( )⋅+ +θ0+

Als Näherung wird die Torsionssteifigkeit konstant angenommen:

θII

γF My.I⋅ νM.m⋅π

2

31+

ηki2

ηki2

1−

⋅ 4+

⋅

π2

2G⋅ It⋅

θ0+

Wird als weitere Näherung die Biegesteifigkeit in der starken Achse konstant angenommen,ergibt sich

θII

γF My.I⋅ νM.m⋅ηki

2

ηki2

1−

0.81+

⋅

G It⋅θ0+

Mu γlMy.I 1 θII2

+⋅

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