© G. Schulz, 2011, Cluster aus Spinteilchen, Ergebnisse aus der Zahlenlehre.

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Cluster aus Spinteilchen

III. Teil Ergebnisse aus der Zahlenlehre

G. Schulz

Universität des Saarlandes

Fakultät 7 für Physik und Mechatronik

Februar 2011

Zur Kondensation von Spinteilchen auf festen Oberflächen kommt es nur, wenn sich als Vor-

stufe Cluster aus Spinteilchen gebildet haben. Es können unter den gleichen Voraussetzungen

wie in Teil I und II dieser Untersuchungen Methoden und Ergebnisse aus der Zahlentheorie

herangezogen werden, um Cluster aus endlich vielen Teilchen mit Drehsinn darzustellen. Im

Verlauf der Untersuchungen hat sich herausgestellt, dass Pythagoreischen Tripel aus ganzen

Zahlen geeignete Größen sind – mit einer Reihe von Eigenschaften, Strukturen und Symmet-

rien, die bisher kaum beachtet worden sind und demzufolge auch in der Physik der Kondensa-

tion von Spinteilchen bisher keine Rolle gespielt haben.

Im Abschnitt I dieser Untersuchungen soll die strukturierende Wirkung der Diophantichen

Gleichung nnn cba im Zahlenraum anschaulich dargestellt werden und zwar für den ein-

fachsten und – nach einer Anmerkung von Pierre de Fermat – allein lösbaren Fall n = 2, also

in der Form des Satzes von Pythagoras, wonach im rechtwinkligen Dreieck die Summe der

Quadrate über den Katheten a und b gleich dem Quadrat über der Hypothenuse c ist. In der

nachfolgenden Abbn. III.1 a und b sind die Werte von a/c als Funktion von a eingetragen,

unter der Bedingung, dass a, b und c ganze Zahlen aus dem Bereich von 1 bis 40000 sind und

die Gleichung 222 cba oder 2)/cos(a)/cos(a cbca erfüllen.

0 5000 10000 15000 20000 25000

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

a/c

a

c = 1 (2) 40000

a = 1 (2) c - 1

c2 - a

2 = b

2

mit Wiederholungen

0 5000 10000 15000 20000 25000

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

2/1

c = 1 (2) 40000

a = 1 (2) c - 1

c2 - a

2 = b

2

ohne Wiederholung

a/c

b

Dargestellt sind nur die (ganzen) ungeraden Zahlen a dividiert durch die größeren (ganzen)

ungeraden Zahlen c, die dem Satz von Pythagoras genügen, hier als Funktion eben dieser

kleineren (ganzen) Zahl a. Es wurden alle Zahlen von a = 1 bis 40000 zugelassen, deren a/c

größer oder kleiner 21 ist, links mit, rechts ohne mögliche Wiederholungen der Werte von

a/c.

Die ganz offensichtliche Gruppierung der Zahlen zu Linien und Kurven erwächst allein aus

der Bedingung, dass die Zahlen a, b und c dem Satz des Pythagoras genügen. Wenn man be-

achtet, dass a/c im rechtwinkligen Dreieck des Pythagoras den Sinus des Winkels α gegen-

über der (kürzeren) Kathete a ist, dann bedeutet der Unterschied zwischen den beiden Abbil-

dungen lediglich, dass in der einen jeder Winkel nur einmal zu jedem a gezählt worden ist, in

der anderen aber so oft, wie die zugehörigen Zahlenpaare auftreten, (woraus vor allem die

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horizontalen Gruppierungen entstehen). Im gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck können

nicht alle drei Größen ganzzahlig sein. Infolgedessen trennt die Linie 21 die beiden Berei-

che und bleibt selber unbesetzt. Die Pythagoreischen Tripel (a, b, c) wurden hier und werden

auch im Folgenden mit Hilfe eines extrem schnellen Operators, dem sog. Ganzzahlteiler T(n),

aus Teil I dieser Untersuchungen gewonnen.

Im Abschnitt II wird der "Pythagoras" als Bedingungsgleichung dem Teileroperator vorge-

schaltet, so dass Cluster aus endlich vielen Spinteilchen sehr schnell und in (fast) beliebiger

Größe gewonnen werden können.

Anmerkung: Im Folgenden geht es nicht darum, den Satz vom Pythagoras noch einmal

zu bewiesen und dem zweihundertzwanzigstem mathematischen Beweis den zweihun-

derteinundzwanzigsten Beweis für die Gültigkeit dieses Satzes hinzuzufügen, sondern

einzig darum, aus einfachen zahlentheoretischen Strukturen eine physikalisch sinnvol-

le Beschreibung für Cluster aus Spinteilchen zu entwickeln.

I. Die Reduktionen der Diophantischen Gleichung für n = 2.

Wir betrachten – gewissermaßen als Anwendungsbeispiel für den Teileroperator – den Satz

des Pythagoras, bekannt als Diophantische Gleichung mit dem Exponenten 2

222 bac (III,1)

in der Form

2)()( bacac (III,2)

und suchen nach Lösungen mit ganzen Zahlen für a, b und c. Um die Masse der nur wiederho-

lenden Lösungen mit gleichen Winkeln (ausgedrückt durch das Verhältnis von Kathete zu

Hypothenuse) abzustreifen und Lösungen zu eliminieren, die durch eine bloße Multiplikation

der beiden Katheten und der Hypothenuse mit demselben Faktor entstehen oder durch bloße

Parallelverschienung der Hypothenuse zustande kommen, sollen für c und a zunächst nur un-

gerade Zahlen zugelassen werden. Dann ist b notwendigerweise eine gerade Zahl und darüber

hinaus eindeutig bestimmt, wenn für c und a Primzahlen gewählt werden, wenn also gilt

(gerade) g b und papc (III,3)

mit pν und pμ aus der natürlichen Reihenfolge der Primzahlen mit bis 5 . Die

ganzen Zahlen a und c liefern eine Lösung, wenn auch das Produkt aus Summe und Differenz

in Glg. III.2 eine ganze Zahl ergibt, so dass mit dem Ganzzahlteiler entschieden werden kann,

welche c und a eine gültige Lösung liefern. In Tabelle III, 1 sind die Pythagoreischen Prim-

zahltupel aus dem Zahlenbereich von 5 bis 16381 jeweils mit der einzig möglichen zugehöri-

gen geraden Zahl eingetragen

Tab. III,1 (von oben nach unten zu lesen)

ν *) 3 6 18 42 82 271 284 369 445 682 1069 1193 1900

pν= c 5 13 61 181 421 1741 1861 2521 3121 5101 8581 9661 16381

pμ= a 3 5 11 19 29 59 61 71 79 101 131 139 181

g = b 4 12 60 180 420 1740 1860 2520 3120 5100 8580 9660 16380

Man erkennt sofort, dass gilt b = φ(c). Das heißt, die einzige gerade Zahl, die mit den Prim-

zahlen pc und pa die Gleichung des Pythagoras erfüllt, ist die Eulerzahl der Hypothenuse. Aus

2)()( abpbp cc (III, 4)

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folgt mit b = φ(c) = pc - 1

2)12( apc , (III,5)

was anzeigt, dass die Gleichung des Pythagoras für Primzahlen nicht eine quadratische, son-

dern nur eine semiquadratische Beziehung zwischen a, b und c ist. Schon dieser Befund be-

deutet für vielerlei Anwendungen eine erhebliche Reduktion des numerischen Aufwandes.

Ferner sollte man beachten, dass der Teiler der rechten Seite der Glg. III.5 gleich 3 ist und da

der Teiler der linken Seite gleich dem Teiler der rechten Seite einer Gleichung sein muss, gilt:

3)12( cp (III,6)

Diese einfache Struktur zeigt, dass von nur einer Primzahl als Hypothenuse ein ganzes Py-

thagoreisches Tripel aufgespannt werden kann. Die zugehörige zweite Primzahl a und die

einzig mögliche zugehörige gerade Zahl b sind durch diese eine Primzahl eindeutig gegeben:

1-p2 a und cb c )( (III,7)

In Abb. III.2a sind die Quotienten der Primzahlen 21ca mit roten Kreisen umrundet,

sie liegen alle auf der unteren Grenzkurve für alle (!) möglichen Werte von a und c in einem

Pythagoreischen Tripel.

0 5000 10000 15000 20000

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

c

a/cc = p, b = c-1

c = uc = 1(2)20000

b = 2(2)c-1

0 5000 10000 15000 20000

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

c

a/c

c = 1 (2) cE

b = 2 (2) c -1

Y = (2n - 1)2

Abb. III.2a u. b Relativwete der (kleineren) Kathete a/c als Funktion von c. Diese Darstellung entspricht der

Darstellung der Eulerzahlen φ(c) als relative oder reduzierte Eulerzahl ρ(c) = φ(c)/c

Ersetzt man nun in dieser Struktur die Primzahlen pc durch die ungeraden Zahlen uc so erhält

man für die Lösungen die Werte, die in Abb. III.2 durch kleine Quadrate gekennzeichnet sind

und auch diese Werte liegen samt und sonders auf der unteren Grenzkurve. In dieser Verall-

gemeinerung ist zwar 1 nochimmer aber , )( cubcb .

Eine weitere Verallgemeinerung der Struktur gelingt, wenn für b alle geraden Zahlen zugelas-

sen werden, sofern nur a, b und c ein Pythagoreisches Tripel bilden (aus Gründen der Über-

sichtlichkeit eingeschränkt auf die Werte von a/c < 1/√2 ohne Wiederholung). Die Ergebnisse

sind in Abb. III.2a u. b als kleine Quadrate in die Fläche eingetragen. Außerdem sind in Abb.

III.2b die stetigen Funktionen

)//2()( 2xYxYxy (III,8)

mit der Ordinate y ≈ a/c (im Maß von a/c), der Abszisse x ≈ uc (im Maß von uc) und dem Pa-

rameter

40)12()( 2 N1... n mit nbuY c (III,9)

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eingetragen. Die Funktionen zeigen, wie aus einem scheinbar ungeordneten Zahlenhimmel

eine wohlgeordnete Gesamtheit von Zahlen wird, sofern für die Differenzen (uc – b) die

Quadrate ungerader Zahlen eingesetzt werden.

Als eine weitere und entscheidende Erweiterung der Pythagoreischen Strukturen wird für die

(kleinere) Kathete k1 in Glg. III.2 eine beliebige Zahl k1 = 1 (1) 20000 (zu lesen von 1 in Einer-

schritten bis 20000) zugelassen, also sowohl gerade wie auch ungerade Zahlen. Wiederholungen

werden in diesem Falle allein durch die einschränkende Bedingung 21/1 ck vermieden.

Das Resultat ist in den Abbn. III 3.a und b dargestellt.

0 5000 10000 15000 20000

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8 k1/c

c

Abb. III.3a rot markiert mit c und a als Primzahlen und b = φ(c), schwarz c = 1(2)20000, k1 =1 (1) c-1.

0 5000 10000 15000 20000

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

c

k1/c

Abb. III.3b wie Abb. III.3a ergänzt durch die stetigen Funktionen )//2()( 2xYxYxy mit

rot Y1 = (2n - 1)2, blau Y2 = 2Y1 und schwarz Y3 = 8n

2 für die Differenzen Y = c – k1

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Weitere Strukturen sind aus der graphischen Darstellung der reduzierten Lösungen unmittel-

bar abzulesen, insbesondere die geradezu abstoßende Wirkung, die die Lösungen für die

Primzahlen (in Abb. III 3a durch rote Kreise markiert) und einige (kleine) reguläre ungerade

Zahlen auf die Lösungen der anderen ungeraden regulären Zahlen in ihrer Umgebung ausü-

ben, wodurch trichterförmige Einbuchtungen entstehen – oder die nach rechts neigenden Kur-

ven, die von der Grenzkurve ausgehend im Bereich größer 21 sättigungsartig gegen 1 stre-

ben – und unübersehbar auch die Gruppierungen, die in 1 beginnend auf der Sättigungskurve

enden und damit (wie bereits in Teil II ausgeführt) endlich viele Partikulare repräsentieren.

Alle diese Strukturen sind im Grundmuster der Pythagoreischen Tripel (a, b, c) mit den

Primzahlen a und c und der Eulerzahl b = φ(c) vorgezeichnet – oder allgemeiner – durch Re-

duktion der Teilerfunktion, τ als Funktion von )2( YpY c auf die speziellen Werte, die

mit 1Y auf den Wert 3 hinstreben

),,3()2(( YpYpY cc , (III,10)

Der Teileroperator jjT )( selbst enthält explizit keine quadratischen Größen wie in sei-

nem Argument höchstens noch Y als Parameter.

Eine solche oder auch nur ähnliche Struktur oder Reduktion der Diophantischen Gleichung

ist für n ≥ 3 nicht zu finden und daher war es auch von Anfang an müßig, nach Lösungen für

Exponenten größer als n = 2 zu suchen.

Anmerkung: Es darf angenommen werden, dass Pierre de Fermat diese Zusammen-

hänge selbstverständlich gekannt und durchschaut hat, und da von ihm bekannt ist,

dass er ein großer Spötter war, er sich köstlich amüsiert haben muss, wenn er erfuhr,

dass seine Zeitgenossen und Nachfolger trotzdem immer wieder (vergeblich!) nach

Lösungen für n ≥ 3 gesucht haben.

II. Zum Drehsinn der Pythagoreischen Tripel ( a, b, c)

Im Folgenden wird a < b < c vorausgesetzt oder weniger einschränkend ckk 21 .

2/2

1cba

bac rechts drehend

bac links drehend

2/2

1cba

Abb. III.4 Zum Drehsinn rechtwinkliger, nicht gleichschenkliger Dreiecke die nicht durch bloße Drehung in der

Ebene ineinander überführt werden können.

b

a

a

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Gleichschenklige, rechtwinklige Dreiecke mit a = b und also acac 22 22 sind

von diesen Betrachtungen auszuschließen, da ihnen kein Drehsinn eindeutig zugeordnet wer-

den kann und sie den Satz vom Pythagoras mit ganzen Zahlen für die Katheten und die Hypo-

thenuse nicht erfüllen.

Schreibt man: ca /)sin( , so heißt a/c : "a gemessen in Einheiten von c" wie auch b/c : "b

gemessen in Einheiten von c". Und wie in allen Pythagoreischen Dreiecken

1)(sin)(sin 22 gilt, so ist in diesen Maßen die Fläche der Dreiecke )/()/( cbcaF

von einheitlicher Größe und mithin auch die Flächennormale FN 2

1 von einheitlicher

Länge, aber positiv oder negativ, je nach Vorzeichen der Winkel, die beim Übergang von c

nach a und weiter nach b beschrieben werden. Wegen der Ähnlichkeit der "Pythagoreischen"

Flächennormalen mit dem in der Physik definierten Spin sprechen wir auch hier abkürzend

von "Spinteilchen", wenn damit die Elemente eines Clusters mit Drehsinn bezeichnet werden

sollen. Physikalisch sinnvoll bzw. thermodynamisch relevant werden solche Größen natürlich

erst, wenn man den "Drehsinn" schließlich mit dem "Drehimpuls" eines Teilchens identifi-

ziert, also mit einer Größe, die Energie zum Beispiel durch Stöße mit gleichen oder anderen

Teilchen oder allgemeiner durch Wechselwirkung mit einem Wärmebad auszutauschen im-

stande ist.

In der Abb. III.5 sind die Tripel unterhalb der Grenzlinie für ganzzahlige Lösungen der Abb.

III.3 ergänzt um die Tripel oberhalb dieser Grenzlinie. Das zeigt, dass die Gruppierungen mit

endlich vielen Teilchen aus dem unteren Bereich stetig – im Sinne von Gruppierungen stetig –

in die des oberen Bereichs übergehen.

0 5000 10000 15000 20000

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

c

(k1,k

2)/c

Abb. III.5 Darstellung der deutlich erkennbaren Gruppierungen im Bereich

2/11k unterhalb und 2/12 k oberhalb

der Grenzlinie mit nicht ganzzahligen Pythagoreischen Dreiecken.

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0 5000 10000 15000 20000-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

2/1

2

1

c

k1,k2/c

II

I

0 5000 10000 15000 20000-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

2/1

c

k1,k2/c

I

II

2

1

Die Anzahl der Tripel mit (c,k1,k2) ist gleich der Zahl der Tripel mit (c,k2,k1). Das heißt: Es

gibt ebenso viele links- wie rechtsdrehende Spinteilchen, die Welt der Spinteilchen ist im

ganzen also nicht chiral (einseitig).

In Abb. III.8 ist die Häufigkeit Z der Pythagoreischen Tripel dargestellt, die in der Menge der

natürlichen Zahlen von 1 bis 40000 mit einer bestimmten Eulerzahl φ(k1) auftreten, und in

Abb. III.9 die Hyperbelabschnitte, die als Cluster hier mit mehr als 14, aber jedenfalls mit

endlich vielen Teilchen aus der schier unendlich großen Menge der natürlichen Zahlen her-

ausbilden können und für die weitere Betrachtung der Kondensation von Spinteilchen infrage

kommen. Wegen Z(φ(k1)) = Z(φ(k2)) können die Hyperbelabschnitte mit gleich großer Anzahl

von Werten nach φ(k2)/k2 > 0.5 fortgesetzt werden.

Abb. III,6 Darstellung der rela-

tiven Werte b/c mit b = k1 <

1/√2 und b = k2 > 1/√2 für alle

geraden k1 und alle ungeraden

k2 ohne Wiederholung (!) durch

die Funktionen

xYxYyI /)2( und

xxYabsyII /)(

Mit den Parametern 2)12(2 nY

Hier willkürlich n = 20 gesetzt

Abb. III,7 Darstellung der rela-

tiven Werte b/c mit b = k1 <

1/√2 und b = k2 > 1/√2 für alle

geraden k2 und alle ungeraden

k1 ohne Wiederholung (!) durch

die Funktionen

xYxYyI /)2( und

xxYabsyII /)(

Mit den Parametern 2)2(2 nY

Hier willkürlich n = 20 gesetzt

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8

0 1000 2000 3000 4000 50000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Z()

14

Ntot

= 40000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0,2

0,3

0,4

0,5

(k1)/k

1

k1

Z(k1

Abb. III.8 Häufigkeit der Pythagoreischen Abb. III.9 Hyperbelabschnitte als

Tripel mit einer bestimmten Eulerzahl φ. Cluster mit endlich vielen Teilchen gleicher

Eulerfunktion

Den Übergang von kurzen Hyperbelabschnitten mit wenig Teilchen zu längeren mit entspre-

chend mehr Teilchen zu beschreiben, wird die Aufgabe eines weiteren Teils dieser Untersu-

chungen werden.

*) (geändert Mai 2011)

schulz@physik.uni-saarland.de

www.uni-saarland.de/fak7/schulz/Artikel