people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc...

41
TSQL2

Transcript of people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc...

Page 1: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

TSQL2

� � � ������� � �� � � � � �

�����������������! �"�#$ &%'%)(

* + ,.- /10 2 354 4 687:9<;>=�?

@BA � @ �DCFEHG:E$IKJ�LNMOI)LK�QPR�&S�TULNJ�VXW'�Y�ZTU�[���&�

Page 2: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

\^] _a` b cedfc�gihkjml[npoOqsrkneteu�vxw&yz�{ ]}|H~ {������ _a��� {��p��� �H�}�p� oaj�g�����u�r�r���� � n ���U��� oadHu����kjmd � j�d��[oad�� � �}�p� oanp� t���u�d[r¡�¡hkn¢o ���z���£ `i] ¤¡~�_¥]¦�¨§ª©�] � _�� {�� u�jm« � jm¬­l�j�nO®�¯k¯a°���teu�vxw�y��)r±¬²¬²jmd � o±n�³\�´¶µ¸·�¹<·º~�§�» � ~�»¼b$½�b � ]¦»¨§¿¾e�À|<|Á] _Â_mb�b

� �}�p� o±n¢�$t���u�d[r¡�¡hkn¢o ��� ��� � o � n Ãed ��Ä j�n ���Å� ³�r±q¨c�n ��Æ rkd�oÇ�ȺɱÊ�ËÌɨÍUÎkÇ�Ï�СѱÒ�ÎÓÍÕÔkÖk× t�Ø ��� rkd��[cxÙÚ g � r�r²c � d cÀtNÛDt8ÜKjmg�g�w�o±l�rkn¢o � rkn � j �αÝ�Ò�Ê�ËßÞ�Ò±à�á[ζÍUÎkÈ�ÈKÍ¢ËaÑ�à �)r±g�Ø[¬�l[Ø � ��âxãä ok�$c�n � o Ä t�j�g�c Ä��iÄ Ãed ��Ä j�n ���i� ³ÎkÇ�ÏaÎkáÌå[Ê�Ë�ËmàºÎ�ϱæ¶Íçå�ÉÂà�Íè×�Ë¡Ï&ÍÕÔkÖk× t�j�g�c Ä��iÄ � Ú � npoajmg��r±d¿Ü'o � rkn�³ Ãed ��Ä j�n ���Å� ³�r±q¨t&jÂé[o �Ö�É�Þ�Ê�ËÌɨÍ�סÈ[Ô±ê[Î�ɨÍUÔkÖ±× ceØ �U��� d���t'ë�Ìoa¬²j � �)g �Åì r±np� íejmîRï¶r±n¢ð^Ãed �iÄ jmn �U�i� ³ñ Ëkæ�Ï¥òÌò¡ÑkÇ[Ê�ÏkÉkó±ôKÍpÉ�È¡ÔkDZÒ'Í�Ò�õk×KÍUÔÌÖa× íejmîRï¶r±n¢ð��¡íNï�)Ø[n ���}�Nö �[��³�n�j � rkd Ãed ��Ä j�n ���Å� ³�r±q¨c�n ��Æ rkd�oË�סÇ�È�ÏkɱÊ�Ë�ɨÍÕÎkÇ�ϥСÑaÒ[ÎÓÍçÔÌÖk× t�Ø ��� rkd��[cxÙ�eo±¬²j ÆDö g�¬�o � n � Ãed ��Ä j�n ���Å� ³�r±q¨t&jÂé[o �Ô¡æßà�Î�É�Ç�ÏaÊ�Ë�ÉaÔÓÍ�סÈ[ζÍÕÔÌÖa× cen¢g � d[h � r±d��[t'ë÷ oal � r ä n¢o±d�� � Ãed ��Ä j�n ���Å�ºøo­� � ÜKr±g�r±h±d�oò¡Î±Þ¼ÏaÑÌÊÌÖ¡Ô�ÏÌÉaùkôKÍpË¡Ï�Ò[Ô�Ë¥ÎÓÍ�ÏßÈ Ü)rkgirkh±d�o�� Ú � oag�³� � n �}�Õ�¢� o±d¿u����±j�d � j�d c�oag�lºr±n¢h�Ã�d �iÄ jmn �U�i� ³Ë�É ñ Ê�Ï¥Ô�ÉaÖ)ÍUÎa×�˨ÍÕÖÌú c�oag�lºr±n¢h��¡��j�d[¬�oan¢ðû r±giqshko±d[h�ü�ýoaqsjmn ��o � ¬²g�jmneÜKjmd Æú[Î�ÔÌò¡Ô±Ç¡þ�òk×[Ð�Ï�Í�×�×�Ëßÿ[Êkå�ÔkÇaàºÎaÒ�õKÍUÔ¥×'Í Ò[ÔkÈ Ãeg�¬ � ä jmn¢¬²o±d�³í ��� ð ü�g � d[j Ãed ��Ä j�n ���Å� ³�r±q¨c�n ��Æ rkd�oú�æ�ÏßÒ�ÔÌÊ�Ë�ɨÍUαÇ�ϥСѱÒ[ζÍUÔ±Ök× t�Ø ��� rkd��[cxÙü�n ����� d�o�ü�Ø[g�ð¥oan¢d � t&o±d��¡jm¬Z�)r±¬²«[Ø � jmn �úÌ×�æ±ú[αÇÌÒ¼Ï � úÌÇ�ÏÌÉ�Ý�Ò[ÎÌÊkÈ�αÒ[Ö�ÔßàeÍp˱Ñ�à �)Ø[«�j�n �¢� d�r����Kct���ï��º�)g �iì w�jmØ[d�h ��o � o²Ü'o � j�t&j �p� d[r±g�r±hk³ Ú d �Õ�¢�Å� Ø � jk� Ú Ü �ËkæÌÔ±×�Ò�å[ÊkáÌÒ�Ô±ÈKÍ�ÏßÞ±àe͢˱Ñ�à u¡oad¿�±r � jk���Kcí � ðkr � w�rkn�j�d �¢Æ r � ceh±n �}� Ø[g � Ø[npoag¼Ã�d �iÄ jmn �U�i� ³^r±q¨c �¢� jmd �Ô¡æ�Ïaѱÿ[Ê�ÏÌɱÑ�Éß×�Ò'ÍUÎkǺϥÎÌÖaÒ�Ô¡óaÈ)Í�å�Ç c ��� j�d � � ä n�j�j � j�kr � d ÷ ���Nr¡�[� �}� ð Ãed ��Ä j�n ���Å� ³�r±qÀu¡r±Ø �¢� c�Ø �U� npoag � oÇ[ÑÌÖ�ÖºÏkË¥ú[ʱ×�Ò�ÏÌɱÎÓÍUÔkÖ±×'ÍçÎ±× t � jDw�j Ä jmg � ��u¡r±Ø �¢� c�Ø �U� npoag � oc�n � jOu�jmhkj Ä Ãed ��Ä j�n ���Å� ³�r±q¶�Ko±g � qsr±n¢d � oɱÔkå[Ôká¡Ê�Ë�É¥ÇKÍUæaÞ�æ¶Íçå¡Ñ±á Ü)j�n�ðkjmg�jm³k�[�Kc�H�}�p� o±jmg��­��u�r�r Ãed ��Ä j�n ���Å� ³�r±q¨c�n ��Æ rkd�oɱÑ�Ñ�Ê�ËÌɨÍUÎkÇ�Ï�СѱÒ�ÎÓÍÕÔkÖk× t�Ø ��� rkd��[cxÙu�Ø�n�³Ìoad�o±n¢o�³Ìoad�o � �ºu�n � «�ok�[o ö Ø[n¢r±«ºj�o±d¿�)r±¬²«[Ø � jmn � Ú d��¡Ø �U� n¢³ �Nj � jßoan �p� �)jmd � n�jÉ¥Ç�Ïßÿ�ÎkÖ¡Î�Ê�Ô�Ë�Ǻ˨ÍÕÖ¡Ô � Ø[d �}�p� � ä j�n�¬�oad�³

�)r±«�³�n � h �k� �� ®ß¯±¯±° �f���p� o±jmg��­��u�r�r���� � n ���U��� oadHu��º�±j�d � j�d���o±d��¿� ���p� oanp� t��ºu�d[r¡�¡h±npo �¢� �Óceg�g�n � h �Ì�¢� n¢j � jmn Ä j����

Page 3: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

�����������

������������������� �!�"� �

#%$&�'���)(+*�����,.-0/1-!2"(+3��4, �

y¡��® u�d�o±« ��� r � u�Ø�«[«�rkn �65758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 yy¡��®±��® ÷ r±n¢¬²o±g ��Æ o ��� r±d 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 yy¡��®±�¦y u�d�oa« ��� r � â�«ºjmnpo � r±n �:575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y

y¡�¦y6;¶oag � � � t � ¬²j�u�Ø[«[«ºr±n �<58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 yy¡�¦y¡��® ÷ r±n¢¬²o±g ��Æ o ��� r±d 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 =

y¡�¦y¡�¦y ;¶o±g � � � t � ¬²j�u � o � j�â�«ºjmnpo � r±n �>5857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 °y¡�¦y¡� = ;¶o±g � � � t � ¬²j ö¶Ä jmd � â�«�j�n¢o � r±n �?57585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 @

y¡� = t&n¢o±d � o ���¢� rkd � t � ¬²j�u¡Ø[«[«ºr±n �A58575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 @

y¡� = ��® ÷ r±n¢¬²o±g ��Æ o ��� r±d 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ¯y¡� = �¦y â�«ºjmnpo � r±n �B585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ¯

y¡� ° Ü �Å� jm¬²«ºr±npoag�u�Ø[«�«�rkn �C58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ® Dy¡� °���® ÷ r±n¢¬²o±g ��Æ o ��� r±d 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ® Dy¡� °��¦y Ü �i� jm¬²«ºr±npoag&â�«ºjmnpo � r±n �E5857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ® D

y¡�GF u�Ø[¬²¬�oan¢³ 58575857585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ® =HJI�KL��(M����(M�ONA*P(+�4,Q���'�4RS�'TU��V�(W$X�"���)(+*�� ��,Y-0/Z-!2"(+3��4, �MH

[%I�KL*��4(MR�R �]\"(_^`�MaX(+� �+[

°���® íej � j �����Å� ³ 58575857585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ®�°°���®±��® bÓn�r)cÕj ���¢� rkd¿â�«ºjmnpo � r±n 575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ®�°°���®±�¦y u�j�gij ���¢� rkdfâ�«ºjmnpo � r±n 58575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ®�F°���®±� = �kr � dHâ�«ºjmnpo � r±n 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ®�F°���®±� ° â�Ø � jmn � �kr � d¿â�«ºjmnpo � r±n 575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ®4d

Page 4: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

°���®±�GF Ã�d � rkd¸â�«�j�n¢o � r±n 585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ®4d°���®±� e � �Åì jmn¢jmd � j­â�«ºjmnpo � rkn 575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ® @°���®±�fd �Nj�d�oa¬²j­â�«ºjmnpo � r±n 58575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ®ß¯°���®±� @ c � â�«ºjmnpo � r±n 5758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ®ß¯°���®±� ¯ u�d�oa« ��� r � â�«ºjmnpo � r±n 58575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ®ß¯°���®±��®�D�u�g �}� j­â�«ºjmnpo � rkn �g585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y)D

°��¦y u�ØQh �m� j�d � ³ 58575857585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y)D°��¦y¡��® ikjQl+jMm+n �)g}oaØ � j 585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y)D°��¦y¡�¦y oMpQl"q r$�)g}oaØ � j 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y[®°��¦y¡� = sMtYu)v �)g�o±Ø � j 5758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y[®°��¦y¡� ° wQxMj t j$�)g}oaØ � j 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 yky°��¦y¡�GF y tYu4zQ{O|M} �)g�o±Ø � j 5958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 yky°��¦y¡� e xMpMo�q ~Qy^�)g}oaØ � j 585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y =

°�� = u�Ø[¬²¬�oan¢³ 58575857585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y =�6���B*�-!(M�g(M��� ,Q�����'� #YH

F¡��®�b¶n¢r�cÕj ���¢� rkd¿â�«ºjmnpo � rkn 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ykFF¡�¦y u�j�gij ����� r±d¸â�«ºjmnpo � r±n 5758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 ykFF¡� = �kr � dfâ�«ºjmnpo � r±n 5857585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y)eF¡� ° â�Ø � jmn � �kr � dHâ�«ºjmnpo � r±n 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y)eF¡�GF Ãed � rkdfâ�«ºjmnpo � r±n 57585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y+dF¡� e � �Åì jmn¢jmd � j­â�«�j�n¢o � rkn 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y+dF¡�fd �)rko±gij ���m� d�h�â�«ºjmnpo � r±n 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y+dF¡� @ u�g ��� j­â�«�j�n¢o � rkn 57585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y+dF¡� ¯ �Nj�d�oa¬²j­â�«ºjmnpo � rkn 585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y @F¡��®�DBâ�« �¢� ¬ ��Æ o �¢� rkd 5857585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y @

�i�

Page 5: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

F¡��®±® u�Ø[«�«�rkn �¢� d[h1�&�4� 585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y @F¡��®ßy u�Ø[¬²¬�oan¢³ 58575857585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y±¯

�J/��4��V��]��(M�)������( #Y�

e[��® �)r±d Ä jmd ��� r±d�o±g¼cen �p�[�Å� j �Â� Ø[n¢j ��575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595 y±¯e[�¦y �xo � o�� �}����� r±d�oan¢³ oad�� �xo � o ÷ � gij ��57585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595�= ye[� = �x��wX�)rk¬²« � g�jmn 57585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595�= ye[� ° v�Ø[j�n�³ �)rk¬²« � g�jmn 57585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595�=k=

e[�GF �NØ[d � �¢� ¬²j öÓÄ o±giØ�o � rkn 58585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595�= °e[� e t&n¢o±d � o ���¢� rkd$oad�� �xo � o � oad�o±h±j�n 57585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595�= °e[�fd u�Ø[¬²¬�oan¢³ 58575857585758585958575857585857585758595858575857585758585758595857585857585758575858595�= °

�%� ���g��,Q���g,.��������� ���4(_���Y��� H"�

�J/1� �����MaS-!(M��2"(M�g(M����R H'�

�i���

Page 6: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

� � �A������>���0����&�

teu�vxw�y �}� o<�¡j � g}oanpo ����Ä jZ�kØ�jmn¢³<g}oad�h±Ø�o±h±j±�¶o±d�� o �­� Ø �p� �Ón�j �kØ � n¢j � o¸«�n�r � jß�¡Ø[npoag9  oag�h±j�l[npo �}��¡ j �ÌØ �iÄ o±gij�d � qsr±n� ¬�«�gij�¬�j�d � o �¢� rkd�� Ú d ������� �¡r � Ø�¬�j�d � �Ìî)jx�¡j �¢� n � lºj � Ø �p� o±d oag�h±j�l[n¢o ��� g}oad�h±Ø�o±h±j±� û j�Ø[d��[jmn � r�r±ð ���[�}� �¡j ��� h±d � dr±np�¡j�n � r ��� r¥î �¢� o � teu�vxw&y � o±d�lºj � ¬²«[gij�¬²jmd � jß�­j¢h �Â� jmd � g�³±�Ìî �Å�¢� ¬ � d � ¬�oag�jmé � jmd �U� r±d²raq�jÂé �}�Õ�¢� d�h � j �p� d � �ÌØ[j � �c � teu�vxw&yO«[n�r Ä�� �¡j � o � r±d �����U� j�d � jÂé � jmd ��� rkd^raq¨u�vxw � ¯ky[�±îKj � ok�^oO«�o±n¢o±gig�jmgºh±rÌoag � d ��� j � rkd �Õ� n�Ø ����� r±d�r±q������� oag�h±j�l[npo[�¨í�oa¬²j�gi³k�Ìî � jmd[j Ä jmn'«ºr �¢�U� l[g�j±��îKj�jÂé � jmd��¼�¡npo �¢� jmn ��� oad ¬²r¡� � qs³±� �¢� j � d�o±« ��� r � n�j�g�o ��� r±d�o±gºo±gihkjml[npo� rÁo �m� r±¬²¬²r¡�[o � j �¢� j teu�vxw�y¿�[o � oH¬²r¡�¡jmg � t ����� jÂé � j�d �U� r±d �}� «ºjmn�qsr±n¢¬²j�� � r¸o±gig�r¥î �¢� j^Ø � j^r±q'j �Õ� oal[g �}�U� jß�r±« ��� ¬ ��Æ o ��� r±d �U� npo � jmh � j � oad���j Ä oag�Ø�o �¢� rkd^oag�h±r±n �i��� ¬ � � Ú d ok�[� �i��� r±d��Ìî)j � o Ä j �¢� j � r±¬²j�î � o �)� r±dQ£ ���Â��� d[hOh±rÌoag[r±q� rk¬²«[gij � j�d[j �¢� � � � j±���[oad�³1�ÌØ[jmn¢³�jÂé¡«[n¢j �¢��� l[g�j � dHteu�vxw�y ��� r±Ø�g��$l�j � ¬²«[g�jm¬²jmd � o±l[g�j�o � oad¿oag�h±jml�n¢o ��� jÂé¡«[n¢j �¢�U� r±d��û j � d¡qsrkn�¬�o±gig�³ �¡j�¬�rkd �U� npo � j � r¥îªteu�vxw&y�g}oad[hkØ�oahkj � g�o±Ø � j � oan¢j � Ø[«�«�rkn � j�� � d ��� jOoag�h±jml�n¢o��û j_¤�n �U� �¡j ��� n � lºj¸oad o±gihkjml[npo<qsr±n ��� j � r±d � jm« � Ø�o±g��[o � o ¬²r¡�¡jmgxØ[d��[jmn¢gi³ � d[h teu�vxw�y�¥ u[c�c`¦À¯±°4§��!c �teu�vxw�y � Ø�«[«�rkn �p����� é � ³�«ºj � raqNn�j�g�o ��� r±d � � � d�oa« ��� r � � Ä o±g � � � ��� ¬²j �U� o � j±� Ä oag � � � �¢� ¬²j j Ä j�d � � � npoad � o �Â��� r±d ��� ¬²j±�l �i� j�¬�«ºr±npoag �U� o � j±�¶o±d�� l �i� j�¬�«ºr±npoagKj Ä jmd � �ÀîKj$�[j �¢� n � lºj ��� é � r±n¢n�j � «ºr±d�� � d[hHrk«�j�n¢o � rkn � j �¢� � t �[��� oag�h±j�l[npo ���¬ � d � ¬�oag � d �¢� o � j�o �p� �¡j¢¤�d[jß� r±«ºjmnpo � rkn ��� Ø � j�� l�³ � r±¬²j � rkd �U� n¢Ø ���O� d ��� j$g�o±d[h±Ø�oah±jk� û j oag � r ��� r¥î � r¥îg}oad[hkØ�oahkj � r±d �Õ� n�Ø �Â�¢� ¬²o±« � r ��� j�oag�h±jml�n¢o�� ��� jmn¢jml�³$«�n�r Ä�� � � d�h^oad � d¡qsr±n¢¬�oag&�[jm¬²r±d �U� npo �¢� rkd ��� o ���¢� j­o±gihkjml[npo� o �N� ØQh �m� j�d � jmé¡«[n�j ������Ä jx«�r¥îKjmn � r � ¬²«[gij�¬²jmd �e��� jDg�o±d[h±Ø�o±h±jk�û �Å�¢�$�¢�[�}�   � r±d � jm« � Ø�oag ¡ oag�h±j�l[npo � d � oad����[î)j � r±d ��� d�Ø[j�l�³$�¡j ��� n � l � d[h�o�¨ª©¬«�¨ª©�­�©¢®Y¯±°4¯³²!�4®�°4´[o±gihkjml[npo �¢� o �� Ø[«[«ºr±n �¢�)��� j � r±d � jm« � Ø�oag � jm¬�oad ���}�m� ��l[Ø �N�}� lºj ��� j�n � Ø �i� jß�^qsrkn'j�h �Â� jmd � �ÌØ[jmn¢³²«[n�r � j �¢�U� d[h�� û jxo ��� Ø[¬²j�o ®ßí ÷� Ø�«[gij � �¢� ¬²j �Õ� oa¬²« � d[hx��o � oe¬�r¡�¡j�gè� �¢� jmn¢jml�³Doag�g�r¥î � d[h ��� j'o±�[o±« � o ��� r±dDr±q�î)j�gig � Ø[d��¡j�n �U� r�r¡� �Õ� r±npoahkj¶r±n¢hko±d �iÆ o �¢� rkd���ÌØ[jmn¢³ r±« �¢� ¬ ��Æ o �¢� rkd��¼oad��W�kØ�jmn¢³$j Ä o±giØ�o ��� r±d � j �p� d � �ÌØ[j � �xt � j � r±n¢n�j � «ºr±d��¡jmd � jDl�j � î)j�jmd �¢� j � r±d � jm« � Ø�o±g�o±d��n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�o±gºo±gihkjml[npo �K�}� �¡j �¢� n � l�jß�¼�t � jNoag�h±jml�n¢o�n�j�«[n¢j � jmd �¢� o ��� d[hkgijk�al[Ø �)� ¬²«ºr±n � oad � �a«�rkn �¢� rkd­r±q�o��[o � o±l�o � j'¬²o±d�oahkjm¬²jmd �¶� ³ �U� j�¬E  �xÜ � u ¡� Ø[«[«ºr±n ��� d[h�teu�vxw&y¡� û jxl�n � j�£�³^� ���¢� Ø �¢�K� r¥î � Ø �p� o���Ü � u � o±d^lºjxn¢j�o±g ��Æ jß�¼�Àc � î �i���$��� j�oag�h±j�l[n¢o��kîKj �Õ� oan �î �i��� o � r±d Ä jmd ��� r±d�o±g���Ü � u¸oan �p�[�i� j �Â� Ø[n¢jOoad��H¬ � d � ¬�oag�gi³¿jmé � jmd�� �Å� î �Å�¢�H� j�¬�«ºr±npoag � Ø�«[«�rkn � � ��� j�n�j�l̳ Ø ��� d�hj �U� o±l[g ����� j�� � j �p� d[rkgirkh � j � oad��¿o±gihkr±n �Å�¢� ¬ � î � jmd[j Ä jmn'«ºr �¢�U� l[g�j±�t � j�n¢jm¬�o � d��[jmn'raq ��� j�«�o±«�j�n ��� r±n¢hko±d ��Æ j��$o � qsr±g�g�r¥î � � Ú d¿u¡j ���¢� rkd¿y[�¡î)j��¡j¢¤�d[j ��� j � r±d � jm« � Ø�oag¼o±gihkjml[npoØ ��� d�h ��� j � Ø[«[g�jOn¢jmg}o �¢� rkd�oag � oag � Ø[g�Ø � �Kt � j­�¡j �¢� n � « ��� r±d¿raq ��� j�oag�h±j�l[n¢o �}� rkn�hÌoad ��Æ jß�$o±n�rkØ[d�� ��� j � «ºj �m� ¤ � �[o � o¬²r¡�¡jmg �¨� Ø[«�«�rkn � j��Ol�³ �¢� j'g�o±d[h±Ø�o±h±jk��c l�n � jÂq�� ���¢� Ø �¢��� rkd�raqºo±�[� �i��� r±d�oag�r±«ºjmnpo � r±n �¼��� o �À� oad­l�jN�¡j¢¤�d[jß� � d � jmn¢¬ �raq �¢� j � r±n¢jÀr±«ºjmnpo � rkn ��� dD«[n¢r Ä�� �[j�� � d�u�j �Â��� r±d = � Ú d­u�j ����� r±dD°���î)j¶jmé[oa¬ � d�j ��� j)jÂé¡«[n¢j �¢�U��Ä jÀ«ºr¥î)j�n�raq �¢� j)�¡j¢¤�d[jß�oag�h±j�l[npo[�¡oad�� � d¡qsr±n¢¬�oag�gi³ o±n�hkØ[j ��� o �N��� jOo±gihkjml[npo � o �N� ØQh �Â� jmd � «�r¥îKjmn � r�jmé¡«[n�j ��� ¬²r �Õ� teu�vxw�y&�ÌØ[j�n � j � � û joag � rxo±n�hkØ[j ��� o ���¢� jeoag�h±j�l[npo �}� ¬ � d � ¬�oag � d ��� j � jmd � j ��� o � j�o �p� o±gihkjml[npo �}� rk«�j�n¢o � rkn �}� d[j � j �¢� oan¢³ � r � ¬²«[g�jm¬²j�d �� r±¬²j�g}oad[hkØ�oahkj � rkd �Õ� n�Ø ��� � Ú d<u�j ���¢� rkdµF¡�ºî)j�� �}��� Ø ����� ¬�«�gij�¬�j�d � o �¢� rkd�� û j �U� r¥î � r¥î �¢� j � jm¬�o±d �¢����� r±q ��� j� rkd � j�« � Ø�oag&o±gihkjml[npo � o±dHl�j � Ø[«[«ºr±n � jß� � dÁo¿®�í ÷ �[o � o�¬²r¡�¡jmg ��� o ���}� îKjmg�g � � Ø �Å� j�� qsrkn`�ÌØ[jmn¢³$j Ä oag�Ø�o �¢� rkd���o±d��oan¢h±Ø�j ��� o � j¢h �Â� jmd �K� Ø[«[«ºr±n � qsrkn �¢� j � jm¬�o±d �¢����� r±q ��� j � rkd � j�« � Ø�o±g�¬²r¡�¡j�g � oad^lºjxo �p�[� j Ä jß�¼� û j ��� j�d$ok�[�¡n¢j �¢���� jeg�o±n�hkjmnP�ÌØ[j �Õ�¢� rkd²raq � r¥î � r � r±d �U� n¢Ø �Â� oO��Ü � u^oan �p�[�Å� j �Â� Ø[n¢j � Ø�«[«�rkn �¢� d�hOteu�vxw&y[��w � ¬ �i� o �¢� rkd � o±d���qsØ � Ø[n�j� ¬�«�n�r Ä jm¬²jmd �¢� r±q �¢� jOoag�h±j�l[n¢o ���N��� j � Ø[lQcÕj ��� raq ��� jDg}o �U�e� j ���¢� rkd��

¶ �·�&���¸`¹Z���º¼»�½¾»�¿X�À���º

Ú d �¢�[�}�K� j �Â��� r±d���îKjx�[j �¢� n � lºj�o±d jÂé � jmd��¡jß�^n¢jmg}o �¢� rkd�oagºoag�h±jml�n¢o �¢� o �N� Ø[«[«ºr±n �¢� teu�vxw&y[��t ����� jÂé � jmd��¡jß� o±gihkjml[npor±«ºjmnpo � j � r±d � r±d � jm« � Ø�oag¼n¢jmg}o �¢� rkd � o � �¡j ��� n � l�jß� � d ��� jOteu�vxw&y��[o � o�¬�r¡�¡j�g � rk¬²¬�j�d � oan¢³>¥ �Ìu[u[¯a°4§��

®

Page 7: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

Á"ÂMÃÅÄÇÆÉÈkÊ�Ë�ÊÌ'ÍÎÈkÊ�Ë�ÊÏ ÈkÊ Ï Ê9Ë�ÊÐLÑÒ ÈkÊ Ï Ê�ËÓÊÔ ÈkÊ Ï Ê9Ë�ÊÕ ÈkÊ Ï Ê9Ë�ÊÖM× ÈkÊ9Ë�Ê

÷ � hkØ[n�j²® È u¡d�oa« ��� r � â�«ºjmnpo � r±n �c �N�U� o � j�� oalºr Ä jk��o­h±rÌoag�raq ���[�}� �¡j �U� h±d ���N� r±¬²«[g�j � jmd[j ��� � û jD�¡j ��� n � l�j �¢� j � Ø�«[«�rkn � qsr±nNjßo �p� raq �¢� j ��� éteu�vxw�y�n�j�g�o ��� r±d � ³�«�j � � � d�oa« �U� r � � Ä o±g � � � ��� ¬²j �U� o � j�oad�� Ä oag � � � ��� ¬²jej Ä jmd � � � npoad � o ����� r±d �¢� ¬²j±�¡o±d���l �i� j�¬�«ºr±npoag�U� o � jDoad�� l �i� j�¬�«ºr±npoag¼j Ä j�d � �¡l�j�h � d[d � d[h�î �i��� ��� j � d�o±« �U� r � ¬²r��[jmg �t � n�rkØ[h � r±Ø �D�¢� j «�o±«�j�nOîKj^Ø � j ��� j�qsr±g�gir¥î � d[h � r±d Ä j�d ��� r±d � �Hâ�«ºjmnpo � r±n �D� Ø�«�j�n �¢� n � « � j�� î �i����ØkÙ r±n Ø)Ú�¡j�d[r � j Ä o±g � � � ��� ¬²j �Õ� o � jDr±n Ä oag � � � �¢� ¬²jOj Ä jmd � rk«�j�n¢o � r±n � �Ìn¢j � «ºj ���¢�iÄ jmg�³�Û �U� ¬ � g}oan¢g�³±� �¢� j � Ø�«�j�n �¢� n � « �`Ü � d�� �}� o � j �o � npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j�r±«ºjmnpo � r±nß�&o±d�� ��� j � Ø[«ºjmn ��� n � « �p�8Ý Ù o±d�� Ý Ú � d�� ��� o � j^l �i� jm¬²«ºr±npoag �U� o � j o±d�� l �i� j�¬�«ºr±npoagj Ä jmd � r±«ºjmnpo � r±n � ��n¢j � «�j ������Ä j�gi³k�

ÞÇßáà âÇã`ä�å�æMçUè�éêâÇë`å`å8èíì.é

t � j � d�oa« �U� r � oag�h±jml�n¢o<�¡j �¢� n � l�jß� � j�n�j � jmn Ä j �­� î)r «[Ø[n¢«ºr � j � � ÷ � n �U� � �i�^��� Ø � jß� � r � ¬²«[g�jm¬²jmd � �ÌØ[j�n � j � rkd� d�oa« ��� r � �[o � oal�o � j � ��o � � Ø�«[«�rkn � j��8l̳ �¢� j<l�o � j u�vxw � ¯ky g}oad[hkØ�oahkj±��u�j � r±d���� �i� «�n�r Ä�� �¡j � o � j � raq�l�o � jr±«ºjmnpo � r±n �)��� o � îKjDg}o � j�nNjÂé � j�d��¼��o±d�� oaØ[hk¬�j�d � �¡î �i��� � j�¬�«ºr±npoag � Ø[«[«ºr±n � �

#�î!�"î!� ���Y�4�g,Y-!�!ïk,Q�����'�

÷ rkgig�r¥î � d[h � o � j�nÉ¥ � o �ð@ F�§��aoNn¢jmg}o ��� r±d �¢�p� j�¬²o`ñ �}� o � j � r±q�o �U� n � l[Ø � jÓd�o±¬²j ��ò�ó9ô4õªó`ö)õ¢5�5¢5¢õ÷ó`ø"ù �¨�)r±n¢n¢j � «�rkd�� � d[h� rDjßo �p� o ��� n � l[Ø � jed�o±¬²j ó`ú ��®7ûýüÉû�þÀ� ��� o � j �PÿAú�� oag�gijß� ��� je�¡rk¬�o � d�r±q ó�ú � û je�¡j�¤�d[j�� Ð ÿ ô Ï ÿ ö Ï 5¢5�5 Ïÿ ø ��c>n�j�g�o ��� r±d��^r±d ���p� j�¬�oZñ�� � r±¬²j �¢� ¬²j � �¡j�d[r � j��<o � �Q !ñ ¡ � ��� o1¤�d �i� j � j � raqÓ¬�oa«�« � d�h ��� ô � � ö � 5¢5�5 � ���qsn¢r±¬Eñ � r��Á�¶ãej�d � j� Ð ò� ô õ�� ö õ¢5�5¢5�õ����Mù �Àíer � j ��� o � � �}� o � j � � � jmd � j� "ü õ��kõ ®9ûýü õ�� û����.ü��Ð �����'ú �Ð ��� �#�î!�"îð# � ��,Q*�R V��Y�1NA*É(k�4,Q� �Y�4R

÷ � hkØ[n¢j ®�g �}�Õ�p�e�¢� j­rk«�j�n¢o � rkn � rkd � d�oa« ��� r � n¢jmg}o ��� r±d � � Ú d ��� j¼¤�hkØ[n�jk���.n�j�«[n¢j � jmd �¢� o � j � r±qÓo ��� n � l[Ø � j�d�oa¬²j �� d�ñ����É �� ¡K�}� o � j � raq�jÂé¡«[n¢j �¢�U� r±d �'� d Ä rkg Ä�� d[h�� ��� �}� o�«[n¢j�� �}� o � j�r±d¿jÂé¡«[n¢j �¢��� rkd � r Ä jmn �¢� jOo ��� n � l[Ø � j � raq�ñ­�oad�� � �}� o^n¢jmg}o ��� r±d¸d�oa¬²j±�Ot � j­rk«�j�n¢o � r±n � o±n�j­d�oa¬²j��_«"¨ª�"!¢©$#�¯³²!�4®���­¢©�´Å©$#¢¯�²!��®��&%í°�¨ ¯¬©�­ ²!°4® «"¨÷�('*)+#�¯ ��´Å©-, ¯-.á�*)Q¯¬©¢¨!¢�4² ®��/)Q®'²!�4®��/'�² 0`©¢¨ª©�®�# ©Â�ºoad��µ¨ª©¢®"°21S©m�[n�j � «ºj �Â����Ä j�gi³k�¨t&Ø[«[g�j � o±g � Ø[g�Ø � �¡j�¤�d �Å�¢� rkd � r±q ��� j � jDr±«ºjmnpo � rkn � oan¢jxqsr±Ø[d��jmg � jmî � j�n�jS¥ � o �ð@ F�§��

ÞÇß�Þ 3Wä54�687:92;�68<>= âÇëUå�å8èíìQé

Ú d �������e� j �Â��� r±d���î)jD¬²r¡� � qs³ �¢� j � d�oa« ��� r � oag�h±jml�n¢o`cÕØ �U� �¡j�¤�d[j�� � r � Ø[«�«�rkn ��Ä o±g � � ��� ¬�jk� �¢� jmn¢jml�³ «�n�r¡�¡Ø �m� d�h^oÄ oag � � � �¢� ¬²jeoag�h±j�l[npo[��c � teu�vxw&y � Ø[«[«ºr±n �¢��� îKr Ä o±n � j �¢� j � r±q Ä o±g � � � ��� ¬�j'n¢jmg}o �¢� rkd � �¥d�oa¬²jmg�³±� Ä o±g � � � ��� ¬²j �U� o � jeo±d��y

Page 8: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

Ä oag � � � �¢� ¬²jej Ä jmd � n¢jmg}o �¢� rkd � �kî)je�[j�¤�d[j�o � j � raq¼r±«ºjmnpo � r±n � qsr±n¶jßo �p� � û jel�j�h � d�l�³­jmé � jmd�� � d[h �¢� jeqsrkn�¬�o±g ��Æ o ��� r±draq � d�oa« ��� r � n¢jmg}o �¢� rkd �K� r � d � rkn�«ºr±npo � j Ä oag � � �¢� ¬²jk�

#�îð#�î!� ���Y�4�g,Y-!�!ïk,Q�����'�

c Ä oag � � � �¢� ¬²jÀn¢jmg}o �¢� rkd �¢�p� j�¬²oÇñ Ð ò�ó9ô�õ÷ó`ö)õ¢5¢5�5¢õ÷ó`ø@? ; ù¶�}� o0¤�d �Å� j � j � raq�jÂé¡«[g ���m�Å� o �U� n � l[Ø � jÀd�oa¬²j ��ò ó7ô�õªó�ö)õ�5¢5�5�õó`ø"ù oad��Ho$� �}�Õ�¢� d[hkØ �}�U� jß� ��� ¬²j �U� oa¬²«¸o �U� n � l[Ø � jX;����)r±n¢n¢j � «�rkd�� � d[h � r^jßo �p� o �U� n � l[Ø � j­d�oa¬²j ó úÕ�¨®�ûOü¸ûOþÀ��}� o � j �Uÿ ú � oag�g�j�� ��� jD�¡rk¬²o � d raq ó úU� û jD�¡j¢¤�d[jA� Ð ÿSô Ï ÿ�ö Ï 5¢5¢5 Ï ÿ�ø � û j�Ø � j�BDC � r­n¢jm«�n�j � j�d �K��� j � j �raqÀoag�g Ä oag � � ��� ¬²j � ��oad�� �[jmd[r � j ��� jD«ºr¥îKjmn � j � raqEBDCOl�³GF1 �BDC ¡ �¶t � jO�¡r±¬�o � d raq�; �}� F1 HB�C ¡ �

û j�Ø � j&ñI � r n¢jm«[n¢j � jmd ���¢� j�jÂé¡«[g ���m�Å� o ��� n � l[Ø � j � r±qÉñ�� � � j±���LñJI Ð ò ó ô õªó ö õ�5¢5�5�õªó ø ù �Dc n�j�g�o ��� r±dK�^rkd�¢�p� jm¬�o`ñ��a�¡j�d[r � j��­o � �Q !ñ ¡ � �}� oU¤�d �Å� j � j � raq�¬²o±«[« � d[h �L� ô � � ö � 5�5¢5 � ��� qsn¢r±¬ ñI � r��Á�aî � j�n�jKo �¢� r �m� o � j��Oî �Å�¢�j�o �p�M� úU�¼®7ûÎüPûN�¼� ��� o­d[r±d � j�¬�« � ³ ��� ¬�j �Õ� oa¬²«¿o �U� n � l[Ø � jJO ú5PMF1 HBDC ¡ �¶ãej�d � jJ� Ð ò(�Lô*? O ô4õ��'öQ? O ö�õ�5¢5¢5�õ�� � ? O�� ù �c �)� d ��� j � d�oa« ��� r � ¬²r��[jmg �R �ü õ��kõ ®9ûýü õS� û��¼�kü��Ð ���T� ú:�Ð � �±� � � jk�i� � Ø�«[gij � î �Å�¢�^� �[jmd ���}� o±g�jmé�«�g �}�Â�i� o �U� n � l[Ø � jÄ oag�Ø[j � � � r � � oag�g�j��KU4°4´V)Y©W.á©$XY)Q²ZU�°�´Å©�®'¯ � Ø[«[g�j � ��oan¢jx� ��� oag�gir¥îKj����[�\/]/^�_�`ba@c �)r±d �U� �¡jmnOo Ä o±g � � � ��� ¬�j�n¢jmg}o �¢� rkd �¢�p� j�¬²o ö ¬�« Ð ò í�oa¬²j±����j�« �d? ; ù � w�j �D��� j^�¡r±¬�o � d raq ��� jí�o±¬²j$o ��� n � l�Ø � j$l�j ��� j � j �1ò ceg �¶Ü � g�g ù o±d�� �¢� j$�¡rk¬�o � d�raq �¢� j$��jm« � o ��� n � l�Ø � j$l�j ��� j � j �1ò u �[� «��¶w�rÌo±� ù �t � j�d ö ¬�« I Ð  èí�oa¬²jk�[��j�« � ¡ ��oad�� ��� j��[r±¬�o � d r±q ö ¬²« I ���Á� �}�K��� j��Koan � j �U� oad «[n�r¡�¡Ø ���7ò c�gè�[Ü � gig ù Ï ò u �[� «��w�rÌo±� ù �

÷ r±n ��� j Ä o±g � � � ��� ¬�j²o ��� n � l�Ø � jk�¼gij ���¢� j��¡r±¬�o � d¸r±q Ä oag � � � �¢� ¬²j � lºj �}� r±¬²r±n¢« �[�}�D� r �¢� j²d�o � Ø[n¢o±g&d�Ø[¬­l�j�n �ò D��¼®±� 5�5¢5�ù �Àt � jmd ��� jO�¡r±¬�o � d raq�; Ð F1  ò D õ ® õ�5¢5¢5fù�¡ �÷ � h±Ø�n�jOy �U� r¥î � o�n¢jmg}o �¢� rkd ö ¬�«�gir¥³kjmjk  ö ¬²« ¡ �

e:f(gh i:h$jlk mnpo qRrls j tvuxw*yxz$z$zxy$ux{*y8|(w*yxz$z$z$y"|{v}npo ~�� f� tY|*u(yxz$z$zxy�|W�*}� s�o�o ~�� f� tW�v{2yxz$z$zxy��v{v}÷ � hkØ[n�jOy È ö ¬²«[g�r¥³±jmj��Nj�g�o ��� r±d

ö o �p�H� Ø�«[gij � d ��� j²n¢jmg}o ��� r±d¸n�j�«[n�j � j�d �¢� o ��� d[h±g�j�q o ��� oad��Áî � j�d �¢� o � q o �Â� î'o ��� n�Ø[j � d �¢� j²¬�r¡�¡j�gijß�¸n¢j�o±g �i� ³±�÷ rknNjÂé[oa¬²«[g�j±� ��� j8¤�n �U�'� Ø[«[g�jOn¢j � r±np� �)��� jDq o ���N�¢� o � c�g�îKr±n¢ð±j��^qsr±n �¢� j�u �[� «[« � d[h^�¡j�«�oan � ¬²j�d � qsn¢r±¬ ��� ¬²j � ® D��� n�rkØ[h � ®�FOo±d�� o±hko � d²qsn¢r±¬ ��� ¬²j � y�D � r�y)F[��í�r ���}� j ��� o �K��� j ��� ¬²j �U� oa¬²« o �¢� r �Â� o � j���î �i��� ���[�}�)� Ø[«�gij �}�¶� n�Ø[g�³o � j � r±q �p� n�rkd[r±d �   n�j�«[n¢j � jmd ��� d[hfo¿Ø[d � r±d r±qK¬�oaé � ¬�oag ��� ¬�j «�j�n � r¡� �÷¡ �&npo �¢� jmn ��� o±d�o � r±d �¢� hkØ[r±Ø � «�j�n � r¡�Ár±q��� ¬²j±�íer �¢��� jNoag � r ��� o �À��� jen�j�g�o ��� r±d�r±lºjm³ ����� jNn�j �Õ� n �}���¢� rkd �¢� o �¶Ä oag�Ø[j � j �kØ �iÄ oag�jmd �À� Ø[«[g�j � o±n�jN� �}� o±gig�r¥îKj��¼��í�r±d[jraq ��� j ��� n¢jmj � Ø�«[gij �e��� oan¢j �¢� j � oa¬²j Ä o±giØ�j � rkd$lºr �¢�$�¢� j � neí�o±¬²jOoad�� ��j�« � o �U� n � l[Ø � j � � ��íer � o �¢� rkd�oag�gi³k��îKjÀØ � j ��� j � Ø�l ��� n � « � Í � ren¢jm«[n¢j � jmd � oN«[n¢j�� �}� o � jÀrkd¼ñ­�¥o±d�� ��� j � Ø[l ��� n � « ���$� r�n�j�«[n�j � j�d � oqsØ[d �Â��� r±d�rkd �¢� j�� �}�U��� d[h±Ø �}��� j�� �¢� ¬²j �U� o±¬²«^o �U� n � l[Ø � j¸;­�Àc�gig�raq ��� j�o �U� n � l[Ø � j � �¡jm«ºjmd��¡jmd � qsØ[d ����� r±d � raq¼teu�vxw�y  o±d��¼� � r±d � j��ÌØ[j�d � g�³ u�vxw � ¯Ìy ¡ � � d � giØ�� � d[h ��� r � j r±d Ø � j�n � �¡j¢¤�d[j�� ��� ¬�jk�Óoan¢j «ºjmn¢¬ �Å��� jß��î �i���[� d �¢� j$rk«�j�n¢o � rkn� Ø[l �¢� n � « �p� Í oad�� � �­�Koa« �i� o±g�g�j ��� j�n �9ó �@� ��oad����  s«ºr �¢�U� l[g�³ � Ø�l ��� n � « � j�� ¡ n�j�«[n¢j � jmd ��� d�� ��ÄÌ� �¡Ø�o±gÀo �U� n � l[Ø � j �raqUñIß�Hu � ¬ � g�o±n�g�³±� � o±« �i� oagÓgij �U� j�n � ����� ��o±d����>n¢jm«[n¢j � jmd ��� Ø[l � j �p� raqUñIß� w�r¥î)j�n � o � j�g�j ��� jmn �A� �����¨oad����

 s«ºr �¢��� l[g�³ � Ø[l �¢� n � « � j�� ¡ n�j�«[n�j � j�d �)� Ø[«[g�j �N� d��Ì�=

Page 9: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

#�îð#�îð# �8,.-��!�/���¼���g( � � ,Q��( NA*P(+�4,Q���'�4R

÷ � hkØ[n¢j = g �}�Õ�p�e�¢� j Ä oag � � � ��� ¬²j �U� o � j�r±«ºjmnpo � rkn � � Ú d ��� jX¤�hkØ[n¢j±��� Ê n¢jm«�n�j � j�d �p� o Ä o±g � � � ��� ¬²j �U� o � j�n�j�g�o ��� r±d��@� Ên¢jm«[n¢j � jmd �¢� o�l �i� j�¬�«ºr±npoag �Õ� o � j�n¢jmg}o �¢� rkd  è�¡j�¤�d�j�� � dfu�j ���¢� rkd¿y[� °��i® ¡ �[oad�� Ê n�j�«[n�j � j�d �¢� o � d�o±« ��� r � n¢jmg}o ��� r±d��Á ØkÙÂQÃÅÄÇÆS� � È � Ê9Ë � ÊÌ ØkÙÍ È � Ê�Ë � ÊÑ Ò ØkÙ � øÍ � � È � Ê Ï��(�Y�'Ï � Ê�Ë � ÊÐ�ÑÒ Ø+ÙÍ � � � �@� È � Ê Ï � Ê�Ë � ÊÔ ØkÙ È � Ê Ï � Ê7Ë � ÊÕ ØkÙ È � Ê Ï � Ê9Ë � ÊÖ ØkÙ× È � Ê�Ë � Ê��� Ø+Ù�  Ý Ù È � Ê7Ë � Ê¡D¢ Ø+Ù È � Ê�ËÓÊ¡�£ ØkÙ¤ È � Ê9Ë � Ê

÷ � hkØ[n�j = È ;¶o±g � � � t � ¬²j�u � o � j­â�«�j�n¢o � r±n �Ú d � r±¬²«�o±n �}� rkd � r ��� j � d�o±« ��� r � r±«ºjmnpo � r±n �²� d ÷ � h±Ø[n¢j ®±�'îKjHd[r � j ��� o �$� j Ä j�dXr±q �¢� j � jmd r±«ºjmnpo � r±n �oan¢jOhkjmd[j�n¢o±g ��Æ o ��� r±d � r±q ��� j � n � d�oa« ��� r �x� r±Ø�d � jmn¢«�oan �¢� Û�rkd[g�³ �¢� n¢jmj�ok�[� �i��� r±d�o±g&rk«�j�n¢o � r±n � d[r ��� o Ä�� d[h � d�oa« ��� r �oad�oag�r±h � oan¢j � d � n¢r��[Ø � jß�¼��  Ú d ��� j²r±«ºjmnpo � r±n � j � � ��� j Ä oag � � � �¢� ¬²j ��� j � o � cÕr � dÁn�j�«[g�o � j �e�¢� j � d�o±« �U� r � �Koan � j ��� oad«[n¢r¡�¡Ø ��� o � o²l�o � j�r±«ºjmnpo � rkn�� ¡w�j � �T¥ ñJI�lºjOo � Ø[l � j � raq ��� jDjmé�«�g �}�Â�i� o ��� n � l[Ø � j � raq¨n�j�g�o ��� r±d ���p� j�¬�o�ñ��¶t � j Ä o±g � � � ��� ¬�jD«�n�r)cÕj ���¢� rkdr±«ºjmnpo � r±n � o �N� îKr � Ø[l �¢� n � « �¢� È o � j � raqÀjmé�«�n�j ����� rkd � �P H� ¡'� r «[n¢r�cÕj ��� ��oad��foadHjmé�«�n�j ����� rkd§¦ j Ä oag�Ø�o �¢� d�h � r oÄ oag � � � �¢� ¬²jxjmg�jm¬²jmd � ��î �[�}�p� «[n¢r¡�¡Ø � j �Ó��� j ��� ¬�j �Õ� oa¬²« r±q ��� j�n¢j � Ø[g �K� Ø�«[gijk�Àt � j�jmé¡«[n�j ����� r±d � �É �� ¡)� rkn�n¢j � «�rkd��� r �¢� j²jÂé¡«[n¢j �¢�U� r±d � «[n¢j � jmd ��� d ��� j1i)jQl+jQm+n � g�o±Ø � j²r±qKo teu�vxw&yZ�ÌØ[jmn¢³±� Ú d �¢� j�qsr±g�gir¥î � d[h¿�¡j�¤�d �Å�¢� rkd���îKj�Ø � j�P  � ¥ �_§ ¡)� r�¬²j�oad ��� jDjÂé¡«[n¢j �¢�U� r±d � �P H� ¡ j Ä o±giØ�o � jß� Ø ��� d[h ��� jOo �U� n � l[Ø � j Ä o±giØ[j � raq � Ø[«�gij � �Á ØkÙÂMà Ä0Æ�� �  �� ¡ Ð ò � Ã-¨ ÂMÃÅÄÇÆ"¨ ¦ ô Æ ?(©Q� P��9 -�'¥ �P �� ¡ § Ð �P  � ¥ �_§ ¡�ª ¦S  � ¥ ;U§ ¡ ¥«�"¥ ;U§ ¡�ª � ô P¬�7 ��P  � ô ¥ �>§ ¡ Ð �'¥ �P �� ¡ § � ¦S  � ô ¥ ;`§ ¡ ¥��"¥ ;`§ ¡8ª �O­P��"¥ ;`§ ©Q� ö P¬�7 ��É  � ö ¥ �_§ ¡ Ð �"¥ �P H� ¡ § ª O®P�¦S  � ö ¥ ;U§ ¡á¡�ª�'¥ ;U§5�а¯ ù

c �O��� j$«[n¢r�cÕj �Â��� r±d ¬�o�³¸«�n�r¡�¡Ø � j Ä oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd �O� Ø[«[g�j � r±d��P H� ¡ � ��� j � j � rkd�� g � d[j � r±g�g}oa« � j � jßo �p��� j � r±qÄ oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd �¶� Ø[«[g�j �K� d � r�o ��� d�h±g�j�n¢j � Ø[g �Ó� Ø[«[g�j±� û j � jmn¢¬ ���[�}� «[n�r � j �¢� # ��°�´Å©�­W#¢² ®b±±�¶t � j ��� ¬²j �U� oa¬²«^r±q ��� jn¢j � Ø[g �À� Ø[«[g�j �}� «[n¢r��[Ø � jß�­l�³ ��� jeo±«[«[g�³ � d[h �¢� jNqsØ[d ����� r±d²¦ � r ��� j �¢� ¬²j �U� o±¬²« � r±qºjßo �p� raq ��� j Ä o±giØ�j � j��ÌØ ��Ä o±gij�d �� Ø�«[gij � ��oad�� ��� j�dHØ[d � r±d � d[h ��� jDn�j � Ø[g �¢� �Àt � jDg}o �U� g � d[jDjmd � Ø[n¢j �K�¢� o � d[r � «[Ø[n � rkØ �'�p� n¢r±d[rkd � oan¢j � d � n¢r¡�¡Ø � jß�¼�Ú d�h±j�d[jmnpoag �¨r ��� jmn�r±«ºjmnpo � rkn � � � Ø �p� o ����� j � g �}� j$r±«ºjmnpo � rkn ¡�£ ØkÙ¤   �¡j¢¤�d[jß� lºjmg�r¥î ¡ �À¬�o�³ «[n¢r��[Ø � j$d[r±d �� rÌoag�j �¢� jß�­n¢j � Ø[g �¢� �Àt�j �p� d �}� oag�g�³±� ���[�}�ÓÄ�� r±g}o � j �À�¢� j�n¢j �U� n �}����� r±d �¢� o �KÄ oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd �¶� Ø�«[gij � o±n�j�d[r � oag�gir¥îKj�� � d��� j��[o � o�¬�r¡�¡j�gè�Kãer¥îKj Ä jmnß� �¢� jO«[n¢j � jmd � j�raq Ä oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd �'� Ø[«�gij �N��� h±j�d[jmnpoag�gi³�n¢j �U� n �}��� jß� � r � d � jmn¢¬²j�� � o � j�ÌØ[jmn¢³^n¢j � Ø[g �¢� �¨t � jD«[n�r)cÕj �Â��� r±d rk«�j�n¢o � rkn � oad¿oag�îKo�³ � lºjOoa«[«[g � j�� î � jmdHo � rÌoag�j �¢� jß�^n¢j � Ø[g �N�}� d[j�j��¡jß�¼�

°

Page 10: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

[�\/]/^�_�`ba@c w�j � ¦ � r±¬²«[Ø � j ��� j � d � jmn � j ����� r±d raq¶o � Ø[«[g�jR³ �NÄ oag � � �¢� ¬²jDî �i���¿��� j � j �8ò ®�° õ¢5�5¢5 õ y±y ù �Óà ��� d[h ��� jö ¬²«[g�r¥³±j�jNn�j�g�o ��� r±d²raq ÷ � h±Ø[n¢j�y[� ��� j�n¢j � Ø[g � raq Á ØkÙ´ ×�µx¶ I�· � ¸�¹"º$»H¼�þ½ ¶­¿WÀ¾Á8 I"I Æ-à ´ ô"Ä �ÆÅÆÅÆÅÆ� öªö ·  -ÇÈ�É�ÊHËv��ÌvÌ ¡¨�}�Ó��� r¥îNd�l�j�gir¥îD�e:f(gh mn­o t2u��lyWuW{2y8|(w*y8|*uy"||v}

t � jZ¤�n �Õ��� î)r � Ø[«�gij �­� d ÷ � h±Ø[n¢j y � rkd � n � l[Ø � j � r �¢� j �U� d[h±g�j n�j � Ø[g ��� Ø[«[g�j±� t � j n¢j � Ø[g �²�}��� rko±gij ��� j�� l�³ ��� j«[n¢r�cÕj ����� r±d���t � jxg}o �U�Ó� Ø�«[gij � d ÷ � hkØ[n�j�yO�¡r�j � d[r � «[n¢r¡�¡Ø � j�oad r±Ø � «[Ø �K� Ø[«[g�j �U� d � j ��� jxn¢j � Ø[g �¢� d�h ��� ¬²j �U� o±¬�« ���jm¬²« � ³k� ��w�j � � l�jOo�«[n¢j�� ��� o � j�rkd ñ��¶t � j�d �¢� j � jmg�j ���¢� rkd$r±qL� r±d¬��� Ì ØkÙÍ � �}� �¡j¢¤�d[j��¿o � qsr±g�gir¥î � �Ì ØkÙÍ  �� ¡ Ð ò � ? �GP¬� ª �S H� ¡ ù

t � j Ä oag � � � �¢� ¬²j � jmg�j ���¢� rkd¿r±«ºjmnpo � rkn �}�N� �¡jmd �¢��� oag � r �i�¢��� d�o±« ��� r �N� rkØ[d � jmn¢«�o±n � �t � j Ä oag � � � ��� ¬²j ��� j � o � cÕr � d�� Ñ Ò ØkÙ � øÍ � � � �}� oad�þ � îKo�³7cÕr � dHr±q �¢� j¼þ � d[«�Ø � n¢jmg}o ��� r±d � � ô �+� ö � 5¢5�5 ��� ø �Óc n¢j � Ø[g �� Ø�«[gij�n�j�«[n�j � j�d ��� d[h ��� j � r±d � o � j�d�o �¢� rkd$r±q �¢� j � d[«[Ø ��� Ø[«[g�j ��� ú���®¼û üPû þÀ� �}� «[n¢r¡�¡Ø � j�� � q �¢� jO«[n¢j�� �}� o � j� ���� o ���}� ¤�j��¼�Àt � j �¢� ¬²j �Õ� oa¬²«¿raq ��� jDn¢j � Ø[g �K� Ø[«[g�j ����� r±¬²«[Ø � j��$l�³ �¢� j�qsØ[d �Â��� r±d§¦²�Ñ Ò ØkÙ � øÍ � �  �� ô4õ � ökõ¢5¢5�5¢õ � ø.¡ Ð ò � à ¶ ¦ ô Æ ?Y©Q�Lô PD� ôY©��'ö P¬� ö�5�5¢5/©Q�"ø P¬� ø

 -�S  �LôR? O ô�õ8�'öQ? O ö)õ¢5¢5�5¢õ8�'ø@? O ø.¡�ª�"¥ ñJIô § Ð �Lô ¥ ñIô § ªµ5¢5�5(ª �'¥ ñIø § Ð �"ø ¥ ñIø § ª�"¥ ;U§ Ð ¦S  � ô ¥ ;U§ õ�� ö ¥ ;U§ õ¢5¢5�5¢õ8� ø ¥ ;U§ ¡@ª �'¥ ;U§5�а¯ ¡ ùî � jmn¢jJÈ ÐÎÍ øú¾Ï ô ? ñIú ?

t � j Ä oag � � � �¢� ¬²jDd�o � Ø[npoag+cÕr � d ��� �¡j¢¤�d[jß� � d � jmn¢¬ � raq ���[�}� r±«ºjmnpo � r±nKl�³ � «ºj �m� qs³ � d[h ��� j � �¡j�d �¢�Å� ³^qsØ[d ���¢� rkd qsr±n��oad�� � j �e� d � jmn � j ���¢� rkd qsrkn&¦²��oad�� Ø ��� d[h Ä o±g � � � ��� ¬²jD«[n�r)cÕj �Â��� r±d��[�\/]/^�_�`ba@c t&r � gig�Ø �U� npo � j ��� j Ä o±g � � � ��� ¬²j ��� j � o � cÕr � d î)j � d � n¢r¡�¡Ø � j ofd[j�î�n�j�g�o ��� r±d � o±d�oahkj � î �i���X���p� j�¬�o  ��jm« � � � h±npí�oa¬²j ? ; ¡ ��t � j � r±d � j�d �p� raq ��� j � oad�o±h±j � n¢jmg}o �¢� rkd �}�e�U� r¥îNd$lºjmg�r¥îD�

i®h$jlk Ð�ÑYÒ"e:f(gh mqRrls j Ó®h � Ò"Ñh t2u(uyWz$z$z$y"||v}~�� f(� i�fYÔ t(|W�lyWz$z$z$y��Õ2}t � j jmé�«�n�j ����� rkd Ñ Ò ØkÙ � ö½ ¶­¿WÀ¾Á8 I"I Å Ö I ¿W× Ï/Ø µ ø µ$Ù I"Ú Å Ö I ¿W× � ¸�¹"º�»H¼4þ½ ¶­¿xÀÛÁ� I�I ÆlÃp¸�¹�º�»H¼�Ã Ø µ ø µxÙ I�Ú Æ  -ÇÈ�É�ÊHËv��ÌvÌ õ�ÜÞÝ þ Ýlß Ì Ê ¡«[n¢r¡�¡Ø � j � o�n¢jmg}o �¢� rkd �U� r¥î � d[h�j�¬�«�gir¥³kjmj � oad�� �¢� j � n�¬�oad�oah±j�n � �[l�³ g � d[ð � d�h ��� j­n�j�g�o ��� r±d �N��� n¢r±Ø[h �¿��� j � n � rk¬ �¬²r±d ��j�« � o ��� n � l[Ø � j � �­t � j­n¢j � Ø[g � r±q ������� jmé�«�n�j ����� rkd �}� o � qsr±g�gir¥î � ��à �U� d[h � d � j�n � j �Â��� r±d¸qsr±n ��� j �¢� ¬²j �U� o±¬²«� rk¬²«[Ø � o ��� r±dZ¤�d�� � «�n�j �Â�}� j�gi³ �¢� r � j �¢� ¬²jD«ºjmn � r¡� � î � j�dHoad j�¬²«[gir¥³kjmjxî)rkn�ðkj��²qsrkneo­�[jm«�o±n � ¬�j�d � ¬�o±d�oahkj��^l�³� r±¬²j�¬²o±d�oahkjmnß�

F

Page 11: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

e®f(gh à/gj oV�xá h�hâ i:h$jlk Ðãf(Ôbf(Ñh�ä$â i®h$jlk Ð�Ñ(Ò"e®f(gh mnpo qRrbs j qRrls j Ó®h � Ò"Ñh tvuu(yxz$z$z$yxux{*y�|YwRy8|*u(y8||}npo ~+� f(� ~�� f(� i�f(Ô tY|Y�2}� s�o�o ~+� f(� ~�� f(� i�f(Ô tW�v{2y��Õ2}��

÷ r±n ��� j�q oa¬ � g�³�raq¼r±Ø � jmn � cÕr � d²rk«�j�n¢o � r±n � �aî)j�r±d[g�³�� ���¢� Ø �¢�À�¢� j Ä oag � � � �¢� ¬²j�gijmq � r±Ø � jmn � cÕr � d��R� ô ÐkÑÒ ØkÙÍ � � � � � � ö �t � j�n � h �k� oad��^qsØ[g�g Ä oan � oad �¢�'� o±d lºjO�¡j�¤�d[j�� � d¿o �U� ¬ � g}oan'¬�oad�d[jmnß�Àt'î)r � Ø�«[gij �:��ô P¬� ô o±d�� �'ö P¬� ö «[n¢r¡�¡Ø � jr±d�jDr±n � îKr�rkØ � «�Ø �N� Ø[«�gij � � � q ��� j�³ � o �¢��� qs³ �¢� jD«[n¢j�� �}� o � j�²� Ú qå�Qj Ä o±giØ�o � j �'� r�æ�çMèDé ��� jmdfo�n�j � Ø�g �N� Ø[«[g�j ���h±j�d[jmnpo � j�� î �[�}�p�H���N��� j � r±d � o � jmd�o ��� r±d raq ��ô oad�� �"ö �ºî �Å�¢�¿��� j�n�j � Ø[g � r±q5¦S  ��ô ¥ ;`§ õ8�'ö ¥ ;`§ ¡ o �N�¢� j �¢� ¬²j �U� o±¬²«Ä oag�Ø[j±� c � j � rkd���n¢j � Ø[g �²� Ø[«[g�j �}� oag � r<«[n¢r��[Ø � jß�¼� t � j jmé¡«[g �}�Â�i� o ��� n � l[Ø � j Ä oag�Ø[j � r±q �������²� Ø[«[g�jHoan¢j � j �²� r��� j$o ��� n � l�Ø � j Ä o±giØ�j � r±q ��ô � � r¥î)j Ä j�n��&dÌØ�gig Ä oag�Ø[j � n�j�«[g�o � j �¢� j$o �U� n � l[Ø � j Ä oag�Ø[j � raq �"ö �¸t � j ��� ¬²j �U� oa¬²«�r±q��� j�n�j � Ø[g ��� d[h � Ø[«�gij �}�D� j �D� r§¦ê³  � ô ¥ ;U§ õ�� ö ¥ ;U§ ¡ �_  Ú d ¬²r �U�O� o � j � �/¦ê¨î � gigÓl�j ��� j^� �Åì jmn¢jmd � j�qsØ[d �Â��� r±d r±d ��� joan¢h±Ø�¬�j�d �K�¢� ¬²j �Õ� oa¬²« � � ¡� ô ÐLÑÒ ØkÙÍ � � � �/� � ö Ð ò � Ã�¨ ë@ìí$¨ ¦ ¨ ë@ìî ¨ ¦ ô Æ ?W©Q� ô P¬� ô ©Q� ö Pd� ö  -�S  � ô ? O ô õ8� ö ? O ö ¡�ª

 ª H�"¥ ñIô § Ð � ô ¥ ñIô § ª �"¥ ñIö § Ð � ö ¥ ñIö § ª �"¥ ;U§ Ð ¦S  � ô ¥ ;U§ õ�� ö ¥ ;U§ ¡�ï -�'¥ ñIô § Ð � ô ¥ ñIô § ª �"¥ ñJIö § Ðð ª �"¥ ;`§ Ð ¦ê�  � ô ¥ ;`§ õ8� ö ¥ ;`§ ¡ª¡@ª �'¥ ;U§å�Ðñ¯ ¡ª¡ ù

t�r��¡j¢¤�d[j ��� jDØ[d � r±d r±«ºjmnpo � rkn�� Ô ØkÙ ��gij � l�r ��� � ô o±d��d� ö lºj � d �U� o±d � j � raq�ñ��� ô Ô Ø+Ù � ö Ð ò � à ø ¦ ô Æ ?   ©Q� P�� ô © �MP¬� ö   � ¥ ñI÷§ Ð ��¥ ñIª§ ª �'¥ ñIª§ Ð � ¥ ñJI § ª �'¥ ;U§ Ð � ¥ ;U§ Ô �L¥ ;U§ ¡á¡8ï

  ©Q� P�� ô  H�"¥ ñIª§ Ð � ¥ ñJI § ª  -ò © �dP�� ö  H�L¥ ñI÷§ Ð � ¥ ñI÷§ ¡ª¡@ª �'¥ ;U§ Ð � ¥ ;U§ ¡á¡8ï  © �MP�� ö  H�"¥ ñIª§ Ð �L¥ ñIª§ ª  �ò ©Q� P�� ô   � ¥ ñI § Ð �L¥ ñIª§ ¡á¡@ª �"¥ ;`§ Ð �L¥ ;U§ ¡á¡ ù

t � j�¤�n �Õ� g � d[j � rko±gij ��� j �xÄ oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd �x� Ø[«[g�j �O� dó� ô o±d���� ö �²t � j � j � r±d��fg � d[j^o �m� r±Ø[d �¢� qsrkn � Ø[«[g�j �O� dó� ô��� o �e� o Ä j�d[r Ä o±giØ[j � j �ÌØ �iÄ o±gij�d �K� Ø�«[gij �N� d¬� ö �¶t � j ���[� n¢�$g � d[j � oad��¡g�j �K�¢� j � ³Ì¬²¬²j � n �}�D� o � jk�û �Å�¢� � ô oad��¬� ö �¡j�¤�d�j��¿o � o±l�r Ä j±� Ä oag � � � ��� ¬²j �Õ� o � jO� �Åì jmn¢jmd � j ��� �¡j�¤�d�j��¿o � qsr±g�g�r¥î � �� ô Õ Ø+Ù � ö Ð ò � à ø ¦ ô Æ ?W©Q� P¬� ô  á -�'¥ ñIª§ Ð � ¥ ñJI § ¡8ª ª  © �¬Pd� ö  H�"¥ ñJIª§ Ð �L¥ ñJIª§ ª �'¥ ;U§ Ð � ¥ ;U§ Õ �L¥ ;U§ ¡@ª �'¥ ;U§å�Ðñ¯ ¡8ï -ò © �¬P¬� ö  -�'¥ ñIª§ Ð �L¥ ñIª§ ¡@ª �"¥ ;`§ Ð � ¥ ;`§ ¡ª¡á¡ ù

t � jOg}o �U�N� îKr�g � d[j ��� rk¬�«�Ø � j �¢� j Ä oag � � � �¢� ¬²jDj�gij�¬�j�d � ���¡jm«ºjmd�� � d[h r±d¿î � j �¢� jmnxo Ä oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd �N� Ø[«�gijO¬�o�³lºj�qsr±Ø[d�� � d�� ö �t � j�rk«�j�n¢o � r±n Ö ØkÙ× o ��� j�« �¢� o Ä oag � � � �¢� ¬²j �Õ� o � j�n¢jmg}o ��� r±d$o � oad o±n�hkØ[¬²jmd � o±d���n¢j � Ø�n�d �Ó��� j � oa¬²j�n¢jmg}o �¢� rkdn¢jmd�o±¬�jß� � r �¢� j � Ø[l �¢� n � « � � � Ú �Ó�}� Ø � j��²î � j�d ��� j � o±¬²jen�j�g�o ��� r±d �}� n¢jÂqsjmn¢jmd � j�� �¢� n¢r±Ø[h � � �Åì jmn¢jmd �)� r±n¢n�j�g�o ��� r±dd�o±¬�j � �t � j ��� ØkÙ$  Ý Ù r±«ºjmnpo � rkn � npoad � qsrkn�¬ � o Ä oag � � � �¢� ¬²j �Õ� o � j n�j�g�o ��� r±d � d � r8oBl �i� j�¬�«ºr±npoag �Õ� o � j�n�j�g�o ��� r±d��  Ü �i� j�¬�«ºr±npoagÓn�j�g�o ��� r±d ���p� j�¬�o � oan¢j^�¡j¢¤�d[j�� � d u�j �Â��� r±d�y¡� °���®±� ¡ ö o �p�¸� Ø[«[g�j � d �¢� j � d[«[Ø � n�j�g�o ��� r±d<«[n�r¡�¡Ø � j �jÂé[o ��� g�³�rkd[jNr±Ø � «[Ø �Ó� Ø[«[g�j±�Ìî � r � j ��� ¬²j �U� o±¬�« �}�¶� r±d �U� n¢Ø ��� j��²o �À��� j � n�r ��� «�n�r¡�¡Ø �Â� raq ��� j � Ø[n¢n�j�d �À� npoad � o �Â��� r±d��� ¬²jOoad�� �¢� j Ä oag � � ��� ¬²jDraq ��� j � d[«[Ø �N� Ø[«[g�j±�

e

Page 12: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

Ú d �¢� jDqsrkgig�r¥î � d�h²�[j�¤�d �i��� r±d � � ��� j�qsØ[d ����� r±d�ô¢² #$õM¨ � rk¬²«[Ø � j �'��� j � j � raq¨l �i� jm¬²«ºr±npoag �p� n�rkd[r±d � qsn¢r±¬ ��� j� j � raq�oan¢h±Ø[¬²jmd �&� npoad � o �Â��� r±d �¢� ¬²j � oad�� ��� j � j � raqºoan¢h±Ø[¬²jmd �¨Ä oag � � ��� ¬²j � ��t � j � ³�¬�lºr±g�ö × �[jmd[r � j �&�¢� j � Ø[n¢n�j�d �� npoad � o ����� r±d ��� ¬²j±�� ü öY÷��Q HB õ�ø&¡ Ð ò  �O õ � ¡å? O®P�B ª �²P øSù

��� ØkÙ�  Ý Ù  �� ¡ Ð ò � à ø ¦ ô Æ ?(©Q� P¬�M -�'¥ ñI÷§ Ð � ¥ ñJI § ª �'¥ t0§ Ð � ü ö(÷��Q  ò ö × ùkõ8� ¥ ;U§ ¡ ù

t � j ¡@¢ ØkÙ rk«�j�n¢o � rkn � n¢o±d � qsrkn�¬ � o Ä o±g � � � ��� ¬�j �U� o � j²n�j�g�o ��� r±d � d � r¿o � d�oa« ��� r � n¢jmg}o ��� r±d��¼l̳ ��� ¬�«�gi³fn¢j �¬²r Ä�� d[h �¢� j ��� ¬²j �U� oa¬²«Ho �¢� r �m� o � jß�^î �i��� j�o �p�$� d[«[Ø �N� Ø[«[g�j±�¡D¢ ØkÙ  H� ¡ Ð ò � à ø Æ ?W©�� Pd�Q -�'¥ ñ I § Ð � ¥ ñ I § ¡ ù÷ r±nDjßo �p�Á� Ø[«�gij � P«�Ì� ��� j � g ��� j�r±«ºjmnpo � r±n ¡�£ ØkÙ¤ h±j�d[jmnpo � j � «ºr �¢�U� l[g�³f¬�oad�³¸n¢j � Ø[g ��� Ø[«[g�j � ��j�o �p�<Ä oag�Ø[j �j��ÌØ ��Ä oag�jmd ��� r � �Noad�� �¢� ¬²j �Õ� oa¬²«�jß� î �Å�¢� o ¬�o¥é � ¬�o±ge«�j�n � r¡� � r±d � o � d[j�� � d � ¥ ;`§ �  èc � d�r � jß� oalºr Ä j±� �������r±«ºjmnpo � r±n Ä�� rkg�o � j ���¢� j�n¢j �U� n ���Â��� r±dÁo±hko � d �U�DÄ oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd ��� Ø[«[g�j � �^t � j�«[n¢r�cÕj ����� r±dÁr±«ºjmnpo � r±n�¬�o�³fl�j � Ø[l �� j��ÌØ[jmd � gi³<oa«[«[g � j�� � r � rko±gij ��� j ��� j^n¢j � Ø[g � � ¡ Ú d �¢�[��� r±«ºjmnpo � r±nß� ��� j � Ø�l ��� n � « � ¤ � «ºj �m� ¤�j �D�¢� o ����� j^rk«�j�n¢o � rkn«ºjmn�qsr±n¢¬ � «�oan ���i��� r±d � d[hYÛ �i�e�}� d[r � o�«[n¢j�� �}� o � jDo � qsrkn ��� j � jmg�j �Â��� r±d¿oad��&cÕr � d r±«ºjmnpo � r±n � �b¶n � rkn � r �¡j¢¤�d � d[h ��� j � g �}� jOrk«�j�n¢o � r±nß�¡îKj7¤�n �U� �¡j�n ��Ä j �¢� jO¬�o¥é � ¬�oag�«ºjmn � r¡� � qsn�rk¬ � ¥ ;`§ �Nt � jO«�n�jß� ��� o � j

ü Ê �JË�þDO±ü ßQù Ë ù Ê �¡j � jmn¢¬ � d[j �O� q ��� j Ä o±g � � � ��� ¬²j jmg�jm¬²j�d � � �}� o � j � raq � r±d ��� h±Ø[rkØ �O�p� n¢r±d�r±d �O� r±d � o � d�j�� � d ��� jÄ oag � � � �¢� ¬²jDjmg�jm¬²j�d ��ø �ü Ê �JË�þDO±ü ßQù Ë ù Ê  �� õ�ø¼¡ Ðûú æ�çMè@é � q� �OpP ø  �È ü¬þí �� ¡ û«O0û�È Ýb�  H� ¡­� OpP�� ¡ü�ý�þEÿ é r �¢� jmn¢î ��� jt � j�qsØ[d �Â��� r±d�È Ýb� �Ì��üSË�� Ê «[n¢r��[Ø � j ����� j$¬�o¥é � ¬�o±g¶«�j�n � r¡� �O� d ��� j$oan¢h±Ø�¬�j�d �OÄ o±g � � � ��� ¬²j^jmg�jm¬²jmd ��øØ ��� d�h1ü Ê �JË�þDO±ü ßQù Ë ù Ê � r¿�¡j � jmn¢¬ � d[j ��� j � rkn�n¢j � «�rkd�� � d[h � rkd ��� h±Ø[rkØ �eÄ oag � � � �¢� ¬²j­jmg�jm¬²jmd �¢�x� rkd � o � d[jß� � d ø � Ú d��� j¶qsr±g�g�r¥î � d[he�[j�¤�d �i��� r±d�� �¢� j¶qsØ�d ���¢� rkd � È ü¬þ²o±d��JÈ Ýl� n�j � Ø[n¢d ��� j � ¬�o±gig�j �U� oad���g�o±n�hkj �U���p� n�rkd[r±d � ��n�j � «ºj �Â����Ä jmg�³±�� d �¢� j � neoan¢h±Ø�¬�j�d �N� j �p� �È Ýb� �Ì��üSË�� Ê   ø�¡ Ð ò ¥ È ü¬þí �� ¡ õ È Ýb�  H� ¡ § ? ü Ê �JË�þDO±ü ßbù Ë ù Ê  H� õ$ø¼¡@ª ò © �Qê³ !ü Ê �JË�þDO±ü ßQù Ë ù Ê  ��Qê õ$ø¼¡@ª ���N�bê ¡ ùî �i��� ��� jDn�j �Õ� n �}���¢� rkd �¢� o � �O­P ø © �MP¬È Ýb� �Ì(��ü�Ë�� Ê   ø&¡  �È ü¬þí �� ¡ û�O0û«È Ýb�  H� ¡ª¡

t � j�¤�n �U��� r±d4cÕØ�d ��� j�d � Ø�n�j ���¢� o � hkjmd[j�n¢o � jß� «ºjmn � r¡� ��� r±n¢n�j � «ºr±d�� � r � r±d ��� h±Ø[rkØ �²�p� n¢r±d[rkd � j �p�²� d ø � t � j� j � rkd�� � r±d�cÕØ[d ��� j�d � Ø[n�j �x��� o �D��� j�«ºjmn � r�� � oan¢j�¬�oaé � ¬�oag ��t � j�n�j �Õ� n �}���¢� rkd¸j�d � Ø�n�j �x��� o � d[r � d¡qsrkn�¬�o ��� r±d ���g�r �U� �t � j � g ��� j¿r±«ºjmnpo � rkn ��� ¬�«�gi³Xn�j�«[g �}� o � j ���¢� jHjÂé¡«[g �}�Â�i� o �U� n � l[Ø � j Ä o±giØ�j � raq ��� j � Ø[«[g�j �²� d ��� jHoan¢h±Ø�¬�j�d �n¢jmg}o ��� r±d¿oad��$o �U� o �p� j � o �¢� ¬²j �U� o±¬²«$qsn¢r±¬ ��� j � j � r±q&¬�o¥é � ¬²o±g¼«�j�n � r¡� � �¡�£ ØkÙ¤  H� ¡ Ð ò � à ø ¦ ô Æ ?W©�� Pd� © �MPdÈ Ýb� �Ì��üSË�� Ê   � ¥ ;`§ ¡  H�"¥ ñI § Ð � ¥ ñI÷§ ª �"¥ ;`§ Ð � ¡ ù

d

Page 13: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

[�\/]/^�_�`ba@c à ��� d[h ��� j ö ¬�«�gir¥³kjmjxn�j�g�o ��� r±d raq ÷ � h±Ø�n�jOy¡� �¢� jDn¢j � Ø[g � r±q ¡�£ Ø+Ù¤  HÇÈ�É�Ê-Ëv�QÌvÌ ¡Ó���e��� r¥îNd l�j�gir¥îD�e®f(gh i®h$jlk mnpo qRrls j �Æuxw���uW{��npo qRrls j � |(w�� |{��npo ~�� f(� � |*u� |Y��� s�o�o ~�� f(� � �v{�� �2{��

íer ���}� j ��� o ���¢� j � Ø[«[g�j_  c�gè��u ��� «�� ò ®�D õ¢5¢5�5 õ ®�F õ y)D õ�5¢5¢5 õ y)F ù�¡ «[n¢r¡�¡Ø � j ��� î)r � Ø[«�gij ��� d �¢� j � g ��� j��¸n�j�g�o ��� r±d � r±n �n¢j � «�rkd�� � d[h � r �¢� j � î)r ¬�o¥é � ¬�o±g�«ºjmn � r�� � ¥i®�D��i®�F�§Àoad��ý¥ y)D[�¦y)F4§ � rkd � o � d[jß� � d �i�¢����� ¬²j �U� o±¬�«��­t � j�n�j�¬�o � d � d�h� Ø�«[gij � jßo �p��� rkd � n � l[Ø � j�o ��� d�h±g�j � Ø[«[g�j � r ��� j�n�j � Ø�g �Ó��� d � jerkd[gi³²o ��� d[hkgij�¬²oaé � ¬�oag�«�j�n � r¡� ���)� r±d � o � d[j�� � d ��� j � n��� ¬²j �U� o±¬�« � � ��#�îð#�î H �8,.-��!�/���¼���g( I`\"(+���ZNS*P(+�4,Q���'�4R

Ú d ��� j Ä oag � � � ��� ¬²jej Ä jmd � ¬²r¡�¡jmg � ��� j �¢� ¬²j �Õ� oa¬²«S;8o �¢� r �m� o � jß�­î �i��� jßo �p��� Ø�«[gij ��� o � j � raq Ä oag � � � �¢� ¬²j � d �U� o±d �p� �npo ��� jmn ��� o±d­oxØ[d � r±d­raqº«�j�n � r¡� � o ��� d ��� j Ä o±g � � � ��� ¬�j �U� o � jK¬�r¡�¡j�gè�¨ãej�d � jk� � d �Õ� oad �¢� «�g�o�³ ��� j'o±d�oag�r±hkr±Ø � n¢r±g�j � r«ºjmn � r¡� �N� d ��� j Ä oag � � � ��� ¬²j �U� o � jD¬²r��[jmg � Ú dH«�o±n �¢��� Ø[g}oanß� ��� j � g ���m� d[h�rk«�j�n¢o ��� r±d � r±d Ä oag � � � ��� ¬²jDj Ä jmd � n¢jmg}o ��� r±d �� n¢j�o � jOo²hkn�rkØ[«$r±q Ä o±giØ�j � j��ÌØ ��Ä o±gij�d �N� Ø[«[g�j � j�o �p� �U� o±¬�«ºj��¿î �i��� o �U� d[h±g�j � d �Õ� oad � qsn¢r±¬ �¢� j �¢� ¬²j �U� o±¬²«Hraq ��� j� d[«[Ø �N� Ø[«[g�j±�û �Å�¢�$�¢�[�}�N� g � h �Ì� � ���U��� d ���¢� rkd�� �¢� j Ä oag � � � ��� ¬²j �Õ� o � jDo±d�� Ä o±g � � � ��� ¬�jDj Ä j�d � rk«�j�n¢o � r±n � oan¢j � �¡jmd �¢��� oag � ÷ � h �Ø[n¢j�° � Ø[¬²¬�oan ��Æ j �Ó��� j Ä oag � � � �¢� ¬²jxj Ä jmd � rk«�j�n¢o � r±n � � Ú d �¢� j�¤�h±Ø[n¢j±�b�QÌ�n�j�«[n�j � j�d �¢� o Ä oag � � � ��� ¬²j�j Ä j�d � n�j�g�o ��� r±d���xÌ�n�j�«[n¢j � jmd �¢� oDl �i� jm¬²«ºr±npoagºj Ä jmd � n¢jmg}o �¢� rkd>  �¡j¢¤�d[j�� � d¿u�j �Â��� r±d y¡� °���® ¡ �Ìo±d�� Ê n¢jm«[n¢j � jmd �¢� o � d�oa« ��� r � n�j�g�o ��� r±d��

Á Ø�ÚÂMÃÅÄÇÆS� � È �QÌ Ë �QÌÌ Ø�ÚÍ È �bÌ Ë �QÌÑ Ò Ø�Ú � øÍ � � È �QÌ Ï��Y�(�YÏ �bÌ Ë �QÌÐ�ÑÒ Ø�ÚÍ � � � � � È �QÌ Ï �bÌ Ë �QÌÔ Ø�Ú È �bÌ Ï �bÌ Ë �bÌÕ Ø�Ú È �bÌ Ï �QÌ Ë �bÌÖ Ø)Ú× È �bÌ Ë �bÌ��� Ø�Ú*  Ý Ú È �bÌ Ë �xÌ¡D¢ Ø�Ú È �QÌ Ë�Ê¡�£ Ø�Ú¤ È �QÌ Ë �QÌ

÷ � h±Ø�n�j�° È ;¶o±g � � � t � ¬²j ö¶Ä jmd � â�«�j�n¢o � r±n ��)r±¬²«�oan � d[h ÷ � h±Ø[n¢j = oad�� ÷ � h±Ø[n¢jH°��KîKjHd[r � j ��� o � qsr±n^jßo �p� Ä oag � � � ��� ¬²jfj Ä jmd � r±«ºjmnpo � r±nß� �¢� jmn¢j ��� o� rkn�n¢j � «ºr±d�� � d[h Ä oag � � � �¢� ¬²j �U� o � jOrk«�j�n¢o � rkn��Nc �e��� j��¡j�¤�d �Å�¢� rkd � r±q ��� j Ä o±g � � � ��� ¬²j�j Ä jmd � rk«�j�n¢o � r±n � oan¢jDd[jßoan¢gi³� �¡jmd ���}� o±g � r ��� r � j�r±q ��� j � n Ä o±g � � � ��� ¬²j �U� o � j � rkØ[d � j�n�«�o±n �p�  s¬²r¡�¡Ø[g�r ��� j$oa«�«[n�rk«[n � o � j � Ø�«�j�n �¢� n � « �¢� � � � jk�i� Ø)Únpo ��� jmn ��� oad ØkÙ �[o±d�� Ý Ú npo �¢� jmn �¢� oad�Ý Ù ¡ �[î)j�rk¬ �i�N��� j � ne�¡j�¤�d �Å�¢� rkd � �

ÞÇß� ;�ì.ä�ã`æ+ä �"é�6 èPã�9v;�6�< = â¸ëUå`å8èPìQé

t � jDoag�h±j�l[npo��¡j¢¤�d[j�� � d �¢� jD«[n¢j Ä�� rkØ �K� j ����� r±d � Ø[«[«ºr±n �¢�KÄ oag � � � ��� ¬²j�î �[���p� ¬²r¡�¡jmg �N�p� oad�h±j �)� d �¢� jDn�jßoag � îKr±n¢g}�¼�û j�d[r¥îFo±�[�[n�j ���'�¢� j�rkn �¢� r±hkr±d�o±g ���¢� Ø[jOraq � Ø[«[«ºr±n ��� d[h � n¢o±d � o ���¢� rkd � �¢� ¬²jk�[î �[�}�p� ¬�r¡�¡j�g ����� jOØ[«��[o � j­o �Â����Ä��Å� ³@

Page 14: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

raq ��� j��[o � oal�o � jk�¶Ãed[g � ð±j Ä oag � � � �¢� ¬²j±� ��� j�n�j �}� d[r�d[r ��� r±d¿raq¨j Ä jmd � o �¢� r �m� o � jß�^î �i���¿� npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j±�¶ã�jmd � j±�îKj��[j�¤�d[jOo ��� d�h±g�j�o±gihkjml[npo�qsr±n � npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j�n�j�g�o ��� r±d � �c � lºjÂqsr±n¢j±�)î)j¿lºjmh � d l�³ jÂé � j�d�� � d[h ��� j � d�oa« �U� r � qsrkn�¬�o±g ��Æ o ��� r±d r±q�u�j ���¢� rkd y[�i®k�i®k�Óoad�� � rkd ��� dÌØ�j l�³� �}��� Ø �¢�U� d[h ��� j � jm¬�o±d �¢����� raq ��� jDrk«�j�n¢o � r±n � �

#�î H�î!� ���Y�4�g,Y-!�!ïk,Q�����'�

c � npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j²n�j�g�o ��� r±d ���p� jm¬�o�ñ Ð ò ó7ô�õ÷ó`ö�õ�5¢5�5¢õªó�ø@? t ù���� o ¤�d �Å� j � j � raq'jÂé¡«[g ���m�Å� o �U� n � l[Ø � j�d�oa¬²j �ò ó7ô�õ÷ó`ö�õ�5¢5�5¢õªó�ø"ù o±d��^o�� �}�Õ�¢� d[hkØ �}�U� jß� �¢� ¬²j �U� o±¬²«$o ��� n � l�Ø � j�t��Ó�)r±n¢n�j � «ºr±d�� � d[h � r�j�o �p� o �U� n � l[Ø � j�d�oa¬²j ó úU�®8û�üÉûýþÀ� ��� o � j �íÿAú�� oag�gijß� �¢� je�¡r±¬�o � d²raq ó`ú � û je�¡j¢¤�d[j&� Ð ÿ ô Ï ÿ ö Ï 5¢5¢5 Ï ÿ ø � û jNØ � j�B × � rDn�j�«[n¢j � jmd ���� j � j � raq�o±gig � n¢o±d � o ���¢� rkd �¢� ¬²j � ��o±d�� �¡jmd[r � j �¢� jD«�r¥îKjmn � j � r±q�B × l�³GF1 HB × ¡ �)t � jD�¡r±¬�o � d¿raq¨t �}� F1 �B × ¡ �

û j�Ø � j&ñ I � r n¢jm«[n¢j � jmd ���¢� j�jÂé¡«[g ���m�Å� o ��� n � l[Ø � j � r±qÉñ�� � � j±���Lñ I Ð ò ó ô õªó ö õ�5¢5�5�õªó ø ù �Dc n�j�g�o ��� r±dK�^rkd�¢�p� jm¬�o�ñ�� � rk¬²j ��� ¬²j � �¡jmd[r � jß�fo � �Q !ñ ¡ � �}� o�¤�d �i� j � j � raq¶¬�o±«[« � d[h ����ô � �"ö � 5¢5�5 � � ��qsn�rk¬ ñI � rd�Á�ºî � jmn¢jo �¢� r �m� o � jß�²î �Å�¢� j�o �p�G� ú���®9ûÎüPû���� ��� oOd�r±d � jm¬²« � ³ ��� ¬²j �U� o±¬�«$o �U� n � l[Ø � j�O úEP¬F1 HB × ¡ �¶c � qsrkn �¢� j Ä o±g � � � ��� ¬�j¬²r¡�¡jmg � �±d[r Ä o±giØ�j � j��ÌØ ��Ä o±gij�d ��� Ø[«[g�j � ¬�o�³DlºjN«[n¢j � jmd �À� d ��� jNn¢jmg}o �¢� rkd�� � � jk�i�* "ü õ��kõ ®9ûÎü õS� û����)ü��Ð ����� ú:�Ð � �±�ãej�d � j� Ð ò��ôR? O ô�õ8�'öQ? O ö�õ�5¢5�5¢õ�� � ? O�� ù �ceg�g¼r±«ºjmnpo � rkn � r±d � npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j�n¢jmg}o �¢� rkd � oan¢j � Ø[«ºjmn ��� n � « � j��^î �i��� Ü �Àt � j � Ø�l ��� n � « � Í n¢jm«�n�j � j�d �p� o«[n¢j�� �}� o � j�r±d�ñ�Û ��� j � Ø[l ��� n � « �&� n¢jm«�n�j � j�d �p� o�qsØ�d ���¢� rkd rkd ��� jO� �}�U��� d[h±Ø �}��� j�� ��� ¬²j �U� oa¬²«Ho ��� n � l�Ø � jOt��

#�î H�îð# NS*P(+�4,Q���'�4R

÷ � hkØ[n¢j1F ��� r¥î ���¢� j � npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j²r±«ºjmnpo � r±n � � Ú d �¢� jA¤�h±Ø�n�jk�/O�n�j�«[n¢j � jmd �¢� o � npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j²n�j�g�o ��� r±d��oad�� Ê n�j�«[n�j � j�d �¢� o � d�o±« ��� r � n¢jmg}o ��� r±d��Á ÜÂMÃÅÄÇÆS� � È O Ë OÌ ÜÍ È O Ë OÑ Ò Ü � øÍ � � È O Ï��Y�(�YÏ O Ë OÐLÑÒ ÜÍ � � � � � È O Ï O Ë OÔ Ü È O Ï O Ë OÕ Ü È O Ï O Ë OÖ Ü× È O Ë O¡@¢ Ü È O Ë�Ê¡D£ Ü È O Ë O

÷ � h±Ø�n�j¼F È t&n¢o±d � o ���¢� rkd$t � ¬²j­â�«�j�n¢o � r±n �Ú d � r±¬²«�o±n �}� r±d�î �Å�¢����� j � d�o±« ��� r � rk«�j�n¢o � r±n �À� d ÷ � hkØ[n�jD®k�kîKjNd[r � j �¢� o � oag�g � npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j'r±«ºjmnpo � r±n �jÂé � jm« � r±d�j�o±n�jxh±j�d[jmnpoag ��Æ o �¢� rkd � raq � r±¬²j � rkn�n¢j � «ºr±d�� � d[h � d�o±« ��� r � r±«ºjmnpo � r±nß��t � j�ok�[� �i��� r±d�o±g�r±«ºjmnpo � rkn�� ¡D¢ Ü �� npoad � qsrkn�¬ � o � npoad � o �Â��� r±d � ��� ¬²j¿n�j�g�o ��� r±d � r o � d�oa« ��� r � n¢jmg}o �¢� rkd�� ÷ Ø[n ��� jmn¢¬�rkn�jk�)îKj¿d[r � j ��� o ����� j � j � r±q� npoad � o ����� r±d ��� ¬²jDr±«ºjmnpo � rkn �K�}� o�� � Ø[l � j ��� raq ��� j � j � r±q Ä o±g � � � ��� ¬�j �U� o � j�r±n Ä oag � � � �¢� ¬²jDj Ä jmd � r±«ºjmnpo � r±n � � � � jk�i���� jmn¢j ��� oadfo±d�oag�r±hkr±Ø �'Ä oag � � � �¢� ¬²j �Õ� o � j�r±«ºjmnpo � rknNqsr±n�j�o �p�$� n¢o±d � o ���¢� rkd � ��� ¬�jDrk«�j�n¢o � rkn��Nc �e��� j � j�¬�oad ���}�m� r±q��� j � npoad � o �Â��� r±d � ��� ¬²j­rk«�j�n¢o � r±n � oan¢j­d[jßoan¢gi³ � �¡j�d �¢��� oag � r ��� j Ä oag � � � �¢� ¬²j�r±«ºjmnpo � r±n � ��¬²r¡�¡Ø[g�r ��� j �¢� ¬²j �U� o±¬²«o ��� n � l�Ø � jDd�o±¬²j�o±d�� ��� jD«�n�rk«�j�n � Ø[«ºjmn ��� n � « �p� �¡îKj�r±¬ �Å�N�¢� j � n��¡j¢¤�d �i��� r±d � �

¯

Page 15: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

ÞÇß�� ��6±é�=/<�å8èíìYäE4SâÇë`å`å8èíìQé

ã�o Ä�� d[h¸�¡j¢¤�d[jß��r±«ºjmnpo � r±n � qsrkn­lºr �¢��Ä oag � � � ��� ¬²j o±d�� � n¢o±d � o ���¢� rkd � �¢� ¬²j^n¢jmg}o �¢� rkd � �Àî)j$d[r¥î � ³�d ��� j ���iÆ j ��� j � jr±«ºjmnpo � r±n �K� d � r²rk«�j�n¢o � r±n �)��� o � o �m� jm« � l �Å� jm¬²«�rkn¢o±g¼n�j�g�o ��� r±d � o �'� d[«�Ø � �c � lºjÂqsrkn�jk��îKjOlºjmh � dHl�³$qsr±n¢¬²o±g ��Æm� d[h^l �Å� jm¬²«�rkn¢o±g�n¢jmg}o �¢� rkd � � û j �¢� jmdf�¡j¢¤�d[j­r±«ºjmnpo � rkn � r±dHl �i� j�¬�«ºr±npoagn¢jmg}o ��� r±d � �

#�îÅ[�î!� ���Y�4�g,Y-!�!ïk,Q�����'�

c l �Å� jm¬²«ºr±npoag�n�j�g�o ��� r±d �¢�p� jm¬�o ñ Ð ò�ó9ô�õ÷ó`ö)õ¢5¢5�5¢õ÷ó`ø@? t ùX�}� oO¤�d �i� j � j � r±q^jÂé¡«[g ���m�Å� o ��� n � l[Ø � j d�oa¬²j �ò ó7ô�õ÷ó`ö�õ�5¢5�5¢õªó�ø"ù oad�� oÁ� ���U��� d[h±Ø ����� j�� ��� ¬²j �U� o±¬�« o ��� n � l�Ø � jHt�� �)r±n¢n�j � «ºr±d�� � d[h � r<j�o �p� o �U� n � l[Ø � j¿d�o±¬²jó ú���®&ûOü¸û þÀ� �}� o � j ��ÿ ú � o±gig�j�� ��� j��¡r±¬�o � dHraq ó úU� û j­�[j�¤�d[j�� Ð ÿ�ô Ï ÿAö Ï 5¢5�5 Ï ÿAø ��w�j � B × l�j ��� j� j � raq¨oag�g � n¢o±d � o ���¢� rkd ��� ¬²j � ��oad��²BDCDlºj �¢� j � j � raq�o±gig Ä o±g � � �¢� ¬²j � � û jxØ � j�F1 �B × Ï B�C ¡Ó� r��¡j�d[r � j �¢� jD«ºr¥î)j�n� j � raq ��� j � j � r±q&l �i� j�¬²«�rkn¢o±g �p� n¢r±d[rkd � �¨t � jD�¡rk¬²o � d¿r±q�t ��� F1 HB × Ï B C4¡ �

û j�Ø � j&ñI � r n¢jm«[n¢j � jmd ���¢� j�jÂé¡«[g ���m�Å� o ��� n � l[Ø � j � r±qÉñ�� � � j±���LñJI Ð ò ó ô õªó ö õ�5¢5�5�õªó ø ù �Dc n�j�g�o ��� r±dK�^rkd�¢�p� jm¬�o�ñ�� � rk¬²j ��� ¬²j � �¡jmd[r � jß�fo � �Q !ñ ¡ � �}� o�¤�d �i� j � j � raq¶¬�o±«[« � d[h ��� ô � � ö � 5¢5�5 � ��� qsn�rk¬ ñI � rd�Á�ºî � jmn¢jo �¢� r �m� o � jß�fî �i��� j�o �p��� ú��¶®1û ü9û ��� �}� o$d[r±d � jm¬²« � ³ ��� ¬�j �Õ� oa¬²« o �U� n � l[Ø � jãO ú�PóF1 HB × Ï B�C ¡ � û j�o±�[� ��� jjÂé¡«[g �}�Â�i� n�j �Õ� n �}���¢� rkd ��� o � "ü õS�)õ ®7û�ü õ�� û����Qü��Ð ���T� ú&�Ð � �Ì�¶ãejmd � jJ� Ð ò(�Lô*? O ô�õ��"öl? O ö�õ¢5�5¢5�õ�� � ? O�� ù �Ú d ��� j$qsr±g�g�r¥î � d[h�� ��� j � Ø�l ��� n � « � Í n�j�«[n¢j � jmd �¢� oH«[n¢j�� �}� o � j rkd�ñ��¶oad�� ��� j � Ø�l ��� n � « �ã� n�j�«[n¢j � jmd �¢� oqsØ[d �Â��� r±d¿r±d ��� j Ä o±g � � � ��� ¬²j � r±¬²«ºr±d[j�d � raq �¢� jO� �}�Õ�¢� d�h±Ø �}�U� j�� ��� ¬²j �U� oa¬²«Ho ��� n � l�Ø � jDt��

#�îÅ[�îð# ���]� (M�B*P�'��,Y-ÉNA*P(+�4,Q� �Y�4R

÷ � hkØ[n¢j>e �U� r¥î ���¢� jfl �i� j�¬²«�rkn¢o±g �Õ� o � j¸oad�� l �i� j�¬²«�rkn¢o±gej Ä jmd � r±«ºjmnpo � r±n � � Ú d �¢� j_¤�hkØ[n�jk�&� Ê n¢jm«[n¢j � jmd �p� ol �i� j�¬�«ºr±npoag �Õ� o � jHn¢jmg}o �¢� rkd����xÌfn¢jm«[n¢j � jmd �p� o l �Å� jm¬²«�rkn¢o±gej Ä jmd � n¢jmg}o ��� r±d��p� Ê n¢jm«[n¢j � jmd �p� o Ä o±g � � � ��� ¬²j �Õ� o � jn¢jmg}o ��� r±d����bÌDn¢jm«�n�j � j�d �p� o Ä o±g � � � ��� ¬²jxj Ä j�d � n¢jmg}o �¢� rkd��[oad��¬O)n�j�«[n�j � j�d �¢� o � npoad � o �Â��� r±d � ��� ¬²j�n¢jmg}o �¢� rkd�����]� (+�g*P�Y�4,.- � � ,Q��( �&�!��(M�B*P�'�4,.-PI�\'(M���Á Ý ÙÂMÃÅÄÇÆS� � È � Ê`Ë � Ê Á Ý ÚÂMà Ä0Æ�� � È �WÌ Ë �xÌÌ Ý ÙÍ È � Ê�Ë � Ê Ì Ý ÚÍ È �xÌ Ë �xÌÑ Ò Ý Ù � øÍ � � È � Ê Ï��Y�Y�YÏ � Ê9Ë � Ê Ñ Ò Ý Ú � øÍ � � È �WÌ Ï��Y�Y�YÏ �xÌ Ë �xÌÐLÑÒ Ý ÙÍ � � � �@� È � Ê Ï � Ê`Ë � Ê Ð�ÑÒ Ý ÚÍ � � � �@� È �WÌ Ï �xÌ Ë �WÌÔ Ý Ù È � Ê Ï � Ê9Ë � Ê Ô Ý Ú È �xÌ Ï �xÌ Ë �xÌÕ Ý Ù È � Ê Ï � Ê�Ë � Ê Õ Ý Ú È �xÌ Ï �xÌ Ë �WÌÖ Ý Ù× È � Ê�Ë � Ê Ö Ý Ú× È �xÌ Ë �xÌ¡D¢ Ý Ù�  ØkÙ È � Ê`Ë � Ê ¡D¢ Ý Ú*  Ø�Ú È �xÌ Ë �bÌ¡D¢ Ý Ù�  Ü È � Ê`Ë O ¡D¢ Ý Ú*  Ü È �xÌ Ë O¡�£ Ý Ù È � Ê9Ë � Ê ¡�£ Ý Ú È �xÌ Ë �xÌ¡�£ Ý Ù¤ È � Ê9Ë � Ê ¡�£ Ý Ú¤ È �xÌ Ë �xÌ

÷ � h±Ø[n¢j8e È Ü �Å� jm¬²«ºr±npoag&â�«ºjmnpo � rkn ��)r±¬²«�oan � d[h �¢� jerk«�j�n¢o � r±n � j �¶� d ÷ � hkØ[n�j¸e � r ��� jN«[n¢j Ä�� r±Ø � g�³��¡j�¤�d[j��²rk«�j�n¢o � r±n � j �p�¶�U� r¥î ����� o � oag�g[raq ��� jl �i� j�¬�«ºr±npoag&r±«ºjmnpo � r±n � oan¢jDj �i��� j�n�� � n�j ��� hkjmd[j�n¢o±g ��Æ o ��� r±d � r±q ��� j � n � d�oa« ��� r ��� r±Ø[d � jmn¢«�oan �¢� �[r±n�h±j�d[jmnpoag �iÆ o �¢� rkd �raq ��� j�qsjmîRok�[� �i��� r±d�o±g¼r±«ºjmnpo � r±n � �[j�¤�d[jß�$qsr±n Ä oag � � � �¢� ¬²jDr±n � n¢o±d � o ���¢� rkd � ��� ¬�jxn¢jmg}o ��� r±d � �

® D

Page 16: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

Ú d ��� j qsrkgig�r¥î � d�h��ÀîKj �¡j¢¤�d[j ��� j r±«ºjmnpo � r±n �D�¢� o � � �iì j�n­qsn¢r±¬ �¢� j Ä o±g � � � ��� ¬²j �U� o � j r±«ºjmnpo � rkn � raqxu¡j � ���� r±d<y¡�¦y¡�¦y¡��t � j��¡j¢¤�d �i��� r±d � raq �¢� j�n�j�¬²o � d � d[h r±«ºjmnpo � rkn � oan¢jOj�o �U� g�³ hkjmd[j�n¢o±g ��Æ jß� qsn�rk¬ ��� j Ä o±g � � � ��� ¬²j­rk«�j�n¢o �� rkn � �¨c �Ó��� j��[j�¤�d �i��� r±d � r±q �¢� j�l �Å� jm¬²«�rkn¢o±g �U� o � j�o±d���l �i� j�¬�«ºr±npoag�j Ä jmd � r±«ºjmnpo � r±n � oan¢j � �¡jmd ���}� o±gè�̬²r¡�¡Ø[g�r ��� joa«�«[n�rk«[n � o � j � Ø[«ºjmn �¢� n � « � �¡î)j�rk¬ �i�N��� jO�¡j�¤�d �Å�¢� rkd � raq ��� jDl �Å� jm¬²«�rkn¢o±g¼j Ä jmd � r±«ºjmnpo � rkn � �t � j­l �Å� jm¬²«�rkn¢o±g ��� j � o � cÕr � d �}� oadµþ � î'o�³XcÕr � d���c!n¢j � Ø[g ��� Ø[«[g�j²n�j�«[n�j � j�d ��� d[h ��� j � r±d � o � jmd�o ��� r±dfr±q ��� j� d[«[Ø ��� Ø�«[gij ���'ú �À®Sûêü�ûêþÀ� �}� «�n�r¡�¡Ø � j�� � q �¢� j�«[n�jß� �}� o � j�� �}��� o ���}� ¤�j��¼�Dt � j Ä oag � � ��� ¬�j�raqKo^n¢j � Ø[g �x� Ø�«[gij�}� «[n�r¡�¡Ø � j��ÁØ ��� d�h ��� j�qsØ[d �Â��� r±d�¦²� Ú q ��� j � d � jmn � j ���¢� rkdÁr±q �¢� j � npoad � o �Â��� r±d �¢� ¬²j � r±¬²«�rkd[jmd �p� raq ��� j � d[«[Ø �� Ø�«[gij �²��� d�r±d � jm¬²« � ³ �¢� jmd ��� j �¢� ¬²j �Õ� oa¬²«Xr±q �¢� j¿n�j � Ø[g �²� Ø[«�gij �}� «[n�r¡�¡Ø � j�� l�³ ��� j � n�r ��� � «�n�r¡�¡Ø �Â� r±q �������� d � jmn � j ���¢� rkd�î �Å�¢���¢� j$n¢j � Ø[g � r±q�¦²��â �¢� jmn¢î �}� jk� �¢� j � npoad � o �Â��� r±d ��� ¬²j$r±q ��� j$n¢j � Ø[g ��� Ø�«[gij¿�¡jmq oaØ[g �¢�­� r ��� j� Ø�n�n¢jmd �'� npoad � o �Â��� r±d ��� ¬�jk�t � j¿qsØ[d �Â��� r±d öWËvÈ�É ù O"ÌB&� Ý þ Ê n�j � Ø[n¢d �²�¢� jfoan¢h±Ø[¬²j�d � � j � r±q � n¢o±d � o ���¢� rkd �¢� ¬²j � � � q �Å�^�}� d[rkd � jm¬²« � ³±�â ��� jmn¢î ��� j±� �¢� j �U� d[hkgij � r±d � j �e� rkd � o � d � d[h²r±d[g�³ ��� j � Ø[n¢n�j�d �K� n¢o±d � o ���¢� rkd �¢� ¬²j �}� n�j � Ø[n¢d[jß�¼�

öWËvÈ�É ù O"Ì(B�� Ý þ Ê  �B ¡ Ðûú B � qEB>�Ðñ¯ò ö × ù r �¢� jmn¢î ��� jt � j ��� ¬²j �U� oa¬²«$raq�o­n�j � Ø[g �Ó� Ø[«[g�j �}� «[n¢r��[Ø � jß��l�³ ��� jO�Koan � j �U� oad�«[n¢r¡�¡Ø �Â� r±q ��� jxn�j � Ø�g � raq/öWËvÈ�É ù O"ÌB&� Ý þ Ê rkd��� j � d � j�n � j �Â��� r±d raq ��� j � n¢o±d � o ���¢� rkd �¢� ¬²j � r±q �¢� j � d[«[Ø �N� Ø[«[g�j � ��oad�� �¢� jDn�j � Ø�g � raq5¦²�

Ñ Ò Ý Ù � øÍ � �  H� ô õ � ö õ�5¢5¢5�õ � ø ¡ Ð ò � Ã�������Qíx¨ ë@ì�(¨ Æ ¦ ô ?Y©�� ô PD� ô ©�� ö P�� ö 5�5¢5/©Q� ø Pd� ø -�S  � ô ? O ô õ8� ö ? O ö õ¢5�5¢5�õ8� ø ? O ø ¡�ª�'¥ ñIô § Ð � ô ¥ ñIô § ª �"¥ ñIö § Ð � ö ¥ ñJIö § ªµ5¢5¢5vª �"¥ ñJIø § Ð � ø ¥ ñIø § ª�'¥ t0§ Ð � ü öY÷+�Q �B�ê õ�ø ê ¡ª¡ ù

î � j�n�jJB ê Ð öWËvÈ�É ù O"ÌB&� Ý þ Ê  !n t pM~.ikpMm+n�q u ~+  � ô ¥ t0§ ¡�� n t pM~.ikpQmkn�q u ~Q  � ö ¥ t0§ ¡��µ5�5¢5� n t p+~.ikpQm+n"q u ~.  � ø ¥ t0§ ¡á¡

o±d�� ø ê Ð ¦S ]oMpQl'q�r"  � ô ¥ t0§ ¡�õ oMpQl'q�r�  � ö ¥ t0§ ¡�õ¢5�5¢5¢õ oMpMl"q�rY  � ø ¥ t0§ ¡ª¡

à ��� d[h�l �i� j�¬²«�rkn¢o±g �U� o � j�«[n�r)cÕj �Â��� r±d o±d�� � j �K� d � j�n � j �Â��� r±d�qsrkn®¦²� �i�N��� «�r ����� l[gij � r��¡j�¤�d[j �¢� jxl �Å� jm¬²«ºr±npoag �Õ� o � jd�o � Ø[npoagMcÕr � d � d � jmn¢¬ � raq �¢�[�}� r±«ºjmnpo � r±nß�÷ r±n �¢� j�q o±¬ � g�³¸raqNrkØ � j�n � cÕr � dÁrk«�j�n¢o � rkn � ��îKj�r±d[g�³Á� �}�¢� Ø �¢�x��� j l �Å� jm¬²«ºr±npoag �U� o � j�g�jÂq � rkØ � j�n � cÕr � d�� t � jn � h �k� o±d��<qsØ[g�g Ä o±n � oad �¢��� oad lºj �¡j¢¤�d[jß� � d�o �U� ¬ � g}oanO¬�o±d[d[jmnß�Ht'î)r � Ø[«[g�j � � ô PN� ô o±d�� � ö PN� ö «[n¢r¡�¡Ø � jr±d�jDr±n � îKr�rkØ � «�Ø �N� Ø[«�gij � � � q ��� j�³ � o �¢��� qs³ �¢� jD«[n¢j�� �}� o � j�²� Ú qå�Qj Ä o±giØ�o � j �'� r�æ�çMèDé ��� jmdfo�n�j � Ø�g �N� Ø[«[g�j ���h±j�d[jmnpo � j��$î �[�}�p�H���e��� j � r±d � o � jmd�o ��� r±d raq � ô o±d�� � ö ��î �i���¿�¢� jOn¢j � Ø[g � raq5¦S ]oMpQl'q�r"  � ô ¥ t0§ ¡�õ oMpQl'q�r�  � ö ¥ t0§ ¡ª¡ o ��i�¢�NÄ oag � � �¢� ¬²jk�Óc � j � rkd��$n�j � Ø[g �N� Ø�«[gij �}� o±g � r²«[n�r¡�¡Ø � j�� � q � ô ¥ t0§ Õ � ö ¥ t0§p�Ðñ¯ �¶t � jDjÂé¡«[g �}�Â�i� o ��� n � l[Ø � j Ä oag�Ø[j �raq �¢�[���O� Ø[«�gij o±n�j � j �D� r ��� j o ��� n � l[Ø � j Ä oag�Ø[j � raq � ô � � r¥î)j Ä j�n���d�Ø[g�g Ä o±giØ[j � n¢jm«[g}o � j ��� j o �U� n � l[Ø � j Ä oag�Ø[j � r±q� ö �Dt � j Ä o±g � � �¢� ¬²j�raq �¢� j�n�j � Ø[g ��� d[h � Ø[«[g�j ���x� j �x� r�¦ê� !o+pQl"q�r'  � ô ¥ t0§ ¡ õ o+pQl"q�r'  � ö ¥ t0§ ¡á¡ �Oíer±n¢¬�oag�gi³k�D¦ê �}����� j� �iì j�n�j�d � j�qsØ�d ���¢� rkd rkd �¢� ¬²j �Õ� oa¬²« � �� ô ÐLÑÒ Ý ÙÍ � � � � � � ö Ð ò � ¨ ë@ìíx¨ ¦ ¨ ë@ìî ¨ ¦ ô Æ ?W©Q� ô P¬� ô ©Q� ö Pd� ö  -�S  � ô ? O ô õ�� ö ? O ö ¡8ª

 ª H�"¥ ñIô § Ð ��ô ¥ ñJIô § ª �'¥ ñIö § Ð �'ö ¥ ñIö § ª �"¥ t0§ Ð � ü öY÷+�M HB�ê õ�ø ê ¡ª¡�ï -�'¥ ñIô § Ð ��ô ¥ ñIô § ª �"¥ ñIö § Ðð ª �"¥ t0§ Ð � ü öY÷��Q HB�ê õ�ø ê ê ¡á¡@ª �"¥ t0§5�а¯ ¡ ùî � j�n�jJB�ê¼o±d�� ø ê�oan¢jDo � �¡j¢¤�d[jß� qsrkn ��� jDl �Å� jm¬²«�rkn¢o±g ��� j � o � cÕr � d���oad�� ø ê ê Ð ¦ê� !oMpMl"q�r�  ��ô ¥ t0§ ¡�õ oMpQl'q�r"  �'ö ¥ t0§ ¡ª¡ �

®k®

Page 17: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

t � j ¡D¢ Ý Ù�  ØkÙ r±«ºjmnpo � rkn � npoad � qsr±n¢¬ � oHl �i� j�¬�«ºr±npoag �Õ� o � j^n�j�g�o ��� r±d � d � rfo Ä oag � � � �¢� ¬²j �U� o � j^n¢jmg}o �¢� rkd��&l�³��� ¬²«[g�³ n¢jm¬²r Ä�� d�h �¢� j � npoad � o �Â��� r±d ��� ¬�j � o �¢� r �m� o � jß�^î �i��� j�o �p�$� d[«[Ø �N� Ø[«[g�j±�¡D¢ Ý Ù�  Ø+Ù  �� ¡ Ð ò � à ø ¦ ô Æ ?(©Q� P¬�M -�'¥ ñ I § Ð � ¥ ñ I § ª �'¥ ;U§ Ð ò � ?Y©  HO õ � ¡ P � ¥ t0§ ù�¡ ù

t � j ¡D¢ Ý Ù�  Ü rk«�j�n¢o � rkn � npoad � qsr±n¢¬ � oHl �i� j�¬²«�rkn¢o±g �U� o � j^n¢jmg}o �¢� rkd � d � rÁo � npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j�n¢jmg}o ��� r±d���l�³��� ¬²«[g�³ n¢jm¬²r Ä�� d�h �¢� j Ä oag � � ��� ¬²j � o ��� r �Â� o � jß�^î �i��� jßo �p� � d[«[Ø �e� Ø[«�gijk�¡D¢ Ý Ù�  Ü  H� ¡ Ð ò � à ø ¦ ô Æ ?Y©Q� P��Q H�"¥ ñJI § Ð � ¥ ñI÷§ ª �"¥ t0§ Ð ò O ?Y©  �O õ � ¡ P � ¥ t0§ ù4¡ ù

t � j � g ��� jxrk«�j�n¢o � rkn � ¡�£ Ý Ù o±d�� ¡�£ Ý Ù¤ hkjmd[j�n¢o � j�«�r ����� l�gi³^¬�o±d̳�n¢j � Ø[g �'� Ø[«[g�j � qsn¢r±¬ o ��� d�h±g�j � d[«[Ø �N� Ø[«[g�j±�ö o �p� n�j � Ø�g �^� Ø[«[g�j �}�$Ä o±giØ�j � j��ÌØ ��Ä o±gij�d �^� r ��� j � d[«�Ø �$� Ø[«[g�j±� Ú d ��� j � o � j¸raq ¡�£ Ý Ù � �¢� j¸n¢j � Ø[g � � Ø[«[g�j � oan¢j��� ¬²j �U� o±¬�«ºj�� î �i��� o²¬�o¥é � ¬²o±g � npoad � o �Â��� r±d � ��� ¬²j�«ºjmn � r��¿o±d�� �¢� j Ä oag � � � �¢� ¬²jDjmg�jm¬²j�d ��� r±n¢n�j � «ºr±d�� � d�h � r �¢� o �� npoad � o ����� r±d ��� ¬�jk� ÷ rkn ¡�£ Ý Ù¤ �¡j�o �p� n¢j � Ø[g �'� Ø[«[g�j �}�K��� ¬²j �U� o±¬�«ºj�� î �i��� o�¬�oaé � ¬�oag¼d[rkd � r Ä jmn¢g}oa«[« � d[hOn¢j �Â� o±d[h±g�j� d l �Å� jm¬²«�rkn¢o±g � «�o � jk�Ú d �¢� j)qsr±g�gir¥î � d[heîKj)Ø � j ��� j�1A© ©¢¯!­�o±d��Z�*U�©¢¨ ´Å°÷«"­�r±«ºjmnpo � r±n � o � �¡j¢¤�d[jß� � d ��� j)g}oad[hkØ�oahkjÓ�¡j¢¤�d �i��� r±d � r±¬²¬²jmd � o±n�³¥ u¡c�c�¦¶¯a°4§��

¡�£ Ý Ù  H� ¡ Ð ò � à ø ¦ ö Æ ?W©Q� P��Q H�"¥ ñJIª§ Ð � ¥ ñI÷§ ª � ü öY÷+�Q H�"¥ t0§ õ �"¥ ;`§ ¡ ¥ � ¥ t0§ ¡ ù

î �i��� ��� jOok�[�¡jß�$n¢j �U� n �}����� r±d �Ó�¢� o � �� ô õ � ö P ¡�£ Ý Ù  H� ¡  H� ô ¥ ñI÷§ Ð � ö ¥ ñI÷§ � òÇ -� ô ¥ t0§bȬÌvÌO Ê � ö ¥ t0§ ª � ô ¥ ;U§ Ð � ö ¥ ;U§ ¡�ª òÇ H� ô ¥ t0§bËv�bÌ�2Ê Ý É Ê � ö ¥ t0§ ¡ª¡ � P¬�� �O­P � ¥ t0§ © �GP ¡D£ Ý Ù  �� ¡   � ¥ ñI § Ð �'¥ ñIª§ ª OpP§� ü öY÷+�M -�'¥ t0§ õ �"¥ ;`§ ¡ª¡

t � j1¤�n �U� n¢j �U� n �}����� r±d jmd � Ø[n¢j �D�¢� o ����� j � npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j^«ºjmn � r¡� � oan¢j^¬�o¥é � ¬�oag �¨qsr±n²o � rkd �U� oad ��Ä o±g � � � ��� ¬�jjmg�jm¬²j�d � �¶t � j � j � rkd��$n�j �Õ� n �}���¢� rkd jmd � Ø[n¢j �K�¢� o � d�r � d¡qsrkn�¬�o �¢� rkd �}� g�r �U� l̳ ��� jDrk«�j�n¢o ��� r±d��¡�£ Ý Ù¤  H� ¡ Ð ò � à ø ¦ ö Æ ?W©Q� P��Q H�"¥ ñ I § Ð � ¥ ñ I § ª � ü öY÷��Q -�'¥ t0§ õ8� ¥ ;U§ ¡ ¥ � ¥ t0§ ¡ ù

î �i��� ��� jOok�[�¡jß�$n¢j �U� n �}����� r±d �Ó�¢� o � �� ô õ � ö P ¡�£ Ý Ù¤  H� ¡  H� ô ¥ ñI÷§ Ð � ö ¥ ñJI § �  -� ü öY÷+�Q H� ô ¥ t0§ õ � ö ¥ ;U§ ¡�� � ü öY÷+�M -� ö ¥ t0§ õ � ö ¥ ;`§ ¡ Ðñ¯ ª� ô ¥ t0§bȬÌvÌO Ê � ö ¥ t0§ � � ô ¥ ;`§­�Ð � ö ¥ ;`§ ª� ô ¥ t0§QËv�bÌ�2Ê Ý É Ê � ö ¥ t0§ � òÇ -� ô ¥ ;`§lÈ�ÌvÌ(O Ê � ö ¥ ;U§ ¡á¡ � P¬�/ �O­P � ¥ t0§ © �²P ¡�£ Ý Ù¤  �� ¡   � ¥ ñJI § Ð �'¥ ñI § ª OpP§� ü öY÷��Q -�'¥ t0§ õ �'¥ ;U§ ¡á¡

t � j0¤�n �Õ� n¢j �U� n ���Â��� r±d�jmd � Ø[n¢j �&��� o �¨��� jNn¢j � Ø[g ��� d[h�l �i� jm¬²«ºr±npoag¡n¢j �Â� oad�h±g�j � �¡r�d[r � r Ä jmn¢g�o±«�� ��� o ���¢� j � npoad � o ����� r±d ���� ¬²jD«�j�n � r¡� � o±n�jx¬�o¥é � ¬�o±gP  qsrkneo � r±d �U� o±d �'Ä o±g � � � ��� ¬�jD«ºjmn � r�� ¡ ��o±d�� ��� o �N��� j Ä oag � � � �¢� ¬²jD«ºjmn � r¡� � o±n�j � d q o ���¬�o¥é � ¬²o±gè�Àt � j � j � r±d��$n¢j �U� n ���Â��� r±d jmd � Ø[n¢j �)��� o � d[r � d[qsr±n¢¬²o ��� r±d ��� gir �Õ� l�³ ��� jDr±«ºjmnpo ��� r±d��

®�y

Page 18: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

ÞÇß�� âÇë�< <�ä�ì �

û j � o Ä j��¡j�¤�d[j�� o � r±d � jm« � Ø�o±g�oag�h±jml�n¢o�qsr±nNteu�vxw�y � ¬²«[g�jm¬²jmd � o ��� r±d��¶t � j�o±gihkjml[npo � r±d �U�}�Õ�p� raq ��� é r±«ºjmnpo � r±n �� j �¢� �±rkd[j'qsr±nÓj�o �p� raq �¢� jen¢jmg}o ��� r±d � ³�«�j �¶� Ø[«[«ºr±n � j��²l�³�teu�vxw&y[�&c � oag � j�d � qsj�o � Ø[n¢jNraq ��� j�o±gihkjml[npo ���À��� o � ¬²r �U�raq ��� j�r±«ºjmnpo � r±n � oan¢j ��� ¬�«�gij�h±j�d[jmnpoag �iÆ o �¢� rkd � r±q¶jÂé ���U��� d[h � d�oa« ��� r � r±«ºjmnpo � r±n � �Du�«ºj �Â� ¤ � oag�gi³k��oag�g&l[Ø �x�¢� n¢jmj�r±q��� j Ä o±g � � � ��� ¬�j �U� o � j²oad�� Ä oag � � � ��� ¬²j­j Ä j�d � r±«ºjmnpo � r±n � ��rkd[j­r±q �¢� j � npoad � o �Â��� r±d �¢� ¬²j²r±«ºjmnpo � r±n � �¼oad��Hqsr±Ø�nxr±q��� jDl �Å� jm¬²«ºr±npoag �U� o � jOoad��$j Ä jmd � r±«ºjmnpo � r±n � o±n�jxh±j�d[jmnpoag ��Æ o �¢� rkd � raq � r±n¢n¢j � «�rkd�� � d[h � d�o±« �U� r � r±«ºjmnpo � r±n � �c � r±d � j��ÌØ[j�d � j�raq ���[�}� �¡j ��� h±d �}�K��� o �N� ¬²«[g�jm¬²j�d � o �¢� rkd$r±q ��� j�o±gihkjml[npo �}� oal[g�j � r�¬�oað±jxØ � j�raq&jmé ���U��� d[h��oad���îKjmg�g � Ø[d��¡j�n �U� r�r¡�¼� � d�oa« �U� r � �ÌØ[j�n�³ rk« ��� ¬ �iÆ o ��� r±dXoad�� j Ä oag�Ø�o �¢� rkd � j �p� d � �ÌØ[j � � c � ¬²r �U� rk«�j�n¢o � rkn � oan¢j� d�oa« ��� r � jmé � jmd ��� r±d � �Óo±��oa« � o ��� r±dXraqxjÂé ���U��� d[h � j �p� d � �kØ�j �²�}����� ¬�«�g � ¤�j���� � rkn�j�r Ä j�n�� ��� d � j¿r±d[g�³�ofqsj�î:d[j�îr±«ºjmnpo � r±n � o±n�j²o±���¡j��Áî)j²¬ � d � ¬ ��Æ j �¢� j�o±�[� �i��� r±d�oagÀj ì r±n � d[jmjß�¡j�� � r¿jmé � jmd�� �ÌØ[jmn¢³frk« ��� ¬ �iÆ o ��� r±d � rHo �m� rk¬ �¬²r¡�[o � j ��� j � j�r±«ºjmnpo � r±n � �¡o � î)j�gig�o �K��� jDd�Ø[¬­l�j�nNraq¨d[jmî �ÌØ[jmn¢³^j Ä o±giØ�o ��� r±d¿oag�h±rkn �i��� ¬ � d[j�j��¡jß� l̳ ��� j¼�ÌØ[j�n�³«[n¢r � j �¢� r±nß�

! "$# �`���_U�&% ¹ U��º9��X�� �(' )� �������¸`¹Z���º¼»Î½ »¢¿X`À���º

t � j�qsr±g�g�r¥î � d[h¿oan¢j�Ø � jmqsØ[g Ä oag � � � �¢� ¬²j²r±«ºjmnpo � r±n �e�¢� o ��� oadÁl�j�jmé�«�n�j ��� j�� � d � j�n�¬ � raq ��� j � r±n¢j­rk«�j�n¢o � r±n � �¡j ��¢� n � lºj�� � d ��� j�«[n�j Ä�� rkØ ��� j ����� r±d���u � ¬ � g�o±n��[j�¤�d �i��� r±d � oan¢j­jßo ��� g�³ � rkd �U� n¢Ø ��� j��¸qsr±n ��� j � npoad � o �Â��� r±d � ��� ¬²j�o±d��l �i� j�¬�«ºr±npoag¼¬²r¡�¡j�g � �w�j � � ô oad��G� ö lºj Ä oag � � � �¢� ¬²j �Õ� o � j�r±n Ä oag � � � �¢� ¬²jxj Ä j�d � n¢jmg}o ��� r±d � r±d ���p� jm¬�o � ñ ô oad��Zñ ö ��n�j � «ºj �Â����Ä jmg�³±�oad�� g�j � � Ð ñIô � ñIö l�j �¢� jOo ��� n � l[Ø � j �K�¢� jm³ � o Ä j � d � r±¬²¬²r±d��t � j Ä oag � � � ��� ¬²j��Koan � j �U� oad «[n¢r¡�¡Ø ��� � ô Ï � ö ��� �¡j�¤�d�j�� � d � jmn¢¬ � raq ��� j­y � îKo�³ Ä o±g � � � ��� ¬²j ��� j � o � cÕr � dHo �qsr±g�g�r¥î � �� ô Ï Ø � ö+* � ô Ñ Ò Ø�  î,.-0/21 � ¸8¹"º�»H¼�Ã�3 í ÆHÃl¸�¹�º�»H¼�Ã�3 î Æ � öû �Å�¢� � ô oad��ó� ö Ä o±g � � � ��� ¬�j$n�j�g�o ��� r±d � r Ä jmn ���p� j�¬�o � ñ ô o±d��gñ ö �Àn¢j � «�j ���¢�iÄ jmg�³±�Ào � l�jmqsr±n¢j±� ��� j¿y � îKo�³Ä oag � � � �¢� ¬²jDd�o � Ø[npoagQcÕr � d¿r±qL� ô oad��¬� ö ��� ô Ñ Ò Ø � ö � öD�}� �¡j¢¤�d[j��Ho � qsr±g�gir¥î � �` èc � lºjÂqsrkn�jk�5476X�¡j�d[r � j �'�¢� j � �¡jmd ���i� ³qsØ[d �Â��� r±d�� ¡� ô Ñ Ò Ø � ö � ö8* Á Øë ì í:9 ë ìî � ; <  H� ô Ñ Ò Ø � ö3 í Å = í Ï 3 î Å = í?> ÅÆÅÆÅ > 3 í Å =A@ Ï 3 î Å =A@®� ¸�¹"º�»-¼�Ã�3 í Æ-Ãl¸�¹"º�»H¼�ÃB3 î Æ � ö ¡

;¶oag � � � ��� ¬²j � d � j�n � j �Â��� r±d ��� �¡j�¤�d�j�� Ø ��� d[h Ä oag � � � �¢� ¬²jDn¢jmg}o �¢� rkd�oag¼� �iì j�n�j�d � jk�� ô ��Ø � ö8* � ô Õ Ø  H� ô Õ Ø � ö ¡

;¶oag � � � ��� ¬²j � g �}� jNn¢j � Ø�n�d �À��� j � j � raq � Ø[«[g�j �ÓÄ oag � �²�¡Ø[n � d[hOo�«�oan ���}� Ø�g�o±n �p� n�rkd[r±d��&t �[�}� rk«�j�n¢o � r±n �}� �¡j¢¤�d[jß�� d � j�n�¬ � raqÓo � j�gij ����� r±d¸r±d¸o Ä oag � � � ��� ¬²j�n¢jmg}o �¢� rkdK��� û j²�¡j�¤�d�j � îKr Ä oan � o±d �¢� r±q ������� r±«ºjmnpo � r±nß� Ú d �¢� j&¤�n �U� �n¢j � Ø[g �'� Ø[«[g�j � n¢j � o � d �¢� j Ä oag � � � ��� ¬²jDjmg�jm¬²jmd � o ��� r �Â� o � jß�^î �i��� ��� jDr±n � h � d�o±g � Ø[«[g�j � �C Ø×  H� ¡ * Á Øë   Ì Ø× D ¸FE?G�º"¹IH:J�¸�¹"º�»H¼�ÃB3ªÆ  H� ¡ª¡

® =

Page 19: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

Ú d �¢� j � j � r±d�� Ä o±n � oad � � ��� j ��� ¬²j �U� o±¬�« ��� n�j�¬²r Ä j���� ��� jmn¢jml�³$«�n�r¡�¡Ø �m� d�h ��� j � d�oa« ��� r � n�j�g�o ��� r±d Ä oag � �f�¡Ø[n � d�ho�«�oan ���}� Ø�g�o±n �p� n�rkd[r±d��

C Ù×  �� ¡ * ¡D¢   Ì Ø×KD ¸FEFG�º"¹FH:J:¸�¹"º$»H¼¢Ã�3÷Æ  �� ¡á¡L "$# ¹���U � ��NM&POê�8Q·U�

t � j��[j�¤�d[jß�foag�h±j�l[npo ��� oal[g�j � r � ¬²«[g�jm¬²jmd � ¬²o±d�³$r±q �¢� j � r±¬²¬²r±dHteu�vxw�yS�ÌØ[jmn � j � �Nã�r¥î)j Ä jmnß� �¢� jmn¢jOn¢jm¬�o � dg}oad[hkØ�oahkj�qsjßo � Ø�n�j � �¡d�o±¬²jmg�³ �[o � o­�[j�¤�d �i��� r±d �U� o � jm¬²j�d �p� oad�� � j�¬²«�rkn¢o±g�oah±hkn�j�hko ��� r±d � r±d �U� n¢Ø ���p� � �¢� o � o±n�jxd[r �³±j �e� Ø[«�«�rkn � j�� l�³ ��� jOo±gihkjml[npo[� û jOoan¢j � Ø[n¢n�j�d � gi³^ok�[� � d[h � Ø[«[«ºr±n � qsrkn � j�¬�«ºr±npoag�o±h±hkn�j�hko � j � �÷ r±n �¢�[�}�NÄ j�n ��� rkd r±q ��� jOoag�h±jml�n¢o��ÌîKj�d[r¥î8jmé[oa¬ � d�j �Å�p� jÂé¡«[n¢j �¢�U��Ä jx«�r¥îKjmnNî �i��� n¢j � «�j ���'� r^teu�vxw&y¡�Óâ�Ø[n«[Ø[n¢«ºr � j �}�'� r � d¡qsrkn�¬�oag�g�³ �¡jm¬²rkd �Õ� n¢o � j ��� o �N��� j�o±gihkjml[npo � o �K�¢� j�qsr±g�gir¥î � d[h²«[n¢r±«ºjmn ��� j � �

®k�et � jNr±«ºjmnpo � r±n � j �Ó�}� ¬ � d � ¬�oag � � d �¢� j � jmd � j ��� o � j�o �p� �¡j�¤�d�j��²r±«ºjmnpo � r±n �}� d[j � j �¢� oan¢³Dqsr±n � r±¬²jNg � d�h±Ø �}�Õ�¢���� r±d �Õ� n�Ø �Â� �y[� ö o �p� teu�vxw&y � r±d �U� n¢Ø ���¶� o �À� r±¬²j � rkn�n¢j � «�rkd�� � d[h�oag�h±jml�n¢o ��� r±«ºjmnpo � r±nß� ��� j�n�j�l̳��¡jm¬²rkd �Õ� n¢o ��� d[h ��� o �À��� joag�h±jml�n¢o ���e� r±¬²«[g�j � j±�û j­g � ¬ �Å�x��� j²� �}��� Ø �¢�U� r±d � r ��� j­l �i� j�¬²«�rkn¢o±g �U� o � j­o±gihkjml[npo[��r±d[j­raq �¢� j � îKr^¬²r �U�D� r±¬²«[g�jÂé Ä oan � o±d �¢� r±q��� jOoag�h±jml�n¢o��¨u � ¬ � g}oaneo±n�hkØ[¬²jmd �¢� o±n�jxj�o �U� g�³ � rkd �Õ� n�Ø ��� jß�^qsrkn ��� jDn¢jm¬�o � d � d[h²r±«ºjmnpo � r±n � j �¢� �

�Ußáà R°=5��=�æMæQ6±é��Ú d �¢�[���'� j �Â��� r±d��Ìî)j �U� r¥î ��� o � j�o �p� l �i� j�¬�«ºr±npoag �U� o � j�rk«�j�n¢o ��� r±d � o � o � r±n¢n¢j � «�rkd�� � d[hDg � d[hkØ ���U���}��� r±d �U� n¢Ø �Â�)� dteu�vxw�y¡� ��� j�n�j�l�³¿�[jm¬²r±d �U� npo �¢� d�h ��� o ���¢�[�}� rk«�j�n¢o � rkn � j ����� ¬ � d � ¬�oag �Ot � n¢r±Ø[h � r±Ø �����[�}��� j ����� r±d��ºîKj�Ø � j ��� jl �i� j�¬�«ºr±npoag �U� o � j�n¢jmg}o �¢� rkd ö ¬²«[g�r¥³±j�j Ð   í�oa¬²j±�¡��jm« �A? t ¡¨� r � gig�Ø �U� npo � j ��� jx� �}��� Ø ����� r±d��Àc���� �Å�¢� rkd�oag �¢�p� jm¬�o �oad�� n¢jmg}o �¢� rkd � oan¢j � d � n¢r¡�¡Ø � jß�¿o � d[j � j �¢� oan¢³±�

[�î!�"î!� ^7�4�.S (+�)�����'� NS*P(+��,.���'�

t � jNl �i� j�¬²«�rkn¢o±g �Õ� o � jN«[n�r)cÕj �Â��� r±d�r±«ºjmnpo � rkn ��� Ø � jß��l�r ����� r � ¬²«[gij�¬²jmd � «[n¢r�cÕj ����� r±d � d ��� j`ikjQl+jMm+n � g�o±Ø � jk�ko±d��� r � ¬²«[gij�¬²jmd � n¢j �U� n¢Ø ��� Ø[n � d[h�� � q � «ºj �m� ¤�jß�¼� � d ��� j sMtYu)v^� g}oaØ � j±�÷ r±n�jmé¡o±¬²«[gijk� � rkd �U� �¡j�n �¢� jS�ÌØ[jmn¢³T� û � o � oan¢j �¢� j²d�oa¬²j � r±qKoag�gÀjm¬²«[g�r¥³±j�j � oad��Áî � j�d<� � � ��� j�³fî)rkn�ðqsr±n �¢� j � rk¬²«�oad�³VU � t �[�}� �ÌØ[jmn¢³ � oad l�jDjmé�«�n�j ��� j�� � d¿teu�vxw�y­o � qsr±g�gir¥î � �

ikjQlkjQm+n�~ Î�àºÔsMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�Ô

®�°

Page 20: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

t&n¢o±d � g}o �¢� rkd¿raq ������� �ÌØ[jmn¢³ � d � r ��� j­l �Å� jm¬²«ºr±npoag �U� o � j�oag�h±jml�n¢o �}���U� npo � h �Ì� qsr±n¢îKo±n¢�¼�'t � j � r±n¢n¢j � «�rkd�� � d[h^oag�h±j �l[npo �}� jmé¡«[n�j ����� r±d �}���U� r¥îNdÁl�j�gir¥îD�­t � j � g ��� j­rk«�j�n¢o � r±nß� ¡�£ Ý Ù ��«[n¢r¡�¡Ø � j �xÄ oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd ��� Ø[«[g�j � qsn¢r±¬ j�o �p�� rkd � j�« � Ø�oag � Ø�«[gijk��î � j�n�j �¢� j²l �Å� jm¬²«ºr±npoag � g �}� j � o �¢� r �Â� o � j��¸î �Å�¢�Á�¢� j Ä oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd ��� Ø[«[g�j � qsrkn�¬ o � r Ä j�nraq �¢� jOl �i� j�¬�«ºr±npoag&n�j�h � r±d¿o �¢� r �m� o � j�� î �i���¿�¢� jOr±n � h � d�oag � Ø[«[g�j±�et � j � jmg�j �Â��� r±d¿r±«ºjmnpo � r±n �}� Ø � j�� � r^oa«[«�gi³ ��� j�¡jmq oaØ[g �e� npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j�n�j �Õ� n �}���¢� rkd¿raqÇ®"�4���Nt � jD«[n¢r�cÕj ���¢� rkd rk«�j�n¢o � rkn�� Á Ý Ù ��«�n�r)cÕj ���p�'��� jOd�oa¬²jOo±d�� Ä oag � � ���� ¬²jeo �¢� r �m� o � j���î �Å�¢� j�o �p�­Ä oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd �¨� Ø[«[g�j±�Ìoad�� � rÌoag�j �¢� j ���¢� jNn�j � Ø�g �¢� d[h�n¢jmg}o �¢� rkd�r±d ��� jNn�j �Õ� n�Ø �Â� Ø[n � d[ho ��� n � l�Ø � jk��í�o±¬�jk�Á Ý Ù´ ×�µx¶ I�· � ; <   Ì Ý ÙW G�¹IX�J�¹FY W » D X�þ½ ¶å¿WÀ¾Á8 I"I Æ D ¸FE?G�º"¹IH:J2X D[Z   ¡�£ Ý Ù  -ÇÈ�É�ÊHËv��ÌvÌ ¡á¡ª¡

[�î!�"îð# � (M-!(M��� �!�"� NS*P(+�4,Q���'�

t � j � j�gij ���¢� rkd¸r±«ºjmnpo � r±n ��� Ø � j�� � r � ¬²«[g�jm¬²j�d � n¢j �U� n ���Â��� r±d � d teu�vxw&y[��u�j Ä jmnpoag�g}oad�h±Ø�o±h±j � g�o±Ø � j � � � d � giØ�� � d[h��� j&y tYu�z.{ |Q} �.xMpMo"q�~Qyº�[oad�� wQxMj t j oan¢jO�¡jm«ºjmd��¡jmd � rkd ��� j � j�gij ���¢� rkd rk«�j�n¢o � rkn�� û j �U� r¥î � r¥î ��� j � jmg�j ���¢� rkdr±«ºjmnpo � r±n �}� Ø � jß� � r � ¬²«[g�jm¬²j�d ����� j7wQxMj t j � g�o±Ø � jk��)r±d ��� �[jmn �¢� jP�ÌØ[jmn¢³±�\� û � o � o±n�j �¢� jÓd�o±¬²j¶raq¡jm¬²«[g�r¥³±j�j � î � r�î)j�n�jÀj�¬�«�gir¥³kj��xl�³ �¢� j � rk¬²«�oad�³ � r±¬²j ��� ¬�j�¡Ø[n � d[h ®�¯k¯ky o � ðÌd�r¥îNd<l�³ ��� j$�[o � oal�o � j�rkd �Ìoad�Ø�o±n�³ ®±�K®�¯±¯±°2U � t �[�}� �ÌØ[j�n�³Án�j �Õ� n �}���p����� j^n�j � Ø�g �O� r ��� r � j� Ø�«[gij �x� d �¢� j ö ¬²«[g�r¥³±jmjDn¢jmg}o �¢� rkd ��� o � îKjmn¢j Ä oag � �f�¡Ø[n � d�h¸®�¯k¯ky²o±d�� � Ø�n�n¢jmd ��� d �¢� j���o � o±l�o � j�o � raqÓ�Ìoad�Ø�o±n�³®±�¼®ß¯±¯±°��¨t �[��� �kØ�jmn¢³ ��� jmé¡«[n�j ����� l[gij � dHteu�vxw&y­o � qsrkgig�r¥î � �

ikjQlkjQm+n�~ Î�àºÔsMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�ÔwQxMj t jOoMpQl"q�r ]ªj à�ÿ�ækÑkõ[Ô�Ô�^ u o+j t l+p { i { j t q u r`_badc.c2e _ZpM~Mrn t p+~.ikpQm+n"q u ~f]ªj à�ÿ�ækѱõ[ÔÌÔ�^ u o+j t l+p { iýrMpMnMjg_babc.c ô�ó2h a ó2h aA_

t � jHoalºr Ä j1wQx+j t j � g}oaØ � j �}��� npoad � g}o � j�� � d � r o � jmg�j �Â��� r±dXr±«ºjmnpo � rkn­î � r � j «[n¢j�� �}� o � j �����¢� j � rkd4cÕØ[d �Â��� r±d r±q� rkd�� �i��� r±d � o �)�Õ� o � jß� � d ��� j`wMxMj t j � g�o±Ø � jk� Ú d�«�oan ���}� Ø[g}oanß� �¢� j�rk«�j�n¢o±d�� � r±q ��� j�«[n�jß� �}� o � j � o±d � d Ä r±g Ä jeteu�vxw�y�¡j¢¤�d[j��fr±«ºjmnpo ��� r±d ��� Ø �p� o � o+pQl"q�r$o±d��_n t p+~.ikpQm+n"q u ~��Ìt � j�n¢j � Ø[g � n�j�g�o ��� r±d �}�e�¢� jmdÁ«[n�r)cÕj �Â� j��¿rkd ��� j�í�o±¬�jo ��� n � l�Ø � jk�Á Ý Ù´ ×�µx¶ I�· � ; <   Ì Ý Ù¸�¹"º$»H¼¢Ã¾½ ¶å¿WÀ¾Á8 I"I Æ D ¸FE?G�º"¹IH:J2H?EFG$» D ¼ �Bi[jFj?k"� > W G8¹IX:J�¹FY W » D X þ½ ¶­¿xÀÛÁ� I�I Æ D ¸?EFG�º"¹IH�Jl¼8¹ W E �li[jFjIm�n�o�i:n\o�iS�   ¡�£ Ý Ù  HÇÈ�É�Ê-Ëv��ÌÌ ¡ª¡á¡[�î!�"î H p��"�!�ONA*É(k�4,Q� �Y�

t&r � g�giØ �U� npo � j ��� jAcÕr � d r±«ºjmnpo � r±nß�¶îKj � d � n¢r¡�¡Ø � j¿o±d ok�[� �i��� r±d�o±gNl �i� jm¬²«ºr±npoag �U� o � jHn¢jmg}o ��� r±d�� � o±d�oahkj � � t � j� o±d�oahkj � n�j�g�o ��� r±d � o �N�¢�p� j�¬²o� è��j�« � � � h±npí�oa¬²j ? t ¡ ��)r±d ��� �[jmn ��� j¼�ÌØ[j�n�³q� û � r�î'o � �kr � d@³ � ¬�oad�o±h±j�nKî � jmdH�±r � d¿î)rkn�ðkj��^qsr±n ��� jOt�r¥³ �[jm«�o±n � ¬�j�d � U � t ������}� jmé�«�n�j ��� j�� � d teu�vxw�yDo � qsr±g�gir¥î � �¨c � l�jmqsr±n¢j±� ���[�}� �kØ�jmn¢³­Ø � j �Ó��� j��¡jmq oaØ[g �KÄ o±giØ[jk�'®��4���Ìqsr±n � npoad � o �Â��� r±d � ��� ¬²j� jmg�j ���¢� rkd��

ikjQlkjQm+n v å�Ç ~ Î�à�ÔsMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�Ô r v ÎaÒ�Îkå[Ô�ÉwQxMj t jOj à�ÿ�æÌѱõ[Ô�ÔÓÍ r Ô±ÿ¡Èts _án Ñkõ _ZpM~Mr j à�ÿ�æÌÑkõ[Ô�Ô¶Í ~ Î�à�Ôus _wv ѱÝ�Ò _ZpM~Mrv αÒ[Îkå[Ô�É¨Í r Ô±ÿ¡Èxs j à[ÿ�æÌÑkõ[ÔÌÔÓÍ r Ô±ÿ�È

®�F

Page 21: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

t �[��� �ÌØ[jmn¢³ �}�O� ¬²«[gij�¬²jmd � jß� � d �¢� j o±gihkjml[npo l̳ZcÕr � d � d[h �¢� j ö ¬²«[g�r¥³±j�j^oad�� � oad�o±h±j � n¢jmg}o �¢� rkd � � t � j� o±d�oahkj � n�j�g�o ��� r±d �}� ¤�n �Õ� n¢j �U� n ���Â� j�� � rxr±d[g�³ �¢� j � Ø[«[g�j �À� Ø[n¢n�j�d �¨� d � n¢o±d � o ���¢� rkd ��� ¬²j±�Àu � ¬ � g�o±n�g�³±� ��� j ö ¬²«[g�r¥³±j�jn¢jmg}o ��� r±d �}� n¢j �U� n ���Â� j�� � r ��� j � Ø[n¢n�j�d �D� Ø[«[g�j � n�j � rkn¢� � d[h¿î � j�d��±r � d î)rkn�ðkj��¸qsr±n �¢� j t&r¥³Á�¡j�«�oan � ¬²jmd � � t � jn¢j � Ø[g �N�}� «[n¢r¡�¡Ø � jß� l�³^¬�o �¢�p�[� d[h � Ø[«�gij � qsn�rk¬ �¢� jDn�j �Õ� n�Ø ��� Ø�n�jß�^n¢jmg}o ��� r±d �K��� o � r Ä jmn¢g}oa« � d Ä o±g � � ��� ¬²j±�� ô Ñ Ò Ý ÙØ µ ø µ$Ù I"Ú Å Ö I ¿x× Ï ½ ¶­¿WÀ¾Á� I"I Å Ö I ¿W× � ¸�¹�º�»H¼4þ½ ¶­¿WÀ¾Á8 I"I ÆbÃp¸�¹"º�»-¼¢Ã Ø µ ø µ$Ù I"Ú Æ � öî � j�n�j� ô Ð Ì Ý ÙW G�¹IX:J�¹?Y W » D X Ã Ø µ ø µ$Ù I"Ú Æ D ¸FEFG8º"¹IH:J2X DIZ   ¡�£ Ý Ù   ÜÞÝ þ Ýlß Ì Ê ¡ª¡� ö Ð Ì Ý Ù×�µx¶ I Ï �7y Á:z ø � > Ö I ¿W× Ï �B{ Á8 � > W G�¹IX:J"¹FY W » D X÷Ã Ø µ ø µ$Ù I"Ú Æ D ¸FEFG8º"¹IH:J2X DIZ   ¡�£ Ý Ù  -ÇÈ�É�ÊHËv��ÌvÌ ¡á¡

t � j'«[n�j Ä�� rkØ � jÂé[oa¬²«[g�j � g�giØ �U� npo � j���oDy � îKo�³0cÕr � d�� û �Å�¢�[� d²o�teu�vxw�y`�ÌØ[j�n�³k� ��� j � d � j�n¢o ���¢� rkd�raq ��� jÇoMpQl"q r� g}oaØ � j'oad�� ��� j0wQxMj t j � g}oaØ � jK¬�o�³Dn�j �kØ � n¢j �¢� o �¨��� j)qsØ�gig¡«ºr¥î)j�n&r±q �¢� jÇþ � î'o�³ �¢� j � o � cÕr � d­lºj'Ø � j��¼�À�)r±d ��� �[jmn ��� jqsr±g�g�r¥î � d[h&�kØ�jmn¢³±�Ìî �[���p� Ø � j �¶�¢� j�ok�[� �i��� r±d�o±g�l �i� j�¬�«ºr±npoag �U� o � j�n¢jmg}o �¢� rkd u¡oag}oan¢³�î �i��� �¢�p� j�¬²o1  í�o±¬²j±�¡ce¬²r±Ø�d �? t ¡ ��  t �[�}� �ÌØ[jmn¢³ �[rÌj � d�r �D� r±¬²«[Ø � j­o Ø � jÂqsØ[g¨n¢j � Ø[g �?| îKjOîKjmn¢jOØ[d�o±l[g�j � r$�¡j�n ��Ä j�o ¬²j�oad � d[h±qsØ[g��kØ�jmn¢³ �¢� o �n¢j��ÌØ � n�jß��oO¬�Ø[g ��� � î'o�³UcÕr � d��¶â�Ø�n¶r±d[g�³�«[Ø[n¢«�r � j � jmn¢j ���¶� r��[jm¬²r±d �U� npo � j ��� j�jÂé¡«[n¢j �¢�U��Ä j'«ºr¥î)j�n¶raq �¢� j�o±gihkjml[npo[� ¡ikjQlkjQm+n ik~Mp { ikx u nÎj Í ~ Î�àºÔ r v Í v åÌÇ ~ Î�à�Ô0r i Í p àºÑ±×�Ò¡ÈsMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�Ô ] { j t q u r ^ p.i�j r v αÒ[Îkå[Ô�É ] { j t q u r ^ pQi v r i Î�æÌÎkÇ�õ ] { j t q u r ^ pQiêiwQxMj t jOoMpQl"q�r ]ªj ^ u o+j t l+p { iýoMpQl"q rf] i ^ p+~Mrêo+pQl"q�rf]÷i ^ u oMj t l+p { i�oMpQl"q�r ] v ^ pM~Mr

oMpQl'q�rf]ªj ^ v jMjMn.i oMpMl"q�rf] v ^

íer ���}� j �¢� o ���Å���}� d�r � «ºr �¢�U� l[g�j � r � r±¬²«[Ø � j ������� �kØ�jmn¢³$o � o � j�n � j � raq¶y � îKo�³8cÕr � d � �eu�Ø[«�«�r � jOîKjDîKjmn¢j � rS¤�n �U�cÕr � d �¢� j ö ¬²«[g�r¥³±jmj oad�� u¡oag}oan¢³<n�j�g�o ��� r±d �   � � jk�i�Ko ��� jm¬²« �¢� d�h � r � o �¢��� qs³ ��� j «[n¢j�� �}� o � jZo+pQl"q�rf]áj ^ u oMj t l+p { ioMpQl'q�rf] i ^ ¡ �[t � j �¢� ¬²j �Õ� oa¬²«fraq �¢� j�n¢j � Ø[g ��� d[h^n¢jmg}o �¢� rkdH¬�Ø �U�x� r±d � o � dHlºr �¢�H��� j ��� ¬²j �U� o±¬�«¸raq ��� j ö ¬²«[g�r¥³±j�j� Ø�«[gij   � r^j Ä oag�Ø�o � j �¢� j � r±d4cÕØ[d ��� oMpQl"q rf]ªj ^ v j+jMn.iÎoMpQl'q�rf] v ^ ¡ oad�� ��� j ��� ¬�j �Õ� oa¬²«fr±q �¢� j�u[oag}oan¢³ � Ø[«�gij   � rj Ä o±giØ�o � j ��� j � r±d�cÕØ[d ��� oMpQl'q�rf] i ^ u oMj t lkp { iýoMpMl"q�rf] v ^ ¡ �[c ����� j�cÕr � dfjÂé¡«[n¢j �¢��� rkd ����� d � oa«�oal[g�jOraq¶n¢j � Ø[n¢d � d�h¬�Ø�g �¢� «[g�j �¢� ¬²j �U� o±¬²« � � ���[�}� �ÌØ[j�n�³ � o±d[d[r � lºjOîNn �Å��� j�dfo � o � jmn � j � raqÓy � î'o�³7cÕr � dHjÂé¡«[n¢j �¢�U� r±d � �Kt � jDn�j�¬�o � d � d�h� o � j �   ¤�n �U� cÕr � d � d[h � o±d�oahkj � o±d�� ö ¬²«[g�r¥³±jmj'rkn�¤�n �Õ� cÕr � d � d[h � oad�o±h±j � oad��^u¡o±g�o±n�³ ¡ oan¢j ��� ¬ � g�o±n�� û j ��� j�n�jmqsr±n¢jØ � jDo = � îKo�³9cÕr � d � r � rk¬²«[Ø � j �¢�[�}� �ÌØ[jmn¢³±�¡D¢ ØkÙ   ¡D¢ Ý Ù$  ØkÙ   Á Ý Ù´ ½5Å ×�µx¶ I � Ø Å Ø Ù 3 ×:µW¶ I � }bÅ = ¶�Á?~ ø × · � ; < Ñ Ò Ý ÙÍ � �  H� ô�õ � ö)õ �b� ¡ª¡á¡î � j�n�j� * oMpQl"q r' HÇ ¡�u oMj t l+p { iÉoMpQl'q�r" �� ¡Dª oMpQl'q�r" �� ¡�u oMj t lkp { iÉoMpMl"q�r'  Ü ¡Dª o+pQl"q�r' -Ç ¡�v jMj+n.iÇoMpQl"q�r'  Ü ¡¦ * oMpQl"q r" HÇ ¡�� o+pQl"q�r'  Ü ¡�� oMpQl'q�r" �� ¡

� ô Ð Ì Ý ÙW G�¹IX:J�¹?Y W » D X ÃÛ½ ¶­¿WÀ¾Á� I"I Æ D ¸FEFG�º"¹FH:J.X D[Z   ¡�£ Ý Ù   Ö ½  HÇAÈ�É�ÊHËv��ÌvÌ ¡ª¡á¡� ö Ð Ì Ý ÙW G�¹IX:J�¹?Y W » D X Ã Ø µ ø µ$Ù I"Ú Æ D ¸FEFG8º"¹IH:J2X DIZ   ¡�£ Ý Ù   Ö Ø   ÜÞÝ þ Ýlß Ì Ê ¡ª¡á¡�� Ð Ì Ý ÙW G�¹IX:J�¹?Y W » D X Ã7} µxÀ¾µ 3 Â Æ D ¸FE?G�º"¹IH:J2X D[Z   ¡�£ Ý Ù   Ö }  �� Ý Ê Ý �� ¡ª¡á¡® e

Page 22: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

[�î!�"îÅ[ N���� (+�(�:p��'����NS*P(+�4,Q���'�

�)r±d �U� �¡jmn ��� j7�ÌØ[j�n�³��pu � r¥î o±gig¼j�¬�«�gir¥³kjmj � oad�� ��� j � nK¬�o±d�oahkjmn � ��o � îKjmg�g�o � oag�gºj�¬²«[gir¥³kjmj � î � j�d �¢� jm³$� � � d[r �� o Ä j�¬�o±d�oahkjmn � � � û j�Ø � j ���[�}� �ÌØ[j�n�³ � r � gig�Ø �U� npo � j �¢� j�r±Ø � jmn � cÕr � dÁrk«�j�n¢o � r±nß�^t � j��ÌØ[j�n�³f¬�o�³Ál�j�«ºr � j�� � dteu�vxw�y­o � qsr±g�gir¥î � �ikjQlkjQm+n�j Í ~ Î�à�Ô r v Í v å�Ç ~ Îßà�ÔsMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�Ô p.i�j r v αÒ�Îkå¡Ô�É p.i vwQxMj t jOj Í r Ô±ÿ�È�s v Í r Ô±ÿ¡È

z ~�q u ~

ikjQlkjQm+n�j Í ~ Î�à�Ô r ~ z lMl�p.i v Í v å�Ç ~ Î�à�ÔoMpQl'q�rOoMpQl"q�r ]ªj ^ ó oMpQl"q rf] v ^sMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�Ô p.i�j r v αÒ�Îkå¡Ô�É ]ªr Ôaÿ¡È�^ p.i vwQxMj t jOj Í r Ô±ÿ�È�s v Í r Ô±ÿ¡Èt � jX¤�n �U� �kØ�jmn¢³$¬�o �p�p� j � oad¸jm¬²«[g�r¥³±jmj�oad�� ��� j�¬�oad�o±h±jmn �N� j�r±n �U� j � o �e� ok�¼�Dt � j Ä o±g � � �¢� ¬²j�raq¶n¢j � Ø[g �¢� d�h� Ø�«[gij � �¡jmq oaØ[g �¢��� r �¢� j � d � jmn � j ���¢� rkd�raq ��� j Ä o±g � � �¢� ¬²j � raq ��� jN¬�o �p�p�[� d[h � Ø[«[g�j � �¨t � j � j � r±d��&�ÌØ[j�n�³��[j � j�n�¬ � d[j ���� j ��� ¬�j � î � j�d¿o±d$j�¬²«[gir¥³kjmj�� � �$d�r �e� o Ä jxo²¬�oad�oah±j�n��

û j�Ø � j ��� j�rkØ � j�n � cÕr � d<r±«ºjmnpo � rkn � r � rk¬�«�Ø � j �¢�[��� �kØ�jmn¢³±� ÷ � n �U�x�¢� j�n¢jmg}o ��� r±d � oan¢j­n¢j �U� n ���Â� jß� � rB®"�4������ j��[jÂq oaØ�g �'� npoad � o ����� r±d ��� ¬²j±�¶t � jxr±Ø � jmn � cÕr � d��¡«[n�r¡�¡Ø �Â� d[h �¢� j�Ø[d � r±d$raq �¢� j � î)r²teu�vxw�y � Ø[l��kØ�jmn � j � � �}�K��� j�d� rk¬²«[Ø � jß�¼��o±d�� �¢� jO�¡j �U� n�jß�$o �U� n � l[Ø � j � o±n�jx«[n¢r�cÕj �Â� jß�¼�

Á Ý Ù´ ½åÅ ×:µW¶ I � Ø Å Ø Ù 3 ×�µx¶ I�· � ; <  �� ô Ð�ÑÒ Ý Ù½åÅ Ö I ¿W× Ï/Ø Å Ö I ¿W× � ¸�¹"º�»H¼�þ½�ÆRÃl¸8¹"º�»H¼�Ã Ø ÆS� ¸8¹"º�»H¼¢ÃÛ½�Æ n ¸�¹"º�»H¼�Ã Ø Æ � ö ¡î � j�n�j� ô Ð Ì Ý ÙW G�¹IX:J�¹?Y W » D X ÃÛ½�Æ D ¸?EFG�º"¹IH�J.X D[Z   Ö Ý Ù½   ¡D£ Ý Ù  -ÇÈ�É�ÊHËv��ÌvÌ ¡á¡ª¡� ö Ð Ì Ý ÙW G�¹IX:J�¹?Y W » D X Ã Ø Æ D ¸FEFG8º"¹IH:J2X DIZ   Ö Ý ÙØ   ¡�£ Ý Ù   ÜÞÝ þ Ýlß Ì Ê ¡ª¡á¡[�î!�"îð� � ���!�"��NS*P(+�4,Q���'�

c � oad jÂé[o±¬�«�gij^r±q �¢� j^Ø[d � rkd r±«ºjmnpo � rkn�� � rkd �U� �¡j�n ��� j �kØ�jmn¢³$� û � o � oan¢j ��� j^d�oa¬²j � raq ��� j^jm¬²«[g�r¥³±j�j � o±d��¬�oad�o±h±j�n � î � r�îKr±n¢ð±j���� � r±¬²j �¢� ¬²jk��qsr±n �¢� j't�r¥³��¡jm«�oan � ¬²jmd � �¥o � lºj �U� ð�d[r¥îNdDd�r¥î�U � c ��� Ø[¬ � d[h �¢� o ����� jKí�o±¬�joad�� � hkn¢í�oa¬²jKo �U� n � l[Ø � j � raq ��� j ö ¬²«[g�r¥³±j�j)o±d�� � oad�o±h±j � n¢jmg}o ��� r±d � ��n¢j � «�j ������Ä j�gi³k�aoan¢j)Ø�d � rkd � � r±¬²«�o ��� l[g�j±� ��������ÌØ[jmn¢³ �}� jÂé¡«[n¢j �¢�U� l[g�j � dHteu�vxw�y�o � qsr±g�gir¥î � �

®4d

Page 23: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

ikjQlkjQm+n�~ Î�àºÔsMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�ÔwQxMj t jOr Ô±ÿ¡È�s _án Ñkõ _z ~�q u ~

ikjQlkjQm+n v å�Ç ~ Î�à�ÔsMtYu�v v αÒ�Îkå[Ô[ÉwQxMj t jOr Ô±ÿ¡È�s _án Ñkõ _

t �[�}� �ÌØ[jmn¢³ ��� jmé¡«[n�j ����� l[gij � d �¢� jHoag�h±jml�n¢o¸l̳g¤�n �U� n�j �Õ� n �}���¢� d�h �¢� j¿n�j�g�o ��� r±d � � ��� jmd «[n¢r�cÕj �Â��� d[h ��� jH�¡j �U� n�jß�o ��� n � l�Ø � j � ��o±d��$«�j�nUqsrkn�¬ � d[h ��� jDØ[d � rkd��� ô Ô Ý Ù � öî � j�n�j� ô Ð Á Ý Ù´ Ø Ù 3 ×�µx¶ I�· � ; <   Ì Ý ÙÖ I ¿W× Ï � { Á8 � > W G�¹IX:J�¹?Y W » D X ÃÛ½ ¶­¿WÀ¾Á� I"I Æ D ¸FEFG�º"¹FH:J2X D[Z   ¡�£ Ý Ù   ÜÞÝ þ Ýlß Ì Ê ¡á¡ª¡� ö Ð Á Ý Ù´ ×�µx¶ I�· � ; <   Ì Ý ÙÖ I ¿x× Ï � { Á8 � > W G8¹IX:J�¹FY W » D X þ½ ¶å¿WÀ¾Á8 I"I Æ D ¸FE?G�º"¹IH:J2X D[Z   ¡�£ Ý Ù  -ÇÈ�É�ÊHËv��ÌvÌ ¡á¡á¡[�î!�"î � � ���É(k�4(M���)(WNA*É(k�4,Q� �Y�

c � o �U� ¬ � g}oan�jmé¡o±¬²«[gij � r ��� j­«[n¢j Ä�� r±Ø � rkd[j±� � rkd ��� �¡j�n ��� jA�ÌØ[jmn¢³T� û � o � îKjmn¢j �¢� j²d�oa¬²j � r±q ��� j�j�¬²«[gir¥³kjmj �o � oad�³ �¢� ¬²j � d ��� j � n � o±n�j�jmn � î � jmd �¢� jm³ î)j�n�jDd�r � ¬�oad�oah±j�n � U � cQteu�vxw�y­qsr±n¢¬�Ø[g}o �¢� rkd¿raq ���[�}� �ÌØ[j�n�³ ���e��� jqsr±g�g�r¥î � d[h��ikjQlkjQm+n�~ Î�àºÔsMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�Ô

j.�Qmkj { n

ikjQlkjQm+n v å�Ç ~ Î�à�ÔsMtYu�v v αÒ�Îkå[Ô[É

t �[�}� �ÌØ[jmn¢³ �}� jÂé¡«[n¢j �¢�U� l[g�j � d ��� jOo±gihkjml[npo�o � qsr±g�g�r¥î � �� ô Õ Ý Ù � öî � j�n�j� ô Ð Á Ý Ù´ Ø Ù 3 ×�µx¶ I�· � ; <   Ì Ý ÙW G�¹IX:J�¹?Y W » D X¢Ã¾½ ¶­¿WÀ¾Á8 I"I Æ D ¸FEFG�º�¹IH:J2X D[Z   ¡�£ Ý Ù  HÇÈ�É�Ê-Ëv��ÌÌ ¡ª¡á¡� ö Ð Á Ý Ù´ ×�µx¶ I�· � ; <   Ì Ý ÙW G8¹IX:J�¹FY W » D X Ã Ø µ ø µ$Ù I"Ú Æ D ¸FEFG�º�¹IH:J2X D[Z   ¡�£ Ý Ù   ÜÞÝ þ Ýlß Ì Ê ¡á¡ª¡

® @

Page 24: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

[�î!�"î � � (M��,.��(_NS*P(+�4,Q���'�

t � j­n�j�d�oa¬²jOrk«�j�n¢o � r±n Ö Ý Ù× o±gig�r¥î � o^n¢jmg}o �¢� rkd � r$l�j­n�jmqsjmn¢jmd � j��¿l�³Ho^� �iì j�n�j�d � d�oa¬²jk� Ú ����� Ø � jß� � d ��� j sMtYu�v� g}oaØ � jOî � jmn¢j­o^n¢jmg}o �¢� rkd��º«�r ����� l�gi³¿n¢j �U� n¢Ø ��� Ø[n�jß�¼�º¬²o�³ lºj­h �iÄ jmdfo � r±n¢n�j�g�o ��� r±d¿d�o±¬�j­Ø � j��Hl�³ ��� j­n�j�¬�o � d��¡jmnraq ��� j¼�kØ�jmn¢³±�Àced¿jÂé[o±¬�«�gij�raq ��� j Ö Ý Ù× î'o � h �iÄ jmd � dHu�j ����� r±d¿°��i®k� °��

[�î!�"î � /��1NA*É(k�4,Q� �Y�

t � j ��� ØkÙ�  Ý Ù rk«�j�n¢o � r±n�«[n�rk¬²r � j � o Ä o±g � � � ��� ¬²j �U� o � j n¢jmg}o �¢� rkd � rÁofl �Å� jm¬²«ºr±npoag �Õ� o � j$n�j�g�o ��� r±d��¨l�³ � n¢j�o �¢� d�hl �i� j�¬�«ºr±npoag�jmg�jm¬²j�d �p� qsn¢r±¬ ��� j Ä oag � � � �¢� ¬²j�jmg�jm¬²jmd �¢� o �¢� r �m� o � j��¿î �i���f��� j � d�«[Ø �x� Ø[«[g�j � ��c ��� Ø �p�f�i���}� d[r � ol �i� j�¬�«ºr±npoag¼rk«�j�n¢o � rkn���l[Ø � îKj � gig�Ø �U� npo � j �i�¢� Ø � j � j�n�jxqsr±n � r±¬²«[g�j � jmd[j ��� �u�Ø[«[«ºr � j$îKj � o Ä j¿o Ä o±g � � � ��� ¬�j �U� o � j n�j�g�o ��� r±d u[oag}oan¢³ Ð   í�oa¬²j±�Kce¬²r±Ø[d � ? ; ¡ �Óoad�� î)j î'oad � jß� � r� rk¬²«[Ø � j ��� jel �Å� jm¬²«�rkn¢o±g[n¢jmg}o ��� r±d ��� r¥î � d[h�j Ä j�n�³�jm¬²«[g�r¥³±jmjl³ �Ó� o±g�o±n � j � oad����¡jm«�o±n � ¬²jmd �¢� �¨u¡Ø �p� o¼�ÌØ[jmn¢³ � r±Ø[g}�oan �}� jk�kqsrknejÂé[o±¬�«�gijk�[o � oad � d � jmn¢¬²j�� � o � jxn¢j � Ø[g �e� d¿o²g}oan¢h±jmn � rk¬²«[Ø � o ��� r±d���j±� h����

ikjQlkjQm+n�j à�ÿ�æÌÑkõ[Ô�Ô¶Í ~ Î�à�ÔsMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�Ô r i Î�æÌÎkÇ�õwQxMj t jOn t pM~.i)pQm+n�q u ~f]ªj à�ÿ[æÌѱõ¡Ô�Ô�^ u oMj t l+p { i { j t q u r ]ªrMpMnMj�_ | ÔkåºÏßÒ�Ò¼ÏßÒ�å _ r rMpMnMjg_ s ѱÇ[Ôká[ÔkÇ _ ^ pM~Mrj à�ÿ�æÌÑkõ[Ô�Ô¶Í ~ Î�à�Ôus i ΡæÌÎkÇÌõKÍ ~ Î�àºÔ

û j � rkØ[g}� � rk¬�«�Ø � j ���[�}� �kØ�jmn¢³­l�³²«[n¢r±¬²r �¢� d[h�u¡oag}oan¢³ � r­oDl �Å� jm¬²«�rkn¢o±g �U� o � j�n�j�g�o ��� r±d�� � Ø[n¢n¢jmd � o � raq�d[r¥îD�¡o±d����� jmd�cÕr � d � d[h ��� j � d[«[Ø � n�j�g�o ��� r±d � �

Ñ Ò Ý Ù � ö½ ¶­¿WÀ¾Á8 I"I Å ×�µx¶ I Ï } µxÀ¾µ 3  Š×�µx¶ I � ¸�¹"º�»-¼¢Ã¾½ ¶­¿WÀ¾Á8 I"I ÆbÃp¸�¹"º�»-¼�ÃB} µ$À¾µ 3 Â Æ   ��� ØkÙ�  Ý Ù  �� Ý Ê Ý �v� ¡ õ ¡�£ Ý Ù  HÇÈ�É�Ê-Ëv�QÌvÌ ¡á¡[�î!�"î � � ��,Q*�R V��Y�1NA*É(k�4,Q� �Y�

t � j � d�oa« ��� r � r±«ºjmnpo � r±n �}�)��� jxr±«�«�r �U�i� jxraq �¢� j ��� r±«ºjmnpo � r±nß� Ú �'� npoad � qsr±n¢¬ � o�l �Å� jm¬²«ºr±npoag �Õ� o � j�n¢jmg}o �¢� rkd � d � ro Ä oag � � � ��� ¬²j �Õ� o � jNn�j�g�o ��� r±d��al�³On¢jm¬²r Ä�� d[h �¢� j � npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j � rk¬�«ºr±d�jmd � o �¢� r �Â� o � j��­î �Å�¢� j�o �p� l �i� j�¬�«ºr±npoag�p� n¢r±d[rkd��u�Ø[«[«ºr � jDî)jDî'oad � j�� � r�g ���U� oag�g�r±q � r±¬²«�o±d̳�³ �N� Ø[n¢n¢jmd � jm¬²«[g�r¥³±jmj � �)t �[���e��� o±dHjÂé[oa¬²«[g�j�raq¶o � ¬�«ºr±n � o±d �� g}o �¢� raq��ÌØ[jmn � j � �[o �'�Å� n¢jÂqsj�n�j�d � j �)��� j � Ø[n�n¢jmd �e�U� o � jDraq ��� jO�[o � o±l�o � j±�

ikjQlkjQm+n ik~Mp { ikx u nÎ~ Î�à�ÔsMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�ÔwQxMj t jOoMpQl"q�r ]ªj à�ÿ�ækÑkõ[Ô�Ô�^ u o+j t l+p { iýrMpMnMjg_á~ u w�_

û j � r±Ø�g�� � ¬²«[g�jm¬²jmd �����[�}� �ÌØ[jmn¢³Ál�³ � jmg�j �Â��� d[h �¢� j �ÌØ�o±g � qs³ � d�h � Ø�«[gij � �)oad�� �¢� jmdXØ ��� d[h ��� j � d�oa« ��� r �r±«ºjmnpo � r±n � r²n¢jm¬²r Ä j ��� j ��� ¬�j �Õ� oa¬²«Ho ��� n � l[Ø � j±�Á ´ ×�µx¶ I�·   ¡@¢ Ø+Ù   ¡D¢ Ý Ù�  Ø+Ù   Ì Ý ÙW G�¹IX:J�¹?Y W » D X ÃÛ½ ¶­¿WÀ¾Á� I"I Æ D ¸FEFG�º"¹FH:J2X D[Z > ¸8¹"º�»H¼�þ½ ¶­¿xÀÛÁ� I�I Æ D ¸?EFG�º"¹IH�J2X D[Z   ¡D£ Ý Ù  -ÇÈ�É�ÊHËv��ÌvÌ ¡á¡ª¡á¡á¡

®ß¯

Page 25: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

[�î!�"î!� � � -��!�k(µNA*P(+�4,Q� �Y�4R

t � j � g ��� jer±«ºjmnpo � r±n �À� ¬�«�gij�¬�j�d �K� g �}�Â� d[h�o±d���«�o±n �¢�Å�¢� rkd � d�h � d �¢� j sMtYu)v­� g�o±Ø � jk�¶u�«�j �Â� ¤ � o±gig�³±� � q ��� j s+tYu)v­� g�o±Ø � j�¡r�j � d[r �²� «�j �Â� qs³�o¸«�oan ���i��� r±d � d[hý  � � j±���¶j �Å�¢� jmn { j t q u r¸qsrkn �U� o � j n�j�g�o ��� r±d � r±n q�~QiknMpM~Mnfqsr±n�j Ä jmd � n¢jmg}o �¢� rkd � ¡��� jmd¸rkd[jOr±q ��� j � g �}� j�rk«�j�n¢o � rkn � ¡D£ Ý Ù r±n ¡�£ Ý Ú �}� Ø � jß�¼� Ú qKo�«�oan ���i��� r±d � d[h ���x� «�j �Â� ¤�j�� �¢� jmdÁr±d[j­raq �¢� j � g ��� jr±«ºjmnpo � r±n � ¡�£ Ý Ù¤ rkn ¡�£ Ý Ú¤ ��� Ø � jß�¼�u�j �Â��� r±d � °��i®k�i® � rO°���®±� ¯ ��� r¥î)jß��jÂé[oa¬²«[g�j � raq ��� j ¡�£ Ý Ù r±«ºjmnpo � r±nß�&c � oad�jmé¡o±¬²«[gij�raq ��� j ¡�£ Ý Ù� r±«ºjmnpo � r±nß�� rkd ��� �¡j�n ��� j¼�ÌØ[j�n�³�� û � r � o � î)rkn�ðkj�� � r±d ��� d�Ø[r±Ø � g�³�qsr±n �¢� j � o±¬²j��[jm«�o±n � ¬�j�d � qsrknN¬²r±n¢j �¢� oad¿rkd[j�³±j�o±nwU �

ikjQlkjQm+n�~ Î�àºÔsMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�Ô ] { j t q u r ^wQxMj t j q�~MnMj t oMpQl ]ªo+pQl"q�rf] j à[ÿ�æÌѱõ[ÔkÔ�^.^�� q�~MnMj t oMpQl�_ba ó2h _ } jMp t n uÎvYu ~MnMx

u�«ºj �m� qs³ � d[h { j t q u r � d �¢� j sMtYu)v � g�o±Ø � j � g �}� j �e��� j ö ¬²«[g�r¥³±j�jDn�j�g�o ��� r±dHrkd � npoad � o �Â��� r±d ��� ¬²j�o � îKjmg�g�o � «�o±n �¢� ���� r±d � d[h �i� rkd Ä o±g � � ��� ¬�jk� ä npoa« ����� oag�gi³k� � Ø[«�gij �N� d �¢� j � d[«[Ø � n�j�g�o ��� r±d � o±n�j�n¢jm«[g ��� o � j��¿oad�� �¢� ¬²j �U� o±¬²«�jß�¿î �Å�¢�¬�o¥é � ¬²o±g�n�j ��� o±d[h±g�j �K� r Ä jmn � d�h ��� j � nNn¢j � «ºj ���¢�iÄ j�l �Å� jm¬²«�rkn¢o±g�jmg�jm¬²jmd �¢� �Àt �[�}�'���K� ¬�«�gij�¬�j�d � j��$l�³ ��� jxqsrkgig�r¥î � d�hoag�h±j�l[npo �}� jmé�«�n�j ����� rkd��Á Ý Ù´ ×�µx¶ I�· � ; <   Ì Ý ÙW G�¹FX:J�¹FY W » D X�þ½ ¶­¿xÀÛÁ� I�I Æ D ¸FE?G�º"¹IH:J X D[Z > »�X W EFG"¸�¹"º ÃV¸�¹"º�»H¼�þ½ ¶­¿WÀ¾Á8 I"I Æ]Æ �»�X W EFG"¸�¹"º�� i[�Io �0�FE�¹IG W D��:D X WF� �   ¡D£ Ý Ù¤  HÇÈ�É�Ê-Ëv��ÌÌ ¡ª¡á¡�Uß�Þ âÇë����D6�=�ã��\�Ú d �¢�[�}�K� j �Â��� r±d��ÌîKj�jmd�Ø[¬²j�n¢o � j�jßo �p� r±q ��� jx¬�o4cÕrkn)g � d�h±Ø �}�Õ�¢����� g}oaØ � j �)� d$teu�vxw�yDoad�� �U� r¥î �¢� j � r±n¢n¢j � «�rkd�� � d[hoag�h±j�l[npo �}� j �kØ �iÄ oag�jmd �p� � t �[�}� �¡j�¬�rkd �U� npo ��� r±d «[n¢r Ä�� �¡j � oad � d[qsr±n¢¬²o±gN«[n¢rÌr±q �¢� o ���¢� jfoag�h±j�l[n¢o � o ��� ØQh �m� j�d �jÂé¡«[n¢j �¢���iÄ j¶«�r¥îKjmn � r � ¬²«[g�jm¬²jmd � teu�vxw&y[��c � lºjÂqsrkn�j)î)j)g � ¬ �Å����� j'� �}��� Ø �¢�U� r±d � r ��� j)l �i� j�¬²«�rkn¢o±g �U� o � jÓrk«�j�n¢o � rkn� j � �Óu � ¬ � g�o±neoan¢h±Ø[¬²jmd �p� o±n�j�jßo ��� g�³ � rkd �U� n¢Ø ��� j�� qsr±n ��� jDn�j�¬²o � d � d[h��[o � o�¬²r¡�¡jmg � �

t � n�rkØ[h � r±Ø � �¡î)j�Ø � j ��� j ö ¬²«[g�r¥³±jmjxn¢jmg}o ��� r±dH�¡j¢¤�d[jß� � d ��� j�«[n�j Ä�� rkØ �N� j ���¢� rkd � r � g�g�Ø �Õ� n¢o � j ��� j�� �}��� Ø � ���� rkd��

[�îð#�î!� ikjQl+jQmkn $&-!,.��R (

t � jOteu�vxw�yAi)jQl+jQm+n � g}oaØ � jOoag�gir¥î � o±n�l �i� npoan¢³�jÂé¡«[n¢j �¢��� rkd � r Ä j�n �¢� j�o �U� n � l[Ø � j � raqÀo�n�j�g�o ��� r±d � r�lºjD«[n¢r�cÕj ��� jß�o � ��� j<n¢j � Ø[g � r±q­oý�ÌØ[j�n�³k��t � jÁ«�n�r)cÕj ���¢� rkd r±«ºjmnpo � r±n � o±n�j ��� j oag�h±j�l[n¢o ��� oad�o±girkh � r±q ��� j ikjQl+jMm+n � g}oaØ � j±�t � j�l �i� jm¬²«ºr±npoag �U� o � j­«�n�r)cÕj ���¢� rkdfr±«ºjmnpo � r±nß� Á Ý Ù� ��o±g � r$o±gig�r¥î ����� j�«[n¢r�cÕj �Â��� r±dfr±q)oan¢l �i� npoan¢³$jmé¡«[n�j ����� r±d � � ÷ r±njÂé[o±¬�«�gijk�±o �¢� Ø�¬ � d[h ��� o �¨��� j sMtYu)vO� g}oaØ � j'«�oan ���i��� r±d ����� j ö ¬²«[g�r¥³±j�j)n¢jmg}o �¢� rkd­l�³O«ºjmn � r���� ��� j)qsrkgig�r¥î � d[h¼i)jQl+jQm+n� g}oaØ � j�n¢j � Ø�n�d �K�¢� jDd�o±¬�j � qsr±nNjßo �p� jm¬²«[g�r¥³±jmj�oad�� �¢� j � neo �¢� r �m� o � jß� l �i� j�¬²«�rkn¢o±g¼n�j ��� o±d[h±g�j � �ikjQlkjQm+n�~ Î�àºÔ r oMpQl"q�r ]ªj à�ÿ�ækÑkõ[Ô�Ô�^Ar n t pM~.ikpMm+n�q u ~ ]ªj à�ÿ[æÌÑkõ¡ÔÌÔ�^c �¢� Ø[¬ � d[h ��� o � oad�³^o �¢� r �m� o � j�� s+tYu)v²� g}oaØ � jx�[rÌj � d[r � n�j�d�oa¬²j ��� j ö ¬²«[g�r¥³±j�jen¢jmg}o ��� r±d�� �¢�[�}� ikjQl+jQmkn � g}oaØ � j ���� npoad � g}o � j�� � d � r �¢� jD«[n¢r�cÕj �Â��� r±d r±«ºjmnpo � r±nNo � qsr±g�g�r¥î � �Á Ý Ù×�µx¶ I � ¸8¹"º�»H¼¢ÃÛ½ ¶­¿WÀ¾Á� I"I ÆS� W G8¹IX:J�¹FY W » D X þ½ ¶­¿xÀÛÁ� I�I ÆS� ; <

y)D

Page 26: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

[�îð#�îð# oMpQl"q�r $&-!,Y��R (

t � j�oMpQl"q�r � g}oaØ � jk��o±d�� �i�¢�OÄ o±n � oad �O�¢� j�oMpQl'q�r q�~MnMj t ikjQm+n � g}oaØ � j±��«ºjmn�qsr±n¢¬ Ä oag � � � �¢� ¬²j^«�n�r)cÕj ���¢� rkd�� � � j±��� �Å�� «�j �Â� ¤�j ���¢� j Ä oag � � � �¢� ¬²j o ��� r �Â� o � j��Áî �Å�¢� n�j � Ø[g �D� Ø�«[gij � h±j�d[jmnpo � j��<l�³Áo_�ÌØ[j�n�³k� ÷ rknOjÂé[oa¬²«[g�j±� � rkd ��� �¡j�n ��� jqsr±g�g�r¥î � d[hAoMpQl"q r � g�o±Ø � jk�oMpQl'q�r { j t q u rf]ªrMpMn+j�_badc2�.e ó2h a ó2h aA_ r rMpMn+j�_adc.�.e ó ade ó2� a�_ ^t �[�}�e� g}oaØ � j � j �¢�'�¢� j Ä oag � � ��� ¬²jOraq¨oag�g¼n�j � Ø�g �N� Ø[«[g�j �'� r �¢� j � «�j �Â� ¤�j�� «ºjmn � r¡�¼�

t � j1oMpQl"q r oad��BoMpMl"q�r q�~MnMj t ikjQm+n � g}oaØ � j � oan¢j � Ø[«[«ºr±n � jß��l�³ ��� j l �i� jm¬²«ºr±npoag �U� o � j «[n¢r�cÕj ���¢� rkd�r±« �jmnpo � r±nß� Á Ý ÙÍ � � î � j�n�j ��� j � Ø[l �¢� n � « �J� �¡jmd[r � j � o qsØ[d �Â��� r±d � rk¬�«�Ø ��� d[h ��� j Ä oag � � � �¢� ¬²j�o �¢� r �m� o � j��fî �Å�¢� n¢j � Ø[g �� Ø�«[gij � ��c �¢� Ø[¬ � d[h ��� o ���¢� j � j � �.r±qÓo �U� n � l[Ø � j �x�}� d�o±¬²j�� � d �¢� j � jmg�j �Â� g ���U� � �¢� j&oMpQl"q�r � g}oaØ � j�qsn�rk¬Zo±l�r Ä jîKr±Ø[g}� lºj � ¬�«�gij�¬�j�d � j��¿o � qsr±g�gir¥î � �

Á Ý ÙÄ®�?HFEFG$» D ¼�ÃƼ8¹ W EK� i[jF�FkF�Fo�i[�Io�i �H� ¼8¹ W EK� iIjF�FkF�:iIkF�F :i � ÆÚ ¬�«�gij�¬�j�d � o �¢� rkd raq ��� jSoMpQl"q r q ~MnMj t i)jQm+n � g}oaØ � j �����U� ¬ � g}oanß� �¢� j�r±d[g�³Á� �Åì jmn¢jmd � j�l�j � d�h ��� o �O��� j�n¢j �� Ø[g �¢� d�h ��� ¬²j �U� oa¬²« �}�D��� j � j�¬�«ºr±npoag � d � j�n � j �Â��� r±d<raq ��� j ��� ¬²j �U� oa¬²«�o �U� n � l[Ø � j^o±d�� o � j�¬²«�rkn¢o±g¶jÂé¡«[n¢j �¢�U� r±d��÷ rknNjÂé[oa¬²«[g�j±� � r±d ��� �¡jmn �¢� j�qsr±g�gir¥î � d[h�oMpMl"q�r q�~MnMj t ikjQm+n � g�o±Ø � jk�

oMpQl'q�r q�~MnMj t ikjQm+n { j t q u rf]ªrMpMn+j�_badc2�.e ó2h a ó2h aA_ r rMpMnMjg_babc.�.e ó abe ó2� aA_ ^c �¢� Ø[¬ � d[hXo �U� d[h±g�jHn¢jmg}o ��� r±d�� ��� d�oa¬²jß� � d �¢� j sMtYu�vX� g}oaØ � j±� ������� o+pQl"q�r � g}oaØ � j �}��� ¬�«�gij�¬�j�d � j�� l̳ ��� jqsr±g�g�r¥î � d[h²«[n¢r�cÕj ���¢� rkd r±«ºjmnpo � r±nß�

Á Ý ÙÄ®��¸�¹"º�»H¼�ÃB3ªÆRáHFE?G$» D ¼¢Ã�¼8¹ W EK� iIjF�FkF�Iowi[�Io�i �H� ¼�¹ W EK� i[j?�FkF�:i[k?�F :i � Æ[�îð#�î H sMtYu)v $X-�,.��R�(

t � j sMtYu)v^� g}oaØ � j � «ºj �m� ¤�j �K��� jOn�j�g�o ��� r±d � � ��� jOqsr±n¢¬ raq ��� r � jDn¢jmg}o �¢� rkd � �[oad�� ��� j�d�oa¬²j � Ø � jß� � r�n�jmqsjmn � r�n�j�g�o ���� r±d � � � d$oX�ÌØ[j�n�³k�Àt � j sMtYu)v�� g�o±Ø � j�¬�o�³ � «ºj �m� qs³ �¢� o � o�l �Å� jm¬²«�rkn¢o±g�n¢jmg}o �¢� rkd^j �i��� jmnKl�j � g �}� jß��r±d � npoad � o �Â��� r±d��� ¬²j±�¡rkn � g �}� jß��lºr ��� r±d � npoad � o �Â��� r±d ��� ¬²jDoad�� Ä o±g � � �¢� ¬²j±�[o±d�� �¢� jmd$«�oan ���i��� r±d�j���rkd Ä oag � � ��� ¬²j±� Ú d$ok�[� �i��� r±d��l�³ Ø ��� d[h ��� j8p.i^¬�r¡� � ¤�j�n�o � r±n¢n¢jmg}o ��� r±d$d�oa¬²jD¬�o�³ lºjOoa«�«[g � j�� l�³ î �����p� ��� jOn�j�g�o ��� r±d î � g�g�lºjDn¢jÂqsjmn¢n¢j�� � r � d��� jDn�j�¬²o � d��¡jmn'raq ��� j¼�kØ�jmn¢³±�t � j � j � îKr r±«ºjmnpo �¢� rkd � � � g �}�Â� d[h o±d�� � g �}�Â� d[h$î �Å�¢� «�o±n �¢�Å�¢� rkd � d�h���oad�� � r±n¢n�j�g�o ��� r±d¿d�o±¬�j�o �¢�U� h±d�¬�j�d � ��oan¢j� ¬�«�gij�¬�j�d � j��$Ø ��� d�h �¢� j � g �}�Â� d[h­rk«�j�n¢o � rkn � ¡�£ Ý Ù oad�� ¡�£ Ý Ù� �[oad�� ��� jDn�j�d�oa¬²jxr±«ºjmnpo � rkn Ö Ý Ù �¡n¢j � «�j ������Ä j�gi³k� ÷ r±njÂé[o±¬�«�gijk� � r±d ��� �¡jmn ��� jxqsrkgig�r¥î � d�h sMtYu�v²� g}oaØ � jxî �[�}�p�$� «�j �Â� ¤�j �)��� o �K��� j ö ¬²«[g�r¥³±j�j�n¢jmg}o ��� r±d ���)� r�lºj � g ��� j��^rkd� npoad � o ����� r±d ��� ¬²jOoad�� n¢jÂqsjmn¢n¢j�� � r�l�³ ��� j � r±n¢n�j�g�o ��� r±d$d�oa¬²j ö �

y[®

Page 27: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

sMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�Ô p.i�j

t �[�}�e� g}oaØ � j ����� Ø[«�«�rkn � j��$l̳1¤�n �Õ�e� g �}�Â� d[h ��� jDn¢jmg}o �¢� rkd o±d�� ��� j�d n¢jmd�oa¬ � d�h �i�N� r �¢� j � rkn�n¢jmg}o �¢� rkd d�o±¬�jk�

Ö ½   ¡�£ Ý Ù  HÇÈ�É�Ê-Ëv�QÌvÌ ¡á¡u � ¬ � g�o±n�g�³±� � r±d �U� �¡jmn ��� j sMtYu)v � g}oaØ � jk� sMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�Ô ] { j t q u r ^ p.i j���î � j�n�jDlºr �¢�f� g ���m� d�h^oad��¿«�o±n �¢� ���� r±d � d[hfo±n�j � «�j �Â� ¤�j��¼� Ú d �¢� j^oag�h±j�l[npo[��¤�n �Õ�D�¢� j � g �}� j�rk«�j�n¢o � r±n�î �i��� «�o±n �¢�Å�¢� rkd � d�h �}� Ø � j��¼�$t � j�n�j�g�o ��� r±d ������ jmd¿n�j�d�oa¬²jß� � r ��� j � «�j �Â� ¤�j�� � rkn�n¢jmg}o �¢� rkd d�o±¬²j±�

Ö ½   ¡�£ Ý Ù�  HÇÈ�É�Ê-Ëv�QÌvÌ ¡á¡[�îð#�îÅ[ wQxMj t j $&-!,Y��R (

u�³�d � o �����}� o±gig�³±� ��� j¸wQxMj t j � g�o±Ø � j ��� o � jmn � j � raq�l�r�rkgijßoad�jÂé¡«[n¢j �¢�U� r±d �¨� r±d[d[j ��� j���l�³ ��� jNl�r�r±g�j�o±d²r±«ºjmnpo � rkn � pM~Mrº�u)t ��o±d��Z~ u n��¡t � j�j ì j �Â� raq �¢�[�}�N� g}oaØ � j �}�K� r²n¢j �U� n ���Â�)�¢� j¼�ÌØ[jmn¢³�n¢j � Ø[g �'� r �¢� r � j � Ø[«[g�j �N��� o � ¬�o �¢�p�$��� j�h ��Ä j�d� rkd�� �i��� r±d��

÷ r±n��ÌØ[j�n � j � r±n � Ø[l�jmé¡«[n�j ����� r±d �&� d Ä r±g ÄÌ� d[hxo ��� d[h±g�j)n¢jmg}o �¢� rkd�� ��� j � jmg�j �Â��� r±d­r±«ºjmnpo � rkn�� Ì Ý ÙÍ � �}�&��� jNo±gihkjml[npo �}�oad�oag�r±h�r±q �¢� j9wMxMj t j � g�o±Ø � j±�Àc �K�¢� j�«[n�jß� �}� o � j�� � d ��� j � jmg�j �Â��� r±d$r±«ºjmnpo � rkn �}� «[Ø[n¢«ºr � jÂqsØ[g�gi³�g�jÂq � Ø�d � «ºj �m� ¤�j��¼��i�e���e�U� npo � h �Ì� qsr±n¢îKo±n¢� � r � j�j �¢� o �N�¢�[�}� r±«ºjmnpo � r±n ��� «ºr¥îKjmn�qsØ[g¼jmd[rkØ[h �$� r � ¬²«[gij�¬²jmd �N��� j7wQxMj t j � g}oaØ � j±�÷ r±nNjmé[oa¬²«[g�j±� � rkd ��� �¡j�n ��� j�qsrkgig�r¥î � d�h&wQxMj t j � g�o±Ø � jxn¢j �U� n �}����� d[h � Ø�«[gij � qsn¢r±¬ �¢� j ö ¬²«[g�r¥³±j�j�n¢jmg}o �¢� rkd��

wQxMj t jOj à�ÿ�æÌѱõ[Ô�ÔÓÍ ~ Î�à�Ôus _wv ѱÝ�Ò _ZpM~+r o+pQl"q�rf]áj à�ÿ�æÌѱõ[Ô�Ô�^ u oMj t l+p { iýr+pMnMjg_badc.c2e ó2h a ó¢h aA_t �[�}� wQxMj t j � g}oaØ � j � o±d$lºj � ¬�«�gij�¬�j�d � j��¿Ø �U� d[h ��� j � jmg�j �Â��� r±d r±«ºjmnpo � r±nNo � qsrkgig�r¥î � �

Ì+½ ¶­¿xÀÛÁ� I�I Å ×�µx¶ I Ï �ly Á�z ø � > ¸�¹�º�»H¼�þ½ ¶å¿WÀ¾Á8 I"I Æ D ¸FE?G�º"¹IH:Jl¼�¹ W E£� i[jFjFkF�Fo�i[�Io�i � > W G�¹IX:J�¹?Y W » D X ÃÛ½ ¶­¿WÀ¾Á� I"I Æ D ¸FEFG�º"¹FH:J2X D[Z  HÇAÈ�É�ÊHËv��ÌvÌ ¡Ú q ��� j sMt.u)v � g}oaØ � j�d�o±¬²j � ¬�rkn�j ��� o±dfr±d[j � d�«[Ø � n�j�g�o ��� r±d�� ��� j�d �¢� j¼wQxMj t j � g}oaØ � j �}��� ¬²«[g�jm¬²jmd � j��fl�³o � r±¬­l � d�o ��� r±dHr±q � j�gij ���¢� rkd � o±d��AcÕr � d � ��c �e�¢� j­l �Å� jm¬²«�rkn¢o±g.cÕr � dÁr±«ºjmnpo � rkn �}� o±d_þ � î'o�³XcÕr � d�� �i� ¬�o�³ � oad��¡gijoadÁoan¢l �Å� n¢o±n�³$d�Ø[¬�lºjmnxraq¶n¢jmg}o �¢� rkd � � û j �U� r¥îKj���� � dÁu�j ����� r±d¸°���®±� = ��o±dfjÂé[o±¬�«�gij­raqÓoAwQxMj t j � g}oaØ � j � d Ä rkg Ä�� d[h��� n�j�jxn¢jmg}o �¢� rkd � î �[�}�p� n¢j��ÌØ � n¢j�� o = � î'o�³ ��� j � o � cÕr � d��

[�îð#�îð� y tYu4z.{ |M} $&-�,.��R (

t � jXy tYu4z.{�|Q}$� g}oaØ � j � n�jßo � j � h±n¢r±Ø�« � raq � Ø[«[g�j ����� o±n � d[h � r±¬²j�o ��� n � l�Ø � j Ä o±giØ[jk��j �Å�¢� jmn�jÂé¡«[g ���m�Å� r±n � jm¬²«�rkn¢o±gè�t � jÇy t.u4z.{�|Q}D� g}oaØ � j �}�¨�U� ¬²«[g�³ � ¬²«[g�jm¬²jmd � j��­l̳Dhkjmd[j�n¢o ��� d[h�o � j�n � j � raq � j�gij ����� r±d�jÂé¡«[n¢j �¢�U� r±d � ��r±d[j)«�j�n¨h±n¢r±Ø[«��� r ��� o � o � Ø[«[g�jxlºjmg�r±d�h �Ó� r²o�hkn�rkØ[« � q �Å� �ÌØ�oag � ¤�j � o ��� rkn¢� � d[h � r �¢� j � r±n¢n¢j � «�rkd�� � d[h � jmg�j �Â��� r±d^jmé�«�n�j ����� rkd�� ÷ r±njÂé[o±¬�«�gijk� � r±d �U� �¡jmn �¢� j�qsr±g�g�r¥î � d[hAy tYu�z.{�|Q} � g�o±Ø � j±�

yky

Page 28: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

y tYu�z.{�|Q} oMpQl"q�r ]ªj à�ÿ�ækÑkõ[Ô�Ô�^ z i'q ~Qy¤a àºÑ±Ò¡ÈÌÝ l+jMp+r�q�~Qy¤a à�ѱҡÈkÝ n t p�q4l'q�~Qy¤a à�ѱҡÈÌÝt �[�}�N� g}oaØ � j � n¢j�o � j � o�h±n¢r±Ø[«�qsrknNj�o �p� ¬²r±d ��� î � jmn¢j�o � Ø[«[g�j�l�j�girkd[h �)� r�o­h±n¢r±Ø[« � q �Å� q o±gig � î �Å�¢�[� d �¢� j�«�j�n � r¡�qsn¢r±¬.rkd[j¿¬�rkd ��� «[n � r±n � r<rkd[j¿¬²r±d ��� o¥q � jmn�o<h ��Ä j�dX¬²r±d �¢� �Bw�j �²�¢� jH¬²r±d ����� lºj¿¬²r±d ��� ô �Ó¬²rkd �¢� ö � 5�5¢5 �¬²r±d ��� ø �^t � jmd îKj � oad �¡j � jmn¢¬ � d[j � qNo � Ø[«[g�j�l�j�girkd[h �x� rHo$hkn�rkØ[«<î �Å�¢�Á�¢� j²qsr±g�g�r¥î � d[h � jmn � j � raqÉþ � jmg�j ���¢� rkdr±«ºjmnpo � r±n � ��®7ûÎüPû�þÀ�

Ì Ý Ù¸8¹"º�»H¼¢ÃB3ªÆ D ¸?EFG�º"¹IH�J.HFEFG$» D ¼�æ¥FE?§$»�X é¨ ª�«w¬®­ � Æ n »�X W E?G"¸�¹"º�� o�¯7i �°�?E�¹IG W D±�:D X W?� � EFX�¼�é¨ ª�«w¬®­ � Æ ¦ »�X W EFG"¸�¹�º²� o�¯7i �0�FE�¹IG W D��:D X WF� Æ  �� ¡â�¬ �Å����� d[h ��� jAl+jMp+r�q�~Qy rkn7n t p�q4l"q ~Qy � g}oaØ � j � î)rkØ[g}� ��� ¬²«[g � qs³ ��� j²h±j�d[jmnpo � j��¸«[n�jß� �}� o � j±�Oc�g � r���hkn�rkØ[« � d[h rkdjÂé¡«[g �}�Â�i� o �U� n � l[Ø � j ���}���U� ¬²«[gij�n ��� d � j�l+j+pMr�q�~Qyfoad���n t p�q4l"q�~My � «ºj �m� ¤ � o �¢� rkd � o±n�j d[r � oag�gir¥îKj��<qsrkn­d[rkd � ��� ¬�jo ��� n � l�Ø � j � � ä n¢r±Ø[« � d[h²rkd$Ø � jmn � �¡j�¤�d�j�� ��� ¬�j � oad l�j � ¬²«[g�jm¬²jmd � jß� � �¡j�d ���}� oag�g�³ � r �¢� jOoalºr Ä jk�

[�îð#�î � xMpMo�q�~My $&-!,.��R (

t � j�x+pMo�q�~Qy � g}oaØ � jej�g � ¬ � d�o � j � hkn�rkØ[« � «�n�r¡�¡Ø � j��²l�³ ��� j9y t.u4z.{ |Q}�� g�o±Ø � jNqsn�rk¬>qsØ[n �¢� jmn � rkd ��� �¡j�n¢o ��� r±d � d ��� j�ÌØ[jmn¢³±�^c �x��� j^qsr±n¢¬ raq ��� j�«�n�jß� ��� o � j � d ��� jSxMpMo�q�~My � g�o±Ø � j �}�D� �¡jmd ���}� o±g � r �¢� o � r±q �¢� jAwQx+j t j � g}oaØ � jk� ��� j� �}��� Ø �¢�U� r±d � dfu�j ���¢� rkd$°�� y[� ° � ØQh � j � �

�Uß� âÇë�< <�ä�ì �

Ú d ��������� j ����� r±d���îKjO�¡jm¬²r±d �Õ� n¢o � j�� � îKr��ÌØ�oag �Å�¢� j � r±q �¢� j­o±gihkjml[npo[� ÷ � n �U� ��î)j �U� r¥îKj�� ��� o �e�¢� j�oag�h±j�l[npo � o � d�r� Ø[«�j�ná£�Ø[r±Ø � r±«ºjmnpo � rkn � l�³­�[jm¬²r±d �U� npo �¢� d�h ��� o � j�o �p� l �i� j�¬²«�rkn¢o±g �Õ� o � jNr±«ºjmnpo � rkn � o � o�g � d[h±Ø �}�U���}�e� rkØ[d � jmn¢«�o±n � �t �[�}� �ÌØ�oag �i� ³ �}�À� ¬²«ºr±n � o±d �Ó��� d � jeo � ¬�oag�g[r±«ºjmnpo � r±n � j �Ó��� ¬²«[g � ¤�j � �ÌØ[j�n�³�r±« �¢� ¬ ��Æ o �¢� rkd�oad���j Ä o±giØ�o ��� r±d��k¬�oað � d�h� ¬�«�gij�¬�j�d � o �¢� rkd raq ��� j o±gihkjml[npo$«[n¢o ���¢��� oag �$u�j � r±d�����îKj �U� r¥îKj�����qsr±nDjßo �p� l �i� j�¬�«ºr±npoagÓg � d[h±Ø ���U���}��� rkd �Õ� n�Ø ��� �o � rkn�n¢j � «ºr±d�� � d[h¿oag�h±j�l[n¢o ��� jmé�«�n�j ����� rkd�� �¢� jmn¢jml�³Á�[jm¬²r±d �U� npo �¢� d�h �¢� o ����� j^o±gihkjml[npo � o �O� ØQh �Â� jmd � jmé�«�n�j �����iÄ j«ºr¥î)j�n � r � ¬²«[g�jm¬²j�d � teu�vxw&y[��u�ØQh �m� j�d � jÂé¡«[n¢j �¢�U��Ä j�«�r¥îKjmn �}� oadfrkl Ä�� r±Ø � n�j �kØ � n¢jm¬²jmd � r±qÓoad�³¿oag�h±jml�n¢o � Ø[« �«ºr±n ��� d[h�teu�vxw&y[�t�rkh±j �¢� jmnß� ��� j � jA�ÌØ�oag �i��� j ��� ¬²«[g�³ ��� o �x��� j��¡j¢¤�d[j�� � rkd � j�« � Ø�o±gÀoag�h±jml�n¢o �}� «�r¥îKjmn�qsØ[g¨jmd�r±Ø[h �H� r � oad��¡gij��� j�n �}�p�Á� jm¬�oad �¢����� r±q'teu�vxw&y¡�¼î �i��� r±Ø � Ø[d��¡Ø[j�o±�[� �Å�¢� rkd�oag � r±¬²«[g�jÂé �Å� ³f�[Ø[n � d[h_�ÌØ[jmn¢³Hr±« ��� ¬ ��Æ o ��� r±d�� Ú d ��� jd[jmé ��� j �Â��� r±d��¡îKjD� �}��� Ø ���'� d¿¬²r±n¢j��[j � o � g � r¥î �¢� jOoag�h±j�l[n¢o�¬�o�³^l�jDj¢h �Â� jmd � g�³ � ¬²«[gij�¬²jmd � jß�¼�

³ ��´ ¹_»� ´ `���º9������

t � j � r±d � jm« � Ø�oag�¬�r¡�¡j�g&o±d��Hoag�h±j�l[n¢o²o±n�jDd[r � ¬²j�o±d � qsrkn�« � ³ ����� oag � ¬²«[gij�¬²jmd � o ��� r±df�¡Ø[j � r ��� j­íO®ßí ÷ d�o � Ø[n¢jraq �¢� jO¬²r¡�¡jmg � û j ��� j�n�jmqsr±n¢j �U� r¥î � r¥î ��� j � jm¬�oad ���}�m� raq ��� j � r±d � jm« � Ø�o±g&oag�h±j�l[npo � oadHlºj � Ø[«[«ºr±n � j��¿î �i��� o®�í ÷ n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�oagº¬�r¡�¡j�g�oad��$o �m� rk¬²«�oad�³ � d�h�o±gihkjml[npo[�Ú d ��� j$l �Å� jm¬²«ºr±npoag �U� o � j^n¢jm«�n�j � j�d � o �¢� rkd�oag¶¬²r¡�¡j�gè� � Ø�«[gij ��� o Ä j^o �¢� r �m� o � jß�¸qsrkØ[n­� ���U��� d[h±Ø ����� j�� �¢� ¬²j � �� o±¬²«�o �U� n � l[Ø � j � �Àt Ú �¨t I ��; Ú ��o±d�� ; I ���¡j�d[r �¢� d�hfî � jmd �¢� j�q o ��� î'o �O� Ø[n¢n�j�d �O� d �¢� j �[o � oal�o � j±�&o � îKjmg�g)o �î � j�d ��� j�q o �Â� îKo �eÄ oag � � � d �¢� j�n¢j�o±g � îKr±n¢g��¼��n�j � «ºj �Â����Ä jmg�³±�¼ èt � j ��� ¬�«�gij�n�l �i� j�¬�«ºr±npoag�j Ä jmd � ¬²r¡�¡jmg � o ����� n�j�j��� ¬²j �U� o±¬�« � �Ìî �[� gij Ä o±g � � � ��� ¬�j �Õ� o � jk� Ä oag � � � �¢� ¬²jej Ä j�d � oad�� � npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²jN¬²r¡�¡jmg �¶� o Ä j � î)r��±r±d�j±�ko±d�� � îKr

y =

Page 29: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

µÁ"ÂMÃÅÄÇÆS� � È � Ë �µÌ'ÍýÈ � Ë �µÑ ÒøÍ � � È � Ï 5�5¢5 Ï � Ë �µÐLÑÒ Í � � � �@� È � Ï � Ë �µÔ È � Ï � Ë �µÕ È � Ï � Ë �

µÖ × È � Ë �µ¶ È � Ë �µ¡�£ È � Ë �µ¡�£ ¤ È � Ë �÷ � hkØ[n¢j¼d È �Njm«�n�j � j�d � o �¢� rkd�oag¼ceg�h±j�l[npo

��� ¬²j �U� o±¬�« � �¼n¢j � «�j ���¢�iÄ jmg�³±� ¡ �)r±g�g�j ���¢�iÄ jmg�³±� ��� j�qsrkØ[n ��� ¬�j �Õ� oa¬²« � n�j�«[n¢j � jmd � o n�j ��� o±d[h±g�j � d¸l �Å� jm¬²«�rkn¢o±g � «�o � j±�c ��� d[h±g�j � rkd � j�« � Ø�o±g � Ø[«[g�j �}� n¢jm«[n¢j � jmd � jß��l̳�«ºr �¢�U� l[g�³­¬�oad�³ Ä o±giØ�j � j��ÌØ ��Ä o±gij�d � n�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d�o±g � Ø[«[g�j � î �[�}�p�� rkgig�j �Â����Ä j�gi³ � o Ä j �¢� j � o±¬²j � d¡qsrkn�¬�o �¢� rkd � r±d � j�d � �­t � j¿®ßí ÷ d�o � Ø�n�j�raq ���[�}� n�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d¸o±gig�r¥î ����� j²Ø � j±�r±n'o±��oa« � o ��� r±d$raqÕ��¬�oad�³�îKjmg�g � j �U� o±l[g �}��� j��Z�kØ�jmn¢³�rk« ��� ¬ �iÆ o �¢� rkd$oad��^j Ä o±giØ�o ��� r±d � j �p� d � �ÌØ[j � � û j�Ø � j � d�oa« ��� r �j��ÌØ ��Ä oag�jmd � jS¥ ��u[u¡¯±°4§ � r � r±¬²«�oan � d[h �¢� j � jm¬�oad ���}�m� r±q � r±d � jm« � Ø�oag�o±d��$n�j�«[n�j � j�d � o �¢� rkd�oag � d �U� oad � j � �û jD�¡j¢¤�d[jOo�«�rkgi³�¬²r±n¢« �[�}� n�j�«[n�j � j�d � o �¢� rkd�oag�oag�h±j�l[npo �¢� o ��� Ø[«[«ºr±n �¢� oag�g Ä oan � o±d �¢� raq � j�¬�«ºr±npoag�n¢jmg}o �¢� rkd � �c ��� d[hkgij^o±gihkjml[npo ��� �[j ��� npoal[g�j �U� d � j^o � ¬�oag�g¶d�Ø[¬�lºjmn�raq'r±«ºjmnpo � rkn ����� ¬²«[g � ¤�j � �ÌØ[j�n�³¸r±« �¢� ¬ ��Æ o �¢� rkd�� �¢� j � r �U�¬²r¡�¡jmg � d�hOo �¢� r �Â� o � j���î �i��� �ÌØ[jmn¢³O«[g}oad�hkjmd[j�n¢o ��� r±d��ko � îKjmg�g�o �À��� jejmé¡«�j�d � jNr±q¼«[n�rkh±npoa¬²¬ � d�h9�ÌØ[j�n�³­j Ä oag�Ø�o �¢� rkdoag�h±rkn �i��� ¬ � � � r±n¢jmr Ä j�n���r±Ø[nOhkrko±g ���O� r¸�¡j¢¤�d[j o¿n¢jm«�n�j � j�d � o �¢� rkd�oag¶o±gihkjml[npo ��� o � d[r � r±d[g�³ � Ø[«[«ºr±n �¢���¢� j^qsØ�gig� jm¬�oad ���}�m� raq �¢� j � r±d � jm« � Ø�oag�oag�h±j�l[npo[��o±d�� � j�d � jKteu�vxw&y[��l[Ø � oag � r �}� j�h �Â� jmd � g�³ � ¬²«[g�jm¬²j�d � oal[g�jÓî �i��� ¬ � d � ¬�oagjÂé � jmd ��� rkd raq � r±d Ä jmd ��� r±d�o±g¸�kØ�jmn¢³�j Ä oag�Ø�o ��� r±d � j �p� d � �kØ�j � �8t � jmn¢jÂqsrkn�jk� � d ��� j¿qsrkgig�r¥î � d[h��Kî � jmd îKjf� �}��� Ø ���� ¬�«�gij�¬�j�d � o �¢� rkd­r±q �¢� jNn¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�o±gkrk«�j�n¢o � rkn � ��î)j � rkd � j�d � npo � j'rkd �¢� jNjÂé � j�d ��� rkd �&��� o � d[jmjß� � rDl�jN¬�o±�[j� r ��� j�î)j�gig � Ø�d��¡jmn �U� r�r¡� � d�o±« �U� r � j Ä o±giØ�o ��� r±d^o±gihkr±n �Å�¢� ¬ �À� d�r±np�¡jmn � r � Ø[«[«ºr±n �¶��� j � j�¬²«�rkn¢o±g[n�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d�o±gr±«ºjmnpo � r±n � �÷ r±nKoOh �iÄ jmd � rkd � j�« � Ø�oag�oag�h±jml�n¢o�jmé�«�n�j ����� rkd�� � r±n¢n�j ��� d[j �¢� n¢j��ÌØ � n�j �¨��� o �N� rk¬�j � r±¬­l � d�o �¢� rkd^raq�n¢jm«[n¢j � jmd �� o ��� r±d�o±g¡r±«ºjmnpo � r±n � n¢j � Ø[n�d � o � d�o±« �U� r � j��ÌØ ��Ä oag�jmd � n�j � Ø[g � �±h ��Ä jmd � d�oa« ��� r � j �kØ �iÄ oag�jmd � r±«ºjmnpoad�� � ��c � d�r � o ��� r±d��îKj�� �}�Õ�¢� d[hkØ �}�U� n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�oag�rk«�j�n¢o � r±n � oad�� � d �U� o±d � j � î �i��� o � o � ��jk� h��i� µÌ oad�� µ�¡��oad�� � d�o±« �U� r � j �kØ �iÄ o �g�jmd � j ��� �¡j�d[r � j��¿o � Ù* �t � jDn�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d�o±gºrk«�j�n¢o � rkn � oan¢j ��� r¥îNd � d ÷ � hkØ[n¢j&d��Óc ��� o±d¿l�j � jmj�d���rkd[gi³$o �U� d[h±g�jDr±«ºjmnpo � r±nß� ��� j� rÌoag�j �¢�Â� d[h�rk«�j�n¢o � rkn µ¶ �[�¡r�j � d�r �N� o Ä j�o � r±d � jm« � Ø�o±g�oad�o±girkh��¨t �[��� rk«�j�n¢o � rkn �}� n�j �ÌØ � n¢j��$�¡Ø[j � r �¢� j�«[n¢j � jmd � jraq Ä o±giØ[j � j �ÌØ �iÄ o±gij�d ��� Ø[«[g�j ��� d ��� j�n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d��ec�g � r���îKjOd[r � j �¢� o ����� j�«ºr±g�³Ì¬²rkn�« ����� ¬5r±q ��� j­r±«ºjmnpo � r±n �oan¢j � Ø[«[«ºr±n � jß� � d g}oan¢h±j�«�oan � l�³�«�o±n¢o±¬�j � j�n ��Æm� d[h �¢� j ��� ¬�j �Õ� oa¬²« � r±¬²«[Ø � o �¢� rkd^qsØ[d �Â��� r±d � ��¦²�¡o �¢� r �m� o � j��^î �Å�¢���� jD«[n�r)cÕj �Â��� r±d�� �¢� j � o � cÕr � d��[oad�� rkØ � j�n � cÕr � d rk«�j�n¢o � r±n � �Ú dR¬�oad�³ � d �U� o±d � j � � � rkn�n¢j �Â� d[j ��� �¡r�j � d�r � n¢j��ÌØ � n�j ��� o �H��� o �H��� j n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�oag � o±l[gij � l�j � rko �g�j �¢� j���� ÷ rkn&l �Å� jm¬²«�rkn¢o±g � oal�gij � � Ä oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd ��� Ø[«[g�j � ¬�o�³ � o Ä j)r Ä jmn¢g}oa«[« � d[hNn¢j �Â� oad�h±g�j � Û�qsr±n Ä o±g � � � ��� ¬²jKo±d��� npoad � o ����� r±d � �¢� ¬²j � oal�gij � � Ä o±giØ[j � j �ÌØ �iÄ o±gij�d ��� Ø[«[g�j � ¬�o�³ � o Ä j­r Ä jmn¢g�o±«[« � d[h «ºjmn � r¡� � ��u�r±¬²j²raq ��� j²rk«�j�n¢o � r±n � �� r¥îKj Ä jmnß��n¢j��ÌØ � n�j ��� o ���¢� j � n � d�«[Ø �   �÷¡ lºj � rko±gij ��� j��¼��oad�� � r±¬²j­o±n�j­¬�rkn�j�j�h �m� j�d ��� q ��� j � n � d[«[Ø �   � ¡ oan¢j­oag � r� g�Ø �U� j�n�jß� rkd �¢� jDjÂé¡«[g �}�Â�i� o �U� n � l[Ø � j � � û jDd[r � j � Ø �p�¿�Â� n � Ø[¬ �Õ� oad � j �'� d �¢� j�qsr±g�gir¥î � d[h�oad�oag�³ ���}� �Ú d ��� jfn¢jm¬�o � d��[jmn^r±q ���[�}� � j �Â��� r±d��NîKjHjmd�Ø[¬²jmnpo � j ��� jfn�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d�o±gNr±«ºjmnpo � rkn � � �U� r¥î � r¥î ��� jm³� Ø[«[«ºr±n �K�¢� j � jm¬�oad ���}�m� r±q �¢� j � rkd � j�« � Ø�oag¼r±«ºjmnpo � r±n � �¡o±d�� l�n � j�£�³$� ���¢� Ø ���N� r±¬²j�j Ä oag�Ø�o ��� r±d � npo±�¡j � r ì�� �

ya°

Page 30: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

�Çßáà ·WìYè°¸b=5�"é�6 èP㺹gå=�ì.ä�éQèíìt � j�n�j�«[n�j � j�d � o �¢� rkd�oag�«[n�r)cÕj �Â��� r±d²r±«ºjmnpo � r±n � oan¢jed[jßoan¢gi³ � �[jmd ���}� o±g � r ��� j � n � d�oa« ��� r �)� rkØ[d � jmn¢«�o±n � ��t � j�³�� �Åì jmnr±d�gi³ � d ��� j�o±��� �Å�¢� rkd^raq ��� j ��� ¬�j �Õ� oa¬²« � r±¬²«[Ø � o �¢� rkd�qsØ[d �Â��� r±dd¦²��î �[�}�p� � Ø[«[«ºr±n �¢�Ó��� jxteu�vxw&y¼oMpMl"q�r � g�o±Ø � joad�� � r±¬²«[Ø � j �'�¢� j Ä oag � � � ��� ¬²jOo �¢� r �m� o � j�� î �Å�¢� o­n¢j � Ø[g �'� Ø[«[g�j±�

u�r±¬²jfr±q ��� j¸qsØ[d ���¢� rkd � ¦ oad�� �¢� j¸jmé¡«[n�j ����� r±d ��� d �P H� ¡ ¬²o�³ n¢j��ÌØ � n�j �¢� o � ��� jÁn�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d l�j� rÌoag�j �¢� jß�¼�X�)r±d ��� �¡jmn ��� j Ä oag � � � �¢� ¬²j �U� o � j$«�n�r)cÕj ���¢� rkd�r±«ºjmnpo � r±nß� Ú � ¬�o�³ lºj ��� j � o � j ��� o � oad jmé¡«[n�j ����� r±d� d��P H� ¡ r±n �¢� j�qsØ[d ���¢� rkd�¦ n¢j��ÌØ � n�j ���¢� j²jmd ��� n¢j �¢� ¬²j �Õ� oa¬²«Ár±q �¢� j � rkd � j�« � Ø�o±g � Ø[«�gijk��j±� h����¼qsr±nOo q�~MnMj t oMpQlr±«ºjmnpo �¢� rkd���«[n¢j � jmd �O� d j �i��� j�n ��� j1ikjQl+jQmknHg �}�Õ� rkn ��� jSwQxMj t j � g}oaØ � j±�^t&r � Ø�«[«�rkn �D�¢� j�j��ÌØ ��Ä oag�jmd ��� jm¬�oad ���}�m�� d �¢� j�n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�� �i�O�}� d[j � j �¢� o±n�³ � r¿¬²o � j�n � oag �iÆ j ��� j � r±d � jm« � Ø�oag �¢� ¬²j �U� o±¬²«Áqsn¢r±¬ ��� j�«ºr �¢��� l[g�³f¬�oad�³Ä oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd � n�j�«[n�j � j�d � o �¢� rkd�oag � Ø[«�gij � � û j�Ø � j ��� j � rko±gij ���m� d[h­r±«ºjmnpo � r±n µ¶ ��� r¥îNd � d ÷ � hkØ[n�j8d � r��¡r �¢�[�}� �u�«ºj �m� ¤ � oag�gi³k�¡gij � �­oad�� µ�Ol�r ��� l�j�n¢jmg}o �¢� rkd � r±q ��� j�o±«[«[n¢r±«[n � o � j � ³Ì«ºj±� � � j±��� Ä o±g � � � ��� ¬²j�j Ä jmd � � Ä o±g � � � ��� ¬�j �U� o � j±�� npoad � o ����� r±d �¢� ¬²j±��l �i� j�¬²«�rkn¢o±g�j Ä jmd � ��r±n�l �Å� jm¬²«ºr±npoag �U� o � jk�ºo±d��¿gij � � Ù* µ�¡� ÷ Ø[n �¢� jmn¢¬²r±n¢jDgij � Á"ÂMÃÅÄÇÆS� � l�j ��� j¬�o �p�p�[� d�h � rkd � j�« � Ø�o±g�«[n¢r�cÕj ���¢� rkd�rk«�j�n¢o � rkn���t � jmd �¢� j � jm¬�oad �¢����� raq �¢� j � r±d � jm« � Ø�oag�«[n�r)cÕj �Â��� r±d²r±«ºjmnpo � r±n � oan¢j� ¬�«�gij�¬�j�d � j�� � d ��� jOo±«[«[n¢r±«[n � o � jxn�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d�o±g�¬²r¡�¡jmg � o � Á'ÂMÃÅÄÇÆS� �  H� ¡ Ù* µÁ"ÂMÃÅÄÇÆS� �   µ¶   µ� ¡ª¡ �û jfd�r � j ��� o � qsr±n$¬�oad�³ � r±¬²¬²r±dO�ÌØ[j�n � j � «[n � r±n � rko±gij ���m� d�h raq ��� j � d�«[Ø � n¢jmg}o �¢� rkd ��� d[r � n�j �kØ � n¢j��¼�÷ rkn�jÂé[oa¬²«[g�j±�¼qsrkn�«[n�r)cÕj �Â��� r±d¸rk«�j�n¢o ��� r±d ���¢� o � �¡r d[r � n¢jÂqsj�n�j�d � j ��� j �¢� ¬²j �Õ� oa¬²« � raq � d�«[Ø ��� Ø[«�gij � � � � j±����r±d�gi³jÂé¡«[g �}�Â�i� o �U� n � l[Ø � j � o±«[«ºj�oan � d ��� j � jmg�j ��� g �}�U� ��¦ ���Ó��� j � �¡jmd �¢�Å� ³²qsØ[d ����� r±d��¶�)g�j�o±n�g�³±� � d � Ø �p� �Â� n � Ø[¬ �U� oad � j �¶��� j� rÌoag�j �¢�Â� d[h�r±«ºjmnpo ��� r±d � o±d lºjDr±¬ �i�U� j��¼�÷ Ø[n ��� j�n�¬²rkn�jk�)j Ä jmd � q ��� j �¢� ¬²j �Õ� oa¬²«Braq � d�«[Ø � � Ø[«[g�j ���}� n¢jÂqsj�n�j�d � jß�¼� �Å� �}� r±q � j�d ��� j � o � j ��� o �^��� j� rkd � j�« � Ø�oag �¢� ¬²j �U� o±¬²« d[jmjß� d[r � lºj^¬�o � jmn � o±g ��Æ jß�¼� ÷ r±nOjmé[oa¬²«[g�j±� � q ��� j�oMpMl"q�r q�~MnMj t ikjQm+n � g�o±Ø � j ��� Ø � jß�î �i��� o±df«�j�n � r¡�Hg �Å� jmnpoag ��jk� h��i�"oMpMl"q�r q�~Mn+j t ikjQmkn { j t q u r`_badc.c � _m� �¢� jmd �¢� j�n�j�«[n�j � j�d � o �¢� rkd�oag � Ø[«[g�j �x� o±dfl�j«[n¢r � j �¢� j��^rkd[jOo � o ��� ¬²j±�[î �i��� r±Ø � ¤�n �U�e� rko±gij ���m� d�h��Ú d¿ok�[� �i��� r±d � r ��� j � r±d � jm« � Ø�oag�«[n�r)cÕj �Â��� r±d r±«ºjmnpo � rkn � �[o ��� ¬²«[g�j Ä oan � o ��� r±d raq ��� j�n�j�«[n�j � j�d � o �¢� rkd�oag�«[n¢r �cÕj �Â��� r±d�rk«�j�n¢o � r±n �¨� Ø�«[«�rkn �À�¢� j � r±d � jm« � Ø�oag ��� r±«ºjmnpo � r±n � �¥î �����p� «[n¢r±¬²r � j Ä oag � � � ��� ¬²jNn�j�g�o ��� r±d ��� rOl �i� j�¬�«ºr±npoagn¢jmg}o ��� r±d � �x�)rkd ��� �¡j�n �¢� j Ä o±g � � � ��� ¬�j �Õ� o � j­o � r±«ºjmnpo � r±nß� ��� ØkÙ�  Ý Ù �xãej�n�j ��� j�n�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d�o±g¼n�j�g�o ��� r±d �}� «[n¢r �cÕj �Â� jß� rkd$oag�g�jÂé¡«[g ���m�Å� o �U� n � l[Ø � j � �[o±d��¼� � d ok�[� �i��� r±d �¢� j ��� ¬²j �U� oa¬²« raq �¢� j�n�j � Ø�g �¢� d[h � Ø�«[gij �}�'� r±¬²«[Ø � j��$Ø ��� d�h��� j � Ø[n�n¢jmd �¶� n¢o±d � o ���¢� rkd ��� ¬²j±�¶u � ¬ � g}oanKn�j�¬�oan¢ð � oa«[«�gi³ � r ��� j�q o±¬ � g�³�r±q � rkd � j�« � Ø�oag � d�o±« ��� r � rk«�j�n¢o � rkn � � ¡D¢ �

�Çß�Þ â®=�4"=5�"é�6 èÉ㻹gå=�ì.ä�éQèíìÚ ¬²«[g�jm¬²jmd � o ��� r±dDr±q �¢� jÓn¢jm«�n�j � j�d � o �¢� rkd�oag � jmg�j �Â��� r±dDr±«ºjmnpo � r±n µÌ'Í ��� j �¢� j�d �¢� o±gig�³ �¢� j � oa¬²jÓo ����� o � r±q �Å�p��� d�oa« ��� r �� rkØ[d � j�n�«�o±n � �Kt � j�� �}�Õ�¢� d �Â��� r±d �}�N�¢� o � �º�¡j�«�j�d�� � d[h^rkd ��� jDqsrkn�¬Yraq �¢� jO«[n¢j�� �}� o � j �²� ��� j � d[«�Ø � n¢jmg}o �¢� rkd ¬�o�³n¢j��ÌØ � n�jx«[n � rkn � rko±gij ���m� d[h�� ÷ r±n'jÂé[o±¬�«�gij � qE� � r±d � o � d �)��� jAq�~Mn+j t oMpQl�rk«�j�n¢o ��� r±d�� �¢� jmd ��� j �¢� ¬²j �Õ� oa¬²« � raq ��� j� rkd � j�« � Ø�oag � Ø[«�gij�¬­Ø �Õ� lºj²¬²o � j�n � oag �iÆ j��fqsn�rk¬ ��� j²n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d��­cehko � d���î)j�Ø � j ��� j � rÌoag�j �¢�Â� d[h rk«�j�n¢o � rkn� r o ��� r±¬²«[g �}�U�¿�¢�[��� � ÷ r±n¢¬²o±gig�³±�ºî �i��� �^o±d�� µ�^�¡j�¤�d[j��fo � o±l�r Ä j±��îKj � ¬²«[gij�¬²jmd ���¢� j­o±«[«[n¢r±«[n � o � j � r±d � jm« � Ø�oag� jmg�j ���¢� rkd$rk«�j�n¢o � rkn Ì'Í o � ÌYÍ  H� ¡ Ù* µÌ'Í   µ¶   µ� ¡ª¡ �

û j^d�r � j �¢� o � qsr±nO¬�oad�³Á«[n�jß� �}� o � j � «�n � r±n � rkoag�j �¢�Â� d[h �}� d[r � n�j �kØ � n¢j��¼� ÷ rknOjÂé[oa¬²«[g�j±� � q��5n¢jÂqsjmn¢jmd � j �r±d�gi³ �¢� jDjÂé¡«[g �}�Â�i� o �U� n � l[Ø � j � r±q�ñ �¢� jmd �¢� j � rÌoag�j �¢�Â� d[h�rk«�j�n¢o ��� r±d � o±d$lºjDjmg � ¬ � d�o � j��¼�

ykF

Page 31: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

�Çß� ¼0è­6áã½¹gå=�ì.ä�éQèíìc � î �i���Á��� j�«�n�j ÄÌ� r±Ø � rk«�j�n¢o � r±n � �ºn¢jm«�n�j � j�d � o �¢� rkd�oag ��� j � o � cÕr � d � Ø[«[«ºr±n �¢� «�n�jß� ��� o � j � r Ä jmnxjÂé¡«[g �}�Â�i� o � î)j�gigÀo ���� ¬²j �U� o±¬�«Xo �U� n � l[Ø � j � �¶oad�� �Å�p�­� jm¬�oad �¢����� oan¢j^j ��� jmd ��� oag�g�³ �¢� j � oa¬²j o �D��� j � d�oa« �U� r �O��� j � o � cÕr � d��Àî �Å�¢� ��� jo±��� �Å�¢� rkd$r±q �¢� j ��� ¬²j �U� o±¬�« � r±¬²«[Ø � o ��� r±d$qsØ[d �Â��� r±d§¦²�

t � j � r±¬²¬²jmd �¢� qsr±n ��� j � j�gij ���¢� rkdHr±«ºjmnpo � rkn�o±g � r oa«�«[gi³ � r ��� j�«[n¢r � j �¢��� d[h raq ��� j­«[n¢j�� ��� o � j � d ��� j`cÕr � dr±«ºjmnpo � r±nß� �)rkd ��� �¡j�n ��� j Ä oag � � � ��� ¬²j �U� o � j �¢� j � o � cÕr � d�� Ñ Ò ØkÙ�  ¾Í � � �Qt � j � rk¬²«[Ø � o ��� r±dBr±q �¢� jHqsØ[d ����� r±d°¦ ¬�o�³n¢j��ÌØ � n�j �¢� j�j�d ��� n�j Ä o±g � � � ��� ¬²j�jmg�jm¬²j�d � o �¢� r �m� o � j�� î �i��� o � rkd � j�« � Ø�o±g � Ø[«[g�j±�xt �[����Ä oag � � � �¢� ¬²j�j�gij�¬²jmd � ¬­Ø �Õ�lºjÓ¬�o � jmn � o±g ��Æ jß�xqsn�rk¬ �¢� jÓ¬­Ø[g ��� «[gij ��� ¬²j �U� oa¬²« � o �¢� r �m� o � jß��î �Å�¢�D��� j Ä oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd ��� Ø�«[gij � n�j�«[n�j � j�d ��� d[h ��� j� rkd � j�« � Ø�oag � Ø[«[g�j±�­�)rÌoag�j �¢�Â� d[h r±q ��� j � d[«[Ø � n¢jmg}o ��� r±d¸¬²o�³¿lºj­n¢j��ÌØ � n¢j��¼��«[n � rkn � r¼cÕr � dÁj Ä oag�Ø�o �¢� rkd��Dãer¥îKj Ä jmnß�qsr±n�¬�o±d̳ � rk¬�¬²rkdXrk«�j�n¢o ��� r±d � � � Ø �p� o ��� jm¬²«�rkn¢o±g � d � jmn � j ����� r±d�� � � �i�^��� «ºr �¢��� l[g�j � r �i� j�n¢o � j ��� n�rkØ[h �X��� j��� ¬²j �U� o±¬�« �N� d � Ø �m� j �¢�U� r±d��Ìhkjmd[j�n¢o ��� d[h ��� jDn¢j � Ø[g ��� d[h²«�j�n � r¡� � �u�jm¬�oad �¢��� oag�gi³k� �¢� j � j�¬�«ºr±npoag¼rkØ � j�n � cÕr � d rk«�j�n¢o � rkn � oan¢j � ¬²«[gij�¬²jmd � jß�$Ø �U� d[h ��� jDn¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�oag�rkØ � j�n �cÕr � dHoad�� � rÌoag�j �¢�Â� d[h�r±«ºjmnpo � rkn � � � � j±��� Ñ Ò øÍ � �  �� ô õ¢5�5¢5�õ � ö ¡ Ù* µÑ Ò

øÍ � �   µ¶   µ� ô ¡ õ¢5�5¢5�õ µ¶   µ� ø ¡á¡ �

û jÁd[r � j ��� o � j¢h �Â� jmd �$� ¬²«[gij�¬²jmd � o ��� r±d r±q � jm¬²«ºr±npoagPcÕr � d � �}� �p� oag�gij�d[h � d[h qsrkn � îKr�n¢j�o � r±d � � ÷ � n �U� ���� j «[n¢j�� �}� o � j � o �¢� r �m� o � j�� î �i��� � jm¬²«ºr±npoag�cÕr � d r±«ºjmnpo ��� r±d � oan¢j^Ø � Ø�oag�g�³ � d[j��ÌØ�o±g �i� ³¸«�n�jß� ��� o � j � ��npo �¢� jmn ��� o±d��� j j��ÌØ�o±g �i� ³<«[n�jß� �}� o � j � «[n�j Ä oag�jmd ��� d � d�oa« ��� r � �[o � oal�o � j � �¸u�j � rkd��¼�¶o �O� j�¬�«ºr±npoag)n�j�g�o ��� r±d � ¬�o�³Álºj ¬�oad�³��� ¬²j � g}oan¢h±j�n �¢� oad � d�oa« ��� r � n¢jmg}o ��� r±d � ��j�h �m� j�d � j Ä o±giØ�o ��� r±d �}� j � «ºj �m� o±gig�³ � ¬�«ºr±n � o±d � ��o ���¢� j � r �Õ� raq)d�o ��Ä j�gi³� rk¬²«[Ø ��� d[h�o �Koan � j �U� oad$«[n¢r��[Ø ���e�}� «[n¢r �[� l �i����Ä j±�u�j Ä jmnpoag�oa«�«[n�rÌo �p� j �K� o Ä jDlºjmj�dH«[n�rk«�r � jß�^qsrkn � ¬�«�gij�¬�j�d ��� d[h � j�¬²«�rkn¢o±gQcÕr � d � �'u�j Ä j�n¢o±g�jÂé¡«[g�r �i� r±np�¡jmn � d[hraq �¢� j � d[«[Ø �)� oal�gij �À� r­o �p�[� j Ä j ��� h � jmn¶j¢h �Â� jmd � ³±� � r �U� o±«[«[n¢rko �p� j �¨�U� r±Ø[g}�²l�jxoa«[«�g �}� o±l[gij � r ��� j � j�¬�oad ���}�m� r±q��� j�rk«�j�n¢o � r±n � �[j�¤�d[jß� � j�n�jxoad�� � r ���[�}� n�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d�o±g��[o � oO¬²r¡�¡jmg � Ú q �¢� j�Ø�d��¡jmn¢g�³ � d[h � oal�gij � o±n�j�r±np�¡jmn¢j����� rÌoag�j �¢�Â� d[h � oad lºj � oad��[gijß� � d o¸¬²o±d[d[j�n ��� ¬ � g}oan � r ��� o � qsrkn­«[n¢r�cÕj ���¢� rkd�� û j¿lºjmg � j Ä j ��� o �­�¢� j$¬­Ø[g ��� îKo�³

cÕr � d � î � g�g�npoan¢jmg�³�l�jOn¢j��ÌØ � n¢j��¼�¶c � j Ä�� �¡jmd � j±��oag�g¶® Fky&�ÌØ[j�n � j � �[j�¤�d[jß� � d �¢� j�teu�vxw�y�j Ä oag�Ø�o �¢� rkd � r±¬²¬²jmd � o±n�³¥ u�d[rk¯±°4§�  n�j�«[n�j � j�d ��� d[h ��� j�teu�vxw&y � ¬²«[g�jm¬²j�d � o �¢� rkd�raq ��� j � r±d � jmd � Ø ��� jm¬²«ºr±npoagY�ÌØ[j�n�³ � j �U�)� Ø �Å� j¼¥ �kjmd�¯ = § ¡À� o±dlºjDj Ä oag�Ø�o � j��$Ø ��� d[h y � î'o�³9cÕr � dHoag�h±r±n �i��� ¬ � �

�Çß�� ¹�ë¸é�=�ìQ9d¼Éèp6áã½¹gå=�ì.ä�éQèíìc � î �i���¸��� j²«[n¢j Ä�� r±Ø � r±«ºjmnpo � rkn � �ºn�j�«[n�j � j�d � o �¢� rkd�oag&r±Ø � jmn � cÕr � d�� µÐLÑÒ Í � � � �/�ç� � Ø�«[«�rkn �p� «�n�jß� ��� o � j � r Ä jmn�jÂé¡«[g ���m�Å�o � îKjmg�gOo �$�¢� ¬²j �U� o±¬²«Fo �U� n � l[Ø � j � ��o±d�� �Å�p�f� j�¬�oad ���}�m� oan¢j j �¢� j�d ��� oag�gi³ �¢� j � o±¬²j<o � ��� j � d�oa« �U� r � rkØ � j�n �cÕr � d��¼î �i���¸��� j²o±�[� �Å�¢� rkd¸raq �¢� j ��� ¬�j �Õ� oa¬²« � r±¬²«[Ø � o �¢� rkdHqsØ[d �Â��� r±d � ¦ o±d��K¦êè��u�jm¬�o±d �¢��� oag�gi³k� ��� j � j�¬�«ºr±npoagr±Ø � jmn � cÕr � d�r±«ºjmnpo � rkn � oan¢j � ¬²«[g�jm¬²jmd � j��^Ø �U� d[h �¢� j�n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�oag¡r±Ø � jmn � cÕr � d^oad�� � rko±gij ���m� d[hDrk«�j�n¢o � rkn � � � � jk�i�� ô Ð�ÑÒ Í � � � �@��� ö Ù* µ¶   µ� ô�¡ µÐ�ÑÒ Í � � � �@� µ¶   µ� ö ¡ �

� oad�³�r±q ��� j � o±¬²j � rk¬�¬²j�d �p� rkd ��� j ��� j � o � cÕr � d � ¬�«�gij�¬�j�d � o �¢� rkd oa«�«[gi³ � r ��� j�n�j�«[n�j � j�d � o �¢� rkd�oag¡rkØ � j�n �cÕr � d��Àãer¥îKj Ä jmnß� �¢� j � jm¬�oad �¢����� raq �¢� j�rkØ � j�n � cÕr � d�n¢j��ÌØ � n�j �¨��� o �Ó�¢� j � d[«[Ø � n¢jmg}o ��� r±d � l�j � rÌoag�j �¢� jß�¼�&t&r � jmj �¢�[�}� �� rkd ��� �¡j�n �¢� j��ÌØ[j�n�³¿� û � r�� � q&oad�³±rkd[j±�kîKo �)ö �D³ � ¬�oad�oah±j�n¶qsrkn �¢� jx�[jm«�o±n � ¬�j�d �¢�)� d$î �[���p� � j�î'o � jm¬²«[g�r¥³±jß��U �û j�¬­Ø �Õ� �¡j � jmn¢¬ � d�j�d[r � rkd[gi³ �¢� j�«ºjmn � r�� � �[Ø[n � d[h­î �[���p�$ö � � o±�^o�¬²o±d�oahkjmnß�kl�Ø � o±g � r �¢� r � j �¢� ¬²j � î � jmd ö �� � �¸d�r ��� o Ä j²o ¬�o±d�oahkjmnß�Ot �[���x�}� ¬²r �U� jßo ��� g�³fo ��� r±¬²«[g �}�U� jß� � q �¢� j � d[«�Ø ��� Ø[«[g�j � o±n�j � rÌoag�j �¢� j�� � d � r���r±n�o �g�j�o �U�)� giØ �U� j�n�jß�¼�Ìr±d ��� j � nÓjÂé¡«[g �}�Â�i� o ��� n � l�Ø � j Ä o±giØ�j � � � rkn�j�r Ä j�n�� �¢� j �¢� ¬²j �Õ� oa¬²« � rk¬�«�Ø � o ��� r±d�qsØ[d ����� r±dd¦R¬�o�³n¢j��ÌØ � n�j ��� jxj�d ��� n�j Ä oag � � � �¢� ¬²j�jmg�jm¬²j�d � o ��� r �Â� o � j��^î �i��� o � r±d � jm« � Ø�oag � Ø[«[g�j±�

y)e

Page 32: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

�Çß�� ÀOã�6 èPã½¹gå=�ì.ä�éQèíìt � j�n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�oag¨Ø[d � r±d r±«ºjmnpo � r±n �}�D� �[jmd ���}� o±g � r �i�¢�O� d�o±« �U� r ��� rkØ[d � j�n�«�o±n � �^t � j�n¢j � Ø[g � r±q'o Ø[d � rkd<r±q� j�¬²«�rkn¢o±g&n¢jmg}o �¢� rkd �e�}����� ¬�«�gi³ ��� j � j � Ø[d � r±d¸r±q ��� j � d[«[Ø � n�j�g�o ��� r±d � ��í�r � j ��� o ���¢� j�n�j � Ø[g ���}� d[r �D� rÌoag�j �¢� j����o � r Ä j�n�g}oa«[« � d[h Ä oag�Ø[j � j �kØ �iÄ oag�jmd �^� Ø[«[g�j � ¬�o�³Xlºj¸«[n¢r¡�¡Ø � j��¼�Qã�r¥î)j Ä jmnß� ��� j¸Ø[d � rÌoag�j �¢� jß� n�j � Ø[g � �}� � gijßoan¢gi³� d�oa« ��� r � � j��ÌØ ��Ä o±gij�d �x� r ��� j � rkn�n¢j � «�rkd�� � d[h � r±d � jm« � Ø�o±gÓn¢j � Ø[g � � � rkn�j�r Ä j�n�� �¢� j^n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�oag � rÌoag�j �¢�Â� d[hr±«ºjmnpo � r±n'¬�o�³^lºjOoa«[«[g � j�� � r ��� j ��� jDØ[d � rko±gij ��� j�� n�j � Ø[g �N� r²«[n¢r¡�¡Ø � j�o � rkoag�j �¢� jß� n¢jm«�n�j � j�d � o �¢� rkd��

�Çß�Á  6FÃA=�ì�=�ã8��=¤¹gå=�ì.ä�éQèíìu�j�¬²o±d ���}� oag�g�³±� ��� j � r±d � jm« � Ø�oag�� �Åì jmn¢jmd � jHr±«ºjmnpo � r±n �}��� ¬²«[g�jm¬²j�d � j�� Ø ��� d[h ��� jHn¢jm«�n�j � j�d � o �¢� rkd�oagN� �iì j�n�j�d � jr±«ºjmnpo � r±nß� � � j±����� Õ Ê Ù* µ� µÕ µÊ �

Ãed[g � ðkj �¢� j�Ø[d � r±d¸rk«�j�n¢o � rkn�� ��� ¬²«[g�j � j � � �iì j�n�j�d � j �}��� d � ØQh �Â� jmd � qsr±n � rk¬�«�Ø ��� d[h ��� j�n�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d�o±g� �iì j�n�j�d � j'rk«�j�n¢o � r±nß��t �[�}�¨�}� l�j � oaØ � j � îKr Ä o±giØ[j � j �ÌØ �iÄ o±gij�d �À� rkd � j�« � Ø�oag � Ø�«[gij �¨� d ��� j � d[«�Ø � n�j�g�o ��� r±d � «[n¢r¡�¡Ø � joNn¢j � Ø[g ��� Ø[«�gij �¢� ¬²j �Õ� oa¬²«�jß�Dî �i���D�¢� j � j � � �Åì jmn¢jmd � j¶raq �¢� j � d[«[Ø �&��� ¬²j �U� oa¬²« � �¨�)rk¬²«[Ø � o ��� r±dDr±q �¢�[�}� � �iì j�n�j�d � j��� ¬²j �U� o±¬�« �}� ¬²r �U� j�o ��� gi³ o �m� r±¬²«[g ����� j�� � q �¢� j � rkd � j�« � Ø�o±g ��� ¬²j �U� oa¬²« � o±n�j9¤�n �U� ¬�o � jmn � oag �iÆ j��¼�ö¶Ä oag�Ø�o �¢� rkd�raq ��� jÓn�j�«[n�j � j�d � o �¢� rkd�oaga� �Åì jmn¢jmd � j¶r±«ºjmnpo � r±n �}����� ¬²«[g � ¤�j�� � q ��� j � d�«[Ø � n¢jmg}o �¢� rkd � o±n�j � giØ �U� j�n�jß�r±d ��� j � n�jÂé¡«[g ���m�Å� o ��� n � l�Ø � j Ä oag�Ø[j � � ��� j�n�j�l̳ o±gig�r¥î � d�h ��� j ��� ¬²j �U� o±¬�« qsr±n�o � rkd � j�« � Ø�oag � Ø[«[g�j � r¸lºj j�o ��� gi³¬�o � jmn � o±g ��Æ jß�¼�)t � j­� �Åì jmn¢jmd � j �}�N��� jmd � rk¬²«[Ø � jß�¿l�³ «ºjmn�qsr±n¢¬ � d[h^o ��� d�h±g�jD«�o �¢� r Ä j�nNl�r ���H� d[«[Ø � n�j�g�o ��� r±d � � � dj ì j �Â� «�j�nUqsrkn�¬ � d[h�o�¬�j�n�hkj � cÕr � d��ãer¥îKj Ä j�n�� � q �¢� j � d[«[Ø � n�j�g�o ��� r±d � o±n�jHd[r � � g�Ø �U� jmn¢j�� rkd ��� jfjmé¡«[g �}�Â�i� o �U� n � l[Ø � j Ä o±giØ�j �²�¢� jmdBj �Å�¢� jmn od[j �Õ� j�� � gir�rk« � r±¬²«[Ø � o ��� r±d � o±d$lºjDØ � j��¼��r±nN«[n � rkn � rko±gij ���m� d�h­¬­Ø �Õ� lºjD«ºjmn�qsr±n¢¬�jß�¼�

�Çß[Ä Åµèíä54�=�æ.�D6áã�Æǹgå=�ì.ä�éQèíì�)rko±gij ���m� d�h �}� o±d � ¬²«ºr±n � oad � rk«�j�n¢o ��� r±d�� �U� d � j Ä o±giØ�j � j��ÌØ ��Ä o±gij�d �À� Ø[«[g�j � ¬�o�³�lºje«[n¢j � jmd �¶� d �¢� jen¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d��c � ¬²jmd ��� r±d[jß� � d �¢� j�� �}�¢� Ø �¢�U� r±d � raq¼r �¢� jmn)r±«ºjmnpo � r±n � � �¢� j � jm¬�oad �¢����� raq � r±¬²jU�ÌØ[jmn � j � �¡j�¬²o±d�� ��� o �¶�¢� j � d[«[Ø �n¢jmg}o ��� r±d � lºj � rÌoag�j �¢� jß� «[n � r±n � r²j Ä o±giØ�o ��� r±d��

Ú q'«�n � r±n � rkoag�j �¢�Â� d[h �}� n¢j��ÌØ � n�jß�¼� �¢�[������� ¬²r �U� j�o ��� gi³<o �m� r±¬²«[g ����� jß� � q ��� j � d[«�Ø � n¢jmg}o ��� r±d �}��� r±n � jß�Árkd��� j�jmé�«�g �}�Â�i� o �U� n � l[Ø � j Ä o±giØ[j � �Àt � j � j�¬²«�rkn¢o±gºj�gij�¬²jmd � o ��� r �Â� o � j��²î �i���$��� j � rkd � j�« � Ø�o±g � Ø[«[g�j ��� j�o �U� g�³�n�j � r±d ��U� n¢Ø ��� j��<�¡Ø[n � d[hHo �¢� oad<raq ��� j�n¢jmg}o �¢� rkd�� Ú q � d��¡jmé�j � r±nD«[n¢j � r±¬²«[Ø � j��Án�j � Ø�g �p� oan¢j�o Ä o � g}oal[g�j ��� j�d �i� ¬�o�³fl�j«ºr �¢�U� l[g�j � r^o Ä r � � ��� jDn¢jmg}o �¢� rkd �¢� oad��

�Çß�È â:486?��=¤¹Bå=�ì.ä�éMèPìt � jNn¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�oag � g �}� jNr±«ºjmnpo � r±n � µ¡�£ oad�� µ¡�£ � � ¬²«[g�jm¬²jmd �¶�¢� j � rkn�n¢j � «ºr±d�� � d[h � rkd � j�« � Ø�oag � g �}� jNrk«�j�n¢o � r±n � �� o±d̳¸raq ��� j�«�n�j ÄÌ� r±Ø � n�j�¬²o±n�ð � oa«�«[gi³ � r �¢� j � g �}� j�rk«�j�n¢o � r±n � � ÷ r±nOjmé[oa¬²«[g�j±� � r±d ��� �¡jmn �¢� j µ¡�£ Ý Ù r±«ºjmnpo � r±nß�t �[�}� r±«ºjmnpo � r±n�¬­Ø �U� n¢j � r±d �U� n¢Ø �Â����� j Ä o±g � � � ��� ¬�j²j�gij�¬�j�d � qsrknDo h �iÄ jmd¸«ºjmn � r��¸raq � npoad � o �Â��� r±d �¢� ¬²j�qsn�rk¬ ��� jÄ oag�Ø[j � j��ÌØ ��Ä oag�jmd �x� Ø[«[g�j �O� d ��� j�n¢jm«�n�j � j�d � o �¢� rkd��­t �[�}���}� o Ä o±n � oad � raq �¢� j � rÌoag�j �¢�Â� d[h «�n�rkl[gij�¬¿��oad�� �}� ¬²r �U�j�o �U� g�³ o ��� r±¬²«[g �}�U� jß� � q �¢� j � d[«[Ø �e� Ø[«[g�j � o±n�j � g�Ø �U� j�n�jß� rkd �¢� j � nejÂé¡«[g �}�Â�i� o �U� n � l[Ø � j Ä o±giØ�j � �¶t�npoad � o �Â��� r±d � ��� ¬²j� d��¡jÂé¡j � ¥ u�d�rk¯ky�§&oad��$«[n¢j � r±¬²«[Ø � j�� n�j � Ø�g �p� ¥ � � �e¯�® § � � qÀo Ä o � g�o±l[gijk��¬²o�³ l�j � j�gi«[qsØ[gè�

y+d

Page 33: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

íer¥î � rkd �U� �¡j�n ��� j µ¡�£ Ý Ù� r±«ºjmnpo � r±nß� Ú d � jmn¢j �U��� d[hkgi³k���[Ø[j � r ��� j)n�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d�� �Å� ¬²o�³xlºjÓg�j �¢� jÂé¡«ºjmd ����Ä j � r� rk¬²«[Ø � j ���[�}� r±«ºjmnpo � rkn �¢� oad �¢� j µ¡D£ Ý Ù r±«ºjmnpo � r±nß�aj Ä jmd �¢� r±Ø[h ����� jeqsr±n¢¬²jmn � o � ¬�rkn�j � r±¬²«[g �}� o � j�� � jm¬�o±d �¢����� �Ú q ��� j � ¬²«[gij�¬²jmd � o ��� r±d�j�d¡qsr±n � j �O� rÌoag�j �¢�Â� d[hfraq �¢� j � d[«[Ø ��� r ��� j$r±«ºjmnpo � r±n �¢� jmd ��� j µ¡�£ Ý Ù� r±«ºjmnpo � r±n �}� qsn�j�j��� d � j ��� j�n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d ��� oag�n�jßo±�¡³ � g �}� jß�Áo±d��Á«�oan ���i��� r±d[jß� � d � r¿¬�o¥é � ¬�oagÀn¢j ��� oad[hkgij � � Ú q � rko±gij ���m� d�h �}� d[r �jmd[qsr±n � j�� ��� jmd¿n�j�¬�oan¢ð �'��� ¬ � g�o±n � r ��� r � jD¬²ok�¡jxqsr±n � ¬²«[gij�¬²jmd ��� d[h ��� j µ¡�£ Ý Ù rk«�j�n¢o � rkn � oad l�jD¬�ok�¡j±��Çß�É Ê�=�ãUä5< =˹gå=�ì.ä�éQèíìt � j � jm¬²«ºr±npoag Ö r±«ºjmnpo � r±n �¼� o Ä jÀd[r�o �¢� r �m� o � jß� � r �U� o ����� j�³Doan¢j � d � j�d ��� rkd�oagkr±«ºjmnpo � rkn � ��o±d��Oo±n�jÀd[r � �¡j�«�j�d��¡j�d �r±d ��� j � r±d � jmd �¢� r±q �¢� jO�[o � oal�o � jk��t � j � jm¬²«ºr±npoag¼rk«�j�n¢o � r±n � oan¢j � �¡j�d �¢��� oag � r ��� j � n � d�o±« �U� r �e� rkØ[d � jmn¢«�o±n �p� �

�Çßáà5Ì ¹gåUé�68< 6?ÍLä�é�6áèPã÷ rkn^j�h �m� j�d � �ÌØ[jmn¢³ j Ä o±giØ�o ��� r±d��KîKjfîKr±Ø[g}� g � ðkj � r��¡j �U� h±d � «ºj �Â� oag � «[Ø[n¢«�r � jHrk«�j�n¢o � r±n � qsr±n qsn�j �ÌØ[jmd � g�³ Ø � jß�� rk¬�l � d�o ��� r±d � r±q&r±«ºjmnpo � r±n � ��rkn � r±d ��� �¡jmn � r±¬�l � d�o ��� r±d � r±q&rk«�j�n¢o � r±n � �¡Ø[n � d�hA�ÌØ[j�n�³ r±« �¢� ¬ ��Æ o �¢� rkd��

÷ r±n�jÂé[o±¬�«�gijk�ßîKjÓlºjmg � j Ä j ��� o � ¬�r �Õ� teu�vxw&y`�ÌØ[jmn � j � î � g�gÌn¢jÂqsj�n�j�d � j ��� j � Ø[n¢n¢jmd ���U� o � jKraq ��� jK�[o � o±l�o � j±� � dr±np�¡j�n � r � Ø[«[«ºr±n �Ó� r±d Ä jmd ��� r±d�o±g � d�o±« ��� r � �ÌØ[jmn � j � ��t � j�n�jmqsr±n¢j±�ao±d�j¢h �Â� jmd � oag�h±rkn �i��� ¬ � r � npoad � o ����� r±d ��� ¬²j � g �}� j��� jO�[o � oal�o � jk��o � h ��Ä j�d$l�³ �¢� jDjÂé¡«[n¢j �¢�U� r±d µÌ W G�¹IX:J�¹?Y W » D X ÃB3ªÆ D ¸FEFG�º"¹FH:J¢X D[Z   µ¡D£  �� ¡á¡ ��îKr±Ø[g}�$l�j Ä jmn¢³�l�j�d[j�¤ �m� o±gè�c � o±d[r �¢� jmn¶jmé[oa¬²«[g�j±�±î �����p� îKjNl�rkn�n¢r¥î�qsn¢r±¬ � npo±� �Å�¢� rkd�oagY�ÌØ[j�n�³­r±« �¢� ¬ ��Æ o ��� r±d�� � r±d �U� �¡jmn ��� jejmé¡«[n�j ����� r±d

µÁ'ÂQÃÅÄÇÆ   µÌ Í � �   µ� Ñ Ò µÊ ¡ª¡ ��c ��� ¬²«[g�j²j Ä oag�Ø�o ��� r±dfr±q ������� �ÌØ[jmn¢³HîKr±Ø[g}�f«ºjmn�qsr±n¢¬ j�o �p� r±«ºjmnpo �¢� rkd � j��ÌØ[jmd �¢� o±gig�³±� � � jk�i�¤�n �Õ� � r±¬²«[Ø ��� d[h ��� j�cÕr � d�� ��� j�d ��� j � j�gij ���¢� rkd��Noad��ý¤�d�o±gig�³ ��� jf«�n�r)cÕj ���¢� rkd��Ft � jfo �¢� r �m� o � j�� � r �U�^���^��� j�d� r �Õ��� r±¬²«[Ø �¢� d�h µ� µÑ Ò µÊ �&«[g�Ø �D�¢� j � r �Õ� r±q � jmg�j �Â��� d[h¿qsn�rk¬ µ� µÑ Ò µÊ   � jmg�j ���¢�iÄ��i��� j � o±n�j²Ø � j�� � rHj �U��� ¬²o � j �¢� j ���iÆ j�r±q������� n�j � Ø[g � ¡ �&«�giØ �O��� j � r �Õ� r±q'«�n�r)cÕj ���¢� d�h �¢� j n¢j � Ø[g � raq ��� j � j�gij ���¢� rkd  èoahÌo � d � jmg�j �Â����Ä��Å�¢� j � oan¢j�Ø � j�� ¡ � � r±n¢jj�h �m� j�d � jÂé¡«[n¢j �¢�U� r±d � ¬²o�³�lºj � Ø[l �U���i� Ø � j��¼��j±� h���� � q �i�)�}� «ºr �¢�U� l[g�j � r­«[Ø ���²��� j�«[n¢r�cÕj �Â��� r±d^o±d���Î�rkn � jmg�j ���¢� rkd � d � r��� jÇcÕr � d��[r±n'l�³ � ¬²«[gij�¬²jmd ��� d[h^o � rk¬�l � d[j��$r±«ºjmnpo � r±n'«[n¢r�cÕj ����� r±d�Î � jmg�j ���¢� rkd^r±«ºjmnpo � r±nß� ��� j�n�j�l̳ jmg � ¬ � d�o �¢� d[h^o±d� d � jmn¢¬²j�� � o � jxn¢j � Ø[g � �

�ÇßáàPà â¸ëUå`å8èPìQé�6áã�Æ`ÏÑÐ�Ò

t � j�o±��� �Å�¢� rkd¸r±q�®"��� � o � ¬ � d � ¬²o±g � ¬²«�o ��� r±d ��� j²n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�oag&o±gihkjml[npo[� û j � n¢j�o � ®��4�!o � o Ä oan � o±l[g�j��� o �¶�}� ±�¨÷�2)Q®�'¼� � � jk�i�kh ��Ä jmd²o Ä oag�Ø[j±�Ì�¡Ø[n � d[h¼�ÌØ[j�n�³�j Ä oag�Ø�o �¢� rkd­rkn Ä�� j�îX¬�o � jmn � o±g ��Æ o ��� r±d���t�rDo �m� rk¬²¬�r¡�[o � j7®"���� d ��� j^n¢jm«�n�j � j�d � o �¢� rkd�oag¶o±gihkjml[npo[��îKj^«[n¢r±«ºr � j^o±��� � d�hfo¿d[jmî>qsØ[d �Â��� r±d��Ó��d[r¥î Ä o±n � oal[g�j^o �¢��� hkd[¬²jmd � � � î �[�}�p�o �¢��� hkd � o Ä o±giØ�j � rW®"��� j Ä jmn¢³Ìî � jmn¢j ��� o �x�i� o±«[«ºj�oan �e� dÁo � Ø[«�gijk� ÷ n�rk¬ ��� o � «ºr � d � rkd�� ��� j � Ø[«�gij ��� h±n¢r±Ø�d��oad�� ¬�oad � «[Ø�g�o � j�� jmé¡o ��� gi³ o � r �¢� jmnNhkn�rkØ[d�� � Ø[«[g�j � �û j � rkd ��� �¡j�n�jß� �¢� j²r±« �¢� rkdÁr±q'o±gig�r¥î � d[h �¢� j�Ø � jmn � r � «�j �Â� qs³ �¢� o � ®"���!n¢jm¬�o � d¸Ø�d � d �Õ� oad ��� o � j�� �¡Ø[n � d�h

�ÌØ[jmn¢³^j Ä o±giØ�o ��� r±d�� � r¥î)j Ä jmnß� ���[�}� rk« ��� r±d � o � rkd[j�«[n � ¬�oan¢³ � �}� ok� Ä oad � o±h±j ��� o �e���'� gig�Ø �U� npo � j�� l�³ ��� jxqsrkgig�r¥î � d�hjÂé[o±¬�«�gijk�À�)rkd �U� �¡j�n¶o � jmg�j �Â��� r±d²r±d²o Ä oag � � � �¢� ¬²j �U� o � j'n�j�g�o ��� r±d�î � jmn¢j ��� j � jmg�j �Â� jß� � Ø[«[g�j � o±n�j �¢� r � j'«[n�j � jß� � d�h��j � j�¬�lºjmn^®k�¶®�¯k¯ =$� d Ä o±g � � ��� ¬�jk� u � r±Ø[g}� o � Ø[«[g�j^î �i��� o±d<j�d�� � d[h ��� ¬²j�raq8®"��� o±«[«�jßoan � d ��� j�n¢j � Ø[g � U Ú q� r¡�[o�³ �}� í�r Ä jm¬­l�j�n = D[��®ß¯±¯ = � �¢� jmdÁ«�j�n � oa« �e��� j�n�j � Ø�g ����� rkØ[g�� � d � giØ��¡j �¢� j � Ø[«[g�j±��ãer¥îKj Ä jmnß� � q ��� j � Ø[«�gij ���� d �¢� jDn�j � Ø�g � � ��� j�d �¢� jDn�j � Ø�g � l�j � rk¬�j �'� d Ä oag � � �¢� j Ä j�n�³²d[jmé � ��o�³±� �U� d � jxrkd ��j � jm¬­l�j�nD®±��®�¯k¯ =���� j � Ø�«[gijDd�rg�r±d[hkjmn'«[n¢j � jß�¡j �)�¢� o � �[o � j¢Ô û j � rkØ[g}�$o ��� r �Â� o � j�o��Ug � qsj ��� ¬²j � î �Å�¢� j Ä j�n�³�n¢j � Ø[g � �¡l[Ø �K�¢�[�}�N��� o±d  èoa«[«�oan¢jmd � g�³ ¡jÂé¡«ºjmd ����Ä j�rk« ��� r±d$oad���n¢j��ÌØ � n¢j � qsØ[n ��� jmn'n�j � jßoan �p� � Ú d ��� j � d � j�n�j �Õ� raq�¬�oað � d[h�¬ � d � ¬²o±g �p� oad[hkj �À� r�u�vxw � ¯Ìy�îKjo±� Ä r � o � jxh±n¢r±Ø[d�� � d[h²j Ä jmn¢³ � Ø�«[gijD«�n � r±n � r �i�¢� Ø � jk�y @

Page 34: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

�Çßáà�Þ â¸ë�< <�ä�ìV�

÷ rkn�¬�oad�³ raq �¢� j � jm¬²«�rkn¢o±g�rk«�j�n¢o � r±n � � ��� j � o±¬²j�oag�h±rkn �i��� ¬ � Ø � jß� � r^j Ä oag�Ø�o � j ��� j � n � d�oa« ��� r ��� rkØ[d � jmn¢«�o±n �p�¬�o�³�lºjeØ � j���� � n¢j ��� gi³k�krkn¶î �i���^� ¬²o±gig�¬²r�� � ¤ � o �¢� rkd � � ��� j �p� oad[hkj � lºj � d[h�ok�[� �i��� r±d�o±g[«�o±n¢o±¬�j � j�n � «�o ��� j�� � r ��� jj Ä o±giØ�o ��� r±d qsØ[d ���¢� rkd � �¶t � j � j�rk«�j�n¢o � rkn �Ó� d � giØ��¡j ��� j�«[n¢r�cÕj ����� r±d�� � jmg�j �Â��� r±d�� �¢� j � o � cÕr � d���r±Ø � jmn � cÕr � d��¡o±d��^Ø[d � rkdr±«ºjmnpo � r±n � � ÷ rkn�r �¢� jmn�r±«ºjmnpo � r±n � � � Ø �p� o �N��� j�o � o±d�� � d�oa« ��� r � rk«�j�n¢o � rkn � �[j Ä o±giØ�o ��� r±dHoag�h±rkn �i��� ¬ � oan¢jDj�o ��� gi³� rkd �U� n¢Ø ��� j�� o �'Ä oan � o±d �¢� raq ��� jD«�n�r)cÕj ���¢� rkd j Ä o±giØ�o ��� r±d¿oag�h±rkn �i��� ¬ �Ú d � rk¬²j � d �Õ� oad � j � � ��� jKn¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�o±g±rk«�j�n¢o � r±n � �¡j�¬�oad���«[n � r±n � rÌoag�j �¢�Â� d[hNraq � d[«�Ø � n�j�g�o ��� r±d � ��¬�o � d[g�³qsr±n �¢� ¬²j �U� o±¬²« � r±¬²«[Ø � o ��� r±d�� ö h �Â� jmd � oag�h±r±n �i��� ¬ � qsr±n � j�¬²«�rkn¢o±g � rko±gij ���m� d[h��Ìo � î)j�gig�o � o ��� r±n¢r±Ø[h � �Õ� Ø��¡³^r±q

�ÌØ[jmn¢³²r±« �¢� ¬ ��Æ o ��� r±d �U� npo � jmh � j � qsr±nÇ�ÌØ[jmn � j �Ó� d Ä rkg Ä�� d[h � rÌoag�j �¢�Â� d[h�� �}� d[j�j��¡jß��qsrkn �¢� j � r±d �U� n¢Ø �Â��� r±d�raq�o�teu�vxw�y�ÌØ[jmn¢³<«[n�r � j �¢� rkn�� û j d[r � j �¢� o �­��� j$d[jmjß� qsr±n � rÌoag�j �¢�Â� d[h ��� �¡j � jmn¢¬ � d�j�� l�³ ��� j qsr±n¢¬ r±q ��� j$«[n�jß� �}� o � j^r±n��� ¬²j �U� o±¬�« � rk¬²«[Ø � o ��� r±dÁqsØ[d �Â��� r±d o �¢� r �m� o � j��¸î �Å�¢� o � r±d � jm« � Ø�oag¨r±«ºjmnpo � r±nß� Ú d<¬�oad�³ � o � j � � � Ø �p� o � î � j�d«[n¢j�� �}� o � j � n�jmqsjmn¢jmd � j�rkd[gi³$jÂé¡«[g ���m�Å� o �U� n � l[Ø � j � � � rko±gij ���m� d�h �}� d[r � n¢j��ÌØ � n¢j��¼�

ãer¥îKj Ä j�n��¡j¢h �Â� jmd ��� ¬�«�gij�¬�j�d � o �¢� rkd¿raq � j Ä j�n¢o±g¼r±«ºjmnpo � rkn � �¡¬²r �U� d[r � oal�gi³ ��� j � jm¬²«ºr±npoagQcÕr � dHrk«�j�n¢o � r±n � ��}�)��� hkd � ¤ � o±d � gi³�¬²r±n¢j � r±¬²«[g�jÂé ��� o±d ��� j � n � d�oa« �U� r �)� rkØ[d � j�n�«�o±n �p� � � d r±np�¡jmn � r­o Ä r � �²«�j�nUqsrkn�¬ � d[h�o²�Koan � j ��� oad«[n¢r¡�¡Ø ��� raq ��� j � d[«[Ø � �<�)rko±gij ���m� d[h �}� o±hko � d � ¬²«�rkn � oad ��� j�n�jkÛ � r¥î)j Ä j�n��&d[jmî � j �p� d � �ÌØ[j � qsr±n � jm¬²«ºr±npoag�cÕr � d� ¬�«�gij�¬�j�d � o �¢� rkd$¬�o�³²n¢j � Ø[g �N� d � ¬²«[n�r Ä j�� «�j�nUqsrkn�¬�oad � j±��oad��¼cÕØ �U��� qs³ ok�[� �i��� r±d�o±g � ¬²«[g�jm¬²jmd � o ��� r±d � rk¬�«�gijmé �i� ³±�w�o �U� g�³±���¡jm«ºjmd�� � d�h¸r±d �¢� j^n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d<jmd¡qsrkn � j��<l�³ �¢� j � ¬²«[gij�¬²jmd � o ��� r±d���j�h �Â� jmd �O� j �p� d � �ÌØ[j � qsr±n� j�¬²«�rkn¢o±g � g �}�Â� d[hf¬�o�³¸lºj^n¢j��ÌØ � n�jß�¼� t � j �[o � oal�o � j � ¬²«[g�jm¬²jmd � rkn�¬�o�³Á�[j ��� n¢j � r � n¢ok�¡j � r �Õ� r±d Ø[«��[o � j^qsr±nj Ä o±giØ�o ��� r±d�jÂé¡«ºjmd � j¶l�³�o±gig�r¥î � d[hNd[r±d � � rkoag�j �¢� jß��rkn¼n�j�«�j ���i����Ä j � d¡qsrkn�¬�o �¢� rkd � d �¢� j)�[o � o±l�o � j±� ö h �m� j�d ��� j�¬�«ºr±npoag� g �}�Â� d[h � j �p� d � �kØ�j �N��� r±Ø[g}� jÂé �}�Õ�'� r � Ø[«[«ºr±n �'���[�}�e� oa«�o±l � g �i� ³±�t � j � j ��� n¢jmj¿«[n¢r±l[g�jm¬ � � � jm¬²«ºr±npoag � rÌoag�j �¢�Â� d[h�� � jm¬²«ºr±npoag�cÕr � d j Ä o±giØ�o ��� r±d��Koad�� � jm¬²«�rkn¢o±g � g �}�Â� d[h��Koan¢j� j�d � npoag � r ��� j j¢h �Â� jmd � j Ä oag�Ø�o ��� r±d r±qxteu�vxw�yW�ÌØ[j�n � j � �)o±d�� qsØ[n �¢� jmn²n¢j � j�o±n �p���}� n¢j��ÌØ � n�jß� � r �¡j Ä j�girk« o±d��oad�oag�³ Æ jxo ��� r �Â� o � j�� oag�h±r±n �i��� ¬ � �

Õ ½ ���¡)_� �U�0�����

t � jeo±gihkjml[npoícÕØ �Õ� �[j �¢� n � lºj�� �}� r±d[j � r±¬²«ºr±d[j�d � r±q�o��xÜ � u²oan �p�[�i� j �Â� Ø[n¢j � Ø�«[«�rkn �¢� d�h�teu�vxw&y¡� Ú d ���[�}�Ó� j �Â��� r±d��îKj'�[j �¢� n � lºj � Ø �p� o±d²o±n �p���Å� j ��� Ø[n¢j±�¨â�Ø�nÀh±rko±g ���¨� rDjmd�Ø[¬²jmnpo � j ��� j �p� o±d[h±j �&��� o � o � r±d Ä jmd ��� r±d�o±gÌ�xÜ � u�îKr±Ø[g}�d[j�j�� � r � Ø[«[«ºr±n � teu�vxw�y¡�xc � î �Å�¢�f�¢� j�o±gihkjml[npo[��î)j�oan¢j � rkd � j�n�d�j��Hî �i��� ¬�r¡� � qs³ � d�h$o � r±d Ä j�d ��� r±d�o±g&�xÜ � u� d�oH¬ � d � ¬�oagÓq o ���[� rkd � r � Ø[«[«ºr±n � teu�vxw�y¡� û �[� gij of¬�rkn�j�j�g�o±l�rkn¢o � j^o±n �p�[�i� j ��� Ø[n�j �}� «ºr �¢�U� l[g�jW sg � ð±jmg�³<î �Å�¢���� hkd � ¤ � oad � «ºjmn�qsr±n¢¬�oad � j�hÌo � d � ¡ ��r±Ø[nO«�Ø[n�«ºr � j �}��� r¸�[j �¢� n � lºj ��� jq� ¤�n �Õ���U� j�« � � r¥î'oanp� �x�¢� j^n¢j�oag ��Æ o �¢� rkdÁr±qeo� j�¬²«�rkn¢o±g���Ü � u��Ú d ��� j�d[jÂé �K� j �Â��� r±d��ÌîKj��¡j �¢� n � l�j�o � oad�r±d �}� o±g��¡j �U� h±d²qsrkn)o � r±d Ä j�d �¢� rkd�oag���Ü � u�� û j ��� jmd �¡j ��� n � lºj ��� j¬ � d � ¬�oag �p� oad[hkj � d[jmjß�¡j��$l�³�j�o �p� � rk¬�«ºr±d�jmd � r±q �¢� jDoan �p�[�Å� j �Â� Ø[n¢j � r � Ø[«[«ºr±n � teu�vxw&y[� û j � rkd � g�Ø��¡j�î �i��� oqsjmîªr±l � j�n Ä o �¢� rkd � oalºr±Ø �'�¢� jO�¡j �¢� n � l�jß� o±n �p���Å� j ��� Ø[n¢j±�

ÁÇßáà ŵèPã�Ö­=�ãPé�6áèPãUä54�× ì��Yç�6±é�=5�"é.ëUì+=�æ÷ � hkØ[n¢j @D��� r¥î � o � rkd Ä jmd �¢� rkd�oag¡�xÜ � u²oan �p�[�Å� j �Â� Ø[n¢j � Ø[«�«�rkn �¢� d[hOu�vxw � ¯Ìy¡� Ú d �¢� jǤ�hkØ[n�jk�ar Ä oag � n�j�«[n¢j � jmd � �[o � o�i� jm¬ � ��j±� h����ºØ � j�n � Ø[l[¬ �Å��� jß�W�ÌØ[jmn � j � ��lºr�é¡j � n¢jm«�n�j � j�d �x� r±q � îKo±n�j � r±¬²«ºr±d[j�d �p� �ºj±� h���� ��� jA�ÌØ[jmn¢³ � r±¬²« � gij�n��¼o±d��oan¢n¢r¥î �)��� r¥î �¢� j7£�r¥îRraq���o � o �¢� n�rkØ[h �$��� jO��Ü � u��

y±¯

Page 35: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

Data Data

CannedTransactions

Query Execution

DDLCompiler

StatementsDDL

Commands

Privileged

CompilerHost Language

DBMS

Programs

Application

Precompiler

Users

ApplicationProgrammers

ParametricUsers

Plan

Dictionary Files

Run-timeEvaluator

Interactive

andTransaction

Data Manager

Statements

DML

CompilerQuery

DBA Staff

÷ � hkØ[n�j @ È �Koad[rkd ��� oag¼�xÜ � u$c�n �p���Å� j ��� Ø[n¢jv�Ø[jmn � j � ¬�o�³^l�j � Ø[l�¬ �i�U� j��¿l�³^qsrkØ[n � ³�«ºj � r±q�Ø � jmn � � ��� j­�[o � oal�o � jDo±�[¬ � d �}�Õ� n¢o ��� r±d   �xÜ'c ¡N�U� o ì � � d � j�n �o �Â����Ä j�Ø � jmn � �[o±«[«[g ��� o �¢� rkd$«[n¢r±hkn¢o±¬²¬�j�n � ��oad��$«�oanpoa¬²j � n ��� Ø � jmn � �t � j­�xÜ'c �U� o ì �}� n¢j � «�rkd ��� l[g�jOqsrkn��¡j¢¤�d � d[h$o±d��H¬�o � d � o � d � d[h ��� j��[o � oal�o � j �¢� n¢r±Ø[h �¿��� j�jÂé¡j � Ø ��� r±dHr±q�[o � o²�¡j�¤�d �Å�¢� rkd¿g�o±d[h±Ø�o±h±jA  �x��w ¡N�U� o � jm¬²jmd �p� oad�� «[n �iÄ�� gij�h±jß� � r±¬²¬�oad�� � d[r � o Ä o � g�o±l[gij � r�r ��� j�nNØ � jmn � �Ú d � jmnpo �Â����Ä jeØ � jmn � o±n�j � rk« �[�}�Õ�¢��� o � j��¼���[o � oal�o � j � g �i� jmnpo � jNØ � jmn � �Àt � j�³ � Ø[l[¬ �i� u�vxw � ¯ky7�ÌØ[jmn � j � î �[���p� oan¢j� rk¬²« � g�j�� l�³ �¢� jX�ÌØ[j�n�³ � r±¬²« � gij�n � d � r^oad «[n¢r � j��¡Ø�n�j � rkn � jmd � jß� � d � jmn¢d�o±g�n�j�«[n¢j � jmd � o ��� r±d�� �¢� j¼�ÌØ[jmn¢³ jmé�j � Ø �¢� rkd«[g}oad��et � jX�ÌØ[jmn¢³ jmé�j � Ø �¢� rkdH«[g}oad �}� «�o ��� j�� � r ��� j�n�Ø[d � �¢� ¬²j�j Ä oag�Ø�o � r±n'qsr±n�jÂé¡j � Ø ��� r±d��'c ��� Ø�oag¨o ��� j �¢�'� r ��� j�U� r±n¢j�� �[o � o ��� «ºjmn�qsr±n¢¬²j��$l�³ ��� j � npoad � o �Â��� r±d$o±d�� �[o � o²¬²o±d�oahkjmnß�ce«[«[g �}� o �¢� rkd¸«[n¢r±hkn¢o±¬²¬�j�n ��� Ø�l[¬ �Å� o±«[«[g ��� o ��� r±dÁ«[n¢r±h±npoa¬ � îNn �i�U� jmd � d o � r �U� «[n¢r±hkn¢o±¬²¬ � d[h$g�o±d[h±Ø�o±h±jk�j±� h�������� �¢� o �O� rkd � o � d<jm¬�lºj����¡j��<�[o � oal�o � jA�ÌØ[jmn � j � ��c>«[n¢j � r±¬²« � gij�n � jm«�oanpo � j �e�¢� j�jm¬­l�jß�[�¡jß�µ�ÌØ[j�n � j � qsn¢r±¬��� j � r �Õ� oa«[«�g �}� o ��� r±d^oad��^n¢r±Ø � j � jßo �p��� r­o±d oa«[«�n�rk«[n � o � j � rk¬²« � g�jmnß�¨t � j � r±¬²« � gijß� �[o � oal�o � j`�ÌØ[jmn¢³�o±d�� � r �U�«[n¢r±hkn¢o±¬ oan¢j�n¢j � r±¬�l � d[jß� � r²«[n�r¡�¡Ø � jOo � o±d[d[j�� � npoad � o ����� r±d��Ìî �����p� ¬�o�³^lºjDjÂé¡j � Ø � jß�$o ��� rk¬�j�g}o � jmne�[o � j±�bÀoanpoa¬²j � n �}� Ø � jmn � oan¢j²Ø[d � r±« �[�}�U���}� o � j��ÁØ � jmn �x� Ø �p� o � o � n¢g � d[j²n¢j � jmn Ä o ��� r±d<oah±j�d �¢� r±n � Ø �Õ� r±¬²jmn � jmn Ä���� jn¢jm«[n¢j � jmd � o ����Ä j � �¨t � jm³ Ø � j �¢� j � o±d[d[jß� � n¢o±d � o ���¢� rkd � «[n�r¡�¡Ø � j��$l�³$o±«[«[g ��� o ��� r±d � «�n�rkh±npoa¬²¬²jmn � �

= D

Page 36: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

[�\/]/^�_�`ba@c �)r±d �U� �¡jmn � d�o±« ��� r ��Ä jmn �U� r±d � raq ��� j ö ¬²«[g�r¥³±j�j�o±d�� � o±d�oahkj �e�¢�p� jm¬�o � �¡j�¤�d[j�� � d¸u�j ����� r±d � °���®±�û j � g�giØ �Õ� n¢o � j ��� j�£�r¥î raq � d¡qsrkn�¬�o ��� r±d ��� n¢r±Ø[h �f�¢� j^oan �p�[�i� j �Â� Ø[n¢j�î �Å�¢�Á�¢� j²qsr±g�g�r¥î � d[h��ÌØ[jmn¢³±��î �[���p� n¢j � Ø�n�d ���� jDd�oa¬²j � r±q¨o±gig¼j�¬²«[gir¥³kjmj � ¬�o±d�oahkj��$l̳$Ü)rkl��ikjQlkjQm+n�j à�ÿ�æÌÑkõ[Ô�Ô¶Í ~ Î�à�Ô0r v ÎaÒ�Îkå[Ô�É�Í v å�Ç ~ Î�à�ÔsMtYu�v j à�ÿ�æÌÑkõ¡Ô�Ô r v ÎaÒ�Îkå[Ô�ÉwQxMj t j v αÒ�Îkå¡Ô�É¨Í r Ôaÿ¡Èxs j à�ÿ�æÌÑkõ[Ô�Ô¶Í r Ô±ÿ¡È pM~Mr v αÒ[Îkå[Ô�É¨Í v å�Ç ~ Îßà�Ô�s _ | Ñ±Þ _

u�Ø[«[«ºr � j �¢� o �K���[�}� �kØ�jmn¢³ �}�K� Ø[l�¬ �i�U� j�� l̳^o±d � d � jmnpo �Â����Ä jeØ � jmnß�Ç  û j � r±Ø[g}� o ��� Ø[¬²j ��� o �K��� j7�ÌØ[jmn¢³­î'o �� Ø[l[¬ �Å��� jß� ÄÌ� o�oad�r ��� jmne«�o ��� ��j±� h�����o � oad¿jm¬­l�jß�[�¡j��_�ÌØ[j�n�³ � dfo±d¿o±«[«[g ��� o �¢� rkd � «[n¢r±hkn¢o±¬ ��l[Ø �e��� j­� ���¢� Ø ����� rkdîKr±Ø[g}�¿l�j­¬²r±n¢j � rk¬�«�g �}� o � j����ºo±d��Hd[r^¬²rkn�j � g�giØ �U� npo �¢�iÄ j±� ¡ t � j&�ÌØ[j�n�³k�ºo � � w �Õ� o � jm¬²jmd � � �}� ¤�n �U� «[n¢r � j �¢� jß�l�³ ��� j²XY)Y©�¨Nز# �21`«"² ´ ©�¨��Ót � j7�ÌØ[j�n�³ � r±¬²« � gij�nNoad�o±gi³ Æ j �¶�¢� j8�ÌØ[jmn¢³±�+¤�n �Õ�N� ³Ìd � o ���¢��� oag�gi³^o±d�� �¢� jmd � jm¬�oad ���}� o±gig�³±�u�³�d � o �����}� oad�o±gi³ ����� j�d � Ø�n�j ����� o ����� j¿g�jÂé ��� oageo±d�� � ³�d � o �����}� �Õ� n�Ø �Â� Ø[n¢j¿raq ��� j_�ÌØ[j�n�³ �}��� rkn�n¢j �Â� �Bu�jm¬�o±d �¢���oad�oag�³ ���}� «ºjmn�qsr±n¢¬ ��� ³�«ºj �p� j � ð � d[h o±d�� Ä jmn � ¤�j ����� o � r ��� jmn � j�¬�oad ���}�­� r±d �U� npo � d �¢� oan¢j � o �¢��� ¤�jß�¼�­t � rkØ[h � d[r ���� r¥îNd�r±d ��� j¿� � oahkn¢o±¬ � �¢�p� jm¬�o � d¡qsrkn�¬�o ��� r±d � r±d � o � d[jß� � d �¢� j ��o � oÁ� �}����� r±d�oan¢³ �}� Ø � j����¡Ø�n � d[h � j�¬²o±d ���}�oad�oag�³ ���}� �Ãeg ��� ¬²o � j�gi³k� �¢� j1�ÌØ[j�n�³ � rk¬�« � g�jmnO«�n�r¡�¡Ø � j � oH«[n¢r � j��¡Ø�n¢o±gÀjÂé¡«[n¢j �¢�U� r±d raq �¢� j � Ø[l[¬ �i�U� jß�g�ÌØ[jmn¢³ �¢� o �­���� Ø �Å� oal[g�jKqsr±nÀjmé�j � Ø �¢� rkd­l�³ �¢� jNn¢Ø[d � ��� ¬�j'j Ä o±giØ�o � rkn���t �[�}� «[n�r � j��¡Ø[npoag�jmé�«�n�j ����� rkd �}� l�o � j��­r±d ��� jNn�j�g�o ��� r±d�o±g�o±g �h±j�l[npo[��c � o±d � d � jmn¢¬²j�� � o � j �U� j�«�� ��� jÇ�ÌØ[jmn¢³ � rk¬�« � g�jmn � npoad � g}o � j ���¢� jÇ�kØ�jmn¢³ � d � r�o ��� ¬²«[g�j'oag�h±jml�n¢o ��� jmé¡«[n�j ����� r±dî �[�}�p�¿���K�¢� jmd¿r±« ��� ¬ ��Æ jß�¼�Óu�Ø �p� o±d$jmé�«�n�j ����� rkd^qsrknNr±Ø[nNjmé¡o±¬²«[gij�¬ � h �Ì� l�j �¢� j�qsr±g�g�r¥î � d[h��

Á ´ ½ ¶å¿WÀ¾Á8 I"I Å ×:µW¶ I � Ø µ ø µ$Ù I"Ú Å Ø Ù 3 ×�µx¶ I�·  HÇÈ�É�Ê-Ëv��ÌÌ Ñ Ò ½ ¶­¿WÀ¾Á� I"I Å Ö I ¿W× Ï/Ø µ ø µ$Ù I"Ú Å Ö I ¿W×   Ì Ø Ù 3 ×�µx¶ I Ï �BÙ Á�Ú �   ÜÞÝ þ Ýlß Ì Ê ¡á¡ª¡t � j`¤�d�oag¼n¢j � Ø[g � «[n¢r¡�¡Ø � j��$l̳ �¢� j8�ÌØ[jmn¢³ � rk¬�« � g�jmn �}� o&�ÌØ[j�n�³�jmé�j � Ø �¢� rkd «[g}oad��¡î �[���p� �}� j ��� jmd �¢� o±gig�³ ��� jr±« ��� ¬ ��Æ jß�­o±gihkjml[npo �}� jÂé¡«[n¢j �¢�U� r±dOî �i����� «�j �Â� ¤ � oag�h±rkn �i��� ¬ �¨�p� r � j�dOqsr±nÀjßo �p� oag�h±jml�n¢o ��� r±«ºjmnpo ��� r±d�� ÷ rknÀjÂé[oa¬²«[g�j±���� jA�ÌØ[j�n�³ � r±¬²« � gij�n�¬ � h �Ì� h±jmd�jmnpo � j ��� j­qsr±g�g�r¥î � d[h �ÌØ[jmn¢³HjÂé¡j � Ø ��� r±d¸«[g�o±d����¡j�«�j�d�� � d[h r±dÁo$j �U��� ¬�o � j­r±q ��� j� r �Õ� r±q Ä oan � r±Ø � oag�h±rkn �i��� ¬ �K� ¬²«[gij�¬²jmd ��� d[h ��� jO� �Åì jmn¢jmd � rk«�j�n¢o � r±n � �

O"ÌÈ�É ô�Û ü¬þ��lÌ � Ê ÌvÊHÌvöxO�  ÜÞÝ þ ÝRß Ì Ê õ ê���Ë*�xê ¡�2Ì Ê ù Ê�O Û É+�2Ë � ÌvöxO ´ ×�µx¶ I � Ø Ù 3 ×�µx¶ I�·  ]þ@Ì Ê O"Ìd� Ê-Ë2Ë$É � Ë�ü¬þí HÇÈ�É�Ê-Ëv�QÌvÌ õ O"ÌÈ�É ô õ ê ÿ Ì�É�O"ê ¡á¡Ú d �¢�[��� �ÌØ[j�n�³xjÂé¡j � Ø ��� r±d�«[g�o±d�� ��� jÉ�ÌØ[jmn¢³ � rk¬�« � g�jmn&¬²o±ð±j � Ø � jÓr±q�oadDjmé �}�U��� d[h � d��¡jmé�rkd ��� j � hkn¢í�oa¬²jÓo �U� n � l[Ø � jraq �¢� j � o±d�oahkj � n¢jmg}o ��� r±d � r1�ÌØ ��� ð�g�³�¤�d�� ��� j��¡jm«�o±n � ¬²jmd �¢�'�¢� o � Ü)rkl¿¬²o±d�oahkj � �Kt �����N� d � j�n�¬²j�� � o � jOn¢j � Ø[g �e����U� r±n¢j�� � d ��� j � j�¬�«ºr±npoan¢³On¢jmg}o �¢� rkd�O"ÌÈ�É ô �¨c � O"ÌÈ�É ô �}� g � ðkjmg�³ � r¼¤ �)� d�¬�o � d�¬�j�¬²r±n¢³±� � � j±���ÌÜKr±l²rkd[gi³�¬�oad�o±h±j �o­qsjmî �¡j�«�oan � ¬²jmd �p� �[o±d�� � jmd � jO"ÌÈ�É ô î � g�g � rkd � o � d¿r±d[g�³ o�qsjmî � Ø�«[gij � ��o �U� ¬²«[gijDd�j �U� j�� � g�r�r±«&cÕr � d �}� Ø � j�� � r¤�d��ÁÜKr±l@³ � j�¬²«[gir¥³kjmj � � Ú dÁok�[� �i��� r±d���npo ��� jmn ��� o±d¸îNn �Å�¢� d[h oad[r ��� j�n � jm¬²«ºr±npoan¢³$n¢j � Ø[g � � ��� j � r±¬²« � gij�n �p� r�r � j �� r�«�j�nUqsrkn�¬ ��� j`¤�d�o±g�«[n¢r�cÕj ����� r±d²r±q �¢� j�j�¬²«[gir¥³kjmjNd�o±¬²j�oad�� �¢� j�¬�o±d�oahkjmn¶d�o±¬²j�o ��� n � l[Ø � j � �Urkd �¢� jU£�³ � î �Å�¢���� jÇcÕr � d��

t � j1�ÌØ[jmn¢³<jÂé¡j � Ø ��� r±d�«�g�o±d ���­� j�d ��� r ��� j$n�Ø�d � �¢� ¬²j^j Ä oag�Ø�o � r±nOqsrkn�jmé�j � Ø �¢� rkd�� ÷ r±n�jmé[oa¬²«[g�j±�¨qsr±n ��� jü¬þ��lÌ � Ê ÌvÊ-ÌöWO¼r±«ºjmnpo ��� r±d � d ��� jNo±l�r Ä jÉ�ÌØ[jmn¢³�jÂé¡j � Ø ��� r±d�«[g}oad�� �¢� j'n�Ø�d � �¢� ¬²jKj Ä oag�Ø�o � r±n¨jmé�j � Ø � j �&������� oag�h±rkn �i��� ¬ �h±j�d[jmnpo �¢� d�h�o � jmn � j � r±q � d��¡jmé­n¢j � n � j Ä oag � o±d�� � Ø[l � j �kØ�jmd � n¢jmg}o ��� r±d�«�o±h±jNn¢j � n � j Ä oag �¨� rD¬�o � jmn � oag �iÆ j ��� j � jmg�j �Â��� r±d��t � j^�[o � o n¢j � n � j Ä oag¨r±«ºjmnpo �¢� rkd � oan¢j²«�j�nUqsrkn�¬²j��Ál�³ ��� j � npoad � o �Â��� r±dÁo±d�� �[o � o ¬²o±d�oahkjmnxî �[�}�p� ¬�o±d�oahkj ����� jl[Ø ì jmn � «�o � jeo±gig�r � j�� � r ��� j � npoad � o �Â��� r±d��±o±d��²jmd � Ø[n¢j �À��� j � r±d �U�}�Õ� jmd � ³�r±q �¢� j��[o � o±l�o � jNj Ä jmd ��� rkØ[h � ¬­Ø[g ��� «[gij� npoad � o ����� r±d � ¬�o�³^lºjDjÂé¡j � Ø �¢� d[h � r±d � Ø[n�n¢jmd � gi³ � d ��� jO�xÜ � u�� ��= ®

Page 37: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

Ú d �¢� j�n¢jm¬�o � d��¡j�nDraq ���[�}�O� j ���¢� rkd���î)j��¡j ��� n � l�j �¢� j�¬ � d � ¬�oag �p� oad�h±j � n¢j��ÌØ � n�jß� � rHj�o �p� �xÜ � u � rk¬ �«ºr±d[j�d � � dBrkn¢�[jmn � r � Ø[«[«ºr±n � teu�vxw&y[� û jÁd[r � j ��� o � �¢� j¸«�n�j � r±¬²« � g�jmn o±d�� � r �U� g}oad�h±Ø�o±h±j � rk¬²« � g�jmn$oan¢jg}oan¢h±jmg�³ � d��[jm«ºjmd��¡j�d � r±q ��� j��[o � oal�o � j��kØ�jmn¢³­g}oad[hkØ�oahkj | ��� j�³­n¢j��ÌØ � n¢jer±d[g�³ � ¬�o±gig �p� oad�h±j �¶� r � Ø[«�«�rkn �)� jm¬²«ºr �npoag�g �i� j�n¢o±glÎ ��� ¬�j �Õ� oa¬²« � r±d Ä j�n ��� rkd�� ÷ r±nxj�o �p� raq �¢� j­n¢jm¬�o � d � d[h � r±¬²«ºr±d[j�d �¢� � �¢� j²�[o � o$� �}���¢� rkd�oan¢³¿oad��Á�[o � o¤�g�j � �ºo � îKjmg�g&o �e��� r � j�î �Å�¢�[� d �¢� j­�xÜ � u¿«[n¢r±«ºjmnß��îKjO�¡j ��� n � l�j ��� j­¬ � d � ¬�oag�¬²r¡� � ¤ � o ��� r±d � d[jmjß�¡j��¿l�³ ��� j � j� rk¬²«�rkd[jmd �¢�K� r � Ø�«[«�rkn � teu�vxw�y��kØ�jmn � j � �

ÁÇß�Þ Â�ä�éQäË 6:�"é�6 èPã`ä�ìV� ä�ã�7»Â�ä�éQäËÜG6�4�=�æt � j²�[o � o$� ���Â��� r±d�o±n�³Hoad��¸�[o � o1¤�gij ��� r±d � o � d ��� j��[o � o±l�o � j±� �¢� j�o ��� Ø�oagÀ�[o � o$¬²o±d�oahkj��Hl�³ �¢� j��xÜ � u���t � j�[o � o^� �}���¢� rkd�oan¢³ n¢j � r±np� �e�¢�p� jm¬�o � d¡qsrkn�¬�o �¢� rkd � Ø �p� o � ¤�g�j �U� n¢Ø �Â� Ø[n¢j�oad�� qsr±n¢¬²o � � ��� j­d�Ø[¬�lºjmnxoad�� � ³�«ºj � r±qo ��� n � l�Ø � j �Ó� d$o�n�j�g�o ��� r±d�� � d � jmh±n �i� ³ � r±d �U� npo � d �¢� �koad�� o �¢� r �m� o � jß� � d��[jÂé¡j � ��t � jx�[o � o¼¤�gij �)� r±d � o � d ��� j�« � ³ ���}� oagn¢jmg}o ��� r±d � o±d��¿o ��� j �¢� «�o �¢��� r±q ��� jO�[o � oal�o � jk�

÷ r±n�o²¬ � d � ¬�oag�jmé � jmd �U� r±d�� ��� j­�[o � o�¤�gij � n¢j��ÌØ � n�jDd�r�n�j ÄÌ�}��� rkd�� û j � o±d �Õ� r±n¢j � Ø[«�gij � �¢� ¬²j �U� o±¬²«�jß� � jm¬ �«ºr±npoagÀn¢jmg}o ��� r±d ��� d � rkd Ä jmd �¢� rkd�oag¨n¢jmg}o ��� r±d � ��î � jmn¢j �¢� j ��� ¬²j �U� o±¬�«�o �U� n � l[Ø � j � oan¢j �Õ� r±n¢j��<o � jmé¡«[g �}�Â�i� o � r±¬ �}�o ��� n � l�Ø � j � � ãer¥îKj Ä j�n�� �¢� jH�[o � oÁ� ���Â��� r±d�o±n�³ ¬­Ø �Õ� lºj jmé � jmd��¡j�� � d oÁdÌØ�¬�lºjmn�raq�îKo�³ ��� r � Ø�«[«�rkn � teu�vxw�y¥ u¡c�c ¦ ¯a°4§��Nt � jO¬²r �U����� hkd � ¤ � oad � jmé � jmd �U� r±d �e� d Ä rkg Ä j ���p� j�¬�o Ä jmn ��� rkd � d�h��[¬­Ø[g �¢� «�gijOhkn¢o±d�Ø[g�o±n �i��� j � �[oad�� Ä o � Ø �Ø[¬ � d[h��

÷ r±n �¢�p� jm¬�o Ä j�n ��� rkd � d[h�� �¢� j��[o � o � ���Â��� r±d�o±n�³H¬­Ø �Õ� n¢j � r±np�¼��qsr±nDjßo �p� n¢jmg}o �¢� rkd���oag�gÀraq �Å�p�O�¢�p� jm¬�o � o±d��î � j�d ��� j�³ îKjmn¢j � Ø[n¢n�j�d � �Ót � j­�[o � o�¤�gij � o �¢� r �m� o � jß� î �i��� o �¢�p� jm¬�o²¬­Ø �Õ� o±g � r�lºjO«[n¢j � jmn Ä j����¶t �[������� j�o ��� gi³o ��� rk¬�«�g �}�U� j�� l�³ ¬²o±ð � d[h<o � n¢o±d � o ���¢� rkd � �¢� ¬²j^n¢jmg}o �¢� rkd n�j � rkn¢� � d[h �¢� j �¢�p� j�¬²o � qsrkn�o �U� d[h±g�j^n¢jmg}o �¢� rkd��Át � j� npoad � o ����� r±d �¢� ¬²j�o ��� r �Â� o � jß��î �Å�¢� o � Ø[«�gij � d ������� n�j�g�o ��� r±d � d�� ��� o � j �À�¢� j �¢� ¬²j�î � jmd ��� j ���p� jm¬�o�îKo �¶� Ø�n�n¢jmd � �� Ø[g ��� «[gij­h±npoad�Ø[g}oan �Å�¢� j � oan¢jOo �¢� r �m� o � jß� � d¸o^g�o �U���}� j �Õ� n�Ø ��� Ø�n�j � «ºj �Â� ¤�jß�¸o �x� ³ �U� jm¬Zhkjmd[j�n¢o ��� r±d ��� ¬²j±��c��� ¬²«[g�jer±« ��� r±d ���¶� r �U� rkn�j �¢� jeg}o �U�¢��� j�o � oD�[o � o �Õ� n�Ø �Â� Ø[n¢j � d ��� j���o � oD� ���Â��� r±d�o±n�³k��c�g � jmn¢d�o �¢�iÄ jmg�³±� � q ��� j�g�o �U���}� j�}� ¤[é¡j��¼� � � jk�i�¡d�jmî8hkn¢o±d�Ø[g�o±n �i��� j � î � g�g¼d[r � lºjDo±�[�[j�� o¥q � j�n ��� jD�xÜ � u �}� h±j�d[jmnpo � j��¼� �¢� jmd ��� j�g}o �����}� j � o±d jÂé �}�Õ�o � o � jm«�o±n¢o � j��[o � o �Õ� n�Ø �Â� Ø[n¢j�r±Ø �p�U� �¡jDr±q ��� jO�[o � o�� ���Â��� r±d�o±n�³k�;¶o � Ø�Ø[¬ � d[h � «�j �Â� ¤�j � î � o �N� d¡qsrkn�¬�o ��� r±d ��� rkØ[g��$lºjD« � ³ ���}� oag�g�³²�[jmg�j � jß�$qsn�rk¬ ��� jO�[o � o±l�o � j±� �H� d � ¬�o±gig�³±�������� n¢j��ÌØ � n�j � o �¢� ¬²j �Õ� oa¬²«�� ��� j � Ø � � r ì¿��� ¬²j±� � r­l�j �Õ� r±n¢j��²qsrkn)jßo �p�²� n¢o±d � o ���¢� rkd � �¢� ¬²j�r±nÓl �Å� jm¬²«�rkn¢o±g�n¢jmg}o �¢� rkd� o � o±girkh±j��^l̳ �¢� jD�[o � o­� �}���¢� rkd�oan¢³±�¨t � j � Ø � � r ì¿��� ¬�j � d�� �}� o � j �)�¢� o � oag�g¼�[o � o � Ø[n�n¢jmd �K� d ��� j � o±l[g�j�lºjÂqsrkn�j ��� jÄ oag�Ø[j�raq ��� j �¢� ¬²j �Õ� oa¬²« � o � lºjmj�d « � ³ ����� oag�gi³$�¡jmg�j � j��$qsn�rk¬ ��� jDn�j�g�o ��� r±d��

ÁÇß� Â�Â�ÝPÅ è­<�å�6�4�=�ìt � j^�x��w � rk¬�« � g�jmn � n¢o±d � g}o � j � teu�vxw�y�m t jMpMnMj��"pMrMr�� t j { l+pQm+jfoad�� r tYu�{f�U� o � j�¬�j�d �¢� ¥ u¡c�c ¦ ¯a°�§ � d � rHjÂé¡j �� Ø � oal�gij � n¢o±d � o ���¢� rkd � � ö o �p� raq ��� j � j �Õ� o � jm¬²jmd �¢� o ì j �Â�¢� lºr �¢�¿��� j­�[o � o^� �}����� r±d�oan¢³$oad�� ��� j���o � oS¤�gij � �Nt � jm t j+pMnMj �U� o � j�¬�j�d � ok�[� � d[jmîR�¡j�¤�d �Å�¢� rkd � ��r±q�j �i��� j�n'n�j�g�o ��� r±d � r±n � d��[jÂé¡j � � � r ��� jD�[o � o�� ���Â��� r±d�o±n�³�oad�� � n¢j�o � j ���� jx�[o � oX¤�g�j �'� rkd � o � d � d[h �¢� j�d�jmî n¢jmg}o �¢� rkd^r±n � d��¡jÂé¼�¶t � j9pMr+r�o±d�� t j { l+pQm+j �U� o � j�¬�j�d �¢�K�p� oad[hkj�o±d jÂé �}�Õ�¢� d�h�¢�p� jm¬�oxl�³�Ø[«��[o �¢� d�h ��� j��[o � ox� ���Â��� r±d�o±n�³k�koad��­«ºr �¢��� l[g�³�Ø�«º�[o ��� d[h ��� j��[o � o�¤�gij � r±d � o � d � d�h �¢� jen¢jmg}o �¢� rkd��&t � jpMrMr �U� o � jm¬²j�d �x��� Ø � j�� � r$ok�[�Hd[j�î � r±g�Ø[¬²d � r±n � d��[jÂé¡j �e� r$o ���p� jm¬�o[��oad�� ��� j t j { l+pQmkj �Õ� o � j�¬²jmd ���}� Ø � jß�� r �p� o±d[h±jxoad^jmé �}�U��� d[h � r±g�Ø[¬²d rkn � d��¡jmé��Àw&o �U� g�³±� ��� j9r tYu�{��U� o � jm¬²j�d �K��� Ø � j�� � r�n�j�¬²r Ä j�o � o±l[gijk� � r±g�Ø[¬²d���r±n� d��¡jÂé¿�¡j�¤�d �Å�¢� rkd qsn�rk¬:o ���p� j�¬�o[�[o � îKjmg�g�o �K�¢� jOo �Â� Ø�o±g¼« � ³ �U�}� o±g��[o � o[�

íeØ[¬²jmn¢r±Ø ���p� o±d[h±j � oan¢j¶d[j�j��¡jß�Dl�³ ��� jK���xw � r±¬²« � gij�n���l[Ø � jßo �p�D�}�&�U� npo � h �Ì� qsrkn�î'oanp�xoad��Djmé � jmd��OjÂé �}�Õ�¢� d�hqsØ[d �Â��� r±d�o±g �i� ³ � d � ¬�oag�gÌî'o�³ � � ÷ � n �Õ� � ��� j � ³Ìd � o ���¢��� oad�o±gi³ Æ jmn�¬�Ø �U� lºj'jÂé � j�d��¡jß� � r�o ��� rk¬�¬²r¡�[o � j ��� jKjÂé � j�d��¡jß�= y

Page 38: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

teu�vxw�y � ³Ìd � o¥é�qsr±nKj�o �p� raq ��� j9m t jMp+nMj���pMrMr�� t j { l+pQm+j��±oad���r tYu){²�Õ� o � j�¬²jmd �¢� �Àt � j � jm¬�oad �¢��� oad�o±gi³ Æ j�nÓ¬­Ø �Õ�lºj¸jÂé � jmd��¡jß� � d o �U� ¬ � g}oan$¬�oad[d[j�n��Njk� h��i� � r�jmd � Ø[n¢j �¢� o � oadBjÂé �}�Õ�¢� d�h�n�j�g�o ��� r±dBlºj � d[h � n¢o±d � qsrkn�¬²jß� � d � rXoÄ oag � � � �¢� ¬²j �U� o � j�n�j�g�o ��� r±d ÄÌ� o ��� j8pMrMrOoMpQl"q r i)nMpMnMj � r±¬²¬�oad�� �}� d[r � oag�n�jßo±�¡³^o Ä oag � � � �¢� ¬²jDn¢jmg}o ��� r±d��

ÁÇß�� Þ�ë&=�ìV�ºÅµè­<�å�6�4"=�ìt � jÇ�ÌØ[jmn¢³ � rk¬�« � g�jmn � npoad � g}o � j � teu�vxw&ye��o � o�¬�oad � «[Ø[g}o �¢� rkd�g}oad[hkØ�oahkj� è� � w ¡��Õ� o � j�¬²jmd �¢��� d � rxo±d�jmé�j � Ø � oal[g�j±�oad�� � jm¬�o±d �¢��� oag�gi³$j��ÌØ ��Ä oag�jmd � � � d � j�n�d�oag¼qsrkn�¬ � oag�g�j�� ��� j&�kØ�jmn¢³ jÂé¡j � Ø �¢� rkd «�g�o±d��Kc � î �i���H�¢� j��x��w � r±¬²« � gij�n��j�o �p� « � o � j�raq ��� j9�ÌØ[j�n�³ � rk¬�« � g�jmnß� � ³�d � o �Â���}� o±d�oag�³ �U�}� � � j�¬�oad ���}� o±d�oag�³ �U�}� �Ìoad��1�kØ�jmn¢³�«�g�o±d^h±j�d[jmnpo �¢� rkd��±¬­Ø �Õ�lºjDjÂé � j�d��¡j�� � r²o �m� r±¬²¬²r���o � jDteu�vxw�y��kØ�jmn � j � �

û jfØ � j �¢� jf¬²r¡�¡jmg ��� o �^��� j � d �Å�¢� o±g�« � o � j¸raq ��� j � r±¬²« � g}o ��� r±d�� � ³�d � o �Â���}� oad�o±gi³ ����� � � n¢j�o � j � o � n¢jmj ��U� n¢Ø ��� Ø[n�jß���ÌØ[j�n�³ n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d î �[���p� �}���¢� jmd n¢jÂqsj�n�j�d � jß��oad�� oaØ�h±¬²jmd � jß��l�³ � Ø[l � j��ÌØ[jmd � « � o � j � �Xcel ��U� npo ��� gi³k� ��� j¼�ÌØ[j�n�³ � r±¬²« � g�jmnN«ºjmn�qsr±n¢¬ �K�¢� j�qsr±g�g�r¥î � d[h �U� jm« � �®k�UbÀoan � j �¢� jKteu�vxw&yU�ÌØ[j�n�³k�&t � j � ³�d � o ���¢��� oad�o±gi³ Æ jmnß��jmé � jmd��[j�� � r�«�o±n � j �¢� j'teu�vxw&y � r±d �Õ� n�Ø �Â�¢� ��«[n�r¡�¡Ø � j �oad � d � j�n�d�oag¼n¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d$raq �¢� j¼�ÌØ[jmn¢³±� �¢� jD«�o±n � j � n¢jmj±�y[��u�jm¬�oad �¢��� oag�gi³Oo±d�oag�³ Æ j ��� j � r±d �U� n¢Ø ��� j��­«�oan � j � n�j�j±�¨t � j'«�oan � j � n¢jmj'«[n¢r¡�¡Ø � j��­l̳ ��� j � ³�d � o �Â���}� o±d�oag�³ Æ j�n���N�p� j � ð±jß�^qsrkn � ³Ì«ºj � o±d�� r �¢� jmn � jm¬�oad �¢����� rkd �U� npo � d �p� �¡o±d�� �U� ¬�Ø[g � o±d[jmrkØ � gi³ o±Ø[h±¬²j�d � j��$î �Å�¢�H� j�¬²o±d ���}�� d¡qsrkn�¬�o ��� r±d��= �ew�o �U� g�³±�¼oZ�kØ�jmn¢³ jmé¡j � Ø ��� r±df«[g}oad��¼j �¢� j�d �¢� o±gig�³Hoad¸o±gihkjml[npo �}� jmé�«�n�j ����� rkd ��� o �x�}��� j�¬�oad ���}� o±gig�³¿j��ÌØ ��Ä o±gij�d �� r ��� jDrkn � h � d�o±g��ÌØ[j�n�³k� ��� «[n�r¡�¡Ø � j�� qsn¢r±¬ �¢� jOoaØ[hk¬²jmd � jß� «�o±n � j � n¢jmj�l�³ ��� j¼�kØ�jmn¢³^«[g}oad h±jmd�jmnpo � rkn��

t � jD¬ � d � ¬�o±g �p� oad�h±j � n¢j��ÌØ � n�jß�^l�³ �¢� j¼�ÌØ[jmn¢³ � rk¬²« � g�jmneo±n�j � Ø[¬²¬�oan �iÆ j�� o � qsr±g�g�r¥î � �

ß t � j � ³�d � o �����}� oad�� � jm¬�oad �¢��� oad�oag�³ Æ jmn � ¬­Ø �U� l�jDjmé � jmd��[j�� � r � Ø[«[«ºr±n � teu�vxw&y[�ß t � j��ÌØ[jmn¢³¸jmé�j � Ø �¢� rkd «[g�o±d h±jmd�jmnpo � rkn�¬�Ø �U� lºj^jÂé � j�d��¡jß� � r � Ø[«[«ºr±n �D��� j^jmé � jmd��¡j�� teu�vxw�y oag�h±jml�n¢o��� d � giØ�� � d�h ��� jHd[j�î � rko±gij ���m� d[h���cÕr � d��No±d�� � g ���m� d�h<rk«�j�n¢o ��� r±d � � Ú dBo ¬ � d � ¬�oag�gi³XjÂé � j�d��¡jß� � ³ �Õ� jm¬¿� �Å�¬²o�³ l�jOo �m� j�« � o±l[g�j � r�Ø � jDjÂé ���U��� d[h�oag�h±j�l[npo �}� j �kØ �iÄ oag�jmd � j � qsrknNr±« �¢� ¬ ��Æ o ��� r±d��[j Ä j�d$î �i���¿�¢� jDjÂé � j�d��¡jß�r±«ºjmnpo � rkn � j � �Àu¡Ø �p� o±d$oa«�«[n�rÌo �p� «[n¢j � jmn Ä j �À�¢� j�«ºjmn�qsr±n¢¬�oad � j�r±q � rkd Ä jmd ��� r±d�oag � d�o±« �U� r � �kØ�jmn � j � �¨w�o � jmn� d � giØ �U� r±d�r±q�r±« ��� ¬ ��Æ o ��� r±dXn�Ø[g�j � qsr±n ��� j$d[j�î r±«ºjmnpo � r±n � îKr±Ø[g}� lºj¿l�j�d[j�¤ �m� o±g � r �¢� j¿«�j�nUqsrkn�¬�o±d � j^r±q� jm¬²«ºr±npoag��ÌØ[j�n � j � �ß u�Ø[«[«ºr±n � qsrkn Ä o � Ø[Ø[¬ � d[h<¬�Ø �U� l�j � d � g�Ø��¡j�� � d ��� j � r±¬²« � gij�n�� v�Ø[j�n�³ ¬²r¡� � ¤ � o ��� r±d��¶î �����p� d[r±n¢¬�oag�gi³r ��� Ø[n � o¥q � jmn � j�¬�oad ���}� oad�o±gi³ ����� oad�� «[n � r±n � rS�ÌØ[jmn¢³^r±« ��� ¬ ��Æ o ��� r±d��¡¬­Ø �U� lºj�jÂé � j�d��¡jß� � r � d � giØ��[j Ä o � Ø �Ø[¬ � d[h � Ø[«[«ºr±n � �

t � jOd�jmj�� � r�jÂé � j�d�� �¢� j � ³Ìd � o ���¢��� o±d�� � jm¬�oad ���}� oad�oag�³ Æ jmn �'����� j�gÅq � j Ä�� �¡jmd � ��oad�� �U� npo � h �Ì� qsr±n¢îKo±n¢�¼��  c �ÌØ[j�n�³� rk¬²« � g�jmn � o � lºjmjmd � ¬²«[gij�¬²jmd � jß� � d � rkd4cÕØ[d �Â��� r±d î �Å�¢�$�¢� j � Ø[g ��� �Koag�«[n�r)cÕj �Â�K�¢� o �e� ³�d � o �Â���}� oag�g�³ oad�� � jm¬�oad ����}� o±gig�³�oad�o±gi³ Æ j � o ��� hkd � ¤ � oad �'� Ø[l � j � r±q�teu�vxw&y[� ¡­ö é � j�d�� � d[h �¢� j7�kØ�jmn¢³�«�g�o±d^h±j�d[jmnpo � r±n � r­Ø � j ��� jxjÂé � j�d��¡jß�oag�h±j�l[npo ��� oag � r �Õ� n¢o � h �k� qsr±n¢îKo±n¢����o �¢� Ø�¬ � d[h ��� o ��� j�¬²«�rkn¢o±g�o � «ºj �Â�¢� r±q ��� jA�ÌØ[jmn¢³¿oan¢j�d[r �x� rkd ��� �¡j�n�jß�H�¡Ø[n � d�h�ÌØ[jmn¢³Hr±« ��� ¬ ��Æ o ��� r±d�� Ú d ��� j�îKr±n �Õ�D� o � jk� ��� j � oa¬²j²«�j�nUqsrkn�¬�o±d � j�î)rkØ[g}�flºj�jmd � r±Ø[d � j�n�jß�fî � j�dÁjmé¡j � Ø ��� d[hHo� j�¬²«�rkn¢o±g��ÌØ[jmn¢³ r±dfo�«[Ø�n�j�gi³ � d�oa« ��� r � �[o � oal�o � jk�'w&o �U� g�³±� � dfrkn¢�[jmn � r � Ø�«[«�rkn �xÄ o � Ø�Ø[¬ � d[h�� �¢� j&�ÌØ[j�n�³ � rk¬ �« � gij�n���î �i���[� d �i�¢�&� j�¬²o±d ���}� oad�o±gi³ ����� « � o � j±�߬�Ø �Õ�¨� Ø[«�«�rkn � o±Ø � rk¬�o � jß�7�kØ�jmn¢³�¬²r¡� � ¤ � o ��� r±dDl�o � jß��r±d Ä o � Ø[Ø[¬ � d�h� Ø � � r ìf�¢� ¬²j �N�U� rkn�jß� � d ��� jO��o � o²� �}���¢� rkd�oan¢³±�

=k=

Page 39: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

ÁÇß�� Ê�ë`ã�9�é�6�< =$àáÖ�ä54áëUä�éQèíì

t � j�n�Ø[d � �¢� ¬²jej Ä o±giØ�o � rkn � d � jmn¢«[n¢j �p� o¼�ÌØ[j�n�³�«[g}oad�«[n¢r¡�¡Ø � jß��l�³ �¢� j��ÌØ[j�n�³ � rk¬²« � g�jmnß�¨t � j�n¢Ø[d � ��� ¬²j�j Ä o±giØ�o � rkn� o±gig �K��� j � npoad � o �Â��� r±d$o±d��¿�[o � o�¬²o±d�oahkjmn � r²n¢j � n � j Ä jx�[o � o�qsn¢r±¬ �¢� j � ³ �U� j�¬ � o � o±girkh�o±d��$��o � o�¤�gij � �û j�o �¢� Ø[¬²j �¢� o ����� j­n�Ø�d � �¢� ¬²j­j Ä oag�Ø�o � r±n�¬²o±ð±j � d[r �p� oad[hkj �N� r ��� j��ÌØ[j�n�³ «[g}oadfo � n¢j � j �iÄ j��$qsn¢r±¬ ��� j

�ÌØ[jmn¢³ � r±¬²« � g�jmnß� � � j±��� ��� j �kØ�jmn¢³Á«[g}oad��¨o � hkjmd[j�n¢o � j�� l�³ ��� jZ�ÌØ[jmn¢³ � r±¬²« � g�jmnß� �}� rk« ��� ¬ �iÆ j���o±d�� n¢jm«[n¢j � jmd �p���� jxlºj �U� «ºr �¢�U� l[g�j�j Ä o±giØ�o ��� r±d$«[g}oad$qsr±n ��� j7�ÌØ[j�n�³k�Àc �N� Ø �p�^�¢� j �p� oad�h±j � n¢j��ÌØ � n�jß��qsr±n �¢� j�n�Ø�d � �¢� ¬²j�j Ä o±giØ�o � rknoan¢j � ¬�oag�gè�`bÀo±n �¢��� Ø[g}oan¢gi³k� �U� d � j�j Ä o±giØ�o ��� r±dH«[g}oad � qsrkn ��� j�o±d̳ d[j�î r±«ºjmnpo � rkn �'� o Ä j�o±gin¢j�ok�¡³$lºjmj�d � jmg�j ��� j��Hl�³��� j �ÌØ[j�n�³ � rk¬²« � g�jmnß� ��� j$n¢Ø[d � ��� ¬²j$j Ä o±giØ�o � rkn�¬­Ø �Õ� ¬²jmn¢jmg�³ � d Ä rkð±j �¢� j � j r±«ºjmnpo ��� r±d �O� d ��� j � oa¬²j ¬�o±d[d[jmno � d�r±d � � j�¬�«ºr±npoag¼rk«�j�n¢o ��� r±d � �¶c���� �Å�¢� rkd�oag�g�³±��o � ¬²jmd ��� r±d[jß� � dfu�j ����� r±d>F[�[j Ä oag�Ø�o ��� r±dHoag�h±rkn �i��� ¬ � qsr±n ��� jDd[j�î� j�¬²«�rkn¢o±gar±«ºjmnpo � r±n �   � rÌoag�j �¢�Â� d[h��¢þ � î'o�³�cÕr � d � �¥oad�� � g �}�Â� d[h ¡ o±n�j ��� ¬ � g}oan � r�î)j�gig � ð�d[r¥îNd�oag�h±rkn �i��� ¬ � qsrkn � d�oa« ��� r �r±«ºjmnpo � r±n � � ÷ r±n^jmé¡o±¬²«[gijk� � rko±gij ���m� d[h � o±d l�j � ¬²«[gij�¬²jmd � jß� î �Å�¢� � g � h �k� gi³X¬²r�� � ¤�jß� �¡Ø[«[g ��� o � jHjmg � ¬ � d�o �¢� rkdoag�h±rkn �i��� ¬ � ��î �[�}�p� � o Ä jxl�j�jmd¿î)j�gig � �Õ� Ø�� � j�� � d � d�oa« ��� r � ��o � o±l�o � j � �w�o �U� g�³±� �p� o±d[h±j � o±n�j�d[jmjß�¡j�� l̳ �¢� jxn�Ø[d � �¢� ¬²jxj Ä oag�Ø�o � r±n � r � Ø�«[«�rkn �)��� j � d[«[Ø � o±d���r±Ø � «[Ø � r±q � j�¬�«ºr±npoagg �Å� jmnpoag � ¥ u�r�rk¯ = § �)�Ko±gig �¶� r �¢� j � r±q � îKo±n�j � r±¬²«ºr±d[j�d �p�)� Ø[«[«ºr±n ��� d[h � jm¬²«ºr±npoagºg �i� j�n¢o±g � ¬�Ø �Õ� l�j � d � j�n � j�� � d � r ��� j

�ÌØ[jmn¢³^jmé�j � Ø �¢� rkd$«�g�o±d l�³ �¢� j¼�ÌØ[jmn¢³ � r±¬²« � gij�neoad�� � Ø�l � j �ÌØ[jmd � g�³^«ºjmn�qsr±n¢¬²j��$l̳ ��� jDn¢Ø[d � ��� ¬²j�j Ä oag�Ø�o � r±nß�

ÁÇß�Á ;�ì.ä�ã`æ+ä �"é�6 èPã ä�ã�7ºÂOä�éQäãâ�ä�ãUä0Æå=�ìt � j � n¢o±d � o ���¢� rkdHoad��f��o � o²¬�o±d�oahkjmne«ºjmn�qsr±n¢¬ �N� îKr�l�o �����D� o � ð � È �i� ¬�oad�o±h±j �N��� j � npoad � qsjmner±q � d[qsr±n¢¬²o ��� r±d � road��Hqsn¢r±¬ � �}� ðHo±d��f¬�o � d¸¬²j�¬�rkn�³k�¼oad�� �Å� jmd � Ø[n¢j ����� j � r±d �����U� j�d � ³¿r±q ��� j��[o � o±l�o � j � d¸g � h �Ì� r±q � rkd � Ø[n¢n¢jmd �o ��� j ��� oad�� � n¢o±d � o ���¢� rkd^q o � g�Ø[n¢j±�

cehko � d���o � o ¬ � d � ¬�Ø�¬ g �Å��� g�j^d[jmjß� �x� r¿lºj�¬²r�� � ¤�jß�¼� û j^o �¢� Ø[¬²j ��� o �D��� j � r±d Ä jmd ��� r±d�o±g&l�Ø ì j�nO¬�oad �oahkjm¬²jmd �¶� j �p� d � �ÌØ[j � o±n�jej�¬²«[gir¥³kj��¼�Àu�Ø[«�«�rkn �¢� d[h � npoad � o �Â��� r±d �¢� ¬²jxn�j �kØ � n¢j �¶��� j�qsr±g�gir¥î � d[h � ¬�oag�g�jmé � jmd ��� r±d � r��� j � r±d � Ø[n¢n�j�d � ³ � r±d � n¢r±g�¬²j �p� oad �}� ¬¿�÷ r±n � r±n¢n¢j ��� d[j �¢� � � npoad � o ����� r±d �¢� ¬²j � oan¢j^o �¢�U� h±d�j�� o �­� r±¬²¬ �Å�­��� ¬²j±�¨r �¢� jmn¢î ��� j^�¡Ø[n � d[h¸oad � d � j�n�g�j�o Ä j��jÂé¡j � Ø �¢� rkd¿o � npoad � o �Â��� r±d ¬²o�³ � j�j��[o � o ��� o ���}� d[r � ³±j ��� Ø[n¢n¢jmd � �Kt �[��� î)rkØ[g}� � oa«[«ºjmd � qÓo � npoad � o �Â��� r±d n�jßo±� �� Ø�«[gij � «�n�j ÄÌ� r±Ø � g�³¸îNn �Å��� j�d�l�³<o � r±d � Ø[n¢n�j�d �D� n¢o±d � o ���¢� rkd � r±g}� � d[h¸oHg}o � jmn � n¢o±d � o ���¢� rkd ��� ¬�jk�¸t&r¸o Ä r � � �������«[n¢r±l[g�jm¬¿�)î)j � o Ä j¿o±dXjmé¡j � Ø ��� d[h � npoad � o �Â��� r±d îNn �i� j � Ø[«�gij � î �Å�¢� r±Ø � ¤�gig � d�h � d ��� j � n¢o±d � o ���¢� rkd �¢� ¬²j �U� o±¬²«raq �¢� j � Ø[«[g�j � � û � jmd ��� j � npoad � o ����� r±d g}o � jmn � rk¬�¬ �i�¢� � ��� j � npoad � o ����� r±d �¢� ¬²j � r±q�o ì j �Â� j�� � Ø[«�gij � o±n�j ��� j�dØ[«��[o � j��¼�t �[���K�}� o �m� r±¬²«[g ����� j�� l�³�¬�o � d � o � d � d[h²o1  n�j � rkd �Õ� n�Ø ��� o±l[g�j ¡¨� oal[g�jxraq � Ø[«[g�j Ú � � îNn �i�U� jmd$l̳ �¢� j � npoad � o � ���� r±d��'t �����e� oal�gij �}� n¢j�ok� l̳ oadfo � ³�d �p� n¢r±d�r±Ø � l�o � ð�h±n¢r±Ø[d��$«[n¢r � j �¢� î �[�}�p� «�j�nUqsrkn�¬ �e��� jO« � ³ ����� oag�Ø�«º�[o � jOr±q��� j � Ø[«[g�j � ³ � n¢o±d � o ���¢� rkd ��� ¬²j �U� o±¬�«��­�)r±n¢n�j ��� d�j �¢� r±d�gi³¿n¢j��ÌØ � n�j �e�¢� o �x��� j � npoad � o ����� r±d �¢� ¬²j � qsrknDoag�g&îNn �Å��� j�d� Ø�«[gij � l�j`¤�gig�j�� � d l�jmqsr±n¢j ��� jm³�oan¢j�n¢j�ok�²l̳�o � Ø[l � j �kØ�jmd �Ó� n¢o±d � o ���¢� rkd�� û �[� g�j �¢�[���K��� ¬²«[g�j�jmé � jmd �U� r±d � ØQh � j � �¬²r±n¢j � rk¬²«[gijmé¿o±d��¿j�h �m� j�d � ¬�j ��� r¡� ��� o Ä jDl�j�jmdf«[n¢r±«ºr � j�� ¥ w�rk¬²¯ = §��eíer �¢��� j­o±g � r ��� o ���¢�[��� oag�h±rkn �i��� ¬Z�¡r�j �d[r � o ì j ������� jKn�j � r Ä jmn¢³�¬²j �p� oad �}� ¬FØ � j���l�³ ��� j'��Ü � u¼�ao �¢� Ø[¬ � d[h �¢� o ����� j � n¢o±d � o ���¢� rkd ��� ¬²j)r±q�o � r±¬²¬ �Å��� jß�� npoad � o ����� r±d ��� girkh±h±jß� o±girkd[h­î �i���¿�¢� jDd[j � j �¢� oan¢³�Ø�d��¡r.Î¥n�jß�¡r � d¡qsrkn�¬�o ��� r±d��

ÁÇß[Ä âÇë�< <�ä�ì �

û j � o Ä j'�¡j �¢� n � l�jß� � r¥îXo � oad[rkd �}� oag¡�xÜ � u�oan �p�[�Å� j �Â� Ø[n¢j � oad�l�jNjmé � jmd��¡j�� � r � Ø[«[«ºr±n � teu�vxw&y¡��t � j �p� o±d[h±j ��¡j ��� n � l�jß��oan¢jÀ¬ � d � ¬�oag � d ��� o ����� jm³xn�j�«[n�j � j�d �º�¢� j � ¬�oag�gij �Õ� d[j � j ��� oan¢³ejÂé � jmd ��� rkd ��� r � Ø[«�«�rkn �¼�¢� jÀqsØ[d �Â��� r±d�o±g �i� ³= °

Page 40: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

raqÓteu�vxw&y¡�ec �e�¢� j�jmé � jmd �U� r±d � oan¢j � ¬²o±gig �ºî)jOlºjmg � j Ä j ��� o � ��o � oS¤�n �Õ� � �U� j�«���teu�vxw&y � oadflºj � Ø[«[«ºr±n � jß�¿qsr±nxon¢jmg}o ����Ä j�gi³�g�r¥îR�[j Ä j�girk«[¬²jmd �e� r �Õ� �û j�oad �¢���m� «�o � j ��� o ����� j�«ºjmn�qsr±n¢¬�oad � j­r±q �¢� j²¬ � d � ¬�oag�gi³ÁjÂé � j�d��¡j��<oan �p�[�i� j ��� Ø�n�j�î � g�gÀn �iÄ oag �¢� j²«�j�nUqsrkn �¬�oad � jfraq � r±d Ä j�d �¢� rkd�oag � ³ �Õ� jm¬ � � u¡d�oa« ��� r � �ÌØ[jmn � j � r±d �¢� j � Ø[n¢n�j�d � ��o � o±l�o � j �U� o � jf¬�o�³ � Ø ì jmn$o � g � h �Ì�«ºjmn�qsr±n¢¬²o±d � j�«�j�d�oag � ³ �¡Ø�j � r �¢� j�o±�[� �i��� r±d�oag � j�¬�«ºr±npoag � Ø[«[«ºr±n � �¶ã�r¥î)j Ä jmnß� ��� d � j�îKjxo±n�jxoal[g�j � r­Ø � j�jÂé �}�Õ�¢� d�hr±« ��� ¬ ��Æ o ��� r±d � j �p� d � �kØ�j � ��j Ä o±giØ�o ��� r±d oag�h±rkn �i��� ¬ � ��oad�� �U� rkn¢o±h±j �U� n¢Ø �Â� Ø[n¢j � ��îKj�jmé¡«�j ����� d�oa« ��� r � �ÌØ[j�n � j � rkd��� j � jm¬²«ºr±npoag��xÜ � u � r^oa«�«[n�rÌo �p���¢� jD«ºjmn�qsr±n¢¬²o±d � j�r±q � �¡jmd ���}� o±g��ÌØ[jmn � j � r±d¿o � rkd Ä jmd ��� r±d�oag¼��Ü � u¼��)r±d Ä j�n � jmg�³±�kî �[� g�j ��� j�n�j�oan¢j�¬�o±d̳�rk«[«ºr±n � Ø[d �i��� j � qsrkn � ¬²«[n¢r Ä jm¬²j�d � �kîKjxl�j�g � j Ä j �¢� o �K� j�¬²«�rkn¢o±g��ÌØ[j�n � j �r±d ��� jN¬ � d � ¬�oag�gi³Ojmé � jmd��¡j��²oan �p�[�i� j ��� Ø�n�jKî � g�g ��� r¥î�n¢j�o � rkd�oal[g�jK«�j�nUqsrkn�¬�oad � j±� Ú d²«�oan ���}� Ø[g}oanß� ��� jeoan �p�[�Å� j �Â� Ø[n¢j� o±d¿jm¬²«[g�r¥³ d[j�îRj Ä o±giØ�o ��� r±dHo±d�� r±« �¢� ¬ ��Æ o �¢� rkd � j �p� d � �ÌØ[j � qsr±n � jm¬²«ºr±npoag��ÌØ[j�n � j ��� Ø[n¢n�j�d � g�³^Ø[d��¡j�n � d Ä j �U��� hko ���� r±d�� û �Å�¢� ��� j¸o±�[� �Å�¢� rkd raq � j�¬²«�rkn¢o±gig�³Xrk« ��� ¬ �iÆ j�� �U� rkn¢o±h±j �U� n¢Ø ��� Ø[n�j � �'îKjfjÂé¡«ºj �Â� qsØ[n ��� j�n «ºjmn�qsr±n¢¬�oad � j� ¬�«�n�r Ä jm¬²jmd �¢� �

ä å � ´æ´ º8�0ç º¼���éè_�Z�����ëê �X� ì

û j � o Ä j��¡j¢¤�d[jß� oad oag�h±j�l[n¢oDqsr±n'teu�vxw&y � ¬²«[g�jm¬²jmd � o ��� r±d��¶t � jx� ���U��� d[h±Ø �����[� d[h�qsjßo � Ø[n�j � r±q ������� «[n¢r±«ºr � oagºoan¢jo � qsrkgig�r¥î � �

ß t � jDoag�h±jml�n¢o � Ø�«[«�rkn �p� oag�g �U� é$n¢jmg}o �¢� rkd � ³�«ºj � «[n¢r Ä�� �[j��$l̳$teu�vxw&y[�ß t � j�o±gihkjml[npo �}� ¬ � d � ¬�oag � d ��� j � jmd � j ��� o ���i����� oadÁjÂé � j�d ��� rkd¸raq ��� j � rkd Ä jmd ��� r±d�oag � d�o±« ��� r � oag�h±jml�n¢o��î �Å�¢� qsj�î>ok�[� �i��� r±d�o±gÀr±«ºjmnpo � rkn � � Ú d ok�[� �i��� r±d��&î)j ��� r¥î)jß� �¢� o � jßo �p� �[j�¤�d[jß�<r±«ºjmnpo � rkn ��� n¢j��ÌØ � n�jß�¸l�³� rk¬�jDteu�vxw�yOg}oad�h±Ø�o±h±j � r±d �Õ� n�Ø �Â� �¶ã�jmd � j±� ��� jOoag�h±jml�n¢o � rkd � o � d � d[r � Ø[«�j�ná£�Ø[r±Ø � rk«�j�n¢o � rkn � �ß t � jOoag�h±j�l[n¢o �}� jmé�«ºj �Â� jß� � r � o Ä j � Ø.h �m� j�d � jÂé¡«[n¢j �¢�U��Ä j�«ºr¥î)j�n � r � ¬²«[g�jm¬²jmd � teu�vxw&yA�ÌØ[jmn � j � �[¬²r��[Ø[gir��� j�qsØ � Ø[n¢jDî)rkn�ð�g ���U� jß� l�j�gir¥îD�ß t � jDoag�h±jml�n¢o ��� ¬ � d � ¬�oag � d �¢� j � jmd � j ��� o � d[r � Ø[«ºjmnª£�Ø[rkØ � rk«�j�n¢o � r±n � î)j�n�jD�¡j¢¤�d[j����ß t � j � jm¬�oad �¢����� r±q ��� j�oag�h±j�l[n¢o � oad^lºj � Ø[«�«�rkn � j�� � d$o ®�í ÷ � Ø[«[g�j � ��� ¬�j �Õ� oa¬²« � d[h�n�j�«[n�j � j�d � o �¢� rkd�oag��[o � o¬�r¡�¡j�gè�¼o±d�� � j�d � jk�ºj¢h �Â� jmd �x� ¬²«[g�jm¬²jmd � o ��� r±dfr±q ��� j²oag�h±j�l[npo ��� «ºr �¢�U� l[g�j�l�³¿jÂé¡«[g�r �i��� d[h jmé �}�U��� d[hZ�ÌØ[j�n�³r±« �¢� ¬ ��Æ o �¢� rkd o±d��$j Ä oag�Ø�o �¢� rkd � j �p� d � �ÌØ[j � �t �[��� o±gihkjml[npo �}� «�r¥îKjmn�qsØ[g'jmd�r±Ø[h ��� r � ¬�«�gij�¬�j�d � ¬�r �Õ� teu�vxw�yW�ÌØ[j�n � j � � t'îKrÁg}oad[hkØ�oahkj � r±d �U� n¢Ø ���p� �d�o±¬�j�gi³ � j�¬²«�rkn¢o±g�oahkh±n¢jmhÌo ��� r±d²oad�� ��� jxteu�vxw&y��[o � oO�[j�¤�d �i��� r±d g�o±d[h±Ø�o±h±jk�koan¢jNd[r � ³±j �Ó� d � rkn�«ºr±npo � j�� � d � r ��� joag�h±j�l[npo[� û jDjmé�«ºj �Â�N� r�oaØ�h±¬²jmd �'��� jOo±gihkjml[npo­î �Å�¢�¿� Ø[«[«ºr±n � qsr±n �¢� j � j �Å� jm¬ �N� d ��� jDd[jßoan'qsØ � Ø[n¢j±�Ú d ok�[� �i��� r±d��Kî)j � o Ä jH�¡j �¢� n � lºj�� oad � ¬�«�gij�¬�j�d � o �¢� rkd qsr±n^o teu�vxw&y<�[o � o±l�o � j$¬�o±d�oahkjm¬²jmd �^� ³ �U� j�¬ �t �[�}� oan �p�[�i� j ��� Ø�n�j �}� d[r � oal�gij � d ��� o ���i� n�j �ÌØ � n¢j � rkd[g�³$o�qsjmî �p� o±d[h±j �K� r �¢� jDqsØ[d ����� r±d�oag �Å� ³ qsr±Ø[d�� � dHjÂé �}�Õ�¢� d�h� rkd Ä jmd �¢� rkd�oag¶�xÜ � u oan �p�[�i� j �Â� Ø[n¢j � �$c ��� Ø �p� ��î)j�lºjmg � j Ä j ��� o � teu�vxw&y � oad lºj � ¬�«�gij�¬�j�d � j�� o � n¢jmg}o ����Ä j�gi³g�r¥î � � r �U� ��î �Å�¢� ��� jO�¡j ��� n � lºj��¿oag�h±j�l[n¢o­oad��¿o±n �p�[�i� j ��� Ø[n�jx«[n¢r Ä�� � � d[h ��� j � ¬²«[g�jm¬²jmd � o ��� r±d qsnpoa¬²jmîKr±n¢ð��

= F

Page 41: people.cs.aau.dkpeople.cs.aau.dk/~csj/Papers/Files/1994_sooTSQL2algebra.pdf\^] _a` b cedfc gihkjml[npoOqsrkneteu vxw&y z{]}|H~ { _a { p H } p oaj g u r r n U oadHu kjmd j d [oad

í ½ �fì1���8Q »¢U�_¿X ´ `���

�)Ø[n ���}� ��³�n�j � rkd oad��^í �}� ð�ü�g � d[j�hÌo Ä j � jmg�«¡qsØ[g � rk¬�¬²j�d �p� rkd^j�o±n�g � jmn Ä jmn �U� r±d � raq �¢�[���'� r±¬²¬²jmd � o±n�³k��c��[� �i��� r±d �oag�g�³±���)Ø[n ���}� «[n¢r Ä�� �¡jß� �¢� j � j �p� d � �kØ�j � qsrkn � Ø[«�«�rkn �¢� d[h�®��4� � d ��� jDn¢jm«[n¢j � jmd � o ��� r±d�oag¼oag�h±j�l[n¢o��t �[��� î)rkn�ðDî'o �À� Ø[«[«ºr±n � jß� � d�«�o±n � l�³­íxu ÷ hkn¢o±d �¢� Ú u Ú � @ ¯)DÌykd�D+dNo±d�� Ú u Ú � ¯ = DÌy±ya°±°�� Ú Ü �Z� r±d � n¢o ����î ®±®ßya°oad�� �¢� jOcÀtNÛDt ÷ r±Ø[d��[o �¢� rkd�� Ú d¿ok�[� �i��� r±d�� � Ø[«[«ºr±n � î'o � «[n¢r ÄÌ� �¡jß� l�³ �¢� jO��o±d �}�U� í�o � Ø[npoag�u �m� j�d � jO�ej � j�oan �p��)r±Ø�d �Â� g¼Ø[d��¡j�neh±npoad �p� ®k®Nï�®�D @ ¯dï�®�u ö oad��Á®±®�ïMDkD)e[®�ﺮ�u ö �

ð �'�`��`���¸U

¥ �Ìu[u[¯a°�§ ���±u��a�kjmd � j�d��a�D�at��au�d[r¡�¡hkn¢o ��� �aoad�� � �a�­�±u�r�r��¡t � jNteu�vxw&y���o � o � r¡�¡j�gè���)rk¬�¬²j�d � oan¢³±�¥teu�vxw�y��j ��� hkd¸�)r±¬²¬ �Å��� jmjk���kØ[gi³¸®�¯±¯±°��¥ u�d[rk¯±°�§ �D�&t���u�d[r¡�¡h±npo �¢�  sjß�¼� ¡ c�d öÓÄ o±giØ�o ��� r±d<raq'teu�vxw&y[���)rk¬²¬�j�d � oan¢³±��teu�vxw&y ��j �U� h±d��)r±¬²¬ �i�U� j�j±��kØ[g�³¸®�¯k¯a°��¥ u¡c�c ¦ ¯a°)§��D�)t��)u�d[r¡�¡hkn¢o ��� � Ú �Óc � d�� ä �Ócen � o Ä �K���Ku��ÓÜ'o � r±n¢³±�Ó���K�)g �Åì r±np�¼�e��� ö �Ó��³�n�j � rkd��)�D� ö g�¬²o � n � �÷ � ä n¢o±d�� � �����Ìu¼�k�kjmd � jmd�� û �ÌüDoaqsjmnß�±íO��ü�g � d[jk�kü²�Ìü�Ø[gið¥o±d[n � �kt��±ï­�¡���kw�j�Ø[d[h��kíO�Ìw�rkn�j�d �¢Æ r � �±��� ÷ ��Nr¡�[� ��� ð��¡cO��u�j�h±j Ä � � �¡�­�¡u¡rÌr��¡oad�� u�� � �[u�n � «�ok�[o[��teu�vxw&yOw&oad[hkØ�oahkj�u�«ºj �m� ¤ � o �¢� rkd�� ÿ ñ�òôó�õ öç�©�# ��¨8'¥��y =  U® ¡ � � oan �p� ®�¯k¯a°��¥ �±j�d�¯ = § �kjmd � jmd��k���¥u¼�M  j��¼� ¡ c �)rkd � jmd � Ø � t�j �Õ� u�Ø �i� jKraq�t&jm¬²«ºr±npoag���o � o±l�o � j'v�Ø[j�n � j � �kt&j �p� d ��� oag��Njm«ºr±n � �¯ = � y�D = °��K��j�«�oan � ¬²jmd � raq � o �¢� jm¬�o ���}�m� o±d��¸�)r±¬²«[Ø � jmn�u �Â� jmd � j±��c�o±gilºr±n¢h^Ãed �iÄ jmn �U�i� ³±�º��j�d[¬�oan¢ðº�í�r Ä jm¬­l�j�nD®�¯k¯ = �Ì°+F­«�o±h±j � �¥ w�r±¬�¯ = § �­�[w�rk¬�j � o±d�� Üx�[u¡o±g Æ l�j�n�h���t�npoad � o ����� r±d � t � ¬²j���o � o±l�o � j � ��� � o±« � j�nx® eOr±qJæY©Y1`«.��¨ª°4´ ö °4¯±°Rô °�­¢©�­ø÷æ�õ.© ��¨NØdù ö © ­ ²V±)®VùÉ°4®�' ñ 1U«�´Å©Y1A©¢®Y¯±°4¯³²!�4®���ÜKjmd4cUo±¬ � d\Îk�)Ø[¬²¬ � d[h � �¡«[«�� =)@k@ ïÌ°�®�d¡��®ß¯±¯ = �¥ u�d[rk¯Ìy�§ �D�ºt��ºu�d�r��[h±npo �¢� �¶t&jm¬²«ºr±npoag��xo � oal�o � j � ��æ�õY©÷��¨ ²!© ­A°4®�' ó ©�¯�õ.�'�­A�", ÿ «.°�¯�²!�*.(æY©Y1U«Y�4¨÷°4´Dç`© °�­¢�4®'² ®b±

² ® ò © �8±)¨ª°÷«+õM²H# ÿ «.°l# ©Â��cO��ÃO� ÷ npoad[ð�� Ú ���Koa¬²«�o±n � ��o±d��HÃO� ÷ rkn�¬²j�d �¢� d �  sjß� � � ¡ �';Àrkgè�"e = ¯²r±q þ ©$#¢¯-)Q¨ª©�&�4¯±© ­8² ®�%í�*1U«�)Q¯¬©¢¨ ÿ #¢²!©�®�# ©Â��u¡«[n � d[hkjmn � ;Àj�n�g}oah��k«[«���y±ydïMea°��[u�jm« � jm¬­l�j�nD®�¯±¯Ìy¡�

¥ u�r�rk¯ = § � ������u¡rÌr²oad�� �O�[t���u�d[r¡�¡h±npo �¢� ��à � j�n � �¡j�¤�d[j�� t � ¬²j � d¿teu�vxw&y¡�¶�)r±¬²¬²jmd � oan¢³±�¡teu�vxw&y­��j ��� hkd�)rk¬�¬ �i�U� jmj±��ceØ[hkØ �Õ� ®ß¯±¯±°��¥ � � ��¯[®�§ ����u����kjmd � jmd��ßwÓ� � o±n�ð���o±d��DíO�ß�Nr±Ø ��� r±«ºr±Ø[g�r � � Ú d � n¢jm¬²jmd � oag Ú ¬²«[g�jm¬²jmd � o ��� r±d � r¡�¡j�gaqsrkn��Njmg}o �¢� rkd�oag�xo � oal�o � j � î �Å�¢� t&npoad � o �Â��� r±d$t � ¬²j±� ñ éåéåé æ.¨ª°4®Y­¢°R#¢¯�²!��®.­&�4®áúX®��4�Ç´Å©$'Y±+©A°4®�' ö °4¯±° é0®Q±�² ®�©÷©¢¨ ² ®b±±�

=  s° ¡ �[«[«���°ke[®�ïÌ°Qd = �Ì��j � j�¬�lºjmnO®ß¯±¯[®k�¥ � o �ð@ F4§ �­� � o � j�n�� æ�õ.©�æ�õ.© �4¨NØ��",&ç�©�´Å°�¯�²!��®"°�´ ö °4¯±°Rô °�­¢©�­p�)�)rk¬²«[Ø � j�n�u �m� j�d � j8b¶n¢j �¢� �º®ß¯ @ F¡�

= e