Didaktik der Algebra und Funktionenlehre 9

Prof. Dr. Kristina ReissLehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Universität Augsburg

Wintersemester 2004/05

Gemeine Brüche und Dezimalbrüche im Mathematikunterricht

Die Behandlung der Bruchzahlen (gemeine Brüche und Dezimalbrüche) konzentriert sich auf die 6. Klasse.

Lehrplaninhalte sind

• Erweiterung des Zahlbereichs zur Menge Q0

+ der positiven rationalen Zahlen bzw. Q der rationalen Zahlen

• Rechnen mit positiven rationalen Zahlen• Dezimalbrüche und das Rechnen mit

Dezimalbrüchen

Bruchzahlen

sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen, in der (mit Ausnahme der Division durch Null) eine uneingeschränkte Durchführbarkeit der Division möglich ist.

In Q0+ bzw. Q ist jede Gleichung der Form a•x

= b mit a ≠ 0 lösbar.

Die Bruchzahlen und die Bruchrechnung sind sowohl für das alltägliche Leben, als auch für die weitere mathematische Bildung der Schüler von großer Bedeutung, z. B.

• beim Messen und Beschreiben von Größen,

• beim Rechnen mit Größen,• bei der Zins- und Prozentrechnung,• bei Anwendungen der Mathematik in

Alltagssituationen,• im Rahmen von Gleichungen und

Ungleichungen.

Die Bruchrechnung

umfasst sowohl das Rechnen mit gemeinen Brüche als auch mit Dezimalbrüchen. Diese beiden Bereiche werden in der Schule häufig getrennt voneinander unterrichtet, wobei eine enge Verzahnung anzustreben ist.

Die Dezimalbrüche können dabei als Erweiterung im Rahmen des Stellenwertsystems aufgefasst werden.

Die Bruchzahlen unterscheiden sich in vielen Aspekten von den bisher behandelten natürlichen Zahlen.

Die Einführung der Brüche und Bruchzahlen bedarf deshalb des Aufbaus einer tragfähigen Grundvorstellung bei den Schülerinnen und Schülern, die nicht nur erklärt, was eine Bruchzahl ist, sondern die ebenso für die Anordnung und Verknüpfung von Bruchzahlen tauglich ist.

Was ist eine Bruchzahl ?

Es gibt verschiedene Konzepte zur Einführung von Bruchzahlen, nämlich die Betrachtung der Bruchzahl als

• Größe (Größenkonzept),• Äquivalenzklasse (Äquivalenzklassenkonzept),• Lösung einer linearen Gleichung

(Gleichungskonzept),• Funktion (Operatorkonzept).

Für die Schule ist vor allem das Größenkonzept, in Ansätzen auch das Operatorkonzept von Bedeutung.

Beim Größenkonzept wird von konkreten Brüchen, die den Schülerinnen und Schülern aus dem Alltag (und auch aus der Grundschule) bekannt sind, ausgegangen:

Liter, Kilometer, Stunde.

Durch Abstraktion gelangt man zu einer festen Bezugsgröße „das Ganze“ („die Einheit“) und die Bruchzahl bezeichnet die Größe E (wobei E für die Einheit steht).

2

1

2

11

4

3

n

m

n

m

Mit dem Größenkonzept lässt sich das Erweitern und Kürzen von Brüchen, die Anordnung und die Addition/Subtraktion anschaulich einführen und behandeln.Die Multiplikation und Division dagegen sind auf Grundlage des Größenkonzeptes schwieriger zu motivieren.

Nach dem Operatorkonzept werden Bruchzahlen als Operatoren aufgefasst. Ausgangspunkt sind dabei die im Alltag üblichen Sprechweisen wie z.B. „ von 500g“ o.ä. .

Der Bruch kann als Funktion bzw. Operator gedeutet werden.

Anschaulich wird dabei der Operator in Form von „Maschinen“ konkretisiert, wobei zunächst eine Multiplikation und dann eine Division (oder umgekehrt) durchgeführt wird.

4

3

Das Operatorkonzept legt nahe, zunächst die Multiplikation/Division und dann die Addition/Subtraktion einzuführen, was zu vielen typischen Schülerfehlern bei der Addition führt. Bei dem Erweitern/Kürzen bietet das Operatorkonzept keine gute anschauliche Vorstellung und auch die Anordnung der Bruchzahlen ist nur aufwendig herzuleiten. Vorteile bietet das Operatorkonzept bei der Einführung der Multiplikation/Division.

Bruchzahlen können unter verschiedenen Anwendungsaspekten betrachtet werden:

• Maßzahlaspekt,• Relationsaspekt,• Operatoraspekt,• Skalenwertaspekt,• Quotientenaspekt.

Bei der Behandlung der Bruchzahlen in der Schule steht der Maßzahlaspekt im Vordergrund. Der Operatoraspekt (bzw. Quotientenaspekt) spielt bei der Multiplikation (bzw. Division) eine Rolle.

Die Einführung der Bruchzahlen

Vor der Einführung von Bruchzahlen ist der Aufbau einer Grundvorstellung durch die Arbeit mit konkreten Brüchen anzustreben.

Brüche werden an konkreten Größen als „Teil eines Ganzen“ eingeführt, z.B. cm

bedeutet, einen Zentimeter in vier gleich lange Teile zu teilen und drei davon zu nehmen. Entsprechend lassen sich Brüche an anderen Größen und Objekten darstellen.

4

3

Mathematik 6, Westermann, 1993

Eine weitere Grundvorstellung von Brüchen ist die vom „Bruch als Teil mehrerer Ganzer“.

Der Bruch cm bedeutet hier:

Teile einen Repräsentanten von drei Zentimetern in vier gleich lange Teile und nimm einen davon.

Im Gegensatz zur ersten Grundvorstellung ist die Reihenfolge des Teilens und Vervielfachens hier genau umgekehrt.Diese Grundvorstellung soll keine Alternative, sondern eine Ergänzung sein.

4

3

Nachdem die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang zwischen konkreten Brüchen und Repräsentanten erfasst haben, kann auf einen der grundlegendesten Unterschiede der Bruchzahlen zu den natürlichen Zahlen eingegangen werden:Die Zuordnung mehrerer konkreter Brüche zu einem Repräsentanten:

4

3

8

6

12

9

16

12

Betrachtung der Bruchzahlen am Zahlenstrahl:

Wie jeder natürlichen Zahl kann man auch jedem Bruch einen Punkt auf dem Zahlenstrahl zuordnen. Diese Zahlen heißen Bruchzahlen. Die Menge der Bruchzahlen wird mit B bezeichnet.

Zu jeder Bruchzahl gibt es beliebig viele verschiedene Brüche. Die natürlichen Zahlen sind spezielle Bruchzahlen.

Erweitern und Kürzen

Beim Erweitern geht es um die Bestimmung weiterer Repräsentanten zu einem gegebenen Bruch. Wurde dies bei der Erarbeitung des Bruchbegriffs vor allem anschaulich behandelt, so soll jetzt ein Erweitern ohne Rückgriff auf die Anschauung hergeleitet werden. Ausgangspunkt ist die Verfeinerung einer Unterteilung:

Anhand des Beispiels lässt sich herausarbeiten, dass aus dem Bruch durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit 2 bzw. 4 die Brüche und entstanden sind.

Analog kann durch das Vergröbern von Unterteilungen das Kürzen herausgearbeitet werden. Dabei fällt auf, dass das Vergröbern nur begrenzt durchführbar ist.

8

6

16

12

4

3

Offensichtlich kann man Zähler und Nenner eines Bruches nur durch gemeinsame Teiler kürzen und die Menge gemeinsamer Teiler ist endlich.

Werden Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler gekürzt, so erhält man die Grundform des Bruches bzw. den Kernbruch.

Während man bei den natürlichen Zahlen anhand der Ziffernschreibweise leicht erkennen kann, welche von zwei Zahlen größer ist, ist dies bei den Brüchen in der Regel nicht so.Ein einfaches Schema zum Vergleichen von Brüchen ist das Bearbeiten von gleichnamigen Brüchen und der anschließende Hinweis, dass man zwei Brüche immer gleichnamig machen kann (durch Erweitern).

Anordnung der Bruchzahlen

Dieses Schema verleitet Schüler jedoch leicht dazu, ohne Verständnis nach „Rezept“ vorzugehen.Um die Grundvorstellung von Brüchen zu vertiefen und ein besseres Verständnis von Brüchen zu erreichen, sollte deshalb zunächst auf dieses Rezept verzichtet werden und nicht schematische Größenvergleiche herangezogen werden.

Man kann Größenvergleiche von

Stammbrüchen undgleichnamigen Brüchen

behandeln, um das Verständnis für die Funktion des Zählers und des Nenners zu vertiefen. Anschließend bietet es sich an, Zähler und Nenner kombiniert zu betrachten, oder eine (dazwischen liegende) Vergleichzahl zu betrachten.

Allgemeines Schema

Bestimmung des Hauptnenners,Bestimmung der Erweiterungszahlen,Erweitern der Brüche,Vergleich der Zähler.

Die Anordnung der Bruchzahlen kann dann zusätzlich am Zahlenstrahl verdeutlicht werden.

Es gibt keine Vorgänger/Nachfolger in der Menge B der Bruchzahlen, zwischen zwei Bruchzahlen gibt es unendlich viele weitere Bruchzahlen.

Die Addition von Bruchzahlen wird durch die Addition von Größen eingeführt:

Addition/Subtraktion von Bruchzahlen

Sind die Brüche gleichnamig, so werden also die Zähler addiert und der gemeinsame Nenner ändert sich nicht.

Sind die Brüche nicht gleichnamig, so entsteht das Problem, eine Maßzahl (einen Bruch) für die Summe zweier Größen zu finden:

Hier muss eine gemeinsame Unterteilung der beiden Teilstrecken gefunden werden, bevor man die Gesamtlänge bestimmen kann.

Das Bestimmen einer gemeinsamen Unterteilung entspricht dem „Gleichnamigmachen“ der zugehörigen konkreten Brüche. Da es verschiedene Möglichkeiten gibt, wird man die gröbste Unterteilung wählen, was der Bestimmung des Hauptnenners entspricht.Sind die beiden Brüche gleichnamig, so kann man sie wie zuvor addieren.Nach der Addition ist zu prüfen, ob der neu berechnete Bruch kürzbar ist.

Einer der häufigsten Fehler bei der Addition von Brüchen ist das Addieren der beiden Zähler und der beiden Nenner. Dieser Fehler ist häufig auf mangelndes Verständnis für Bruchzahlen zurückzuführen, da Zähler und Nenner als unabhängige Zahlen eingestuft werden.Hier wird man die anschauliche Einführung der Addition durch das Addieren von Größen verstärkt zur Erklärung heranziehen.

Die Subtraktion von Brüchen kann wie schon bei den natürlichen Zahlen als Umkehroperation der Addition eingeführt werden. Ähnlich wie bei der Addition wird man bei der Subtraktion auf die Anschauung zurückgreifen.Im Sinne des operativen Prinzips können Addition und Subtraktion parallel eingeführt werden.

Die Multiplikation von Brüchen wird in drei Fälle unterteilt:

Multiplikation/Division von Bruchzahlen

natürliche Zahl mal Bruchzahl,Bruchzahl mal natürliche Zahl,Bruchzahl mal Bruchzahl.

Die Multiplikation einer natürlichen Zahl mit einer Bruchzahl wird dabei analog zur Multiplikation von natürlichen Zahlen als wiederholte Addition eingeführt.Dies geht bei der Multiplikation einer Bruchzahl mit einer natürlichen Zahl nicht! Hier wird ein anderes Modell herangezogen werden müssen.Zunächst wird deshalb die Division einer Bruchzahl durch eine natürlichen Zahl behandelt.

Die Division einer Bruchzahl durch eine natürlichen Zahl n ist sofort aus der Division von natürlichen Zahlen ableitbar, wenn der Zähler durch n teilbar ist. Ist dies nicht der Fall, so wird der Bruch um n erweitert und dann der Zähler durch n geteilt.

18

5

29

2:)25(2:

29

252:

9

5

Es lässt sich schließlich eine Divisionsregel herleiten.

Die Multiplikation einer Bruchzahl mit einer natürlichen Zahl, wie auch die Multiplikation zweier Bruchzahlen, wird nun mit Hilfe des sog.„von-Ansatzes“ eingeführt. Dazu wird z.B.

als „ von 8“ interpretiert.84

3

4

3

Analog zum Rechnen mit Größen ergibt sich damit

3

48 3(8 : 4) 32 6.

.28

15

28

53)4:

7

5(3

7

5

4

3

bzw.

Schließlich lässt sich die bekannte Regel „Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner“ herleiten.

Häufig auftretende Fehlermuster:

bn

an

b

an

b

ca

b

c

b

a schematisches Übertragen der

Additionsregel

falsche Einbettung der natürlichen Zahlen oder starke Einprägung des Erweiterns

Die Divisionsregel gehört zu den schwierigsten und am schwersten verständlichen Regeln in der Bruchrechnung. Eine sorgfältige Ableitung der Regel ist deshalb unbedingt notwendig. Es gibt verschiedene Konzepte zur Einführung der Division mit Brüchen. Derzeit gibt es keine ausreichende Anzahl von Untersuchungen, die zeigen, welcher Weg am meisten Vorteile hat.

Im Folgenden wird ein Konzept vorgestellt, dass auf der Idee des Messens beruht. Für die Division von natürlichen Zahlen ist bekannt:

Das heißt, b ist in a genauso häufig enthalten wie b·n in a·n. Diese Erkenntnis wird auf die Bruchzahlen übertragen.

)(:)(: nbnaba

Es ergibt sich:

cb

dac

b

dad

d

cd

b

a

d

c

b

a

:)(:)(:

Dabei müssen b, c, d von Null verschieden sein.

Typische Fehler bei der Division sind analog zur Multiplikation Probleme mit dem ausgeprägten Erweiterungsgedanken (beim Dividieren durch natürliche Zahlen), sowie das Subtrahieren statt Dividieren bei gleichnamigen Brüchen.

Die Darstellung der Didaktik der Bruchrechnung in dieser Vorlesung umfasst nur einen Schnelldurchlauf durch die wichtigsten Aspekte. Aufgrund der Bedeutung der Bruchrechnung in der Schule ist dringend zu empfehlen, die Kenntnisse in einem speziellen Seminar oder durch Literaturstudium (v.a. Padberg, Didaktik der Bruchrechung) zu vertiefen.

Beispiel zum Größenvergleich von Brüchen

Einstiegsproblem:

Ist der Bruch größer oder kleiner als der Bruch ?

• Vergleich von konkreten Brüchen wie Größen,• Gleichnamigmachen und vergleichen,• zwischenliegende Zahl suchen.

Die Brüche sind nicht als konkrete Brüche gegeben. Es gibt für die Schülerinnen und Schüler verschiedene Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen, z.B.

74

15

98

19

Im Rahmen der Lösungsvorschläge der Schüler muss zunächst die Bedeutung von „kleiner“ bzw. „größer“ bei Brüchen geklärt werden.

Dies lässt sich durch Veranschaulichung am Rechteckmodell mit zwei einfachen Brüchen erarbeiten:

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16

5

4

4

3

20

15

Der Größenvergleich von Bruchzahlen kann vom Größenvergleich bei natürlichen Zahlen abgeleitet werden:Bei zwei gegebenen Bruchzahlen liegt die größere Bruchzahl auf dem Zahlstrahl immer rechts von der kleineren Bruchzahl.

Es stellt sich nun die Frage wie man beim Größenvergleich praktisch vorgeht, um möglichst einfach (rechnerisch) eine Lösung zu bekommen.

Ausgehend von dem Rechteckmodell mit der

gemeinsamen Unterteilung lässt sich das

Gleichnamigmachen erarbeiten.

Durch das Bearbeiten von verschiedenen Aufgaben

werden die Vorteile des Hauptnenners herausgefunden.

Das eingeführte Verfahren wird an Aufgaben geübt.

Es sollten auch solche Aufgaben dabei sein, die

einfacher ohne dieses Verfahren gelöst werden

können, wie z.B. Stammbrüche oder Bruchpaare

und mit a > c, b < d.b

a

d

c