Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II - Teil 10...

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe IITeil 10: Integralrechnung

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik

Sommersemester 2010/11

Internetseite zur Vorlesung:

http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/

Didaktik der Mathematik der S II, Integralrechnung Sommersemester 2010/11

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

Der Integralbegriff

Zugänge zum IntegralMögliche Zugänge zum IntegralProbleme der Zugänge

Flächenberechnung über Ober- und Untersumme

Mögliche Zugänge zum Integral

1. Bestimmung von orientierten (!) Flächeninhalten bzw.Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen(Ober- und Untersummen – Riemann-Integral)

2. Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens3. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen

(siehe 1. Teil der Vorlesung)

Alle drei Aspekte sind bei der Behandlung der Differentialrechnung vonBedeutung und sollten berücksichtigt werden.Aber: In welcher Reihenfolge und mit welcher Gewichtung?

Mögliche Zugänge zum Integral

1. Bestimmung von orientierten (!) Flächeninhalten bzw.Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen(Ober- und Untersummen – Riemann-Integral)

2. Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens3. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen

(siehe 1. Teil der Vorlesung)

Alle drei Aspekte sind bei der Behandlung der Differentialrechnung vonBedeutung und sollten berücksichtigt werden.Aber: In welcher Reihenfolge und mit welcher Gewichtung?

Probleme der Zugänge

Zu 1.: Bestimmung von (orientierten!) Flächeninhalten bzw.Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen(Ober- und Untersummen)

I „Klassischer Zugang“, der nach wie vor einen wichtigen Aspektbei der Behandlung des Integrals darstellen sollte

I ABER: Gefahr der Identifikation: „Integral = Flächeninhalt“I Häufig Vernachlässigung der Orientierung

Aufgabe aus TIMMSDidaktik der Mathematik der S II, Integralrechnung Sommersemester 2010/11

Außerdem:

Zu frühe analytische Definition des Riemann-Integrals∫ b

af (x)dx = lim

n→∞Un = lim

n→∞= On

(falls lim

n→∞Un = lim

n→∞= On

)führt zu „Missverhältnis von begrifflichem und terminologischemAnspruch gegenüber realisiertem Niveau der Diskussion“ (KIRSCH)

Zu 2.: Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens

Über das Zusammentragen bisheriger Erkenntnisse:

Funktion Flächeninhaltsfunktionf mit A mit

f (x) = c A(x) = c·xf (x) = a·x A(x) = 1

2 ·a·x2

f (x) = x2 A(x) = 13 ·x

f (x) = x3 A(x) = 14 ·x

gelangt man zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung alsDefinition: ∫ b

af (x)dx := F(b)− F(a) mit F′(x) = f (x)

I Einseitig rechnerische OrientierungI Begrifflicher Zugang (was ist ein Integral?) kommt zu kurzI Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sollte eine

wichtige Erkenntnis sein, wird aber zur Definition „degradiert“.

„Antididaktische Inversion“

I Einseitig rechnerische OrientierungI Begrifflicher Zugang (was ist ein Integral?) kommt zu kurzI Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sollte eine

wichtige Erkenntnis sein, wird aber zur Definition „degradiert“.

„Antididaktische Inversion“

Integration als Rekonstruktion von Beständen

Zu 3: Motivation der Integration überRekonstruktion von Beständen aus Änderungen

„Integrieren heißt Rekonstruieren“

(DANCKWERTS/VOGEL)

Ein EinstiegsbeispielIn eine leere Badewanne wird eine gewisse Zeit Wasser eingelassen, danndie Wasserzufuhr gestoppt, gleichzeitig der Abfluss geöffnet und nach einerWeile wieder geschlossen:

Wie viel Wasser befindet sich nach einer beliebigen Zeit t in der Wanne?

Stellen Sie die Wassermenge als (stückweise definierte) Funktion in Abhän-gigkeit von der Zeit dar und fertigen Sie einen Graphen dieser Funktion an.

I Aus der derZuflussgeschwindigkeitdes Wassers zu jedemZeitpunkt wird auf dieWassermenge in derWanne zu jedem Zeitpunktzurückgeschlossen.

I Zuflussgeschwindigkeit:Ableitung V ′(t) –momentaneÄnderungsrate derWassermenge

→ Aus der Änderungsrate V ′

die Funktion Vwiederhergestellt(rekonstruiert).

Das lateinische Wort für Wiederherstellen ist „integrare“.

Vorteil des Zugangs:

I Grundverständnis vom Integrieren als Rekonstruieren

I Integral als orientierter Flächeninhalt

I Integral als Umkehrung der Ableitung

I Sinnvolle Anwendungsaufgaben nach Einführung desIntegralbegriffs

Das lateinische Wort für Wiederherstellen ist „integrare“.

Vorteil des Zugangs:

I Grundverständnis vom Integrieren als Rekonstruieren

I Integral als orientierter Flächeninhalt

I Integral als Umkehrung der Ableitung

I Sinnvolle Anwendungsaufgaben nach Einführung desIntegralbegriffs

Zusammenfassung

Vorgeschlagener Ablauf:

1. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen

2. Bestimmung von Flächeninhalten Ober- und Untersumme

3. Integral als Umkehrung der Ableitung: Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung

Ober- und Untersumme unter der Normalparabel:Die Streifenmethode des Archimedes

Annäherung an den Flächeninhalt A, der von der Kurve zuf (x) = x2 und der x− Achse eingeschlossen wird.1. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;1],Teilung in n = 4 gleich große Teilintervalle

Ober- und Untersumme für n = 4

Für Rechtecke der Breite 14 : Breite · Hohe

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) +

14 · f (

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) =1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) +

14 · f (

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) +

14 · f (

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) =1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) +

14 · f (

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) +

14 · f (

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) =1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) +

14 · f (

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) +

14 · f (

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) =1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) +

14 · f (

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) +

14 · f (

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) =1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) +

14 · f (

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

UntersummeU4 = 1

4 · f (04) +

14 · f (

U4 = 14 · (0 + 1

16 + 14 + 9

16) =1464 ≈ 0, 22(FE)

ObersummeO4 = 1

4 · f (14) +

14 · f (

O4 = 14 · (

116 + 1

4 + 916 + 1) = 30

64 ≈ 0, 47(FE)

U4 < A < O4

Ober- und Untersumme für n Teilintervalle

2. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;1],Teilung in n gleich große Teilintervalle

Ober- und Untersumme für n Teilintervalle für I=[0;x]

3. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;x]

für n Teilintervalle der Länge xn

Aufgabe zu Schritt 2 und 3:

a) Zu Schritt 2:Ermitteln Sie Un und On für f (x) = x2 über dem Intervall I = [0, 1].

Verwenden Sie dazu die Summenformeln∑

k=1k2 = 1

6 · n · (n + 1) · (2n + 1)

und bestimmen Sie limn→∞

Un bzw. limn→∞

Hausaufgabe:b) Zu Schritt 3:Ermitteln Sie wieder lim

n→∞Un bzw. lim

n→∞On jedoch nun für I = [0; x].

c) Ermitteln Sie limn→∞

Un bzw. limn→∞

On für I = [0; x]

für die Funktion f zu f(x) = 2x2 + x.

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