Die Kreditrisikoprämie – Ableitung mittels der Optionspreistheorie (Merton) B 1 Die...

Die Kreditrisikoprämie – Ableitung mittels der Optionspreistheorie (Merton)

B 1

Die KreditrisikoprämieAbleitung mittels der

Optionspreistheorie (Merton)

Stefan Hirth


B 2

Interessante Fragestellungen

• Wie können wir uns die Positionen von Anteilseignern und Gläubigern vorstellen?

• Welchen Wert haben diese Positionen?• Welche Prämie verlangen die Gläubiger für das

Risiko, das sie übernehmen?• Was passiert, wenn sich die Bestimmungsgrößen

verändern?– Verschuldungsgrad– Restlaufzeit des Fremdkapitals– Unternehmensrisiko

• Welche Grenzfälle können auftreten?

Im Folgenden wird eine verschuldete Kapitalgesellschaft betrachtet


B 3

Modell-Voraussetzungen• Eine Unternehmung besitzt zur Zeit t den Wert Vt

• Dieser Wert entwickelt sich nach einem stochastischen Prozess

(dzt ist ein Wiener-Prozess)

• Der Unternehmenswert ist unabhängig von der Kapitalstruktur

• Das Fremdkapital besteht aus nur einer Nullcouponanleihemit Zahlung B zur Zeit T, d.h. nach Zeiteinheiten

• Es existiert ein vollkommener Kapitalmarkt mit konstantem risikolosem Zins r

tttt dzVdtVdV

ttt FEV

tT


B 4

Auszahlungen bei Fälligkeit der Anleihe (Zeit T)

Unternehmenswert V(T)

Aus

zahl

ung

V(T)

E(T)

F(T)

B

B

Gläubiger

Anteilseigner 0,max BVE TT

BVF TT ,min

• Die Anteilseigner erhalten bei Fälligkeit die Auszahlung einer Kaufoption (mit dem Basispreis B) auf die Unternehmung

• Es gibt keine weiteren Zahlungen während der Laufzeit der Anleihe


B 5

Positionen heute (Zeit t) (I)

Anteilseigner

• Unternehmung• Geschriebene Kaufoption

(Basispreis B)

• Kaufoption (Basispreis B)

Gläubiger

Auch der heutige Wert des Eigenkapitalsist gleich dem Wert dieser Kaufoption

tE

tt EV


B 6

Positionen heute (Zeit t) (II)

Anteilseigner

• Unternehmung• Geschriebene Kaufoption

(Basispreis B)

• Unternehmung• Verkaufsoption (Basispreis B)• (–B) in T (sicher)

• (+B) in T (sicher)• Geschriebene Verkaufsoption

(Basispreis B)

Put/Call-Parität rBPV tt exp

• Kaufoption (Basispreis B)

GläubigertE

Auch der heutige Wert des Eigenkapitalsist gleich dem Wert dieser Kaufoption

tPrB exptt EV


B 7

Der Wert des Eigenkapitals nach Black/Scholes

2ln

exp2

rBV

x

xrBxVE

t

tt

V (U.-Wert) S (Aktienpreis)

B (Nennwert des FK)

X (Basispreis)

x d1

Die Bewertungsformel für das EK

Bezeichnungen hier und im Original

Das Eigenkapital unterliegt der selben

Risikoquelle dz wie die Unternehmung selbst

PortfolioUnverschuldete Unternehmungmit identischen Aktiva

Geldanlage zum risikolosen Zins

Grundidee: Duplikation des Eigenkapitals durch ein Portfolio


B 8

Das Fremdkapital als Duplikationsportfolio (I)

• Bisher: Duplikation des Eigenkapitals Et

• Jetzt: Duplikation des (gesamten) Fremdkapitals Ft = (Vt – Et)Auch das Fremdkapital unterliegt der

selben Risikoquelle dz wie die Unternehmung selbst

Die Gläubiger können also auch ihre komplette Position, das Fremdkapital, duplizieren durch ein Portfolio.

g

(1 – g)Portfolio

Wertanteil

Unverschuldete Unternehmungmit identischen Aktiva

g

Geldanlage zum risikolosen Zins (1 – g)


B 9

1. Ziel: Duplikation einer bestehenden Fremdkapital-PositionDann müssen die Gläubiger g wählen als

(g wird auch als relatives Risiko des Fremdkapitals bezeichnet)2. Ziel: Investition mit einer bestimmten RisikopräferenzDie Investoren können jede Kombination zwischen g = 0 und g = 1 wählen, ihre erwartete Rendite ist dann

Das Fremdkapital als Duplikationsportfolio (II)

Fg

rgrrggF 1

PortfolioWertant

eilUnverschuldete Unternehmungmit identischen Aktiva

g

Geldanlage zum risikolosen Zins (1 – g)


B 10

Der Quasi-Verschuldungs-Koeffizient d in der „Bilanz“ (wertmäßig)

Eigen-kapital

ohnebeschränkte

HaftungPut/Call-Parität

rB

PV tt

exptE

Pt ist der Wert der beschränkten

Haftung

Unter-nehmens-

wert

Vt

U.-Wertohne

Barwertvon B

Fremd-kapital

Aktiva Passiva

„quasi“ wertmäßig

Barwertvon B

Pt

tV

rBd

exp


B 11

Der Quasi-Verschuldungs-Koeffizient d – Übersicht

dVermögen der Anteilseigner

Liquidation

möglich?

d < 1 Et wäre sogar ohne beschränkte Haftung positiv

„Heute schon konsumierbar“

d = 1 Et = Pt 0

d > 1 Et wäre ohne diebeschränkte Haftung negativ

„Die Anteilseigner haben

nichts zu verlieren“

Die Konkurswahrscheinlich

keitwächst in d

Put/Call-Parität

rB

PV tt

exptE

Pt ist der Wert der beschränkten

Haftung

tV

rBd

exp


B 12

Der Wert des Fremdkapitals

Damit unterscheidet sich das risikobehaftete Fremdkapital von einer risikolosen Anleihe gerade durch den Risikodiskontfaktor D

folgt der Wert des Fremdkapitals als

Aus den beiden Gleichungenund ttt EVF

xx

drBFt

1exp

Bestimmungsgrößen des FK-Wertes

xrBxVE tt exp

xxd

D1

Der Wert des Fremdkapitals ist also DrBFt exp

,,d


B 13

Der Risikodiskontfaktor und die Kreditrisikoprämie

Als Kreditrisikoprämie definieren wir R r

Diese lässt sich einfach angeben als

RBDrBFt expexp

Um den heutigen Wert des Fremdkapitals F auf den Betrag B aufzuzinsen, müsste der Zinssatz R angewandt werden. Dann ist

Dln1

Der Risikodiskontfaktor D lässt sich interpretieren als heutiges Preisverhältnis von

riskanten zu sicheren zukünftigen Zahlungen

rRr

RD exp

exp1

exp1Bestimmungsgrö

ßender

Kreditrisikoprämie ,,d


B 14

Anwendung des Modells: Einschränkungen

• Benötigte Parameter (als Eingabegrößen für die Bewertung)

• Unternehmenswert V

• Varianzrate σ2 des U.-Wertes

• Absicherung der Gläubiger

• Modellannahme:Duplikation von Eigen- und Fremdkapital ist möglich

• Dafür müsste aber eine unverschuldete Unternehmung mit identischen Aktiva existieren.

• Da die Gläubiger also ihr Risiko nicht vollständig eliminieren können, werden sie eine höhere Prämie verlangen.


B 15

Kreditvergabe (Zeit 0) – Zahlungsströme

Anteils-Eigner

GläubigerUnternehmung (Wert V)

Kaufoption zu B + Ausgleichszahlung

Interpretation Kaufoption

Put/Call-Parität rBPV tt exptE

Anteils-Eigner

GläubigerSichere Zahlung von B in T

Verkaufsoption zu B + Ausgleichszahlung

Interpretation Verkaufsoption


B 16

Kreditvergabe (Zeit 0) – Abbildung in der „Bilanz“

Unter-nehmens-

wert

V

Eigen-kapital

Aktiva Passiva

vorher nachher

• Der Unternehmenswert bleibt unverändert

• Die Anteilseigner erwarten eine Ausgleichszahlung für ihren Wertverlust

Eigen-kapital

ohnebeschränkte

Haftung

Fremd-kapital

Pt


B 17

Interpretation der Kreditrisikoprämie

• Bei der Kreditvergabe (zur Zeit t = 0)

• Die Prämie ergibt sich aus der Ausgleichszahlung (= dem Wert des zukünftigen Fremdkapitals) und der versprochenen Rückzahlung B

• Je unsicherer die Rückzahlung, desto geringer der Wert des Fremdkapitals und desto höher die geforderte Verzinsung

• Während der Laufzeit

• Steigende Kreditrisikoprämie ist schlecht für das FK

• Grund: Die Höhe der versprochenen Zahlung B hat sich nicht geändert. Sie ist nur unsicherer geworden, was den heutigen FK-Wert gemindert hat. Dadurch ist rechnerisch die „Prämie“ gestiegen.

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