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Die Newton’schenAxiome 4

Das erste Newton’sche Axiom setztdie Beschleunigung eines K�rpersmit seiner Masse und den auf denK�rper wirkenden Kr�ften in Bezie-hung. Hier beschleunigt ein Flug-zeug auf der Startbahn beim Start.

?Wie k�nnten Sie als Passagiermit Hilfe der Newton’schen Axiomedie Beschleunigung des Flugzeugsabsch�tzen? (Siehe Beispiel 4.8.)

4.1 Das erste Newton’sche Axiom: Das Tr�gheitsgesetz

4.2 Kraft, Masse und das zweite Newton’sche Axiom

4.3 Die Gewichtskraft

4.4 Die Naturkr�fte

4.5 Kr�ftediagramme und ihre Anwendung

4.6 Das dritte Newton’sche Axiom

4.7 Aufgabenstellungen mit zwei und mehr K�rpern

Nachdem wir behandelt haben, wie sich Kˆrper in einer, zwei oder dreiDimensionen bewegen, kˆnnen wir die Frage aufwerfen: πWarum begin-nen sich Kˆrper eigentlich zu bewegen?™ Warum wird ein bewegter Kˆr-per beschleunigt und warum ‰ndert er seine Richtung?

Die klassische Mechanik untersucht die Kr‰fte, die Kˆrper auf-einander aus¸ben, und erkl‰rt auch Bewegungs‰nderungen¸ber die Kr‰fte, die auf einen Kˆrper wirken. Sie beschreibtdie Erscheinungen mit den drei Newton×schen Axiomen derBewegung. Nat¸rlich hat jeder eine intuitive Vorstellung voneiner Kraft als Ziehen oder Dr¸cken, etwa bei Muskeln, Gum-mib‰ndern oder Federn. Erst die Newton×schen Axiome erlau-ben aber, unsere Vorstellung ¸ber Kr‰fte zu pr‰zisieren.

�In diesem Kapitel beschreiben wir die drei Newton×schenAxiome der Bewegung. Au˚erdem sind verschiedene Beispieleenthalten, die zeigen, wie mit ihrer Hilfe Aufgaben mit unbe-wegten und bewegten Kˆrpern gelˆst werden kˆnnen.

Eine heute verwendete Formulierung der Newton×schenAxiome lautet:

Ein Kˆrper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit kon-stanter Geschwindigkeit weiter, wenn keine resultierende‰u˚ere Kraft auf ihn wirkt.

Erstes Newton’sches Axiom (Tr�gheitsgesetz)

Ein Kˆrper wird in Richtung der resultierenden ‰u˚erenKraft beschleunigt, die auf ihn wirkt. Die Beschleunigungist gem‰˚ Fges=ma proportional zur resultierenden‰u˚eren Kraft Fges, wobeim die Masse des Kˆrpers ist. Dieresultierende ‰u˚ere Kraft auf einen Kˆrper ist die Vek-torsumme aller Kr‰fte, die auf ihn wirken, Fges ¼

PF.

Somit giltX

F ¼ m a: ð4:1Þ

Zweites Newton’sches Axiom (Aktionsprinzip)

Kr‰fte treten immer paarweise auf. Wenn der Kˆrper Aeine Kraft FðAÞ

B auf den Kˆrper B aus¸bt, wirkt eine gleichgro˚e, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft FðBÞ

A von demKˆrper B auf den Kˆrper A. Somit gilt

FAðBÞ ¼ �FBðAÞ: ð4:2Þ

Drittes Newton’sches Axiom (Reaktionsprinzip)

4.1 Das erste Newton’sche Axiom: DasTr�gheitsgesetz

Sto˚en Sie einen Eisw¸rfel auf der Theke an. Er wird zun‰chstein St¸ck gleiten und bleibt schlie˚lich liegen. Wenn die Thekenass ist, wird er weiter gleiten, bevor er liegen bleibt. Ein St¸ck-chenTrockeneis (gefrorenesKohlendioxid), das quasi auf einemKissen ausKohlendioxiddampf schwebt, gleitet vielweiter, ohnedass sich seine Geschwindigkeit wesentlich ‰ndert. Vor Galileiglaubte man, dass st‰ndig eine Kraft, ein Zug oder Druck, vor-handen sein muss, damit sich ein Kˆrper mit konstanterGeschwindigkeit weiterbewegen kann. Galilei und sp‰ter New-ton erkannten dagegen, dass das aus dem Alltag bekannteAbbremsen vonKˆrpern auf dieReibungskraft zur¸ckzuf¸hrenist. Wird die Reibung verringert, nimmt gleichzeitig die Brems-wirkung ab. Ein Wasserfilm oder ein Kissen aus Gas verringertdie Reibung besonders wirksam und ermˆglicht, dass Kˆrperohne gro˚e Geschwindigkeits‰nderung ¸ber gro˚e Strecken

gleiten kˆnnen. Galilei folgerte daraus, dass sich die Geschwin-digkeit eines Kˆrpers nie ‰ndern w¸rde, wennman ihn von allen‰u˚eren Kr‰ften einschlie˚lich der Reibung befreien w¸rde.Diese Eigenschaft der Materie beschrieb er als Tr‰gheit. Des-halb wird diese Aussage, die Newton sp‰ter als erstes Newton×-sches Axiom umformulierte, auch das Tr‰gheitsgesetz genannt.

InertialsystemeDas erste Newton×sche Axiom kennt keinen Unterschied zwi-schen einem ruhenden Kˆrper und einem Kˆrper, der sich mitkonstanter, aber von null verschiedener Geschwindigkeitbewegt. Ob ein Kˆrper in Ruhe bleibt oder sichmit unver‰nder-licher Geschwindigkeit weiterbewegt, h‰ngt vomBezugssystemab, von dem aus der Kˆrper betrachtet wird. Stellen Sie sich vor,Sie sind ein Passagier in einemFlugzeug, das in einer konstantenHˆhe geradeaus fliegt. Sie legen vorsichtig eine kleineKugel aufihren (horizontalen) Klapptisch. Solange das Flugzeug gegen-¸ber dem Boden mit konstanter Geschwindigkeit fliegt, bleibtdie Kugel relativ zum Flugzeug in Ruhe. Relativ zum Bodenbewegt sich die Kugel mit derselben Geschwindigkeit wie dasFlugzeug.

Wir wollen nun annehmen, dass der Pilot den Schub verst‰rktund das Flugzeug plˆtzlich (relativ zum Boden) beschleunigt.Sie werden dann beobachten, dass die Kugel nach hinten zu rol-lenbeginnt, also relativ zumFlugzeugbeschleunigtwird, obwohlkeine horizontale Kraft auf sie wirkt.

Ein Bezugssystem, das mit dem gleichfˆrmig bewegten Flug-zeug verbunden ist, nennt man ein Inertialsystem. Ein Bezugs-system, das relativ zu einem solchen Inertialsystem beschleunigtwird, ist selbst kein Inertialsystem.Das erste Newton×sche Axiomgibt uns also ein Kriterium in die Hand, mit dem wir bestimmenkˆnnen, ob ein Bezugssystem ein Inertialsystem ist. Ja, es istdurchaus sinnvoll, das erste Newton×sche Axiom als Definitionvon Inertialsystemen zu betrachten.

Jedes Bezugssystem, in dem sich ein kr‰ftefreier Kˆrpergeradlinig gleichfˆrmig bewegt, ist ein Inertialsystem.

Definition eines Inertialsystems

Durch das Luftkissen unter dem Luftkissenboot wird dessen Reibungstark verringert.

76 > > > 4 DIE NEWTON’SCHEN AXIOME

Sowohl das mit konstanter Geschwindigkeit fliegende Flugzeugals auch der Boden sind in guter N‰herung Inertialsysteme.Auch jedes andere Bezugssystem, das sich mit konstanterGeschwindigkeit gegen¸ber einem Inertialsystem bewegt, istselbst ein Inertialsystem.

Ein Bezugssystem, das auf der Erdoberfl‰che befestigt ist, istgenau genommen kein Inertialsystem, da hier zwei ± wennauch kleine ± Beschleunigungen wirken: die Beschleunigungder Erdoberfl‰che durch die Erdrotation und die Beschleuni-gung derErde selbst auf ihremUmlauf umdie Sonne.Allerdingsliegen diese beiden Beschleunigungen in der Grˆ˚enordnungvon 0,01 m/s2 oder darunter. Somit ist jedes an der Erdoberfl‰-che befestigte Bezugssystem in guter N‰herung ein Inertial-system.

DasKonzept des Inertialsystems ist von zentralerBedeutung, dadas erste, zweite und dritte Newton×sche Axiom ausschlie˚lich inInertialsystemen gelten.

4.2 Kraft, Masse und das zweiteNewton’sche Axiom

Das erste und das zweite Newton×sche Axiom kˆnnen als Defi-nition der Kraft betrachtet werden. Eine Kraft ist ein ‰u˚ererEinfluss auf einen Kˆrper, der veranlasst, dass der Kˆrper rela-tiv zu einem Inertialsystem beschleunigt wird. (Dabei haben wirangenommen, dass keine weiteren Kr‰fte wirken.) Die Kraftund die durch sie hervorgerufene Beschleunigung haben die-selbe Richtung. Der Betrag der Kraft ist das Produkt aus derMasse des beschleunigten Kˆrpers und dem Betrag derBeschleunigung. Diese Definition beruht auf Gleichung 4.1.

Kr‰fte kˆnnen ¸ber die Dehnung gleicher Gummib‰nder ver-glichen werden. Werden etwa zwei gleiche Gummib‰nder umdie gleiche L‰nge gedehnt, haben die auf sie wirkenden Kr‰fteden gleichen Betrag.

Kˆrper besitzen einen inneren Widerstand gegen jegliche Artvon Beschleunigung. Vergleichen Sie den Widerstand, wennSie mit dem Fu˚ einen Fu˚ball oder eine Kegelkugel zubeschleunigen versuchen. Ihre blauen Fu˚spitzen werden Sieschnell lehren, dass die Kegelkugel wesentlich schwerer als derFu˚ball zu beschleunigen ist. Diese innere Eigenschaft des Kˆr-pers wird dieMasse genannt. Sie ist einMa˚ f¸r die Tr‰gheit desKˆrpers. Das Verh‰ltnis zweier Massen l‰sst sich quantitativdadurch definieren, dass man auf beide Kˆrper die gleicheKraft anwendet und ihre Beschleunigungen vergleicht. ErzeugteineKraftFbeiAnwendung auf einenKˆrper derMassem1 eineBeschleunigung a1, w‰hrend die gleiche Kraft bei Anwendungauf einen Kˆrper der Masse m2 die Beschleunigung a2 liefert,ist das Verh‰ltnis ihrer Massen durch

m2

m1¼ a1

a2ð4:3Þ

Definition der Masse

definiert. Diese Definition stimmt mit unserer intuitiven Vor-stellung von der Masse ¸berein. Wenn auf zwei verschiedeneKˆrper eine Kraft angewendet wird, wird der Kˆrper mit dergrˆ˚eren Masse weniger beschleunigt. Das Experiment zeigt:DasVerh‰ltnis derBeschleunigungen a1/a2, das die beiden gleich

gro˚en Kr‰fte hervorrufen, die auf die zwei Kˆrper wirken, istunabh‰ngig von Betrag, Richtung und Art der Kraft. DieMasse ist eine innereEigenschaft einesKˆrpers, die unabh‰ngigvon seinem Ort ist ± sie ist immer gleich, unabh‰ngig davon ob,sich der Kˆrper auf der Erde oder auf demMond befindet odergar frei im Weltraum schwebt.

WenneindirekterVergleich ergibt, dassm2/m1=2undm3/m1=4ist, besitzt m3 die doppelte Masse von m2. Damit l‰sst sich eineMassenskala definieren, indem man einen Standardkˆrper aus-w‰hlt und ihm eineMasse von einerEinheit zuweist.Wie bereitsin Kapitel 1 erw‰hnt wurde, ist der als internationaler Masse-standard festgelegte Kˆrper ein Zylinder aus einer Platin-Iri-dium-Legierung, der sorgsam beh¸tet im Internationalen B¸rof¸r Ma˚e und Gewichte in Se¡vres in Frankreich aufbewahrtwird. Die Masse dieses Urkilogramms betr‰gt 1 Kilogramm(kg), die SI-Einheit der Masse. Die Kraft, die man aufwendenmuss, um ihn mit 1 m/s2 zu beschleunigen, ist als 1 Newton (N)definiert. Dementsprechend werden 2 N benˆtigt, um diesenKˆrper mit 2 m/s2 zu beschleunigen usw. In den Beispielen 4.1bis 4.3 werden die Kr‰fte und ihre Beziehungen zu Masse,Beschleunigung und Geschwindigkeit betrachtet.

Experimentell l‰sst sich zeigen, dass zwei oder mehr Kr‰fte, dieauf einen Kˆrper wirken, diesen so beschleunigen, als ob nureine einzige Kraft auf ihn wirken w¸rde, die gleich der Vektor-summe aller Teilkr‰fte ist. Kr‰fte werden also wie Vektorenaddiert. Somit ergibt sich f¸r das zweite Newton×sche Axiom

XF ¼Fges ¼ ma:

y

F

x

Durch die im Bild nicht sichtbare R¸cksto˚d¸se bewegt sich derAstronaut nach rechts.

4.2 KRAFT, MASSE UND DAS ZWEITE NEWTON’SCHE AXIOM < < < 77

BEISPIEL 4.1: Ein gleitender EiscremekartonEine gegebene Kraft erzeugt bei Anwendung auf die Standardmasse m1=1 kg eine Beschleunigung von 5 m/s2. Wenn diegleiche Kraft auf einen Eiscremekarton mit der Masse m2 angewendet wird, erf�hrt dieser eine Beschleunigung von 11 m/s2.Beide sollen auf einer glatten Unterlage gleiten. a) Wie groß ist die Masse des Eiscremekartons? b) Wie groß ist die Kraft?

Problembeschreibung: Wenden Sie die FormelP

F ¼ m a auf jeden der Kˆrper an und berechnen Sie aus beidenGleichungen die Masse des Eiscremekartons und den Betrag der Kraft.

L#sung:

Teilaufgabe a1. Wenden Sie auf beide Kˆrper

PF ¼ m a an. In diesem

Fall wirkt auf jeden Kˆrper nur eine Kraft:F1 ¼ m1 a1 und F2 ¼ m2 a2

2. Das Verh‰ltnis der Massen ist bei Einwirkung gleichstarker Kr‰fte umgekehrt proportional zum Verh‰ltnis derBeschleunigungen:

F1 ¼ F2 ¼ F; also m1 a1 ¼ m2 a2

und

m2

m1¼ a1

a2¼ 5 m � s�211 m � s�2

3. Stellen Sie nach m2 um und setzen Sie f¸r m1 1 kg ein: m2 ¼511

m1 ¼511

ð1 kgÞ ¼ 0,4 kg

Teilaufgabe bDer Betrag der Kraft F kann aus Masse und Beschleunigungeines der beiden Kˆrper ermittelt werden:

F ¼ m1 a1 ¼ ð1 kgÞ ð5 m � s�2Þ ¼ 5N

&BUNG: Eine Kraft von 3 N bewirkt bei Anwendung auf einen Kˆrper unbekannter Masse eine Beschleunigung von 2 m/s2.a) Wie gro˚ ist die Masse des Kˆrpers? b) Wie gro˚ ist die Beschleunigung, wenn man die Kraft auf 4 N erhˆht? (Lˆsung:a) 1,5 kg, b) 2,67 m/s2.)

BEISPIEL 4.2: WeltraumspaziergangBei einem Weltraumspaziergang hat ein Astronaut den Halt am Raumschiff verloren und schwebt nun in einigem Abstanddavon im Weltall. GlDcklicherweise hat er eine RDckstoßdDse, die 3 s lang eine konstante Kraft F liefert. Nach den 3 s hat ersich 2,25 m auf das Raumschiff zu bewegt. Seine Masse ist 68 kg. Gesucht ist die Kraft F.

Problembeschreibung: Die Kraft, die auf den Astro-nauten wirkt, ist konstant. Damit ist auch seineBeschleunigung a konstant, so dass wir die kinematischenGleichungen aus Kapitel 2 heranziehen kˆnnen, um a unddaraus ¸ber

PF ¼ m a die Kraft zu berechnen. Legen Sie

F entlang der x-Achse, so dass F=Fx √x ist (Abbildung 4.1).Die Komponente parallel zur x-Achse aus dem zweitenNewton×schen Axiom ist dann Fx=m ax.

L#sung:1. Wenden Sie

PF ¼ m a als Beziehung zwischen der

Gesamtkraft, der Masse und der Beschleunigung an:Fx = m ax

2. Berechnen Sie aus Gleichung 2.15 mit u0=0 dieBeschleunigung:

Dx ¼ u0 t þ 12 ax t2 ¼ 1

2 ax t2

ax ¼2Dx

t2¼ 2 � ð2,25mÞ

ð3 sÞ2¼ 0; 500 m � s�2

3. Setzen Sie ax=0,500 m¥s�2 und m=68 kg ein, um dieKraft zu ermitteln:

Fx ¼ m ax ¼ 68 kg � 0; 500 m � s�2 ¼ 34,0N

F

y

x

4.1


4.3 Die Gewichtskraft

L‰sst man einen Kˆrper in der N‰he der Erdoberfl‰che fallen,wird er durch die Gravitationsbeschleunigung nach unten, zumErdmittelpunkt hin beschleunigt. Vernachl‰ssigt man dabeiden Luftwiderstand, ist diese Beschleunigung f¸r alle Kˆrperund an jedem Ort gleich. Sein Betrag hat den durch die Fallbe-schleunigungskonstante G gegebenen Wert. Die Kraft, diediese Gravitationsbeschleunigung erzeugt, ist die Gewichts-kraft, umgangssprachlich auch Gewicht genannt. Allerdings istdie letztere Bezeichnung f¸r die Gewichtskraft etwas ungl¸ck-lich, verleitet sie doch zu der Annahme, dass das Gewicht wiedie Masse eine Eigenschaft des Kˆrpers sei und nicht eineKraft, die auf ihn wirkt. Wenn der Begriff πGewicht eines Kˆr-pers™ auftaucht, sollte man ihn also immer in Gedanken inπauf den Kˆrper wirkende Gewichtskraft™ ¸bersetzen.

Wenn diese Gewichtskraft FG die einzigeKraft ist, die auf einenKˆrper wirkt, sagt man, dieser Kˆrper sei im freien Fall. Nachdem zweiten Newton×schen Axiom

PF ¼ m að Þ ist die

Gewichtskraft FG durch

FG ¼ m aG ð4:4Þ

Die Gewichtskraft

definiert, wobeim die Masse des Kˆrpers und aG die Gravitati-onsbeschleunigung ist. Da aG f¸r alle Kˆrper gleich ist, ist dieGewichtskraft eines Kˆrpers proportional zu seiner Masse.DerVektoraG ist deshalb gleich derKraft, die dieErdeproMas-seeinheit auf einen Kˆrper aus¸bt und mithin gleich derBeschleunigung beim freien Fall.

BEISPIEL 4.3: Ein Teilchen unter der Einwirkung zweier Kr/fteEin Teilchen der Masse 0,4 kg ist gleichzeitig zwei Kr�ften F1= (�2 x�4 y) N und F2= (�2,6 x+ 5 y) N ausgesetzt. DasTeilchen soll zun�chst am Koordinatenursprung ruhen und ab t=0 beschleunigt werden. Gesucht sind a) sein Ortsvektor rund b) seine Geschwindigkeit u zum Zeitpunkt t=1,6 s.

ZUR &BUNG

Problembeschreibung: Da F1 und F2 konstant sind, ist auch die Beschleunigung des Teilchens konstant. Somit kˆnnen wirdie kinematischen Gleichungen aus Kapitel 2 verwenden, um den Ort des Teilchens und seine Geschwindigkeit als Funk-tionen der Zeit zu ermitteln.

L#sung:

Decken Sie zun‰chst die rechte Spalte ab und versuchen Sie jeweils, die Ergebnisse selbst zu ermitteln.

SchritteErgebnisse

Teilaufgabe a1. Schreiben Sie die allgemeine Gleichung f¸r den Orts-vektor r als Funktion der Zeit t f¸r eine konstanteBeschleunigung a in Abh‰ngigkeit von r0, u0 und a auf.Setzen Sie r0=u0=0.

r ¼ r0 þ u0 t þ 12 a t2 ¼ 1

2 a t2

2. Dr¸cken Sie die Beschleunigung a ¸berP

F ¼ m a durchdie resultierende Kraft

PF und die Masse m aus.

a ¼P

Fm

3. Berechnen Sie aus den gegebenen Kr‰ftenP

F.P

F ¼ F1 þ F2 ¼ ð�4;6 √x þ 1;0 √yÞN

4. Ermitteln Sie den Beschleunigungsvektor a. a ¼P

Fm

¼ ð�11;5 √x þ 2;5 √yÞ m � s�2

5. Ermitteln Sie den Ortsvektor r in Abh‰ngigkeit von t. r ¼ 12 a t2 ¼ 1

2 ax t2 √x þ 12 ay t2 √y

¼ ð�5;75 t2 √x þ 1;25 t2 √yÞ m � s�2

6. Berechnen Sie r bei t=1,6 s. r ¼ ð�14;7 √x þ 3;20 √yÞm

Teilaufgabe bSchreiben Sie den Geschwindigkeitsvektor u in Abh‰ngig-keit von der Beschleunigung und von der Zeit auf undberechnen Sie seine Komponenten f¸r den Zeitpunkt t=1,6 s.

u ¼ a t ¼ ½ð�11;5 √x þ 2;5 √yÞ m � s�2� t

¼ ð�18;4 √x þ 4;00 √yÞ m � s�1

4.3 DIE GEWICHTSKRAFT < < < 79

In der N‰he der Erdoberfl‰che hat aG den Wert

jaGj ¼ g ¼ 9,81 N � kg�1 ¼ 9;81m � s�2:

GenaueMessungen haben gezeigt, dass sich derWert von aG anverschiedenen Orten etwas unterscheidet. aG nimmt mit wach-sendem Abstand zur Erdoberfl‰che ab ± und zwar umgekehrtproportional zum Quadrat des Abstands vom Erdmittelpunkt.Das hei˚t, ein und derselbe Kˆrper wiegt in gro˚er Hˆheetwas weniger als in Hˆhe des Meeresspiegels. Da die Erdenicht genau eine Kugel, sondern zu den Polen hin abgeflachtist, h‰ngt aG zudem etwas von der geografischen Breite ab.

!Somit ist das Gewicht bzw. die Gewichtskraft im Gegensatz zurMasse keine innere Eigenschaft eines Kˆrpers. Obwohl sich dieGewichtskraft eines Kˆrpers also aufgrund der ænderung vonaG mit dem Ort ‰ndern kann, ist diese ænderung so klein, dasssie bei denmeisten praktischenAnwendungen auf der Erdober-fl‰che oder in deren N‰he nicht wahrgenommen wird.

Ein Beispiel soll den Unterschied zwischen Masse undGewichtskraft verdeutlichen. Stellen Sie sich vor, Sie nehmeneine schwere Kegelkugel mit auf den Mond. Die Gewichtskraftder Kugel erreicht auf dem Mond nur ein Sechstel ihrerGewichtskraft auf der Erde ± die Kugel l‰sst sich auf demMond viel einfacher hochheben. Um die Kugel allerdings miteiner bestimmten Geschwindigkeit in horizontaler Richtungzu werfen, ist auf dem Mond dieselbe Kraft erforderlich wieauf der Erde, da ja die Masse der Kugel konstant ist. Dement-sprechend w‰re nat¸rlich auch im Weltraum, weitab von derGravitation der Erde oder des Monds, f¸r dieselbe horizontaleBeschleunigung dieselbe Kraft erforderlich.

Obwohl dieGewichtskraft auf einenKˆrper ortsabh‰ngig ist, istsie f¸r jeden einzelnen Ort proportional zur Masse des Kˆrpers.Damit kˆnnen wir die Massen verschiedener Kˆrper verglei-chen, indem wir ihre Gewichtskr‰fte vergleichen.

Wennwir unsere eigeneGewichtskraft wahrnehmen, beruht dasmeist auf Kr‰ften, die mit der Gewichtskraft im Gleichgewichtsind. Wenn Sie auf einem Stuhl sitzen, sp¸ren Sie die Kraft,die der Stuhl aus¸bt und die mit Ihrer Gewichtskraft im Gleich-gewicht ist, so dass Sie nicht zu Boden fallen.Wenn Sie auf einerPersonenwaage stehen, sp¸ren Ihre F¸˚e die Kraft, die dieWaage auf Sie aus¸bt. Die Waage ist so geeicht, dass sie dieGegenkraft anzeigt, die sie aufbringenmuss, IhreGewichtskraftzu kompensieren. Diese Kraft wird auch scheinbare Gewichts-kraft genannt. Wenn wie etwa beim freien Fall keine Kraft vor-handen ist, die der Gewichtskraft entgegenwirkt ist, ist diescheinbareGewichtskraft null. Diesen Zustand, die so genannteSchwerelosigkeit, erfahren Astronauten in ihren Raumschiffen.Stellen Sie sich einRaumschiff vor, das sich auf einer kreisfˆrmi-gen Erdumlaufbahn bewegt und somit st‰ndig zur Erdebeschleunigt wird. Die einzige Kraft, die auf das Raumschiffwirkt, ist die Erdanziehung (sein Gewicht), so dass es frei f‰llt.Auch die Astronauten in dem Raumschiff sind im freien Fall.Die einzige Kraft, die auf sie wirkt, ist ihre Gewichtskraft, dief¸r die Beschleunigung aG verantwortlich ist. Da es unter diesenBedingungen keineKraft gibt, die den freien Fall in derUmlauf-bahn aufh‰lt, ist die scheinbare Gewichtskraft der Astronautennull.

Die Maßeinheiten von Kraft und MasseDie SI-Einheit der Masse, das Kilogramm, ist neben derSekundeunddemMeter die dritte SI-Grundeinheit.DieEinheitder Kraft, das Newton, und die Einheiten f¸r weitere Grˆ˚enwie den Impuls und die Energie, die wir sp‰ter kennen lernenwerden, sind von diesen drei Grundeinheiten abgeleitet.

Wie wir bereits in Abschnitt 4.2 festgestellt hatten, ist das New-ton als die Kraft definiert, die eine Beschleunigung von 1 m/s2

erzeugt, wenn sie auf einen 1 kg schweren Kˆrper wirkt. Daszweite Newton×sche Axiom ergibt dann

1 N¼ ð1 kgÞ � ð1m � s�2Þ ¼ 1 kg � m � s�2: ð4:5Þ

In der Atom- und Kernphysik ist die atomare Masseeinheit (u)recht gebr‰uchlich. Sie ist als ein Zwˆlftel der Masse eines neu-tralen Kohlenstoff-12-Atoms (12C) definiert und kann ¸ber

1 u¼ 1;660540 � 10�27 kg ð4:6Þ

in die Einheit Kilogramm umgerechnet werden. Die Masseeines Wasserstoffatoms betr‰gt etwa 1 u.

4.4 Die Naturkr�fte

Die volle Reichweite des zweiten Newton×schen Axioms zeigtsich erst, wenn es zusammen mit den Gesetzen f¸r die Kr‰ftebetrachtet wird, die die Wechselwirkungen von Kˆrpernbeschreiben.

Dazu gehˆrt beispielsweise das in Kapitel 11 zu besprechendeNewton×sche Gravitationsgesetz, das die Gravitationskraft, dieein Kˆrper auf einen anderen aus¸bt, durch denAbstand beiderKˆrper und durch ihre Massen ausdr¸ckt. Zusammen mit demzweiten Newton×schen Axiom gestattet dieses Gesetz, dieUmlaufbahnen der Planeten um die Sonne, die Bewegung desMonds wie auch die Hˆhenabh‰ngigkeit von aG, der Gravitati-onsbeschleunigung, zu berechnen.

Die Grundkr�fte der NaturAlleKr‰fte, denenwir in derNaturbegegnen, lassen sich auf vierfundamentale Wechselwirkungen zwischen Elementarteilchenzur¸ckf¸hren (Abbildung 4.2).

1. Die Gravitationskraft ist die Kraft der gegenseitigen Anzie-hung zwischen allen Kˆrpern mit Masse.

2. Die elektromagnetische Kraft ist die Kraft zwischen allenKˆrpern mit elektrischer Ladung.

3. Die starke Kernkraft ist die Kraft zwischen bestimmten sub-atomaren Teilchen, den Hadronen.

4. Die schwache Kraft ist die Kraft zwischen subatomaren Teil-chen w‰hrend spezieller radioaktiver Zerfallsprozesse.

Die Kr‰fte, die wir im Alltag bei makroskopischen Kˆrpernbeobachten kˆnnen, werden entweder durch die Gravitations-kraft oder durch die elektromagnetische Kraft hervorgerufen.


FernwirkungDie ersten beidenGrundkr‰fte, die Schwerkraft unddie elektro-magnetischeKraft, wirken zwischen Teilchen, die r‰umlich von-einander getrennt sind. Dies f¸hrt zu einem philosophischenProblem, n‰mlich dem der Fernwirkung oder Wirkung ¸bereine Entfernung hinweg. Newton sah diese Fernwirkung alseinen Mangel seiner Gravitationstheorie an, war aber au˚er-stande, eine andereHypothese¸ber dasWesenderKr‰fte zu for-mulieren.

Heutewird das Problemder Fernwirkung vermieden, indemdasKonzept des Felds eingef¸hrt wird, das als ‹bertr‰ger wirkt.Dabei wird beispielsweise die Anziehung der Erde durch dieSonne in zwei Schritten betrachtet. Zun‰chst erzeugt dieSonne im Raum ein Gravitationsfeld, in dem die Gravitations-beschleunigung aG durch die SonnenanziehungmitwachsendemAbstand zur Sonne abnimmt ±wir kommen darauf inKapitel 11zur¸ck. Dieses Feld ¸bt dann eine Kraft auf die Erde aus. DasFeld spielt also die Rolle des Vermittlers. Auf ‰hnliche Weiseerzeugt die Erde ein Gravitationsfeld, das eine Kraft auf dieSonne aus¸bt. Auch unser Eigengewicht ist eine Kraft, die dasGravitationsfeld auf uns aus¸bt. In den Kapiteln 21 bis 30 ¸berElektrizit‰t und Magnetismus werden wir sowohl elektrischeFelder, die durch alle elektrischen Ladungen entstehen, alsauch magnetische Felder, die nur durch bewegte elektrischeLadungen hervorgerufen werden, kennen lernen.

4.2 a) Die Gravitationskraft zwischen der Erde und einem Kˆrper inder N‰he der Erdoberfl‰che entspricht der Gewichtskraft des Kˆrpers.Die Gravitationskraft, die die Sonne auf die Erde und auf die anderenPlaneten aus¸bt, ist daf¸r verantwortlich, dass die Planeten auf ihrenUmlaufbahnen um die Sonne gehalten werden. æhnlich h‰lt die Gra-vitationskraft, die zwischen Erde und Mond wirkt, den Mond auf sei-ner nahezu kreisfˆrmigen Bahn um die Erde. Die Gravitationskr‰fte,die sowohl vomMond als auch von der Sonne auf die Ozeane der Erdewirken, f¸hren zu den Gezeiten. Das Bild zeigt Mont-Saint-Michel inFrankreich, eine Stadt, die bei Flut zu einer Insel wird. b) Die elek-tromagnetische Kraft umfasst sowohl die elektrische als auch diemagnetische Kraft. Ein vertrautes Beispiel f¸r die elektrische Kraft istdie Anziehung zwischen kleinen Papierschnipseln und einem Kamm,der zuvor durch die Reibung an den Haaren aufgeladen wurde. Auchdie abgebildeten Blitze ¸ber dem Kitt-Peak-Observatorium sind dasErgebnis elektromagnetischer Kr‰fte. c) Die starke Kernkraft trittzwischen bestimmten Elementarteilchen, den Hadronen, auf; dazuz‰hlen beispielsweise die Bestandteile der Atomkerne, die Neutronenund Protonen. Diese Kraft bewirkt, dass die Kerne zusammengehaltenwerden. Sie entsteht durch die Wechselwirkung von Quarks, aus denendie Hadronen aufgebaut sind. Die abgebildete Wasserstoffbombenex-plosion illustriert diese starke Kernkraft. d) Die schwache Kraft trittsowohl zwischen Leptonen (wie Elektronen und Myonen) als auchzwischen Hadronen (wie Protonen und Neutronen) auf. Die Falsch-farben-Nebelkammeraufnahme zeigt die schwache Kraft zwischeneinemMyon aus der kosmischen Strahlung (gr¸n) und einem Elektron,das aus einem Atom herausgeschlagen wird (rot).

4.4 DIE NATURKRGFTE < < < 81

Kontaktkr�fte

Viele uns bekannte Kr‰fte werden von Objekten aufeinanderausge¸bt, die in direktem Kontakt miteinander sind ± sich alsober¸hren. Sie sind eineFolge vonKr‰ften zwischendenOberfl‰-chenmolek¸len der Kˆrper, die im Kontakt sind.

Festk#rper Dr¸ckt man gegen eine Oberfl‰che, so dr¸cktdiese zur¸ck. Betrachten Sie z.B. die Leiter in Abbildung 4.3.An der Kontaktstelle dr¸ckt die Leiter mit einer horizontalenKraft auf die Wand, wobei sich die Molek¸le in der Oberfl‰cheder Wand verschieben. Wie die Federn einer Matratze dr¸ckendadurch die verschobenen Molek¸le der Wand horizontalzur¸ck auf die Leiter. Kr‰fte, die wie diese senkrecht zur Kon-taktfl‰che wirken, werden als Normalkr‰fte bezeichnet (wobeiπNormal-™ in diesem Fall πsenkrecht dazu™ bedeutet). Dasssich dieWand in Folge der Belastung etwas biegt, ist mit blo˚emAuge kaum wahrnehmbar.

Normalkr‰fte treten in den verschiedensten Grˆ˚enordnungenauf. So ¸bt einTisch auf jedendarauf liegendenGegenstand eineNormalkraft aus. Solange der Tisch dabei nicht zerbricht, istdiese Kraft mit der Gewichtskraft des darauf liegendenKˆrpersim Gleichgewicht. Dr¸cken Sie zus‰tzlich noch auf den Kˆrper,erhˆht sich imGegenzug die nach oben gerichteteKraft und ver-hindert damit, dass der Kˆrper nach unten beschleunigt wird.

Kontaktfl‰chen kˆnnen auch Kr‰fte aufeinander aus¸ben, dieparallel zu den Kontaktfl‰chen sind. Betrachten Sie z.B. den inAbbildung 4.4 gezeigten gro˚en Quader auf dem Boden.Wenn man versucht, ihn mit einer kleinen horizontalen Kraftzur Seite zu bewegen, gleitet er ¸berhaupt nicht. Die Boden-oberfl‰che ¸bt eine Kraft auf den Quader auf, die sich dessenBestreben, in Druckrichtung zu gleiten, vollst‰ndig entgegen-stellt. Dagegen wird der Quader zu gleiten beginnen, wenn ermit einer hinreichend starken Kraft zur Seite gedr¸ckt wird.Damit er weitergleitet, muss weiterDruck auf ihn ausge¸bt wer-den. Ist das nicht der Fall, bremst die Reibungskraft die Bewe-gung des Quaders ab, so dass er schlie˚lich ganz zur Ruhekommt. Eine Komponente einer Kontaktkraft, die demGleitenoder der Tendenz zu gleiten entgegenwirkt, wird Reibungskraftgenannt. EineReibungskraft wirkt stets parallel zur Kontaktfl‰-che.

Auch wenn es in den Abbildungen scheinen kˆnnte, als w¸rdenNormalkr‰fte und Reibungskr‰fte nur an einem Punkt angrei-fen, sind sie in der Realit‰t ¸ber die ganze Kontaktfl‰che ver-teilt. Reibungskr‰fte werden ausf¸hrlicher in Kapitel 5 behan-delt.

Federn Die Kraft, die eine um eine kleine L‰nge Dx zusam-mengedr¸ckte oder gedehnte Feder aus¸bt, ergibt sich experi-mentell zu

Fx ¼ �kDx: ð4:7Þ

Das Hooke’sche Gesetz

Dabei ist k die so genannte Federkonstante, ein Ma˚ f¸r dieSteifheit einer Feder (Abbildung 4.5). Das negative Vorzeichenin der Gleichung zeigt, dass diese Kraft in entgegengesetzterRichtung zu der wirkt, in der die Feder gedehnt bzw. zusammen-gedr¸ckt wird. Diese Beziehung, die als das Hooke×sche Gesetzbekannt ist, ist recht bedeutsam: Von einem Kˆrper, der unter

Normal-kraft

4.3 Die Wand h‰lt die Leiter, indem sie auf diese eine senkrecht zurWand gerichtete Normalkraft aus¸bt.

Reibungs-kraft

4.4 Die Reibungskraft, die der Boden auf den Quader aus¸bt,erschwert oder verhindert, dass der Quader gleitet.

x

x = x0

Fx

x

x0

∆ x

x

x0

∆ x

Fx

x0 + ∆ x

x0 – ∆ x

(a)

(b)

(c)

4.5 Eine horizontale Feder. a) Ist die Feder entspannt, erzeugt sieauch keine Kraft auf den Quader. b) Ist die Feder gedehnt, so dass Dxpositiv ist, ¸bt sie eine Kraft Fx = � kDx in negative x-Richtung aus.c) Ist die Feder zusammengedr¸ckt und damit Dx negativ, ¸bt sie eineKraft Fx = � kDx in positive x-Richtung aus.


demEinfluss vonKr‰ften, die sich ausgleichen, imRuhezustandist, sagt man, er sei in einem statischen Gleichgewicht. Wenneine kleine Verschiebung dieses Kˆrpers eine Gesamtkraft zurFolge hat, die wieder in Richtung des Gleichgewichtspunktsweist (eine so genannte R¸ckstellkraft), spricht man voneinem stabilen Gleichgewicht. Betrachtet man lediglich kleineAusschl‰ge, gilt f¸r fast alle derartigen R¸ckstellkr‰fte ± darun-ter auch die in Beispiel 4.4 ± das Hooke×sche Gesetz.

DiemolekularenAnziehungskr‰fte zwischen denAtomen einesMolek¸ls oder Festkˆrpers ‰ndern sich f¸r kleine Verschiebun-gen ann‰hernd linear mit der Abstands‰nderung; die Kraft‰hnelt also der einer Feder. Somit kann man ein zweiatomigesMolek¸l als zwei Massen beiderseits einer Feder modellieren.EinFestkˆrperw‰re dementsprechend eineMenge vonMassen,die durch Federn miteinander verbunden sind (Abbildung 4.6).

Seile und Taue Seile und Taue werden zum Ziehen vonGegenst‰nden verwendet. Man kann sich ein Seil als eineFeder vorstellen, deren Federkonstante so gro˚ ist, dass ihreL‰ngen‰nderung vernachl‰ssigt werden kann. Allerdings sindSeile biegsam, so dass man mit ihnen keine Gegenst‰nde schie-ben kann. Stattdessen biegen sie sich durch. Die Kraft, die einSeilabschnitt auf einen angrenzenden Seilabschnitt aus¸bt,wird Zugspannung genannt. Wenn ein Seil an einem Kˆrperzieht, ist diese Kraft gleich der Zugspannung. Das Konzept derZugspannung in einem Seil oder Tau wird in Abschnitt 4.7 ver-tieft.

Zwangsbedingungen Ein Eisenbahnwagen kann sich nurentlang der Schienen bewegen. EinHolzpony auf demKarussellgeht immer im Kreis. Ein Schlitten auf einem zugefrorenen Seegleitet immer auf einer horizontalen Ebene. Derartige Bedin-gungen an die Bewegung von Kˆrpern werden Zwangsbedin-gungen genannt.

4.5 Kr�ftediagramme und ihreAnwendung

Stellen Sie sich einen Hundeschlitten vor. Der Hund zieht denSchlitten an einer Leine ¸ber das Eis (Abbildung 4.7a). Dabeizieht er mit solcher Kraft, dass dieser beschleunigt wird. Wirkˆnnen uns Schlitten und Leine als eine Einheit vorstellen.Wel-cheKr‰ftewirkendannauf diesen ausSchlitten undLeinebeste-henden Kˆrper?

Sowohl der Hund als auch das Eis ber¸hren den Kˆrper, so dasssowohl der Hund als auch das Eis Kontaktkr‰fte auf ihn aus-¸ben. Weiter wissen wir, dass die Erde eine Gewichtskraft aufden Schlitten und auf die Leine aus¸bt. Somit greifen insgesamt(wenn man die Reibung als vernachl‰ssigbar ansieht) dreiKr‰fte an dem Kˆrper an:

1. die Gewichtskraft des Schlittens und der Leine FG,2. die Kontaktkraft Fn durch das Eis (ohne die Reibung wirktdiese senkrecht zum Eis),

3. die Kontaktkraft F durch den Hund.

Ein Diagramm wie das in Abbildung 4.7b, das schematisch allean einem System angreifenden Kr‰fte zeigt, hei˚t Kr‰ftedia-gramm. Neben den Kr‰ften ist darin nur der Kˆrper, nichtaber dessenUmgebung dargestellt. Um alle Kr‰ftema˚stabsge-recht in das Diagramm einzuzeichnen, muss zun‰chst mit Hilfe

(a)

F

Fn

FG

y

x

(b)

4.7 a) Ein Hund zieht einen Schlitten. Der erste Schritt zur Lˆsungder Aufgabe besteht darin, den zu analysierenden Kˆrper zu isolieren.In diesem Fall zeigt die gestrichelte Ellipse die Grenze zwischen demKˆrper aus Schlitten und Leine und seiner Umgebung an. b) DasKr‰ftediagramm der auf den Schlitten aus Abbildung 4.7a wirkendenKr‰fte.

(a)

(b)

4.6 a) Modell eines Festkˆrpers, der aus Atomen (dargestellt durchKugeln) besteht, die durch Federn miteinander verbunden sind.Offensichtlich m¸ssen diese Federn sehr steif sein (eine gro˚e Feder-konstante besitzen); selbst wenn man ein gro˚es Gewicht auf denFestkˆrper legt, ist die Deformation nicht sichtbar. Allerdings f¸hrtdas Zusammendr¸cken, etwa durch eine Klammer an dem Kunst-stoffblock in b) zu Belastungsmustern, die in polarisiertem Lichtsichtbar sind.

4.5 KRGFTEDIAGRAMME UND IHRE ANWENDUNG < < < 83

BEISPIEL 4.4: Slam Dunk beim BasketballEin 110 kg schwerer Basketballspieler h�ngt nach einem Slam Dunk (Abbildung 4.8) am Rand des Basketballkorbs. Bevor ersich zu Boden fallen l�sst, h�ngt er regungslos am Korbrand, wobei der Vorderrand des Korbs durch das Gewicht 15 cm nachunten gebogen ist. Wir wollen annehmen, dass der Rand durch eine Feder angen�hert werden kann. Berechnen Sie dieFederkonstante k.

Problembeschreibung: Da der Spieler nicht beschleunigtwird, muss die auf ihn wirkende Gesamtkraft ebenfallsnull sein. Die nach oben gerichtete Kraft des Korbrands istmit der Gewichtskraft des Spielers im Gleichgewicht.W‰hlen Sie y=0 als Ausgangsort des Korbrands und legensie die positive y-Richtung nach unten. Dann ist Dypositiv, die y-Komponente der Gewichtskraft Fy=m gpositiv und die vom Korbrand ausge¸bte R¸ckstellkraftFH,y�kDy negativ.

L#sung:Wenden Sie die Formel

PF ¼ m a auf den Spieler an und

stellen Sie nach k um:

PFy ¼ FG;y þ FH; y ¼ m ay

m g+ (�kDy)=may=0

k ¼ m gDy

¼ ð110 kgÞ � ð9,81N � kg�1Þ0,15m

¼ 7;19 � 103 N � m�1

Kommentar: Obwohl der Rand eines Basketballkorbs kaum einer Feder ‰hnlich sieht, sind die meisten Kˆrbe tats‰chlichan einem Gelenk mit einer Feder aufgeh‰ngt, die nachgibt, wenn der Vorderrand des Korbs nach unten gezogen wird, d.h.,die nach oben gerichtete Kraft, die der Rand auf die Hand des Spielers aus¸bt, ist proportional zur Verschiebung des Randsund dieser entgegengerichtet. Beachten Sie, dass wir N/kg als Einheit von g verwendet haben, so dass sich kg wegk¸rzt undN/m als Einheit f¸r k ¸brig bleibt. Wegen 1 N/kg=1 m/s2 kann man f¸r g entweder 9,81 N/kg oder 9,81 m/s2 verwenden, jenachdem, was zweckm‰˚iger ist.

&BUNG: Ein 4-kg-Beutel Bananen h‰ngt ruhig an einer Federwaage mit der Federkonstante k=300 N/m. Wie weit ist dieFeder gedehnt? (Lˆsung: 13,1 cm.)

&BUNG: Eine Feder mit der Federkonstante 400 N/m ist an einem 3-kg-Block befestigt, der auf einer horizontalen Druckluft-unterlage liegt, so dass die Bodenreibung vernachl‰ssigbar klein ist. Wie weit muss die Feder gedehnt werden, um den Blockmit 4 m/s2 zu beschleunigen? (Lˆsung: 3,0 cm.)

&BUNG: Ein Kˆrper der Masse m schwingt am Ende einer idealen Feder mit der Federkonstante k. Die Zeit f¸r eine volleSchwingung ist die Periode T. Wir nehmen an, dass T von m und k abh‰ngt. Ermitteln Sie ¸ber eine Dimensionsanalyse dieForm des Zusammenhangs T= f (m,k). Zahlenkonstanten kˆnnen dabei au˚er Acht gelassen werden. Am einfachsten lˆstman die Aufgabe, indem man die Einheiten betrachtet: k wird in N/m= (kg ¥m/s s)/m=kg/s2 angegeben und die Masse mbesitzt die Einheit kg. (Lˆsung: T ¼ C

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffim=k

p; wobei C eine dimensionslose Konstante ist. Der genaue Ausdruck f¸r die

Periode lautet T ¼ 2pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffim=k

p(vgl. Kapitel 14).)

y

F = −k∆y

FG = g y

4.8


der Kinematik die Richtung des Beschleunigungsvektorsbestimmt werden. Wir wissen, dass sich der Kˆrper mit zuneh-mender Geschwindigkeit nach rechts bewegt. Also zeigt derBeschleunigungsvektor in die Bewegungsrichtung, d.h. nachrechts.Weiter ist zu beachten, dass Fn und FG in demDiagrammdie gleiche L‰nge besitzen. Ihre Betr‰ge m¸ssen gleich sein, dadie Beschleunigung keine vertikale Komponente besitzt. ZurPr¸fung unseresKr‰ftediagramms zeichnenwir einVektoraddi-tionsdiagramm (Abbildung 4.9), das best‰tigt, dass die Summeder Kr‰fte in Richtung des Beschleunigungsvektors wirkt.

Die x-Komponente des zweiten Newton×schen Axioms ergibt

PFx ¼ Fn;xþFG;xþFx ¼ max

0þ 0þF ¼ max

oder

ax ¼Fm:

Die y-Komponente des zweiten Newton×schen Axioms liefert

PFy ¼ Fn;yþFG;yþFy ¼ may

FnþFGþ 0¼ 0

oder

Fn= �FG.

In diesem einfachen Beispiel haben wir zwei Grˆ˚en ermittelt:die horizontale Beschleunigung (ax=F/m) und die vertikale,durch das Eis erzeugte Kraft Fn mit Fn= �FG.

In Beispiel 4.5 wird ein etwas allgemeinerer Fall mit schr‰gerZugkraft betrachtet.

Beispiel 4.5 zeigt ein allgemeinesVerfahren zumLˆsenvonAuf-gaben mit Hilfe der Newton×schen Axiome, das auch in dennachfolgenden Beispielen 4.6 bis 4.9 Anwendung findet.

1. Zeichnen Sie eine ‹bersichtsskizze, die alle wichtigenAngaben der Aufgabe zeigt.

2. Isolieren Sie den zu betrachtenden Kˆrper und zeichnenSie ein Kr‰ftediagrammm, das alle ‰u˚eren Kr‰fte zeigt,die an diesem Kˆrper angreifen. Falls mehrere Kˆrperbetrachtet werden, zeichnen Sie f¸r jeden Kˆrper eineigenes Kr‰ftediagramm. W‰hlen Sie f¸r jeden Kˆrperein zweckm‰˚iges Koordinatensystem und zeichnen Siees in das Kr‰ftediagramm ein. Ist Ihnen die Beschleuni-gungsrichtung bekannt, sollten Sie eine Koordinaten-achse in diese Richtung legen. F¸r Kˆrper, die auf einerOberfl‰che gleiten, sollten Sie eine Koordinatenachseparallel zu dieser Oberfl‰che und die andere senkrechtzu ihr legen.

3. Wenden Sie das zweite Newton×sche AxiomP

F ¼ m a(meist in Komponentenschreibweise) an.

4. Nutzen Sie bei Aufgaben, die zwei oder mehr Kˆrperumfassen, au˚erdem das dritte Newton×scheAxiom FðAÞ

B

¼ �FðBÞA und alle Zwangsbedingungen, um die aus

PF

¼ m a erhaltenen Gleichungen zu vereinfachen.

5. Lˆsen Sie die daraus resultierenden Gleichungen f¸r dieUnbekannten.

6. ‹berpr¸fen Sie Ihre Ergebnisse auf korrekte Ma˚ein-heiten und Plausibilit‰t. Das probeweise Einsetzen vonGrenzwerten in die Lˆsungen ist eine gute Mˆglichkeit,um Fehler zu erkennen.

Zum L'sen von Aufgaben mit den Newton’schen Axiomen

Unser n‰chstes Beispiel zeigt die Anwendung des zweiten New-ton×schenAxioms auf Kˆrper in F‰llen, in denen nicht aufgrundbekannter Kr‰fte die Beschleunigung gesucht wird, sondern indenen bei bekannter Beschleunigung nach der Kraft gefragt ist.

F

Fn

a

FG

4.9 Die Vektoraddition aller Kr‰fte ergibt die Richtung derGesamtkraft, die mit der Richtung der Beschleunigung ¸bereinstimmt.


BEISPIEL 4.5: SchlittenrennenBei einem Schlittenrennen sollen Studenten die Schlitten ziehen. Dabei tragen sie Schuhe mit Spikes, die besser am Bodenhaften. Beim Start des Rennens zieht ein Student den Schlitten mit einer Kraft von 150 N unter einem Winkel von 258 gegendie Horizontale an der Leine. Die Masse des aus Schlitten und Leine bestehenden K�rpers betr�gt 80 kg. Seine Reibung amBoden kann vernachl�ssigt werden. Gesucht sind a) die Beschleunigung des Schlittens und b) die Normalkraft Fn, die derBoden auf den Schlitten ausDbt.

Problembeschreibung:

Auf den Kˆrper wirken drei Kr‰fte: seine nach untengerichtete Gewichtskraft FG, die nach oben gerichteteNormalkraft Fn sowie die unter einem Winkel von 258nach oben gerichtete Kraft F, mit der der Student am Seilzieht. Da diese Kr‰fte nicht alle gleich gerichtet sind,wenden wir das zweite Newton×sche Axiom getrennt aufdie x- und auf die y-Richtung an.

L#sung:

Teilaufgabe a1. Zeichnen Sie ein Kr‰ftediagramm f¸r den Schlitten unddie Leine (Abbildung 4.10b). Vergessen Sie dabei nicht, einKoordinatensystem einzuzeichnen, dessen eine Achse inRichtung der Beschleunigung des Schlittens zeigt. Da sichder Schlitten mit zunehmender Geschwindigkeit nach rechtsbewegt, muss auch die Beschleunigung in dieser Richtungwirken.

2. Anmerkung: Addieren Sie die Vektoren in einem Kr‰fte-diagramm (Abbildung 4.11), um zu sehen, ob ihre Summe inRichtung der Beschleunigung zeigt.

3. Wenden Sie das zweite Newton×sche Axiom auf denSchlitten und die Leine an. Schreiben Sie dazu die Formelsowohl in Vektor- als auch in Komponentenschreibweise auf:

Fn+FG+F=ma

oder

Fn,x+FG,x+Fx=max

Fn,y+FG,y+Fy=may

4. Schreiben Sie die x-Komponenten von Fn, FG und F auf: Fn;x ¼ 0; FG;x ¼ 0 und Fx ¼ jFj cosq

5. Setzen Sie die Ergebnisse aus Schritt 4 in die Gleichungf¸r die x-Komponente aus Schritt 3 ein. Stellen Sieanschlie˚end nach der Beschleunigung ax um:

0+0+ jF j cosq=m ax

ax ¼jFj cosq

m¼ ð150NÞ � cos 25

80 kg¼ 1; 70 m � s�2

Teilaufgabe b1. Schreiben Sie die y-Komponente von a auf: ay=0

2. Schreiben Sie die y-Komponenten von Fn, FG und F auf: Fn;y ¼ Fn; FG;y ¼ �m g und Fy ¼ jFj sin q

3. Setzen Sie die Ergebnisse aus den Schritten 1 und 2 derTeilaufgabe b in die Gleichung f¸r die y-Komponente ausSchritt 3 der Teilaufgabe a ein. Stellen Sie anschlie˚end nachder Beschleunigung Fn um:

PFy ¼ Fn � m g þ jFj sin q ¼ 0

Fn ¼ m g � jFj sin q

¼ ð80 kgÞ � ð9,81N �kg�1Þ � ð150NÞ � sin 25

¼ 721N

F

Fn

θ

FG

(a)

FFn

y

x

θ

(b)

FG

4.10

F

Fn

ma

FG

4.11


Kommentar: Beachten Sie, dass nur die horizontale Komponente von F, d.h. jF j cosq, zur Beschleunigung des Kˆrpersbeitr‰gt. Au˚erdem tr‰gt das Eis in diesem Beispiel nicht das gesamte Gewicht des Kˆrpers, da ein Teil davon ( jF j sinq)bereits von der Leine gehalten wird.

!Plausibilit/tspr9fung: Wenn q=0 ist, wird der Kˆrper durch die gesamte Kraft F beschleunigt. Dann sollte das Eis auchdas gesamte Gewicht des Kˆrpers tragen. Dies stimmt mit unseren Ergebnissen ¸berein, die in diesem Fall ax=F/m undFn ¼ m g ergeben.

&BUNG: Welche maximale Kraft kann bei q=258 an der Leine ziehen, ohne dass sich der Schlitten vom Boden ablˆst?(Lˆsung: F=1,86 kN.)

BEISPIEL 4.6: Entladen eines LKWStellen Sie sich vor, Sie arbeiten bei einer Speditionsfirma und mDssen mit einer Entladerampe (Abbildung 4.12) ein großesPaket mit zerbrechlichen GDtern aus Ihrem LKW ausladen. Die Rampe ist 1 m hoch und besitzt Rollen, so dass sie nahezureibungsfrei ist. Sie ist mit einem Winkel q gegen die Horizontale aufgestellt. Wenn die senkrechte Geschwindigkeitskom-ponente des Pakets beim Auftreffen auf den Boden am Ende der Rampe gr�ßer als 2,5 m/s ist (was einem Fall aus 30 cmH�he entspricht), zerbricht die empfindliche Fracht. Wie groß darf der Winkel q maximal sein, um eine Besch�digung desPakets auszuschließen?

IM KONTEXT

Problembeschreibung: Auf das Paket wirken zweiKr‰fte, seine Gewichtskraft FG und die Normalkraft Fn.Da die beiden Kr‰fte nicht in eine Richtung zeigen, kannihre Summe nicht null sein. Somit gibt es eine resultie-rende Kraft, die das Paket die Rampe hinab beschleunigt.Die Rampe stellt eine Zwangsbedingung dar, aufgrundderer sich das Paket nur auf ihrer Oberfl‰che bewegenkann. Aus diesem Grund legen wir die x-Richtung auf derRampenoberfl‰che so, dass sie nach unten zeigt. ZurBestimmung der Beschleunigung wenden wir das zweiteNewton×sche Axiom auf das Paket an. Ist die Beschleu-nigung bekannt, kann mit Hilfe der Kinematik der maxi-male gefahrlose Winkel bestimmt werden.

L#sung:1. Schreiben Sie den Zusammenhang zwischen der nachunten gerichteten, senkrechten Geschwindigkeitskompo-nente us des Pakets und dessen Geschwindigkeit u entlangder Rampe auf:

us=u sinq

2. Die Geschwindigkeit u h‰ngt mit der Verschiebung Dxentlang der Rampe ¸ber folgende kinematische Gleichungzusammen:

u2 ¼ u20 þ 2 ax Dx

θ

h

4.12


3. Um ax zu ermitteln, wenden wir das zweite Newton×scheAxiom (

PFx ¼ m ax) auf das Paket an. Dazu zeichnen wir

zuerst ein Kr‰ftediagramm (Abbildung 4.13). Auf das Paketwirken zwei Kr‰fte: die Gewichtskraft und die Normalkraft.Wir w‰hlen die Beschleunigungsrichtung, die entlang derRampe nach unten zeigt, als positive x-Richtung.

Anmerkung: Wie das Kr‰ftediagramm zeigt, ist der Winkelzwischen der Gewichtskraft FG und der negativen y-Achsegleich dem Winkel q zwischen der Rampenebene und demBoden. Man sieht au˚erdem, dass FG,x= jFG j sinq ist.

4. Anwendung des zweiten Newton×schen Axioms ergibt:

Anmerkung: F n ist senkrecht zur x-Achse und jFG j=mg.

Fn,x+FG,x=m ax

wobei

Fn;x ¼ 0 und FG;x ¼ jFGj sin q ¼ m g sin q

5. Einsetzen und Umstellen nach der Beschleunigung ergibt: 0+mg sinq=max

und somit

ax=g sinq

6. Nach dem Einsetzen von ax in die kinematische Gleichung(Schritt 2) und dem Nullsetzen von u0 ergibt sich:

u2=2g sinqDx

7. Aus Abbildung 4.12 ist ersichtlich, dass Dx sinq=h gilt,wobei Dx die L‰nge der Rampe und h ihre Hˆhe ist:

u2=2g h

8. Setzen Sie dies in die Gleichung f¸r die senkrechteGeschwindigkeitskomponente us=u sinq ein:

us ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 g h

p� sin q

9. Berechnen Sie nun aus der hˆchsten zul‰ssigenGeschwindigkeit den maximalen Winkel:

2; 5m � s�1 ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 � ð9; 81m � s�2Þ � ð1,0mÞ

p� sin qmax

qmax ¼ 34;4

Kommentar: Die Beschleunigung auf der geneigten Ebene ist konstant und gleich g sinq. Dagegen h‰ngt die Geschwin-digkeit u am Ende der Rampe wegen u ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 g h

pnicht vom Winkel q ab.

&BUNG: Zeigen Sie durch Anwendung vonP

Fy ¼ m ay auf das Paket, dass Fn ¼ m g cosq ist.

Fn

FG,x

FG,y

y

x

θ

θθ

FG

4.13


BEISPIEL 4.7: Zur Aufh/ngung eines BildsEin Bild mit einem Gewicht von 8 N wird von zwei Dr�hten gehalten, in denen die Zugspannungen FS,1 bzw. FS,2 wirken(Abbildung 4.14). Ermitteln Sie diese beiden Zugspannungen.

ZUR &BUNG

Problembeschreibung: Da das Bild nichtbeschleunigt wird, muss die resultierende Gesamtkraftnull sein. Die drei Kr‰fte, die auf das Bild wirken, sindseine Gewichtskraft FG und die beiden Zugspannun-gen FS,1 und FS,2 der Dr‰hte.

L#sung:


Schritte Ergebnisse

1. Fertigen Sie ein Kr‰ftediagramm f¸r das Bild an (Abbil-dung 4.15). Zeichnen Sie auch die x- und y-Komponentender beiden Zugspannungen ein.

2. Wenden SieP

F ¼ m a in Vektorform auf das Bild an. FS,1+FS,2+FG=ma

3. Zerlegen Sie beide Kr‰fte in ihre x- und y-Komponenten.Sie erhalten so zwei Gleichungen f¸r die beiden Unbe-kannten jFS,1 j und jFS,2 j , wobei FG;x ¼ 0 und FG;y ¼ FG ¼�8 N sind.

FS,1,x+FS,2,x+FG,x=0

FS,1,y+FS,2,y+FG,y=0

jFS,1 j cos308� jFS,2 j cos608+0=0

jFS,1 j sin308+ jFS,2 j sin608+FG=0

4. Stellen Sie die Gleichung f¸r die x-Komponenten nachjFS,2 j in Abh‰ngigkeit von jFS,1 j um.

jFS;2j ¼ jFS;1jcos 30

cos 60¼ jFS;1j �

ffiffiffi3

p

5. Setzen Sie die resultierende Formel f¸r jFS,2 j aus Schritt 4in die Gleichung f¸r die y-Komponenten ein und stellen Siesie nach jFS,1 j um.

jFS;1j sin 30 þ jFS;1j �ffiffiffi3

p� �sin 60 þ FG ¼ 0

jFS;1j ¼ � 12 FG ¼ 4N

6. Berechnen Sie aus jFS,1 j nun noch jFS,2 j . jFS;2j ¼ jFS;1j �ffiffiffi3

p¼ 6,93N

Kommentar: Wie zu erwarten, tr‰gt der steilere der beiden Dr‰hte den grˆ˚eren Anteil der Last des Bilds. Au˚erdem istjFS,1 j + jFS,2 j >8 N. Der zus‰tzliche Kraftanteil entsteht dadurch, dass die Dr‰hte nach links und nach rechts ziehen.

FS,1

60° 30°

FS,2

FG

4.14

FS,1,yFS,2,y

FS,2,x FS,1,x

FG

y

x30°

60°

FS,2

FS,1

4.15


BEISPIEL 4.8: Ein D9senflugzeug beim StartW�hrend Ihr DDsenflugzeug die Startbahn entlang rollt, um fDr den Start zu beschleunigen, wollen Sie seine Beschleunigungmessen. Dazu packen Sie Ihr Yo-Yo aus, lassen es nach unten h�ngen und messen, dass es einen Winkel von 228 gegen dieVertikale bildet (Abbildung 4.16a). a) Wie stark beschleunigt das Flugzeug? b) Wie groß ist die Zugspannung im Faden,wenn das Yo-Yo eine Masse von 40 g hat?

Problembeschreibung: Yo-Yo und Flugzeug besit-zen in der Abbildung die gleiche Beschleunigung nachrechts. Die resultierende Kraft auf das Yo-Yo zeigt inRichtung seiner Beschleunigung. Diese Kraft wird vonder horizontalen Komponente der Zugspannung FSgeliefert. Die vertikale Komponente von FS ist mit derGewichtskraft des Yo-Yos im Gleichgewicht. Wirw‰hlen ein Koordinatensystem, in welchem die x-Richtung parallel zum Beschleunigungsvektor a ist unddie y-Richtung vertikal liegt. Wenn man das zweiteNewton×sche Axiom f¸r die x- und f¸r die y-Richtungaufschreibt, erh‰lt man zwei Gleichungen zur Bestim-mung der beiden Unbekannten a und FS.

L#sung:

Teilaufgabe a1. Zeichnen Sie ein Kr‰ftediagramm f¸r das Yo-Yo (Abbil-dung 4.16b). W‰hlen Sie als positive x-Richtung dieBeschleunigungsrichtung.

2. Wenden SieP

Fx ¼ m ax auf das Yo-Yo an und dr¸ckenSie FS,x mit Hilfe der Trigonometrie durch jFS j aus:

FS,x+FG,x=m ax

jFS j sinq+0=m ax

oder

jFS j sinq=max

3. Wenden SieP

Fy ¼ m ay auf das Yo-Yo an. VereinfachenSie die Formel wieder mit Hilfe der Trigonometrie (Abbil-dung 4.16c) und FG= �mg. Da die Beschleunigung in diepositive x-Richtung wirkt, ist ay=0:

FS,y+FG,y=m ay

jFS j cosq�m g=0

oder

jFS j cosq=m g

4. Dividieren Sie das Ergebnis aus Schritt 2 durch das ausSchritt 3 und stellen Sie die entstehende Gleichung nach derBeschleunigung um. Da der Beschleunigungsvektor in diepositive x-Richtung zeigt, ist a=ax:

jFSj sin qjFSj cosq

¼ m ax

m g

und damit

tanq ¼ ax

g

und

a ¼ g tan q ¼ ð9; 81 m � s�2Þ � tan 22 ¼ 3; 96 m � s�2

Teilaufgabe bDa q < 908 ist, ergibt sich aus Schritt 3 die Zugspannung FS: F S ¼ m g

cos q¼ ð0,04 kgÞ � ð9; 81 m � s�2Þ

cos 22¼ 0; 423N

Kommentar: Offenbar ist FS grˆ˚er als die Gewichtskraft des Yo-Yos (m g=0,392 N), da der Faden das Yo-Yo nicht nur vordem Herunterfallen bewahren muss, sondern es zus‰tzlich auch noch horizontal beschleunigt. Im obigen Fall haben wir dieEinheit m/s2 f¸r g verwendet, da wir eine Beschleunigung berechnen wollten.

!Plausibilit/tspr9fung: Bei q=0 ergibt sich FS=m g und damit a=0.

&BUNG: Bei welcher Beschleunigung a w‰re die Zugspannung im Faden 3m g? Wie gro˚ w‰re q in diesem Fall? (Lˆsung:a=27,8 m¥ s�2, q=70,58.)

a

θ

(a)

FFn

y

x

θ

(b)

FG

4.16

ma

θmg

(c)

FS


BEISPIEL 4.9: Das K#rpergewicht im FahrstuhlEine Person mit einem Gewicht von 80 kg steht auf einer am Boden angebrachten Waage in einem Fahrstuhl. Die Waagemisst Kr�fte und ist in Newton geeicht. Was zeigt die Waage an, wenn der Fahrstuhl a) mit der Beschleunigung a nach obenbeschleunigt wird, b) mit der Beschleunigung �a0 nach unten beschleunigt wird und c) mit 20 m/s steigt, dabei aber mit8 m/s2 abgebremst wird?

Problembeschreibung: Die Waage zeigt stets die Normal-kraft Fn an, die die Waage auf die Person aus¸bt (Abbil-dung 4.17). Da die Person dem Fahrstuhl gegen¸ber inRuhe ist, besitzt sie dieselbe Beschleunigung wie er. Auf diePerson wirken also zwei Kr‰fte: ihre Gewichtskraft mg unddie nach oben gerichtete Normalkraft der Waage Fn. DieSumme dieser beiden Kr‰fte bewirkt die beobachteteBeschleunigung. Wir legen die positive y-Richtung so, dasssie nach oben weist.

L#sung:

Teilaufgabe a1. Zeichnen Sie das Kr‰ftediagramm f¸r die Person (Abbil-dung 4.18).

2. Wenden SieP

F ¼ m a auf die y-Richtung an: Fn,y+FG,y=m ay

Fn�m g=m a

3. Stellen Sie nach Fn um. Diese Kraft wird an der Waageangezeigt und ist das scheinbare Gewicht der Person:

Fn ¼ m g þ m a ¼ m ðg þ aÞ

Teilaufgabe b1. Wenden Sie

PF ¼ m a auf die y-Richtung an. In diesem

Fall wird der Fahrstuhl mit �a0 nach unten beschleunigt:Fn,y+FG,y=m ay

Fn � m g ¼ m ð�a0Þ

2. Stellen Sie nach Fn um: Fn ¼ m g � m a0 ¼ m ðg � a0Þ

mg mg

(a) (b)

a (auf)

Fn Fn

a’ (ab)

FG FG

4.17

y

Fn

FG

4.18


4.6 Das dritte Newton’sche Axiom

Wenn zwei Kˆrper wechselwirken, ¸ben sie Kr‰fte aufeinanderaus. Das dritte Newton×sche Axiom besagt, dass diese Kr‰fteden gleichen Betrag, aber die entgegengesetzte Richtunghaben.WennalsoderKˆrperAeineKraft auf denKˆrperBaus-¸bt, ¸bt der Kˆrper B gleichzeitig eine Kraft auf den Kˆrper Aaus, die den gleichen Betrag, aber die entgegengesetzte Rich-tung hat. Kr‰fte treten also stets paarweise auf. H‰ufig sprichtman in diesem Fall bei der einen Kraft von der πAktion™ undbei der anderen von der πReaktion™ Dies ist allerdings etwasungl¸cklich formuliert, da es sich so anhˆrt, als w¸rde die zweiteKraft auf die erste reagieren, was nicht der Fall ist. Beide Kr‰ftetreten gleichzeitig auf.

!Jede der beiden Kr‰fte kann als Aktionskraft und die jeweilsandere dann als Reaktionskraft bezeichnet werden. Wenn wireine ‰u˚ere Kraft, die auf einen Kˆrper wirkt, als eine Aktions-kraft bezeichnen, muss die zugehˆrige Reaktionskraft stets aufeinen anderen Kˆrper wirken. Zwei ‰u˚ere Kr‰fte, die auf einund denselben Kˆrper wirken, kˆnnen also nie ein πAktions-Reaktions-Paar™ bilden.

InAbbildung 4.19 liegt einBlock auf einemTisch.DieKraft, diedenBlocknachunten zieht, ist seineGewichtskraftFG, die durchdie Gravitation der Erde hervorgerufen wird. Der Tisch ¸bt,indem er den Block h‰lt, seinerseits eine gleich gro˚e, aber ent-gegengesetzt wirkendeKraftFn= �FG auf denBlock aus.DieseKr‰fte bilden ein Aktions-Reaktions-Paar. W‰ren sie die einzi-gen vorhandenen Kr‰fte, w¸rden Block und Tisch nach untenbeschleunigt, da in diesem Fall die Gravitationskraft FG’ derErde auf Block und Tisch wirkt. FG’ wird aber durch die KraftFn’= � FG’ kompensiert, die Erde auf Tisch und Block aus¸bt.Die Kr‰fte FG’ und F

0n, bilden also ebenfalls ein Aktions-Reak-tions-Paar.

&BUNG: Bilden die Kr‰fte FG und Fn aus Abbildung 4.19ebenfalls ein Aktions-Reaktions-Paar?(Lˆsung: Nein, denn beide Kr‰fte sind ‰u˚ere Kr‰fte, dieauf denselben Kˆrper, n‰mlich den Block, wirken. Somitkˆnnen sie kein Aktions-Reaktions-Paar bilden.)

Beispiel 4.10 verdeutlicht verschiedene Aktions-Reaktions-Paare beim Ziehen eines Pferdewagens.

Teilaufgabe c1. Wenden Sie

PF ¼ m a auf die y-Richtung an. Beachten

Sie, dass die Beschleunigung nach unten wirkt. (Warum?)Folglich ist ay negativ:

Fn,y+FG,y=m ay

2. Stellen Sie nach Fn um: Fn�m g=m ay

Fn ¼ m ðg þ ayÞ

¼ ð80 kgÞ � ð9; 81 m � s�2 � 8; 00 m � s�2Þ

¼ 145N

Kommentar: Unabh‰ngig davon, ob sich der Fahrstuhl gerade nach oben oder nach unten bewegt, ist das scheinbareGewicht der Person um ma grˆ˚er als mg, wenn er nach oben beschleunigt wird. Die Person hat den Eindruck, dass dieGravitation von g auf g+a gestiegen ist. Beschleunigt der Fahrstuhl hingegen nach unten, ist ihr scheinbares Gewicht um�m a0 kleiner als m g. Die Person hat das Gef¸hl, leichter zu sein, so, wie wenn die Gravitation nur noch g � a0 betr¸ge. Beia0 ¼ g w¸rde der Fahrstuhl frei fallen und die Person w‰re schwerelos (d.h. gewichtslos).

&BUNG: Ein nach unten fahrender Fahrstuhl h‰lt mit einer Beschleunigung von 4 m/s2 an. Diesmal steht eine Person miteinem Gewicht von 70 kg auf einer Waage im Fahrstuhl. Was zeigt die Waage an, w‰hrend der Fahrstuhl anh‰lt? (Lˆsung:967 N.)

&BUNG: Ein Mann steht auf einer Waage in einem Fahrstuhl, der mit der Beschleunigung a nach oben beschleunigt wird. DieWaage zeigt 960 N an. Nachdem er einen 20 kg schweren Kasten in die Hand genommen hat, zeigt die Waage 1200 N an.Gesucht sind die Masse des Manns, sein Gewicht sowie die Beschleunigung a. (Lˆsung: 80,0 kg, 785 N, 2,19 m/s2.)

Erde

Fn

'

n

FG

FG

'Fn

4.19 Aktions- und Reaktionskr‰fte bei einem Block auf einem Tisch,der seinerseits auf der Erde steht.


BEISPIEL 4.10: Das Pferd vor dem WagenEin Pferd weigert sich, seinen Wagen zu ziehen (Abbildung 4.20a). Dabei Dberlegt es sich: „Aus dem dritten Newton’schenAxiom folgt, dass fDr jede Kraft, die ich auf den Wagen ausDbe, dieser Wagen auch eine gleich große, aber entgegengesetztgerichtete Kraft auf mich ausDbt. Damit ist die Gesamtkraft gleich null und ich werde den Wagen niemals beschleunigenk�nnen.“ Welchen Denkfehler hat das Pferd gemacht?

Problembeschreibung:

Da uns die Bewegung des Wagens interessiert, fertigen wir eine Skizze von ihm an (Abbildung 4.20b). Die Kraft, die das Pferdam Geschirr erzeugt, sei F. (Das Geschirr ist fest mit dem Wagen verbunden, so dass es als Teil von ihm betrachtet werdenkann.) Weitere auf den Wagen wirkende Kr‰fte sind sein Gewicht FG, die vertikale Tragkraft des Bodens Fn und die horizontalwirkende Reibungskraft durch das Pflaster FR.

L#sung:1. Zeichnen Sie ein Kr‰ftediagramm f¸r den Wagen (sieheAbbildung 4.20c). Da der Wagen vertikal nicht beschleunigtwird, m¸ssen die vertikalen Kr‰fte insgesamt null ergeben.Von den horizontalen Kr‰ften wirkt F nach rechts und FRnach links. Wenn jF j grˆ˚er als jFR j ist, wird der Wagennach rechts beschleunigt.

2. Die Reaktionskraft zur Kraft F, die wir F 0 nennen wollen,wirkt auf das Pferd und nicht auf den Wagen (Abbil-dung 4.20d). Sie hat keinen Einfluss auf den Wagen, wohlaber auf das Pferd: Soll das Pferd nach rechts beschleunigen,muss das Pflaster auf die Hufe eine Kraft jFP j nach rechtsaus¸ben, die grˆ˚er ist als jF 0j.

Kommentar: Dieses Beispiel zeigt, wie wichtig eine Skizze f¸r die Lˆsung der Aufgabe sein kann. H‰tte das Pferd sich einesolche gezeichnet, h‰tte es gesehen, dass es nur stark gegen das Pflaster zu dr¸cken braucht, um vorw‰rts zu kommen.

&BUNG: Sie stehen einem Freund gegen¸ber. Legen Sie Ihre Handfl‰chen gegen die Handfl‰chen Ihres Freunds und dr¸ckenSie dagegen. Kann Ihr Freund auf Sie eine Kraft aus¸ben, ohne dass Sie auf ihn eine Gegenkraft zu ihr aus¸ben? VersuchenSie es!

&BUNG: Richtig oder falsch? Die Kraft, die ein Wagen auf das Pferd aus¸bt, ist nur dann gleich und entgegengerichtet derKraft, die das Pferd auf den Wagen aus¸bt, wenn Pferd und Wagen nicht beschleunigen oder bremsen. (Lˆsung: Falsch! DasAktions-Reaktions-Paar der Kr‰fte beschreibt die Wechselwirkung zweier Kˆrper. Eine Kraft kann nicht ohne die andereexistieren. Beide sind stets gleich gro˚ und entgegengesetzt gerichtet.)

F

Fn

(b)

FG

FR

F

Fn

(c)

FG

FR

F'

FP

F'P

(d)

(a)

4.20

4.6 DAS DRITTE NEWTON’SCHE AXIOM < < < 93

4.7 Aufgabenstellungen mit zwei undmehr K�rpern

In einigen Aufgaben kommen mehrere Kˆrper vor, die mitein-ander in Kontakt stehen oder durch ein Seil oder durch eineFeder miteinander verbunden sind. Solche Aufgaben kˆnnengelˆst werden, indem man f¸r jeden Kˆrper ein eigenes Kr‰ft-ediagramm zeichnet und daraufhin auf jeden Kˆrper das zweiteNewton×sche Axiom anwendet. Aus den auf diese Weise erhal-tenen Gleichungen zusammen mit den Gleichungen, die dieWechselwirkungen und Zwangsbedingungen beschreiben, wer-den dann dieUnbekannten berechnet. Sind dieKˆrper in direk-tem Kontakt miteinander, sind die Kr‰fte, die sie aufeinanderaus¸ben, nach dem dritten Newton×schen Axiom gleich gro˚und entgegengesetzt gerichtet. Bei zwei Kˆrpern, die sich ent-lang einer Geraden bewegen und durch ein straffes, nicht dehn-bares Seil verbunden sind, sind die Beschleunigungskomponen-ten parallel zumSeil f¸r beideKˆrper gleich gro˚, da ihre Bewe-gungen parallel zumSeil vˆllig gleich sind.Verl‰uft das Seil ¸bereine Rolle oder ¸ber einen Pflock, bedeutet πparallel zum Seil™in diesemFall πparallel zudemam jeweiligenKˆrper befestigtenSeilst¸ck™.

Betrachten Sie die Bewegung von Steve und Paul aus Abbil-dung 4.21. Die Geschwindigkeit, mit der sich Paul nach untenbewegt, ist genauso gro˚ wie die, mit der Steve ¸ber den Glet-scher rutscht. Damit ist Pauls Geschwindigkeitskomponenteparallel zu dem an ihm befestigten Seilst¸ck genauso gro˚ wiedie Geschwindigkeitskomponente von Steve parallel zu deman ihmangebrachten Seilst¸ck.Diese beidenGeschwindigkeits-komponenten bleiben immer zueinander gleich. Wenn sich dieGeschwindigkeit von Steve und Paul ‰ndert, dann f¸r beidegleich. Folglich sind auch ihre Beschleunigungskomponentenparallel zum Seil gleich.

Die Zugspannung in einem Seil oder Tau ist die Kraft, die einSeilst¸ck auf das n‰chste aus¸bt. Diese Zugspannung kanninnerhalb des Seils verschieden sein. So ist bei einemKletterseil,das lose von der Decke einer Sporthalle herabh‰ngt, die Zug-spannung oben am grˆ˚ten, da der obereAbschnitt dasGewichtdes gesamten darunter h‰ngenden Seils tragen muss. Allerdingswirdbei denAufgaben indiesemBuchnormalerweise angenom-men, dass das Eigengewicht des Seils so klein ist, dass Zugspan-nungs‰nderungendurchdiesesEigengewicht des Seils oderTausvernachl‰ssigt werden kˆnnen, d.h. dass wir Zugspannungs‰n-derungen im Seil, die durch Beschleunigungen des Seils auftre-ten, ebenfalls vernachl‰ssigen kˆnnen. Um uns davon zu ¸ber-zeugen, dass dies tats‰chlich so ist, betrachten wird das Kr‰fte-diagramm eines Seilst¸cks, das mit Steve verbunden ist. Dabeisei Dms die Masse dieses Seilst¸cks (Abbildung 4.22).

Wendet man das zweite Newton×sche Axiom auf das Seilst¸ckan, ergibt sich FS þ FS0 ¼ Dms ax √x. Wenn die Masse des Seil-st¸cks vernachl‰ssigbar ist, gilt FS ¼ �F 0

S. Damit kann das Seil-st¸ck beschleunigt werden, ohne dass eine resultierende Kraftdarauf wirkt. Genauer gesagt reicht ein winziger Unterschiedder Zugspannung im Seil bereits aus, um es beliebig stark zubeschleunigen.

Als N‰chstes betrachten wir das Seil, mit dem Steve und Paulverbunden sind, alsGanzes.Vernachl‰ssigtmandieGravitation,wirken drei Kr‰fte auf das Seil: Steve und Paul erzeugen jeweilseineKraft, aber auch dasEis an derGletscherkante erzeugt einesolche. Bei Vernachl‰ssigung der Reibung zwischen Eis und Seil

Paul

θ

Steve

FS,1

FS,2

4.21 Die beiden Bergsteiger sind durch ein gespanntes, nicht dehn-bares Seil miteinander verbunden. Dadurch verlaufen ihre Bewegun-gen parallel zu ihren Seilenden gleich.

' ∆ms

x

FS

FS

4.22 Ein theoretisches masseloses Seil kˆnnte ohne Kraft beliebigbeschleunigt werden.

Fn

'FS,2

'FS,1

4.23 Unter Vernachl‰ssigung der Reibung wirkt die Kraft der Glet-scherkante senkrecht auf das Seil und ist demnach eine Normalkraft.

m

4.24 Das Seil l‰uft nun ¸ber eine reibungsfrei gelagerte Rolle. Ist dieZugspannung auch hier im ganzen Seil gleich?


ist die Kraft, die das Eis auf das Seil aus¸bt, immer eineNormal-kraft (Abbildung 4.23). Eine Normalkraft hat aber keine Kom-ponente parallel zum Seil, kann also auch keine Zugspannungs-‰nderung hervorrufen. Demnach ist die Zugspannung ¸ber diegesamte L‰nge des Seils gleich. Zusammenfassend gilt: Ineinem Seil mit vernachl‰ssigbarer Masse, dessen Richtungdadurch ge‰ndert wird, dass es ¸ber eine reibungsfreie Oberfl‰-che gleitet, ist die Zugkraft im ganzen Seil gleich.

Die letzten Beispiele 4.11 und 4.12 verdeutlichen die ‹berlage-rung von ‰u˚eren Kr‰ften und Aktions-Reaktions-Paaren.

&BUNG: Wir nehmen nun an, das Seil sei nicht ¸ber dieGletscherkante, sondern ¸ber eine reibungsfrei gelagerteRolle geleitet (Abbildung 4.24). W‰re die Zugspannungauch dann im ganzen Seil gleich?(Lˆsung: Nein. Die Reibung durch die Rollenlagerung istzwar ein wichtiger Punkt. Ein anderer ist aber, dass dieRolle selbst eine Masse und damit eine Tr‰gheit besitzt.Eine ænderung der Drehgeschwindigkeit der Rolle erfor-dert deshalb stets eine Differenz der Zugspannungen zwi-schen den beiden Seilst¸cken.)

BEISPIEL 4.11: BergsteigerPaul (mit der Masse mP) f�llt wie in Abbildung 4.21 gezeigt von der Kante eines Gletschers. GlDcklicherweise ist er mit einerSicherungsleine an Steve (mit der Masse mS) befestigt, der eine Bergsteigeraxt mit sich fDhrt. Bevor Steve seine Axt ein-schlagen kann, damit beide anhalten, gleitet er ohne Reibung Dber das Eis. Dabei ist er Dber das Seil mit Paul verbunden.Berechnen Sie Pauls und Steves Beschleunigung sowie die Zugspannung im Seil unter der Annahme, dass keine Reibungzwischen Eis und Seil auftritt.

Problembeschreibung: Da das Seil als masselos und das Gletschereis als reibungsfrei angesehen wird, besitzen die Zug-spannungen FS,1 und FS,2 den gleichen Betrag. Das Seil dehnt sich nicht, ist aber immer straff gespannt. Somit haben Paul undSteve stets dieselbe Geschwindigkeit. Damit haben auch ihre Beschleunigungen aS und aP stets den gleichen Betrag, w‰hrendderen Richtungen verschieden sind: Steve wird parallel zur Gletscheroberfl‰che beschleunigt, Paul hingegen vertikal nachunten.

Das zweite Newton×sche Axiom beschreibt den Zusammenhang zwischen Pauls und Steves Beschleunigung und den auf siewirkenden Kr‰ften. Wenden Sie auf beide

PF ¼ m a an und stellen Sie nach den Beschleunigungen bzw. nach den Zug-

spannungen um.

L#sung:

1. Zeichnen Sie f¸r Steve und Paul zwei getrennte Kr‰fte-diagramme (Abbildung 4.25). Zeichnen Sie in Steves Kr‰fte-diagramm eine x- und eine y-Achse ein, wobei sie StevesBeschleunigungsrichtung als positive x-Achse w‰hlen.W‰hlen Sie Pauls Beschleunigungsrichtung als positive x0-Achse.

2. Wenden Sie auf SteveP

F ¼ m a in x-Richtung an: Fn,x+FS,1,x+mSaG,x=mSaS,x

3. Wenden Sie auf PaulP

F ¼ m a in x0-Richtung an: FS;2;x0 þ mP aG;x0 ¼ mP aP;x0

4. Da sich beide jeweils entlang einer Geraden bewegen unddabei durch ein straffes, nicht dehnbares Seilst¸ck verbun-den sind, h‰ngen ihre Beschleunigungen voneinander ab.Dr¸cken Sie diese Abh‰ngigkeit aus:

aP;x0 ¼ aS;x ¼ ax

5. Da die Seilmasse vernachl‰ssigt werden kann und das Eiseine vernachl‰ssigbare Reibung auf das Seil aus¸bt, h‰ngenFS,1 und FS,2 voneinander ab. Dr¸cken Sie diese Abh‰ngig-keit aus:

FS;1;x ¼ �FS;2;x0 ¼ FS

6. Setzen Sie die Ergebnisse der Schritte 4 und 5 in dieGleichung aus den Schritten 2 und 3 ein:

FS þ mS g sin q ¼ mS ax

�FS þ mP g ¼ mP ax

y

Fn

mS aG

x

θ

θθ

x'

FS,1

FS,2

mP aG

4.25

4.7 AUFGABENSTELLUNGEN MIT ZWEI UND MEHR KNRPERN < < < 95

7. Lˆsen Sie die Gleichung f¸r die Beschleunigung ausSchritt 6, indem Sie FS ersetzen und nach ax umstellen:

ax ¼mS sin qþ mP

mS þ mPg

8. Setzen Sie das Ergebnis aus Schritt 7 in eine Gleichungaus Schritt 6 ein und stellen Sie nach FS um:

FS ¼mS mP

mS þ mPg ð1� sin qÞ

Kommentar: Um die Lˆsung so einfach wie mˆglich zu halten, haben wir die positive x-Achse in Schritt 3 senkrecht nachunten gelegt. Durch diese Wahl haben wir erreicht, dass sich Paul in die positive x0-Richtung (nach unten) bewegt, wenn sichSteve in die positive x-Richtung (die Gletscheroberfl‰che entlang) bewegt.

!Plausibilit/tspr9fung:Wenn mP gro˚ gegen mS ist, sollte die Beschleunigung ungef‰hr g sein und die Zugspannung im Seilgegen null gehen. Setzt man mS=0, ergibt sich tats‰chlich ax=g und FS=0. Wenn mP klein gegen mS ist, sollte dieBeschleunigung etwa g sinq betragen (siehe Beispiel 4.7) und die Zugspannung auch in diesem Fall null sein. Tats‰chlicherh‰lt man ax=g sinq und FS=0, wenn man in den Schritten 7 und 8mP=0 einsetzt. Wir ¸berpr¸fen au˚erdem die Ergebnissef¸r die maximale Neigung (q=908): Verwendet man in den Schritten 7 und 8 den Winkel q=908, ergibt sich ax=g und FS=0.Dies scheint richtig zu sein, da Steve und Paul dann frei fallen.

&BUNG: a) Ermitteln Sie die Beschleunigung, wenn q=158 ist und die Massen mS=78 kg und mP=92 kg betragen. b) Ermit-teln Sie die Beschleunigung, wenn die genannten Massen vertauscht sind. (Lˆsung: a) ax=0,660g, b) ax=0,599g.)

BEISPIEL 4.12: Wir bauen eine RaumstationStellen Sie sich vor, Sie sind ein Astronaut, der am Aufbau einer Raumstation mitarbeitet. Sie „schieben“ mit der Kraft FA

einen Kasten mit der Masse m1. Der Kasten steht in direktem Kontakt mit einem zweiten Kasten der Masse m2 (Abbil-dung 4.26). a) Wie groß ist die Beschleunigung der K�sten? b) Welche Kraft Dbt ein Kasten auf den anderen Kasten aus?

ZUR &BUNG

Problembeschreibung: Fð2Þ1 sei die Kraft, die Kasten 2

auf Kasten 1 aus¸bt, Fð1Þ2 die Kraft, die Kasten 1 auf

Kasten 2 aus¸bt. Nach dem dritten Newton×schen Axiomsind diese Kr‰fte gleich und entgegengesetzt gerichtet(Fð2Þ

1 ¼ �Fð1Þ2 ), so dass Fð2Þ

1 ¼ �F ð1Þ2 ist. Wenden Sie das

zweite Newton×sche Axiom auf jeden Kasten einzeln an.Die Bewegungen der beiden K‰sten sind gleich, so dass a1und a2 gleich sind.

L#sung:


Schritte Ergebnisse

Teilaufgabe a1. Zeichnen Sie f¸r die beiden K‰sten Kr‰ftediagramme(Abbildung 4.27).

2. Wenden SieP

F ¼ m a auf den Kasten 1 an. FA þ F ð2Þ1 ¼ m1 a1;x

3. Wenden SieP

F ¼ m a auf den Kasten 2 an. F ð1Þ2 ¼ m2 a2;x

FA

m2m1

4.26

FA

y

F1

m1 m2

x

(2)F2

(1)

4.27


Zusammenfassung

1. Die Newton×schen Axiome sind grundlegende Naturgesetze, die die Grundlage f¸r unser Verst‰ndnis der Mechanik bilden.2. Die Masse ist eine innere Eigenschaft eines Kˆrpers.3. Die Kraft ist eine wichtige abgeleitete dynamische Grˆ˚e.

4. Schreiben Sie die Beziehung zwischen den beidenBeschleunigungen sowie die Beziehung zwischen denBetr‰gen der Kr‰fte, die die beiden K‰sten aufeinanderaus¸ben, auf.

a2,x=a1,x=ax

F ð2Þ1 ¼ �F ð1Þ

2 ¼ F

5. Setzen Sie dies in die Ergebnisse der Schritte 2 und 3 einund stellen sie nach ax um.

ax ¼FA

m1 þ m2

Teilaufgabe bSetzen Sie Ihr Ergebnis f¸r ax in Schritt 2 oder Schritt 3 einund stellen Sie nach F um.

F ¼ � m2

m1 þ m2FA

Kommentar: Vielleicht ist Ihnen bereits aufgefallen, dass das Ergebnis aus Schritt 5 das gleiche ist, das Sie erhalten w¸rden,wenn FA an nur einem Kasten mit dem Gesamtgewicht beider K‰sten angreifen w¸rde. Da beide K‰sten die gleicheBeschleunigung erfahren, kann man sie in diesem Fall als einen gemeinsamen Kˆrper mit der Masse m1+m2 betrachten.

&BUNG: a) Berechnen Sie die Beschleunigung und die Kontaktkraft, wenn m1=2 kg,m2=3 kg und FA=12 N ist. b) Ermit-teln Sie die Kontaktkraft, wenn beide K‰sten vertauscht sind, so dass der erste Block eine Masse von 3 kg und der zweite eineMasse von 2 kg hat. (Lˆsung: a) ax=2,4 m/s2, F= �7,2 N, b) F= �4,8 N.)

Thema Wichtige Gleichungen und Anmerkungen

1. Newton×sche Axiome

Erstes Axiom Ein Kˆrper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn keineresultierende ‰u˚ere Kraft auf ihn wirkt. (Bezugssysteme, auf die diese Aussage zutrifft, werdenInertialsysteme genannt.)

Zweites Axiom Ein Kˆrper wird in Richtung der resultierenden ‰u˚eren Kraft beschleunigt, die auf ihn wirkt.Die Beschleunigung ist gem‰˚ Fges=ma proportional zur resultierenden ‰u˚eren Kraft Fges,wobei m die Masse des Kˆrpers ist. Die resultierende ‰u˚ere Kraft auf einen Kˆrper ist dieVektorsumme aller Kr‰fte, die auf ihn wirken: Fges ¼

PF. Somit gilt

XF ¼ m a: ð4:1Þ

Drittes Axiom Kr‰fte treten immer paarweise auf. Wenn der Kˆrper A eine Kraft FðAÞB auf den Kˆrper B aus¸bt,

wirkt eine gleich gro˚e, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft FðBÞA von dem Kˆrper B auf den

Kˆrper A. Somit gilt

FAðBÞ ¼ �FBðAÞ: ð4:2Þ

2. Inertialsysteme Die Newton×schen Axiome gelten nur in Inertialsystemen, d.h. in denjenigen Bezugssystemen, indenen ein Kˆrper in Ruhe bleibt, wenn keine Kraft auf ihn wirkt. Jedes Bezugssystem, das sichmit konstanter Geschwindigkeit gegen¸ber einem Inertialsystem bewegt, ist selbst ein Inertial-system. Jedes Bezugssystem, das gegen¸ber einem Inertialsystem beschleunigt wird, ist selbstkein Inertialsystem. Die Erdoberfl‰che ist in guter N‰herung ein Inertialsystem.

3. Kraft, Masse und Gewicht

Kraft Die Kraft ist ¸ber die Beschleunigung definiert, die sie an einem gegebenen Kˆrper bewirkt. EineKraft von 1 Newton (N) ist die Kraft, die einen Kˆrper mit einer Masse von 1 kg mit 1 m/s2 zubeschleunigen vermag.


Aufgaben

Gelegentlich enthaltendieAufgabenmehrAngaben, als f¸r dieLˆsung erforderlich sind.Bei einigen anderendagegenwerdenDatenaus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Sch‰tzungen benˆtigt.* Einfache Aufgaben mit nur einem Rechenschritt.* * Mittelschwere Aufgaben, kˆnnen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern.* * * Anspruchsvolle Aufgaben.

Bei allen Aufgaben sei die Fallbeschleunigung jaGj ¼ g=9,81 m/s2. Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung undLuftwiderstand zu vernachl‰ssigen.

Verst�ndnisaufgaben1 * * Woran erkennt man, ob ein Bezugssystem ein Iner-tialsystem ist?

2 * Auf einen Kˆrper wirkt eine einzelne nicht ver-schwindende Kraft. Muss dieser Kˆrper eine Beschleunigungrelativ zu einem Inertialsystem besitzen? Kann er irgendwanndie Geschwindigkeit null besitzen?

3 * Ein Kˆrper werde an einen Ort des Weltraumsgebracht, an dem er weit weg von Galaxien, Sternen und ande-renKˆrpern ist.Wie ‰ndert sich seineMasse bzw. seinGewicht?

4 * * Es wird oft gesagt, dass aus dem ersten und zweitenNewton×schen Axiom folgt, dass man mit den Gesetzen der

Mechanik nicht feststellen kann, ob man still steht oder sich mitkonstanter Geschwindigkeit bewegt. Erl‰utern Sie diese Aus-sage.

5 * Welches der Kr‰ftediagramme in Abbildung 4.28stellt einen Kˆrper dar, der eine reibungsfreie geneigte Ebenehinuntergleitet?

Masse Die Masse ist eine innere Eigenschaft jedes Kˆrpers. Sie ist ein Ma˚ f¸r seinen Tr‰gheitswider-stand gegen¸ber einer Beschleunigung. Die Masse eines Kˆrpers h‰ngt nicht von seinem Ort ab.Die Massen zweier Kˆrper lassen sich vergleichen, indem man die gleiche Kraft auf zwei Kˆrperaus¸bt und ihre jeweiligen Beschleunigungen misst. Das Verh‰ltnis der beiden Massen steht imumgekehrten Verh‰ltnis der auf sie angewendeten Beschleunigungen:m2

m1¼ a1

a2: ð4:3Þ

Gewicht Das Gewicht bzw. die Gewichtskraft FG eines Kˆrpers ist die Gravitationskraft, die die Erde aufdiesen Kˆrper aus¸bt. Sie ist proportional zur Massem des Kˆrpers und zum Gravitationsfeld aG,das gleich der Fallbeschleunigung ist:

FG ¼ m aG: ð4:4Þ

Die Gewichtskraft ist keine innere Eigenschaft eines Kˆrpers; sie ist ortsabh‰ngig.

4. Die Grundkr‰fte der Natur Alle in der Natur beobachtbaren Kr‰fte lassen sich durch vier fundamentale Wechselwirkungenerkl‰ren:

1. die Gravitationskraft,2. die elektromagnetische Kraft,3. die starke Kernkraft,4. die schwache Kraft.

5. Kontaktkr‰fte Kontaktkr‰fte, die beim Abst¸tzen und bei der Reibung, aber auch durch Federn und Seileerzeugt werden, entstehen durch Molek¸lkr‰fte, die ihren Ursprung in der elektromagnetischenKraft haben.

Hooke×sches Gesetz Wird eine entspannte Feder um einen kleinen Betrag Dx zusammengedr¸ckt oder gedehnt, ist dieKraft, die sie aus¸bt, proportional zu Dx:

Fx ¼ �kDx: ð4:9Þ

(a) (b) (c) (d)

4.28 Zu Aufgabe 5.


6 * Eine W‰scheleine wird straff zwischen zwei Pf‰h-len aufgeh‰ngt. Anschlie˚end wird ein nasses Handtuch in derMitte der Leine aufgeh‰ngt. Kann die W‰scheleine horizontalh‰ngen bleiben? Begr¸nden Sie Ihre Aussage.

7 * Welche Auswirkung hat die Geschwindigkeit einesFahrstuhls auf das scheinbare Gewicht einer Person im Fahr-stuhl?

Sch�tzungs- und N�herungsaufgaben8 * * Ein 90 km/h schnelles Auto f‰hrt auf ein unbesetz-tes Fahrzeug auf, das einen Motorschaden hatte und auf derStra˚e liegen geblieben ist. Gl¸cklicherweise tr‰gt der Fahrerdes auffahrenden Fahrzeugs einen Sicherheitsgurt. Sch‰tzenSie unter Annahme sinnvoller Werte f¸r die Masse des Fahrersund f¸r den Bremsweg die (als konstant angenommene) Kraft,die der Sicherheitsgurt auf den Fahrer aus¸bt.

Das erste und das zweite Newton’sche Axiom:Masse, Tr�gheit und Kraft9 * EinKˆrper besitzt eine Beschleunigung von 3 m/s2,wobei nur die Kraft F0 auf ihn wirkt. a) Wie gro˚ ist seineBeschleunigung, wenn die Kraft verdoppelt wird? b) Ein zwei-ter Kˆrper erh‰lt unter dem Einfluss der Kraft F0 die Beschleu-nigung 9 m/s2.Wie gro˚ ist dasVerh‰ltnis derMassen der beidenKˆrper? c) Welche Beschleunigung w¸rde die KraftF0 auf denGesamtkˆrper erzeugen, der entsteht, wenn man beide Kˆrperzusammenklebt?

10 * * Eine Kugel mit der Masse 1,8 ¥10�3 kg, die mit500 m/s fliegt, trifft einen gro˚en, fest stehenden Holzblockund bohrt sich 6 cm weit in ihn hinein, bevor sie zum Stillstandkommt. Berechnen Sie unter der Annahme, dass die Beschleu-nigung der Kugel konstant ist, die Kraft, die das Holz auf dieKugel aus¸bt.

11 * Auf einenKˆrper derMasse 1,5 kgwirkt eineKraftF= (6x√�3y√) N. Berechnen Sie die Beschleunigung a. Wie gro˚ist ihr Betrag ja j?

Masse und Gewicht12 * Auf dem Mond betr‰gt die Beschleunigung durchdie Gravitation nur ein Sechstel der Erdbeschleunigung. EinAstronaut, dessen Gewicht auf der Erde 600 N betr‰gt, reistzur Mondoberfl‰che. Dort wird seine Masse gemessen. Be-tr‰gt seine dort gemessene Masse a) 600 kg, b) 100 kg,c) 61,2 kg, d) 9,81 kg oder e) 360 kg?

Kontaktkr�fte13 * Ein Ende einer vertikalen Feder mit der Federkon-stante 600 N/m ist an derDecke und das andere an einem 12-kg-Block befestigt, der auf einer horizontalen Fl‰che liegt. DieFeder ist um 10 cm gedehnt und ¸bt auf den Block eine nachoben gerichtete Kraft aus. a) Wie gro˚ ist die Kraft, die dieFeder auf den Block aus¸bt? b) Welche Kraft ¸bt die Fl‰cheauf den Block aus?

Kr�ftediagramme: Statisches Gleichgewicht14 * Ein 100-N-Kˆrper ist wie abgebildet an einemSystem aus Seilen aufgeh‰ngt. Wie gro˚ ist die Zugspannungin dem horizontalen Seil?

15 * Auf einen Kˆrper mit einer Masse von 5 kg an derErdoberfl‰che wirkt wie in Abbildung 4.30 eine vertikaleKraft FS. Berechnen Sie die Beschleunigung des Kˆrpers, wenna) jFS j =5 N, b) jFS j =10 N und c) jFS j =100 N ist.

100 N

90°

45°

4.29 Zu Aufgabe 14.

4.30 Zu Aufgabe 15.


16 * * Ein Bild mit einer Masse von 2 kg ist an zwei gleichlangenDr‰hten aufgeh‰ngt. JederDraht bildetmit derHorizon-talen einen Winkel q (Abbildung 4.31). a) Ermitteln Sie eineallgemeine Gleichung f¸r den Betrag der ZugspannungjFS j in Abh‰ngigkeit von q und dem Betrag des GewichtsjFG j des Bilds. Bei welchem Winkel q ist jFS j am kleinsten?Bei welchem Winkel q ist jFS j am grˆ˚ten? b) Wie gro˚ istdie Zugspannung in den Dr‰hten f¸r q=308?

17 * * Eine 1000-kg-Last wird von einemKran umgesetzt.Wie gro˚ ist die Zugspannung im Kranseil, wenn die Lasta) nach oben bewegt wird, wobei ihre Geschwindigkeit um2 m/s pro Sekunde w‰chst, b) mit konstanter Geschwindigkeitangehoben wird und c) herabgelassen wird, wobei ihreGeschwindigkeit um 2 m/s pro Sekunde sinkt?

18 * * Ermitteln Sie f¸r die Systeme aus den Abbildun-gen 4.32a,b und c, die im Gleichgewicht sind, die unbekanntenZugspannungen und Massen.

Kr�ftediagramme: Geneigte Ebenen undNormalkr�fte19 * Das System in Abbildung 4.33 ist im Gleich-gewicht. Betr‰gt demnach die Masse m a) 3,5 kg,b) 3,5 kg sin408, c) 3,5 kg tan408 oder d) keinen der genann-ten Werte?

20 * * Ein Block auf einer reibungsfreien Neigung wirddurch ein Kabel gehalten (Abbildung 4.34). a) Wie gro˚ sinddie Zugspannung im Kabel und die von der Neigung ausge¸bteNormalkraft, wenn q=608 und m=50 kg sind? b) ErmittelnSie die Zugspannung als Funktion von q undm und ¸berpr¸fenSie ihr Ergebnis f¸r q=08 und q=908.

θθ

2 kg

FG

FSFS

4.31 Zu Aufgabe 16.

m3,2 m

40°

4.33 Zu Aufgabe 19.

θ

Fn

m

FS

4.34 Zu Aufgabe 20.

60°

80 N

(b)

60°

m

60°

30 N

m

(a)

60°

(c)

60°

m

FS, 1

FS, 1

FS, 1

FS, 2 FS, 2

FS, 2

FS, 3

4.32 Zu Aufgabe 18.


21 * * Ein Block der Massem gleitet auf einem reibungs-freien Boden und anschlie˚end eine reibungsfreie Rampe hin-auf (Abbildung 4.35). Der Winkel der Rampe sei q und dieGeschwindigkeit des Blocks vor dem Hinaufgleiten auf dieRampe u0. Der Block gleitet bis zu einer bestimmtenmaximalenHˆhe h ¸ber dem Boden hinauf, bevor er wieder zur¸ckzurut-schen beginnt. Zeigen sie, dass h unabh‰ngig von q ist.

Kr�ftediagramme: FahrstDhle22 * Eine Person in einem Fahrstuhl h‰lt ein 10-kg-Gewicht an einer Schnur, die eine Nennbelastung bis 150 N aus-h‰lt. Als der Fahrstuhl losf‰hrt, rei˚t diese Schnur.Wie gro˚wardie Beschleunigung des Fahrstuhls mindestens?

Kr�ftediagramme: Seile, Zugspannung unddas dritte Newton’sche Axiom23 * Zwei Blˆcke der Massen m1 und m2 sind durch einmasseloses Seil miteinander verbunden. Sie werden, wie inAbbildung 4.36 gezeigt, beide gleichm‰˚ig auf einer reibungs-freien Fl‰che beschleunigt. Ist das Verh‰ltnis der beiden Zug-spannungen jFS,1 j / jFS,2 j gleich a)m1/m2, b)m2/m1, c) (m1+m2)/m2, d)m1/(m1+m2) oder e)m2/(m1+m2)?

24 * * EinBlock derMassem2=3,5 kg liegt auf einem rei-bungsfreien, horizontalen Brett und ist ¸ber zwei Seile mit zweifrei h‰ngendenBlˆcken derMassenm1 =1,5 kg undm3=2,5 kgverbunden (Abbildung 4.37). Beide Rollen seien reibungsfreiund masselos. Das System ist urspr¸nglich in Ruhe. ErmittelnSie a) die Beschleunigung der beiden Blˆcke und b) die Zug-spannung in den beiden Seilen, nachdem das System freigege-ben worden ist.

25 * * Ein Block der Masse m wird durch ein Seil derMasse M und der L‰nge L vertikal angehoben. Das Seil wirddabei an seinem oberen Ende gehalten, w‰hrend das Seil undder Block zusammen mit a nach oben beschleunigt werden.Die Masse sei im Seil gleichm‰˚ig verteilt. Zeigen Sie, dass derBetrag der Zugspannung im Seil in einer Hˆhe x (<L) ¸berdem Block gleich (a+g) [m+ (x/L)M] ist.

26 * * Zwei Kˆrper sind wie in Abbildung 4.38 gezeigt¸ber ein masseloses Seil miteinander verbunden. Die geneigteEbene und die Rolle seien reibungsfrei. Ermitteln Sie dieBeschleunigung der Kˆrper und die Zugspannung im Seila) allgemein f¸r beliebige q, m1 und m2 und b) f¸r q=308 undm1=m2=5 kg.

27 * * *Abbildung 4.39 zeigt einen 20-kg-Block, der aufeinem 10-kg-Block gleitet. Alle Oberfl‰chen seien reibungsfrei.Gesucht sind die Beschleunigungen beider Blˆcke sowie dieZugspannung in dem Seil, das die Blˆcke verbindet.

| v0 |

θ

4.35 Zu Aufgabe 21.

FS,1m1 m2

FS,2

4.36 Zu Aufgabe 23.

m1

m2

m3

4.37 Zu Aufgabe 24.

θ

m1

m2

4.38 Zu Aufgabe 26.

20°

4.39 Zu Aufgabe 27.


Kr�ftediagramme: Die Atwood’scheFallmaschine28 * * Der Apparat in Abbildung 4.40 wird Atwood×scheFallmaschine genannt und dient zur Ermittlung der Erdbe-schleunigung g. Dazu wird die Beschleunigung der beidenGewichte gemessen. Dabei geht man von einer masselosen, rei-bungsfreien Rolle sowie von einem masselosen Seil aus. ZeigenSie, dass sich unter diesenAnnahmen die Betr‰ge der Beschleu-nigung der Kˆrper und der Zugspannung im Seil wie folgtberechnen:

a ¼ m1�m2

m1þm2g und FS ¼

2m1m2 gm1þm2

29 * * Berechnen Sie die Kraft, die die Atwood×sche Fall-maschine w‰hrend der Beschleunigung der Gewichte auf denAufh‰nger aus¸bt, mit der sie an der Decke befestigt ist (Abbil-dung 4.40). Die Masse der Rolle sei vernachl‰ssigbar. ‹berpr¸-fen Sie Ihre Antwort, indem Sie Grenzwerte f¸rm1 und/oderm2

einsetzen, bei denen sich die Antwort bereits durch einfachesNachdenken ergibt.

30 * * *Eine Atwood×sche Fallmaschine besitzt eine festeMasse m1 und eine variable Masse m2 (>m1) auf der anderenSeite. a) Zeigen Sie, dass die grˆ˚tmˆgliche Zugspannung imSeil 2m1g betr‰gt. b) Interpretieren Sie dieses Ergebnis physi-kalisch, ohne die Differential- und Integralrechnung zu Hilfe zunehmen.

Allgemeine Aufgaben31 * * An einer langen, gleichfˆrmigen Kette, die an derDecke befestigt ist, h‰ngt ein Block mit einer Masse von 50 kg.Die Eigenmasse der Kette betr‰gt 20 kg und ihre L‰nge 1,5 m.Bestimmen Sie die Zugspannung in der Kette a) an demEnde, an dem der Block befestigt ist, b) in der Mitte derKette und c) am Befestigungspunkt an der Decke.

32 * * Eine reibungsfreie Fl‰che ist unter einem Winkelvon 308 gegen die Horizontale geneigt. Ein 270-kg-Block ist¸ber ein Seil und eine Rolle mit einem frei h‰ngenden Gewichtmit einer Masse von 75 kg verbunden (Abbildung 4.41).a) Zeichnen sie je ein Kr‰ftediagramm f¸r den Block und f¸rdas Gewicht. b) Berechnen Sie die Zugspannung im Seil unddie Beschleunigung des Blocks. c) Der Block, der anfangsruht, wird plˆtzlich losgelassen. Wie lange dauert es, bis ereine Strecke von 1 m hinabgerutscht ist?

33 * * Ein 2-kg-Block ruht auf einem reibungsfreien Keilmit einer Neigung von 608. Der Keil wird mit der Beschleuni-gung a nach rechts beschleunigt, deren Betrag so gro˚ ist, dassder Block seine Lage relativ zum Keil beibeh‰lt (Abbil-dung 4.42). a) Gesucht ist die Beschleunigung a. b) Wasw¸rde passieren, wenn der Keil st‰rker beschleunigt w¸rde?

34 * * *Die Rolle einer Atwood×schen Fallmaschine wirdmit der Beschleunigung a nach oben beschleunigt (Abbil-dung 4.43). Berechnen Sie die Beschleunigung der Gewichteund die Zugspannung in dem Verbindungsseil. Hinweis: Einekonstante nach oben gerichtete Beschleunigung hat die gleicheWirkung wie eine Verst‰rkung der Beschleunigung durch dieGravitation.

m1

m2

4.40 Zu Aufgaben 28 bis 31.

30°

4.41 Zu Aufgabe 32.

a

60°

4.42 Zu Aufgabe 33.

m1

a

m2

4.43 Zu Aufgabe 34.


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