Eichler 1969

Zur Begriindung der Theorie der automorphen Funktionen

in mehreren Variablen

M. EICHLER (Basel, Schweiz)

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Herrn A. M. Ostrowski zum 75. Geburtstage gewidmet

Einleitung

Die Einladung, an einem Festband mitzuwirken, der Herrn OSTROWSKI zum 75. Geburtstage gewidmet werden soll, erreicht mich zu einer Zeit, in welcher ich mit Gedanken zur Begriindung eines heute viel beachteten Forschungszweiges besch~ftigt bin. Dabei scheint es mir, als bringe ein Tell der aufgewendeten Miihe nicht den Ertrag ein, den wit in der Theorie der automorphen Funktionen in einer Variablen kennen. Es ist ganz einfach ein Mangel, wenn ein Anf~nger einen so langen Weg zuriicklegen muss, bis er an dem Thema aktiv mitarbeiten kann; undes ist daher eine wichtige Aufgabe, die reichen Entdeckungen der Vergangenheit, und gerade auch der jiingsten Vergangenheit, immer wieder neu zu durchdenken, bis sie die reife Form finden, die manchen yon ihnen heute noch fehlt. Dieser Aufgabe versucht der nach- stehende Artikel zu dienen, und ich hoffe, meinen verehrten Kollegen mit der Widmung zu erfreuen.

Die am 1/ingsten bekannten automorphen Funktionen sind die Abelschen Funk- tionen; wegen ihres besonders einfachen Charakters fiihrten sie indessen nicht zu einer allgemeineren Theorie. Eine solche verdankt ihr Entstehen haupts~chlich den von HILBERT und SIEGEL ausgehenden Impulsen. (Auf ein ausftihrliches Literatur- verzeichnis muss ich im lnteresse der Kiirze verzichten.) Beide Male standen zahlen- theoretische Interessen im Hintergrund. HILBERT suchte nach funktionentheoretischen Hilfsmitteln zur Konstruktion von Klassenk6rpern nach dem Vorbild der klassischen komplexen Multiplikation. Die ersten Erfolge seines Ansatzes finden wir bei HECKE. Teilweise schon dieser, in vollem Umfange aber SHIMURA, TANIYAMA [11], [12] und WEIL [17] begrtindeten ihre Untersuchungen mit Methoden der algebraischen Geo- metrie: Modulfunktionen sind Moduln yon Familien Abelscher Mannigfaltigkeiten, und auch andere automorphe Funktionen h/ingen mit Abelschen Mannigfaltigkeiten zusammen, wenn auch weniger direkt [12].

SIEGEL wurde durch die Entdeckung auf die Modulfunktionen gefiihrt, dass sich ein friiher weniger beachteter Satz yon MINKOWSKI in der analytischen Zahlentheorie der quadratischen Formen als eine Identit/it zwischen Thetanullwerten und verall- gemeinerten Eisensteinschen Reihen schreiben 1/isst. Hiermit hatte er das Motiv und

Received January 2, 1968 and, in revised form, May 29, 1968.

94 M. Eichler AEQ. MATH.

auch die Hilfsmittel, seine beriJhmte ,,Einftihrung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades" [13] zu schreiben. SIEGELS Arbeiten regten einerseits die Entstehung einer allgemeinen, Zahlentheorie und Analysis verbindenden Theorie der Ad61er~iume zu algebraischen Gruppen an; von dieser wird im folgenden nicht geredet.

Auf der anderen Seite gab SIEGEL die erste rein funktionentheoretische Begrtindung der Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades. FOr die etwas einfachere Theorie der Hilbertschen Modulfunktionen leistete dasselbe kurz darauf MAASS [10] nach SIEGELS Vorbild. Es besteht die Aufgabe, nachzuweisen, dass die Modulfunktionen eines Typs einen endlich algebraischen Funktionenkt~rper bilden, und diesen dann mit Methoden einer mehr formal algebraischen Theorie weiter zu studieren. Die auf SIEGELS grundlegende Arbeit von 1939 folgende Entwicklung strebte sowohl nach methodischer Einfachheit wie nach gr~Ssstmtiglicher Allgemeinheit. Zuerst gelang es GUNDLACH [8] bei der Hilbertschen Modulgruppe, sodann ANDREOTTI und GRAUERT [1], sowie SPILKER [16] bei einer gr/Ssseren Klasse von Gruppen, die Schwierigkeiten zu verkleinern, die dutch die Unendlichkeit des Quotientenraumes verursacht werden.

Aber noch fehlte die Kenntnis der geometrischen Struktur des Quotientenraumes, die mit seiner sogenannten Kompaktifizierung zusammenh/ingt. Diese verdanken wir SATAKE, und H. CARTAN [3] zog daraus die entscheidende algebraische Konsequenz im Falle der Siegelschen Modulgruppe; d.h. er zeigte, dass der Ring aller ganzen Modulformen endlich erzeugt ist. Schliesslich konnten BAILY und BOREL [2] alle wesentlichen Erkenntnisse in der Theorie der Modulfunktionen auf eine grosse abstrakt beschriebene Klasse automorpher Funktionen iibertragen, allerdings nur unter einem enormen Aufwand an eigener MiJhe und an Benutzung yon Hilfsmitteln aus benachbarten Disziplinen.

Hier soll nun eine neue Begriindung der Theorie vorgelegt werden, die vor allem einfach ist. Das gelingt aber nur, wenn man sich auf solche automorphen Funktionen beschr~nkt, die man in einem heute oft verwendeten, wenn auch nicht scharf definierten Sinne als die klassischen bezeichnen kSnnte. Ich gehe yon einer Reihe yon Voraus- setzungen aus, welche teils den Fundamentalbereich der Gruppe, teils die Entwickel- barkeit der automorphen Formen in Fouriersche Reihen betreffen. Man findet die Beweise hierftir im Falle der Siegelschen Modulfunktionen bei SIEGEL [13] (nut § 1 und § 2), und fiir die Hilbertschen Modulfunktionen bei MAASS [10] (ja meist schon frtiher). Die eigentlichen Schwierigkeiten beginnen aber erst jetzt, und ich glaube, sie durch die folgenden Betrachtungen zu vermindern.

Line Frage bleibt prinzipiell often: ftir welche Gruppen die erw/ihnten Voraus- setzungen zutreffen. Vermutlich sind das die allgemeinen Modulgruppen in einfachen involutorischen Algebren (SIEGEL [14]), ja vielleicht sogar auch die diskontinuierlichen Untergruppen yon einfachen Lie-Gruppen von einem Ausnahmetypus.

Zur Vermeidung eines schwerf~lligen Ausdrucks trenne ich die Aussagen und die Voraussetzungen; ich beziffere sie indessen mit .4 usw., sodass die Zugeh6rigkeit klar

Vol. 3, 1969 Ziir Begrfindung der Theorie der automorphen Funktionen 95

wird. Ein Gebiet ,3 im n-dimensionalen komplexen Zahlenraum C" sei gegeben, sowie eine Gruppe F von analytischen Selbstabbildungen z ~ M ( z ) yon 3 und endlich ein Kozyklus 7M (z) aus holomorphen Funktionen; es sollen also die Gleicbungen

MN(z)= M, (11

bestehen. Unter einer automorphen Form (abgekfirzt a. F.) vom Grade h verstehe ich bier ausschliesslich eine in 3 holomorpbe Funktionf(z) , welcbe den Gleichungen

f ( M ( z ) ) ?M(z) h = f ( z ) M ~ F (2)

genfigt. Der Fall n = 1 wird ausgeschlossen, und eine Bedingung fiber das Verhalten in ,,Spitzen" braucht nicht gestellt zu werden.

A. Es gibt n + 1 nicht konstante und algebraisch unabhiingige a. F. irgendwelcher Grade.

B 1. Die Anzahl der linear unabhiingigen a. F. des Grades h ist <= c 1 h" mit einer geeigneten Konstanten e 1.

B 2. Die Quotienten gleichgradiger a. F. bilden einen endlich algebraisehen Funk- tionenkiirper in n Variablen.

C 1. Sind Yo (z) ..... y , (z) gleichgradige und unabhdngige a. F., so wird dureh sie der Quotientenraum 3/r auf einen offenen Teil ~.IJ~'(3 ) einer endlich vielbliittrigen Oberlagerung ?iJ~" des projektiven Raumes ~3" mit den Koordinaten Yv abgebildet. Der Abschluss yon 9J~" (3) in ~J~" ist gleich ~JJl'.

Man interessiert sich natiirlich ffir die Restmannigfaltigkeit .qJ~'-~JJ~" (3). Ftir ihre Untersuchung muss man die Gruppe F genauer kennen. Ich studiere ~J~'-gJt" (3) am Schluss von§ 3 im Falle der Hilbertschen und der Siegelschen Modulgruppen.

C 2. Der graduierte Ring der a. F. besitzt ein endliches Erzeugendensystem. Die Aussage C 1 drfickt die Kompaktifizierung von 3 / F aus. Im Gegensatz zu

Satakes direktem Studium yon 3 / F erreichen wit das Ziel durch einen einfachen formalen, auf B 2 gegrfindeten Schluss. Unser Beweis von C 2 ist von C 1 logisch unabhangig.

Die S~itze von GUNDLACH [8] und ANDREOTTI und GRAUERT [1], welche fiber B 2 hinaus behaupten, dass alle meromorphen automorphen Funktionen einen endlich algebraischen Funktionenk6rper bilden, fibergehe ich bier. Ein Beweis mtisste win- zipiell mittels des (elementar beweisbaren) Satzes yon CHOW mCJglich sein, den man auf die projektive Mannigfaltigkeit ~J.R n anwendet. Es mfisste allerdings gezeigt werden, dass die i. a. auftretenden Singularit/iten nicht st~ren.

Die eigentlichen Schwierigkeiten rfihren yon der Unendlichkeit des Quotienten- raumes 3 / F her. Bei der folgenden Aussage ist es gerade umgekehrt, und ich beschr~in- ke reich bei ihr auf die Siegelschen Modulfunktionen (die Hilbertschen Modul- funktionen kann man nach diesem Vorbild ebenso behandeln).


D. Es gibt ein Erzeugendensystem fiir den Ring der Modulformen, dessen Elemente bei ihrer Entwieklung in einer Spitze ganze rationale Fourierkoejfizienten haben.

§ 1. Die Voraussetzungen

A 1. Es gibt eine algebraische Gruppe ~ yon analytisehen Selbstabbildungen yon ~, erkliirt in einem endlich algebraisehen Zahlkdrper f2. Dieser sei irgendwie in C ein- gebettet. Die Perfektisierung yon Z in C liefert eine in 3 transitive Lie-GruppeS*.

A 2. Die Funktionen yM(Z) lassen sichfiir alle M e Z unddann auehfiir alle MEZ* bilden; dabei sei stets 7M(z)¢O fiir alle ze ~. Die Gleiehungen (1) gelten allgemein.

A 3. F sei eine Untergruppe yon Z yon der Art, dass fiir jedes M e Z der Index [F:F c ~ M F M - i ] < oo ausfiillt.

Die letzte Bedingung betrifft die Untergruppen S i c S, und Z*cZ* definiert durch

= 1

und ihre Darstellung im Raume der analytischen Funktionenf(z) . Sei M: zi~mi (z, t) ( i= 1,..., n) das allgemeine Element von Z*, dabei seien t=(fi .... ) Parameter in der Umgebung des Einselements E, und dieses sei durch die Parameterwerte t~ = 0 gekennzeichnet. Fiir ein Parametersystem t, =zs~ mit z ~ 0 ist dann

f ( m ( z , t ) ) = f ( z ) + z az~z~L d~m"(z' ~s)A,=o + . . . . f ( z ) + / z= l

+ - o) + . . .

# , v = l

Die Differentialquotienten

= d4 m , ( z . e s ) . : . o ~=O

sind die Koeffizienten yon Matrizen, welche die zu 2/* geh6rige Liesche Algebra darstellen.

A 4. Es gibt eine automorphe Form f (z) , einen Punkt Zo e 3 und dazu n Elemente Mie Z* und dann auch solche in Z1, dass die aus n Vektoren ~ O f / Sz, l~u v gebildete Matrix den Rang n hat. u

Diese letzte Bedingung soll im Beispiel der Siegelschen Modulgruppe F = Sp (g,Z) verifiziert werden; dabei sei g > 1. Es ist Z=Sp(g,Q), und

u - t , UeSL(g, Q), U-~S symmetrisch . Bei I;* und I;* ersetzt man Q

Vol. 3, 1969 Ztir Begrfindung der Theorie der automorphen Funktionen 97

durch den reellen Zahlk6rper R. Die Variablen z~ werden zu einer symmetrischen g-reihigen Matrix Z zusammengefasst; deren lmagin~irteile bilden eine positiv definite Matrix. Schon die Untergruppe Z ~ U Z U ' von Z'~ leistet das Verlangte; sie liefert n~imlich bekanntlich eine irreduzible Darstellung von SL(g, R) durch lineare Substitutionen, und die Differentialquotienten yon Nachbarelementen des Eins- elements transformieren einen Vektor, der nicht der Nullvektor ist, in n=½g(g+ 1) linear unabh~ingige Vektoren.

Man braucht also nut eine a. F. f(Z)~aconst, anzugeben. Eine solche vom Grade h = 4 ist die 8. Potenz des Thetanullwerts

O(z)= y m

Bei dem Beweis der Funktionalgleichungen sind einige Rechnungen nicht zu vermei- den. Sie reduzieren sich auf ein Minimum, wenn man zun~ichst das Verhalten yon O(Z) bei den yon WrrT [18] engegebenen Erzeugenden studiert und dann die all- gemeinste Funktionalgleichung zusammensetzt [4]. Zum Verhalten von O(Z) bei der Kongruenzuntergruppe rood 2 vgl. auch [9]. Die Funktion O(Z) 8 ist vor den Eisen- steinschen und Poincar6schen Reihen dadurch ausgezeichnet, dass ihre Fourier- koeffizienten sofort als ganze rationale Zahlen erkennbar sind; solche Modulformen braucht man bei den Anwendungen der Theorie in der Zahlentheorie (Konstruktion

yon Klassenk6rpern). Im Falle der Hilbertschen Modulgruppe zu einem reellen Zahlk/Srper f2 besteht

die Gruppe S 1 aus den simultanen Substitutionen z~ = :t 2 z v +/3~ wobei die Elemente ~ und [3~ untereinander konjugiert sind. Bei der Gruppe S* sind die c~ v und die fly unabh/ingig von einander wS.hlbar, jedoch ~.~0. A 4 verlangt jetzt die Existenz einer a. F. f(z), die yon allen Variablen wirklich abhO, ngt. Bekanntlich gibt es gar

keine anderen a. F. Ftir eine Translationsgruppe des Raumes 3 = C" sind die Differentialquotienten der

Gruppe 0, und der Satz A l/isst sich in diesem Falle, also speziell fiir die Abelschen

Funktionen nicht so beweisen. B 1. Entweder ist 3IF kompakt. Oder es gibt einen kompakten Tell } l c 3 / F und

3 ~ F - f l zerJ?illt in endlich viele zusammenhiingende Teile ~ , die Spitzen. Im Falle einer einzigen Spitze darf R als leer angenommen werden.

Zu jeder Spitze existieren n Koordinaten u,~=u,v(z)=x~+iy,~, das sind holomorphe Funktionen der Variablen z. Jede a. F. liisst sich in eine Fouriersche Reihe

f ( z ) = Z C~v e2=i( . . . . . + " " °c . . . . . . . )

v i

mit vi~Z entwickeln. Es gibt endlich Vektoren v,=(v,,t , ..., v,,) mit ganzen rationalen Komponenten von


der Art, dass die Anzahl der n-Tupel v= (v a . . . . . v,) mit

C a v -7/= O , Z V i L~a i ~ m i

hO'chstens c 2 m n mit einer Konstanten c 2 ist.

Konvergiert (3)f//r einen Punkt (u~,,)~ ~ , so k onvergiert (3)fi ir (u~,,)= ( u ~ + u v~ ~)

absolut und gleichm6ssig in u f i i r - e < I m (u) (e > 0). B 2. Es gibt eine positive stetige Funktion It (z), sodass f i i r eine a. F. vom Grade h

das Produkt It (z) h If(z)] bei F invariant ist.

Wenn Spitzen auftreten, so bestehen f i i r z ~ S~ Ungleichungen

0 < It1 < It (z)

und wenn die Koordinaten yon z speziell u~ ~ = u~ ~ o + u v~ ~ mit variablen u sind, ausserdem

I t ( z ) < Im( ) dabei sind It1, It2, r Konstanten.

Bei Modulfunkt ionen der symmetrischen Matrixvariablen Z = X + i Y des Grades g sind die Fourierschen Reihen (3)

f ( Z ) = Z cu ez~i '~(uz, , (s = Spur)

wo N die Matrizen solcher quadrat ischer Formen durchliiuft, ffir welche N i x ] > 0 und ganzzahlig ffir alle ganzzahligen Vektoren x ausf/illt. Es gibt nur eine Spitze ~ . Der Vektor (v~) wird durch die Einheitsmatrix E gegeben. Die Anzahl der N mit c ~ 4 : 0 und s ( N ) < m ist bekanntlich 0 (m") mit n = ½ g ( g + l ) . Die Funktion It(z) ist

It(Z) = IYI '/2 , der Exponent in B 2 ist r=g/2 .

Die erwiihnte gleichmiissige Konvergenz von (3) for Z = Z ° + u E mit Z ° i m Fundamentalbereich und - e < l m ( u ) ergibt sich so: Nach [13] ist das Minimum It, von yO gri3sser oder gleich x/~. Nach dem folgenden Lemma ist daher der kleinste Eigenwert 2~ von yO gr/Ssser als eine positive Konstante. Daher liegt ffir ein e > 0 und - e < I m ( u ) die Matrix Z ° + u E noch im oberen Halbraum, und folglich konvergiert ffir sie die Reihe (3) absolut und in u gleichmiiss]g.

LEMMA. Es gibt eine positive nur von g abhiingige Konstante ~ derart, dass zwischen

dem kleinsten Eigenwert 2~ einer reduzierten positiven Matr ix Y und ihrem Minimum

It1 die Ungleichung 21 > ~t~1 besteht.

Beweis durch vollst/indige Indukt ion bzgl. g. Fiir g = 1 ist Qg = 1. Falls die Be- hauptung nicht zutrifft, gibt es eine Folge reduzierter Matrizen Y = Y(~), ffir welche 2 | / I t ~ r strebt. Es beschr/inkt nicht die Allgemeinheit, wenn man It~ = 1 konstant annimmt. Wenn nun auch die i.ibrigen Diagonalkoeffizienten It~ beschr/inkt bleiben, so entnimmt man den ffir reduzierte Y bekannten Ungleichungen

!

ygIY[ ~ It~ ... Itg =< ~,g IYI,

Vol. 3, 1969 Ztir Begrfindung der Theorie der au tomorphen Funkt ionen 99

dass die Determinante I Y] beschr~inkt ist. Dann sind aber alle Eigenwerte nach unten und oben beschriinkt, im Widerspruch zur Voraussetzung.

(rl, Y12 , Man zerlege nun Y = Y12 Y22] wobei Yll und Ylz beschr/inkt bleiben, w/ihrend

das Minimum yon Y22 gegen oQ strebt. Ferner sei v = ein Vektor der L/inge 1, 02

ftir welchen

v' Yv = vtl Yllvl + 2vtt Y~2v2 + v~ r22v2 = )~1

gilt. Y22 ist reduziert, wenn Y reduziert war. Nach der Induktionsannahme strebt daher der Quotient v 2 Y22v2"[v2]-2-- , ' .~ . Wegen der letzteren Gleichung und der Beschr~inktheit yon Y~ und Y~2 muss also v2-~0 streben. Ferner ist Y~I reduziert

und daher wegen der lnduktionsvoraussetzung

Dr 1 YlIVl >-- ~ol/qvll 2 = ~[UI[ 2

mit einer Konstanten 0 > 0, sowie vtl Y12 v2-,'O. Demnach ist )~1 nach unten beschr~inkt, im Gegensatz zur Voraussetzung.

Bei geeigneten Spezialisierungen yon Siegelschen Modulformen erh/ilt man a. F. zu anderen Gruppen, und die Bedingungen B 1 und B 2 fibertragen sich in ersicht-

licher Weise. Die Voraussetzungen B treffen auch bei denjenigen a. F. zu, welche zu den Abel-

schen Funktionen gehGren. Das sind u. a. die Thetafunktionen

f ( z ) = O(Z, z) = Z e~ih-'zv"l+2 ~'"~'~ n l

z u r P e r i o d e n m a t r i x ( E ) , z = x + i Y , Y>>0; h ist der Grad dieser a. F.. Die Gruppe \ - - !

besteht aus den Translationen um die Vektoren q + Z t z, die Funktion 7M (z)ist e nIZ[t2]+znitzz. I n B 2 hat man

l , ( z ) = e (z = + i y )

zu nehmen. C 1. Wenn ~/F nicht kompakt ist, gibt es eine analytische Spezialisierung z~ =s~(~),

welche eine eindimensionale Mannigfaltigkeit in ~ /F oder auch in eine endlich viel- bldttrige (Jberlagerung yon 3/1" einlagert. Diese Mannigfaltigkeit ist der Quotient 3J /r ~ der oberen Halbebene und einer hyperbolischen Bewegungsgruppe F ~, deren Fundamentalbereich hGchstens endlich viele Spitzen besitzt. Und zwar mb'gen innere Punkte yon 3t /F ~ auf innere Punkte yon ~/F abgebildet werden.

Bei der Spezialisierung z~=s~(~) geht eine a. F. bzgl. F in eine a. F. bzgl. F 1 iiber, welehe im Inneren und in den Spitzen yon Z1/F 1 holomorph ist. Nicht alle a. F. bzgl. F

werden auf O abgebildet.

t00 M. Eichler AEQ. MATH.

C 2. Se i f i i r ein M 6 , Y , : z i ~ m i (z). Dann ist die Funktionaldeterminante IOta (z)/c3zl = yM(z) h° eine Potenz ,,on yM(z).

Eine solche Spezialisierung, wie sie in C 1 postuliert wird, ist im Falle der Siegel- schen Modulgruppe z.B. Z = E¢ mit der Einheitsmatrix E. F ~ ist die elliptische Modul- gruppe. Dass ftir eine a. F . f ( Z ) das B i l d f ( E Q auch in den Spitzen holomorph ist, geht aus der Fourierschen Reihenentwicklung yon f ( Z ) hervor.

Die Voraussetzung C 2 ist fiir die bekannten Modulformen und auch ftir ihr Analogon im ,,Abelschen Falle", n/imlich ffir die oben erw~ihnten Thetafunktionen, erfiillt.

§ 2. Beweise der Siitze A und B

Aus einer nicht konstanten a. F . f ( z ) vom Grade h bilden wir zun~ichst mit einem Element M e Z die Funktion

f ( M z) 7M (z) n

. . . . izi

Sie ist bei allen Substitutionen N ~ F c ~ M F M -1 invariant. Der Nachweis erfordert eine kurze Rechnung, in welcher die Abktirzung N ' = M N M - I benutzt wird; N' ist ebenso wie N in F enthalten. Nach (2) und (1) erh/ilt man so

~b(Nz) f ( M Z ) T N ' ( M z ) - h )'M(Nz)h ( m z ) ( N z ) -1 yN(Z)- ' ?M(Z)

und das ist in der Tat gleich ~b(z). Ftir M setzen wir n Elemente M~ aus der Untergruppe Z~ und in der Nachbarschaft

des Einselements ein, und erhalten n Funktionen I I

= _ ~, 0 1 o g f i (z~ Z~o)+ q9 i(z) f ( M i z ) I = z luv - . . ' . f ( z ) ,_, ~z u

~ , v = l

Nach der Voraussetzung A 4 ist bei passender Wahl yon f(z) , Zo, und der Mi die Funktionaldeterminante

n

,u=l

Die Funktionen q~i (z) sind also unabh/ingig. Sie sind bei der Gruppe

F ' = F n M I F M ~ 1 c~ ... n M. F M~ 1 invariant.

Nach A 3 hat F ' in F einen endlichen Index. Sei F = w F'N~ eine Zerlegung in Nebenklassen. Dann sind die bzgl. des Index v symmetrischen Polynome in den

Vol. 3, 1969 Zfir Begrfindung der Theorie der automorphen Funktionen 101

~ol (N,.z) bei F invariant. Unter ihnen kommen wegen der Konstruktion n unabhfingige Funkt ionen vor. Mit passenden Potenzen v o n f ( z ) multipliziert ergeben diese Funk- tionen n + 1 a. F.; der Beweis des Satzes A ist damit fertig.

Die Schlussweise versagt bei den Abelschen Funktionen, weil dann A 4 nicht zutrifft. Aber die Existenz von n + 1 unabh~ingigen Thetafunktionen kann man in dem Falle bekanntlich ohnehin leicht beweisen. Bei den iibrigen Beweisen brauchen die Abelschen Funktionen nicht mehr ausgeschlossen zu werden.

Zum Beweis des Satzes B 1 denken wit uns das Kompak tum R der Voraussetzung B 1 durch endlich viele offene Polyzylinder ~3, ..... ~ tiberdeckt, gegeben durch Ungleichungen IwQ,,I < 1 fiir Systeme we = (wo, ..... %,) yon passenden uniformisierenden Variablen. Eine a. F. f ( z ) ~ O vom Grade h und von folgender Beschaffenheit sei vorgelegt: in allen Potenzreihen

v 1 Vn f ( z ) = ~ d e ,. we, . . , we, (4) in den ~o sei

n

d,,,,=O ftir y, v~<m (5a) i = 1

mit einer gewissen natiirlichen Zahl m, yon der spfiter die Rede sein wird; ferner gelte

fiir die Fourierschen Entwicklungen (3) in allen Spitzen ~ ,

w, i '~ = 0 ffir ~ v iv, i < m . (5b) i

Das Produkt # (z) hlf(z)l nimmt nach B 2 in dem Abschluss von ~1 w ... sein Maximum an. Das sei in dem Punkt P der Fall.

1st der Punkt P in einem der Polyzylinder s]3 o enthalten, so mbge er die Koordi- naten w o ~ o haben. Wir spezialisieren nun die Variablen wQ ~ in der Weise w 0 ~ = w o ~ o

mit einer weiteren Variablen 4 und bilden die Funktion

co

q) (~)=f (wt , lO4 . . . . . w,,,og) = ~ Y~,{'*. i L = m

lhre Potenzreihenentwicklung beginnt wegen der Voraussetzung (5a) frtihestens mit 4". Da q)(4) durch Spezialisierung v o n f ( z ) entsteht, und weil/*(z) h If(z)l in %vo sein Maximum annimmt, so nimmt auch/~ (~)h [(p (4)] mit tL (4) = ~' (wQ~ o 3) in einem Kreise [4] < 1 + e m i t hinreichend kleinem s an ein Maximum, und zwar gerade an der Stelle

= 1. Der Wef t dieses Maximums sei M. Aus

q ) ~ l ' = 2 ~ i 4 - 1


en tn immt man jetzt die Absch/itzung

M l + e (1 + e ) 1 - " M p(l)n = I~o(1)1 < - - - Max Iq~(¢)c-m[ < . . . . Max

t; I~1=1+, 8 I¢l=l+elt(~j h

und welter

l + e h Maxl~(z) (1 + e) m < e - pQ' Pe = ~,lin-p(Z)' (6)

M a x i m u m und Min imum im Abschluss von ~ genommen. Wenn der Punkt P nicht in einem der Polyzylinder liegt, so liegt er auf dem Rande

eines solchen und gleichzeitig in einer Spitze ~ . In den K oordinaten u , , yon @~ m6ge P jetzt durch u , , = U , vo gekennzeichnet sein. In diesem Falle spezialisieren wit die Variablen so: u,~,=u~,,o+UV,, ~ mit einer neuen Variablen u und dem in B 1 genannten Vektor v~v. Die ents tehende Funkt ion ist nicht =0 . Sie hat eine Fouriersche Reihenentwicklung

qo(u) = f ( u , , o + u v,,,) = ~ Yu e2'~i" u,

die wegen der Voraussetzung (5b) friihestens m i t e 2 "~"" beginnt. Bei dieser Spezialisie- rung werde/a (z) = p (u). Wir zerlegen noch u = x + iy in Real- und lmaginfirteil. Solange y zwischen gewissen Schranke Yl und Y2 liegt, n immt das Produkt tt (u) h I ¢(u)l sein M a x i m u m an der Stelle u = 0 an. Bei wachsendem y bleibt nun ~o(u)=0 (e -2" my), und nach B 2 p (u) = 0 (y ') . Aus dem Grunde n immt tt (u) h [ ~o(u)[ auch im Gebiet y~ < y ei n M a x i m u m an. Das sei an der Stelle u = Uo der Fall, und der Wer t des Max imums sei M. Aus

f . . . . . . . aw e 2 : r i w _ e 2 n i u o

erstreckt tiber I m ( w ) = y o - e und - ½ < R e ( w ) < ½ ( y o = I m ( u o ) ) , en tn immt man jetzt die Ungleichung

f ~ qo M e2~my ° ~O(Uo) e_2,~i,.~o 1

p

P(Po) h e~ ~ ; ~ 1 Max (w) e-2 ',

1 M -el ~xm~- i - Max p-(w)h

und weiter

= -e u---i \Min (w)]" Nach B 2 hat p (w) fiir die zugelassenen Werte von w eine positive untere Schranke, und nach oben i s t /~ (uo)=0(y~) . Wegen unserer Ungleichung gibt es also zwei Kon-

Vol. 3, 1969 Zfir BegriJndung der Theorie der automorphen Funktionen 103

stanten C 3 und p, sodass e 2nm~ <= C311 h (7)

ist; und zwar h~ingt c3 noch yon s ab. Nach dieser Vorbereitung legen wir die positive Konstante e < 1 fest. Den Grad h

lassen wir gegen ~ streben. Es gebe H(h) linear unabhfngige a. F. vom Grade h. Nach Satz A w~ichst diese Anzahl mit h unbeschrfinkt. Man bestimmt die natfirliche Zahl m ffir jedes h aus ('n

s c 2 ( m - 1)" + ,- < / 4 0 ) _-_ so2 . , " + , (8) n it

wo s die Anzahl der Spitzen, r die Anzahl der Polyzylinder ~3 e und c2 die in B 1 genannte Konstante bedeuten. Aus sovielen linear unabh~ingigen a. F. kann man dann immer ein f ( z ) # 0 kombinieren, dessert Reihenentwicklungen (3) und (4) die Bedin- gungen (5a, b) erffillen. Aus der Existenz eines solchen f ( z ) folgt dann die Gfiltigkeit einer der Ungleichungen (6), (7). Es gilt demnach mit einer Konstanten c4:

m < c4 h. (9)

Durch Kombination von (8) und (9) ergibt sich nunmehr

H(h) < sc2 c4+ 1 h" = cl h".

Damit ist Satz B 1 bewiesen. Bei Gruppen, deren Fundamentalbereich nur eine einzige Spitze hat, vereinfacht

sich der Beweis natfirlich. Vermutlich erhfilt man dann sogar oftmals praktisch gfinstige Abschfitzungen fiJr H(h). Im Falle der elliptischen Modulfunktionen liefert das Verfahren H(h)<h/2rcx/3~h/11. Das asymptotische Verhaltnis ist H(h)~h/12.

Zum Beweis von Satz B 2 seien f~(z) .. . . unabh~ngige a. F.. Man ersetze sie zu- n~chst durch geeignete Potenzen, sodass sie alle den gleichen Grad erhalten; dieser sei h. Es werde noch vorausgesetzt, dass unter ihnen n + 1 linear unabh~ingige auftreten. Nach dem Normalisierungssatz 1-19] gibt es n + l Linearkombinationen yo(z) .. . . ,y, ,(z) von ihnen, von denen die iibrigen ganz algebraisch und homogen

abh~ingen. Nun sei f (z ) irgendeine a. F.. Zwischen ihr und den Yv (z) besteht dann eine homo-

gene algebraische Relation

Co(),) f u + . . . + cN(y ) = 0, (10)

wobei die cv(y) homogene Polynome in den y~ sind. Ware das n~imlich nicht der Fall, so wtirde es im Gegensatz zu B 1 fiir jede Konstante c5 mehr als c5 hi linear unabh~in-

gige a. F. eines hinreichend grossen Grades h~ geben. Die Quotienten gleichgradiger a. F. bilden hiernach eine algebraische Erweiterung

104 M . E i c h l e r AEQ. MATH.

K des rationalen Funktionenk6rpers k = C(x~,), x v = y v Yo ~. Satz B 2 behauptet, dass der Grad [K:k] < oe ist. Zum Beweis sei K1 ein Unterk6rper vom Grade N fiber k. Die Anzahl der linear unabh/ingigen, von den yv ganz abh~ngigen a. F. f ( z ) eines Grades h2, ffir welche y o a f e K 1 liegt, wird bekanntlich dutch ein Hilbertsches Poly- n o m

H i ( 2 ) = N +~'1 n - 1 + ' ' " +7"

mit gewissen Konstanten 7~ gegeben, sobald 2 geniigend gross ist. Nach Satz B 1 ist N beschr~nkt.

§ 3. Beweis der S/itze C

Im kompakten Falle erfibrigen sich die meisten der folgenden 0berlegungen; die Voraussetzungen C 1 betreffen ja auch nur den nicht kompakten Fall.

Die Spezialisierung z~=s~(~) liefert eine homomorphe Abbildung des Ringes C [y] in den Ring aller ganzen a. F. in ~ bzgl. der Gruppe F ~. Der Kern ist ein homo- genes C[y]-Ideal 3 . Mit einer a. F. u # 0 e ~ vom Grade eh bilden wir

w o = y ~ +1, w l = u y l . . . . . w , = u y , ,

wobei wir ohne Beschrfinkung der Allgemeinheit voraussetzen dtirfen, dass Yo ~ 0 mod .3 sei. Jetzt ersetzen wir die y~ durch die w~; dann gilt also : Yo ~ 0, Yl - " " - Y, - 0 mod 3.

Entscheidend fiir unsere Schlussweise ist die folgende Konsequenz der Voraus- setzungen C 1: Die Restklassen yon C [ y ] mod ~ bilden eine eindimensionale projektive Mannigfaltigkeit; sie wird yon der kompaktifizierten Mannigfaltigkeit ,]~/F l in endtich vielen Blfittern lfickenlos tiberlagert. Wit setzen damit die Kompaktifi- zierungstheorie im eindimensionalen Falle, und zwar fiir ~ / F ~ voraus.

Die y~ (z) bilden 3 / r fu r einen offenen Teil ~1~" (3) des projektiven Raumes ~" mit den Koordinaten y~ ab. Wit zeigen zunfichst, dass der Abschluss von ~]3" (~) in ~]3" mit ~ " fibereinstimmt. W~ire das nicht der Fall, so gfibe es eine offene mit s~"(~) punktfremde Menge 91~ ~". Dazu gibt es n Linearkombinationen u 1 . . . . , u, der y~, deren gemeinsame Nullstelle ein Punkt in 9l ist. Da nac.h der Konstruktion je zwei der y, rood ~ linear abh/ingig sind, gilt dasselbe fiir die uv. Es beschr~nkt daher nicht die Allgemeinheit, wenn man u2 = . . . - u , - 0 m o d ~ voraussetzt. 1st auch noch u ~ - 0 m o d e , so nimmt man anstelle von ul die Funktion u] =u~ +ey o m i t einem hinreichend kleinen e, sodass die gemeinsame Nullstelle von u'j, u2 .... noch in 91 bleibt. Demnach darf man ul ~0 mod ~ annehmen.

Die Restklasse u S 3 ist eine a. F. in ~ und hat daher mindestens eine Nullstelle ~o in 31 oder in einer Spitze von 31. In z=s(~o) sind nun alle u~(z)=0. Es gibt aber eine einzige gemeinsame Nullstelle in ~3", und diese liegt nach der Voraussetzung in 91. Weil 91 und der Abschluss von ~ " (3) in ~ " ebenso wie 91 und ~" (3) punktfremd sind, haben wir damit einen Widerspruch gefunden.

Vol. 3, 1969 Ztir Begr(indung der Theorie der automorphen Funktionen 105

Die Behauptung C 1 folgt nun leicht. Zun/ichst bilden wir die Wronskische Deter- minante

Yo.. . Y,, ; i I !(JYo i i . . . . . . i I

w ( z ) = ' . . . . . . . i

cY. I I dz°!

Aus der Voraussetzung C 2 entnehmen wir sodann, dass sie eine a. F. vom Grad h (n+ l ) - h o ist. Uberall dort, wo W(z)vaO ist, bilden die Quotienten x~=y,,yo I (nach jeweils einer passenden projektiven Transformation) ein System von lokal uniformisierenden Variablen. Wie im Beweis von B 2 ausgeftihrt wurde, definieren die a. F. eine fSberlagerung !|J~" yon ~ " yon, sagen wir, N B1/ittern. Verzweigungen liegen h6chstens in den Nullstellen von W(z), denn in allen anderen Punkten bilden die xv uniformisierende Variable fiir sfimtliche Bliitter. Die Nullstellenmannigfaltigkeit von null(W) und daher erst recht die yon W ist eine algebraische Teilmannigfaltigkeit der Dimension n - 1 . Weil der Abschluss von ~ " ( 3 ) in ~ " gleich ~3" ist, und weil die analytische Fortsetzung einer a. F. auf ~ " auch eine a. F. ist, liegen tiber jedem Punkt yon ~ " (3) gleich viele Punkte yon 93~" (3). Das beweist Satz C 1.

Alle von den y,. ganz abh/ingigen a. F. bilden einen Noetherschen Ring, und ein solcher ist endlich erzeugt. Es bleiben also zum Beweis von C 2 besonders diejenigen a. F. zu untersuchen, welche von dell y~ nicht ganz abhfingen.

HILFSSATZ 1. Eine a. F. f ( z ) yore Grade h2 zu einer Untergruppe F' yon endlichem Index geniige der irreduziblen Gleichung (10). Dann geht ein Primpolynom p, welches co(y ) teilt, in nKi ~ ( W) at(/ wenn W wie bisher die Wronskische Determinante der y ist.

Bewei~. Die automorphen Funktionen zu F', d. h. die Quotienten gleichgradiger a. F., bilden eine endliche Erweiterung L yon K. Man w~ihle Yo zu c o (y) teilerfremd. Unter der Voraussetzung gibt es einen Primdivisor p von L, welcher in p aufgeht, und auf p einen regul/iren Punkt P, in welchem sich q)=J)'o ~ wie folgt verh~ilt: es gibt ein dutch p genau einmal teilbares Element ~zl ~L (d. h. ein Primelement bzgl. p) und n - 1 weitere geeignete Elemente ~z ..... ~,~ L, die durch p nicht teilbar sind, und deren Restklassen mod p einen Unterk/Srper yon endlichem Index in dem Restklassenk/Srper L/p bilden. Alle 7r,, zusammen bilden ein System yon in P uniformisierenden Variablen. q) ist dann der Quotient von Potenzreihen in den ~r~., und zwar geht ~z~ im Nenner auf.

Wenn nun im Gegensatz zur Behauptung p in nKl~ (W) nicht aufginge, so write q~ (nach einer geeigneten projektiven Transformation der x) in eine in P holomorphe Potenzreihe nach den x~ entwickelbar. Das ist aber ein Widerspruch.

HILFSSATZ 2. Es gibt ein M6 Z derart, dass die Nullstellenmannigfaltigkeiten yon


U (z) = nK/k (W(z)) und V (M Z) YM (z) G'~d u keine (n - - 1)-dimensionale Teilmannigfaltig- keit gemeinsam haben, ausgenommen vielleicht 9J~"- ~J~"( 3 ).

Beweis. Die Nullstellenmannigfaltigkeit von U(z) auf ~J~" besteht aus endlich vielen zusammenh~ingenden Teilen 9~B i, Mannigfaltigkeiten der Dimension n - 1. Wir w~ihlen auf jeder von ihnen einen ,,endlichen" Punkt pt aus. Die Urbilder der ~2B i in 3 bezeichnen wir mit w i, sie werden dutch die Gruppe F jeweils in sich abgebildet. Von den Punkten pi wfihlen wir nur je ein einziges Urbild zi~ 3. Wegen der voraus- gesetzten Transitivitfit von S* gibt es in S* und dann auch in S ein M derart, dass die M(z i) auf keiner der ro j liegen ; es gibt sotch ein M, welches sich nur wenig von dem Einselement unterscheidet.

Jetzt haben die Gesamtheiten FM(to i) mit den m j keine gemeinsame ( n - l ) - dimensionale Teilmannigfaltigkeit in 3 . Eine solche miisste n~imlich wegen des Zu- sammenhanges der 933 j und fflJoJ=130 j gleich einem to j sein. Daher mfisste M(z ~) auf m j liegen, im Gegensatz zur Konstruktion.

Beweisfiir C 2. Man kann den Hilfssatz 1 etwas anders formulieren: in dem durch die Yv definierten projektiven Modell gehen im Nenner des Divisors, der zu einer a. F. f ( Z ) geh6rt, htichstens Primteiler von ntc/k(W(z)) auf. Nach Hilfssatz 2 gehen bei passen d gew/ihltem M e 27 i m Nen ner des z u de r a. F. f ' (Z) = f ( M Z ) 7M (z) 6rad y (es i st eine a. F. zu einer kleineren Gruppe) geh/Srigen Divisors keine Primteiler von nK/k(W(z)) mehr auf. Dann muss nach Hilfssatz 1 der oberste Koeffizient co(Y ) der entsprechenden irreduziblen Gleichung co(y)f'N'+ ... + Co,(y ) = 0 konstant sein. Die inverse Transformation liefert nun

c o ( y ( M - ' z ) 7M ,(z) h) fN, + . . . . 0.

Hiernach ist eine a. F. immer entweder yon den y~ (z) oder den y~ ( M - ' z) ~M-, (z) h ganz abhfingig. Die letzteren sind Kovarianten der Gruppe F c~M-~FM. Durch Symmetrisierung erh/ilt man aus ihnen wie bei dem Beweis des Satzes A a. F. w,.(z) zu F, von denen sie ganz abh/ingen. Dutch Normalisierung der y~ (z) und w~.(z) kommt man endlich auf ein System von a. F., yon denen jede a. F. ganz abh/ingt. Wie oben bemerkt wurde, zieht das den Satz C 2 nach sigh.

Wir schliessen mit ein paar erg/inzenden Bemerkungen. 1. Die y~ (z) seien so gew~hlt, dass alle a. F. yon ihnen ganz abhfingen. Das System

der einrangigen Bewertungen yon k=C(x~), welches durch die homogenen Prim- polynomep (y) geliefert wird, sowie seine Fortsetzung auf K, ist yon den y~ nicht mehr abh/ingig. Bei verschiedenen Systemen solcher y~ (z) erh~ilt man verschiedene projek- tire Modelle 92R" derselben abstrakten algebraischen Mannigfaltigkeit. Diese ist mit der kompaktifizierten 3/F fast fiberaU analytisch fiquivalent, der Zusammenhang ist in den Nullstellen von gewissen Divisoren mOglicherweise gest/Srt.

2. Bezeichnet H(2, y) die Anzahl der linear unabh/ingigen a. F., deren Grad das 2-Fache des Grades der y~ ist, so ist H(2, y) fiir grosse 2 ein Polynom n-ten Grades

Vol. 3, 1969 Zfir Begrfindung der Theorie der automorphen Funktionen 107

in 2. Der konstante Term dieses Polynoms h/ingt von der Wahl des Modells nicht ab [5], [6-1. Hiermit erhSJt man eine lnvariante von Z/F, die dem Geschlecht im Falle n = 1 analog ist.

3. Die Frage liegt nahe, ob die Voraussetzung C 2 entbehrlich ist. Im Falle der Hilbertschen Modulgruppe gibt es Modulformen mit dem Transformationsgesetz

f ( M z ) ( c i z , + dl ) - r i (c2z2 -t- d2) -r2 , , , = f ( z ) ,

WO ¢1, C2, USW. algebraisch konjugierte Elemente bezeichnen und die VerhNtnisse r I : r z :... beliebig vorgeschrieben sind. Ist z.B. f(z) eine Modulform mit r 1 = r 2 . . . . . 2 ,

so ist

F(z) f(z) g2f(z) 3(~f(z)] 2 Oz, 2\ ~zi-- j

eine solche mit r~ =8, r 2 . . . . . 4. Wenn C 2 in der Tat bei der Begrtindung entbehrt werden kann, so liefern die Modulformen mit verschiedenen Verh/iltnissen der r~ dieselbe abstrakte algebraische Mannigfaltigkeit.

4. Es liege die Siegelsche Modulgruppe g-ten Grades vor. Die variable Matrix

wird so unterteilt:

\ 3

wo Z0 (g - l ) - r e ih ig ist. Eine Modulformf(Z) wird nach der letzten Variablen z in

die Fouriersche Reihe entwickelt:

f (Z)= ~ fm(Z o,~3) e 2~i .... , m - 0

dabei treten natiirlich nut Summanden mit m > 0 auf. Anwendung spezieller Modul- substitutionen zeigt, dass fo(Zo, 3) in ~ 2 ( g - 1)-fach periodisch ist. Weil andererseits fo in g holomorph ist, h~ngtfo yon g nicht ab und ist daher eine Modulform gleichen Grades wief(Z). Die Abbildung q~ :f(Z)--,fo(Zo) wurde zuerst yon SIEGEL [13] benutzt.

Es gibt eine Modulform, z.B. die in § 1 betrachtete 0 (Z) 8, welche bei wiederholter Anwendung yon • niemals 0 wird. Man nehme ein System yv(Z) gleichgradiger Modulformen, von denenyo (Z) dieselbe Eigenschaft hat. L~isst man Z aufirgendeinem Wege innerhatb des Siegelschen Fundamentalbereichs gegen den Rand yon 3 streben, so strebt der lmaginfirteil yon z gegen oe, und alley,. (Z) streben gegen Modulformen in Zo, sofern Zo in der Mannigfaltigkeit 30, d.h. im Endlichen, bleibt. Daher ist die ,,Restmannigfaltigkeit" gJ~"-s2R"(3) fiquivalent zu der zu Fo gehiSrigen Mannig-

faltigkeit 9J~o der Dimension no=½(g - 1)g. Der Kern der Abbildung 4~ im Ring ~ aller Modulformen ist das Ideal ~ der

sogenannten Spitzenformen, und q~ ist mit der Restklassenbildung , ~ ,~/~ fiquivalent.


Diese letztere ist eine algebraische Abbildung, und daher ist die Restmannigfaltigkeit ~.R"-.q.R" (3) eine algebraische Teilmannigfaltigkeit in ~l".

§ 4. Beweis von Satz D.

Es m6gen jetzt die Siegelschen Modulfunktionen vom Grade g > 1 vorliegen. Die Ubertragung auf die Hilbertschen Modulfunktionen zu einem algebraischen Zahl- k6rper f2 macht eine kleine, aber nicht entscheidende Schwierigkeit, wenn die Ideal- klassenanzahl yon f2 gr6sser als 1 ist.

Nach Satz A erzeugen f (Z)=8(Z) 8, die Potenzen ,f(Z) h, sowie die Summen E f ( M N i Z ) h YMN,(Z) 4h mit gewissen Me Z und /Vie F einen Ring 91, fiber welchem alle Modulformen F(Z) irreduziblen Gleichungen

coFN + '"+ cN=O, C v ~ (11)

geniigen. Wir studieren zunfichst die erzeugenden Elemente von ~ . Da ein gemein-

samer Teller der Koeffizienten yon M = ( A B ) k e i n e n Einfluss hat, k a n n m a n M

auch ganzzahlig, aber mit einer Determinante [MI = m > 1 annehmen. Die Abbildung f ( Z ) ~ f ( M N I Z ) h yMN,(Z) 4h ist dann eine Darstellung einer sogenannten Modular- korrespondenz. Nach einer bekannten Schlussweise von WlTT [18], die sich auf unseren Fall in selbstverstfindlicher Weise fibertrfigt, kann man Rie F so finden, dass

RIMNI=(C: BD;)=MgmitCi=Ogilt. Esistdann~',f(MNiZ)hTMNi(z)4h=~f(MiZ),

d.h. die Modularkorrespondenzen lassen sich durch ,,ganze" Substitutionen erzeugen. Es ist notwendig, diese Summen noch genauer zu studieren. In der Matrix M~ gilt

DriAi = m E, Dtl B i = B~ Di. Dann i st Bi D71 symmetrisch, bei festgehaltenen Ai, D~ durchlfiuft Bi D:, 1 eine endliche additive Gruppe symmetrischer Matrizen mod 1. Es gilt daher ffir jedes Glied der Fourierschen Reihe

CN e2nIs(NZ)'-~cNE e2nls(NaizD~-HE e2nis(sB'o~ -:t) Al Bi

Hiernach entsteht aus F(Z) eine Fouriersche Reihe, die wiederum ganze rationale Koeffizienten hat.

Jetzt sei F(Z) irgendeine Modulform; sie genfige der irreduziblen Gleichung (1 1). Die Koeffizienten cv schreiben wir als Polynome in einem System erzeugender Funk- tionen des Ringes ~R; als Koeffizienten treten Elemente aus C auf, welche ihrerseits als algebraische Funktionen fiber Q in einer endlichen Anzahl von unabhfingigen transzendenten Zahlen ~ e C aufgefasst werden k6nnen. Ebenso drficken wir die Fourierkoeffizienten von F(Z) als algebraische Funktionen fiber Q in diesen Elementen ~ und m6glicherweise noch weiteren aus. Es k6nnen h6chstens endlich

Vol. 3, 1969 Ziir Begriindung der Theorie der automorphen Funktionen 109

viele algebraisch unabh~ingige Koeffizienten yon F(Z) auftreten, da man aus endlich vielen zusammen mit der Gleichung (11) alle weiteren berechnen kann. Man sieht in dieser Weise sogar, dass die Fourierkoetfizienten von F(Z) in einem endlich algebraischen Funktionenk6rper A/Q liegen.

Wit betrachten zun~ichst die Funktion G = c o F; sie gentigt einer Gleichung

doGN +...+du=O, doeA. (12)

Ftir die Variable setzen wir mit n = ½ g ( g + l ) Unbestimmten zv:Z=y. Hv z~, wobei die Hv Matrizen ganzzahliger positiv definiter quadratischer Formen sind, fiir welche die Determinante Is (H, Hv)l ~ 0 ausf~illt. Damit werden alle Modulformen Potenzreihen in den Variablen q~=e z"~=', und die Koeffizienten der einen stimmen bei passender Numerierung mit denen der anderen tiberein.

Nun sei p ein Primdivisor von A, definiert als eine einrangige Bewertung von A, welche auf Q trivial ist. Man kann die Koetfizienten d v in (12) mit einem passenden Element aus A multiplizieren, sodass sie fiir p ganz und teilerfremd werden. Dann gentigt d o G einer Gleichung (12) mit oberstem Koeffizienten 1 und p-ganzen weiteren Koelfizienten. Da tiberdies d o G eine Potenzreihe in den qv ist, und da die d~ Potenz- reihen mit p-ganzen Koeffizienten sind, ist do G jetzt eine Potenzreihe mit p-ganzen Koeffizienten. Daraus folgt weiter, dass auch die ursprtingliche Funktion F als Potenz- reihe in den qvp-ganze Koeffizienten hat, wenn nicht codo=-0mod p war. Diese Kongruenz besteht abet h6chstens fiir endlich viele p. Daher treten in den Koeffi- zienten von F h6chstens endlich viele Primdivisoren im Nenner auf. Und zwar gehen diese Primdivisoren in den Nennern auch b6chstens so oft auf, wie in codo . Weil dieses ftir alle Primdivisoren yon A gilt, geh6ren die Koeffizienten von F einem

endlichen Q-Modul an. Der genaue Konstantenk/Srper yon A sei Q. Ferner sei co1({ ) ..... ~o,({) eine Basis

des genannten Moduls bzgl. Q. Mit dieser kann man F ( Z ) = ~ FQ(Z) ~o,.,({) schreiben, wobei die F,,(Z) jetzt Fouriersche Koeffizienten in ~ haben. Setzt man fiir die unabh~ingigen transzendenten Gr6ssen {v algebraische Zahlen ein, so werden die ~% ({) algebraisch, und F(Z) hat algebraische Fourierkoeffizienten. Auf der anderen Seite bleibt F(Z) bei jeder dieser Spezialisierungen die L6sung einer Gleichung (11), bei welcher die Koeffizienten Modulformen sind. F(Z) ist dann selber eine Modulform, wenigstens bezgl, einer Untergruppe von endlichem Index in F. Diese Untergruppe kann abet nur mit F identisch sein, denn sie ist es im Falle, dass man ftir die {v unabh~ingige Variable nimmt. Man kann fiir die {~ r solche Systeme algebraischer Werte einsetzen, dass die Determinante ]o~Q({~'))[ :#0 ausf~illt. Dann zeigt sich, dass

die F,(Z) Modulformen sind. Eines der FQ (Z) wird herausgegriffen und wieder mit F(Z)bezeichnet. Mit einer

Basis c% von ~ bzgl. {2 sei F(Z) = Z F, (Z) c%, wobei die FQ (Z)jetzt durch die Ratio-


nalitat der Fourierkoeffizienten definiert sind. Bei den Substitutionen T~: Z ~ Z + S mit einer ganzzahligen symmetrischen Matrix bleiben alle FQ (Z) ungefindert. Bei den Substitutionen Z ~ UZ U t mit einem unimodularen U permutieren sich die Glieder der Fourierschen Reihe von F(Z) und daher auch die der Summanden Fe (Z). Wegen der Invarianz von F(Z) und der Basiseigenschaft der ~% sind die FQ (Z) auch bei diesen Substitutionen invariant. Um zu zeigen, dass die FQ (Z) Modulformen bzgl. der vollen Gruppe F sind, braucht man nur noch ihr Verhalten bei der Substitution J: Z ~ - Z - 1 zu studieren. N~imlich nach Wn'J" [18] erzeugen die erwahnten Substitutionen die Gruppe F.

Es beschr~inkt nicht die Allgemeinheit, f2/Q als normal vorauszusetzen. Wir definieren eine Wirkung der Elemente a der Galoisschen Gruppe auf die F(Z) durch F(Z) ~ = ~FQ (Z) o~. Es entstehen Fouriersche Reihen, die bei den oben erstgenannten Gruppen von Substitutionen invariant sind. Sei L der K6rper aller Fourierschen Reihen mit dieser Invarianzeigenschaft und mit rationalen Koeffizienten. Das Poly- nom 7~(x)=l-I(x-F(Z) ~) hat Koeffizienten in L; ausserdem ist es in L irreduzibel, denn sonst hfitte man f2 durch einen kteineren, ebenfalls normalen Zahlk6rper ersetzen k6nnen.

Auf der anderen Seite genfigt F(Z) einer irreduziblen Gleichung (11), wobei die Koeffizienten Modulformen mit rationalen Fourierkoeffizienten sind. Diese Gleichung sei ~ ( x ) = 0. In dem K6rper L wird jetzt q~(x)= c 0 7/1 (x)7/2 (x)... in irreduzible Faktoren zerlegt; einer von ihnen ist 7- ' l(x)=7'(x ). Nun ist aber ~b(x) invariant, wenn man x mit I - Z[ 6~dF multipliziert und die Koeffizienten mit obiger Substitution J transformiert. Folglich permutieren sich bei dieser Operation die Faktoren tp~(x). Daraus geht hervor, dass diese auch bei den Substitutionen j -1 Ts J kovariant sind. Nun verifiziert man leicht

0

Demnach sind die ~i (x) bei allen Erzeugenden von F kovariant, d.h. die Koeffizienten yon 7J(x) sind bereits Modulformen bzgl. F. Dann ist ~ ( x ) = gS(x). Derselbe Schluss l/isst sich noch einmal anwenden, n~mlich die Anwendung yon J auf die Zerlegung ~P(x)=I-I(x-F(Zf). Es folgt zun~chst die Kovarianz der F(Z) ~ bei den Substitu- tionen J -1 TsJ und dann bei s/imtlichen Elementen yon F. Die F ( Z f sind also Modul- formen. Daraus folgt endlich, dass die F o(Z) Modulformen sind. Damit haben wir jede Modulform als eine lineare Kombination von Modulformen mit rationalen Fourierkoeffizienten dargestellt.

Genau wie oben, wo die Koeffizienten yon F(Z) aus dem K/Srper A stammten, folgt jetzt, dass der Nennervorrat der Koeffizienten der Modulformen F o (Z)endlich ist. Damit ist Satz D bewiesen.

Vol.3 , 1969 Z/Jr Begrfindung der Theorie der automorphen Funktionen l I 1

E ine A n w e n d u n g : nach StEGEL [-13] haben die Eisens te inschen Re ihen ra t iona le

Four ie rkoef f iz ien ten . N a c h Satz D haben sie dann solche von end l i chem Nenne r -

vorra t . FiJr G r a d e h=-0 rood 4 zeigt dies zuerst W i l t [18], ftir a l lgemeinere G r a d e

s o d a n n SmGEL [15].

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Universi t f i t B a s e l

Eichler 1969

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