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Einführung in die Fouriertransformation


Fouriertrans-

formation


Fouriertrans-

formation

Fouriertrans-

formation

inverse

Fourier-Entwicklung

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen:

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx)

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx)

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .


02π

1

−1


02π

1

−1

cos(x)


02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)


02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)

02π

1

−1cos(2x)

2π

sin(2x)


02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)

02π

1

−1cos(3x)

2π

sin(3x)


02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)

02π

1

−1cos(4x)

2π

sin(4x)


02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)

02π

1

−1cos(5x)

2π

sin(5x)


02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)

02π

1

−1cos(5x)

2π

sin(5x)

u.s.w.

Fourier-Entwicklung

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)


02π

1

−1


02π

1

−12π


02π

1

−12π

Fourier-Koeffizienten


02π

1

−12π

Fourier-Koeffizientenf4(x) = 0.9 ·cos(x)+ 0.5 ·sin(3x)+ 0.4 ·sin(6x)+ 0.3 ·cos(20x)

Fourier-Entwicklung

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)


3ππ−π−3π

x

f (x)


3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe


3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx))


3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)


3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

a0

2+

∞∑k=1


falls man ak , bk geschickt wählt, nämlich


3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

a0

2+

∞∑k=1



ak :=1π

π∫

−π

f (t) cos(kt) dt


3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

a0

2+

∞∑k=1



ak :=1π

π∫

−π

f (t) cos(kt) dt , bk :=1π

π∫

−π

f (t) sin(kt) dt


3ππ−π−3π

x

f (x)


3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe (andere Schreibweise)


3ππ−π−3π

x

f (x)


f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


3ππ−π−3π

x

f (x)


f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Fourier-Entwicklung Fouriertransformation

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:

Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:


Antwort:


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:


Antwort: Ja.


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:


Antwort: Ja. Durch die


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:



Fourier-Transformierte


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:




f∧(u) :=1

2π

∫∞

−∞

f (t)e−iut dt


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

f : R → R nichtperiodisch


f∧(u) :=1

2π

∫∞

−∞

f (t)e−iut dt


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

f : R → R nichtperiodisch

Fourier-Rücktransformation

f (x) =

∫∞

−∞

f∧(u)eiux du


f∧(u) :=1

2π

∫∞

−∞

f (t)e−iut dt

Fourier-Entwicklung Diskrete Fouriertransform.

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

f0, . . . , fN−1 diskrete Daten


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt


diskrete Fourier-Transformierte

Fn :=1N

N−1∑k=0

fke−ikn 2π

N

n = 0, . . . , N − 1


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt


diskrete Rücktransformierte

fn =N−1∑k=0

Fkeikn 2π

N


Fn :=1N

N−1∑k=0

fke−ikn 2π

N

n = 0, . . . , N − 1

Fourier-Entwicklung Diskrete 2D-Fouriertransform.

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

2D-Daten fk ,l1 N-1

01

N-1

...

0 · · ·

fk,l∈ {0, . . . , 255}


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

2D-Daten fk ,l1 N-1

01

N-1

...

0 · · ·

fk,l∈ {0, . . . , 255}


Fn,m :=1

N2

N−1∑k ,l=0

fk ,le−i(kn+lm) 2π

N

n, m = 0, . . . , N − 1


f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx


ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

2D-Daten fk ,l1 N-1

01

N-1

...

0 · · ·

fk,l∈ {0, . . . , 255}

diskrete Rücktransformierte

fn,m =N−1∑k ,l=0

Fk ,lei(kn+lm) 2π

N


Fn,m :=1

N2

N−1∑k ,l=0

fk ,le−i(kn+lm) 2π

N

n, m = 0, . . . , N − 1

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