Einführung in die beurteilende Statistik

Signifikanztests

Grundproblem:

- man versucht, aus den bei mehrmaliger Durchführung eines Zufallsexperiments aufgetretenen Ergebnissen auf die unbekannte, dem Zufallsexperiment tatsächlich zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu schließen

Grundbegriffe:

-jedes beobachtete Ergebnis heißt Realisierung von Z

- alle n Ergebnisse bilden eine Stichprobe vom Umfang n

Grundsätzliches Vorgehen:

Man vergleicht die unbekannte Verteilung mit einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die vermutete (bekannte) Wktsverteilung wird in der Nullhypothese H0 notiert. z.B. Würfel H0= p0=1/6

Bei Ablehnung von H0 spricht man von einem signifikanten Unterschied zwischen Stichprobe und Nullhypothese =

SIGNIFIKANZTESTman kann sich seiner Entscheidung, welche Hypothese zutrifft nicht völlig sicher sein:

Die Wahrscheinlichkeit, H0 zu verwerfen, obwohl sie zutrifft, heißt Irrtumswahrscheinlichkeit .

Nun wird das Zufallsexperiment durchgeführt z.B. 20mal Würfeln. Fällt dabei z.B. 12mal die Sechs, so kann der Würfel gezinkt sein, also H0 falsch sein oder dieses unwahrscheinliche Ereignis ist nur zufällig entstanden. Vermutlich wird man jedoch H0 ablehnen.

Je nachdem, ob Abweichungen von H0 nach oben (rechts), unten (links) oder nach beiden Seiten interessieren, ergeben sich die verschiedenen Testarten.

Testen von Hypothesen

Signifikanztests

zweiseitige Tests einseitige Tests

zweiseitigeSignifikanztests

linksseitiger ST rechtsseitiger STAlternativtests

Das Ziel von Signifikanztests liegt in der Ermittlung unbekannter Wahrscheinlichkeiten durch Vergleich mit bekannten Verteilungen.

1. zweiseitiger Signifikanztest

Beispiel: Der Altstadtbereich einer Kleinstadt ist zur „Tempo 30- Zone“ umgestaltet worden. Beobachtungen in den ersten Monaten nach der Umgestaltung ergeben, dass 10% aller Fahrzeuge die zulässige Höchstgeschwindigkeit überschreiten.

Nach zwei Jahren haben die Einwohner den Eindruck, dass dieser Erfahrungswert nicht mehr zutreffend ist und wollen dies an Hand der nächsten 100 Fahrzeuge überprüfen. ( = 0,05)

1. Nullhypothese festlegen:

H0: p0 = 0,10

2. Gegenhypothese festlegen: H1 : p1 ≠ 0,10

es ist nicht bekannt, ob die Wsk nach oben oder unten

abweicht

3. Verteilung feststellen Bn,p = B100;0,10

4. Angabe des Ablehnungsbereiches:

und damit gl = 4

und laut Tabelle

1. Nullhypothese festlegen:

H0 = 0,10

2. Gegenhypothese festlegen: H1 ≠ 0,10

3. Verteilung feststellen Bn,p = B100;0,10

4. Angabe des Ablehnungsbereiches: ergibt sich als links- und rechts-seitige Abweichung von H0

1. zweiseitiger Signifikanztest

Beispiel: Der Altstadtbereich einer Kleinstadt ist zur „Tempo 30- Zone“ umgestaltet worden. Beobachtungen in den ersten Monaten nach der Umgestaltung ergeben, dass 10% aller Fahrzeuge die zulässige Höchstgeschwindigkeit überschreiten.

Nach zwei Jahren haben die Einwohner den Eindruck, dass dieser Erfahrungswert nicht mehr zutreffend ist und wollen dies an Hand der nächsten 100 Fahrzeuge überprüfen. ( = 0,05)

2)(

lgXPaus

2)(

rgXPund

025,0)( lgXP

Aufteilung von

ergibt sich für links:

100;...;174...;1;0 K

somit ist gr= 17 und für den Ablehnungsbereich K ergibt sich

für die rechte Seite ergibt sich damit:

025,0)( rgXP1025,0)(1 1 rgXP

1975,0)( 1 rgXP

)( 1 rgXP ≥ 975,0

und laut Tabelle

gr-1= 16

2. Alternativtest

Beispiel: Frank und Peter stehen an einer Kreuzung und beobachten die vorbeikommenden Fahrzeuge. Nach einiger Zeit meint Peter, dass 30% aller Fahrzeuge LKWs sind. Frank hält dagegen und spricht von 40%. Sie einigen sich auf folgenden Test:

Es werden von den nächsten 100 Fahrzeugen die LKWs gezählt. Sind darunter höchstens 35 LKWs, so erhält Peter recht, ansonsten Frank (Signifikanzniveau 5%)

1. Nullhypothese festlegen:

H0: p0= 0,3

2. Gegenhypothese festlegen: H1: p1= 0,4

3. Verteilung feststellen: Bn;p= B100;0,3

aus der Tabelle ergibt sichda 35 Kwird H0 angenommen

für den Ablehnungsbereich ergibt sich also:

4. Angabe des Ablehnungsbereichs: da die Nullhypothese für große Werte der

Prüfvariablen abgelehnt wird: hier

rechtsseitig )( rgXP

führt nach Umstellen zu:

1)( 1rgXP also zu:

95,0)( 1 rgXP

gr-1= 38 also ist

gr = 39

100...;40;39K

3. Linksseitiger Signifikanztest

Beispiel: Lars liest in einer Jugendzeitschrift, dass die Musik einer bekannten Sängerin von mindestens 60% der Jugendlichen gehört wird. Daraufhin befragt er am nächsten Tag alle 25 Mitschüler seiner Klasse. Von diesen hören nur 9 diese Musik.Bestätigt der Test die Behauptung, wenn Lars eine Irrtumswahr-scheinlichkeit von 5 % zugrunde legt?

1. Nullhypothese festlegen:

Ho: p0 ≥ 0,60

mindestens 60%, d.h.

Wahrscheinlich-keit größer 60

2. Gegenhypothese festlegen: H1: p0< 0,60

3. Verteilung feststellen:

Bn;p= B25;0,60

4. Angabe des Ablehnungsbereiches

da die Nullhypothese verworfen wird, wenn nur wenige Leute die Sängerin mögen, handelt es sich um einen LINKSseitigen Test

3. Linksseitiger Signifikanztest

Beispiel: Lars liest in einer Jugendzeitschrift, dass die Musik einer bekannten Sängerin von mindestens 60% der Jugendlichen gehört wird. Daraufhin befragt er am nächsten Tag alle 25 Mitschüler seiner Klasse. Von diesen hören nur 9 diese Musik.Bestätigt der Test die Behauptung, wenn Lars eine Irrtumswahr-scheinlichkeit von 5 % zugrunde legt?

1. Nullhypothese festlegen:

Ho: p0 ≥ 0,60

2. Gegenhypothese festlegen: H1: p0< 0,60

3. Verteilung feststellen:

Bn;p= B25;0,60

4. Angabe des Ablehnungsbereichesfür den Ablehnungsbereich ergibt sich

)( lgXPaus folgt

05,0)( lgXP und aus der Tabelle

da über Eingang unten/rechts gesucht wird: 1-0,05=0,95

suchen

gl = 10

10...;1;0Kda 9 € des Ablehnungsbereiches ist, wird Ho verworfen

4. Rechtsseitiger Signifikanztest

Beispiel: Auf einer Messe wird eine neuartige Maschine angeboten. Die Ausschussquote der auf dieser Maschine hergestellten Teile soll nicht höher als 5% sein. Ein Kaufinteressent will die Maschine vor Vertragsabschluss jedoch testen. Dazu lässt er 100 Teile produzieren und erhält 6 Stück Ausschuss. Sollte er die Maschine trotzdem kaufen, wenn er eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% zu Grunde legt?

1. Nullhypothese festlegen: H0: p0≤ 0,05

2. Gegenhypothese festlegen: H1: p1 > 0,05

H0 wird abgelehnt bei sehr viel Ausschuss,

also handelt es sich um einen rechtsseitigen

Test

3. Verteilung feststellen: Bn;p = B100;0,05

4. Angabe des Ablehnungsbereiches:

aus P(X ≥ gr) ≤ folgt mit = 0,10

4. Rechtsseitiger Signifikanztest

Beispiel: Auf einer Messe wird eine neuartige Maschine angeboten. Die Ausschussquote der auf dieser Maschine hergestellten Teile soll nicht höher als 5% sein. Ein Kaufinteressent will die Maschine vor Vertragsabschluss jedoch testen. Dazu lässt er 100 Teile produzieren und erhält 6 Stück Ausschuss. Sollte er die Maschine trotzdem kaufen, wenn er eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% zu Grunde legt?

1. Nullhypothese festlegen: H0: p0≤ 0,05

2. Gegenhypothese festlegen: H1: p1 > 0,05

3. Verteilung feststellen: Bn;p = B100;0,05

4. Angabe des Ablehnungsbereiches:

damit ist gr-1 = 8 und gr = 9

- P(X ≤ gr-1) ≤ - 0,90 | · (- 1)

P(X ≤ gr-1) ≥ 0,90 und laut Tabelle

1- P(X ≤ gr-1) ≤ 0,10 | -1

für K ergibt sich also: {9; 10; . . . ;100}

Da 6 nicht zum Ablehnungsbereich gehört, wird der Interessent die Maschine trotzdem kaufen.