Rosenthal, J. - Elektrizitätslehre für Mediziner. Elektrotherapie
Elektrizitätslehre - Skriptzusammenfassung WS...
40
Elektrizitäts- lehre Prof. Wachutka (TU München) (inoffizielle) Skriptzusammen- fassung aktueller Stand: 02.02.2007
Transcript of Elektrizitätslehre - Skriptzusammenfassung WS...
Elektrizitäts-
lehre
Prof. Wachutka (TU München)
(inoffizielle) Skriptzusammen-
fassung
aktueller Stand: 02.02.2007
Vorwort zur 9. Auflage: Diese Skriptzusammenfassung entstand ursprünglich aus der Mitschrift der Erstsemester-Vorlesung „Elektrizitätslehre“, welche Herr Prof. Dr. Wachutka im Wintersemester 1999/2000 (und in den darauf folgenden Jahren im Wesentlichen unverändert) an der TU München für Studierende der Fachrichtung „Elektrotechnik und Informationstechnik“ gehalten hat. Sie wurde im April 2005 mit Hilfe des Originalskriptums auf den Stand vom Wintersemester 2004/2005 gebracht. Für diese Auflage wurden kleinere Textänderungen vorgenommen, welche auf einer Korrektur der Formelsammlung von Herrn Prof. Dr. Wachutka basieren. Des weiteren sind einige hartnäckige Druckfehler beseitigt worden. Wichtiger Hinweis: Diese Skriptzusammenfassung eignet sich hervorragend dazu, sich zusammen mit den Theorieerklärungen aus dem von der Fachschaft gedruckten Skriptums der Vorgängerprofessoren Börner und Stäblein auf die Prüfung vorzubereiten. Sie darf aber leider nicht in der Prüfung „Elektrizitätslehre“ an der TU München verwendet werden: In der Prüfung sind (außer dem Skriptum der Vorgängerprofessoren und einer mathematischen Formelsammlung) nur „5 Blätter DIN-A4 eigene handschriftliche Aufzeichnungen“ zugelassen. Kontakt: Die jeweils aktuelle Version dieser Formelsammlung und anderes (Formelsammlungen für andere Fächer, Linksammlungen etc.) kann man sich auf meiner Webseite herunterladen: http://studium.simonblank.de1.cc Korrektur- und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit herzlich willkommen. Ich bin unter folgender E-Mail-Adresse zu erreichen: [email protected]
Inhaltsverzeichnis Kapitel 1: Elektrostatik 1.1 Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen S. 1 1.2 Superpositionsprinzip S. 1 1.3 Elektrische Feldstärke S. 1 1.4 Elektrische Arbeit S. 1 1.5 Elektrische Spannung und Potential S. 2 1.6 Elektrische Felder in polarisierbaren materiellen Medien (Dielektrika) S. 3 1.7 Kontinuierliche Ladungsverteilungen S. 4 1.8 Elektrostatische Felder zwischen leitenden Medien S. 5 1.9 Kondensatoraggregate S. 6 1.10 Elektrostatische Feldenergie S. 7
Kapitel 2: stationäre Ströme 2.1 Elektrische Stromstärke und Stromdichte S. 8 2.2 Ladungstransport im elektrischen Feld S. 8 2.3 Ladungsbilanz S. 10 2.4 Schaltungen mit ohmschen Widerständen S. 10 2.5 Elektrische Netzwerke aus galvanisch gekoppelten Gleichstromkreisen S. 11 2.6 Elektrische Leistung und Energieübertragung S. 12
Kapitel 3: Magnetostatik 3.1 Kräfte auf im Magnetfeld bewegte Ladungen S. 13 3.2 Kraft und Drehmoment auf stromführende Leiter S. 14 3.3 Permanentmagnete S. 14 3.4 Quellenfreiheit der magnetischen Induktion S. 15 3.5 Erzeugung magnetostatischer Felder S. 15 3.6 Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte aus stationären Stromverteilungen S. 16 3.7 Magnetische Kreise S. 18
Kapitel 4: induzierte elektrische Felder und Spannungen 4.1 Bewegungsinduktion S. 20 4.2 Galvanomagnetismus (Hall-Effekt und Hallspannung) S. 20 4.3 Ruheinduktion S. 21 4.4 Allgemeine Form des Induktionsgesetzes S. 21 4.5 Induktivität S. 21 4.6 Transformatoren S. 22 4.7 Magnetostatische Feldenergie S. 23
Kapitel 5: Elemente der Wechselstromlehre 5.1 Grundlegende Begriffe S. 24 5.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen S. 25 5.3 Wechselstromrechnung mit Hilfe komplexer Zahlen S. 26 5.4 Einfache Wechselstromschaltungen aus R, L und C S. 29 5.5 Leistung und Effektivwerte S. 30 5.6 Gedämpfter Schwingkreis – eine Fallstudie S. 35 5.7 Transformator in komplexer Rechnung S. 36
- 1 -
Kapitel 1: Elektrostatik 1.1 Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen
1 2
2 1 1 2 e 2
2 1
q qF F
r r← ←
⋅= = γ ⋅
−
mit e
0
1
4πγ =
ε (im Vakuum)
(1.1)
( )1 22 1 1 2 2 13
0 2 1
q q1F F r r
4π r r← ←
⋅= − = ⋅ ⋅ −
ε −
Coulombsches Gesetz (im Vakuum)
1.2 Superpositionsprinzip (1.2)
( ) ( )N
ii3
i 10 i
qqF r r rq 4π r r=
= ⋅ ⋅ −ε −∑
Kraft, die eine Anordnung von N Ladungen ( )iq i 1 N= … an den Orten
( )ir i 1 N=
… auf eine weitere Ladung q am Ort r
ausübt
1.3 Elektrische Feldstärke (1.3)
( )N
ii3
i 10 i
q1E r r
4π r r=
= ⋅ ⋅ −ε −∑
E
-Feld einer diskreten Ladungsverteilung ( )i i i 1 N
q , r= …
; Einheit:
VE
m =
(iii) Spezialfall: Feld einer Punktladung 0q am Ort 0r
(1.4)
( ) ( )03
0
0
0
rrrr
q
π4
1rE
−⋅
−⋅
ε=
(iv) Spezialfall: Dipolfeld, Ladungen (((( ))))1Q, r
und (((( ))))2Q,r−−−−
(1.5)
( ) ( ) ( )1 23 3
0 1 2
Q 1 1E r r r r r
4π r r r r
= ⋅ ⋅ − − ⋅ −
ε − −
1.4 Elektrische Arbeit (1.6)
( ) ( ) ( )( )1, 2
12
0 C P Pdr
W F r(s) t s ds : F r drl
= ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫
Arbeit, um Massenpunkt (z.B. Punktladung) im Kraftfeld ( )F r
längs Weg ( )1, 2C P P zu bringen; mit s := Bogenlänge
Der Wert des (Weg-)Integrals ( )( )1, 2C P P
F r dr⋅∫
ist unabhängig von der Wahl der Parameterdarstellung, solange die
Orientierung 21 PP → beibehalten wird.
- 2 -
(iii) Konservative Kraftfelder
Ein Kraftfeld ( )F r
heißt konservativ, wenn das Wegintegral ( )( )1, 2C P P
F r dr⋅∫
nur von 1P und 2P , aber nicht von der
Wahl des verbindenden Weges ( )1 2C P , P abhängt.
Es gilt: ( )F r
konservativ <=> ( )j i
i j
F F für alle i,j i j
x x
∂ ∂= ≠
∂ ∂ (für einfach zusammenhängende Gebiete)
1.5 Elektrische Spannung und Potential (1.7) Definition:
( )1 2
1212
C P ,P
WU E dr
q= = ⋅∫
Elektrische Spannung; Einheiten: [ ]12W J= , [ ]12U V=
„Grundgesetz der Elektrotechnik“: Elektrostatische Felder sind konservativ! (iii) Folgerung: (1.8)
C
E dr 0⋅ =∫
bei elektrostatischen Feldern für jede geschlossene Kurve C !
(iv) Definition: (1.9a)
( )0
0
0
P P
PP
P P
Φ r U E dr E dr= = ⋅ = − ⋅∫ ∫
Elektrostatisches Potential bzgl. 0P ist definiert als elektrische Spannung
zwischen einem beliebigen Punkt P (am Ort r
) und einem festen Referenzpunkt 0P (am Ort 0r
); wird gesetzt:
( )0Φ r : 0=
(v) Folgerung: (1.10)
( ) ( )21122P1P rΦrΦUU
−==
(1.9b)
( ) ( ) ( )0
P(r)
0
P
Φ r Φ r E r dr= − ∫
wobei ( )0Φ r
beliebig zu wählen ist
(vi) Äquipotentialflächen
Die Flächen ( ) .constrΦ =
heißen Äquipotentialflächen.
Für zwei beliebige Punkte ( ) 1 2P , P Φ r const .∈ =
ist 12U 0= .
Längs jeden Weges ( ) C Φ r const .∈ =
ist ( )C
E r dr 0=∫
.
=> E
steht senkrecht auf allen Tangenten an die Äquipotentialflächen ( ) .constrΦ =
, d.h., E
ist ↑↑ 1 zur
Oberflächennormale
1 Zeichenerklärung: −↑↑ gleichsinnig parallel
- 3 -
(vii) Beispiel: Potential einer Punktladung Q am Ort Qr
(1.11)
( )
( )
( ) ( )0P r
0
0 Q 0 QP r
Q 1 1E dr Φ r Φ r
4πε r r r r
⋅ = ⋅ − = −
− − ∫
(1.12)
( ) 0 Q:0
1 QΦ r Φ
4π r r∞
=
= + ⋅ε −
für Referenzpunkt Qr → ∞
(iix) Beispiel: Potential einer diskreten Ladungsverteilung =
i, i(q r ); i 1... N
(1.13)
( )N
i
i 10 i
q1Φ r
4 πε r r=
= ⋅−
∑
1.6 Elektrische Felder in polarisierbaren materiellen Medien (Dielektrika) 1.6.1 Dielektrizitätskonstante (elektrische Permittivität) (i) In polarisierbaren Medien gilt das Coulombsche Gesetz, aber mit verringerter Kraftkonstante (1.14)
( ) ( )
( )N
iq q,Vakuum i3
i 1r 0 r i
:ε
q1 qF r F r r r
4π r r=
=
= = ⋅ ⋅ −ε ε ε −
∑
1.6.2 Dielektrische Verschiebung, Gaußsches Gesetz (1.15)
( ) ( ) ( )0 rD r : ε E r ε ε E r= ⋅ = ⋅
ist nur von erzeugter Ladung bestimmt; Einheit: 2
A sD
m
⋅ =
(iii) Verallgemeinerung: beliebiger Ort 0r
von Q und beliebige Hüllfläche
(1.16)
∫∂=
∉⇐
∈⇐=⋅
VH0
0
Vr0
VrQadD
(iv) Gaußsches Gesetz (für Punktladungen) (1.17)
( )i
ir VH V
D da Q V q∈=∂
⋅ = =∑∫
es gilt: ( )Q V ist die von der Hüllfläche H V= ∂ eingeschlossene Ladung
(v) Einschub: Flächenintegrale in 3ℝℝℝℝ
( )1 2da N da t t dudv= ⋅ = × ⋅
Vektorielles Oberflächenelement
- 4 -
( )( )1 1
0 0
v u
S v u
r rF da : F r u, v dudv
u v
∂ ∂ ⋅ = ⋅ × ∂ ∂ ∫ ∫ ∫
Fluss eines Vektorfeldes ( )F r
durch eine Fläche S
Spezialfall: Falls S Hüllfläche H≡ , dann wird N
aus Konvention nach „außen“ orientiert
1.7 Kontinuierliche Ladungsverteilungen 1.7.1 Raumladungsdichte (i) Idee
( )( )
Zahl der Ladungen in V rρ(r)
V r
∆=
∆
für V 0∆ →
(ii) Definition
( ) ( )3ρ r d r ρ x, y, z dxdydz⋅ = ⋅
ist die im Volumenelement dxdydz enthaltene Ladung dQ , sodass
( ) ( )3
V
ρ r d r Q V⋅ =∫
für beliebige Volumina („Gebiete“) V die eingeschlossene Ladung ergibt.
Kurz: ( )( )
( )( )( )V r 0
Q V rρ r lim
V r∆ →
∆=
∆
1.7.2 Oberflächenladungsdichte (i) Idee
In Leitern sitzt die elektrostatische Ladung auf einer sehr dünnen Schicht auf der Oberfläche S verteilt:
( )( )
( )Zahl der Ladungen in A r
σ rA r
∆=
∆
für A 0∆ →
(ii) Definition
( ) ( )( ) r rσ r da σ r u, v dudv
u v
∂ ∂⋅ = ⋅ × ⋅
∂ ∂
ist die im Oberflächenelement da enthaltene Ladung dQ , sodass
( ) ( )S
σ r da Q S⋅ =∫
für beliebige Flächenstücke S die enthaltene Ladung ergibt.
1.7.3 Gaußsches Gesetz (für Raumladungsverteilungen) (i) Raumladungsverteilung (1.18)
( ) 3
H V V
D da Q V ρ d r=∂
⋅ = = ⋅∫ ∫
für jedes Gebiet V mit Hüllfläche V∂
- 5 -
(ii) Oberflächenladungsverteilung (1.19)
( )H V S V
D da Q V S σ da=∂ ∩
⋅ = ∩ = ⋅∫ ∫
für jedes Gebiet V , das eine Leiteroberfläche S schneidet
(1.20)
σND =⋅
auf Leiteroberflächen außerhalb des Leiters ( N
zeigt vom Leiter nach außen)
1.8 Elektrostatische Felder zwischen leitenden Medien 1.8.1 Influenz (i) Definition von Leiter
In einem Leiter sind sehr viele frei bewegliche Ladungsträger vorhanden (≈1021 - 2023 Elementarladungen pro cm3). => Leiter sind Äquipotentialgebiete (bzw. -flächen) => Leiter haben wegen dielektrischer Abschirmung keine Raumladung
es gilt: E 0 Φ const.≡ ⇔ =
(ii) Wird ein Leiter einem äußeren elektrostatischen Feld ausgesetzt, so wird durch Ladungsverschiebung eine Oberflächenladung σ induziert, sodass gilt:
1. E 0=
im Inneren des Leiters
2. flächeLeiteroberE ⊥
(außen)
3. D N σ⋅ =
auf Leiteroberfläche („Influenz“).
1.8.2 Kapazität (i) Definition
2
12 1 2
1
U Φ Φ E dr= − = ⋅∫
hier: 1 2Φ Φ> ; Leiter 1 habe die Ladung Q , Leiter 2 die Ladung Q−
H um "1"
Q D da= ⋅∫
(1.21)
12
QC : 0
U= >
(1.22)
H
2
1
ε E da
C
E dr
⋅ ⋅
=
⋅
∫
∫
=> ( )C f , Geometrie= ε , unabhängig von E
!
- 6 -
(ii) Beispiel: Plattenkondensator (1.23)
d
Aε
U
QC
12
⋅== mit 1H
Q D da D A ε E A= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅∫
und dErdEU
2
1
12 ⋅=⋅= ∫
(bei Vernachlässigung der Streufelder)
Qσ D N D const.
A= ⋅ = = =
Flächenladungsdichte
(iii) Beispiel: Kugelkondensator (1.24)
ab
baπε4
U
QC
12 −
⋅⋅== mit a := Innenradius, b := Außenradius,
( ) 2
r r
Q D da ε E r 4π r=
= ⋅ = ⋅ ⋅∫
und
( )b b
12 2
a a
Q 1 Q 1 1 Q b aU E r dr dr
4 πε 4 πε a b 4 πε a br
− = ⋅ = ⋅ = ⋅ − = ⋅ ⋅ ∫ ∫
Kugelkapazität g e gen
C 4 πε a∞
∞
= ⋅ mit ∞→b
1.9 Kondensatoraggregate (i) Parallelschaltung (1.25)
Ntotal
p arallel ii 1
QC C
U =
= =∑
(ii) Serienschaltung (1.26)
N
i 1seriell i
1 1
C C=
=∑
(iii) Parallel geschichtete Dielektrika (1.27)
1 1 2 2ε A ε AQC
U d d= = + mit ( )
d
UAεAεQ 2211 ⋅⋅+⋅=
Dabei gilt:
2
d
U
221
d
U
112
D
21
D
121 AEεAEεAσAσQQQ
21
⋅⋅+⋅⋅=+=+=
- 7 -
(iv) Seriell geschichtete Dielektrika
1 2
QD D
A= =
(1.28)
2
2
1
1
ε
d
ε
d
A
U
QC
+
== mit 1 21 1 2 2
1 2
d d 1U E d E d Q
ε ε A
= ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅
1.10 Elektrostatische Feldenergie (i) Energie eines aufgeladenen Kondensators (1.29)
22
el
1 1 1 QW UQ CU
2 2 2 C= ⋅ = ⋅ = ⋅
(ii) Energiedichte des E -Feldes
2 2el
el
W 1 1 1w : E D ε E D
V 2 2 2 ε= = ⋅ = ⋅ = ⋅
für Plattenkondensator
(1.30)
( )el
1w E D
2= ⋅
allgemein
- 8 -
Kapitel 2: stationäre Ströme 2.1 Elektrische Stromstärke und Stromdichte (i) Strom
LadungsflussStrom:
Zeit=
(2.1)
( ) AA
dQI A
dt= Einheit: [ ] C
I As
= =
(ii) elektrische Stromdichte:
( )AI Aj
A=
für A 0→ und A Stromfluss⊥ ; die Richtung von j
ist die Tangente an den
Ladungsflusslinien (Ladungstrajektorien) (2.2)
d Q j da dt= ⋅ ⋅
ist die pro Zeiteinheit dt durch ad
fließende Ladung => Ad I j da= ⋅
=> ( )A
A
I A j da= ⋅∫
Einheit: 2
Aj
m =
(iii) Zusammenhang mit Raumladungsdichte
( ) ( )ρ r q n r= ⋅
mit Trägeranzahl
n :Volumen
= (Trägerkonzentration) und q := Ladung eines Trägers
für mehrere Trägersorten gilt: ( ) ( )N
i ii 1
ρ r q n r=
= ⋅∑
Die im Volumen dV befindlichen Ladungsträger sind genau die, die in der Zeit dt die Kontrollfläche da
passiert
haben: dQ j da dt q n dV q n da v dt= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(2.3)
j q n v
ρ
= ⋅ ⋅
gilt nur für eine Trägersorte; j
:= Stromdichte; v
:= Geschwindigkeit des Trägers
(2.4)
N
i i ii 1
j q n v=
= ⋅ ⋅∑
gilt für mehrere Trägersorten (allg. Fall)
2.2 Ladungstransport im elektrischen Feld 2.2.1 Transport ohne Stoßprozesse (Vakuum)
( )rEqdt
vdm
⋅=⋅ Bewegungsgleichung eines einzelnen Ladungsträgers
- 9 -
(2.5)
( )2 2
2 1 12
1m v v q U
2⋅ − = ⋅ Energiebilanz
2 qv(U) U
m
⋅= ⋅ wenn gilt: ( )v 0 0=
2.2.2 Transport mit Stoßprozessen (Leiter) (i) Beweglichkeit Viele Ladungsträger, die an Streuzentren abgebremst werden. Statistik über viele Streuprozesse
=> mittlerer (Drift-)Geschwindigkeit ( )v v E=
, mittlere Stoßzeit τ und effektive Masse *m
* *v vq E m m
t τ
∆⋅ = ⋅ = ⋅
∆
und
( )
*
sgn q µ
q τv E
m⋅
⋅ = ⋅
linearer Ansatz mit µ := Beweglichkeit. Dabei gilt: 0µ >
(2.6)
( )v sgn q µ E= ⋅ ⋅
mittlere (Drift-)Geschwindigkeit
(2.7)
j q n µ E= ⋅ ⋅ ⋅
Stromdichte bei einer Trägersorte
(2.8)
( )N
i i ii 1
j q n µ E=
= ⋅ ⋅ ⋅∑
Stromdichte bei mehreren Trägersorten
(ii) Ohmsches „Gesetz“ in lokaler Form (2.9)
j E= σ ⋅
(gilt in jedem Fall) mit k
i i ii 1
q n µ=
σ = ⋅ ⋅∑ := spezifische elektrische Leitfähigkeit;
Einheit: [ ] A S 1
V m m mσ = = =
⋅ Ω ⋅
(iii) Ohmsches „Gesetz“ in integraler Form (2.10)
12I G U= ⋅ mit A A
G
AI j da σ E da σ U
=
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫
l
mit: • A := homogener Querschnitt, σ := homogene Leitfähigkeit und l := Länge des mit dem Strom I durchflossenen
Leiters • 12 1 2U 0= Φ − Φ > ( 1 2,Φ Φ := Klemmenpotentiale)
• Der Strom fließt von Klemme 1 nach Klemme 2, Strom I und Spannung 12U haben die gleiche Zählpfeilrichtung
Trajektorie (Linie)
P2
P1
v
- 10 -
(2.11)
AG = σ ⋅
l elektrischer Leitwert; Einheit: [ ] A 1
G SV
= = =Ω
(2.12)
12U R I= ⋅ mit 1
RG
=
(2.13)
1R
σ A A
l l= ⋅ = ρ ⋅ elektrischer Widerstand
(2.14)
1
σρ = spezifischer elektrischer Widerstand; Einheit: [ ]
2mmm,
mρ = Ω ⋅ Ω
Flussrichtung von I : vom höheren Potentialwert zum niedrigeren Potentialwert 2.3 Ladungsbilanz (i) Integrierte Darstellung (allgemein gültig) (2.15)
( )V
dQ Vj da
dt∂
⋅ = −∫
Für eine stationäre Stromverteilung gilt: d
0dt
= (wg. ( )Q V zeitlich konstant) => V
j da 0∂
⋅ =∫
für jede beliebige
Hüllfläche V∂
(ii) Kirchhoffsche Knotenregel (2.16)
N
kk 1
I 0=
=∑
2.4 Schaltungen mit ohmschen Widerständen (i) Serienschaltung (2.17)
N
seriell ii 1
R R=
=∑ wegen N N
i ii 1 i 1
U U R I R I= =
= = ⋅ = ⋅∑ ∑
(ii) Parallelschaltung (2.18) und (2.19)
N
i 1parallel i
1 1
R R=
=∑ bzw. N
ii 1
G G=
=∑ wegen N N N
kk
k 1 k 1 k 1k k
U 1 UI I U
R R R= = =
= = = ⋅ =
∑ ∑ ∑
- 11 -
2.5 Elektrische Netzwerke aus galvanisch gekoppelten Gleichstromkreisen (i) Spannungsquelle (Innen- und Lastwiderstand in Serienschaltung) (2.20)
IRUUIRIRU i0k
U
Lasti0
k
⋅−=⇒⋅+⋅=
mit 0U := eingeprägte Spannung, iR := Innenwiderstand
und kU := Klemmenspannung
Für max. Stromfluss gilt: i
0maxk
R
UI0U =⇔=
(ii) Stromquelle (Innen- und Lastwiderstand in Parallelschaltung)
0
k i i i 0 i
U
U R I R I R I=
= ⋅ = ⋅ − ⋅ Klemmenspannung; mit 0I := eingeprägter Strom und iR := Innenwiderstand
einer Stromquelle (iii) Kirchhoffsche Maschenregel (2.21)
Es gilt ∑=
=N
0i
i 0U für jede Masche
0
0 1 N N 1
: K
K , K ,..., K , K +
=
(:= geschlossene Knotenfolge), wobei ( )i i 1 iU : U K K−=
die
gerichtete Spannung längs des Stromzweiges i 1 iK K−
bezeichnet2.
(v) Allgemeine Regeln für Netzwerkanalyse 1. Bestimme K = Anzahl der Knoten (:= Verknüpfung von mehr als zwei Zweigen) des Netzwerks 2. Bestimme Z = Anzahl der Zweige (:= Folge von einfachen Kanten zwischen zwei Knoten) Unbekannte: • Zweigströme 1 2 Z´I , I , ..., I (es gilt: ZZ´≤ ) in den Zweigen ohne Stromquellen
• Spannungen 1 2 Z Z´U , U ,..., U − in den Z´Z− Zweigen mit eingeprägtem Strom
=> also insgesamt Z Unbekannte Gleichungen: • 1K − linear unabhängige Knotengleichungen • ( )1KZM −−= linear unabhängige Maschengleichungen
Regel: Jede neue Maschengleichung muss über noch nicht genutzten Zweig des Netzwerkes führen.
Sind ( )1 2 Z´ 1 2 Z Z´I , I ,..., I ; U , U ,..., U − bestimmt, lassen sich Zweigspannungen gemäß ( )k k kU R I k 1 Z´= ⋅ = …
bestimmen.
2 Achtung: Im Skriptum „Elektrizitätslehre“ (Börner, Stäblein, Wachutka) auf S. 61 sind die Spannungen falsch durchnummeriert!
- 12 -
2.6 Elektrische Leistung und Energieübertragung (i) Leistungsbegriff (allgemein)
elel
dW q E drP q E v
dt dt
⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅
gilt für einen Ladungsträger
(2.22)
( )iel i iP q v E= ⋅ ⋅
Leistung eines Ladungsträgers der Spezies ( )i
(ii) Leistung bei bewegter Raumladung
∑=
⋅⋅=k
1i
iii vnqj
elektrische Stromdichte (mit k Sorten verschiedener Ladungsträger); vgl. (2.4)
(2.23)
( )k k
i
el el i i i ii 1 i 1
p P n q n v E j E= =
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
∑ ∑
Elektrische Leistungsdichte
(iii) (Verlust-)Leistungsdichte bei ohmscher Driftbewegung (2.24)
2 22
el
1p j E σ E j ρ j
σ= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
(iv) Verlustleistung in einem Draht (Länge l mit dem Querschnitt A)
el elP p A j A E I Ul l= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
mit AjI ⋅=
und U E l= ⋅
(2.25)
R
UIRIUP
22
el =⋅=⋅= falls IRU ⋅= gilt; Einheit: [ ]elP W VA= =
(v) Elektrische Energieübertragungsverluste
Eine Energiequelle (Quellenspannung EU ) speist in eine Leitung (Widerstand der Leitung: LR ) den Strom I . Die
beim Energieverbraucher anliegende Klemmenspannung sei VU . Dann gilt:
Erzeugte Leistung: IUP EE ⋅=
Verbrauchte Leistung: IUP VV ⋅= mit IRUU LEV ⋅−=
(2.26)
2E
EL
U
PR1η
⋅−= Übertragungswirkungsgrad
Herleitung: V V E L L
E E E E
P U U R I R Iη 1
P U U U
− ⋅ ⋅= = = = −
Es gilt: 1η → für ∞→EU (Hochspannungs-Gleichstrom-Übertragung, abgekürzt: HGÜ)
- 13 -
Kapitel 3: Magnetostatik 3.1 Kräfte auf im Magnetfeld bewegte Ladungen (i) Lorentzkraft (3.1)
( )BvqFL
×⋅= mit LF
:= Lorentzkraft und B
:= magnetische Kraftflussdichte (magnetische Induktion)
oder „ B
-Feld“ („Magnetfeld“).
Einheiten: [ ] [ ] 2
V V sv B B T
m m
⋅⋅ = ⇒ = = mit T := Tesla
(ii) Superpositionsprinzip: Elektromagnetische Kraftwirkung (3.2)
( )F q E v B= ⋅ + ×
(iii) Leistung im B
-Feld
( )
0dt
rdBvq
dt
dWP
v
magn
magn
=⋅×⋅== mit ( )magn LdW F dr q v B dr= ⋅ = ⋅ × ⋅
=> Ein statisches Magnetfeld leistet keine Arbeit! (iv) Bewegung im homogenen Magnetfeld
( )Bvqdt
vdm
×⋅=⋅ mit q := Ladung und m := Masse eines Massenpunktes
(3.4)
q BΩ 2 π
m
⋅= = ⋅ ⋅ ν Gyrationsfrequenz
Trajektorie im Ortsraum (Schraubenlinie im 3ℝ , welche parallel zu B
ist):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
t
0 x 0 0
t
vx t x t v t´ dt´ x t cos t t⊥= + = − ⋅ Ω ⋅ − Ω∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
t
0 y 0 0
t
vy t y t v t´ dt´ y t sin t t⊥= + = + ⋅ Ω ⋅ − Ω∫
( ) ( ) ( )0 || 0z t z t v t t= + −
mit ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
x 0 y 0 x yv v t v t v v t v t⊥ ⊥= + = = +
(3.5)
Ω
vR
⊥= Radius einer Schraubenlinie in 3ℝ ;
- 14 -
(v) Kraft auf Stromverteilung (3.6)
Bjf L
×= Lorentzkraftdichte; mit j
:= elektrische Stromdichte (vgl. (2.4))
Herleitung: ( ) BvnqnBvqf
j
k
1i
iii
k
1i
iiiL
×
⋅⋅=⋅×= ∑∑
==
mit k Sorten verschiedener Ladungsträger
3.2 Kraft und Drehmoment auf stromführende Leiter (i) Grundvorstellung (3.7) Die Kraft auf im Leiter bewegte Ladungen wird vollständig auf das Substratmaterial (z.B. Wirtsgitter) übertragen:
( ) ( ) 3
Leiter
V
F j r B r d r= × ⋅∫
(ii) Linienförmige Leiter („Drähte“) (3.8)
( )Leiter
C
F B s I ds= − × ⋅∫
mit ( )( )A s
I j r da const.= ⋅ =∫
(3.9)
Leiter
C
F dF= ∫
mit dF I ds B= ⋅ ×
(differenzielle Darstellung)
(iii) Drehmoment auf Leiterschleife
( )0M : r r F= − ×
Definition des Drehmoments für einen Massenpunkt
Drehmoment auf rechteckige Drahtschleife
( ) ( )Achse
CR
M r r dF 2 I b R B
=
= − × = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫
Gesamtdrehmoment; mit C := Kurve entlang der Leiterschleife,
b
:= Länge parallel zur Drehachse und R
:= Radiusvektor
(3.10)
( )BAIM
×⋅= gilt auch für beliebig geformte Leiterschleifen C
(3.11), (3.12) und (3.13)
HmM
×= mit m : µ I A w= ⋅ ⋅ ⋅
und B
Hµ
=
;
mit m
:= magnetisches Moment, H
:= magnetische Feldstärke, µ := magnetische Permeabilität und w := Zahl der
Windungen einer Spule; Einheit: H A m = ⋅
3.3 Permanentmagnete Ein Permanentmagnet besteht aus einem Material, in dem viele atomare Ringströme gleichorientierte magnetische Momente 0m
beitragen. Die Orientierung des magnetischen Momentes ist von Süden nach Norden.
- 15 -
0n m= ⋅ M Magnetisierung; mit n := Zahl der Ringströme pro Volumen; Die Orientierung ist von Süden nach
Norden. (i) Drehmoment auf Dauermagnet
( )M V H m H= ⋅ × = × M (Experiment)
mit m V= ⋅M := gesamtes magnetisches Moment und V := Volumen
=> Dauermagnete und Ringströme zeigen gleiches Verhalten!
=> Historische Definition des H
-Feldes 3.4 Quellenfreiheit der magnetischen Induktion (i) Experimentelle Erfahrung Es gibt keine magnetischen Ladungen bzw. Monopole, sondern nur höhere Multipole wie z.B. magnetische Dipole, Quadrapole etc. (ii) Divergenzsatz
( )
erzeugtes FeldV Quellen
D da Q V∂
⋅ =∫
Elektrostatik; vgl. (1.17)
(3.14)
V
B da 0∂
⋅ =∫
Magnetostatik (der Wert dieses Integrals ist 0, da es keine magnetischen Monopole gibt!)
3.5 Erzeugung magnetostatischer Felder (i) Ampèresches Durchflutungsgesetz (3.15)
( )0
A
B dr µ I A∂
⋅ = ⋅∫ experimenteller Befund für alle (orientierbaren) Flächen A (im Vakuum!);
für magnetisierbare Materie gilt: ( )0 r
A µ
B dr µ µ I A∂
⋅ = ⋅ ⋅∫
mit m
Ωs10π4µ 7
0−⋅⋅= := „magnetische Feldkonstante“ (auch: Vakuumpermeabilität) und rµ := relative
Permeabilität (Korrekturfaktor, dimensionslos). Im Vakuum gilt: 1µ r = .
(3.16) und (3.20)
0r µµ: ⋅=µ (absolute) Permeabilität 1µ: r −=κ magnetische Suszeptibilität
• Diamagnetismus (durch Induktion atomarer Ringströme):
r 1µ < bzw. 0κ < , aber 1κ <<
• Paramagnetismus (paramagnetische Orientierung vorhandener atomarer magnetischer Dipole):
r 1µ > bzw. 0κ > , aber 1κ <<
• Ferromagnetismus (magnetische Domäne, Weißsche Bezirke): 1r >>µ bzw. 1>>κ
- 16 -
(ii) Magnetische Feldstärke und Kraftflussdichte (3.17)
0 0
induziertes Magnetfeld,gleich orientierte Ringströme
B µ H H H= ⋅ = µ ⋅ + µ ⋅ κ ⋅
mit H
:= magnetische Feldstärke und B
:= magnetische
Kraftflussdichte (3.18)
( )A
H dr I A∂
⋅ =∫
gilt in magnetisierbaren Medien.
Fazit: H
hängt nur von dem erzeugenden Strom, nicht vom umgebenden Material ab! (iii) Allgemeine Form des Durchflutungsgesetzes (3.19)
A A
H dr j da∂
⋅ = ⋅∫ ∫
(iv) Analogie zwischen Elektro- und Magnetostatik: E-Statik: M-Statik: Kraft wirkt auf: ruhende Probeladung bewegte Probeladung Art der Kraft: elektrische Kraft Lorentzkraft Symbol: E
B
Bemerkung: E
und B
sind materialabhängige Größen! E-Statik: M-Statik: Wirkung von: Ladungsverteilung ρ Stromverteilung j
Gesetz: „Gauß“ „Ampère“ Symbol: D
H
Bemerkung: D
und H
sind nur von der Quelle abhängig!
D E= ε ⋅
B H= µ ⋅
Materialgesetze
3.6 Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte aus stationären Stromverteilungen 3.6.1 Berechnung mit Hilfe des Ampèreschen Gesetzes (i) Beispiel: unendlich langer, gerader Draht (3.21)
( ) IH r e
2 π rϕ= ⋅
⋅ ⋅
mit
sin
e cos
0ϕ
− ϕ = ϕ
(3.22)
12 1 212
dF µ I Ie
ds 2 π a
⋅ ⋅= − ⋅
⋅ ⋅
Kraft von Draht „1“ auf Draht „2“ pro Längeneinheit. Beide Drähte sind parallel und
gerade. Sie werden in gleicher Richtung von den Strömen 1I bzw. 2I durchflossen. 12e
weist von 1 nach 2. Es gilt:
12e 1=
=> parallele Ströme ziehen sich an.
- 17 -
(ii) Beispiel: allgemeine zylindersymmetrische Stromverteilung (3.23)
( ) ( )H r H r eϕ= ⋅
wegen Symmetrie => ( )r
0
1H r j(r´) r´ dr´
rϕ = ⋅ ⋅ ⋅∫
mit
( )( )
r cos
r r sin
z
⋅ ϕ
= ⋅ ϕ
:= Zylinderkoordinaten
(iii) Spezialfall: gerader und unendlich langer Draht mit Radius a
2
Ifür 0 r a
j(r) a πfür r>a
0
≤ ≤= ⋅
2
I rfür 0 r a2 a
H (r)für r>aI
2 r
ϕ
⋅ ≤ ≤ ⋅ π ⋅= ⋅ π ⋅
Hϕ für r>a verhält sich wie H
-Feld eines linienförmigen geraden Leiters!
3.6.2 Feldberechnung mit Hilfe des Biot-Savartschen Gesetzes (i) Biot-Savartscher Satz (3.24)
( ) ( ) ( ) 3
3
V
j r´ r r´1H r d r´
4 π r r´
× −= ⋅ ⋅
−∫
durch gegebene Stromverteilung ( )j r
erzeugtes Magnetfeld ( )H r
(ii) Spezialfall: Bei linienförmigen Stromleitern („Drähten“) (3.25)
( ) ( )3
C
ds r sIH r
4 π r s
× −= ⋅
−∫
(iii) Beispiel: Magnetfeld eines Ringstromes (mit Radius a)
( )( ) ( )
( )
22z r
3
0
a ra e za eIH r d
4 π r s
π − ⋅ + ⋅ ϕ= ⋅ ⋅ ϕ
− ϕ∫
=> elliptische Integrale für allgemeinen Aufpunkt ( )r x, y, z=
(3.26)
( )( )
2
z32 2
I a 1H 0, 0, z e
2 a z
⋅= ⋅ ⋅
+
Spezialfall: r
auf z -Achse
- 18 -
3.7 Magnetische Kreise 3.7.1 Magnetisierbarer Kern mit Luftspalt Annahmen: • Magnetfeld nur in Kern (Eisen) und Luftspalt (gute Näherung für Kern 1µ >> )
• keine Streufelder außerhalb, homogenes Feld innerhalb des Kerns Das Magnetfeld wird durch eine stromdurchflossene Spule mit w Windungen erzeugt, welche um das Eisen gewickelt wurde. (3.27)
B:BB SpaltKern ==
magnetische Kraftflussdichte
(3.28)
1µ
µ
H
H
Spalt
Kern
Kern
Spalt
>>=
mit Spalt
0 Spalt
BH =
µ ⋅µ
und Kern
0 Kern
BH =
µ ⋅µ
(iii) Strom-Feld-Beziehung (3.29)
0
SpaltKern
Kern Spalt
µ w IB
ll
µ µ
⋅ ⋅=
+
mit w := Windungszahl der Spule, Kernl := Kernlänge und Spaltl := Spaltbreite
3.7.2 Allgemeiner magnetischer Kreis (i) Analogie: Elektrischer Stromkreis - magnetischer Stromkreis siehe auch Skript „Elektrizitätslehre“ auf S. 109 - 112 (3.6.4 Vergleich zwischen magnetischen Kreisen und elektrischen Stromkreisen) Analogie ist durch folgende Korrespondenzen gegeben:
j E B H= σ ⋅ ⇔ = µ ⋅
: j B , σ µ , E H
m mU R I V R= ⋅ ⇔ = ⋅Φ : mU V , mR R , I Φ
e
Masche Masche
E dr U H dr I w⋅ = ⇔ ⋅ = ⋅∫ ∫
: eU I w⋅
- 19 -
Definitionen (3.30)
( )A
Φ A : B da= ⋅∫
magnetischer Kraftfluss
(3.31)
2
1
P
m
P
V : H dr= ⋅∫
magnetische Spannung
Eventuell Wegabhängigkeit beachten! (es gibt im allgemeinen kein global definiertes magnetisches Skalarpotential!) (3.32)
mm m Kern m Spalt
VR R R
Φ= = + magnetischer Widerstand
(3.33)
j
m j
j j
RA
=µ ⋅µ ⋅0
l magnetische Serienwiderstände; mit
jj 0 rµ = µ ⋅ µ := Permeabilität
- 20 -
Kapitel 4: induzierte elektrische Felder und Spannungen 4.1 Bewegungsinduktion
(i) Leitfähiges Medium werde durch ein Magnetfeld B mit Geschwindigkeit
v bewegt
(4.1)
Lind
FE v B
q= = ×
„induziertes“ elektrisches Feld; mit LF
:=Lorentzkraft, die eine im Medium ruhende
Probeladung q sieht
(ii) Bewegte Leiterschleife mit der Fläche A (4.2)
( )ind
dΦ AU
dt= − mit ( )
A
Φ A B da B A= ⋅ = − ⋅∫
:= magnetischer Fluss
(4.3)
( )( )( ) ( )
ind
A t C t A t
dU V B dr B da
dt∂ =
= × ⋅ = − ⋅
∫ ∫
gilt für zeitlich veränderliche Leiterschleife ( )A t∂ in zeitlich
konstantem Magnetfeld ( )B r
(iii) Unipolar-Maschinen (4.4)
( )a
2
ind
0
1U Ω B r dr Ω B a
2= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ Barlowsches Rad; mit fπ2Ω ⋅⋅= und a := Radius
4.2 Galvanomagnetismus (Hall-Effekt und Hallspannung)
Im leitfähigen, ruhenden Medium bewegen sich Ladungsträger mit der Ladung q und der Geschwindigkeit v
.
=> Lorentzkraft: ( )LF q v B= ⋅ ×
=> „zusätzliches“ E
-Feld: LH
FE v B
q= = ×
mit 1
v jq n
= ⋅⋅
=> Heuristisches Modell für Stromtransport: ( )el H
Potentialgradient
j E E E v B = σ ⋅ + = σ ⋅ + ×
(4.5)
( )Hj E R j B= σ ⋅ + ⋅ ×
rigorose Transporttheorie; mit H
0,7 1,3
1R Faktor
q n≈
= ⋅⋅
…
(4.6)
H H HU E d R d j B= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
Hallspannung; mit d := Dicke der Hallplatte
- 21 -
4.3 Ruheinduktion (4.7) und (4.8)
( )ind
dU A
dt= − ⋅Φ und ind
A
BU da
t
∂= − ⋅
∂∫
Leiterschleife ( )A t∂ (Fläche: A ) ist zeitlich unverändert,
( )B B t=
4.4 Allgemeine Form des Induktionsgesetzes (4.9)
( ) ( ) ( )ind
A(t) A(t)
BU v r, t B r, t dr r, t da
t∂
∂= × ⋅ − ⋅
∂∫ ∫
Leiterschleife ( )A t∂ und Magnetfeld ( )B r, t
zeitlich
veränderlich (4.10)
( )( ) ( )ind
A(t)
d dU Φ A t B r, t da
dt dt= − = − ⋅∫
Interpretation: indU wird von induzierter Feldstärke indE
längs ( )A t∂ erzeugt
(4.11)
( )( )
( )( )
ind ind
A t A t
dU E r, t dr B r, t da
dt∂
= ⋅ = − ⋅∫ ∫
(Maxwellsche Hypothese: ( )A t∂ kann auch immateriell sein!)
4.5 Induktivität (i) Generelle Annahmen
• Ortsfeste Anordnung von Leiterschleifen (Spulen) ( )iC i 1 N= … , die von Strömen ( )iI t durchflossen werden =>
nur Ruheinduktion
• Quasistationäre Änderung der Ströme: idI
d t erzeugt keine Strahlungsfelder (keine Antennen)
(iii) Spule als Verbraucher
dIU L
dt= ⋅
(iv) Flussberechnung bei magnetisch gekoppelten Stromkreisen (4.12)
( ) ( )∑=
⋅=N
1j
jiji tILtψ und ( )i i iψ t w= ⋅Φ verketteter Kraftfluss; mit iw := Windungszahl einer Spule i
(4.13)
ij jiL L= mit i, j 1 N= …
Dabei gelten folgende Bezeichnungen: • ijL := Induktivitätskoeffizienten
• iiL := Selbstinduktionskoeffizienten
• ji,L ij ≠ := Gegeninduktionskoeffizienten
- 22 -
4.6 Transformatoren (i) Leiterschleife (4.14)
Nj
i i i ijj 1
dIU R I L
dt=
= ⋅ +∑ Transformatorgleichungen; mit iR := Innenwiderstand; ijL und iR sind in
Serienschaltung (ii) Spezialfall: nur zwei Spulen (i,j=1…2), kein Innenwiderstand ( =iR 0 )
(4.15)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
U t L I t L I t
U t L I t L I t
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
ɺ ɺ
ɺ ɺ
(4.16)
111
21
0I1
2
L
M
L
L
U
U
2
==
=
Spannungsübersetzung
es gilt: 111 L:L = , 222 L:L = und 2112 LL:M ==
(4.17)
2
2 21
1 22 2U 0
I L M
I L L=
− = =
Stromübersetzung
(4.18)
2
1 2
MK: Spannungsübersetzung Stromübersetzung
L L= ⋅ = Kopplungsfaktor: K ist ein Maß für das
Verhältnis zwischen Sekundär- und Primärleistung (iii) Berechnung für spezielle Geometrie: Dreischenkelkern
Knotenregel: 1 2 3 0Φ −Φ + Φ =
Maschenregel: m1 1 m 3 3 1 1R R I w⋅Φ − ⋅Φ = ⋅ und m 2 2 m 3 3 2 2R R I w⋅Φ + ⋅Φ = ⋅
mit iw := Windungszahl der Spule i
(4.19a), (4.19b) und (4.19c)
( )3m2m
21
111 RRN
wLL +==
( )3m1m
22
222 RRN
wLL +==
1 212 21 m 3
w wL L M R
N= = = ⋅
(4.20)
( )( )
222 m 3
1 2 m 2 m 3 m1 m 3
RMK
L L R R R R= =
+ + Kopplungsfaktor ( )20 K 1≤ ≤
- 23 -
(4.21)
2
m 2 m1
m 32 2 2
1 1 m 2 m 3 1 1I 0
falls R R
RU w wMK
U L R R w w=
=
= = ⋅ = ⋅
+
Spannungsübersetzung
(4.22)
2
m1 m 2
m 32 1 1
1 2 m1 m 3 2 2U 0
falls R R
RI w wMK
I L R R w w=
=
− = = ⋅ = ⋅
+
Stromübersetzung
4.7 Magnetostatische Feldenergie (i) Energie einer stromdurchflossenen Induktivität
U dt L dI⋅ = ⋅
(4.23)
∫ =⋅=I
0
2mag LI
2
1IdILW Energieinhalt bei Stromanstieg von I 0= bis I I=
(4.24)
22mag ψ
L2
1ψI
2
1LI
2
1W ⋅
⋅=== äquivalente Formulierung zu (4.23) wegen ILΦwψ ⋅=⋅= (vgl. (4.12))
N
mag ij i ji, j 1
1W L I I
2=
= ⋅ ⋅ ⋅∑ gilt bei N gekoppelten Induktivitäten
1
2 2
mag 1 2 2 1 2
1 1W L I L I M I I
2 2= + + ⋅ ⋅ Beispiel: Transformator ( N 2= )
(ii) Energiedichte des Magnetfeldes (linearer Fall) Das gesamte Magnetfeld werde im ferromagnetischen Spulenkern K geführt. Es gibt keine Streufelder
=> Maschenregel: mI w = V = H⋅ ⋅
l
Das Magnetfeld wird von einer Spule mit w Windungen induziert, welche von dem Strom I durchflossen wird. Mit l wird die Bogenlänge des Kerns (es gilt: Kern 1µ ≫ ) bezeichnet.
Die magnetische Energie mag
1W H B V
2= ⋅ ⋅
( V = A⋅ l := Volumen, A := Querschnitt des Kerns) steckt gleichverteilt
im Spulenkern mit der Energiedichte mag
mag
Ww
V= .
(4.25) und (4.26)
2 2
mag
1 1 1w H B µ H B
2 2 2µ= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
falls B H= µ ⋅
und const.µ =
- 24 -
Kapitel 5: Elemente der Wechselstromlehre Zeitlich periodische, insbesondere sinusförmige („harmonische“) Strom- und Spannungsverläufe sind technisch außerordentlich wichtig: • Transformierbarkeit ( => Energieübertragung) • Modellierbarkeit ( => Informationsübertragung) • Anpassung an Generatoren und Motoren 5.1 Grundlegende Begriffe 5.1.1 Wechselspannungsgenerator (i) Erzeugungsprinzipien:
• in B
-Feld rotierende Leiter (kleine Frequenzen, hohe Leistung) • Schwingkreis (hohe Frequenzen, kleine bis mittlere Leistungen)
(ii) Beispiel: rotierende Leiterschleife erzeugt induzierte Spannung ( )u t
(5.1)
( ) 0tt ϕ+ω=ϕ Phase mit Kreisfrequenz d
const.dt
ϕ= ω =
( ) ( )max 0t cos tΦ = Φ ⋅ ω + ϕ magnetischer Fluss; mit max : A BΦ = ⋅
und A := Fläche der Leiterschleife
(5.2)
( ) ( )0tsinUtu ϕ+ω⋅= induzierte Spannung; mit maxU = ω⋅Φ := Scheitelwert (Amplitude) der Spannung
5.1.2 Kenngrößen sinusförmiger Wechselspannungen und -ströme (5.3)
( ) ( )u t kT u t+ = mit T := Zeit für eine Periode und k ∈ℤ
5.1.3 Zeigerdiagramm (i) Idee (5.4)
( )( )( )( )
( )( )( )
1
2
U cos t u t: u t
ˆ u tU sin t
⋅ ϕ = = ⋅ ϕ
Der Zeiger ( )U : u t 0= = hat die Länge U und den Drehwinkel 0ϕ
=> U charakterisiert (bei fester Kreisfrequenz ω ) den Spannungsverlauf ( ) ( )0ˆu t U sin t= ⋅ ω + ϕ eindeutig!
- 25 -
(ii) Allgemeine Zeigerdarstellung
( ) ( )( )( )
u
u
u
cosˆ ˆ ˆu t U sin t U Usin
ϕ = ⋅ ω + ϕ = ⋅
ϕ
( ) ( )( )( )
i
i
i
cosˆ ˆ ˆi t I sin t I Isin
ϕ = ⋅ ω + ϕ = ⋅
ϕ
Wechselspannung und -strom werden in eindeutiger Weise einem Zeiger zugeordnet (5.5)
( ) ( ) ˆu t D t U= ω ⋅ mit ( ) ( ) ( )( ) ( )
cos t sin tD t
sin t cos t
ω − ω ω =
ω ω := Drehmatrix
(5.6)
( ) ( ) ˆi t D t I= ω ⋅
5.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen 5.2.1 Ohmscher Widerstand (5.7a) und (5.7b)
IRU ⋅= unter quasistationären Bedingungen, d.h. für nicht zu hohe Frequenzen
u iϕ = ϕ
(5.8)
IRU ⋅= Zeigerdiagramm
5.2.2 Induktivität („Spule“) in Zeigerdarstellung (5.9a) und (5.9b)
ILU ⋅⋅ω= unter quasistationären Bedingungen
2
πiu =ϕ−ϕ
(5.10)
I2
πDLU ⋅
⋅⋅ω= mit
0 1πD
1 02
− =
; ( ) H s
dim Ls s
Ω ⋅ω ⋅ = = = Ω
π
L D2
ω ⋅ ⋅
entspricht Widerstand mit Phasendrehung um
π
2+ (Blindwiderstand, Reaktanz)
5.2.3 Kapazität („Kondensator“) (5.11a) und (5.11b)
UCI ⋅⋅ω= unter quasistationären Bedingungen
2
πiu −=ϕ−ϕ
- 26 -
(5.12)
I2
πD
C
1U ⋅
−⋅
⋅ω= mit
0 1πD
1 02
− = −
; 1 s s V
dimC F A s
⋅ = = = Ω ω ⋅ ⋅
1 π
DC 2
⋅ − ω ⋅
entspricht Widerstand mit Phasendrehung um π
2− (Blindwiderstand, Reaktanz)
π
C D2
ω ⋅ ⋅
entspricht Leitwert mit Phasendrehung um
π
2+ (Blindleitwert, Suszeptanz)
5.2.4 Parasitäre Elemente, Gültigkeit der quasistationären Näherung
p p
u i1 1min ,
L i C u
α α
α α
ω ⋅ ⋅
≪ , also bei kleinen Frequenzen arbeiten, damit parasitäre Effekte vernachlässigt werden
können. Typische Werte: f 1MHz≪
mit pL := Leitungsinduktivität, pC := Leitungskapazität und R, L, Cα =
5.2.5 Kirchhoffsche Regeln bei quasistationären Bedingungen (i) Momentanwerte am Zeitpunkt t (parasitäre Ströme und Spannungen vernachlässigbar) (5.13) und (5.14)
( )kt
k
i t 0∈∀ =∑ℝ
am Knoten
( ) ( )k et
k
u t u t∈∀ =∑ℝ
längs Maschen; mit ( )eu t := eingeprägte Spannungen
(ii) Zeigerdarstellung (falls alle Ströme und Spannungen sinusförmig) (5.15) und (5.16)
∑ =k
k 0I e
k
k UU =∑ Kirchhoffsche Regeln in Zeigerdarstellung
5.3 Wechselstromrechnung mit Hilfe komplexer Zahlen 5.3.1 Komplexe Zahlen (i) Komplexe Zahlen = Zeiger mit Addition und Multiplikation 2 , , )= + ⋅ℂ ℝ
( ) ( )U V U V
1 1 1 1U V : U V j U V1 1 2 2U V U V
2 2 2 2
+ + = + = = + + ⋅ + +
Zeigeraddition
( ) ( )1 1 1 1 2 2
1 1 2 2 1 2 2 1
2 2 1 2 2 1
U V U V U VU V U V U V j U V U V
U V U V U V
− ⋅ = ⋅ = = − + ⋅ + +
Zeigermultiplikation
- 27 -
(ii) Satz: 2 , , )= + ⋅ℂ ℝ ist ein Körper
Es gelten für komplexe Zahlen dieselben Rechenregeln wie bei reellen Zahlen (5.17)
1j2 −= mit 0
j :1
=
(iii) Darstellung in Real- und Imaginärteil ( = kartesische Koordinaten) (5.18)
1 2
1 2 1 2
e e
1 0U U U U j U
0 1
= ⋅ + ⋅ = + ⋅
(iv) Darstellung in Polarkoordinaten (5.19), (5.20a) und (5.20b)
( ) jcosZ r r cos j sin r e
sinϕϕ
= ⋅ = ⋅ ϕ + ⋅ ϕ = ⋅ ϕ
mit 2 2r Z : a b= = + (Länge des Zeigers a
Z :b
=
) und ( ) barg Z arctan
aϕ = = ( 0 2≤ ϕ ≤ π )
(vii) Konjugiert komplexe Größe
( )* jZ a jb r cos j sin r e− ϕ= − = ⋅ ϕ + ⋅ ϕ = ⋅ entspricht Spiegelung an reeller Achse!
es gilt: *Z Z= und 2* 2 j jZ Z Z r e eϕ − ϕ⋅ = = ⋅ ⋅
(viii) Berechnung von Quotienten („Nenner reell machen“)
* *
* 2
U U V U V
V V V V
⋅ ⋅= =
⋅
5.3.2 Drehungen in ℂ ; Eulersche Formel (i) Komplexe Exponentialfunktion (5.21)
nZ
n 0
1e Z
n!
∞
=
= ⋅∑
1 2 1 2Z Z Z Ze e e +⋅ = für 1 2Z , Z ∈ℂ
( ) ( )( )a jb ae e cos b j sin b+ = ⋅ + ⋅ für 2a, b ∈ℝ
(5.22)
ϕ⋅+ϕ=ϕ sinjcose j Eulersche Formel
- 28 -
(ii) (5.23)
( )j arg ZZ Z e
⋅= ⋅
(5.24)
( ) ϕ=ϕ⋅+ϕ=ϕ jesinjcosd Form von komplexen Zeigern mit der Länge 1 („Einheitszeiger“); mit π20 ⋅<ϕ≤
(iii)
Multiplikation von ( )d ϕ mit Z∈ℂ ist Drehung von Z um Winkel ϕ im Gegenzeigersinn
(iv)
Drehungen in ( )2ℝ ℂ sind additiv:
• ( ) ( ) ( )j jd d e e dϕ ψϕ ⋅ ψ = ⋅ = ϕ + ψ
• ( ) ( ) ( )D D Dϕ ⋅ ψ = ϕ + ψ Matrixschreibweise; mit ( )D tω := Drehmatrix
5.3.3 Komplexe Zahlen als Drehstreckungen im 2ℝ (i)
• Drehung um ϕ entspricht einer Multiplikation mit ϕje
• Streckung um Faktor r entspricht einer Multiplikation mit r
=> Eine Drehstreckung entspricht einer Multiplikation mit ϕ⋅ jer
(ii)
Jede komplexe Zahl lässt sich als Drehstreckung im 2ℝ auffassen und umgekehrt (iii) (5.25)
speziell gilt: Z U Z U⋅ = ⋅ für Z, U∈ℂ
5.3.4 Wechselstromzeigerdiagramm in komplexer Darstellung (i) Spannungs- und Stromzeiger (5.26) und (5.27)
ujeUU ϕ⋅= ijeII ϕ⋅= Anfangswerte
(5.28) und (5.29)
( ) ( ) ( )uj tj tˆ ˆ ˆU t D t U e U U e⋅ ω +ϕω= ω ⋅ = ⋅ = ⋅
( ) ( ) ( )ij tj tˆ ˆ ˆI t D t I e I I e⋅ ω +ϕω= ω = ⋅ = ⋅
Momentanwerte; der tatsächliche Spannungs- bzw. Stromverlauf entspricht dem Imaginärteil von ( )U t bzw. ( )I t
- 29 -
(ii) Lineare Bauelemente (5.30)
ˆ ˆU Z I= ⋅ Darstellung der linearen Bauelemente R , L und C (und Schaltungen hieraus) durch Dreh-
streckungen in ℂ , welche U bzw. I abbilden (komplexes Ohmsches Gesetz; mit Z := komplexer Scheinwiderstand
(Impedanz)) (5.31) und (5.32)
IZU ⋅= Scheitelwerte von U und I ; mit Z := reelle „Impedanz“, „Scheinwiderstand“
( )u i arg Z ψϕ + ϕ = = Phasendifferenz von U und I
(5.33)
UYUZ
1I ⋅=⋅= mit jψ1 1
Y eZ Z
−= = ⋅ := „komplexer Scheinleitwert“ („komplexe Admittanz“)
(iii) Beispiele: a) Ohmscher Widerstand
Z R= 1 1
Y GZ R
= = = RZ = ( )u i arg Z 0ϕ − ϕ = =
b) Induktivität (5.34)
Z
ˆ ˆU j L I= ω ⋅ 1
Yj L
=ω
Z L= ω ( )2
πZargiu ==ϕ−ϕ
c) Kapazität (5.35)
Z
1ˆ ˆU Ij C
= ⋅ ω
Y j C= ω 1
ZC
=ω
( )2
πZargiu −==ϕ−ϕ
5.4 Einfache Wechselschaltungen aus R, L und C 5.4.1 R und L in Serie (RL-Glied) (5.36)
Z R j L= + ω Impedanz
222 LRZ ω+= Scheinwiderstand
21 ZZZ += allgemeine Serienschaltung von Impedanzen
(5.37a) und (5.37b)
ILRU 222e ⋅ω+= Scheitelwert der eingeprägten Spannungsquelle
( )e i
Larg Z arctan
R
ωϕ − ϕ = = Phasendifferenz; es gilt: e i0
2
π≤ ϕ − ϕ ≤
- 30 -
Übungsaufgabe 30: Scheinleistung und Wirkleistung (R und L in Serienschaltung)3
IU2
1P s ⋅⋅= Scheinleistung
( )w
1 ˆ ˆP U I cos2
= ⋅ ⋅ ⋅ ϕ 2 2
B S WP P P= − Wirkleistung wP und Blindleistung BP
5.4.2 R und C in Parallelschaltung (RC-Glied) (5.38)
1Y j C G j C
R= + ω = + ω Admittanz
2 2 2Y G C= + ω Scheinleitwert
21 YYY += YZZ
ZZ
Z
1
Z
1
Z
1
21
21
21
=⋅
+=+= Parallelschaltung zweier Impedanzen 1Z und 2Z
(5.39a) und (5.39b)
2 2 2
e eˆ ˆI G C U= + ω ⋅ ( ) ( )i e
Carg Y arctan arctan R C
G
ω ϕ − ϕ = = = ω
mit e i 0
2
π− ≤ ϕ − ϕ ≤
5.4.3 Gedämpftes LC-Glied
RLZ R j L= + ω Serienschaltung von R und L
(5.40)
RL
1 1Y j C
Z Z= = ω + Serienschaltung von R und L , beide in Parallelschaltung mit C (RL||C)
(5.41)
21 L C j R CY
R j L
− ω + ω=
+ ω
(5.42)
( )2 2 2 4 2 2
2 2 2
1 R C 2 L C L CY
R L
+ ω ⋅ − + ω=
+ ω
(5.43) und (5.44)
( ) ( )2 2 2
i e 2
R C L 1arg Y arctan arctan arctan C R L L
R R1 L C
ω ω = ϕ − ϕ = − = ⋅ ω ⋅ + ω − ω − ω Phasendifferenz
5.5 Leistung und Effektivwerte 5.5.1 Momentane Leistung (5.45)
( ) ( )
m
u i u i
Mittelwert: P Mittelwert: 0
1 1ˆ ˆ ˆ ˆp(t) U I cos U I cos 2 t2 2
= ⋅ ⋅ ⋅ ϕ − ϕ − ⋅ ⋅ ⋅ ω + ϕ + ϕ
3 Die Nummerierung bezieht sich auf die Aufgabensammlung vom Wintersemester 1998/1999. Diese ändert sich nahezu jährlich durch Austausch und Umsortierung einzelner Übungsaufgaben …
- 31 -
(5.46)
( )ium cosIU2
1P ϕ−ϕ⋅⋅⋅= Mittelwert
Eine Schaltung enthält einen Energiespeicher ( 2IL2
1⋅⋅ bzw. 2UC
2
1⋅⋅ ), falls u i 0∆ϕ = ϕ − ϕ ≠
5.5.2 Wirkleistung und Effektivwerte (i) Def. (5.47)
( ) ( )T
w m u i
0
1 1 ˆ ˆP : p t dt P U I cosT 2
= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ϕ − ϕ∫ Wirkleistung
(5.48)
( )∫ ⋅⋅=T
0
2eff dttu
T
1:U
(5.49)
( )∫ ⋅⋅=T
0
2eff dtti
T
1:I
(5.50) und (5.51)
U2
1U eff ⋅= I
2
1I eff ⋅=
(5.52)
( ) ( )w eff eff u i eff effP U I cos U I cos= ⋅ ⋅ ϕ − ϕ = ⋅ ⋅ ϕ mit u i:ϕ = ϕ − ϕ := „relativer Phasenwinkel“;
oft wird „eff“ weggelassen! (5.53)
U2
1U ⋅= I
2
1I ⋅= komplexe Effektivwerte
(ii) Komplexe Schreibweise für Leistung (5.54)
* *
w B
1 ˆ ˆP : U I U I P j P2
= ⋅ ⋅ = ⋅ = + ⋅ komplexer Leistungszeiger; mit ujˆ ˆU U e ϕ= ⋅ und ijˆ ˆI I e ϕ= ⋅
(5.55) und (5.56)
( )eff effP U I cos j sin= ⋅ ⋅ ϕ + ⋅ ϕ ( )wP Re P= ; mit u i:ϕ = ϕ − ϕ
es gilt auch: ( ) ( )*1P u t i t
2= ⋅ , da die Zeitabhängigkeit j t~ e ω wegfällt
- 32 -
(iii) Beispiele a) ohmscher Widerstand (5.57)
effeffw IUP ⋅= , also 1cos =ϕ mit 0ϕ = !
b) Spule
( )wP Re P 0= = , also 0cos =ϕ mit 2
π=ϕ !
c) Kondensator
( )wP Re P 0= = , also 0cos =ϕ mit 2
π−=ϕ !
5.5.3 Energiespeichernde Elemente (i) Spule (5.58)
( ) ( )mag 2dW 1 ˆp t L I sin 2 t
dt 2= = ω ⋅ ω
( )T
W
0
1P p t dt 0
T= =∫ Wirkleistung
(ii) Kondensator (5.59)
( ) ( ) ( ) ( )2eldW 1 ˆp t u t i t C U sin 2 tdt 2
= = ⋅ = − ⋅ω ⋅ ω
( )T
W
0
1P p t dt 0
T= =∫
5.5.4 Scheinleistung und Blindleistung (i) Leistungsbilanz bei linearen Elementen (5.60)
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
eff
zugeführte Anteil an im Zuwachs bzw. Abnahme an gespeicherter Energie
(Netto ) System verbrauchter dW dW 0 bzw. 0
Leistung dt dtLeistung 0
p t Re Z i t Im Z I sin 2 t
−≥ <
≥
= ⋅ + ⋅ ⋅ ω
(5.61)
( ) ( )dt
dWtiRtp 2
w +⋅= Leistungsbilanzgleichung mit ( )wR Re Z= (Wirkwiderstand) und
( ) ( )2
eff
dWIm Z I sin 2 t
dt= ⋅ ⋅ ω
- 33 -
(5.62)
( ) ( ) ( )T T
2 2
W w eff
0 0
1 1P p t dt R i t dt Re Z I
T T= = ⋅ = ⋅∫ ∫ = mittlere verbrauchte Leistung 0≥
(ii) Blindleistung (5.63)
( ) 2
B effP : Im Z I= ⋅ Blindleistung
(5.64)
( ) ( )( ) ( )w Bp t P 1 cos 2 t P sin 2 t= ⋅ − ω + ⋅ ω
(iv) Komplexe Zeigerdarstellung (5.65a)
( )* 2
effP Z I I Z I= ⋅ ⋅ = ⋅
(5.66)
( ) ( )w B
2 2
eff eff
P P
P Re Z I j Im Z I= ⋅ + ⋅ ⋅
(5.65b)
* * * * 2
effP U I U Y U Y U= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
(5.67)
P:P s = Scheinleistung
(5.68)
2B
2w
2s PPP +=
(5.69)
effeff*
s IUIUIUP ⋅=⋅=⋅=
(5.70) und (5.71)
w sP P cos= ⋅ ϕ B sP P sin= ⋅ ϕ mit u i:ϕ = ϕ − ϕ
(5.72)
( )( )
Im Ztan
Re Zϕ =
5.5.5 Energieaustausch zwischen Kapazitäten und Induktivitäten im ungedämpften Schwingkreis (i) Impedanz (Parallelschaltung von C und L) (5.73)
e 2
j Lˆ ˆU I1 L C
ω= ⋅
− ω Scheitelwert der eingeprägten Spannungsquelle
- 34 -
(5.74) und (5.75)
( ) 2
LZ
1 L C
ωω =
− ω
u i
π 1, für
2 L C
π 1, für
2 L C
+ ω <
ϕ − ϕ =
− ω >
(ii) Leistung
0P w = 2
2 2
B eff eff2
L 1 L CP I U
L1 L C
ω − ω= ⋅ = ⋅
ω− ω
Spezialfall: BP 0= für 1
L Cω = , d.h. LC-Glied nimmt überhaupt keine momentane Leistung auf ( ( ) 0tp ≡ )
(iii) gespeicherte Energie (5.76)
( ) ( ) ( )2 2 2
L L L
1 1 ˆW t L i t L I sin t2 2
= ⋅ = ⋅ ⋅ ω Energie in Spule
(5.77)
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2
C L
1 1 1ˆ ˆW t C u t C U cos t C L I cos t2 2 2
= ⋅ = ⋅ ⋅ ω = ω ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω Energie in Kondensator
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2
L C L
1 ˆW t W t W t L I sin t L C cos t2
= + = ⋅ ⋅ ω + ω ⋅ ⋅ ⋅ ω gespeicherte Gesamtenergie
(5.78a) und (5.78b)
( ) ( ) ( )2
L
dW ˆ ˆU I 1 L C sin t cos tdt
= ⋅ ⋅ − ω ⋅ ω ⋅ ω zeitliche Änderung der Gesamtenergie
( ) ( )2
2dW 1 L CU sin t cos t
dt L
− ω= ⋅ ⋅ ω ⋅ ω
ω
Spezialfall: 1
L Cω = (Resonanz): ( ) 2 21 1 dWˆ ˆW t L I C U const. 0
2 2 dt= ⋅ = ⋅ = ⇒ =
( ) ( ) ( )2
2dW 1 L Cˆp t U sin t cos tdt L
− ω= = ⋅ ⋅ ω ⋅ ω
ω zugeführte Leistung
Falls 1
L Cω = (Resonanzfall): ( )p t 0=
=> es wird nur zwischen L und C Energie ausgetauscht ( => Schwingkreis)
- 35 -
5.6 Gedämpfter Schwingkreis - eine Fallstudie (LC-Parallelkreis; RL||C) 5.6.1 Resonanzverhalten bei erzwungener Schwingung [vgl. (5.41) und Übungsaufgabe 30] (i) komplexe Impedanz (5.80)
( ) 1
2 2
2
0
1 jR j LZ R
1 LC j RC1 j
+ ωτ+ ωω = = ⋅
− ω + ω ω− + ωτ
ω
mit 1
L:
Rτ = , 2 : RCτ = und 0
1:
L Cω =
(ii) Schweinwiderstand (5.81)
( )
2
2 2
1
4
2 2
2
00
1Z R
21
+ ω τω = ⋅
ω+ ω τ − +
ωω
mit 0ω := Resonanzfrequenz im ungedämpften Zustand
(iii) Resonanzverschiebung (5.82)
2 2r 0
1 1
1 2τ τ
ω = ω ⋅ + −τ τ
mit rω := Resonanzfrequenz im gedämpften Zustand
(iv) Dämpfungsverhalten (5.83)
22
1
R C1 2
L
τ⋅= < +τ
<=> reelle Resonanzfrequenz nur für 2 2
1 1
1 2τ τ
+ ≥τ τ
Fazit: Bei erzwungenen Schwingungen gilt …: Widerstand Dämpfung Resonanzfrequenz Impedanz
R=0 ungedämpft r 0ω = ω hat Pol bei 0ω 2R C
1 2L
< + unterkritisch r 00 < ω < ω hat Maximum ( )rZ Rω >
2R C1 2
L= + kritisch r 0ω = ( )rZ Rω =
2R C1 2
L> + überkritisch kein rω ( )Z Rω ≤
(v) Phasenwinkel (5.84)
( ) ( )3 1u i 2 1 2
0
arctan arctan f τ
ϕ − ϕ = − ω⋅ τ − τ + ω ⋅ = − ω ω
(5.85)
2
R 0
R C1
Lω = ω ⋅ − Nulldurchgang der Phase
- 36 -
Es gilt: • R 0ω ≤ ω
• Rω existiert nur für 2R C
1L
≤ (d.h. im unterkritischen Fall!)
• R rω ≤ ω (weil 2 2 2
1 1 1
1 1 2τ τ τ
− ≤ + −τ τ τ
)
5.6.2 Energiebilanz für erzwungene Schwingungen (i) Leistung (5.86)
1
2 2
eff effW 2 2 2 2 2
R U U1P
RR L 1
⋅= = ⋅
+ ω + ω τ Wirkleistung
(5.87)
1
2
1 2 12
0eff
B 2 2
UP
R1
ω ω ⋅ τ − τ − ⋅ τ ω = ⋅
+ ω τ Blindleistung
Es gilt: • WP 0> (wegen des ohmschen Verlusts)
• Nullstellen von BP : 0ω = und 20 R
1
1τ
ω = ω ⋅ − = ωτ
(vgl. (5.85))
• Falls 2
2 1
R C1
L
τ > τ ⇔ >
: ( )BP 0ω < für alle ω
• Falls 2
2 1
R C1
L
τ ≤ τ ⇔ ≤
: ( ) R
B
R
00 fürP
0 für
< ω < ω>ω =
ω < ω<
(ii) momentane Leistungs- und Energiebilanz (5.88)
( ) ( )
CLR
00 oder 0
dWdWp t P t
dt dt>
≥ <
= + +
mit ( ) ( )2
R RLP t R i t= ⋅ := ohmsche Verlustleistung
5.7 Transformator in komplexer Rechnung 5.7.1 Transformator-Gleichungen
( ) ( ) ( )N
kk k k kj
j 1
diu t R i t L t
dt=
= + + ⋅∑
kR und k1 kNL L… sind in Reihenschaltung. Es gilt: kj jkL L=
(iv) komplexe Trafo-Gleichungen (5.89)
( )N
k jk k kk k jj k
U R j L I j L I≠
= + ω ⋅ + ω ⋅∑ komplexe Trafo-Gleichungen
- 37 -
11 1 11 12 1N
22 21 2 22
NN N1 N NN
IU R j L j L j L
IU j L R j L
IU j L R j L
+ ω ω ω ω + ω = ⋅ ω + ω
⋯
⋮
⋮⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯ ⋯
Matrixschreibweise
(v) Spezialfall: Trafo mit zwei Wicklungen (Primär- und Sekundärwicklung) (5.90) und (5.91)
11 1 1
22 2 2
IU R j L j M
IU j M R j L
+ ω ω = ⋅ ω + ω
mit 1 11L : L= , 2 22L : L= und 12 21M : L L= =
entspricht der Widerstandsmatrix eines Zweitors (bzw. Vierpols):
11 11 12
22 21 22
IU Z Z
IU Z Z
= ⋅
( 1I und 2I fließen in den Vierpol hinein)
5.7.2 Transformator mit sekundärseitigem Verbraucher Schaltplan: siehe Skriptum „Elektrizitätslehre“ auf S. 221 (5.6.2 Sekundärseitig belasteter Transformator) (5.92)
( ) ( )2 1 2 2
1 1 2 2
j M ZU U
R j L Z R j L M
ω ⋅= ⋅
+ ω ⋅ + + ω + ω
( ) ( )2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
Z R j LI U
R j L Z R j L M
+ + ω= ⋅
+ ω ⋅ + + ω + ω
mit 1U : Spannungsquelle; Z : Impedanz des Verbrauchernetzwerks;
1R und 1L bzw. 2R , 2L und Z in Serienschaltung
(ii) Kenngrößen (5.93)
2 1
2 2
2 2 2Z1 1I 0 1
U U Mlim
U U R L→∞=
ω= =
+ ω Spannungsübersetzung
(5.94)
22
2
2 2 21 2U 0
I M
I R L=
ω= + ω
Stromübersetzung
( ) ( )2 2 1
22
2 2 2 2 2 21 1I 0 U 0 1 2 2
IU M
U I R L R L= =
ω⋅ = + ω ⋅ + ω
Kopplungsfaktor
