Elektro Sehr Gut 2

FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt / Entwurf

Prof. Dr.-Ing. Krause Inhalt 0010 Sept 2001

Grundlagen der Elektrotechnik neu WS 2001 / 2002

0. Allgemeine Hinweise0.1 Inhalt0.2 Literaturempfehlung0.3 Hinweise zur Ziffernzahl0.4 Dekadische Vorsätze0.5 Einheiten

1. Allgemeine Grundlagen1.1 Allgemeines zu Ladungen1.2 Woher kommen die Ladungen (Leitungsmechanismus)?

1.1.1. Metallbindung Elektronenleitung1.1.2. Ionenbindung Ionenleitung1.1.3. Halbleiter Festkörperleitung1.1.4. Gase1.1.5. Vakuum1.1.6. Supraleitung

1.3 Was bewirken die Ladungen ?

1.4 Begriffe Strom, Stromdichte, Spannung, Leistung (mit Analogien)

1.5 Wer oder was bewegt die Ladungen = elektrische Quellen 1.5.1 Quellen (Spannungsquellen, Stromquellen) mit Analogien

1.5.2 Technische Quellen (Batterien)

2. Netzwerkberechnung bei Gleichstrom2.1. Stomkreisgesetze

2.1.1. Elektrischer Widerstand2.1.2. Ohm‘sches Gesetz, Leistung2.1.3. Kirchhoff‘sche Regeln (Maschen- und Knotenregel)2.1.4. Temperaturverhalten von Widerständen

2.2. Grundschaltungen2.2.1. Elektrischer Widerstand

2.2.1.1. Spezifischer Widerstand, Leitfähigkeit2.2.1.2. Temperaturverhalten2.2.1.3. Tabellen2.2.1.4. Technische Ausführung

2.2.2. Reihe- Parallel2.2.3. Spannungsteiler, Stromteiler2.2.4. Stern- Dreieck- Umwandlung2.2.5. Leistungsanpassung2.2.6. Brückenschaltungen

2.3. Berechnungsverfahren für Netze2.3.1. Überlagerung2.3.2. Ersatz-Zweipol-Quelle2.3.3. Knotenpotential-Verfahren2.3.4. Maschenstrom-Verfahren

2.4. Technische Quellen Für Gleichstrom

2.5. Nichtlineare Verbraucher2.5.1. Kennlinien2.5.2. Arbeitsgerade2.5.3. Stabilität von Arbeitspunkten

3. Elektrische und Magnetische Felder3.1. Elektrisches Strömungsfeld3.2. Elektrostatisches Feld3.3. Magnetisches Feld

4. Ausgleichsvorgänge (Schaltvorgänge)5. Netzwerkberechnung bei sinusförmigem Wechselstromstrom6. Drehstrom7. Fourier-Reihen8. Ortskurven

FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf

Prof. Dr.-Ing. Krause Literatur 0020

Es handelt sich nur um eine kleine Auswahlaus der äußerst umfangreichen Literatur

Führer, Heidemann, Nerreter: Grundgebiete der Elektrotechnik,Band 1: Stationäre Vorgänge,Band 2: Zeitabhängige Vorgänge,Hanser Verlag 1990

Moeller, Frohne, Löcherer, Müller: Grundlagen der Elektrotechnik, 18. AuflageAus „Leitfaden der Elektrotechnik“, B.G. Teubner Verlag 1996

Paul, Reinhold: Elektrotechnik: Grundlagenlehrbuch:Band 1: Felder und einfache StromkreiseBand 2: NetzwerkeSpringer Verlag 1993

Hagman, Gert: Grundlagen der Elektrotechnik,Hagman, Gert: Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik,Aula- Verlag 1990

Lindner, Brauer, Lehmann: Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik,Fachbuchverlag Leipzig 1991

Lindner, H.: Elektro-Aufgaben Band 1: GleichstromBand 2: WechselstromBand 3: Leitungen- Vierpole- Fourier-Analyse- Laplace-TransformationFachbuchverlag Leipzig, 1992, 1991, 1993

Bauckholt, H.-J.: Grundlagen und Bauelemente der Elektrotechnik,Hanser Verlag 1992

Und noch ganz viele sehr gute Bücher: siehe Internet unter Buchhandel

Bedingt zu empfehlen: Bücher für die Berufsschule mit z. T. sehr gutenErläuterungen und hervorragendem Bildmaterial, vom Niveau her aber nicht ausreichend: fehlende Differential- undIntegralrechnung, fehlende komplexe Rechnung.

z.B.: Fachkunde Elektrotechnik, Europa-Lehrmittel


Prof. Dr.-Ing. Krause Hinweise zur Ziffernzahl 0030 Sept 2001

z.B. Masse des Elektronsme=0,00000000000000000000000000000009 kg ?????????Ist diese Angabe sinnvoll ????? Stellenzahl hinter dem Komma ???---------------------------------------------------------------------------------------------------Der Durchmesser eines Hubmagneten ist mit einem Gliedermeßstab (Zollstock) zu40 cm ermittelt worden. Wie groß ist die Fläche?A = d2.π/4 = 0,1256637061 m2 = 1256,6370614359 cm2

Welche Angabe ist sinnvoll ??? 3 Ziffern hinter dem Komma ????Ist die Angabe A = 1256,637 cm2 sinnvoll ???????Hier wird eine Genauigkeit von 0,001/1256,637 = 0,0001 %vorgetäuscht !!!!!!!---------------------------------------------------------------------------------------------------Elektrische Spannung gemessen U=230 V (z.B. Meßgerät Klasse 2,5 %)Elektrischer Widerstand R=27Ω. Wie groß ist die Leistung P?

P= U2/R = (230V)2/27Ω = 1959,2593W(4Ziffern hinter dem Komma, aber eine völlig unsinnige Angabe) !!!Die Spannung wurde mit einer Genauigkeit von 2,5 % gemessen !!!!---------------------------------------------------------------------------------------------------Achtung:Kabeldurchmesser d = 1,4 mm Strom I = 12,7 AWie groß ist die Stromdichte S = I/A

Fläche gerundet auf zwei Ziffern, aber das Ergebnis wirdmit 5 Ziffern angegeben !!!!!!!!-------------------------------------------------------------------------------------------------Achtung Auf– und Abrunden:

z.B. 7,8246 → 7,825 → 7,83 ????aber 7,8246 → 7,82 !!!!!!!!!!!!!!!!

( )22 2

2

2 2 2

1,4 1,5394 4

z.B. gerundet auf 2 Ziffern: 1,512,7 8, 4667 richtig: 8, 25 !!!

1,5

A d mm mm

A mmI A A AS SA mm mm mm

π π= ⋅ = ⋅ =

=

= = = =

Bei technischen Aufgaben ist es

meist sinnvoll, Ergebnisse mit 3 Ziffernanzugeben (3 signifikante Ziffern).


Prof. Dr.-Ing. Krause Dekadische Vorsätze 0040

1 000 000 000 000 000 000 = 1018 Exa E 1 000 000 000 000 000 = 1015 Peta P 1 000 000 000 000 = 1012 Tera T 1 000 000 000 = 109 Giga G 1 000 000 = 106 Mega M 1 000 = 103 Kilo k 100 = 102 Hekto h 10 = 101 Deka da

1 = 100

0,1 = 10-1 dezi d 0,01 = 10-2 zenti c 0,001 = 10-3 milli m 0,000 001 = 10-6 mikroµ 0,000 000 001 = 10-9 nano n 0,000 000 000 01 = 10-12 piko p 0,000 000 000 001 = 10-15 femto f 0,000 000 000 000 001 = 10-18 atto a

Wichtiger Hinweis:

Bei der Lösung von Aufgaben immer nur 3er–Exponenten ausklammern:

z.B. nicht U=1,3.104V sondern U=13.103V = 13kV

nicht C=6,4.10-7 F sondern C=640.10-9 F = 640 nFoder C=0,64.10-6 F = 0,64 µF


Prof. Dr.-Ing. Krause Einheiten 0050 Sept 2001

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FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt /Entwurf

Prof. Dr.-Ing. Krause Physikalische Grundlagen der StromleitungLeitungsmechanismus, Allgemeines zu Ladungen

010

1. Allgemeine Grundlagen

1.1 Allgemeines zu Ladungen

• Grundlage aller elektrischen Erscheinungen sind elektrische Ladungen, und zwar• ruhende und bewegte Ladungen• Es gibt zwei Arten von Ladungen: positiv geladene (+)

negativ geladen (-)• Elektronen sind immer negativ geladen• Ionen können positiv oder negativ geladen sein

e = Elementarladung = Ladung des Elektrons = Ladung des ProtonsQ = allgemeine Ladung (Ladungsmenge) = Vielfaches von e

Einheit von Q: [Q] =As (Ampere * Sekunde) C (Coulomb)e= 1,6 * 10-19 As

Aufbau der Atome

Grundlage = Atommodell von Bohr – Sommerfeld

Bohr, Niels [Hendrik David], *)Kopenhagen 7. 10. 1885, †)ebd. 18. 11. 1962, dän. Physiker. Prof. in Kopenhagen,1943–45 Emigration in die USA.Sommerfeld, Arnold, *)Königsberg 5. 12. 1868, †)München 26. 4. 1951, dt. Physiker.

Kern enthält• Protonen (positiv geladen)• Neutronen (ungeladen)

Hülle enthält:• Elektronen mit

Elementarladungen e

• Elektronen kreisen auf Schalen:• Schalen sind Kugelschalen mit genau festgelegten Durchmessern• Jede Schale kann eine bestimmte Zahl von Elektronen aufnehmen (2; 8; 18 ...)• Die letzte Schale kann 8 Elektronen aufnehmen• Es existieren keine Zwischenschalen


Prof. Dr.-Ing. Krause Woher kommen die Ladungen? LeitungsmechanismusElektronenleitung

020

1.2 Woher kommen die Ladungen? Leitungsmechanismus

Man unterscheidet:

1. Elektronenleitung ; Leitung in Metallen2. Ionenleitung; Leitung in Elektrolyten3. Festkörperleitung; Leitung in Halbleitern4. Leitung im Vakuum5. Leitung in Gasen6. Supraleitung

Zu 1: Elektronenleitung = Elektrische Leitung in Metallen

♦ Die Atome bilden Gitter (Kristalle)♦ Die Elektronen der letzten Schale werden abgegeben♦ Sie bewegen sich frei im Gitter, verlassen das Gitter aber nicht♦ Bei elektrischem Stromfluß bewegen sich die Elektronen mit sehr geringer

„Driftgeschwindigkeit“; einige cm/s !!!♦ Die Energie wird durch Stoßvorgänge weitergegeben♦ Die Atome im Gitter schwingen um ihre Ruhelage (Wärmebewegung).

Dadurch wird die Bewegung der Elektronen behindert♦ Behinderung der Bewegung = elektrischer Widerstand♦ Fehlstellen im Gitter, Versetzungen, Fremdatome etc behindern ebenfalls die

Bewegung♦ Bei Legierungen steigt der elektrische Widerstand

Temperatureinfluß

Wenn die Temperatur steigt, schwingen die Atome stärker, die Bewegung wirdstärker behindert, der elektrische Widerstand steigt

R = elektrischer Widerstand in Ωϑ = T = Temperatur in K oder 0C

Freie Elektronen

Die Anzahl der Elektronen in der äußeren Elektronenschale eines Atoms bestimmtdas chemische Verhalten des Atoms. Dieses Verhalten nennt man die chemischeWertigkeit oder auch Valenz. Die äußeren Elektronen heißen daher auchValenzelektronen.

Metalle enthalten in ihrer äußeren Schale fast nur 1, 2 oder 3 Valenzelektronen: dieäußere Schale ist also nicht voll besetzt.

Kupfer z.B. hat nur ein Valenzelektron auf der letzten Schale

Diese Valenzelektronen sind nur relativ lose an das Atom gebunden.

Bei Raumtemperatur schwingen die Atome so stark, daß sich die Valenzelektronenvom Atom ablösen (sie werden dadurch 2Frei beweglich“)

Folgen:Es entstehen freie Elektronen (bei Kupfer z.B. ein freies Elektron), negativgeladen

Es bleibt ein Atomrumpf zurück, positiv geladen

Nichtmetalle: Diese Elemente haben mehr als drei Elektronen auf der letztenSchale. Bei Raumtemperatur sind zwar auch hier freie Elektronen vorhanden, aberihre Anzahl ist um viele Zehnerpotenzen niedriger als bei den Metallen.

• Zu jeder Schale gehört eine bestimmte Energie des Elektronen• Nimmt ein Elektron zusätzliche Energie auf, springt es auf eine andere Schale (ist

dort aber nicht stabil)• Fällt das Elektron auf seine „richtige Schale“ zurück, sendet es Energie aus

(Strahlung einer exakt definierten Wellenlänge)


Prof. Dr.-Ing. Krause Woher kommen die Ladungen? LeitungsmechanismusIonenleitung

030

Zu 2: Ionenleitung = Leitung in Elektrolyten= Leiter 2. Klasse, verändern sich beim Stromfluß

Anwendung: Galvanik, Elektrolyse, BatterienGrundlage: Ionenbindung zwischen Metall und Nichtmetall

z.B. in Kochsalz NaCl

Na gibt 1 Elektron an Cl ab, dadurch wird Na positiv geladen Na+

Cl nimmt das Elektron auf, dadurch wird Cl negativ geladen Cl-

Na + -Ion und Cl

- -Ion ziehen sich an = IonenbindungAndere Erklärung: Das Elektron des Natriums umkreist beide Atome und hältsie dadurch zusammen.

Elektrolytische Dissoziation: In wässriger Lösung zerfallen, Salze, Säuren undLaugen in ihre Ionen. (ohne Anlegen einer elektrischen Spannung; Salz löst sichbeim Kochen in der Suppe von selbst auf).

NaCl Na+ + Cl- ; CuSO4 Cu2+ + SO42-

Im elektrischen Feld (Spannung an den Elektroden) wandern die Ionen =Stromfluß

Elektronen der letzten Schale:

Natrium Na:1 Elektron zu vielChlor Cl: 1 Elektron zu wenig

(+) Pol = Anode(-) Pol = Kathode (Katode)


Prof. Dr.-Ing. Krause Woher kommen die Ladungen? LeitungsmechanismusHalbleiter

040

Zu 3: Halbleiter = Störstellenleitung = Festkörperleitung

4-wertige Elemente (Kohlenstoff C ; Silizium Si ; Germanium Ge) in hochreinerForm haben bei Raumtemperatur nur ganz wenig freie Elektronen und sind fastIsolatoren.Bei höheren Temperaturen steigt die Leitfähigkeit stark an (d.h. der Widerstandsinkt)

Es gibt zwei Anteile für den Leitungsmechanismus:1.) Die freien Elektronen wandern als negative Ladungen durch das Gitter

(N- Leitung = Elektronenleitung)2.) Bewegt sich eine Elektron, hinterläßt es eine leere Stelle, ein „Loch“.

Weil an dieser Stelle das Elektron fehlt, wird diese Stelle auchDefektelektron genannt ( = positive Ladung).„Löcher“ bzw. Defektelektronen wandern als positive Ladungen durchdas Gitter (P- Leitung = Löcherleitung).

Die Leitfähigkeit wird erhöht durch gezielte „Verunreinigungen“ = „dotieren“

a.) Donatoren = 5– wertige Elemente (donare = spenden):Phosphor P; Arsen As; Antimon Sb. Sie geben Elektronen ab⇒ freie Elektronen , n-leitend

b) Akzeptoren = 3– wertige Elemente (accipere = annehmen): Aluminium Al; Indium In; Bor B.

Es fehlt ein Elektron gegenüber dem Silizium, sie nehmen ein Elektronauf, dadurch entsteht im Gitter ein „Loch“ ( = positve Ladung)⇒ Löcherleitung (p-leitend)

Anmerkung: An der Grenzschicht von p-Leiter und n-Leiter entsteht einpn-Übergang = Diode.

Durch Kombination von pn-Übergängen entstehenTransistoren, Thyristoren etc.

Wichtig: Silizium (oder Germanium) muß in allerreinster Form vorliegen:Höchstens 1 Fremdatom auf 1010 Si-Atome:(40 Tropfen ≈ 1 cm3 d.h. 1 Tropfen auf 250 Mio cm3 = 250 m3

= 2.500 Badewannen)

Hinweis: Wenn die Temperatur steigt, steigt der Leitwert, d.h. der Strom kannsteigen, dadurch steigt die Temperatur weiter = „Aufschaukeln ≈ Wärmetod vonTransistoren.

Besondere Halbleiter:PTC (Positiver Temparatur Koeffizient)

Temperatur ⇑ -- Widerstand ⇑

NTC (Negativer Temparatur Koeffizient)Temperatur ⇑ -- Widerstand ⇓


Prof. Dr.-Ing.Krause

Woher kommen die Ladungen? LeitungsmechanismusStromleitung im Vakuum

050

Zu 4: Stromleitung im Vakuum

z.B. Braun’sche Röhre (Oszilloskop, Fernsehröhre, Röntgenröhre etc)(Braun, Karl Ferdinand, *)Fulda 6. 6. 1850, †)New York 20. 4. 1918, dt. Physiker.Entwickelte 1897 die Braunsche Röhre, eine Elektronenstrahlröhre, die zurFernsehbildröhre weiterentwickelt wurde; bahnbrechende Entwicklungsarbeiten aufdem Gebiet der Funktechnik. Nobelpreis 1909 (mit G.)Marconi).

Der Druck in der Röhre ist so gering 10-10 ... 10-6 bar = Hochvakuum), daß nurganz wenig Gasmoleküle vorhanden sind.Im Raum vorhandene Elektronen können sich also ohne Zusammenstöße mitGasmolekülen ungehindert von einer Elektrode (Katode -) zur anderen Elektrode(Anode +) bewegen = Elektronenstrahlröhre.Die Elektronen treten z.B. durch „thermische Emission“ aus der geheizten Katodeaus (= Glühemission).

Elektronen werden im elektrischen Feld beschleunigt, d.h. ihre Geschwindigkeitwird erhöht (im Röntgengerät, insbesondere im Teilchenbeschleuniger) aufnahezu Lichtgeschwindigkeit.Im magnetische Feld werden die Teilchen nur abgelenkt, aber nicht schneller.

K: aus der geheizten Katode K tretenElektronen aus.W: Wehnelt-Zylinder für Strahlhelligkeit.S: FokussierungPx Py Ablenkung der Elektronen im elektrostatischen Feld.L: Leuchtschicht.N: Nachbeschleunigung ( bis 30 kV)

Anwendungen:

OszilloskopFernsehröhreRöntgenröhreTeilchenbeschleuniger



Woher kommen die Ladungen? LeitungsmechanismusStromleitung in Gasen

060

Zu 5: Stromleitung in Gasen

Gase (z.B. Luft) sind durch kurzwellige Strahlung (Höhenstrahlung) und durch diegeringe natürliche radioaktive Strahlung schwach ionisiert und dadurch ganzschwach leitfähig.Beim Anlegen einer elektrischen Spannung entsteht ein elektrisches Feld und dieElektronen werden beschleunigt. Sie stoßen bei ihrer Bewegung durch das Feldgegen andere Atome und können dabei Elektronen aus dem Kern„herausschlagen“. Das Atom wird dadurch ionisiert (=Stoßionisation).Die Elektronen können auch auf andere Bahnen mit höherer Energie angehobenwerden.Durch die Ionisation fließt ein Strom, der lawinenartig ansteigen kann(=elektrischer Durchschlag).Zur technischen Nutzung z.B. in einer Lampe muß der Strom durchVorschaltgeräte begrenzt werden ( Vorwiderstand oder Spule=Drossel).Bei großen Strömen entsteht ein Lichtbogen (Thermo-Ionisation).

Anwendung:♦ Glimmlampen (stromschwache Entladung)♦ Leuchtstofflampen♦ Hochspannung-Entladungslampen (z.B. Neon-Lampen)♦ Quecksilberdampf-, Natriumdampf- Lampen, Xenon-Lampen♦ Lichtbogen (z.B. zum Schweißen)♦ Fuisons- Plasma (Sehr große Ströme, Mio A)



Woher kommen die Ladungen? LeitungsmechanismusSupraleitung, physikalische Sondereffekte

070

Zu 6: Supraleitung

Bei einigen Metallen und Legierungen verschwindet der elektrische Widerstand inder Nähe des Temperaturnullpunktes bei der sogenannten Sprungtemperatur.Bei den neuen „Hochtemperatur- Supraleitern verschwindet der Widerstand schonbei der Temperatur des flüssigen Stickstoffs.

Ein einmal fließender Strom fließt auch nach Überbrücken derSpannungsquelle weiter.

Achtung: Die Supraleitung kann durch das Magnetfeld, das der Strom selbsterzeugt, zusammenbrechen.

Einige Sprungtemperaturen:

Al: 1,2 K ; Pb: 7,2 K ; Niob-Verbindungen: 10-20 KNeuere keramische Supraleiter, BiSrCaCuCo: 110 K !!

Zu 7: Physikalische Sondereffekte

Hierzu siehe Spezialliteratur


Prof. Dr.-Ing. Krause Was bewirken die Ladungen? 080

1.3 Was bewirken die Ladungen?

Bei der Bewegung der Ladungen entsteht:

1. Wärme2. Kraft3. Licht4. Chemische Wirkungen5. Physikalische Sondereffekte

Zu 1: Wärme:a) Wenn ein Strom durch einen Leiter fließt, entstehen bei der Bewegung der

Elektronen durch das Metallgitter Verluste, die den Leiter erwärmen(Heizleiter).

b) Bei einer elektrischen Entladung entsteht ebenfalls Wärme.

Anwendung: ElektroherdElektrische DurchlauferhitzerFönGlühlampe (der Leiter wird so stark erhitzt, daß er glüht und

Licht aussendet; im rötlich-gelben-weißlichenBereich)

Lichtbogenschmelzofen, Lichtbogenschweißen

Zu 2: Kraft:a) Häufigste Anwendung = Elektromotor (=Kraft auf stromdurchflossene Leiter

im Magnetfeld.b) Hubmagnete, Magnetventile, Türöffner ...c) Kraft im elektrostatischen Feld:

Kopierer, Laserdrucker, Farbspritzen, Beschleunigung vonElektronen im Oszilloskop und im Fernseher; Ablenkung derElektronen im Oszilloskop

Zu 3: Licht:Bei Glühlampen wird eigentlich kein Licht erzeugt, sondern Wärme.Zur direkten Erzeugung von Licht dienen:

♦ Entladungslampen ( HQL, Natriumdampf, Xenon-Hochdrucklampen etc)♦ Lichtbogenlampen♦ Leuchtdioden

Zu 4: Chemische Wirkungen:Elektrolyse, z.B. Herstellung von Aluminium, ElektrolytkupferGalvanotechnikBatterien

Zu 5: Sondereffekte:PhotovoltaikPiezo-Effekt (z.B. Feuerzeug)Peltier-Effekt (Heizung oder Kühlung)Thermoelektrizität (Thermoelemente zur Temperaturmessung)......


Prof. Dr.-Ing. Krause Wichtige BegriffeStrom, Stromdichte

090

1.4 Wichtige Begriffe

Elektrischer Strom = Bewegung von Ladungen = Änderung der Ladung

Richtung des Stromes = Richtung der positiven (+) Ladungen

Wenn – wie in Metallen – nur die Elektronen beweglich sind, fließen die Elektronenselbstverständlich entgegen der Stromrichtung. Der Hinweis auf eine physikalischeund technische Stromrichtung ist unnötig. In einem durchaus technischen Gerät, wiez.B. in der Autobatterie, sind beide Ladungen (+) und (-) vorhanden und auchbeweglich.

Wenn der Strom gleichmäßig fließt, d.h. zeitlich konstant ist:QIt

=

Wenn der Strom nicht gleichmäßig fließt:dQidt

=

Wenn der Strom zeitlich nicht konstant ist, müssen jeweils sehr kleine –differentiellkleine– Zeitabschnitte dt betrachtet werden, in denen sich die Ladung um dendifferentiell kleinen Wert dQ ändert.

Einheit der Stromstärke [I] = A (Ampere)Ampère, André Marie [frz. ã’pε:r],*)Polémieux bei Lyon 22. 1. 1775, †)Marseille 10. 6. 1836, frz. Physiker undMathematiker.

Definition der Stromstärke: Ein Strom von 1A fließt dann, wenn .... sieheBasiseinheiten des SI-Systems....

Elektrolyt, Batterie(+) Ionen und (-) Ionen sind beweglich

MetalleNur die Elektronen (-) sind beweglich

Q = Ladung, Ladungsmenge, Anzahl der Ladungen [Q] = Ast = Zeit [t] = sI = Strom, zeitlich konstant, Gleichstromi = Strom, zeitlich veränderlich

Strom fließt nur, wenn sich die Ladung ändert.

Stromdichte = Strom, bezogen auf die FlächeFormelzeichen: S = G = j

2 2 in oder I A ASA cm mm

=

Hinweis: Übliche Werte bei Kabeln, die im Haushalt verwendet werden:A = 1,5 mm2 I=16A S = I/A ≈ 10 A/ mm2

A = 4 mm2 I =25 A S = I/A ≈ 6 A/ mm2

Der Grund für die Festlegung der zulässigen Stromdichte ist die zulässigeErwärmung der Leitungen.Je größer der Querschnitt ist, um so schlechter ist die Kühlung und um so geringerwird die zulässige Stromdichte.

Analogie:

Wenn der Wasserstrom konstant ist

Wenn der Wasserstrom nicht konstant ist.

Str

Str

Wassermenge QWZeit t

dQWdt

= =

=

Ein Wasserstrom fließt nur, wenn sich die Flüssigkeitsmenge des Behältersändert.

-----------------------------------------------------------------------------------------Analogie: Wegstrecke, Geschwindigkeit

Wasserbehälter mit der Wassermenge Q

WStr = I = Wasserstrom(Wassermenge je Zeiteinheit)

Bei gleichmäßiger Bewegung gilt svt

=

Bei ungleichmäßiger Bewegung gilt dsvdt

=

Geschwindigkeit = Änderung des Weges


Prof. Dr.-Ing. Krause Wichtige BegriffeSpannung, Potential

100

Wasserstrom = Elektr. Strom IDruckdifferenz = Elektr. Spannung UDruck = Elektr. Potential ϕ

Elektrischer Strom I= Bewegung von Ladungen= Änderung der Ladung

Elektrische Spannung U= getrennte Ladungen

Dadurch, daß ein Wasserstrom durchden Verbraucher –z.B. eine Turbine –fließt, entsteht eine Druckdifferenz.

Durch geeignete Maßnahmen,z.B. durch Induktionswirkungwerden die Ladungen getrennt

Hinweis: (+) = Atomrümpfe, aus denen das Metallgitter aufgebaut ist(-) = Frei bewegliche Elektronen.

Da die positiv geladenen Atomrümpfe des Metallgitters unbeweglich sind undgleichmäßig verteilt bleiben, können sich nur die Elektronen bewegen und sich aneiner Seite des Leiters ansammeln.

Beachte: In der Mechanik und in der Elektrotechnik hat der Begriff Spannungzwei völlig unterschiedliche Bedeutungen. In der Mechanik hat die Spannung dieBedeutung der „Kraftdichte in N/m2“, wird aber aus historischen Gründen mitSpannung bezeichnet.

Potential ϕUrsprünglich sind die (+) und (-) Ladungen gleichmäßig verteilt.Zum Trennen der Ladungen Q wird Energie W benötigt.Man bezieht die Energie W zum Trennen der Ladung auf die Ladung Q:

.W elektr PotentialQ

ϕ = = el. Spannung = Potentialunterschied .

Einheit der Spannung und des Potentials: [U] = V (Volt)

Volta, Alessandro Graf (seit 1810) ,*)Como 18. 2. 1745, †)ebd. 5. 3. 1827, italien. Physiker.

Die Einheit Volt ist eine sogenannte abgeleitete Einheit. Die Umrechnung erfolgtsinnvollerweise über die Einheiten der Energie in der Elektrotechnik, Maschinenbau undWärmelehre.

[ ] 2

2 2

2 3

1 1 1 mit

1 1 1 1

kg mWs Nm J F m a Fs

kg m kg mVAs Vs A s

⋅= = = ⋅ =

⋅ ⋅= =

⋅

Leistung PSiehe später, Kapitel Ohmsches Gesetz


Prof. Dr.-Ing. Krause Was bewegt die LadungenElektrische Quellen

110

1.5 Was bewegt die Ladungen? Elektrische QuellenLadungen können getrennt werden durch:

♦ Induktion (Kraftwirkung im magnetischen Feld)Generatoren im KraftwerkLichtmaschine im AutoDynamische Mikrofone, magn. Tonabnehmer

♦ Elektrostatische WirkungReibung (unerwünschte elektrische Aufladung)Fließende FlüssigkeitenSich bewegende Stäube (Kohlenstaubexplosionen)Bandgenerator (sehr hohe Spannungen; mehrere Mio V)

♦ Chemische WirkungBatterien, Akkumulatoren

♦ WärmeThermoelemente zur Temperaturmessung

♦ LichtPhotovoltaikPhoto-Dioden für Meßzwecke

♦ KristallverformungPiezo- Effekt (Tonabnehmer, Druckfühler, Feuerzeuge...)

♦ Weitere physikalische Effekte

Analogie Was bewegt die Ladungen / Was bewegt die Wassertropfen ?

Der Druckunterschied durch dieHöhendifferenz verursacht denWasserstrom= Spannungsquelle

Die Pumpe verursacht denWasserstrom= Stromquelle


Prof. Dr.-Ing. Krause StromkreisgesetzeOhmsches Gesetz

220

Ohm, Georg Simon, *)Erlangen 16. 3. 1789, †)München 6. 7. 1854, dt. Physiker.Entdeckte 1826 das nach ihm benannte Gesetz der Elektrizitätsleitung.

Elektrischer Widerstand R, Elektrischer Leitwert G

Symbol

Das Symbol für den elektrischen Widerstand berücksichtigt, daß in einerelektrischen Anlage eine elektrische Leistung umgesetzt wird (z.B. in einemMotor, einem chemischen Prozeß, einer elektrischen Entladung etc.).Der Widerstand R ist eine rechnerische Größe, die sich aus den WertenLeistung, Strom und Spannung ergibt.Der Widerstand kann (bei Wärmeleistung) auch in Form eines elektrischenLeiters vorhanden sein.Wichtiger Hinweis: Bei Entladungslampen und bei Motoren existiert derWiderstand nicht, der sich rechnerisch aus der Leistung ergibt, er kannauch nicht mit einem Widerstandsmeßgerät gemessen werden.

Leitwert G = Kehrwert von R 1GR

=

Ohmsches Gesetz

Wenn der Widerstand R konstant ist, ist der Zusammen zwischen Strom I undSpannung U konstant, d.h. die Kennlinien sind linear.

Die Kennlinien existieren auch im 3. Quadranten; wenn sich die Richtung derSpannung durch Umpolen der Batterie umkehrt, kehrt sich auch die Richtung desStromes um.

U UOhmschesGesetz U R I I RR I

= ⋅ = =

Beachte U=f(I) bzw I=f(U)

R

[ ] [ ][ ] ( ) [ ] ( )1Einheit von R

amerikanisch: 1S = 1 mho

U VR Ohm G S SiemensI A

= = =Ω = =Ω


Prof. Dr.-Ing. Krause StromkreisgesetzeOhmsches Gesetz, Leistung

222

Leistung

Watt, James [engl. wct], *)Greenock bei Glasgow 19. 1. 1736, †)Heathfield (heute zu Birmingham) 19. 8. 1819, brit. Ingenieur und Erfinder.

Beachte immer wieder die Umrechnung:

Zwei Größen:n Drehzahl in s-1 oder min-1

Md Drehmoment in Nm

Zwei Größen:F Kraft in NV Geschwindigkeit in m/s

zum Vektorcharakter: siehe später

Zwei Größen:U Spannung in VI Strom in A

Leistung: mit und P U I I U R U I R= ⋅ = = ⋅

22 UP U I I R

R= ⋅ = ⋅ =

( ) [ ]2 Nm WsP M n P Ws s

π= ⋅ ⋅ ⋅ = = =

[ ] m NmP F v P N Ws s

= ⋅ = = =

[ ] WattP V A W= ⋅ =

21 1 1 1 1 kg mWs Nm J Ns⋅

= = =


Prof. Dr.-Ing. Krause StromkreisgesetzeKirchhoff’sche Regeln (Knoten- und Maschenregel)

230

In einem elektrischen Netzwerk gibt es Zweige, Knoten und Maschen.

A) Knotenregel (1. Kirchhoffsche Regel) ΣI=0

( )1 2 3

1 2 3 4 4 1 2 3 4

. . 1 2 3 0 1 2 3 6z B I A I A I A

I I I I I I I I I A A= = =

+ + + = = − − − = − + + = −

Hinweis: Die einmal (willkürlich !!) gewählte Stromrichtung für I4 sollte nichtmehr geändert werden, auch nicht bei einem negativen Zahlenwert.

Analogie: Wasserströme !

B) Maschenregel ( 2. Kirchhoffsche Regel) ΣU=0

Beispiel:

Die Ladungen, die auf den Knoten zufließen,müssen auch wieder abfließen.d.h. Die Ströme, die zufließen, müssen auchwieder abfließen.

Bei einem geschlossenem Maschenumlaufist die Summe der Spannungen ΣU=0.

1 4

3 1 1 3

4 2 2 4

Die Werte der Spannungen U bis U sindwillkürlich gewählt.Obere Masche:

0 6 7 1UntereMasche:

0

Br Br

Br

Br Br

U U U U U UU V V V

U U U U U U

− + = = − += − + =

+ − = = − 4 3 1BrU V V V= − =


Prof. Dr.-Ing. Krause GrundschaltungenBauteil: Elektrischer Widerstand

240

Hinweis: Mit dem Wort Widerstand bezeichnet man:♦ Das Verhälnis von Spannung und Strom R = U/I♦ Das Bauteil, das aus elektrisch leitfähigem Material besteht, z.B. aus einem

Metalldraht.

Der Draht muß lang und dünn sein.(homogenes elektrisches Strömungsfeld, siehe später).

Der Widerstand hängt ab von:- Länge l: R ~ l (proportional)- Querschnitt: R ~1/A (je größer der Querschnitt, um so kleiner der Widerstand)- Material des Leiters = spezifischer Widerstand ρ

l lRA Aρ

κ⋅

= =⋅ 1κ

ρ=

Mmemotechnisch ist die Form der Gleichung mit der Leitfähigkeit günstiger,da sich Zahlenwerte für die Leitfähigkeit besser merken lassen als für denspezifischen Widerstand.

Einheit von ρ: [ρ] = Ω.m [κ] = 1Sm = 1/Ω.m

z.B. Kupfer (chem. Zeichen = Cu = Cuprum)κCu = 56.106 1/Ω.m

Aber: Bei Leitungen wird der Querschnitt meist in mm2

und die Länge meist in m angegeben.

Bild: Leiter A = Querschnittl = Länge des Leiters

ρ (rho) = spezifischer Widerstand

κ = σ = γ = (spezifische) Leitfähigkeit

( )6 6

2 6 2

62

26

Cu

156 10 56 1010

1 156 56 10 (S=Siemens)

1 1 1056 56

Cu

m mm m m mm

m Smm m

mm mm

κ

κ

ρ

= ⋅ ⋅ = ⋅Ω⋅ Ω⋅ =

= = ⋅ =Ω⋅ Ω⋅ Ω

Ω⋅= = ⋅ Ω ⋅


Prof. Dr.-Ing. Krause GrundschaltungenWiderstand, Temperaturverhalten

250

Celsius , Anders (*)1701, †)1744) schwed. AstronomenKelvin, William Lord K. of Largs (vorher Sir William Thomson) *1824, †1907, brit. Physiker.

Bei mittleren Temperaturen steigt der Widerstand linear mit der Temperatur;Bei höheren Temperaturen muß ein quadratischer Anteil berücksichtigt werden.

(Bei tiefen Temperaturen siehe Literatur über Supraleitung und Kryo-Kabel).

A Linearer Bereich:

( ) 020 201 20R R Cα ϑ ϑ ϑ= ⋅ + ⋅∆ ∆ = −

Zahlenwerte: Bei üblichen Leiterwerkstoffen istα20 ≈ 4.10-3 K-1 ≈ 40/00 K-1 ≈ 4 Promille pro GradAchtung: α20 gilt nur für 20oC

ϑ = Temperatur

0C = Grad Celsius K = Grad Kelvin

Achtung: Bei einer Temperaturerhöhung von:10 0C steigt der Widerstand einer Kupferwicklung um 4% ;100 0C steigt der Widerstand einer Kupferwicklung um 40% !!!!!

Der Ausgangswiderstand muß immer R20 bei derAusgangstemperatur ϑ = 20 0C sein.

Beispiel:Der Widerstand bei der Temperatur –15 0C beträgt R-15= 37 Ω.Gesucht ist der Widerstand bei der Temperatur 68 0C. α20 ≈ 4.10-3 K-1

Hinweis: Welche Genauigkeit ist sinnvoll ?Wie genau kann die Temperatur angegeben werden, wenn es sich z.B. um einenDraht handelt ?-------------------------------------------------------------------------------------------------

B Quadratischer Bereich

( )220 20 201R R α ϑ β ϑ= ⋅ + ⋅∆ + ⋅∆ ist nur eine Näherung.

Bei der Entwicklung von Glühlampen wird mit aufwendigeren Näherungengearbeitet.

Ganz grobe Anhaltswerte: 3 1 6 2

20 204 10 1 10K Kα β− − − −≈ ⋅ ≈ ⋅

Beispiel mit dem Programm MathCad

α20 = 4.10-3 K-1 β20 = 0,7.10-6 K-2

Praktischer Hintergrund bei der Berücksichtigung des quadratischen Anteils:

Einschalstrom einer kalten Glühlampe(Glühwendel der Lampe aus Wolfram mit α20 = 4.10-3 K-1 β20 = 0,7.10-6K-2

Annahme ϑ≈2500 0C Rw ≈ 15*Rk ⇒ Ik = IEIN ≈ Iwarm

Der Einschaltstrom der kalten Glühlampe kann ca den 15 bis 20 fachen Wert desBetriebsstromes der warmen Lampe annehmen.

Abhilfe: Mit Dimmer hochregeln (in weniger als 1 Sekunde) Bei der Theaterbeleuchtung: Lampen vorwärmen

Prozentualer Fehler der linearen Annäherung gegenüber der quadratischen in%

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.5

1

1.5

2

f ∆T( )

∆T

Spezifischer Widerstand ρl = linear, ρq = quadratisch

0 600 1200 1800 2400 30000

3.33

6.67

10

13.33

16.67

20

ρq ∆T( )

ρl ∆T( )

∆T


Prof. Dr.-Ing. Krause GrundschaltungenWiderstände Technische Ausführung, Normreihen

260

Dieses Hilfsblatt wird zur Zeit noch bearbeitet


Prof. Dr.-Ing. Krause GrundschaltungenReihenschaltung – Parallelschaltung

280

Reihenschaltung : Widerstände addieren – mit Spannungen rechnen

( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

...

....... ges

U U U UU I R I R I RU I R R R I R

= + + += ⋅ + ⋅ + ⋅ +

= ⋅ + + + = ⋅

ges nR R=∑

Parallelschaltung

Parallelschaltung : Leitwerte addieren – mit Strömen rechnen

1 2 3

1 2 3

1 2 3

...

...

1 1 1 1...ges

I I I IU U UIR R R

I U UR R R R

= + + +

= + + +

= ⋅ + + + = ⋅

Bei nur zwei Widerständen:1 2

1 2 1 2

1 1 1 R RR R R R R

+= + =

⋅

Achtung: Bei Taschenrechnern immer mit den Leitwerten 1/R rechnen:

1 2 3

1 1 1 1 1 ...ges nR R R R R

= = + + +∑

nG G=∑

1 2

1 2

R RRR R

⋅=

+

Schreibweise: R1||R2||R3

R 1 33 R 2 56 1133

156

20.8=


Prof. Dr.-Ing. Krause Grundschaltungen Spannungsteiler, Stromteiler

290

A. unbelastet

Spannungsteiler Achtung: Grundsätzliches Problem: Im Spannungsteiler aus „ohmschen“ Widerständen wird eine Leistung umgesetzt: d.h.

1. Energietechnik: Verlustleistung: Erwärmung des Teilers (Wärmeabfuhr!) 2. Kommunikationstechnik und Datenverarbeitung: Dämpfung

---------------------------------------------------------------------------------------------------- Stromteiler, unbelastet (Stichwort:“ Duale Netzwerke“ : Parallelschaltung;

mit Leitwerten rechnen)

Hinweis: Bei nur zwei Widerständen:

12 22

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

1 1q q q

RR RI I I IR R R R

R R R R

= ⋅ = ⋅ = ⋅+ ++⋅

2 1

21 2 1 2

G RI Iq Iq

G G R R= ⋅ = ⋅

+ +

Beispiel:

2 22

1 2q

R RU U Uq

R R R= ⋅ = ⋅

+ ∑

q2 2 q ges

2

I U=I R =

GgesU

I U GR

= = ⋅ ⋅

2 22

1 2q q

G GI I I

G G G= ⋅ = ⋅

+ ∑

12

1 2 1 2||

Stromteiler

qU RI

R R R R

= ⋅ +

2 21 2 1 2

2 qU R

I U I R UqR R R R

= = ⋅ =+ +

B. Spannungsteiler belastet

Spannungsteiler, technische Ausführung = Potentiometer, Schiebewiderstand

Beachte: für R3 = R ist der maximale Fehler bei R2 = R/2 Fehler = 20 % !!! Abhilfe: Anschluß von elektronischen Schaltungen an den Spannungsteiler

über Operationsverstärker (Schaltung als Impedanzwandler).


Prof. Dr.-Ing. Krause GrundschaltungenStern – Dreieck – Umwandlung

310

∆ <==> Y = Stern-Dreieck-Umwandlung= Impedanzinvariante Transformation d.h.: Zwischen den vergleichbaren Knoten

ind der ∆-Schaltung und in der Y-Schaltung ist der Widerstand gleich

= Leistungsinvariante Tranformation d.h.: Zwischen den vergleichbaren Knotenind der ∆-Schaltung und in der Y-Schaltung ist bei gleicher Spannung auch die Leistung gleich

∆ ==> Y Umwandlung (mit Widerständen rechnen)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

12 23 12 311 2 12 23 31

12 23 31

23 31 23 122 3 23 31 12

12 23 31

31 12 31 233 1 31 12 23

12 23 31

121

1

2

3

-------------------------------------------------------------

R R R RR R R R RR R RR R R RR R R R RR R R

R R R RR R R R RR R R

RR

⋅ + ⋅+ = + =

+ +⋅ + ⋅

+ = + =+ +

⋅ + ⋅+ = + =

+ +

⋅= 31 12 23 23 31

2 312 23 31 12 23 31 12 23 31

R R R R RR RR R R R R R R R R

⋅ ⋅= =

+ + + + + +

=========================================Y ==> ∆ Umwandlung (mit Leitwerten rechnen)

G G GG G G

R R R R R R RR

G G GG G G

R R R R R R RR

G G GG G G

R R R R R R RR

121 2

1 2 312

1 2 2 3 3 2

3

232 3

1 2 323

1 2 2 3 3 2

1

313 1

1 2 331

1 2 2 3 3 2

2

=⋅

+ +=

⋅ + ⋅ + ⋅

=⋅

+ +=

⋅ + ⋅ + ⋅

=⋅

+ +=

⋅ + ⋅ + ⋅

==========================================================Hinweis zur Mnemotechnik

Y ==> ∆Mit Leitwerten rechnenProdukt der Leitwerte der über demgesuchten Wert stehenden Schenkeldurch die Summe der Leitwerte teilen

∆ ==> YMit Widerständen rechnenProdukt der Widerstände deranliegenden Schenkel durchSumme der Widerstände teilen

Beispiel Brückenschaltung

FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik

Prof. Dr.-Ing. KrauseGrundschaltungen

Leistungsanpassung 320

Hilfsblatt/Entwurf

aa q

a i

RU U

R R= ⋅

+

q

i a

UI

R R=

+

( )

22

22

a a

aa

i a

P I RR

UR R

= ⋅ =

= ⋅+

Ra = Abschluß-, Außen-, Verbraucherwiderstand

Ri = Innenwiderstand (einschließlich Leitungswiderstand)

Ra = 0 : Kurzschluß Ra =∞ ∞ : Leerlauf

2

( )

a a

aa i a q

i a

Angenäherte Kurvendiskussion der Funktion P f R

RR R P U

R R

=

= ⋅+

=( )

2

2 2

2

qa

i

aa i a q

UR Gerade

R

RR R P

RU

≈ ⋅ =

= ⋅?( )

2

2 q

aai

UHyperbel

RR≈ =

+

22

: ( ) . . 0

( ) .... 0 : ( ) a

a

a aq

a a i ai

Maximum von P Die Kurve Pa f Ra ändert sich an dieser Stelle nicht d h die SteigungdP Rd

U LösungdR dR R R

R R

= =

= ⋅ = =+

=

2

max

( / 2) / 2 =50%q

a a i a q ai

UMaximum von P bei R R U U P

Rη= = =

0 0

a a

a a

R UR U Uq

= == ∞ =

max0

0a k q i

a

R I I I U R

R I

= = = =

= ∞ =

max0

0a k q i

a

R I I I U R

R I

= = = =

= ∞ =

Seite 2 von 320

Normierte Darstellung

Technische Bedeutung der Leistungsanpassung :

In der Kommunikationstechnik und in der Informationstechnik :aus leistungsschwachen Quellen (Mikrofon, CD-Player usw) muß möglichst vielLeistung entnommen werden

Normierung auf bzw. auf die jeweiligen Maximalwerteia

a

RR r

R=

11

ia aq

i a i i

q

ia

RR

R RU U Uq

R R R RU

uU r

R= ⋅ = ⋅

+ +

= =+

11

1

i

i i

q q k

i a i a

k

U U II

R R R R rI

i

RR R

I r

= = =+ + +

= =+

( )

2 22

2 2

2

max2max

44( ) ( )

24 mit

(1 )

i

q qa aa

i a i a

qa

a i

i

i i

RR R R

U U RP I R R

R R R R

UP rp P

P r R

⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅

+ ⋅ +

= = ⋅ =+

In der Energietechnik : Leistungsanpassung wird niemals angewendet,1.) Der Wirkungsgrad beträgt nur 50 %2.) Die Spannung am Verbraucher sinkt auf die halbe Leerlaufspannung3.) Die Verluste im Innenwiderstand der Quelle werden so groß, daß die Wärme

nicht abgeführt werden kann

Hinweis: Die Überlegungen gelten nur für lineare Quellen:Wenn sich der Innenwiderstand ändert -wie z.B. in Solarzellen - gelten andere Bedingungen. Siehe Literatur !

Seite 3 von 320

Logarithmische Darstellung

muß gestreckt werden muß gestaucht werden

möglich mit der Logarithmusfunktion →→ logarithmische Darstellung

Beide Achsen linear

halblogarithmischx- Achse logarithmischy- Achse linear

doppel- logarithmischbeide Achsen logarithmisch


Prof. Dr.-Ing. KrauseGrundschaltungenBrückenschaltung

330

Hilfsblatt/Entwurf

Wheatstonebrücke Zur Messung relativ großer Widerstände ab ca 1Ω bis mehrere MΩ .

Wheatstone, Sir Charles (1802-1875), britischer Physiker und Erfinder.

Abgleich bedeutet: Spannung im Brückenzweig oder StromUBr=0 IBr=0

Bei Abgleich ist U1=U3, dann gilt auch U2=U4: Die folgende Herleitung gilt für Leerlauf im Brückenzweig:

( ) ( )

2 42 4

1 2 3 4

2 3 4 1 2

2 3 2 4

4

qR RU U U Uq

R R R R

R R R R R R

R R R R

= ⋅ = = ⋅+ +

⋅ + = ⋅ +

⋅ + ⋅ 1 4 2 4R R R R= ⋅ + ⋅

31 1 21 4 2 3

2 4 3 4

Abgleich für

oder oder R R =R RR

RR R RR R R

= = ⋅ ⋅

⇒

Hinweis

Abgleich ?33 56 ? 47 81

0,702 ? 0,6911,5%Fehler f

= =

= ==

Hinweis

Anwendung für Meßzwecke: Schleifdrahtmeßbrücke

Schleifer

SchleifdrahtX

N

lR

AR xR l x

κ=

⋅

=− 1X N N

x x lR R R

l x x l= ⋅ = ⋅

− −

Die größte Genauigkeit wird erreicht, wennder Schleifer iin der Mitte steht

Der Vergleichswiderstand RN (=”Normalwiderstand”) RN sollte in der Größenordnung von RX sein, damit der Schleifer im mittleren Drittel des Schleifdrahtes steht

Seite 2 von Hilfsblatt 330Technische Ausführung einer Schleifdrahtmeßbrücke

Weitere Anwendung: Dehnungsmeßstreifen DMS

Wird ein elektrischer Leiter durch eine mechanischeKrafteinwirkung gedehnt, erhöht sich der Widerstand(Verlängerung bei gleichzeitiger Verringerung desQuerschnittes).Der Leiter wird mänderformig (DMS) festmit einem Werkstück verklebt, sodaß durch die Wider-standsänderung die Längenänderung eines Werkstückesbzw. die Kraftbeanspruchung ermittelt werden kann.Meist werden zwei DMS verwendet: einer wird auf Zug,der andere Auf Druck beansprucht. Die Widerstands-änderung und damit die Kraftwirkung wird mit einerBrückenschaltung ermittelt.

Thomson- Brücke Zur Messung relativ kleiner Widerstände ca 0,1Ω bis einige ΩThomson, Sir William, Lord Kelvin of Largs (1824-1907), britischer Mathematiker und Physiker.= Vier - Punkt - Messung

RX RN RX RN

Achtung: Vier - Punkt - Messung(bei sehr kleinen Widerständen in der Größenordnung derLeitungswiderstände und der Kontaktwiderständed.h. wenige mΩ

StromanschlußSense, Source

Meßanschluß

Vier - Punkt - Messung:immer 4 Leitungen verwenden


Prof. Dr.-Ing. KrauseBerechnungsverfahren für elektrische Netze

Überlagerung, Superposition 340

Hilfsblatt/Entwurf

Helmholtz, Hermann von *Potsdam 31. 8. 1821, †Charlottenburg 8. 9. 1894, dt. Physiker und Physiologe.

Die Stromverteilung wird für die einzelnen Quellen getrennt berechnet, anschließend werdendie Ströme addiert (überlagert).Dabei werden von den nicht benutzten Quellen nur die Innenwiderstände berücksichtigt.

d.h. : Spannungsquellen überbrückenStromquellen heraustrennen

Beispiel: Zwei Autobatterien werden parallel an einem Verbraucher betrieben.Abschätzung der Werte:Batterie a: Ua = 12V; Kurzschlußstrom Ik = 300A Ri = Ua/Ik = 40mΩBatterie b: Ub = 10,5V; Kurzschlußstrom Ik = 150A; Ri = Ub/Ik = 70mΩ

Verbraucherleistung Pv~250W => Rv = U2/Pv = 0.58Ω

Gewählt: Ua = 12 V; Ub = 10,5V; R1 = 40mΩΩ; R2 = 70mΩΩ; Rv = 0,58ΩΩ

Ι1↑ Ι2↑ Ιv↓ Ι1a↑ Ι1

b↑Ι2a↑ Ιv

a↓ Ι2b↑ Ιv

b↓

↓Ua

↓Ua

↓Ub

↓Ub

2 12

2

580 =-117A

70 580105 2

a a v

v

a

RI I

R R

I A

= − ⋅+

⋅+

= −

21

2

70 =117A

70 58012,6 3

a av

v

av

RI I

R R

I A

= ⋅+

⋅+

=

( )

22 1

2

||10,5V

=70+40||580

97,7 5

b b

v

b

UI

R R R

m

I A

=+

Ω

=

12

1

40 =97,7A

40 5806,31 6

b bv

v

bv

RI I

R R

I A

= ⋅+

⋅+

=

2 2 2

2 6,76 8

a bI I I

I A

= +

= − 18,9 9

a bv v v

v

I I I

I A

= +

=

( )

11 2

1

||12V

=40+70||580

117 1

a a

v

a

UI

R R R

m

I A

=+

Ω

=

1 21

1

580 =-97,7A

40 58091, 4 4

b b v

v

b

RI I

R R

I A

= − ⋅+

⋅+

= −

1 1 1

1 25,7 7

a bI I I

I A

= +

=

1 2 0 ? 0 ?vKontrolle I I I I= + − =∑2 2 218,9 058 208v v vP I R A W= ⋅ = ⋅ ⋅ Ω = ( )2 2 2 1. 2Beachte Binom a b a b a b+ = + + ⋅ ⋅

( ) ( )2 22a b a b

v v v v v v v vP I R I R I I R= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ 18,9 0,58 10,97v v vU I R A V= ⋅ = Ω =g



Ersatz-Zweipol- Quelle 350

Hilfsblatt/Entwurf

Einführung

Uq Ik

Symbole für Quellen, ideale Quellen:

ideale Spannungsquellen ideale Stromquellen

Reale Quellen mit Innenwiderstand:

Reale Spannungsquelle Reale Stromquelle

( )0

a q iU U R I

y y m x

= − ⋅

= − ⋅ ( )0

k i aI I G U

y y m x

= −

= − ⋅

Quellen werden beschrieben durch:

Uq= Leerlaufspannung (Quellenspannung)Ik = Kurzschlußstrom (Quellenstrom)

Ri = Innenwiderstand

q k i i q i k q iU I R R U R I U R= ⋅ = =

Verknüpfung dieser 3 Größen durch das ohmsche Gesetz

Seite 2 von Hilfsblatt 350Ersatz - Zweipol - Quelle für die Klemmen A und B

A oder

Die Ersatz- Quellen verhalten sich an den Klemmen genau so wie daskomplizierte reale Netz

Ersatz-Spannngsquelle

Ersatz-Stromquelle

Für die Ersatz - Zweipol - Quelle müssen 3 Größen ermittelt werden

UqE = Quellenspannung der Ersatzquelle bei Leerlauf an AB

IkE = Kurzschlußstrom der Ersatzquelle bei Kurzschluß an ABRiE = Innenwiderstand der Ersatzquelle von AB aus betrachtet

Zwei Größen werden aus der Schaltung ermittelt, die 3. Größe wird mit dem ohmschenGesetz ermittelt

qE kE iE iE qE iE kE qE iEU I R R U R I U R= ⋅ = =

Beispiel

R1 = 700 Ω R2 = 500 ΩR3 = 300 ΩUq = 12 V ; Ra = 200 Ω

ges.: Ua ; I ; Pa in Ra Lösung mit der Ersatz - Zweipol - Quelle

Aus der Schaltung werden bestimmt: Leerlaufspannung und Innenwiderstand

Ersatz - Zweipol - Quelle immer dann, wenn die GrößenU,I,Pnur in einem Zweig gesucht

Seite 3 von Hilfsblatt 350

1) Leerlaufspannung bei Leerlauf an AB

Bei Leerlauf an AB fließt in R3 kein Strom, d.h. die Spannung UqE ist gleich der Spannungan R2

( )2

1 2

50012 5

700 500qE q

RU U V V

R RΩ

= ⋅ = ⋅ =+ + Ω

2) Rie Innenwiderstand, von den Klemmen ab aus betrachtetdabei ideale Spannungsquellen kurzschließen, ideale Stromquellen heraustrennen,d.h. es werden nur die Innenwiderstände berücksichtigt

58,45

592qE

kEiE

U VI mA

R= = =

Ω

2) Kurzschlußstrom

a) Aus den Werten Leerlaufspannung und Innenwiderstand

b) Direkt aus der Schaltung ermitteln

2

1 2 3 2 3

||

qEkE

U RI siehe oben

R R R R R= ⋅ =

+ +


Mit den Werte UQE, Ik und RiE kan entweder die Ersatzspannungsquelle oder die

Ersatzstromquelle angegeben werden.

Ersatz - Spannungsquelle Ersatz - Stromquelle

( )5

6,32592 200

UqE VI mA

RiE Ra= = =

+ + Ω

iEkE

iE a

kE iE qE

RI I

R R

Beachte I R U

= ⋅+

⋅ =

22... ...a a

a qE aiE a a

R UU U P I Ra

R R R= ⋅ = = ⋅ = =

+


Prof. Dr.-Ing. KrauseBerechnungsverfahren für elektrische NetzeBrückenschaltung Ersatz-Zweipol- Quelle (EZQ)

352

Hilfsblatt/Entwurf

Beispiel Brückenschaltung:Größen nur im Brückenzweig gesucht: Lösung mit EZQ (Ersatz - Zweipol - Quelle

Uq = 24 V RBr = 6 kΩ

ges.: UBr ; IBr PBr

Lösung mit Ersatz - Zweipol - Quelle

1) Leerlauf im Brückenzweig → → Uqe:

ΣU = 01 2 1 2

3 4 3 4

1 21 2

1 3 2 4

0

0

4 524 8,42

4 7 5 2

QE R R QE R R

QE R R QE R

R Q R Q

QE

U U U U U U

oder

U U U U U U

Teiler jeweils unbelastetR R

U U U UR R R R

U V V

− − + = = − +

− + − = = −

= ⋅ = ⋅+ +

= ⋅ − + = + +

2) Innenwiderstand RiE vom Brückenzweig aus betrachtet;hierzu umzeichnen. Frage: Wie kommt man von C nach D ?

( )4 | | 7 5 | | 2

3,97iE

iE

R k

R k

= + Ω

= Ω

3) Ersatz- Spannungsquelle, neu zeichnen:

( )8,42

0,8443,97 6

5,06

QEBr

iE Br

BrBr QE

U VI k mA

R R

RU U V

R R

= = Ω =+ +

= ⋅ =+

1

ges.: Alle Ströme

Es müssen gelöst werden:

1) Bei den Kirchhoff’schen Regeln ⇒ 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten

2) Beim Knotenpotentialverfahren ⇒ 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten

Vorbemerkung:

a.)

I UR

U G Gabab a b= = ⋅ = − ⋅( )ϕ ϕ

b.) KnotenregelI =∑ 0

c.) Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln.

ϕ a

ϕ bI

U ab

d.) In der gegebenen Schaltung das Potential eines beliebigen Knotens ϕ = 0 setzen.

R a R b R c

I

I cI bI a

ϕ 1

ϕ 4ϕ 3ϕ 2

U 12 U 13 U 14

R i

2 ΩA

B

U Q =12 V

I I I IU G U G U G I

G G G I

a b c

a b c

a b c

+ + =⋅ + ⋅ + ⋅ =

− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =12 13 14

31 2 1 1 4( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

⇔I K =6 A R i = 2 Ω

G i = 0,5 S

A

B

⇔ G i = 0,5 S

I K = 6 A

I K = 6 AIURK

Q

i=

U Q

R1R2

R3

R4

R5

R6

Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf

Prof. Dr.-Ing. Krause Berechnungsverfahren für elektrische Netze 360Knotenpotential - Verfahren

Grundlagen der Elektrotechnik Knotenpotential

Prof. Dr.-Ing. Klaus Krause verfahrenHilfsblatt 360

2

Knoten-Potential-Verfahren

Hinweis: 1.) Alle Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln.2.) Für einen Knoten das Potential willkürlich auf Null setzen.3.) Für jeden Knoten die Knotenregel Σ I = 0 aufstellen.

(1) (ϕ 1 - ϕ 0) ⋅ G 1 + (ϕ 1 - ϕ 2) ⋅ G 2 + (ϕ 1 - ϕ 3) ⋅ G 4 = I K

(2) (ϕ 2 - ϕ 1) ⋅ G 2 + (ϕ 2 - ϕ 3) ⋅ G 6 + (ϕ 2 - ϕ 0) ⋅ G 3 = 0

(3) (ϕ 3 - ϕ 1) ⋅ G 4 + (ϕ 1 - ϕ 2) ⋅ G 6 + (ϕ 1 - ϕ 3) ⋅ G 5 = 0

G G G GG G G G GG G G G G

IG K1 2 4 2 4

2 2 3 6 6

4 6 4 5 6

1

2

3

00

+ − −− + + −− − + +

⋅ =+ ϕ

ϕϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

1 2 3

2 1 3

3 1 2

1

1

1

1 2 42 4

2 3 62 6

4 5 64 6

=+ +

⋅ ⋅ + ⋅ +

=+ +

⋅ ⋅ + ⋅

=+ +

⋅ ⋅ + ⋅

G G GG G I

G G GG G

G G GG G

K( )

( )

( )

Im Folgenden wird ein sehr einfaches numerisches Verfahren vorgestellt, um diese 3 Gleichungenmit den 3 unbekannten Potentialen zu lösen.

U Q20 V

R 12 Ω

R 69 Ω

R 23 Ω

R 35 Ω

R 48 Ω

R 510 Ω

R 69 Ω

R 23 Ω

R 35 Ω

R 48 Ω

R 510 Ω

R 12 Ω

I K10 A

ϕ 0

ϕ 1

ϕ 2 ϕ 3

Grundlagen der Elektrotechnik Knotenpotential

Prof. Dr.-Ing. Klaus Krause verfahrenHilfsblatt 360

3

Zunächst werden die Potentiale geschätzt.

(z.B. j 1 = 0 ; j 2= 0 ; j 3= 0).

Mit diesen Schätzwerten werden die neuen Potentiale ϕ neu berechnet.Diese neuen Potentiale werden nun als Schätzwerte betrachtet und dienen wiederum zurBerechnung neuer Potentiale.Selbstverständlich läßt sich dafür ein sehr einfaches Programm schreiben.

Die Rechnung kann abgebrochen werden, wenn auf dem Bildschirm keineVeränderungen der Zahlenwerte zu sehen sind, oder wenn folgende Bedingungen erfülltsind:

ε ist der gewählte zulässige Fehler.

Aus den Potentialen lassen sich die Spannungen und daraus die Ströme berechnen.

(Hier wird nur I angegeben)

abs UND abs UND absneu neu neuϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕε1 1

1

2 2

2

3 3

3

, , ,− − −<

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

1 2 3

23

6

2 3

6

14 687 9 055 8 455

9 055 8 4559

66 76

= = =

= =−

=−

=

, ; , ; , ;

, ,,

V V V

IUR R

V VmA

Ω

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

11 2 4

2 2 4 3

22 3 6

2 1 6 3

34 5 6

4 1 6 2

1

1

1

,

,

,

( )

( )

( )

neu K

neu

neu

G G G G G I

G G G G G

G G G G G

=+ + ⋅ ⋅ + ⋅ +

=+ + ⋅ ⋅ + ⋅

= + + ⋅ ⋅ + ⋅

U Q20 V

R 12 Ω

R 69 Ω

R 48 Ω

R 510 Ω

R 23 Ω

R 35 Ω

1,88 A

1,81 A

779 mA

845 mA

66,5 mA

2,66 A

Kontrolle mit einem Programm zur Schaltungssimulation:



Maschenstromverfahren 375

Hilfsblatt/Entwurf

I6

R1=2ΩΩ

R6=9ΩΩ

R2

3ΩΩ

R4

8ΩΩ

R5

10ΩΩR3

5 ΩΩ

UQ

20 V

Es müssen gelöst werden:1) Bei den Kirchhoff’schen Regeln => 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten2) Beim Knotenpotentialverfahren => 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten3) Beim Maschenstromverfahren => 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten

I4’

I5’

I1’

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

' ' '1 1 2 3 4 2 5 3

' ' '1 2 4 2 4 6 5 6

' ' '1 3 4 6 5 3 5 6

0

0

qI R R R I R I R U

I R I R R R I R

I R I R I R R R

⋅ + + + ⋅ − + ⋅ − =

⋅ − + ⋅ + + + ⋅ − =

⋅ − + ⋅ − + ⋅ + + =

'1 2 3 2 3 1

'2 2 4 6 6 4

'3 6 3 5 6 5

00

qR R R R R I UR R R R R IR R R R R I

+ + − −− + + − =− − + +

i

Lösung mit den Bekannten Methoden der Matrizenrechnungoder mit einem Iterationsverfahren

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

' ' '1 4 2 5 3

1 2 3

' ' '4 1 2 5 6

2 4 6

' ' '5 1 3 4 6

3 5 6

1

1

1

qI I R I R UR R R

I I R I RR R R

I I R I RR R R

= ⋅ + ⋅ ++ +

= ⋅ + ⋅+ +

= ⋅ + ⋅+ +

i

i

i

Maschenstromverfahren 1.5.2001

R1 2Uq 20

R2 3

R3 5

R4 8

R5 10

R6 9

Schätzwerte, Beginn mit I1, I4, I5 =0

I1 2.656 I4 0.779 I5 0.845

I1neu1

R1 R2 R3I4 R2. I5 R3. Uq( ).

I4neu1

R2 R4 R6I1 R2. I5 R6.( ).

I5neu1

R3 R5 R6I1 R3. I4 R6.( ).

I1neu 2.656= I4neu 0.779= I5neu 0.845=

I1 I1neu

I1neu7.53 10 3. %=

I4 I4neu

I4neu0.045 %=

I5 I5neu

I5neu0.054 %=

Umspeichern:I1 I1neu I4 I4neu I5 I5neu

I6 I5 I4 I6 0.067= mA


1

Nichtlineare VerbraucherKennlinienfelder

Ersatz-Spannungsquelle Ersatz-Stromquelle

UQ

Ri

UiRa

I

Ua

Quelle Verbraucher

IiIK

Ri Ra

I

Ua

Quelle Verbraucher

Ua = UQ - Ui I = IK - Ii

( y = y0 - m⋅x )

U U R Ia Q i= − ⋅

( y = y0 - m⋅x )

I I G UK i= − ⋅

U I RQ K i= ⋅

Häufig in der Energietechnik In der Nachrichtentechnik wird fast immerdie Darstellung I = f (U) verwendet.

Beide Darstellungen sind gleichwertig !!!

Kennlinien der Quellen

Arbeitsgerade,Widerstandsgerade

Leerlauf-spannung

Kurzschlußstrom

U

I

UQ

IK U

I

UQ

IK

Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf

Prof. Dr.-Ing. Krause Berechnungsverfahren für elektrische Netze Nichtlineare Verbraucher

370

FH-Bochum

Grundlagen der Elektrotechnik Nichtlineare Verbraucher

Prof. Dr.-Ing. Klaus Krause Kennlinienfelder

Seite 2 Hilfsblatt 370

2

Ua = UQ - Ri ⋅ I

vergl.: y = y0 - m ⋅ xI I

RU

md yd x

yx

Ki

= − ⋅

= = = =

1

Steigung tan α∆∆

mUI

Ri= = =tan α∆∆

mIU

GRi

i= = = =tan α

∆∆

1

R UI

UIi

Q

K= =

∆∆

GR

IU

IUi

i

K

Q= = =1 ∆

∆

Wennn Ri klein ⇒

Konstant-Spannungsquelle

Wenn Ri groß ⇒

Konstant-Stromquelle

U

I

Ri klein

Ri groß

UQ

I

U

Ri groß

Ri klein

IK

Beide Quellen können jeweils durch Regelschaltungen realisiert werden.

Angenähert kann eine Konstantstromquelle auch realisiert werden durcha) hohe Leerlaufspannungb) großer Innenwiderstand

Andere anschauliche Erläuterung hierzu:

Wenn der Innenwiderstand Ri ausreichend groß ist, kann sich der Verbrauchswiderstandin weiten Grenzen ändern, ohne daß sich der Strom wesentlich ändert.verändert.

U

I

IK

U

I

IK

UQ

Ri

Ra

m Steigung d ydx

yx

= = = =tanα ∆∆

3

Linearer Verbraucher:

R

U

I

U I R= ⋅

U

I

R klein

R groß

α

U

I R klein

R groß

Quelle: U = UQ - Ri ⋅ IVerbraucher: U = R ⋅ I

Gleichsetzen: UQ - Ri ⋅ I = R ⋅ I

Quelle: I = IK - Gi ⋅ UVerbraucher: I = G ⋅ U

Gleichsetzen: IK - Gi ⋅ U = G ⋅ U

grafische Lösung:

Jeweils im Arbeitspunkt A abgelesen: UA und IA.

tan α = =∆∆

UI

R

I U G UR

= ⋅ =

UQ

Ri

UiR

I

Ua

IK Ii

Ri RUa

IU

R RQ

i=

+U I

G GI R R

R RU R

R RK

iK i

ia

i=

+= ⋅ ⋅

+= ⋅

+

Kennlinie desVerbrauchers (linear)

Kennlinie der Quelle(Widerstandsgerade)

U

I

A

IA

UA

Kennlinie desVerbrauchers

Kennlinie der Quelle

U

I

AIA

UA




I

4

a) Ändern von UQ (Ik)

Mit steigender Leerlaufspannung der Quelle (bzw. des Kurzschlußstromes) steigenStrom und Spannung im Verbraucher.

I

U

UQRA

UQ

I

U

RA

IK

IK

b) Änderung von Ri

Mit zunehmenden Innenwiderstand sinkt dieSpannung am Verbraucher.Je kleiner der Innenwiderstand, umso wenigerändert sich die Verbraucherspannung.

Je größer der Innenwiderstand

umso weniger ändert sich derVerbraucherstrom.

Spannungsquelle: Stromquelle:

Je kleiner der Verbraucherwiderstand Ra, umso größer der Stromund umso kleiner die Verbraucherspannung (Grenzfall: Ra = 0 Ua = 0).

UQ

Ri

U

I

Variation von UQ(IK);Ri;Ra

I

U

UQ RA

Ri

c) Ändern von Ra

I

U Ra groß

Ra kleinRa

U

I

Ra groß

Ra klein

Ra

IK

Ri U

I

U

I

RAIK

Gi

Ri




(d.h. je kleiner der Innenleitwert),

5

Nichtlineare Verbraucher:

Sinnvollerweise grafisch lösen.

1. Schritt: Größen der Ersatz-Zweipol-Quelle bestimmen Leerlaufspannung UQE , Kurzschlußstrom IKE

2. Schritt: Kennlinie der Quelle (= Widerstandsgerade) zeichnen mit UQ und IKE

3. Schritt: Kennlinie des nichtlinearen Verbraucher zeichnen.

4. Schritt: Im Arbeitspunkt ablesen U und I.Beachte die Art der Darstellung: U = f (I) ; I = f (U)

Kennlinie der Diode:

Lichtbogen

Tunneldiode

Achtung ! Beachte die Begriffe: "negativer Widerstand" und im Gegensatz dazu "negativer differentieller Widerstand"

Ein negativer Widerstand ist immer eine Quelle (P negativ)d.h. der Widerstand liefert Energie.

Steigung positiv= = = =tan α ∆∆

UI

R tanα = = = =∆∆

IU

GR1

positiv

tan α =−

= − = − =∆

∆I

UG

R1

negativ

U

I

-R

U

I

α

α

I

U

α

α

U

I

α

I

U

α

Steigung negativ= =−

= − =tan α∆∆

UI

R

I

U0,7 V

U

I

U

I

I

U




6

Im Arbeitspunkt A ist der Widerstand

zwar positiv,

bei einem kleinen (differentiellen) Spannungszuwachs sinkt der Strom⇒ differentieller negativer Widerstand.

Anwendung : In elektronischen Schaltungen wird der Arbeitspunkt durch eine Gleichspannung oder oder durch einen Gleichstrom eingestellt.

Für kleine überlagerte Wechselströmeoder Wechselspannungen wirkt dasBauteil wie ein negativer differentieller Widerstand.i

I_

t

uU_

t

R UI

A

A=

I

U

UA

IA

A

U

I

IA

UA

A






Stabilität von Arbeitspunkten 380

Hilfsblatt/Entwurf

Beispiel aus der Mechanik

instabil stabil

Zwei Arbeitspunkte (Gleichgewichtslagen): welche Gleichgewichtslage ist stabil?

Prinzip der kleinen Störungen

Hierzu wird ein in der gesamten Technik allgemein gültiges Prinzip angewendet:

Es wird eine kleine Störung angenommen und die Frage gestellt:Wird die Störung ausgeregelt oder wird sie verstärkt?

Stab, beweglich aufgehängt Störung: Stab wird z.B. nach rechts gedrehtWirkung: Durch die Verlagerung des Schwerpunktes entsteht ein

Drehmoment, das den Stab in die Ausgangslage zurückdreht.Ergebnis: Die Störung wird ausgeregelt. Die Gleichgewichtslage ist stabil

Stab, stehend unterstütztStörung: Stab wird z.B. nach rechts gedrehtWirkung: Durch die Verlagerung des Schwerpunktes entsteht ein

Drehmoment, das den Stab noch weiter nach rechts dreht.Ergebnis: Die Störung wird verstärkt. Die Gleichgewichtslage ist instabil

Beispiele aus der Elektrotechnik: (Beachte U=f(I) - bzw I=f(U) - Kennlinie)Gegeben sind Bauelemente mit fallender Kennlinie (Negative Steigung der Kennlinie).Es ergeben sich jeweils (mindestens) zwei Schnittpunkte mit der Widerstandsgeraden(=Kennlinie der Quelle).Welcher Arbeitspunkt ist stabil?

z.B. Heißleiter oder Entladungslampe oder Lichtbogen (= Heißleiter, da dasPlasma in der Lampe bzw. im Lichtbogen mit steigender Temperatur besser leitet.)

WiderstandsgeradeArbeitsgeradeKennlinie der Quelle

Kennlinie des Verbrauchers


Arbeitspunkt AStörung: Strom wird kleinerWirkung: Spannung der Quelle ist kleinerals die, die der Verbraucher benötigt; Strom wird noch kleinerErgebnis: Störung wird verstärkt.Arbeitspunkt A ist instabil

Arbeitspunkt AStörung: Strom wird größerWirkung: Spannung der Quelle ist größerals die, die der Verbraucher benötigt; Strom wird noch größerErgebnis: Störung wird verstärktArbeitspunkt A ist instabil

Arbeitspunkt BStörung: Strom wird kleinerWirkung: Spannung der Quelle ist größerals die, die der Verbraucher benötigt; Strom wird größerErgebnis: Störung wird ausgeregeltArbeitspunkt B ist stabil

Arbeitspunkt BStörung: Strom wird größerWirkung: Spannung der Quelle ist kleinerals die, die der Verbraucher benötigt; Stromwird kleinerErgebnis: Störung wird ausgeregeltArbeitspunkt B ist stabil

Der Betrieb ist für einen stabilen Arbeitspunkt nur mit einer "Konstantstromquelle" möglich,d.h. mit relativ großer Spannung und relativ großem Vorwiderstand.Bei einer Konstantspannungsquelle würde sich ein Schnittpunkt bei sehr großem Stromergeben. Deshalb werden Glimmlampen, Leuchtstofflampen, Quecksilberdampflampen usw. immermit einem Vorwidersatnd betrieben (bei Wechselspannung mit induktivem Vorwiderstand,d.h. mit einer Drosselspule).Bei der gleich aussehenden Kennlinie I über U (Tunneldiode, Kaltleiter) geltenentsprechende Überlegungen.

“Konstant” - Stromquelle

“Konstant” - Spannungsquelle


Prof. Dr.-Ing. KrauseElektrisches Strömungsfeld

Grundbegriffe400 Febr. 2002

Hilfsblatt/Entwurf

Wichtiger Hinweis: Diese Hifsblätter können auf gar keinen Fall das Studium der Literatur ersetzen.Es handelt sich lediglich um eine einfache Zusammenfassung der Vorlesung.

Experiment: Messung des elektrischen Widerstandes mit leitfähigem Papier

Länge l

Länge R gemessen R gerechnet Fehler l = 28 cm 120 kΩ l/2 =14 cm 80 kΩ 60 kΩ 25 % l/4 = 7 cm 50 Ω 30 kΩ 40 %

Stimmt die Gleichung lRAκ

=⋅

nicht mehr?

Gedankenexperiment:

l1 l3l2

bh

d

lges

Abschnittsweise Berechnung Widerstandes:

Wenn der Einschnitt sehr schmal ist, ist der Widerstand kaum größer als bei dem Leiter ohne Einschnittdann kann der Leiter auch ganz durchtrennt werden.

311 2 3 ; ; ...llR R R

A Aκ κ= = =

⋅ ⋅

Stimmt die Gleichung lRAκ

=⋅

nicht mehr?

Vorüberlegung


1

U I RlIA

U I Il A A

κ

ρκ

= ⋅

= ⋅⋅

= ⋅ = ⋅

Q

U

I

I

Bei Netzwerkberechnung : Betrachtung von außen, global, über alles betrachtetHierbei interessiert es nicht, was im Inneren des Widerstandes geschieht.

Von außen meßbar sind die Größen : Strom I, Spannung U

1Verhältnis der beiden Größen: = Wi derstand oder = Leitwert

Produkt der beiden Größen: = Leis tung

U IR GI R U

P U I

= = =

= ⋅

In der Feldtheorie interessiert die Frage:Wie bewegen sich die Ladungen im Inneren des Leiters, d.h. lokal

Man unterscheidet: homogenes Feld <--> inhomogenes Feld

homogen (Feldlinien parallel)

inhomogen

Die beiden Feldgrößen (Feldvektoren)

gilt nur im homogenen Feld

d.h. Leiter ist lang und dünn

lRAκ

=⋅

Stromdichte S; Strom, bezogen auf die Fläche in A/mm2

Elektrische Feldstärke E; Spannung, bezogen auf die Länge in V/m

,, ( )

Bewegungslinien der LadungenStrömungslinien KraftlinienFeldlinien

I I

Herleitung für das homogene Feld:

Elektrisches StrömungsfeldGrundbegriffe, Feldvektoren, Leistungsdichte

U

I


außen1E=S =S innen

Allgemein:U I R

ρκ

= ⋅

⋅ ⋅

2 Feldvektoren [ ][ ] 2 2

V/m ; kV/m ; kV/mm

S=G=j= A/mm ; A/cm

E elektrischeFeldstärke E

elektrische Stromdichte S

= =

=

Leistungsdichte

[ ] [ ]

3

2 2 2

2 3 3

in

oder

dP Wp PdV mmdPp P E S S E EdV

V A W Wp E Sm m m mm

ρ ρ κ

′= =

′= = = ⋅ = ⋅ = = ⋅

= ⋅ = ⋅ =

Die Leistungsdichte gilt in einemganz bestimmten Punkt desRaumes.Sie ist nicht im gesamten Leiterkonstant


Analogie aus der Mechanik:

Mechanik: Elektrotechnik:

FF

l dl

von außen messbar:

Kraft F [F] = N

Verlängerung ∆l [∆l] = m, mm

Strom I [I] = A

Spannung U [U] =V

bezogene Größen, im Inneren

( )

[ ]

[ ]

2

1.) Kraft F, bezogen auf die Fläche A

=

------------------------------------------------------------ 2.) Verlängerung l, bezogen auf die Länge l

ll

F KraftdichteA

mechanische SpannungNmm

σ

σ

ε

= =

=

∆∆

=

-------------------------------------------------------------3.) Pr

(spezifische) Materialkonstante

= Elastizitätsmodul

Dehnung

oportionalitätsfaktor

E σε

=

= =

[ ]

[ ]

2

1.) Strom I, bezogen auf die Fläche A

( )

------------------------------------------------------------ 2.) Spannung U, bezogen auf die Länge l

IS StromdichteA

elektrische FlußdichteASmm

UE ell

= =

=

=

= =

-------------------------------------------------------------3.) Proportionalitätsfaktor

1 (spezifische) Materialkonstante

= elektrische Leitfä higkeit

ektrische Feldstärke

SE

κρ

= = =

Zusammenfasung der elektrischen Feldgrößen:

[ ]

[ ]

[ ]

2 Stromdichte

= elektrische Feldstärke ,

1 = elektrische Leitfähigkeit

= spezifischer Widerstand

AS G j SmmV kVE Em cm

Sm m

κ κ

ρ

= = = =

=

= =Ω ⋅

[ ]2

= ; mmmm

ρ Ω ⋅Ω ⋅

Beachte:Umrechnung Ω m in Ω mm2/msiehe früheres Hilfsblatt

I I

U


Elektrisches StrömungsfeldFeldlinien, Äquipotentiallinien

Feldlinien = Strömungslinien, Flußlinien, Kraftlinien= Linien, auf denen sich die Ladungen bewegen (mittlere “Drift”bewegung)= Linien auf denen die Kraft auf die Linien wirkt.

Äquipotentiallinien, Äquipotentialflächen = Linien (Flächen), auf denen dasPotential konstant ist.

Potential ϕ = elektrische Spannung gegenüber einem elektrisch neutralen Bezugspunkt

elektrische Spannung = Potentialdifferenz ∆ϕ = ϕ12 − ϕ1

vergleiche:

WasserturmManometer

(Druck)

DruckdifferenzVerbraucher


Elektrisches StrömungsfeldFeldlinien, Äquipotentiallinien

Feldlinien und Äquipotentiallinien stehen senkrecht aufeinander = orthogonale Trajektorien

z.B.inhomogenes Feld

Achtung: gilt nur für das homogene Feld.

sonst abschnittsweise rechnen:

UEl

UEl

=

∆=

∆

Bereiche hoher Stromdichte=Bereiche mit hoher Leistungsdichte=Bereiche mit starker Erwärmung

= Zerstörungsgefahr

1 1 2 21 2

1 1 2 2

1 2

.

Stromdichte SI IS S S SA A

el Feldstärke EE S E S

U Ul l

ρ ρ

= = = =

= ⋅ = ⋅∆ ∆

= =∆ ∆

z.B. homogenes Feld

II

ϕ =50V25%

ϕ =100V25%

ϕ =150V25%

ϕ =200V25%

U=200 V

Äquipotentiallinie

Feldlinie



Widerstand inhomogener AnordnungenVerlauf von Feldstärke und Stromdichte

410Febr. 2002

Hilfsblatt/Entwurf

Zur Erinnerung: homogenes Feld: lRAκ

=⋅

gilt ausschließlich für homogenes Feld, d.h. wenn der Leiter lang und dünn ist.

Widerstand inhomogener Anordnungen

1.) Isolationswiderstand koaxialer Zylinder = Koaxial-Kabel

Rcu = RL= Leitungswiderstand,= Längswiderstand(Verluste beim Energietransport zum Verbraucher = Kupferverluste)

RIso = Isolationswiderstand, Ableitwiderstand(Verluste in der Isolation)

lRAκ

=⋅

gilt nur für homogene Felder

Rcu = RL= Leitungswiderstand = homogenes Feld, (Rechnung wie bisher)RIso = Isolationswiderstand = inhomogenes Feld (Strom fließt von innen nach außen)

Für Isolationswiderstand (Strom fließt von innen nach außen), inhomogenes Feld:gesucht: differentiell kleines Widerstandselement, in dem das Feld abschnittsweise homogen ist

= unendliches dünnes Rohr mit der Wandstärke dr→→ 0 im Abstand r.

Innenleiter z.B. Cu

Außenleiter z.B. Cu

Isolierstoff l

rira

Feldlinien

SaSi

Rcu = RL

RIso


drra

r

ri

2Alle dR sind in Reihe geschaltet R = Summe aller dRUnendlich viele dünne Zylinder w

Länge der Strombahn dr Wandstärke des dünnenRohres drdRElektrodenoberfläche Mantelfläche des dünnen ZylindersdrdRr l

κ κ

κ π

= =⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

erden ineinander geschachtelt von i ar r bis r r= =

[ ] ( )1 1 1ln ln ln( )2 2 2

ra rara

a iriri ri

drR dR r r rl r l lκ π κ π κ π

= = = ⋅ = ⋅ − ∫ ∫

( )ln Widerstand Koaxial- Kabel

2a ir r

Rlκ π

=

Achtung: je länger das Kabel, umso kleiner ist der Isolationswiderstand


2.) Isolationswiderstand konzentrischer Kugeln

drra

r

ri

Widerstandselement mit abschnittsweise homogenem Feld= dünne Kugelschale (Wandstärke = dr → 0 )

2

ra

2ri

Abstand der Elektroden drFläche der Elektroden

alle dR in Reihe d.h. dR summieren4

1 1 1 1 1 1R= dR4 4 4

rara

ri a iri

LängedRFlächedrdRr

drr r r r

κ κ

κ π

κ π κ π κ π

= =⋅ ⋅

=⋅

= = ⋅ − = − − − ∫ ∫

1 1

4i ar rR

κ π

−==

⋅ ⋅

konzentrische Kugeln(Die technische Anwendung ist sicherlich sehr selten,wichtig ist der Sonderfall ra → ∞ )

Wichtiger Sonderfall ra →→ ∞

Isolierstoff

rk

z.B. Luft oder Wasser

1 1

k ar rR

−→ ∞

=4κ π

14 k

Rrκ π

=

ra →→ ∞ bedeutet, dass 1/ra gegenüber 1/ri vernachlässigt werden kann

1 1. . 300 3 kann dieser Anteil vernachlässigt werden?3 300

1 1 0,3333 0,0033 1%, wenn angenomme n wird3 300

z B ra cm ri cm

Fehler ra

= = −

− = − = → ∞

ra → ∞

U


z.B. Kugel in einem Gebäude oder Kugel in Salzwasser

ri

ra

Sehr komplizierte Berechnung, aber wenn 1/ra gegenüber 1/ri ver-nachlässigt werden kann, spielt die äußere Form des Raumeskeine Rolle

Praktisches Problem: Leitfähigkeit der Luft oder von Meerwasser

Wenn die Elektroden kompliziert ist, ist eventuell eine grobe Näherung als Kugel möglich,auch wenn der Fehler dabei relativ groß wird.

Weitere Anwendung:Ein Erder soll näherungsweise als Halbkugelerder angenommen werden.z.B. ist die “Schrittspannung” gesucht.

rE

dsUs

SchrittspannungErdreich

124E E

Rrκ π

= ⋅⋅ ⋅ ⋅

Problem:Daten für die Leitfähigkeit des Erdreichs

Bodenart Spezifischer Erdwiderstand ρρE in ΩΩ.m Moorboden 5 bis 40 Lehm, Ton, Humus 20 bis 200 Sand 200 bis 2500 Kies 2000 bis 3000 Verwittertes Gestein, Gebirge Meist unter 1000 Granit, Grauwacke 2000 bis 3000 Spezifischer Erdwiderstand für unterschiedliche Bodenarten nach DIN VDE 0141

ra→ ∞∞


3.) Scheibe, “Tunnel”

l

rri

ra

dr

U

Diesen sogenannten “Tunnel” kann man sich vorstellen als einengebogenen Schreibblock.

Widerstandselement mit abschnittsweise homogenem Feld= dünnes Blatt (Blattstärke = dr → 0 )

( )

( )

0

ra

ri

2

p = Anteil vom Vollkreis 2 360

Alle dR sind parallel, d.h. es müssen die Leitwerte dG = 1/dRlnlG= dG=

p 2 2

2ln

raa i

ri

a i

Länge p rdRFläche dr l

oder

l r rdrr p

pRl r r

πκ κ

α απ

κκπ π

πκ

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅

= =

⋅ ⋅⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

∫ ∫

α

l=h

I I

Seite 6 von Hilfsblatt 410∞ → ↑ ϕ ω τ ≥ ± ″ Ω ∆ ϑ π → ↑ ↓ ⇔ ⇒ √ A A=

Elektrisches StrömungsfeldVerlauf von Stromdichte und Feldstärke

Homogenes Feld; langer, dünner Leiter

d

l konstantU IE S

l A= = =

Koaxial- Kabel

rari

r

U rS(r)

ges.: Feldstärke und Stromdichte im Abstand r (vom Mittelpunkt).Der Strom muß durch die Hüllfläche ( = Zylinderfläche = 2πrl ) hindurchfließen.

1( ) mit ( ) 2 2

( )

I I I SS r U I R E SA r r l l r

IE r

ρπ π κ

= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=ln( )1 1 R=

2 2ln( )

a

i

a

i

rrU R U

rl r r lr

κ π κ π⋅ = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

E=0

Ei

Ea

ri ra

E,SBei zylindrischen Anordnungen nehmen diephysikalischen Größen mit 1/r ab.A(r) = Zylinderfläche = 2πrl.

r

Konzentrische Kugeln ( auch ra → ∞∞ ))

ri r

ra→ ∞∞

S(r)

2( )4

( )( )

IS rr

S r IE r

π

κ

=⋅ ⋅

= = 2

2

1 1

4 4

1( ) 1 1

i a

i a

r rU R Rr

UE rr

r r

κ π κ π

−=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=−

i

Bei kugelförmigen Anordnungen nehmen diephysikalischen Größen quadratisch mit demAbstand ab.

Seite 7 von Hilfsblatt 410Spannung und Feldstärke

Spannung = Feldstärke . WegIm inhomogenen Feld ist die Feldstärke E längs des Weges nicht konstant;

d.h. man muß abschnittsweise Feldstärke . kleinem Wgstückchen summieren (integrieren).

Summe (Feldstärke E Wegstückchen ds) d s 0

beachte die jeweilige Funktion E(s) bzw E(r)

U

U E d s

= →

= ⋅∫

i

Spannung zwischen zwei Punkten

Us

r1r2

UsU12

r1

= U12

U Blitz

ra

1.) Homogenes FeldDie Punkte A und B liegen auf ÄquipotentiallinienUAB = UAC = U12

Im homogenen Feld ist die Feldstärke längs des Weges konstantd.h. U = E . Weg

2 112

U x xU E s E s s Ul l

−= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

2.) Koaxiale Zylinder, KoaxialkabelDie Feldstärke ist längs des Weges, d.h. längs des Radius von innen nachaußen nicht konstant; es muß abschnittsweise Feldstärke E über dasWegstückchen dr integriert werden, und zwar von ri bis ra.

2 2 2 2

121 1 1 1ln( / ) ln( / )

r r r r

r r r r

U U drU E dr E dr drra ri r ra ri r

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅⋅∫ ∫ ∫ ∫

2 112

ln( / )ln( / )a i

r rU Ur r

= ⋅

3.) Konzentrische Kugeln

1 212

1/ 1/1/ 1/i a

r rU Ur r

−= ⋅

−

Siehe auch Übung: Halbkugelerder und Schrittspannung

UAB

UACA

rE

ra→ ∞∞

r1 r1

U12



Kabel, Belastbarkeit von Kabeln420Febr. 2002

Hilfsblatt/Entwurf

Feldvektor Stromdichte SGanz wichtige Bedeutung: Belastbarkeit von Kabelnvergleiche: mechanische Belastung von Stäben und Seilen

z.B. langer, runder Leiter.Für den Strom, den ein Leiter führen kann, ist im Prinzip der Querschnitt A maß-gebend.Für die Kühlung ist dagegen die Oberfläche O des Leiters maßgebend.

Der Querschnitt des Kabels steigt quadratisch mit dem Durchmesser, die Oberfläche (für die Kühlung maßgebend) steigt aber nur linear mit demDurchmesser.

Wird der Durchmesser verdoppelt, steigt der Querschnitt auf das Vierfache,die für die Kühlung entscheidende Oberfläche steigt aber nur auf das Doppelte.Deshalb darf der zulässige Strom nicht auf das Vierfache steigen.

ISA

= Die zulässige Belastung des Kabels (d.h. die zulässige Stromdichte)ist durch die Erwärmung des Kabels begrenzt.

2 2A r O r lπ π= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

2 21 2 1

1 2

2 2

1 1

1 4 415 34

A = 4 2,3 A

A mm A A mmI A I A

II

= = ⋅ == =

≈

z.B.

Achtung: Die zulässigen Ströme bzw. Stromdichten eines Kabels hängenneben dem Querschnitt auch von der Art des Kabels, von der Anzahl der Adernund von der Verlegeart ab, d.h. von der Kühlung.


Elektrisches StrömungsfeldKabel, Belastbarkeit von Kabeln

A 0,75 1 1,5 2,5 4 6 10 16 25 35 50 70 95 120 150 185 I 12 15 18 26 34 44 61 82 108 135 168 207 250 292 335 382 S 16 15 12 10 8,5 7,3 6 5 4,3 3,9 3,43 3 3 2,4 2,2 2,1

z.B. Werte nach VDE, abhängig von der Verlegeart

Querschnitt A in mm2 Strom I in A Stromdichte in A/mm2

Da sich in der doppellogarithmischen Darstellung jeweils Geraden ergeben, kann sehrleicht eine Gleichung als zugeschnittene Größengleichung ermittelt werden:

1.6 0,6313,7 I=14,6 A1000

A I= ⋅ ⋅Querschnitt A in mm2Strom I in A

Achtung: Diese Gleichung ist nur eine grobe Näherung zur Abschätzung.Verbindlich sind die jeweiligen Normen und regionalen Vorschriften


Prof. Dr.-Ing. KrauseElektrisches StrömungsfeldLehmannsches Verfahren

430Febr. 2002

Hilfsblatt/Entwurf

Grafisches NäherungsverfahrenGilt für ebene Anordnungen

für 3-dimensionale Anordnungen sieheSpezial- Literatur

Grundlage des Verfahrens:

Feldlinien und Äquipotentiallinien stehen senkrecht aufeinander = orthogonale Trajektorien

U

II

1. Schritt: Feldlinien oder Äquipotentiallinien schätzen(nach “Gefühl” zeichnen)

2. Schritt Die jeweils “anderen” Linien senkrecht dazuzeichnen

wichtig: Die entstehenden “Kästchen” müssen Quadrate sein (oder quadratähnlich).

3. Schritt: Die zuerst gezeichneten Linien korrigieren.

Wichtig: Die Kästchen müssen eventuell noch weiter unterteilt werden.

Wichtig: Wenn die Kästchen ausreichend klein sind, ist das Feld näherungsweise homogen

dann gilt: UEl

∆=

∆∆U und ∆l aus der Zeichnung entnehmen

Es kann die Stelle mit der maximalen Feldstärke = die Stelle mit der maximalen Stromdichte undder maximalen Leistungsdichte und der maximalen Erwärmung ermittelt werden.

∆l

∆l∆U


Ermittlung des Widerstandes

I h

l

I

d l lRA h dκ κ

= =⋅ ⋅ ⋅

Lehmannsches Verfahren

II h

l

Für ein Quadrat gilt:

1 lR l h Rh d dκ κ

= = =⋅ ⋅ ⋅

II 1Rdκ

=⋅

II 1Rdκ

=⋅

a

a

l

d n Quadrate in Reihe m Quadrate parallel

1R=d

Länge l n aHöhe h m a

nmκ

= ⋅= ⋅

⋅⋅

Der Widerstand beliebig komplizierter Anordnungen (z.B. auf Leiterplatinen)kann einfach durch Abzaählen der Kästcher ermittelt werden.

unabhängig von derGröße des Quadrates


homogen1 10 1 2

5R

d dκ κ= ⋅ = ⋅

⋅ ⋅

1 14 1 2,36

Rd dκ κ

= ⋅ = ⋅⋅ ⋅

1 24 1 38

Rd dκ κ

= ⋅ = ⋅⋅ ⋅

Dieses Verfahren ist universell anwendbar in:Elektrotechnik, Mechanik, Wärmelehre, Strömungslehre usw.

Lehmannsches Verfahren

Widerstand eines Leiters mit einem Einschnitt


Prof. Dr.-Ing. KrauseElektrostatisches Feld

Einführung, die beiden Feldvektoren450März. 2002

Hilfsblatt/Entwurf

Allgemeines:Ursache des elektrischen Feldes = LadungenUrsache des elektrostatischen Feldes = ruhende LadungenUrsache des magnetischen Feldes = bewegte Ladungen Ursache desGravitationsfeldes = Massen

Was ist ein Feld?

Ein Feld ist ein besonderer (erregter) Zustand des Raumes, verursacht durch......,erkennbar an Kräften auf .......

Gravitationsfeld ist ein besonderer (erregter) Zustand des Raumes,verursacht durchMassen, erkennbar an Kräften auf Massen.

Elektrostatisches Feld (Ursache = Ladung) ist ein besonderer (erregter) Zustand desRaumes, verursacht durch ruhende Ladungen, erkennbar an Kräften auf Ladungen(sowohl ruhende als auch bewegte).

Magnetisches Feld (Ursache = bewegte Ladungen) ist ein besonderer (erregter)Zustand des Raumes,verursacht durch bewegte Ladungen, erkennbar an Kräften aufbewegte Ladungen (=stromdurchflossene Leiter oder ferromagnetische Stoffe).

Die beiden Feldvektoren D und E

Erster Feldvektor: Elektrische Feldstärke E [E] = V/m

Q Q qq

F F

- Die Ladung Q erzeugt das Feld.- Auf eine (Probe-) Ladung q im Punkt P des Raumes wirkt eine Kraft F.- Die Stärke des elektrostatischen Feldes an der Stelle der Probeladung q wirddurch die Elektrische Feldstärke E beschrieben

[ ] F F N N m Ws VAs VF q E E Eq q As As m Asm As m

⋅= ⋅ = = = = = = = ⋅

Natürlich geht von der Ladung q auch ein Feld aus, das eine Kraft aufdie Ladung Q bewirkt


Anschschaulich läßt sich das Feld durch Feldlinien beschreiben.Feldlinien (früher: Kraftlinien) = Linien auf denen die Kraft auf die Ladung wirkt.

Hinweis: Quellenfeld - WirbelfeldDie Feldlinien im elektrostatischen Feld haben einen Anfang und ein Ended.h. eine Quelle und eine Senke, es ist ein Quellenfeld.

Eine Ladung Zwei Ladungen

Quelle Senke


Die Materialkonstante ε = ε00 . εrε = Permittivität = Dielektrizitätskonstante (vergl. Permeabilität beim Magnetfeld)ε00 = absolute Permittivität = absolute Dielektrizitätskonstante = Influenzkonstante

εr = relative Permittivität = Dielektrizitätszahl

ε00. gilt im Vakuum

εr. gibt z.B. an, wieviel mehr Energie ein Kondensator speichernkann, wenn er mit einem Material (=Dielektrikum) an stelle des Vakuums gefüllt ist.

[ ]

120

F = Farad

8,86 10 8,86

As FVm m

As pFVm m

ε

ε −

= =

= ⋅ =

Luft εr = 1Isolierstoffe.... .................εr = 2-8Wasser..............................εr = 80spezielle Dielektrika εr ≥ 1000

Zweiter Feldvektor: Elektrische Flußdichte D [D] = As/m2alter Name: Verschiebungsdichte

Von einer Ladung geht ein “elektrischer Fluß” aus. In Wirklichkeit fließt oder strömtnichts aus der Ladung heraus. Der Begriff wird in Anlehnung an Strömungsvorgänge gebraucht.Die Stärke oder Intensität des Feldes in einem bestimmten Punkt des Raumes wird fol-gendermaßen berechnet:Durch diesen Punkt wird eine “Hüllfläche” gelegt, die die Ladung einschließt (einhüllt).Der von der Ladung erzeugte Fluß muß naturchlich auch durch diese Hüllfläche hin-durchtreten.Die charakteristische Größe ist die Flußdichte D, d.h. die Ladung, geteilt durch dieHüllfläche.

[ ] [ ][ ] 2

D=Ursache(Ladung), bezogen auf die Fläch eUrsache = Ladung

Hüllfläche durch den Punkt P Die Hüllfläche A ist eine geeignete Fläche, die die Ladung einhüllt.

QA

Q AsDA mm

= =

= =


Beispiele einfacher, symmetrische Ladungsanordnungen:

Die felderzeugende Ladung Q erzeugt einen elektrischen Fluß. Es fließt oder strömtnatürlich nichts aus der Ladung heraus; es ist eine Hilfsvorstellung aus demStrömungsfeld.

In jedem Punkt des Raumes kann die Stärke des Feldes folgendermaßen bestimmt wer-den:Durch diesen Punkt wird eine Fläche gelegt, die die Ladung einhüllt (Hüllfläche); z.B.eine Kugel bei einer kugelförmigen Ladung.Der von der Ladung ausgehende Fluß muß durch diese Fläche hindurchtreten. Der Fluß,geteilt durch diese Hüllfläche ist die Flußdichte; eine Größe, bezogen auf die Hüllfläche.

1. Kugelladung bzw. Punktladung

Die geeignete Hüllfläche ist aus Symmetriegründeneine Kugel mit der Fläche 24A rπ= ⋅ ⋅

2 2

14

QD Dr rπ

= =⋅ ⋅

∼

2. Zylinderladung bzw. Linienladung

Die geeignete Hüllfläche ist aus Symmetrie-gründen ein Zylinder mit der Fläche:

2A r lπ= ⋅ ⋅ ⋅

Boden und Deckel des Zylinders werdenvernachlässigt.

12

QD Dr l rπ

= =⋅ ⋅ ⋅

∼

3. Platten

2QD D

A= =

⋅2

2Q QD D

A A= = ⋅ =

⋅


Prof. Dr.-Ing. KrauseElektrostatisches FeldKondensator, Kapazität 460

Hilfsblatt/Entwurf

Eine allgemeine Feldanordnung besteht aus zwei Elektroden.Das Material zwischen den Elektroden (das Dielektrikum) ist durch die Permittivität ε(Dielektrizitätskonstante) und die Leitfähigkeit charakterisiert.

Dielektrikum mit ε = ε0.εr

An den Elektroden liegt die Spannung UDadurch werden die Platten geladen mit der Ladung Q.Die Kapazität C (das Fassungsvermögen) ist das Verhältnis von Ladung zu Spannung.

Diese Anordnung ist ein Kondensator.

[ ] [ ][ ]

Farad (nach Faraday)QQ AsC C F

U U V= = = =

Global d.h. von außen wird die Anordnung beschrieben durch:Spannung U, Ladung Q, Proportionalitätsfaktor = Kapazität C.

Lokal d.h. im Inneren wird das Feld beschrieben durch:Elektrische Flußdichte D, elektrische Feldstärke E, Materialkonstante =Permittivität ε = D/E

Parallelschaltung

1 2 3

1 2 3

1 2 3

...

ges

Q Q Q QQU U U U UU

Q Q Q QC C C C

= = =

= + + + =

= + +1 2 3

1 1 1 1

gesC C C C= + +

1 1

ges nC C=∑

Reihenschaltung

1 2 3

1 2 3

1 2 3

... ...ges

U U U UQ Q Q Q Q C UC U C U C U C U

= = =

= + + + = ⋅

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ +

ges nC C=∑

Seite 2 von Hilfsblatt 460Kapazität einfacher Anordnungen1. Homogenes Feld, Plattenkondensator

s

0 rPlatte

ACs

ε ε⋅ ⋅=

2. Koaxiale Zylinder, Koaxialkabel

l

ra

ri

Inhomogenes Feld: gesucht wird ein differentiell kleines Stückchen, einKondensatorelement mit der Kapazität dC, in dem das Feld abschnittsweise homogen ist= dünne Zylinderschale mit der Wandstärke dr → 0

r r

i i

r r

r r

Fläche der Elektroden 2 Abstand der Elektroden

ln( )1 1 1alle dC in Reihe d.h. =C 2 2

a

i

r ldC dCdr

rrdr

dC l r l

ε ε π

ε π ε π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

= ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

0ln( )2

2 lln( )

a

r i

a

i

rl rC Rr

r

ε ε πκ π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅

3. Konzentrische Kugeln

ri ra

dr

r

Inhomogenes Feld: gesucht wird ein differentiell kleinesStückchen, ein Kondensatorelement mit der Kapazität dC,in dem das Feld abschnittsweise homogen ist= dünne Kugelschale mit der Wandstärke dr → 0

r r

i i

2

r r 2

r r

Fläche der Elektroden 4 Abstand der Elektroden

1 11 1 1alle dC in Reihe d.h. =C 4 4

i a

rdC dCdr

r rdrdC r

ε ε π

ε π ε π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

−= ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

FeldlinienIsolierstoff

dr

r

ZeitkonstanteR C ετ ρ ε κ= ⋅ = ⋅ =


0

1 14 1 1 4

r i a

i a

r rC R

r r

ε ε πκ π

−⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅−

Sonderfall: ra → ∞ ,

oder ra so groß, daß 1/ra gegenüber 1/ri vernachlässigt werden kann.

0 41 1

r

i a

C

r r

ε ε π⋅ ⋅ ⋅=

−0 4r irε ε π= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

→ ∞

z.B. eine einzelne Kugel (ri = rk) in einem großen,geerdeten Raum. rk = 1 cm; dk = 2 cm

12 20 4 8,86 10 1 4 10 1,1

1 in Luft 1,1

r i

i

AsC r m pFVm

r cm C pF

ε ε π π− −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= =

4. Doppelleitung

a

rL0 siehe Literaturln( )

r

L

lC ar

ε ε π⋅ ⋅ ⋅=

5. Einfachleitung über Erde

rL

h

0 2 siehe Literatur2ln( )r

L

lC hr

ε ε π⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

Feldbild der Doppelleitung:

ZeitkonstanteR C ετ ρ ε κ= ⋅ = ⋅ =


0

nur ein Dielektrikum4

1 1r

i a

C

r r

ε ε π⋅ ⋅ ⋅=

−

Geschichtetes Dielektrikum

a. Plattenkondensator

0 1 0 21 2

11 2 2

0

1 2

1 2

1 1 1 ...C

...

r r

r r

A AC Cd d C C

AC d d

ε ε ε ε

ε

ε ε

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = + +

⋅=

+ +

b. Zylinderkondensator, Koaxialkabel

0

1 2 2

1 2 3

41 1 1 1 1 1i i a

r r r

C

r r r r r r

ε π

ε ε ε

⋅ ⋅=

− − −+ +

Häufiger Sonderfall: Zwei Schichten, eine Schicht ist Luft = teilisolierter Zylinder

c. Konzentrische Kugeln

0

nur ein Dielektrikum2

ln( )r

a

i

lC rr

ε ε π⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

0

1 2

1 2

1 2 3

2

ln( ) ln( ) ln( )a

i

r r r

lC r rrr r r

ε π

ε ε ε

⋅ ⋅ ⋅=

+ +

Häufiger Sonderfall: teilisolierte Kugel mit ra →→ ∞∞

0

11

41 11 1

Iso

ak

r

C

r rr r

ε π

ε

⋅ ⋅=

−− →∞+

0

1

1

41 1

1

1 IsoLuft

k

rr

r rr

ε π

εε

⋅ ⋅=

−+

=


Prof. Dr.-Ing. KrauseElektrostatisches Feld

Feldstärke als Funktion der Spannung470März. 2002

Hilfsblatt/Entwurf

Die einfachen, hier behandelten symmetrischen Anordnungen werden immer nachdem gleichen Schema berechnet:

2 2

1.) erster Feldvektor

2.) geeignete Hüllfläche einsetzen z.B. Kugel 4 23.) Q ersetzen durch Q = C U, hier di e entsprechende Kapazität einsetzen.4.) B

QD DA

A r oder A r lπ π

= =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅

ei geschichtetem Dielektrikum darauf ach ten, bei welchem Radius und in welchem Dielektrikum die Feldst ärke gesucht ist.

1.) Platten

UEs

=

Achtung: Die Feldstärke ist im Prinzip konstant --aber--beachte das Randfeld des Kondensatorsan den Rändern der Plattenan starke Felderhöhung


2.) Koaxialkabel = konzentrische Zylinder

Hüllfläche = Zylinder 2A r l

QDE

π

ε

= ⋅ ⋅ ⋅

= =1 C einsetzen

2C U C UA l rε ε π

= ⋅ ⋅= ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1

ln( )a

i

UE r rr

= ⋅

Die Feldstärke ist unabhängig vom Dielektrikum, wenn der gesamte Zwischenraum miteinem einzigen Isolierstoff ausgefüllt ist.

imax E bei r = r

3.) Konzentrische Kugeln

2Hüllfläche = Kugel 4A r

QDE

π

ε

= ⋅ ⋅

= = 2

1 C einsetzen4

C U C UA rε ε π

= ⋅ ⋅= ⋅

⋅ ⋅ ⋅

11 1

i a

UEr

r r

= ⋅−

imax E bei r = r

Sonderfall: ra →→ ∞∞

(Kugel in einem Raum, dessen Wände ausreichend weit entfernt sind)

2 2

11 1 i

i a

U UE rr r

r r

= ⋅ = ⋅−

→ ∞ imax E bei r = r

Frage: mit welcher Spannung darf eine einzelne Kugel in Luft geladen werden ?Gegeben ist häufig die maximal zulässige Feldstärke.

Die Feldstärke ist unabhängig vom Dielektrikum, wenn der gesamte Zwischenraum miteinem einzigen Isolierstoff ausgefüllt ist.

Seite 3 von Hilfsblatt 470Optimaler Innenradius

Wenn der Radius des Innenleiters (Zylinder oder Kugel) klein ist, ist die Feldstärke amInnenleiter wegen der starken Krümmung sehr groß.

Wenn der Radius des Innenleiters dagegen groß wird, wird die Feldstärke am Innenleitergroß, weil der Abstand der Elektroden nun gering ist.

Es gibt einen optimalen Innenradius, bei dem die Feldstärke am Innenleiter ein Minimumerreicht.

Der optimale Innenradius liegt vor, wenn sich die Funktionnicht mehr ändert

0 für Minimum der Feldstärke am Inn enradiusri

i

dEdr

=

Kugeln

( )

2

22

11 1

1 1 1

21 1 0

2

rii a i

ii a i i

ri a

i

i ri a

ai

UEr r r

rk r r r k rE r

rd kdr E r

rr

= ⋅−

= ⋅ − ⋅ = ⋅ −

⋅

= ⋅ − =

⇒ =

Es ist einfacher, 1/Eri zu differenzieren.Auch dann wird der Radius für das Minimum von Eri ermittelt.

2opt

ai

rr =

Optimaler Innenradius für dasMinimum der Feldstärke Eriam Innenradius

Zylinder

( )

( )

( )( )

( )opt

a

i

1ln

1 ln

1 ln 0

nach kurzer Zwischenrechnungrln 1

r

ria i i

a i iri

a i ii ri i

a i

UEr r r

k r r rE

d d k r r rdr E dr

r r e

= ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ =

= ⇒ =

opt

a

i

rr

e=Optimaler Innenradius für dasMinimum der Feldstärke Eriam Innenradius

riEmin

Eri

raropt

Seite 4 von Hilfsblatt 470Kompliziertere Anordnungen: Angaben ohne Herleitung


Vergleiche die folgenden Anordnungen

Platten Zylinder Kugeln

U = 30 kV; s = 6 cm; ri = 1 cm; ra = 7 cmd.h. in allen Fällen ist der Abstand der Elektroden s = 6 cm

Platten30 5 6Pl

U kV kVEs cm cm

= = =homogenes Feld, Randfeld vernachlässigt

Zylinder

( ) ( ) ( )max1 30 1 15

ln ln 7 1 1ira i i

U kV kVE Er r r cm cm

= = ⋅ = ⋅ = ≈ 3 . EPlatten

Kugeln

( )max 2 2 2

1 30 1 35 1 1 1 1 1 7 1ir

i a i

U kV kVE Er r r cm cm cm cm

= = ⋅ = ⋅ = ≈− −

7 . EPlatten

Die Innenelektrode bei den Kugeln ist am stärksten gekrümmt,deshalb ist bei der Kugel die max. Feldstärke am größten.



Elektrostatisches FeldGeschichtetes Dielektrikum

480März. 2002

Hilfsblatt/Entwurf

Geschichtetes Dielektrikum

QDEε

= = 1 2 3

n31 2

1 2 3

C einsetzen

E...rn

r r r

C U C U D D DA AU

dd d

ε ε

εε ε ε

= ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

=

⋅ + + +

εrn.von der Schicht einsetzen, in der die Feldstärkegesucht wird

Vorsicht: Wenn der Raum zwischen den Platten mit einem Isolierstoff (=Dielektrikum)ausgefüllt ist, aber eine Luftschicht bleibt:

, , ,

mit 1Iso Luft

r Iso Iso r Luft Luft r Luft

D DE Eε ε ε

=

⋅ = ⋅ =

,Luft Iso r IsoE E ε= ⋅

z.B. Isolierstoff mit εr,Iso = 6.Die Feldstärke im Luftspalt ist 6 mal größer als im Isolierstoff !!

Achtung: Lufteinschlusse vermeiden !!Gefahr von Teilentladungen

a.) Platten

Luft ohneE EIsoL

rLuftrLuft rIso

U Udddε

ε ε

= =

⋅ +


Sonderfall: Teilisolierte Zylinderanordnung. Innere Schicht = Isolierstoff;äußere Schicht = Luft.

r,n 21

1

2

E 1ln( ) ln( )

r rLufta

irn n

rIso r

Ur rr rr

ε ε

εε ε

= = =

⋅ +

Die maximale Feldstärke in Luft bei r = r1

Luftmax1

1

Eln( )

1 ln( )i an

rIso

Urr rr rε

=

⋅ +

Bei r1 ändert sich die Feldstärke sprungartig um εrIso .

b.) Konzentrische Zylinder

QDEε

= =

r,n1 2

1 2

1 2 3

C einsetzen

Eln( ) ln( ) ln( )

...a

irn n

r r r

C U C UA A

Ur rrr r rr

ε ε

εε ε ε

= ⋅ ⋅=

⋅ ⋅

=

⋅ + +

Beim Übergang von einer Schicht in die andereist die Fluß an der Grenzschicht in beidenSchichten konstant, aber die Feldstärke ändertsich sprungartig.

Sprung um den Faktor εrIso


Sonderfall: Teilisolierte Kugel mit ra → ∞

max

2 11

1

1 1

1

Luft

k

rIso

UE

r rrrε

= − ⋅ +

,

12 1

1

1 11 1r

air

r

UE

r rr rr

ε

εε

=−− → ∞

⋅ ⋅ +2 1rε

=

Maximum der Feldstärke in Luft bei r = r1

c.) Konzentrische Kugeln, teilisolierte Kugel

r,n 21

1

2

E 1ln( ) ln( )

r rLufta

irn n

rIso r

Ur rr rr

ε ε

εε ε

= = =

⋅ +

QD QEAε ε

= = =⋅

1 2 2,

1 2 3

C einsetzen2

1 1 1 1 1 1

i i arn r n

r r r

C Ur lUE

r r r r r rr

ε π

εε ε ε

= ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − − − ⋅ ⋅ + +

Sprung um den Faktor εrIso

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan

Michael Jordan


Prof. Dr.-Ing. KrauseElektrostatisches FeldEnergie, Kraft, Leistung

490März. 2002

Hilfsblatt/Entwurf

Allgemeines:

Strom = Änderung der Ladung mit dQi Q C Udt

= = ⋅

dui Cdt

= ⋅Strom fließt nur, wenn sich die Spannung ändert.

1u i dtC

= ⋅ ⋅∫Der Kondensator “sammelt” den Strom in Form vonLadungen

Energie:

2

0

12

U

duW p dt p u i i Cdt

duW u i dt u C dt C u du C Udt

= ⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∫

∫ ∫ ∫

Ein ungeladener Kondensator wird mit der Spannung U geladen.Dabei wird die Energie W gespeichert.

212

W C U= ⋅ ⋅

2 2 2kin

1 1 1Vergleiche: W2 2 2el magW C U W L I m v= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Im homogenen Feld gilt U=E.s

21 12 2elW C U

A sε

= ⋅ ⋅ = ⋅⋅

E s⋅ ⋅ 2 21 12 2

E s A s E V Eε ε⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

1 1 verg. 2 2el magnW VDE W VBH= =

Energiedichte = Volumendichte der Energie

22 21 1 1 B' vergl. =

2 2 2dW dWw W E w HdV dV

ε µµ

= = = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅

Die Energiedichte im elektrischen Feld ist gering, ca 1/50 der des magnetischen Feldes,aber die Energie ist sehr schnell verfügbar, z.B. bei Stoßentladungen z.B. für Blitzgeräte.

u

Ci

Seite 2 von Hilfsblatt 490Kräfte im elektrostatischen Feld

z.B. Kraft auf Kondensatorplatten: Prinzip der “virtuellen” = scheinbaren Verschiebung:mechanische Arbeit = Energie = Kraft x Weg, wenn die Kraft längs des Weges konstantist, sonst 0 wenn die Kraft in Richtung des Weges, cos(0 ) W= F s W F ds F s F s= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

21Wenn gilt W= F s, dann gilt auch 2

dW AF W C U Cds s

ε ⋅⋅ = = ⋅ ⋅ =∫

F ist die Kraft, die zur Änderung der Energie durchVerschieben der Platten erforderlich ist.

2 2 21 1 1 2 2 2

dW d d A AF C U U Uds ds ds s s s

ε ε⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅

Das ”-” Zeichen gibt die Richtungder Kraft an

212C UFs⋅

= ⋅ [ ] As V V VAs Ws NmF NV m m m m⋅ ⋅

= = = = =⋅

Beschleunigung von Ladungen im elektrostatischen Feld

z.B. “Strahlenkanone” im Fernseher, Röntgengerät, Teilchenbeschleuniger etc

Das Elektron nimmt aus dem elektrischen Felddie Energie W = Q.U auf und hat am Ende derBeschleunigungsstrecke die Energie

212

W m v= ⋅ ⋅ wenn Anfangsgeschwindigkeit va = 0

212m v e U⋅ ⋅ = ⋅ unabhängig von der Elektrodenanordnung.

Im Röntgtenpaß wird nur die Beschleunigungsspannungangegeben

Fernseher: z.B. U = 25 kV → v = 1/3.c0 (c0 = Lichtgeschwindigkeit)

Röntgengerät: z.B. U = 400 kV → v = 1,4.c0 !!!!!! d.h. man muß relativistisch rechnen (Einstein!)

Bild siehe Hilfsblatt“Ladungen”

2 e Uvm⋅ ⋅

=



Elektrostatisches FeldElektrostatische Schirmung, Faradayscher Käfig

500März. 2002

Hilfsblatt/Entwurf

Allgemeine Bemerkungen

a) Jede Äquipotentialfläche kann mit Metallfolie belegt werden, ohne dass sich das Feldändert.

b) Metallflächen sind immer Äquipotentialflächen. (da die elektrische Leitfähigkeit beiMetallen sehr groß ist, kann keine Potentialdifferenz auf der Elektrode bestehen, dennsonst würde ein Strom auf der Metalloberfläche fließen).

c)Die elektrische Feldstärke im Inneren von Leitern ist Ei = 0

d) Ein massiver Leiter kann im elektrostatischen Feld durch einen Hohlleiter ersetzt werden.

e) Die elektrischen Feldlinien im elektrostatischen Feld treten aus Leitern immer senk-recht aus. (Sonst würden auf der Oberfläche Ströme fließen.)

f) Durch elektrische Leiter (Blech, Maschendraht oder metallische Bedampfung) kann einRaum gegen elektrostatische Felder abgeschirmt werden (Faraday'scher Käfig, abge-schirmte Leitung = Koaxialkabel).

g) Gegen magnetische Felder kann nur mit Eisen (ferromagnetische Werkstoffe) abge-schirmt werden

Probleme und Anmerkungen zur Ausführung

1) Material: Jedes Material ist geeignet, das wesentlich besser leitet als Luft; z.B. verzinktes Eisen. Kupfer ist absolut unnötig !!!!

2) Oft ist Maschendraht ausreichend !! (Kaninchenstall-Gitter)

3) Manchmal reicht ein teilweise geschlossenes Gehäuse aus.

4) Erdung ist äußerst wichtig (möglichst direkt am Käfig).

5) Eingangstür mit Kontaktlamellen.

6) Belüftung

7) siehe nächste Seite


7) Elektrische Energiezufuhr (Netzfilter !!!) Achtung: dabei die Abschirmungnicht unterbrechen. Netzfilter auch für elektrische Geräte in der Netzzuleitung.

8) Meßdaten sinnvollerweise digital mit Glasfaserkabeln nach außen übertragen.

Achtung, wichtig:- Rechner in Produktionsbetrieben (z.B. mit Schweißrobotern etc) müssen besonders

geschirmt werden. - In den meisten PC’s hängen Leitungen wirr herum. - Auch einzelne Karten müssen mit Metallgehäusen geschirmt werden.-Schaltnetzteile verursachen äußerst starke Störungen.- Monitore können sich gegenseitig stören; eventuell ein Metallplatte dazwischen stellen.- Beachte die Abschirmung von Meß- und Datenleitungen.

Für nachträgliche Abschirmungen:Die Industrie bietet Abschirmungen an, die nachträglich angebracht werden können.Im GE- Labor nachfragen:



Elektrostatisches FeldZeitvorgänge , Schaltvorgänge

510März. 2002

Hilfsblatt/Entwurf

dui Cdt

= ⋅Strom fließt nur, wenn sich die Spannung ändert

1u i dtC

= ⋅ ⋅∫Der Kondensator “sammelt” den Strom in Form vonLadungen und wird dabei auf die Spannung u aufgeladen

u

Ci

Vergleiche:

W = Wasserstromh = WasserhöheC = Fassungsvermögen (Kapazität) der Wanne

Wasserstrom fließt nur, wenn sich die Höhe ändert

dhW Cdt

= ⋅

dui Cdt

= ⋅

Strom fließt nur, wenn sich die Spannung ändert

y

x

α

m = tan α = Steigung = dy/dx= Änderung der Funktion

Seite 2 von Hilfsblatt 510Zeitlicher Verlauf von Strom und Spannung

gegeben sei der Strom

( )

( )

1 1

i i t I konst

u u t i dt I tC C

= = = →

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫

vergleiche

i

I

tu

t

k

x

y

x

y dx⋅∫

y dx k dx k x K⋅ = ⋅ = ⋅ +∫ ∫

gegeben sei die Spannung

Häufige Anwendung: Ein Kondensator ist mit der Spannung U0 geladen und wird dann(über einen Widerstand) kurzgeschlossen.

R

CUc

t

u

U0

t

i ideal R=0

i → ∞

dui Cdt

= ⋅

Änderung →→ ∞∞

Strom →→ ∞∞

In Wirklichkeit ist immer einWiderstand vorhanden, so daß derStrom nicht ∞ wird, aber sehr großeWerte erreichen kann.Anwendung: Erzeugung vonStoßströmen.(z.B. bei der Magnetisierung vonTachometermagneten.

t

u

U0

t

i rea,l mit Widerstand R

Seite 3 von Hilfsblatt 510Schaltvorgänge Einschalten

Uq

R

uRucC

Hinweis zur Schreibweise:Zeitlich veränderliche Größen z.B. u(t) werden mit kleinen Buchstabengeschrieben. Der Zusatz wird (t) wird weggelassen.

[ ]

0

= Zeitk onstante

Diff

R C R

CC

CC

CC

u

Uq u u u i RduUq i R u i Cdt

du V AsUq R C u R C s R Cdt A V

du u Uqdt

τ

τ

=

= + = ⋅

= ⋅ + = ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ = = ⋅

⋅ + =

∑

erentialgleichung erster Ordnung mit kon tanten Koeffizienten

Konstante Koeffizienten bedeutet: die Faktoren bei uc und deren Ableitungen sind konstant.Der Faktor bei uc ist 1

Eine (teilweise) Lösung für t → ∞ ist sofort zu erkennen: Für t → ∞ sind alleEinschwingvorgänge (alle transienten, d.h. vorübergehenden, flüchtigen Vorgänge) abge-klungen; dann ändert sich die Spannung uc nicht mehr duc/dt = 0.

Für t → ∞ duc/dt = 0 uc = Uq Für t →→ ∞∞ ist der Kondensator auf die Quellenspannung Uq aufgeladen.

Lösung der Differentialgleichung: Trennung der Variablen.Wenn duc auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen würde und dt auf der anderenSeite, dan könnte die Gleichung einfach integriert werden.

CC

du udt

τ ⋅ + CUq u

τ

= −

Cdudt

⋅ ( )

Die Variablen sind getrennt. Jetzt kann integriert werden.

C

C

C

C

C

dtUq u

du dtUq u

du dtUq u

τ

τ

τ

= − ⋅

=−

=−∫ ∫


( )

( )

( ) ( )

( )

( )

1 2

1 2

ln

ln

ln ln

ln

C

C

C

C

C

C

t

C

du dtUq u

tUq u K K

tUq u K K

tUq u K

tK Uq u

K Uq u e τ

τ

τ

τ

τ

τ−

=−

− − + = +

+ − − = − −

− + = −

⋅ − = −

⋅ − =

∫ ∫

( )C

0

Für t=0 u 010 1

t

C

K Uq e KUq

Uq u Uq e τ−

=

⋅ − = = =

− = ⋅1

t

Cu Uq e τ−

= ⋅ −

C

C

Für t = 0 u 0Für t u Uq

=→ ∞ →

0

11

Uq R

t tC

t

k E

du di C C Uq e C Uq edt dt

Uqi e I I IR

τ τ

τ

τ− −

−

= ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ −

= ⋅ = = =

Einschalten = Aufladen (Kondensator ungeladen)

1t

Cu Uq e τ−

= ⋅ −

0

t

i I e τ−

= ⋅

tτ

i

τ

t

u

Die Integrationskonstanten K1 und K2 werden zu einereinzigen ln(K) zusammengefaßt.

Die Integrationskonstante wird bestimmt durch dieAnfangsbedingung (bei räumlichen Problemen durch dieRandbedingung.

Frage: Auf welche Spannung ist der Kondensator amAnfang für t = 0 geladen; oder ist der Kondensator ungeladen ? d.h. für t = 0 uc = 0 ?


Bedeutung der Zeitkonstanten:

t

uτ τ τ

Uq

Zu jedem beliebigen Zeitpunkt kann dieZeitkonstante durch Anlegen der Tangenteermittelt werden.

Die gleiche Konstruktion gilt auch für denEntladevorgang

Zeitkonstante τ 1 3 5Aufgeladen auf 63 % 95 % 99,3 % Es fehlen noch 37 % 5 % 0,7 %

Frage: Nach wieviel Zeitkonstanten ist der Kondensator geladen?

z.B. Ladespannung Uq = 5VNach 3 τ fehlen noch 5 % ! d.h. noch 0.25 V Ist das ausreichend genau ?Nach 5 τ fehlen noch 0,7 % ! d.h. noch 35 mV Ist das ausreichend genau ?


Entladen

Zu Beginn des Entladevorganges sei der Kondensator auf die Spannung U0 geladen

C R UrUc

i

( ) ( )

( )

Variablen getrennt

ln ln

ln

C R

CC

CC

C

C

C

C

C

C

t

C

u uduu i R R Cdt

du udt

du dtudu dtu

tu K

tK u

K u e τ

τ

τ

τ

τ

τ−

=

= ⋅ = − ⋅ ⋅

⋅ = −

= −

= −

+ = −

⋅ = −

⋅ =

∫ ∫

0 0 00

t tCdu C U U Ui C e e I

dt R Rτ τ

τ− −⋅

= ⋅ = ⋅ = − ⋅ =−

Cdui Cdt

= − ⋅

Anfangsbedingung: t → 0 uc = U0

0 11 K=Uq

K Uq e−⋅ = =

0

t

i I e τ−

= − ⋅

0

t

Cu U e τ−

= ⋅

Ru i R= ⋅

CUci

Achtung: Der geladene Kondensator ist eineQuelle.Strom und Spannung sind entgegen-gerichtet

tτ

uc

it

U0

I0

Elektro Sehr Gut 2

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