Elektrotechnik - Zusammenfassung

Patrick Pletscher

patrickp@student.ethz.ch

http://www.galaxysoft.ch

19. September 2004

Aus dem Unterricht von:Prof. Ch. Hafner und Prof. R. Vahldieck

Inhaltsverzeichnis

1. Grundlagen 51.1. Maxwellsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Spannung und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Elektrische Netzwerke bei Gleichstrom 62.1. Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1. Verbraucherpfeilsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2. Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3. Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.4. Ideale Strom- und Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.5. Der Ohm’sche Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.6. Verlustbehaftete Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.7. Quellenumwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.8. Ideale Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.9. Reale Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Kirchhoffsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1. Knotengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2. Maschengesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Serieschaltung von Zweipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.1. Widerstande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2. ideale Strom- und Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Parallelschaltung von Zweipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.1. Widerstande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2. ideale Strom- und Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5. Stern-Dreieck Umwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5.1. Stern (bzw. T) - Dreieck (bzw. π Umwandlung) . . . . . . . . . . 112.5.2. Dreieck (bzw. π) - Stern (bzw. T) Umwandlung . . . . . . . . . . 112.5.3. Beispiel einer Stern - Dreieck Umwandlung . . . . . . . . . . . . 12

2.6. Thevenin, Norton und Quellenumwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6.1. Beispiel einer Ersatzschaltung nach Thevenin und Norton . . . . 13

2.7. Weitere Vereinfachungen und Uberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7.1. Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7.2. Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8. Quellenuberlagerung, Superpostionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 152.9. Systematische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9.1. Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.9.2. Maschenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Schaltvorgange 193.1. Kondensatoren und Kapazitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1. Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2. Ideale Stromquelle und Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.3. Serieschaltung von R und C an einer Stromquelle . . . . . . . . . 193.1.4. Serieschaltung von R und C an einer Spannungsquelle . . . . . . 20

2

3.1.5. Parallelschaltung von R und C an einer Stromquelle . . . . . . . 213.1.6. Entladung eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.7. Parallelschaltung von R und C an einer Spannungsquelle . . . . . 21

3.2. Induktivitat und Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.1. Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2. Entladung einer Spule mit Innenwiderstand R . . . . . . . . . . . 223.2.3. Parallelschaltung von R und L an einer Stromquelle . . . . . . . 223.2.4. Serieschaltung von R und L an einer Spannungsquelle . . . . . . 223.2.5. Serieschaltung von R und L an einer Stromquelle . . . . . . . . . 233.2.6. Parallelschaltung von R und L an einer Spannungsquelle . . . . . 23

3.3. Physikalische Grossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.1. Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2. Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4. Serieschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.1. Induktivitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.2. Kapazitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5. Parallelschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.1. Induktivitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.2. Kapazitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Wechselstrom 254.1. Komplexe Darstellung und Zeiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Blind-, Wirk-, und Scheinleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1. Scheinleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.2. Wirkleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.3. Blindleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2.4. Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3. Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.1. Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.2. Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.3. Kapazitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.4. Induktivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4. Impedanz und Admittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4.1. Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4.2. Admittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4.3. Impedanz und Admittanz von Bauelementen . . . . . . . . . . . 29

4.5. Spezielle Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5.1. Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5.2. Zweitore - Passive Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.6. Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5. Halbleiterschaltungen 355.1. Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1.1. Gleichrichterschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.2. Logische Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2. Bipolare Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2.1. Grosssignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.2. Der Transistor als Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2.3. Der Transistor als Verstarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.2.4. Grundschaltungen mit Bipolartransistoren . . . . . . . . . . . . . 395.2.5. Emitterschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2.6. Gegenkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.7. Kollektorschaltung, Emitterfolger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.8. Basisschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3. Operationsverstarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3

5.3.1. Grundlegende Uberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3.2. Vorgehen bei Berechnungen mit einem Operationsverstarker . . . 435.3.3. Beschalteter Operationsverstarker . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3.4. Invertierender Verstarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3.5. Nichtinvertierender Verstarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3.6. Addierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3.7. Subtrahierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.8. Analoge Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.9. Analoge Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4. Digitale Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4.1. Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4.2. NAND und NOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6. Leitungen 496.1. Zweidrahtleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1.1. Leitungsbelage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.2. Leitungswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.3. Phasengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.4. Charakteristische Impedanz Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.1.5. Verlustfreie Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.1.6. Phasengeschwindigkeit und Wellenlange . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2. Stossstellen und Abschlusse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2.1. Stossstellen von Zweidrahtleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2.2. Leitungsabschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.3. Eingangsimpedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.4. Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2.5. Mehrfachreflexionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A. Einheiten 54A.1. Vielfache von Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.2. Wichtige Einheiten in der Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

B. Trigonometrie 55B.1. Funktionswerte fur einige Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55B.2. Trigonometrische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4

1. Grundlagen

1.1. Maxwellsche Gesetze

rot ~E = −~dB

dt

rot ~H = ~jel +~dD

dt

div ~D = ρel

div ~B = 0

div ~j = −dρ

dt

1.2. Elektrischer Strom

Die positive Stromrichtung ist die Bewegungsrichtung der positiven Ladungen.

i =dq

dt[i] = A

1.3. Spannung und Potential

Die Spannung zwischen zwei Punkten ist definiert als die Potentialdifferenz der zweiPunkte im Raum.

U21 = ϕ1 − ϕ2

5

2. Elektrische Netzwerke beiGleichstrom

2.1. Zweipole

Bei einem Zweipol sind die Strome an den beiden Anschlussen identisch. Zu jedemZweipol muss ein Strompfeil und ein Spannungspfeil angegeben werden.

2.1.1. Verbraucherpfeilsystem

Meist verwenden wir das Verbraucherpfeilsystem, wobei der Strom- und Spannungspfeilin dieselbe Richtung zeigen. Falls die im Zweipol umgesetzte Leistung

P = UI P =U2

RP = I2·R

positiv ist, so verbraucht der Zweipol Leistung, andernfalls gibt er Leistung ab.

2.1.2. Kennlinien

Die Funktion I(U) lasst sich graphisch darstellen und wird Kennlinie genannt. Siebesitzt aktive (Strom- und Spannungsrichtung entgegengesetzt) und passive (Strom-und Spannungsrichtung gleichgerichtet) Bereiche.

2.1.3. Linearisierung

Kennlinien sind im allgemeinen nicht linear, man kann sie aber in jedem Punkt linea-risieren, mit:

U(I) = U0 + RI oder I(U) = I0 + GU

Wobei R den Ohm’schen Widerstand bezeichnet und G den Leitwert , es gilt:

G =1

R

[R] = Ω (Ohm) = 1V/A, bzw. [G] = S (Siemens) = 1A/VSind R und G ungleich Null, so konen beide Darstellungen verwendet und nach Be-lieben ausgetauscht werden, fur die Spezialfalle R = 0 und G = 0 kommt jedoch nureine Darstellung in Frage, die aber besonders einfach ist.

2.1.4. Ideale Strom- und Spannungsquellen

Fur R = 0 wird offenbar U(I) = U0 = konst, ein derartiger Zweipol wird als idealeSpannungsquelle bezeichnet. Analog ergibt sich eine ideale Stromquelle mit I(U) = I0,wenn G = 0 ist.

6

+−

I

U = U0 U

I = I0

Abbildung 2.1.: Spannungs- und Stromquelle

2.1.5. Der Ohm’sche Widerstand

Ein anderer Spezialfall eines linearen Zweipols findet man, wenn die Quellterme U0

und I0 verschwinden, dann gilt

U = RI =I

Gund I = GU =

U

R

Ohm’sche Widerstande haben keinen aktiven Bereich, sind also ideale Verbraucher.

2.1.6. Verlustbehaftete Quellen

Ein allgemeiner Zweipol kann als Kombination einer idealen Quelle mit einem Ohm’schenWiderstand bzw. Leitwert aufgefasst werden. Es gibt zwei Moglichkeiten:

1. U(I) = U0 +RI wird aufgefasst als Serieschaltung einer idealen Spannungsquellemit einem Widerstand R, man nennt R auch Innenwiderstand .

2. I(U) = I0 + GU wird aufgefasst als Parallelschaltung einer idealen Stromquellemit einem Widerstand R. G wird dann als Innenleitwert bezeichnet.

2.1.7. Quellenumwandlung

Verlustbehaftete Spannungsquelle und verlustbehaftete Stromquelle konnen ineinanderumgewandelt werden, dafur gilt folgender Zusammenhang:

U0 = RI0

Wobei die Richtung der Spannung bzw. des Stromes entgegen der vormaligen Richtung

des Stromes bzw. der Spannung ist. Und der Widerstand R der selbe bleibt.

−+U0

RI

U

I0

R

I

U

Abbildung 2.2.: Quellenumwandlung

Beispiel einer Quellumwandlung

20kΩ

5kΩ

+−45V 20kΩ5kΩ9mA

Abbildung 2.3.: Beispiel einer Quellenumwandlung mit konkreten Werten

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2.1.8. Ideale Dioden

Ideale Dioden leiten in eine Richtung Strom widerstandslos und in der umgekehrtenRichtung sperren sie vollstandig.

Im leitenden Berich wird die Diode durch R = 0 und im Sperrbereich mit G = 0beschrieben.

2.1.9. Reale Dioden

Reale Dioden leiten in Durchlassrichtung nicht ideal, insbesondere bei kleinen Span-nungen unterhalb unterhalb einem bestimmtem Wert UD (bei Si Dioden 0.6V) ist derDurchlassstrom nahezu Null.Im Sperrbereich sind viele Dioden bei nicht zu hohen Spannungen nahezu ideal, d.h.der Sperrstrom ist meist vernachlassigbar klein. Wird eine Spannung −Uz unterschrit-ten, so beginnen Halbleiterdioden zu leiten, d.h. der Sperrstrom wachst rasant. DieserDurchbruchseffekt wird Zenereffekt genannt und bei Zenerdioden bewusst ausgenutzt.Uz wird als Zenerspannung bezeichnet.

II

UU

ZDZD

Abbildung 2.4.: Kennlinie einer Zenerdiode

2.2. Kirchhoffsche Gesetze

2.2.1. Knotengleichungen

Die Summe aller in einem Knotenpunkt zusammenlaufenden Stromen ist Null.

n∑

i=1

Ii = 0

Anders ausgedruckt: Die Summe der zum Knoten hineinfliessenden Strome ist gleichder Summe der abfliessenden Strome.

2.2.2. Maschengesetz

Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist Null.

n∑

i=1

Ui = 0

2.3. Serieschaltung von Zweipolen

In Serie geschaltete Bauelemente sind vom selben Strom durchflossen.

8

2.3.1. Widerstande

U = IRSerie

RSerie =

n∑

i=1

Ri

Diese Schaltung wird auch als Spannungsteiler bezeichnet.

Spannungsteilerregel

I R1I R2

U

Abbildung 2.5.: Spannungsteiler

Werden zwei Widerstande vom selbem Strom durchflossen, so gilt:

I =U1

R1=

U2

R2=

U

R1 + R2

Daraus folgt die die Spannungsteilerregel:

U1

U2=

R1

R2;

U1

U=

R1

R1 + R2;

U2

U=

R2

R1 + R2

In einer Reihenschaltung sind die Spannungsabfalle proportional zu den Widerstands-werten, an denen sie abfallen. Dies gilt sinngemass auch fur Serieschaltungen von mehrals zwei Widerstanden.

Im Allgemeinen:

Uk = RkISerie = RkUSerie/RSerie = USerie

Rk∑n

i=1 Ri

2.3.2. ideale Strom- und Spannungsquellen

Serieschaltung idealer Spannungsquellen

Userie q =

n∑

i=1

Ui q

Eine Serieschaltung idealer Stromquellen mit unterschiedlichen Quellenstromen ist ver-boten.

2.4. Parallelschaltung von Zweipolen

Parallel geschaltete Bauelemente liegen an derselben Spannung.

9

2.4.1. Widerstande

I = U1

Rges

1

Rges

=n∑

i=1

1

Ri

Die Spannung uber allen Widerstanden ist gleich.

Fur zwei Widerstande R1, R2 ergibt sich die praktische Formel

Rges =R1·R2

R1 + R2

Diese Schaltung wird auch als Stromteiler bezeichnet.

Stromteilerregel

G1I1

G2I2

U

Abbildung 2.6.: Stromteiler

Liegen zwei Leitwerte bzw. Widerstande an derselben Spannung, so gilt:

U =I1

G1=

I2

G2=

1

G1 + G2

Daraus folgt die Stromteilerregel:

I1

I2=

G1

G2;

I1

I=

G1

G1 + G2;

I2

I=

G2

G1 + G2

In einer Parallelschaltung sind die Strome proportional zu den Leitwerten, durch diesie fliessen. Dies gilt sinngemass auch fur Parallelschaltungen von mehr anls zwei Leit-werten.

Ersetzt man die Leitwerte durch Widerstande, so lautet die Stromteilerregel:

I1

I2=

R2

R1;

I1

I=

R2

R1 + R2;

I2

I=

R1

R1 + R2

Die Teilstrome verhalten sich reziprok zu den Widerstandswerten. Ein Teilstrom verhaltsich zum Gesamtstrom wie der von diesem Teilstrom nicht durchflossene Widerstandzu der Summe der Widerstande.

Im Allgemeinen:

Ik = GkUparallel = GkIparallel/Gparallel = Iparallel

Gk∑n

i=1 Gi

10

2.4.2. ideale Strom- und Spannungsquellen

Parallelschaltung idealer Stromquellen

Iparallel q =

n∑

i=1

Ii q

Eine Parallelschaltung idealer Spannungsquellen mit unterschiedlichen Quellenspan-nungen ist verboten.

2.5. Stern-Dreieck Umwandlung

b

Ra

c

Rb

aRc

a R1 R2b

R3

c

Abbildung 2.7.: Links: Dreiecksschaltung, rechts: Sternschaltung

a

Rb

c

Rc

b

Ra

c

aR1 R2

b

R3

cc

Abbildung 2.8.: Links: π-Schaltung, rechts: T-Schaltung

2.5.1. Stern (bzw. T) - Dreieck (bzw. π Umwandlung)

Ra =R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb =R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rc =R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

2.5.2. Dreieck (bzw. π) - Stern (bzw. T) Umwandlung

R1 =RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 =RcRa

Ra + Rb + Rc

R3 =RaRb

Ra + Rb + Rc

11

cR2

I2

+− U2R3

I3

−+U1

a R1I1 b

Abbildung 2.9.: Beispielschaltung

I2

+− U2

I3

c

Ra

bRca

Rb

−+U1

I1

Abbildung 2.10.: Transformierte Beispielschaltung

2.5.3. Beispiel einer Stern - Dreieck Umwandlung

Nach einer Stern - Dreieck Transformation sieht die Schaltung folgendermassen aus.Man kann nun mit den Formeln fur die Stern- Dreiecksumwandlung die WiderstandeRa, Rb, Rc berechnen. Danach kann man die Strome durch die Dreick- Widerstandeberechnen:

Ia =U2

Ra

, Ib =U1

Rb

, Ic =U2 − U1

Rc

Und damit kann man die Strome durch die ursprunglichen Widerstande berechnen:

I1 = Ib − Ic, I2 = Ia + Ic, I3 = −(Ia + Ib)

2.6. Thevenin, Norton und Quellenumwandlung

Wie bereits in (2.1.7) gesehen kann jeder verlustbehaftete, lineare Zweipol entwederals Parallelschaltung einer idealen Stromquelle mit einem Leitwert oder als Serieschal-tung einer idealen Spannungsquelle mit einem Widerstand betrachtet werden. Jederlineare (bzw. linearisierte), verlustbehaftete Zweipol kann also durch eine Stromquel-lenersatzschaltung oder eine Spannungsquellenersatzschaltung dargestellt werden.

Ebenso sieht jedes lineare Netzwerk mit nur zwei Anschlussklemmen von aussen ge-sehen wie ein linearer Zweipol aus und kann demzufolge durch eine verlustbehafteteStrom- (Satz von Norton) oder Spannungsquelle (Satz von Thevenin) ersetzt werden.Die Stromquellenersatzschaltung ist von Vorteil, wenn der betreffende Zweipol mit an-deren parallel geschaltet, umgekehrt die Spannungsquellenersatzschaltung von Vorteil,wenn der betreffende Zweipol in Serie mit anderen Zweipolen geschaltet ist.

Weil Stromquelle (mit Innenleitwert ) und Spannungsquelle (mit Innenwiderstand )von aussen ununterscheidbar sind, lassen sie sich auch ineinander umformen. Es gilt:

IN =UT

Ri

bzw. UT =IN

GI

wobei Ri =1

Gi

=UT

IN

12

−+U0

a

b

I0

Ri

a

b

−+ UT

a

Ri

b

IN

Abbildung 2.11.: Prinzipbeispiel fur die Umwandlung einer Schaltung in eine Thevenin und

in eine Norton Aquivalenz

2.6.1. Beispiel einer Ersatzschaltung nach Thevenin und Norton

Es soll fur die folgende Schaltung eine Ersatzschaltung nach Thevenin bzw. Nortongefunden werden.

B

−+20V

A

Man bestimmt als erstes den Innenwiderstand.

1. Leerlauf: Spannungsteiler

B

−+20V

A

UL

Fur UL ergibt sich:

UL = 20V · 10Ω

10Ω + 10Ω= 10V

2. Kurzschluss

IK =20V

10Ω= 2A

Damit ergibt sich fur den Innenwiderstand:

Ri =UL

IK

=10V

2A= 5Ω

Fur die Bestimmung des Innenwiderstandes kann man auch eine alternative Methodebenutzen. Dabei setzt man die Quellen auf Null und betrachtet die Schaltung von denKlemmen hinein. Man bestimmt den Widerstand der Schaltung, welcher aquivalent

13

B

−+20V

A

IK

zum Innenwiderstand Ri ist.

Und dadurch fur die Ersatzschaltungen:

TheveninU0 = UL = 10V, Ri = 5Ω

NortonI0 = IK = 2A, Ri = 5Ω

2.7. Weitere Vereinfachungen und Uberlegungen

2.7.1. Spannungsquelle

Eine ideale Spannungsquelle in Parallel mit einem beliebigen Netzwerk (das aber kei-ne andere Spannungsquelle, insbesondere kein Kurzschluss darstellen darf) wirkt vonaussen wie die Spannungsquelle allein (Ri = 0). Das Netzwerk spielt dabei keine Rolle.Das geht aus der Definition der idealen Spannungsquelle hervor.

b

Beliebiges

Netzwerk−+ UT

a

b

−+ UT

a

Abbildung 2.12.: Vereinfachungen an einer Spannungsquelle

2.7.2. Stromquelle

Eine ideale Stromquelle in Serie mit einem beliebigen Netzwerk (das aber keine andereStromquelle, insbesondere kein offener Kreis, darstellen darf) wirkt von aussen wie dieStromquelle allein (Ri = ∞). Das Netzwerk spielt dabei keine Rolle. Das geht aus derDefinition der idealen Stromquelle hervor.

b

IN

Beliebiges

Netzwerk

a

b

IN

a

Abbildung 2.13.: Vereinfachungen an einer Stromquelle

14

2.8. Quellenuberlagerung, Superpostionsprinzip

Nach dem Superpositionsprinzip kann in einem linearen Netzwerk die Wirkung einer

Ursache unabhangig von allen anderen Ursachen und Wirkungen berechnet werden.Die resultierende Wirkung ist dann die Summe aller Einzelwirkungen.

Fur die Berechnung linearer Netzwerke bedeutet dies, dass zunachst alle Strome einzelnals Wirkung der einzelnen Spannungs- und Stromquellen berechnet werden. Danachwerden die so ermittelten Teilstrome vorzeichenrichtig addiert, um den den resultie-renden Strom zu bestimmen. Bei der Berechnung der Teilstrome werden die jeweilsnicht betrachteten Spannungsquellen durch Kurzschlusse ersetzt und die jeweils nicht

betrachteten Stromquellen herausgenommen.

Beispiel:

−+Uq

R1

I1R3I3

R4

I4

IqR2

I2

R1

I ′1R3I ′3

R4

I ′4

IqR2

I ′2

−+Uq

R1

I ′′1R3I ′′3

R4

I ′′4

R2

I ′′2

Abbildung 2.14.: Losungsverfahren nach dem Superpostionsprinzip

Kurzschluss der Spannungsquelle Uq und die Anwendung der Stromteilerregel fuhrtzu:

I ′4 = Iq

R3 + R1R2

R1+R2

R4 + R3 + R1R2

R1+R2

Herausnehmen der Stromquelle Iq und die Anwendung der Stromteilerregel fuhrt zu:

I ′′4 = I ′′1R2

R2 + R3 + R4=

Uq

R1 + R2(R3+R4)R2+R3+R4

· R2

R2 + R3 + R4

Der Strom I4 berechnet sich dann:

I4 = I ′4 + I ′′4

2.9. Systematische Methoden

2.9.1. Knotenanalyse

In der Knotenpotentialanalyse ordnet man jedem Knoten ein Potential zu, wobei ein

Knoten das Bezugspotential ϕ = 0 bekommt.

15

1. Wandle alle Spannungsquellen in Stromquellen um.

2. Man wahlt einen beliebigen Knoten als Bezugsknoten. Es ist empfehlenswert,einen moglichst grossen Knoten auszuwahlen.

3. Fur jeden Knoten werden die sogenannten Knotenspannungen zugeordnet. Dieentsprechenden Spannungspfeile beginnen beim betreffenden Knoten und endenbeim Bezugsknoten. Sind M Knoten vorhanden, so definiert man M − 1 Kno-tenspannungen.

4. Danach stellt man die voneinander unabhangigen Knotengleichungen auf, indemman die Strome mittels der Potentialdifferenzen, geteilt durch die Widerstande,ausdruckt (In = ∆ϕ/Rm).

5. Dies ergibt ein Gleichungsssystem mit so vielen Gleichungen, wie unbekanntePotentiale vorhanden sind. In Matrixschreibweise:

GU = I

Dabei ist G die Leitwertmatrix. Diese Matrix ist symmetrisch und enthalt Sum-men der Leitwerte der verschiedenen Zweipole. U enthalt die Knotenspannungenund I enthalt die Stromquellen.

6. Sind die Knotenspannungen durch Auflosen des eben erhaltenen Gleichungssy-stems berechnet, so erhalt man die Spannungen uber den Zweipolen sofort ausder Differenz der Knotenspannungen an den beiden Klemmen des Zweipols.

Beispiel

−+ 25V

5Ω

10ΩI2

4Ω

2ΩI3

−+ 50V2Ω

I1

Abbildung 2.15.: Knotenanalyse

In Abbildung (2.15) werden nun alle Spannungsquellen durch Stromquellen ersetztund die Knoten beschriftet dadurch ergibt sich Abbildung (2.16).

I6 = 5A

U1

5Ω

I4

10ΩI2

4Ω

I5

U2

2Ω

I8

I7 = 25A2Ω

I1

Abbildung 2.16.: Knotenanalyse

Nun stellt man die Gleichungen fur die verschiedenen Knoten auf:

U1:

I1 − I2 − I4 = −I6

−U1

2Ω− U1 − U2

10Ω− U1

5Ω= −5

16

U2:

I2 − I8 − I5 = I7

U1 − U2

10Ω− U2

2Ω− U2

4Ω= 25

In Matrixschreibweise:

(− 1

2 − 110 − 1

5110

110 − 1

10 − 12 − 1

4

) (U1

U2

)

=

(−525

)

2.9.2. Maschenanalyse

1. Man wandelt alle Stromquellen in Spannungsquellen um.

2. Bei der Methode der Maschengleichungen definieren wir Maschenstrome und no-tieren fur diese die Maschengleichungen. Maschenstrome sind in einer Maschezirkulierende Strome.Das Auffinden von unabhangigen Maschen ist etwas schwieriger als das Auffindenunabhangiger Knoten bei der Knotenanalyse. Man kann systematisch Maschensolange erzeugen, bis jeder Zweipol zu mindestens einer Masche gehort und mussdabei lediglich beachten, dass jede neue Masche einen zuvor noch nicht beruck-sichtigten Zweipol enthalt, naturlich versucht man moglichst kleine Maschen zuwahlen.

3. Man notiert nun die Maschengleichungen, in denen die Spannungen uber idea-len Spannungsquellen bekannt sind und die Spannungen uber Widerstanden Rk

durch Ik = Uk/Rk ersetzt werden

4. Man ersetzt die Zweipolstrome durch die Maschenstrome und erhalt die Matri-zengleichung

RI = U

Dabei ist R die symmetrische Widerstandsmatrix. Die Vektoren I und U ent-halten die Maschenstrome und die Quellenspannungen.

5. Gleichungssystem auflosen.

6. Die unbekannten Strome in den Zweipolen werden aus den Maschenstromen be-stimmt. Dabei werden alle Maschenstrome aufsummiert, welche durch den be-treffenden Zweipol fliessen

7. Die unbekannten Spannungen uber den Widerstanden werden mit Uk = Rk/Ik

berechnet.

Beispiel

−+ 25V

5Ω

I

10ΩI2

II 4Ω

2ΩI3

III−+ 50V2Ω

I1

Abbildung 2.17.: Maschenanalyse

17

I:

U2Ω + U5Ω + 25V = 0

I1· 2Ω + (I1 − I2)5Ω = −25V

II:

U10Ω + U4Ω − 25V − U5Ω = 0

I2· 10Ω + (I2 − I3)4Ω − (I1 − I2)5Ω = 25V

III:

U2Ω − 50V − U4Ω = 0

I3· 2Ω − (I2 − I3)4Ω = 50

In Matrixschreibweise:

7Ω −5Ω 0−5Ω 19Ω −4Ω

0 −4Ω 6Ω

I1

I2

I3

=

−25V25V50V

18

3. Schaltvorgange

3.1. Kondensatoren und Kapazitaten

3.1.1. Uberblick

SI-Einheit: F (Farad); 1F = AsV

In der Kapazitat ist der Strom i proportional zur zeitlichen Anderung der Spannungu.

i(t) = Cdu

dt; u(t) =

1

C

∫ t

t0

i(t)dt + U0; C = i(t)dt

du

Die Spannung U0 ist die Spannung, die zu Beginn des Integrationsintervalles bereits ander Kapazitat lag. Speist man eine Kapazitat mit einem konstanten Strom, so steigtdie Spannung linear an.

An der Kapazitat verlauft die Spannung immer stetig, der Strom kann unstetig sein.

Fur den Zusammenhang von Spannung und Ladungen gilt:

U =Q

C

3.1.2. Ideale Stromquelle und Kondensator

Wir betrachten nun den Ladevorgang eines Kondensators, d.h. wir nehmen an, derzunachst ungeladene Plattenkondensator werde zur Zeit t = 0 bis zur Zeit t = T aneine ideale Stromquelle I0 angeschlossen.

Die Anfangsbedingung lautet u(0) = 0. Danach ergibt sich ein linearer Spannungsan-stieg fur 0 < t < T wegen

u(t) = u(0) +1

C

∫ t

0

i(t)dt =1

C

∫ t

0

I0dt =tI0

C

Schliesslich bleibt fur t > T die Spannung uber der Kapazitat konstant, weil nacht = T kein Strom mehr fliesst. Die Spannung ist dann u(t) = I0T

C.

3.1.3. Serieschaltung von R und C an einer Stromquelle

Anwendung der Maschenregel fuhrt zu:

u = I0R +1

C

∫

I0dt

Losung:

u(t) = I0R +1

CI0t

Dabei ist u(t) die Spannung uber R und C.

19

3.1.4. Serieschaltung von R und C an einer Spannungsquelle

Aquivalent zu einer Stromquelle mit Innenwiderstand.

−+U0

R

Ci(t)

Abbildung 3.1.: Serieschaltung von R und C an einer Spannungsquelle

Nehmen wir an, dass fur t < 0 der Schalter offen und die Kapazitat ungeladen sei unddass der Schalter fur t > 0 geschlossen sei.

i(t) =U0

Re−

tRC ; uC(t) = U0(1 − e−

tRC ); ur(t) = U0e

− tRC ; τ = RC

u, iu, i

tt

iiuRuRuCuC

U0/RU0/R

U0U0

τ = RCτ = RC

Abbildung 3.2.: Serieschaltung von R und C an einer Spannungsquelle

Eine charakteristische Grosse, welche die Geschwindigkeit des Aufladevorgangs be-schreibt ist die Zeitkonstante

τ = RC

Nachdem die Zeit t = τ verstrichen ist, ist die Spannung an der Kapazitat aufU0(1 − 1/e) angewachsen.

In der Praxis wird der Aufladevorgang immer irgendwann abgebrochen. Wird die Ka-pazitat vom Netzwerk getrennt, so dass kein Strom mehr fliessen kann, so bleibt dieSpannung konstant.

Der Kondensator wird uber den Widerstand geladen. Da die Spannung uber demKondensator bei diesem Vorgang steigt, wird die Spannung uber dem Widerstandwahrenddessen kleiner. Der Strom ist proportional zur Spannung uR, wird demnachebenfalls stetig kleiner (siehe Abb. 3.2).

20

3.1.5. Parallelschaltung von R und C an einer Stromquelle

u(t) = I0R(1 − e−t

RC ); iR(t) = I0(1 − e−t

RC ); iC(t) = I0· e−t

RC ; τ = RC

u, iu, i

tt

uu

iRiRiCiC

I0I0

I0RI0R

τ = RCτ = RC

Abbildung 3.3.: Parallelschaltung von R und C an einer Stromquelle

3.1.6. Entladung eines Kondensators

Betrachtet man aufgeladene, reale Kondensatoren, so stellt man fest, dass diese sichmit der Zeit entladen, man kann reale Kondensatoren mit einer Ersatzschaltung be-stehend aus einer Kapazitat C und einem parallelen Widerstand R approximieren.

D.h. wir lassen die Anschlusse des Kondensators offen.

C R

iR

u(t)

Abbildung 3.4.: Ersatzschaltung eines realen Kondensators (mit Innenwiderstand R)

Fur die Spannung u und den Strom iR gilt:

u(t) = U0e− t

RC ; iR(t) =u(t)

R

Vergleiche den Verlauf der Spannung mit Abbildung 3.2.

3.1.7. Parallelschaltung von R und C an einer Spannungsquelle

Solche Schaltungen fuhren in der Praxis zur Zerstorung des Schalters.

3.2. Induktivitat und Spulen

3.2.1. Uberblick

SI-Einheit: H (Henry); 1H = 1V sA

21

An der Induktivitat ist die Spannung u proportional zur zeitlichen Anderung des Stro-mes i.

u = Ldi

dt; i =

1

L

∫ t1

t0

u(t)dt + I0; L = u(t)dt

di

Der Strom I0 ist der Strom, der zu Beginn des Integrationsintervalles bereits floss.Legt man eine konstante Spannung an eine Induktivitat, so steigt der Strom linear an.

In einer Induktivitat verlauft der Strom immer stetig, die Spannung kann unstetig sein.

Zwischen Induktivitat und Kapazitat gilt das Dualitatsprinzip.

3.2.2. Entladung einer Spule mit Innenwiderstand R

D.h. wenn die Spulenenden kurzgeschlossen werden.

i(t) = I0· e−tRL

3.2.3. Parallelschaltung von R und L an einer Stromquelle

u(t) = I0R· e− tRL ; iL(t) = I0(1 − e−

tRL ); iR(t) = I0· e−

tRL ; τ =

L

R

u, iu, i

tt

uu

iRiRiLiL

I0RI0R

I0I0

τ = L/Rτ = L/R

Abbildung 3.5.: Parallelschaltung von R und L an einer Stromquelle

Der Strom I0 fliesst nach dem Umlegen des Schalters zunachst durch R. Der StromiL beginnt mit der Steigung di/dt = I0R/L. Wahrend der Strom iL steigt, verkleinertsich der Strom iR bis die Induktivitat den gesamten Strom I0 ubernommen hat. Dannist u = 0 wegen iR = 0 (siehe Abb. 3.5).

3.2.4. Serieschaltung von R und L an einer Spannungsquelle

i(t) =U0

R(1 − e−

tRL ); uR(t) = U0(1 − e−

tRL ); uL(t) = U0· e−

tRL ; τ =

L

R

Zum Zeitpunkt t = 0 liegt die Spannung uL = U0 an der Induktivitat. Der Strom i istzu diesem Zeitpunkt noch Null. Der Strom i beginnt mit der Steigung di/dt = U0/Lgrosser zu werden. Dadurch wird der Spannungsabfall uber R zunehmend grosser unduL und di/dt zunehmend kleiner (siehe Abb. 3.6).

22

u, iu, i

tt

iiuRuRuLuL

U0U0

U0/RU0/R

τ = L/Rτ = L/R

Abbildung 3.6.: Serieschaltung von R und L an einer Spannungsquelle

3.2.5. Serieschaltung von R und L an einer Stromquelle

uL wachst dabei uber alle Masse und fuhrt in der Praxis zur Zerstorung des Schalters.

3.2.6. Parallelschaltung von R und L an einer Spannungsquelle

i(t) =U0

R+

U0t

L

3.3. Physikalische Grossen

3.3.1. Leistung

SI-Einheit Leistung: W (Watt); 1 W = 1 VAmomentane Leistung:

p(t) = u(t)i(t)

Momentanleistung einer Kapazitat:

p(t) = Cu(t)du

dt

Momentanleistung einer Spule:

p(t) = Li(t)di

dt

3.3.2. Arbeit und Energie

Die Arbeit/Energie ist das Integral uber die Leistung

w(t) =

∫ t2

t1

p(t)dt

SI-Einheit Energie: Ws (Wattsekunde); J (Joule)

Kapazitaten und Induktivitaten speichern die Energie, welche ihnen beim Ladevorgangzugefuhrt wurde.

23

Kapazitat

w(t1) =

∫ t1

t0

u(t)i(t)dt + W0 = C

∫ t1

t0

u(t)du

dtdt + W0 = C

u2(t1) − u2(t2)

2+ W0

Fur Gleichspannung U und W0 = 0 gilt:

w(t) =CU2(t)

2

Induktivitat

w(t1) =

∫ t1

t0

u(t)i(t)dt + W0 = L

∫ t1

t0

i(t)di

dtdt + W0 = L

i2(t1) − i2(t0)

2+ W0

Fur den Gleichstrom I und W0 = 0 gilt:

w(t) =CI2(t)

2

3.4. Serieschaltungen

3.4.1. Induktivitaten

u(t) = Lges

di

dt

Lges =n∑

i=1

Li

3.4.2. Kapazitaten

u(t) =1

Cges

∫ t

0

idt + U0

1

Cges

=n∑

i=1

1

Ci

Die Ladungen Q sind gleich, wahrend die Spannungen U umgekehrt proportional (U1 =U2·C2/C1) sind.

3.5. Parallelschaltungen

3.5.1. Induktivitaten

i(t) =1

Lges

∫ t

0

udt + I0

1

Lges

=

n∑

i=1

1

Li

3.5.2. Kapazitaten

i(t) = Cges

du

dt

Cges =

n∑

i=1

Ci

Die Ladung Q der Kondensatoren sind umgekehrt proportional, wahrend die SpannungU gleich ist.

24

4. Wechselstrom

4.1. Komplexe Darstellung und Zeiger

Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz und Periode:

ω = 2π/T ω = 2πf

Sei

f(t) = A cos(ωt + ϕ)

eine harmonische Funktion mit bestimmter Kreisfrequenz ω, Amplitude A und Phaseϕ.

Diese konnen wir mittels Addititionstheorem auf die Form

f(t) = a cos(ωt) − b sin(ωt)

bringen, mit den zwei Amplituden

a = A cosϕ, b = A sin ϕ

Sind a und b bekannt, so erhalt man daraus

A =√

a2 + b2, ϕ = arctan(b/a)

Wenn man sich das in der 2-dimensionalen xy Ebene vorstellt, so sind A und ϕ Polar-koordinaten des Punktes (a, b) in der xy Ebene.

Die xy Ebene konnen wir aber auch als komplexe Ebene z = x + jy auffassen. Indieser Ebene beschreibt die komplexe Zahl C = a+ jb die Amplituden a und b unsererharmonischen Funktion und es gilt

A =√

<(C)2 + =(C)2 = |C |, ϕ = arctan(=(C)

<(C))

Es macht nun Sinn die f(t) folgendermassen zu notieren:

f(t) = <(Cejωt)

4.2. Blind-, Wirk-, und Scheinleistung

Betrachten wir einen linearen Zweipol, uber dem die Spannung

u(t) = <(Uejωt) = U cos(ωt + ϕU )

liegt und durch den der Strom

i(t) = <(Iejwt) = I cos(ωt + ϕI )

fliesst. Dabei gilt gemass vorhergehendem Abschnitt

25

U =

√

<(U)2 + =(U2) = |U |, ϕU = arctan(=(U )/<(U))

I =

√

<(I)2 + =(I2) = |I |, ϕI = arctan(=(I)/<(I))

Fur den Zeitwert der Leistung des Zweipols gilt also

p(t) = U I cos(ωt + ϕU ) cos(ωt + ϕI )

tt

u(t)u(t)

i(t)i(t)

p(t) = u(t)· i(t)p(t) = u(t)· i(t)

UU

II

Abbildung 4.1.: Verlauf von u(t), i(t) und p(t)

Im Folgenden bezeichnen

Ueff = U/√

2; Ieff = I/√

2

die Effektivwerte von Strom und Spannung

Die mittlere Leistung ist definiert als

P = p =1

T

∫ t+T

t

p(t)dt

4.2.1. Scheinleistung

S = Ueff Ieff

Fur den Zusammenhang zwischen Schein-, Wirk- und Blindleistung gilt

S = P + jQ S = |S| =√

P 2 + Q2

• Die Wirkleistung ist der Realteil der komplexen Leistung

• Die Blindleistung ist der Imaginarteil der komplexen Leistung

• Die Scheinleistung ist der Betrag der komplexen Leistung

4.2.2. Wirkleistung

P = Ueff Ieff cosϕ, P = S cosϕ

Wobei ϕ = ϕU − ϕI

P ist der Mittelwert des Zeitwertes der Wirkleistung. Wirkleistung lasst sich in andereFormen der Leistung (Warme usw.) uberfuhren.

26

Zeitwert der Wirkleistung

pW (t) = S cos(ϕ)[1 + cos 2(ωt + ϕu)]

Wirkstrom

Bei der Darstellung eines komplexen Zweipols als Parallel-Ersatzschaltung eines Wirk-und eines Blindwiderstandes kann man den Leistungsfaktor cosϕ modellhaft demStrom zuordnen. Man spricht dann vom Wirkstrom.

Iw = I · cosϕ

Diese Darstellung ist nur sinnvoll bei Parallelschaltungen.

Wirkspannung

Bei der Darstellung eines komplexen Zweipols als Serie-Ersatzschaltung eines Wirk-und eines Blindwiderstandes kann man den Leistungsfaktor cosϕ modellhaft der Span-nung zuordnen. Man spricht dann von Wirkspannung.

Uw = U · cosϕ

Diese Darstellung ist nur sinnvoll bei Serieschaltungen.

4.2.3. Blindleistung

Q = Ueff Ieff sin ϕ, Q = S sin ϕ

Q ist der Mittelwert des Zeitwertes der Blindleistung. Blindleistung lasst sich nicht inandere Formen der Leistung umwandeln.

Zeitwert der Blindleistung

pb(t) = S sin(ϕ)[sin 2(ωt + ϕu)]

Blindstrom

Bei der Darstellung eines komplexen Zweipols als Parallel-Ersatzschaltung eines Wirk-und eines Blindwiderstandes kann man den Leistungsfaktor sin ϕ modellhaft demStrom zuordnen. Man spricht dann vom Blindstrom.

Ib = −I · sin ϕ

Diese Darstellung ist nur sinnvoll bei Parallelschaltungen.

Blindspannung

Bei der Darstellung eines komplexen Zweipols als Serie-Ersatzschaltung eines Wirk-und eines Blindwiderstandes kann man den Leistungsfaktor sin ϕ modellhaft der Span-nung zuordnen. Man spricht dann von Blindspannung.

Ub = U · sin ϕ

Diese Darstellung ist nur sinnvoll bei Serieschaltungen.

27

4.2.4. Bemerkungen

Wird das Verbraucherpfeilsystem verwendet und ist die Wirkleistung P eines Zwei-pols positiv, so nimmt der Zweipol im Zeitmittel Energie auf. Die Blindleistung istein Mass fur die Energiemenge, welche ein Zweipol wahrend jeder Schwingungsperi-ode aufnimmt und wieder abgibt. Wir werden gleich sehen, dass ideale Kapazitatenund Induktivitaten Bauelemente sind, deren Wirkleistung Null ist, deren Blindleistunghingegen positiv ist.

4.3. Bauelemente

4.3.1. Quellen

Spannungsquelle

u(t) = <(Uejωt)

U beinhaltet die Amplitude U und die Phasenlage zur Zeit t = 0:

U =√

<(U)2 + =(U)2 = |U |, ϕu = arctan(=(U )

<(U ))

Enthalt das angeschlossene Netzwerk nur lineare Bauteile und Quellen mit derselbenKreisfrequenz ω, so ist auch der Strom der Spannungsquelle harmonisch und es gilt:

i(t) = <(Iejωt)

I =√

<(I)2 + =(I)2 = |I |, ϕu = arctan(=(I)

<(I))

Je nach Belastung der Spannungsquelle durch das Netzwerk ergeben sich unterschiedli-che Strome. Damit kann auch die von der Quelle abgegebene Wirkleistung unterschied-lich gross sein. Wird die Quelle nur durch ein Netzwerk mit Ohm’schen Widerstandenbelastet, so wird die abgegebene Wirkleistung positiv und die Blindleistung Q = 0.

Stromquelle

Fur die ideale harmonische Stromquelle gilt das aquivalente zur Spannungsquelle, nurist bei diesen I gegeben, wahrend sich U aus der Belastung durch das angeschlosseneNetzwerk ergibt.

4.3.2. Widerstand

Ueff = RIeff ; U = RI ; ϕU = ϕL; U = RI

Der Widerstand verbraucht die Leistung

P = U I/2 = Ueff Ieff = RI2eff = U2

eff/R

Die Blindleistung des Widerstandes verschwindet weil die Phasendifferenz von Stromund Spannung verschwindet.

28

4.3.3. Kapazitat

I = jωCU ; Ieff = ωCUeff ; I = ωCU ; ϕ = −π/2

Die letzte Gleichung besagt, dass der Strom der Spannung um π/2 nachlauft.

Die Kapazitat verbraucht keine Wirkleistung:

P = 0

Der Betrag der Blindleistung der Kapazitat ist maximal. Wird eine Kapazitat aneine ideale Quelle angeschlossen, so pendelt die gesamte Energie zwischen Quelle undKapazitat hin und her.

4.3.4. Induktivitat

U = jωLI; Ueff = ωLIeff ; U = ωLI; ϕ = +π/2

Die letzte Gleichung besagt, dass der Strom der Spannung um π/2 vorlauft.

Die Induktivitat verbraucht keine Wirkleistung:

P = 0

Der Betrag der Blindleistung der Induktivitat ist maximal. Wird eine Induktivitat aneine ideale Quelle angeschlossen, so pendelt die gesamte Energie zwischen Quelle undInduktivitat hin und her.

4.4. Impedanz und Admittanz

4.4.1. Impedanz

Bei einer Serieschaltung von Widerstand und Induktivitat summieren sich die Span-nungen und wir erhalten

U = (R + jωL)I = Z I

Dabei ist Z = R + jωL die (komplexe) Impedanz. Man schreibt auch Z = R + jX .Dabei bezeichnet X die Reaktanz.

Bei Serieschaltungen summieren sich die Impedanzen.

4.4.2. Admittanz

Die Admittanz ist als der Kehrwert der Impedanz definiert

Y = 1/Z

Bei Parallelschaltungen summieren sich die Admittanzen.

4.4.3. Impedanz und Admittanz von Bauelementen

Widerstand

Z = R; Y =1

R

Kapazitat

Z =1

jωC=

−j

ωC; Y = jωC

29

Induktivitat

Z = jωL; Y =1

jωL=

−j

ωL

4.5. Spezielle Schaltungen

4.5.1. Schwingkreise

Ideale Schwingkreise

Da die Impedanzen von L und C - je nach Frequenz - die gesamte positive bzw. negativeimaginare Achse uberstreichen, verschwindet fur jede LC Serieschaltung die Impedanz

bei einer ganz bestimmten Frequenz ω0. Es gilt

jω0L − j1

ω0C= 0 ⇒ ω0 =

1√LC

Wird die Impedanz Null, so wird naturlich die Admittanz unendlich.

Falls man L und C parallel schaltet, so wird die Admittanz bei dieser Frequenz ω0

gleich Null und dafur die Impedanz unendlich.

ZZ

ωω

ωLωL

1/ωC1/ωC

|ZSerie||ZSerie|

ω0ω0

ZZ

ωω

ωLωL

1/ωC1/ωC

|ZParallel||ZParallel|

ω0ω0

Abbildung 4.2.: Ortskurve des Betrages |Z| der Impedanz Z. Links: Serie-, Rechts: Paral-lelschaltung

Reale Schwingkreise

In der Praxis lassen sich ideale Induktivitaten bzw. Kapazitaten nicht realisieren. Rea-le Spulen und Kondensatoren weisen Ohm’sche Verluste auf, werden also durch Serie-bzw. Parallelschaltungen von Induktivitaten bzw. Kapazitaten mit Widerstanden ap-proximiert. In der Nahe der Resonanzfrequenz werden die Widerstande dominant.

Um die Umgebung der Resonanzfrequenz zu analysieren, wird die Verstimmung

η =ω2 − ω2

0

ωω0

eingefuhrt.

Wir fuhren einen Widerstand in Serie- und Parallelschwingkreis ein um den OhmschenVerlust von Induktivitat und Kapazitat Rechnung zu tragen.Um die Qualitat eines Schwingkreises zu messen, wird die Gute Q wie folgt definiert:

Q = 2π(max. Energie in L oder C)/(pro Periode in R in Warme umgesetzte Energie)

30

Es ergibt sich fur den Serieschwingkreis

QS = ω0LS/RS =

√

LS/CS

RS

und fur eine Parallelschaltung

QP = ω0CP RP = RP

√

CP /LP

Bestimmen der Resonanzfrequenz

Um die Resonanzfrequenz einer beliebigen Schaltung zu bestimmen, benutzt man, dassgelten muss:

=(Z) = 0

<(Z) ist irrelevant und Terme welche =(Z) nicht beeinflussen konnen schon vorherweggelassen werden.

4.5.2. Zweitore - Passive Filter

Besteht aus RLC Netzwerken. Um dieses Zweitor zu charakterisieren, betrachten wirdie Ausgangsgrossen als Funktion der Eingangsgrossen und ihre Abhangigkeit von derFrequenz.

Wir gehen davon aus, dass am Eingang eine ideale Spannungsquelle angeschlossen istund am Ausgang ein Leerlauf besteht (Ia = 0).

−+

Z1

Ia = 0

Z2 UaUe

Abbildung 4.3.: Passives Zweitor bestehend aus zwei Impedanzen mit idealer Spannungs-quelle am Eingang mit Leerlauf am Ausgang.

Da alle beteiligten Komponenten lineare Zweipole sind, muss die Ausgangsspannungproportional zur Eingangsspannung sein:

Ua = v Ue

Dabei ist die komplexe, frequenzabhangige Grosse v die Verstarkung oder Ubertra-

gungsfunktion des Zweitors. Deren Betrag ergibt den Amplitudengang und deren Phaseden Phasengang des Zweitors.

Nach der Spannungsteilerregel gilt fur Abb. 4.3:

v =Ua

Ue

=Z2

Z1 + Z2

(4.1)

Hochpass

Ist Z1 in 4.1 eine Kapazitat und Z2 ein Widerstand R, so erhalten wir

v =Ua

Ue

=R

1jωC

+ R

31

und somit fur den Betrag der Verstarkung

v = |v| =R

√

R2 + 1/(ωC)2

und fur die Phase

ϕ = arctan

(1

ωRC

)

Fur tiefe Frequenzen (ω → 0) ist die Verstarkung 0, fur hohe Frequenzen (ω → ∞)hingegen nahezu 1.

−40−40

−30−30

−20−20

−10−10

00v∗[dB]v∗[dB]

log flog f

00

4545

9090ϕϕ

0.010.01 0.10.1 11 1010 100100 10001000

log flog f

Abbildung 4.4.: Bodediagramm, Amplitudengang (links) und Phasengang (rechts) eines RCHochpasses

Die Frequenz fmin = ωmin/2π, wobei wmin = 1RC

, ist die untere Grenzfrequenz. Esgilt

vmin =1√2

Oberhalb der Grenzfrequenz ist der Betrag der Verstarkung des RC-Hochpasses nahe-rungsweise 1.

Man benutzt im Normalfall

v∗ = 20· lg v [db]

Bemerkung. Man kann auch einen Hochpass mit Z1 = R und Z2 = L oder Z1 = Cund Z2 = L erzeugen.

Tiefpass

Setzen wir Z1 = R und Z2 = C, so erhalten wir einen RC Tiefpass. Hier gilt:

v =1

1 + jωRC

und somit fur den Betrag der Verstarkung

v =1

√

1 + (ωRC)2

und fur die Phase

ϕ = − arctan(ωRC)

32

und die obere Grenzfrequenz

ωmax = 2πfmax =1

RC

−40−40

−30−30

−20−20

−10−10

00v∗v∗

0.010.01 0.10.1 11 1010 100100

log flog f

−90−90

−45−45

00ϕϕ

0.010.01 0.10.1 11 1010 100100 10001000

log flog f

Abbildung 4.5.: Bodediagramm, Amplitudengang (links) und Phasengang (rechts) eines RCTiefpasses

Bemerkung. Man kann auch einen Tiefpass mit Z1 = L und Z2 = R oder Z1 = L undZ2 = C erzeugen.

4.6. Ortskurven

Man kann Serie- und Parallelschaltung von Impedanzen bzw. Admittanzen fur ver-schiedene Frequenzen oftmals bequem grafisch betrachten. Dafur verwendet man diekomplexe Impedanz- bzw. Admittanzebene, fur das Abzeichnen von Zweipolen geltenfolgende Regeln:

1. Fur einen Widerstand gilt Z = R. Folglich ist die Ortskurve des Widerstandes inder komplexen Impedanzebene ein einfacher Punkt auf der reellen Achse: Die Im-pedanz ist frequenzunabhangig. Dasselbe gilt naturlich auch fur die Darstellungvon Widerstand und Leitwert in der komplexen Admittanzebene.

2. Fur eine Induktivitat gilt Z = jωL. Dadurch wird die positive imaginare Achseder Impedanzebene beschrieben. Als Spezialfalle erhalt man Z = 0 fur ω = 0und Z = j∞ fur ω = ∞. Auch in der komplexen Admittanzebene ergibt sichaus Y = 1/(jωL) = −j/(ωL) eine gerade Ortskurve, diesmal jedoch die negativeimaginare Achse mit den speziellen Punkten −j∞ fur ω = 0 und Y = 0 furω = ∞.

3. Fur die Kapazitat fallt die Ortskurve in der Impedanz- bzw. Admittanzebenemit der negativen bzw. positiven imaginaren Achse zusammen.

Impedanzen kann man nun einfach addieren: Einfach die imaginar Teile und real Teilezusammenzahlen. Fur die Inversion also das Umwandeln von Impedanz in Admittanzoder umgekehrt wird es etwas komplizierter: Die Inversion ist aber eine konforme Ab-bildung, d.h. sie ist winkeltreu und Kreise werden in Kreise abgebildet. Ein Spezialfallsind Geraden, welche als Kreise durch ∞ angenommen werden.

33

<(Z)

=(Z)

j10Ω

<(Y )

=(Y )

−j0.1S

Abbildung 4.6.: Beispiel einer Inversion einer Ortskurve

34

5. Halbleiterschaltungen

5.1. Diode

Halbleiter bestehen aus einer einfachen pn Struktur, d.h. aus einer p (positiv) und n(negativ) dotierten Halbleiterschicht.

5.1.1. Gleichrichterschaltung

Die ideale Diode ist ein idealer Gleichrichter, d.h. sie lasst Strom nur in einer Richtungdurch.

Die wichtigste Anwendung ist die Umwandlung von Wechsel- in Gleichstrom. Nehmenwir an, es stehe eine Wechselspannungsquelle uq(t) = Uq sin(ωt) zur Verfugung. Ver-binden wir einen Anschluss der Wechselspannungsquelle mit einer idealen Diode, soerhalten wir am Ausgang der Diode eine zeitlich veranderliche Spannung u(t), derenVorzeichen stets positiv ist. Es gilt:

u(t) = uq(t), falls uq(t) > 0 und andernfalls u(t) = 0

Will man die zeitabhangigen Anteile unterdrucken, so kann man einen Tiefpass nach-schalten. Dessen Grenzfrequenz sollte moglichst weit unterhalb der Grundfrequenz ωliegen.

D

u(t) RCuq(t)

Abbildung 5.1.: Gleichrichtung mit einer Diode D und nachfolgender Glattung mit einerKapazitat C, Lastwiderstand R.

Ein Mangel der sogenannten Einweggleichrichter mit einer einzigen Diode ergibt sichaus der Tatsache, dass die Wechselspannung nur wahrend der positiven Halbperiodebelastet wird. Abhilfe schafft der Bruckengleichrichter (Abb. 5.2), welcher aus 4 Di-oden besteht.

D

u(t) Ruq(t)

Abbildung 5.2.: Gleichrichtung mit einem Bruckengleichrichter bestehend aus 4 Dioden Dmit Lastwiderstand R.

Fur den idealen Bruckengleichrichter gilt:

u(t) = |uq(t)|

35

5.1.2. Logische Schaltungen

Bei der elektronischen Realisierung binarer logischer Schaltungen wird meist der lo-gische Wert 1 durch eine Spannung oberhalb einer bestimmten Schwelle U1 und derlogische Wert 0 durch eine Spannung unterhalb einer bestimmten Schwelle U0 (mitU0 < U1) beschrieben.

Logische Schaltungen lassen sich mit Netzwerken von Schaltern realisieren.

D1

D2

uR

u1 u2

Abbildung 5.3.: ODER-Schaltung mit zwei Dioden und einem Widerstand.

Fur ideale Dioden ergibt sichu = max(u1, u2)

Stellt u1 oder u2 eine logische 1 dar, d.h. gilt

(u1 > U1) ODER (u2 > U1)

so wird auch u > U1, also eine logische 1. Umgekehrt erhalt man eine logische 0 wennan beiden Eingangen logische Nullen gesetzt sind.

5.2. Bipolare Transistoren

Bipolar-Transistoren bestehen aus drei Schichten, entweder in der Reihenfolge pnpoder npn. Die beiden ausseren Schichten werden Kollektor bzw. Emitter genannt, diemittlere Schicht ist die Basis .

E

B

C

E

B

C

Abbildung 5.4.: pnp- (links) und npn-(rechts) Transistor

Im Normalbetrieb wird die Basis-Emitter-Strecke im Durchlass und die Basis-Kollektor-Strecke im Sperrbereich betrieben. Die Basis-Emitterstrecke verhalt sich daher wie eineDiode in Durchlaufrichtung (die Pfeilrichtung gibt die Diodenrichtung an). Der posi-tive Basisstrom fliesst beim npn-Transistor in die Basis hinein, beim pnp-Transistorheraus. Fliesst ein Basisstrom, so fallen uber der Basis-Emitter-Strecke ca. 0.7V ab.Dies ist ein geschatzter Wert und kann genau bestimmt werden mit

IB = IS(exp(UBE/UT ) − 1) UT und IS aus Datenblatt

Der Basisstrom ist der Steuerstrom. Mit ihm steuert man den Kollektorstrom, soferneine positive Kollektor-Emitterspannung anliegt. Der Kollektorstrom ist dann naher-ungsweise proportional zum Basisstrom.

36

Zwischen IB und IC herrscht in guter Naherung Proportionalitat:

IC = hfEIB

In Abbildung 5.5 ist die Ausgangskennlinie IC = f(UCE) dargestellt. Man sieht, dassab einer minimalen Spannung UCE der Kollektorstrom IC praktisch nicht mehr vonUCE abhangt, sondern nur noch vom Basisstrom IB .

UCEUCE

ICIC

IBIBAA

BB

Abbildung 5.5.: Kennlinienfeld eines Transistors

5.2.1. Grosssignal

Ein einfaches Modell, welches das Verhalten eines bipolaren npn-Transistors bei Gleich-strom (und bei langsamen Vorgangen) in erster Naherung beschreibt, ist das folgende

DBE

IBE

E

BIB

DBC

hfeIBE

E

CIC

Abbildung 5.6.: Einfaches Grosssignal-Ersatzschemata des npn bipolaren Transistors. Beimpnp-Transistor sind die Stromrichtungen und die Polaritaten der Dioden umgekehrt.

Es konnen folgende Betriebsarten unterschieden werden:

Cutoff-Bereich Beide Dioden sind gesperrt, insbesondere die Basis-Emitter Diode:UBE ist positiv bei pnp-, negativ bei npn-Transistoren. Es fliesst kein Strom vomEmitter in die Basis und daher fliesst auch kein Kollektorstrom; man befindetsich im Punkt B auf der Kennlinie.

Sattigungs-Bereich Beide Dioden sind leitend. Die Kollektor-Emitterspannung kannzwar nicht negativ werden, sie ist aber sehr klein (≈ 0.3V ) und man befindetsich im Punkt A. Es gilt

IC < hfEIB

Ein Teil des Kollektorstromes fliesst durch die Stromquelle, der andere durch dieDiode zur Basis.

Aktiver Bereich Die Basis-Emitter Diode ist leitend, wahrend die Kollektor-Basis Di-ode gesperrt ist. In diesem Arbeitsbereich funktioniert der Transistor als Ver-starker. Die Diode DBC kann weggelassen werden.

37

DBE

E

BIB

hfeIB

E

CIC

Abbildung 5.7.: Ersatzschaltung des npn bipolaren Transistors im aktiven Bereich

5.2.2. Der Transistor als Schalter

In dieser Funktionsart wird der Transistor entweder im Cutoff (Transistor ausgeschal-tet, Punkt B) oder in der Sattigung (Transistor eingeschaltet, Punkt A) betrieben.

5.2.3. Der Transistor als Verstarker

Bei jedem Wert des Eingagangsstromes IB muss der Transistor dabei im aktiven Be-reich bleiben. Dafur definiert man einen Arbeitspunkt , um den herum die Strom- bzw.Spannungsanderungen erfolgen.

Solange die Eingangsspannungsanderung an der BE-Diode klein ist (sogenanntes Klein-

signalverhalten), kann die Kennlinie um den Arbeitspunkt (ICE , UCE0) herum alsannaherend linear betrachtet werden und durch ihre Tangente an diesem Punkt be-schrieben werden.

Wir definieren die differentiellen Kenngrossen:

rBE =∂UBE

∂IB

∣∣∣∣UCE=const

≈ UT

IB

rCE =∂UCE

∂IC

∣∣∣∣UBE=const

rCE bezeichnet die Steigung der Ausgangskennlinie im Arbeitspunkt.

Kleinsignalverhalten

Da fur das Kleinsignalverhalten des Transistors annahernd lineare Verhaltnisse vor-ausgesetzt werden konnen, wird oft das folgende Ersatzschaltbild verwendet.

rBE

E

BiBE

hfeiBE

E

CIc

Abbildung 5.8.: Kleinsignalersatzschaltbild des npn-Transistors

Die Berechnung von Transistorschaltungen vereinfacht sich dadurch wesentlich, weildank der Linearitat der Ersatzschaltung das Superpositionsprinzip angewendet werdenkann: Quellen konnen separat betrachtet werden.

38

5.2.4. Grundschaltungen mit Bipolartransistoren

Emitterschaltung Kollektorschaltung Basisschaltung

Spannungsverstarkung Vu > 1 ≈ 1 > 1

Stromverstarkung Vi > 1 > 1 ≈ 1

Eingangswiderstand re mittel sehr hoch sehr klein

Ausgangswiderstand ra hoch sehr klein hoch

Tabelle 5.1.: Vergleich zwischen den verschiedenen Betriebsarten eines Transistor

5.2.5. Emitterschaltung

Der Arbeitspunkt kann entweder uber den Basisstrom IB oder uber die Basis-EmitterSpannung UBE festgelegt werden. Hier wird der Fall mit Festlegung von IB betrachtet.

u1

C

IB

RB

RC

IC C +− U0

u2

Abbildung 5.9.: Emitterschaltung als Grundbeschaltung eines bipolaren Transistors. Die bei-den Kapazitaten dienen der Ein- bzw. Auskopplung des Wechselspannungssignals. Sie werdenublicherweise so gross dimensioniert, dass sie bei der Berechnung des Kleinsignalverhaltensweggelassen werden konnen.

Die Arbeitspunktgrossen werden im folgenden mit Grossbuchstaben und Index 0 ge-kennzeichnet. Es gilt also

IB = IB0 + iB, UCE = UCE0 + uCE usw.

1. Berechnung des Arbeitspunktes: Die Wechselspannungsquelle wird Null ge-setzt. Somit sind nur die Gleichstrome zu berucksichtigen. Die Kapazitaten wer-den als Unterbruch betrachtet. Unter Berucksichtigung des Grosssignal-Ersatz-schemas erhalt man folgende Schaltung, wenn man beachtet, dass die Basis-Kollektor Diode sperrt und deshalb in guter Naherung weggelassen werden kann.

Weil die Basis-Emitter Diode im Durchlassbereich arbeitet, konnen wir in guterNaherung UBE = 0.7V schreiben und erhalten:

IB0 = (U0 − 0.7V )/RB

Bei vorgegebenen Arbeitspunkt z.B. IB0 = 60µA kann diese Gleichung auchnach RB aufgelost werden. Auf diese Weise wird der Widerstand RB , welcherden Basisstrom und damit den Arbeitspunkt festlegt dimensioniert.

Die Kollektor-Emitter Spannung ergibt sich aus folgender Spannungsteilerrech-nung:

UCE0 = U0 − RCIC0 = U0 − RChfEIB0

39

DBE

E

BIB

hfeIB

E

C

RCRB

+− U0

IC

Abbildung 5.10.: Ersatzschaltung fur den Gleichstromfall.

2. Berechnung der Wechselspannungsgrossen: Hier wird die Speisespannungs-quelle U0 Null (= Kurzschluss) gesetzt. Setzen wir fur den Transistor die Klein-signal-Ersatzschaltung ein, so erhalten wir die Ersatzschaltung gemass Figur5.11.

rBE

E

B

RBu1

iB

hfeiB

E

C

uCE = u2

RC

u0 = 0

iC

Abbildung 5.11.: Ersatzschaltung fur den Wechselspannungsfall (Kleinsignalverstarkung).

Fur den Eingangskreis sowie die gesteuerte Stromquelle im Ausgangskreis gilt:

iB = u1/rBE , iC = hfEiB , uCE = −RCiC

Durch Einsetzen folgt die Ausgangsspannung

u2 = uCE = −u1hfERC/rBE

Daraus ergibt sich schliesslich die Spannungsverstarkung

v = u2/u1 = −hfERC/rBE

5.2.6. Gegenkopplung

Um die Linearitat einer einzelnen Verstarkerstufe und die Stabilitat des Arbeitspunkteszu verbessern, wird gerne ein Teil des Ausgangssignals an den Eingang zuruckgefuhrtund zwar so, dass die Phase des zuruckgefuhrten Ausgangssignals gegenuber der Phasedes Eingangssignals um 180 Grad verschoben ist. Damit wirkt das ruckgefuhrte Aus-gangssignal dem Eingangssignal entgegen und vermindert die Verstarkung; dies wirdGegenkopplung genannt.

Um eine Gegenkopplung bei der Emitterschaltung zu bewerkstelligen, ist keine Phasen-drehung notig, da die Ausgangsspannung der Emitterschaltung gegenuber der Ein-gangsspannung bereits um 180 Grad phasenverschoben ist. Man kann also lediglicheinen Teil der Ausgangsspannung mit einem Spannungsteiler vom Kollektor abnehmenund an die Basis zuruckfuhren. Im wesentlichen wird diese sogenannte Spannungsge-

genkopplung durch einen Widerstand vom Kollektor zur Basis bewerkstelligt.

40

Die Stromgegenkopplung bei der Emitterschaltung besteht aus einem Widerstand RE

zwischen Emitter und Masse.

Die Wirkungsweise der Stromgegenkopplung ist die folgende: Nimmt die Eingangs-spannung zu, so nimmt der Kollektorstrom und damit der Emitterstrom zu, welchernahezu gleich dem Kollektorstrom ist. Damit steigt die Spannung uber RE und dieBasis-Emitter Spannung wird reduziert, weil

UEin = UBE + URE

gilt.

5.2.7. Kollektorschaltung, Emitterfolger

+−

RE

Abbildung 5.12.: Prinzip der Kollektorschaltung

Die Spannungsverstarkung ist ungefahr v = 1. Interessant ist diese Schaltung wegenihres hohen Eingangswiderstandes

re = rBE + hfERE

bei relativ niedrigem Ausgangswiderstand fur den gilt

ra ≈ rBE + Ri

hfE

Wobei Ri der Innenwiderstand der Spannungsquelle ist, die die Kollektorschaltungspeist. Man kann die Kollektorschaltung deshalb als Impedanzwandler verwenden.

5.2.8. Basisschaltung

Bei der Basisschaltung liegt die Basis auf Masse. Wie bei der Emitterschaltung wirdder Kollektor uber einen Widerstand mit der Gleichspannungsquelle verbunden. Aus-serdem ist uBE - wie bei der Emitterschaltung - die Eingangsspannung. Die Basisschal-tung hat auch dieselbe Spannungsverstarkung wie die Emitterschaltung, die Ausgangs-spannung ist jedoch in Phase mit der Eingangsspannung. Der wichtigste Unterschiedzur Emitterschaltung ist der geringe Eingangswiderstand.

5.3. Operationsverstarker

Bei Operationsverstarkern will man normalerweise sowohl positive als auch negative Si-gnalspannungen verarbeiten konnen. Aus diesem Grunde werden Operationsverstarkernormalerweise mit einer positiven und einer negativen Speisespannung versorgt. DieseSpannungen sind entgegengesetzt gleich und limitieren den Arbeitsbereich.

41

u2 − u1u2 − u1

u0u0

positive Saettigungpositive Saettigung

negative Saettigungnegative SaettigungUB−UB−

UB+UB+

Abbildung 5.13.: Idealisierte DC-Ubertragungscharakteristik eines Operationsverstarkers

Verstarker, deren Spannungsverstarkung v einen negativen Wert aufweisen nennt manInvertierer . Der Operationsverstarker verfugt uber einen invertierenden und einennicht invertierenden Eingang. Die Ausgangsspannnung ist proportional zur Differenzder beiden Eingangsspannungen, d.h. der Operationsverstarker ist ein Differenzver-

starker .

+

−

nichtinvertierender Eingang

invertierender Eingang

Ausgang

positive Betriebsspannung

negative Betriebsspannung

Abbildung 5.14.: Schaltung eines Operationsverstarkers.

5.3.1. Grundlegende Uberlegungen

+

−

i2

i1iO

UB+iB+

+−

+−

iB−

UB−

u2u1 u0

Abbildung 5.15.: Klemmenspannungen und -strome eines Operationsverstarkers.

Fur die folgende Rechnung gehen wir immer davon aus, dass die Strome in den Ope-rationsverstarker hinein fliessen.

Zunachst muss naturlich die Ausgangsspannung im Bereich UB− . . . UB+ liegen. Damitder OpAmp im linearen Bereich und nicht in der Sattigung arbeitet, muss die Differenz

42

der Eingangsspannungen genugend klein sein, weil fur die Ausgangsspannungen

u0 = A(u2 − u1)

gilt, wobei die Spannungsverstarkung ohne externe Beschaltung A sehr gross ist. Nor-malerweise ist A sogar so gross (10000 und mehr), dass man fur die Berechnung inguter Naherung

u2 = u1

setzen kann.Da die Eingangswiderstande der beiden Eingange sehr hoch sind, kann man die Ein-gangsstrome meist vernachlassigen, d.h.

i2 = i1 = 0

setzen.

Der Eingangswiderstand eines Operationsverstarker ist unendlich gross, auch kann erals ideale Spannungsquelle angesehen werden, sein Innenwiderstand ist also gleich Null;somit spielt der Lastwiderstand keine Rolle.

5.3.2. Vorgehen bei Berechnungen mit einem Operationsverstarker

R2I1

R2 I1 + I2I2R2

U2

−

+

2R1R1

U1Uaus

Abbildung 5.16.: Beispiel fur die Vorgehensweise

1. Eingangsspannungen aufstellen. Fur das Beispiel mussen wir also die SpannungU+ am nicht-invertierenden Eingang bestimmen. Dies tun wir indem wir dieSpannungen mit den Stromen ausdrucken. Was stets zu beachten ist, ist dasskein Strom in den Operationsverstarker hinein fliesst. Fur das Beispiel ergibtsich:

U1 = I1·R2 + (I1 + I2)·R2

U2 = I2·R2 + (I1 + I2)·R2

U+ = (I1 + I2)R2 =U1 + U2

3

2. Benutzen der Gleichung U1 = U2 und der Tatsache, dass kein Strom in den Ope-rationsverstarker hineinfliesst. Dafur benutzt man am Besten eine Ersatzskizze.

Es muss geltenIi = Io

43

R1Ii

U+

2R1Io

U0

Abbildung 5.17.: Ersatzskizze

Umgeschrieben−U+

R1=

U+ − U0

2R1

Daraus kann man jetzt die Ausgangsspannung in Abhangigkeit der Eingangs-spannungen berechnen.

5.3.3. Beschalteter Operationsverstarker

Meist verwendet man eine Gegenkopplung , d.h. das Ausgangssignal wird uber einenZweipol oder ein Netzwerk an den invertierenden Eingang zuruck gefuhrt. Geschiehtdie Gegenkopplung uber einen einfachen Widerstand, so wird mit diesem im wesentli-chen die Verstarkung eingestellt.

Bei vielen Anwendungen wird der nicht invertierende Eingang auf Masse gelegt unddas Eingangssignal uber einen Zweipol oder ein Netzwerk dem invertierenden Eingangzugefuhrt. Dadurch wird die Schaltungsanalyse besonders einfach, weil man dann furden invertierenden Eingang i1 = 0 und u1 = 0 setzen kann und den nicht invertierendenEingang fur die weitere Rechnung ignorieren kann.

5.3.4. Invertierender Verstarker

Setzen wir den nicht invertierenden Eingang auf Masse und fuhren wir das Eingangssi-gnal dem invertierenden Eingang uber einen Ohm’schen Widerstand Rs zu, so erhaltenwir einen invertierenden Verstarker mit praktisch frequenzunabhangiger Verstarkung.Mit Hilfe eines Gegenkopplungswiderstandes Rf konnen wir die Spannungsverstarkungauf einen nahezu beliebigen Wert einstellen.

−

+

i1RSiS

+−uS

Rf

if

uOu2

u1 = 0

Abbildung 5.18.: Invertierender Verstarker

Wegen i1 = 0 gilt offenbar iS = −if . Setzen wir das Ohm’sche Gesetz fur die beidenWiderstande ein, so folgt wegen u1 = 0 sofort

v = uO/uS = −Rf/RS

Fur eine analoge Inversion, d.h. Vorzeichenumkehr des Eingangssignals setzt man Rf =RS und erhalt mit v = −1 sofort uO = −uS.

44

5.3.5. Nichtinvertierender Verstarker

−

+

RSiS

+−ug

Rg

Rf

if

uO

Abbildung 5.19.: Nicht-invertierender Verstarker

Die Signalspannungsquelle ug mit dem Innenwiderstand Rg wird mit dem nicht in-vertierenden Eingang verbunden. Die Spannungsverstarkung v wird mit einem Gegen-kopplungswiderstand Rf vom Ausgang zum invertierenden Eingang eingestellt; deninvertierenden Eingang legen wir uber einen Widerstand RS auf Masse.

v = 1 +Rf

Rg

5.3.6. Addierer

−

+

if

Rf

u3

i3R3

u1

i1R1

u2

i2R2

uO

Abbildung 5.20.: Addierer

Verbindet man mehrere Eingangsspannungsquellen uber Widerstande mit dem in-vertierenden Eingang und verwendet man ausserdem dasselbe Schema wie beim in-vertierenden Verstarker, so ergibt sich dieselbe Rechnung wie beim invertierendenVerstarker, wenn man iS durch die Summe der Eingangsstrome ersetzt. Z.B. gilt furdrei Eingange:

iS = i1 + i2 + i3

Daraus ergibt sich

uO = −Rf

(u1

R1+

u2

R2+

u3

R3

)

Setzt manR1 = R2 = R3 = Rf

So wird offenbar die Ausgangsspannung bis auf das Vorzeichen gleich der Summeder Eingangsspannungen. Um das Vorzeichen zu korrigieren, ist also nur noch eininvertierender Verstarker mit Spannungsverstarkung v = −1 erforderlich. Zur analogenAddition von beliebig vielen Grossen reichen also zwei Operationsverstarker.

45

5.3.7. Subtrahierer

−

+

R1i1

u1

R3u2

R2i2

Rf

if

u0

Abbildung 5.21.: Subtrahierer

Fur R2 = R1 = R3 = Rf finden wir

uO = u2 − u1

5.3.8. Analoge Integration

Fur die Kapazitat gilt bekannterweise i = C∂u/∂t. Die Spannung u uber der Kapazitatist somit das Integral uber den Strom i.

−

+

i1RSiS

+−uS(t)

Cf

if

uO(t)u2

u1

Abbildung 5.22.: Integration

Fur uO ergibt sich, falls der Kondensator zur Zeit t0 ungeladen war:

uO(t) = − 1

RSCf

∫ t

t0

uS(t′)dt′

D.h. die Ausgangsspannung ist das mit dem Faktor − 1RSCf

skalierte Integral der Ein-

gangsspannung. Um das negative Vorzeichen loszuwerden, kann man wieder einen In-verter nachschalten.

46

5.3.9. Analoge Differentiation

−

+

i1CSiS

+−uS(t)

Rf

if

uO(t)u2

u1

Abbildung 5.23.: Differentiation

Man findet dafur

uO(t) = −CSRf

∂uS

∂t

5.4. Digitale Schaltungen

5.4.1. Inverter

R1U1

−+

RC

Ua

Abbildung 5.24.: Einfacher Inverter in RTL Ausfuhrung

Ist die Eingangsspannung U1 kleiner als etwa 0.6V bei einem Siliziumtransistor, sosperrt dieser, d.h. der Kollektorstrom wird klein und Ua wird nahezu gleich der Ver-sorgungsspannung, d.h. gross. Ist umgekehrt U1 gross, so leitet der Transistor und Ua

wird klein.

47

5.4.2. NAND und NOR

Schaltungstechnisch sind die negierten UND und ODER Verknupfungen, NAND undNOR, einfach zu realisieren. Daraus kann man alle logischen Verknupfungen durchpassende Kombination von NAND und NOR erzeugen.

NOR

R2U2

R1U1

−+

RC

Ua

Abbildung 5.25.: Einfacher NOR Gatter in RTL Ausfuhrung

Offenbar leitet der Transistor wenn wenigstens eine der beiden Eingangsspannungenhoch ist, so dass die Ausgangsspannung dann tief wird. Die Ausgangsspannung ist nurdann hoch, wenn beide Eingange tief sind.

NAND

R2U2

R1U1

−+

RC

Ua

Abbildung 5.26.: Einfacher NAND Gatter in RTL Ausfuhrung

Ist beispielsweise U2 hoch, so leitet der uber R2 angesteuerte Transistor. Damit einKollektorstrom fliessen kann, muss aber auch der andere Transistor leiten. Ua wirdalso nur dann tief, wenn beide Eingangsspannungen hoch sind.

48

6. Leitungen

6.1. Zweidrahtleitungen

6.1.1. Leitungsbelage

Man versucht die Leitung durch folgende Grossen zu beschreiben, die man im Normal-fall numerisch oder experimentell bestimmt:

C ′, G′, R′, L′

und z bezeichnet den Ort auf der Leitung.

6.1.2. Leitungswellen

Von den sogenannten Telegraphengleichungen kommt man auf die entkoppleten Glei-chungen

∂2U

∂z2= (R′G′ + jω(R′C ′ + L′G′) − ω2L′C ′)U = (R′ + jωL′)(G′ + jωC ′)U

∂2I

∂z2= (R′G′ + jω(R′C ′ + L′G′) − ω2L′C ′)I = (R′ + jωL′)(G′ + jωC ′)I

Diese Differentialgleichungen zweiter Ordnung haben Losungen der Form

U(z) = U+0 e−γz + U−

0 e+γz; I(z) = I+0 e−γz + I−0 e+γz

Dabei ist die komplexe Grosse γ = α + jβ die Fortpflanzungskonstante. Wir finden

γ = α + jβ =√

(R′ + jωL′)(G′ + jωC ′)

Der Realteil α wird Dampfungskonstante, der Imaginarteil β Phasenkonstante genannt.

u(z, t) = <(U+0 ejωt−γz + U−

0 ejωt+γz); i(z, t) = <(I+0 ejωt−γz + I−0 ejωt+γz)

Die Terme mit positivem oberem Index beschreiben eine Welle, welche sich mit zu-nehmender Zeit t in positive z Richtung ausbreitet sofern β positiv ist. Wahlt mandie z Richtung so, dass die z Achse von der Signalquelle zum Verbraucher zeigt, sokennzeichnen die positiven oberen Indices die hinlaufende Welle, die negativen Indiceshingegen die rucklaufigen Wellen. Ist die Dampfungskonstante positiv, so nehmen diehinlaufenden Wellen exponentiell mit zunehmendem z ab.Die rucklaufigen Wellen breiten sich in −z Richtung aus und zwar mit derselben Pha-senkonstanten und demselben Dampfungsfaktor wie die hinlaufenden Wellen.

6.1.3. Phasengeschwindigkeit

Bedingung fur Orte gleicher Phase:

βz = ωt oder z = (ω/β)t

Diese Orte bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit

vp = ω/β

in z Richtung. Dasselbe gilt auch fur die Strome.

49

6.1.4. Charakteristische Impedanz Z0

Z0 =U

I=

√

R′ + jωL′

G′ + jωC ′

Dieser Wert hat die Dimension einer Impedanz und ist charakteristisch fur jede Zwei-drahtleitung. Man nennt Z0 deshalb charakteristische Impedanz oder Wellenimpedanz.Fur die rucklaufende Welle ergibt sich dieselbe charakteristische Impedanz wie fur diehinlaufende Welle.

6.1.5. Verlustfreie Leitungen

Sind die Leitungsverluste vernachlassigbar, so kann man R′ = 0 und G′ = 0 einsetzenund erhalt wesentlich vereinfachte Gleichungen. So gilt fur die Fortpflanzungskonstante

γ = jβ = jω√

L′C ′

Die Dampfungskonstante α verschwindet also. Die entsprechenden Wellen breiten sichalso ungedampft aus und die Amplituden am Leitungsende sind ebenso gross wie amLeitungsanfang. Fur die Phasengeschwindigkeit erhalt man

vp = ω/β = 1/√

L′C ′

Auch die charakteristische Impedanz vereinfacht sich:

Z0 =U

I=

√

L′

C ′

Offensichtlich wird diese Grosse reell - wie ein Ohm’scher Widerstand.

6.1.6. Phasengeschwindigkeit und Wellenlange

Es gilt der einfache Zusammenhang zwischen Phasenkonstante und Wellenlange

λ = 2π/β

Da die exakte Berechnung der Wellenlange nicht einfach ist, verwendet man fur grobeAbschatzungen die Freiraumwellenlange λ0, welche sich aus der Lichtgeschwindigkeit(ca. 3· 108 m/s) gemass

λ0 = c/f = 2πc/ω

berechnen lasst.

6.2. Stossstellen und Abschlusse

Verbindet man unterschiedliche Leitungen miteinander, so treten vor allem am Uber-gang (Stossstelle) Phanomene auf.

6.2.1. Stossstellen von Zweidrahtleitungen

Werden zwei Leitungen an einer Stossstelle (z = 0) verbunden und sind die charakte-ristischen Impedanzen Z1 und Z2 der beiden Leitungen unterschiedlich, so wird nichtdie ganze Welle transmittiert sondern es wird auch noch eine Welle reflektiert . Fur denStrom der transmittierten oder der reflektierten Welle in Abhangigkeit vom Strom dereinfallenden Welle gilt:

I+2 (0) = T I+

1 (0), wobei T =2Z1

Z1 + Z2

transmittierte Welle

I−1 (0) = Γ I+1 (0), wobei Γ =

Z2 − Z1

Z1 + Z2

reflektierte Welle

50

Dabei ist T der Transmissionskoeffizient und Γ der Reflexionskoeffizient . T = 1 undΓ = 0 gilt genau dann, wenn die beiden charakteristischen Impedanzen Z1 und Z2

gleich sind. Ist dies der Fall, so sind die Leitungen angepasst und es entsteht keineReflexion an der Stossstelle.

Da sich die transmittierten Wellen mit der Fortpflanzungskonstanten γ2 in +z Rich-tung ausbreiten, gilt fur diese

I+2 (z) = T I+

1 (0)e−γ2z

Die reflektierten Wellen hingegen breiten sich in −z Richtung aus, so dass

I−1 (z) = Γ I+1 (0)e+γ1z

6.2.2. Leitungsabschluss

Im Wechselstromfall nehmen wir an, der Sender konne durch eine Spannungsquelle U q

mit Impedanz Zq und der Empfanger durch eine einfache Lastimpedanz ZL dargestelltwerden. Fur die Reflexionskoeffizienten bei der Last bzw. Quelle gilt:

ΓL =ZL − Z

ZL + Z, Γq =

Zq − Z

Zq + Z

wobei Z die charakteristische Impedanz der Leitung ist.

Damit ergibt sich offenbar an den Leitungsenden keine Reflexion, wenn die Impedan-zen angepasst sind, d.h. fur ZL = Z bzw. Zq = Z.

Totalreflexion tritt auf, wenn Γ = −1 fur ZL = 0 bzw. Zq = 0 (Kurzschluss) oderΓ = +1 fur ZL = ∞ bzw. Zq = ∞ (Leerlauf).

Fur den Strom und die Spannung auf der Leitung gilt nachdem die reflektierte Wellewieder vorbei ist:

U = U+ + ΓU+︸ ︷︷ ︸

U−

I = I+ − ΓI+︸︷︷︸

I−

6.2.3. Eingangsimpedanz

Betrachten wir eine verlustfreie Leitung (α = 0, γ = jβ) mit charakteristischer Im-pedanz Z = R, welche auf der einen Seite durch eine sinusformige Spannungsquel-le angeregt wird und auf der anderen Seite mit einer Impedanz ZL = RL belastetwird. Ausserdem sei die Leitung eingangsseitig angepasst, d.h. der Innenwiderstandder Quelle sei ebenfalls R.

U q

R

RLR, β, α = 0

−l 0z

Abbildung 6.1.: Verlustlose Leitung angeregt durch eine angepasste Wechselspannungsquelle,belastet mit einem beliebigen Widerstand.

51

ΓL = Γ(0) =RL − R

RL + R

Die Reflexion am Lastwiderstand erzeugt eine rucklaufige Welle mit U−, I−, welche sichder hinauflaufenden Welle mit U+, I+ uberlagert. Damit ergibt sich fur die Spannungund den Strom langs der Leitung

U(z) = U+e−jβz + U−e+jβz = U+(e−jβz + ΓLe+jβz) = U+e−jβz(1 + ΓLe2jβz)

I(z) =U+e−jβz − U−e+jβz

Z= U+ e−jβz − ΓLe+jβz

Z=

U+

Ze−jβz(1 − ΓLe2jβz)

Am Eingang messen wir die Eingangsimpedanz

Zin =U(−l)

I(−l)=

U+(e+jβl + ΓLe−jβl)

I+(e+jβl − ΓLe−jβl)= Z

e+jβl + ΓLe−jβl

e+jβl − ΓLe−jβl

Umgeformt ergibt dies:

Zin = Z· ZL + jZ tan(βl)

Z + jZL tan(βl)

Die normalisierte Reaktanz ist definiert als:

Xin = −jZin

Z= −j· ZL + jZ tan(βl)

Z + jZL tan(βl)

Die normalisierte Suszeptanz ist definiert als:

Bin = −jZ

Zin

= −j· Z + jZL tan(βl)

ZL + jZ tan(βl)

6.2.4. Stehende Wellen

Fur den Betrag der Spannung auf der Welle gilt:

|U(z)| = |U+||1 + |ΓL|ej(Φ−2βz)|

und fur den Strom:

|U(z)| = |U+

Z||1 − |ΓL|ej(Φ−2βz)|

Spannungsmaxima langs der Leitung treten offenbar dann auf, wenn ej(Φ−2βz) = 1wird und Spannungsminima wenn ej(Φ−2βz) = −1.

Aus der Distanz des ersten Spannungsmaxima vom Leitungsende lasst sich die Phase

Φ des Reflexionsfaktors ablesen. Ist die Abschlussimpedanz - ebenso wie die Impedanzder Leitung - reell, so wird der Reflexionsfaktor reell und somit Φ = 0 wenn der Refle-xionsfaktor positiv ist, und Φ = π wenn der Reflexionsfaktor negativ ist. Damit findetman am also am Leitungsende entweder ein Spannungsmaxima oder ein Spannungs-minimum.Aus dem Ort der Spannungsmaxima lasst sich aber auch die Wellenlange auf derLeitung ablesen. Fur die Distanz d benachbarter Maxima (oder Minima) gilt:

2βd = 2π ⇒ λ = 2d

Bei Totalreflexion (Γ = −1 oder + 1) ist das Spannungs- und Stromminima = 0. Esscheint auch so, dass sich die Welle nicht bewegt, man spricht daher von einer stehen-

den Welle.

52

Ist die Leitung ideal abgeschlossen, so existiert keine reflektierte Welle. Die Spannungs-und Strombetrage langs der Leitung sind konstant.

Das Verhaltnis von Spannungsmaxima zu Spannungsminima wird definiert als

SWR =Umax

Umin=

1 + |ΓL|1 − |ΓL|

SWR ist positiv reell und liegt zwischen 1 (idealer Abschluss) und unendlich (Total-reflexion am Leitungsende). Aus SWR findet man den Betrag des Reflexionsfaktors:

|ΓL| =SWR − 1

SWR + 1

6.2.5. Mehrfachreflexionen

Sind an beiden Leitungsenden Fehlanpassungen vorhanden, so ergeben sich Mehrfach-reflexionen, d.h. wiederholt hin- und herlaufende Wellen.Die Signale auf Leitungen mit Mehrfachreflexionen konnen mit unendlichen Reihendargestellt werden. Da die Betrage der Reflexionskoeffizienten kleiner als 1 sind, neh-men die Werte mit jeder zusatzlichen Reflexion ab. Oft genugt es, nur wenige Terme zuberucksichtigen, da die Reihen rasch konvergieren, wenn die Leitungen einigermassengut angepasst sind.

53

A. Einheiten

A.1. Vielfache von Einheiten

Faktor Vorsatz Zeichen Faktor Vorsatz Zeichen

103 Kilo k 10−3 Milli m

106 Mega M 10−6 Mikro µ

109 Giga G 10−9 Nano n

1012 Tera T 10−12 Piko p

Tabelle A.1.: Vielfache von Einheiten

A.2. Wichtige Einheiten in der Elektrotechnik

Einheit fur Bezeichnung Zeichen

Strom Ampere A

Spannung Volt V

Leistung Watt W

Widerstand Ohm Ω

Leitwert Siemens S

Kapazitat Faraday F

Induktivitat Henry H

Tabelle A.2.: Einheiten in der Elektrotechnik

54

B. Trigonometrie

B.1. Funktionswerte fur einige Winkel

α 0 π6

π4

π3

π2

sin α 0 12

√2

2

√3

2 1

cosα 1√

32

√2

212 0

tan α 0√

33 1

√3 −

B.2. Trigonometrische Kurven

-π2 -π

4π4

π2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y = tan x

π

2π 3π

22π

-1

0

1

y

x

y = sin x

π

2π 3π

22π

-1

0

1

y

x

y = cosx

Abbildung B.1.: Trigonometrische Kurven

55

Index

Ubertragungsfunktion, 31

Abschlusse, 50Addierer, 45Admittanz, 29aktive, 6Amplitude, 25Amplitudengang, 31angepasst, 51Arbeit, 23Arbeitspunkt, 38

Basis, 36Basisschaltung, 41Basisstrom, 36Blindleistung, 27Blindleistung, Zeitwert, 27Blindspannung, 27Blindstrom, 27Bodediagramm, 32Bruckengleichrichter, 35

Charakteristische Impedanz, 50

Dampfungskonstante, 49Dezibel, 32Differentiation, Analoge, 47Differenzverstarker, 42Digitale Schaltungen, 47Diode, 35Dioden, ideale, 8Dioden, reale, 8Dualitatsprinzip, 22Durchlassrichtung, 8Durchlassstrom, 8

Effektivwerte, 26Eingangsimpedanz, 51, 52Einweggleichrichter, 35Emitter, 36Emitterfolger, 41Energie, 23

Farad, 19Filter, Passive, 31Fortpflanzungskonstante, 49

Gute, 30Gegenkopplung, 40, 44Gleichrichterschaltung, 35Gleichstrom, 6Grosssignal, 37

Halbleiterschaltungen, 35harmonische Funktion, 25Henry, 21Hochpass, 31

Impedanz, 29Induktivitat, 21, 29, 30Innenleitwert, 7, 12Innenwiderstand, 7, 12Integration, Analoge, 46Inverter, 47Invertierender Verstarker, 44Invertierer, 42

Kapazitat, 19, 29Kennlinien, 6Kirchhoffsche Gesetze, 8Kleinsignal, 38Knotenanalyse, 15Knotengleichung, 8Kollektor, 36Kollektorstrom, 36Kollktorschaltung, 41Komplexe Darstelleung, 25Kondensator, 19Kreisfrequenz, 25

Leistung, 6, 23Leistung, mittlere, 26Leistung, momentane, 23Leitungen, 49Leitungen, verlustfreie, 50Leitungsabschluss, 51Leitungsbelage, 49Leitungswellen, 49Leitwert, 6, 7Linearisierung, 6Logische Schaltungen, 36

Maschenanalyse, 17

56

Maschengesetz, 8Maxwellsche Gesetze, 5Mehrfachreflexion, 53

NAND, 48Nichtinvertierender Verstarker, 45NOR, 48Norton, 12

Ohm, 6Operationsverstarker, 41Ortskurven, 33

Parallelschaltung, 9, 24passive, 6Periode, 25Phase, 25Phasengang, 31Phasengeschwindigkeit, 49, 50Phasenkonstante, 49Potential, 5

Quellen, verlustbehaftete, 7Quellenuberlagerung, 15Quellenumwandlung, 7, 12

Reaktanz, 29, 52reflektiert, 50Reflexionskoeffizient, 51

Scheinleistung, 26Schwingkreise, 30Serieschaltung, 8, 24Siemens, 6Spannung, 5Spannungspfeil, 6Spannungsquelle, 28Spannungsquelle, ideale, 6, 9, 11Spannungsquelle, verlustbehaftete, 12Spannungsteiler, 9Speisespannung, 41Sperrbereich, 8Sperrstrom, 8Spulen, 21Stehende Wellen, 52Stern-Dreieck Umwandlung, 11Stossstellen, 50Strom, 5Strompfeil, 6Stromquelle, 28Stromquelle, ideale, 6, 9, 11Stromquelle, verlustbehaftete, 12Stromteiler, 10Subtrahierer, 46Superpositionsprinzip, 15Suszeptanz, 52

SWR, 53Systematische Methoden, 15

Telegraphengleichung, 49Thevenin, 12Tiefpass, 32Totalreflexion, 51Transistoren, Bipolare, 36Transmissionskoeffizient, 51transmittiert, 50

Verbraucherpfeilsystem, 6Verstarker, 38Verstarkung, 31Verstimmung, 30

Wechselstrom, 25Wellenimpedanz, 50Wellenlange, 50Widerstand, ohm’scher, 6, 7, 9, 10, 28,

29Wirkleistung, 26Wirkleistung, Zeitwert, 27Wirkspannung, 27Wirkstrom, 27

Zeiger, 25Zeitkonstante, 20Zenerdioden, 8Zenereffekt, 8Zenerspannung, 8Zweidrahtleitungen, 49Zweipole, 6Zweitore, 31

57