Erstellung einer ofﬁziellen österreichischen...

Erstellung einer offiziellenösterreichischen Rententafel

und deren Anwendung auf ein stochastisches Lebensversiche rungsmodell

Prasentation beim Workshop fur junge Mathematiker der

Deutschen Aktuarsakademie (DAA)

Reisensburg, Gunzburg, 22. September 2007

Reinhold KainhoferInstitut f. Wirtschaftsmathematik, FG Finanz- und Versicherungsmathematik, TU Wien

[email protected]

Erstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.1/44

Inhalt des Vortrages

• Erstellung der Rententafel AVÖ 2005R◦ Daten◦ Erstellung der Tafel

• Basistafel, Selektionsfaktoren, Trends, Resultierende q(x) und q(y)◦ Vergleiche (Lebenserwartung, Barwert, Prämie)

• Sofort beginnende Leibrenten (zeitliche Entwicklung)• Aufgeschobene Renten (mit Rückgewähr)

◦ Änderungen gegenüber AVÖ 1996R◦ Diverse Bemerkungen

• Das Markov-Modell in der Lebensversicherung◦ Gewinnbeteiligung◦ numerische Ergebnisse

• Diskussion / Fragen / Bemerkungen


Sind neue Tafeln n otig?

Die letzten Rententafeln AVÖ 1996R haben ihr beabsichtigtes Alter erreicht(typischerweise 10 Jahre).

Manche Annahmen der AVÖ 1996R sind nicht eingetroffen:• Zu wenige Sicherheitsabschläge für Modellrisiko / Parameterunsicherheit.• Trendabschwächung nicht bemerkbar - im Gegenteil (bei hohen Altern).• Benutzte Selektionseffekte für Männer scheinen zu gering.

Neue deutsche Tafeln DAV 2004-R im Vergleich (NEP einer 20 Jahreaufgeschobenen Rente, Bezug ab 65 Jahre, 2.75% Zins):

AVÖ 1996R DAV 2004-R AVÖ in % von DAV

Männer 8.282 10.522 78.7%

Frauen 10.188 11.691 87.1%


Allgemeines zur Tafelerstellung

Ziel: Erstellung einer Generationentafel (wie AVÖ 1996-R):

• ähnlicher Aufbau wie AVÖ 1996R hat (damit leicht zu implementieren)• an aktuelle Daten angepasst• langlebig (damit nicht in 10 Jahren wieder stark nachreserviert werden muss)

• Sicherheitszuschläge (Modellrisiko, Parameterunsicherheit, etc.)

Allgemeiner Ablauf:

1. Grundlagen 2. Ordnung (Basistafel, Trend): Tatsächliche Versicherten-sterblichkeit (Daten der Statistik Austria und Selektionseffekte wie in D)

2. Grundlagen 1. Ordnung: zusätzliche Sicherheitsabschläge fürModellrisiko, Parameterunsicherheit, etc.

Für das Schwankungsrisiko soll auch diesmal kein Effekt eingebaut werden,die Argumentation ist gleich wie bei der AVÖ 1996R.Literatur: R. Kainhofer, M. Predota, U. Schmock: The new Austrian annuity valuation table

AVÖ 2005R, Mitteilungen der AVÖ, Heft 13, S.55–136, April 2006.


Datenmaterial

Bevölkerungssterblichkeit (Statistik Austria)• Volkssterbetafeln der Volkszählungen seit 1870 (Alter bis 90 bzw. 100).• Jährlich fortgeschriebene rohe Sterbetafeln seit 1947 (bis 2002).

Altersgrenze 95 Jahre.• Sterbetafel der Volkszählung 2000/02 bis zum Alter von 112 Jahren.

Rentnerselektionseffekte• Keinerlei Aufzeichnungen in Österreich vorhanden. Auch Daten der

gesetzlichen Sozialversicherung standen diesmal nicht zur Verfügung.• In Deutschland Aufzeichnungen der GenRe und der Münchner Rück über

Rentenversicherungen der Jahre 1995 bis 2002. Außerdem Daten dergesetzlichen Rentenversicherung von 1986 bis 2002.

• In der Schweiz Beobachtungsdaten der Rentenversicherungen seit 1937vorhanden.


Allgemeine Formel der Rententafel

Formel für Sterbewahrscheinlichkeit qJ(x) einer x-jährigen Person im Jahr J :

qJ(x) = fSel(x) · q2001(x)︸︷︷︸q(2001)

G|E(x)...Basistafel 2001

·e−G(J−2001)λx [·fSR(x)], (1)

q2001(x) . . .offizielle Sterbetafel 2000/02

fSel(x) . . .Selektionsfaktor für Person im Alter x

G(J − 2001) . . .langfristige Trendabschw. (in 100 J. halbiert, Grenzsterbl.)

λx . . .jährliche Verbesserung der Sterblichkeit (aus Trend seit 1972)

fSR(x) . . .Abschlag für Schwankungsrisiko, nicht in den Tafeln

Trend ist Modifikation des Mittelfristtrends (seit 1972) der Gesamtbevölkerung,plus Sicherheitszuschläge (Modell-, Parameterunsicherheit) und Selektion.

λx sind konstant und tabelliert, ebenso Basistafel 2001 q(2001)G|E .


Selektionsfaktoren

Daten nur aus Deutschland vorhanden, in der Schweiz keine Untersuchungen.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Selektionsfaktoren AVÖ 2005R, Einzel- und Gruppentafel

DAV 04R F

DAV 04R M

AVÖ 05R F Gruppe

AVÖ 05R F

AVÖ 2005R M Gruppe

AVÖ 2005R M

Form ist 1) mathematisch einfach, 2) passt gut zu deutschen Kurven, 3) beiAVÖ 1996R als guter Fit der Daten der gesetzlichen SV in Österreich erhalten


Weitere Bemerkungen zu den Selektionsfaktoren

• Selektion der Frauen deutlich geringer als bei M. Mögliche Gründe:1. Frauen haben schon eine geringe Sterblichkeit, daher keine starke

Selektion mehr möglich.2. Die Selektion orientiert sich stark am Ehemann, da viele Paare eine

Rentenversicherung gemeinsam abschließen. Der Einfluss der Frau istdaher nicht so stark. Dies kann (bzw. wird voraussichtlich) sich in derZukunft ändern, weshalb für Frauen die Selektionseffekte zusätzlicherhöht werden.

• In D zwei Tafeln: Selektionstafel (nur für Bezugszeit), in den ersten 5Jahren des Bezugs mit zusätzlichem Selektionseffekt a (daher scheinbargeringere Selektionsfaktoren), und Aggregattafel über den ganzenBestand (Bezug und Aufschub). Letztere wurde für die AVÖ 2005R benutzt(Ansonsten würde für jedes Rentenbeginnalter eine eigene Tafel benötigt).

aFaktor im 1. Jahr 0.67 (M) bzw. 0.71 (F), im 2.-5. Jahr 0.88 (M) und 0.80 (F)


Basistafel 2000/02

Als Basistafel q2001(x) wird die Volkszählungstafel 2000/02 benutzt, die bis zumAlter 112 Jahre vorliegt. Darauf werden die Selektionsfaktoren angewendet:

20 40 60 80 100 120Alter

-8

-6

-4

-2

Log qx Basistafel nach Volkszählung 2000�02

Frauen mit Selektion

Männer mit Selektion

Frauen Gesamtbev.

Männer Gesamtbev.


Extrapolation fur sehr hohe Alter

Der Vollständigkeit halber, genaue Wahl hat praktisch keinen Einfluss (außerauf Reserven, wenn jemand über 110 Jahren im Bestand).

80 90 100 110 120 130Alter x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ste

rbew

ahrs

chei

nlic

hkei

tqx

Extrapolation für hohe Alter, Frauen, Daten der Volkszählung 2000�02

Logistisch

Kannisto c¹0

Kannisto c=0

Weibull

Heligmann-Pollard

Quadratisch

Gompertz

Beobachtet

Bemerkung: Die Sterbewahrscheinlichkeiten für hohe Alter sind nach derneuen Volkszählung sogar gestiegen!


Trendentwicklung (Volksz ahlungen), M anner

20 40 60 80 100Alter

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Λx Sterblichkeitsverbesserungen bis 2002, Volkszählungsdaten , Männer

Seit 1981

Seit 1971

Seit 1950

Seit 1870

• "Mulde" bei 40-60 Jahren nur im Mittelfristtrend• kein Trendrückgang


Trendentwicklung (Volksz ahlungen), Frauen

20 40 60 80 100Alter

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Λx Sterblichkeitsverbesserungen bis 2002, Volkszählungsdaten , Frauen

Seit 1981

Seit 1971

Seit 1950

Seit 1870

• "Mulde" bei 40-60 Jahren, entspricht fast Langzeittrend!• starke Ausprägung des "Buckels" für hohe Alter!


Rohtrend seit 1972: Lee-Carter Methode

Rohdaten: jährlich fortgeschriebene Sterbetafeln bis 95 Jahre der StatistikAustria, 1972 bis 2002. (Daten seit 1947 vorhanden)Bi-lineare Zerlegung der Sterbewahrscheinlichkeit in der Form:

log q(t)x = αx + βxκt + ε(t)

x

αx. . . allgemeine Form der Sterblichkeitskurveκt. . . Zeittrend, als Zeitreihe angesehenβx. . . altersabhängiger Einfluss des Trends

ε(t)x . . . normalverteilter Fehlerterm

• Bestimmung der αx als Mittelwert über den Betrachtungszeitraum.

• Z(t)x = q

(t)x − αx als Matrix aufgefasst, Singulärwertzerlegung

(Z = L · S · R), deren erster Term genau die Zerlegung in βxκt liefert.Entspricht "ordinary least-squares" Fit an die Matrix.

• κt als Zeitreihe angesehen (Random Walk mit Drift), die linear extrapoliertwerden kann: κ2001+n = κ2001 + n∆κ


Lee-Carter Zerlegung

• Lee-Carter Methode vor allem in den USA und in GB standardmäßig.• Lineare Extrapolation (ARIMA(0,1,0) Zeitreihe) entspricht dem Modell der

AVÖ 1996R und der DAV 2004-R für Jahr J :

q(J)x = exp (αx + βxκt) = exp (αx + βxκ2001 + βx∆κ{J − 2001})

= q(2001)x exp (λx{J − 2001})

20 40 60 80Alter x

-6

-4

-2

Αx Werte des Αx Vektors

Frauen

Männer

20 40 60 80Alter x

0.005

0.01

0.015

0.02

Βx Werte des Βx Vektors

FrauenMänner

1977 1982 1987 1992 1997Jahr t

-40

-30

-20

-10

10

20

30

Κt Werte des Κt Vektors

FrauenMänner


Extrapolationsparameter λx aus Lee-Carter

Aus der Lee-Carter Zerlegung ergeben sich folgende Parameter für dieGesamtbevölkerung, die noch an die Menge der Rentenversichertenangepasst werden müssen. Zum Vergleich sind hier schon die Parameter derAVÖ 1996R angegeben:

20 40 60 80 100Alter

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Λx Λx aus Lee-Carter, Männer

Rohtrend aus Lee-CarterAVÖ 1996R, Kurzfristtrend

AVÖ 1996R, Langfristtrend

20 40 60 80 100Alter

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Λx Λx aus Lee-Carter, Frauen

Rohtrend aus Lee-CarterAVÖ 1996R, Kurzfristtrend

AVÖ 1996R, Langfristtrend


Trend 2. Ordnung: tats achlicher Versichertentrend

• Rentenversicherte haben höheren Trend als Gesamtbevölkerung!• In CH (aus Daten seit 1958): Männer doppelt so starke Verbesserung,

Frauen nur etwa 1.12 mal so starke Verbesserung. Z.B. für 70-jährigeMänner:

Gesamtbevölkerung λ70 = 1.33%Rentenversicherte λ70 = 2.41%

• In D: Vergleich Arbeiter vs. Angestellte (gesetzliche Rentenversicherung):Zuschlag von 0.2% auf Trend der Gesamtbevölkerung.

• Im Gegensatz zu D wird kein Trendrückgang angenommen (keineAnzeichen erkennbar, Trend hat in den letzten 10 Jahren sogarzugenommen). Dies entspricht zum Teil auch schon einem gewissenSicherheitszuschlag.


Versichertentrend λx

• Trend für Gesamtbevölkerung aus Rohdaten seit 1972• Um 0.2% additiv nach oben verschoben (soziale Selektion): roher

Versichertentrend• Keine kurzfrist. Trendabschwächung. Langfristig abschwächen des Trends

(in 100 Jahren halbiert), dadurch erhält man Grenzsterbetafel. GeringerEinfluss auf Renten in der Lebensdauer der AVÖ 2005R.

• Buckel bei hohen Altern um 5 Jahre nach oben verschoben (medizinischerFortschritt, bessere Altenversorgung)

• Mulde in den Trends linearisiert (Monotonie!)• Für Modellrisiko (Bestimmungsfehler, bzw. Verstärkung): 0.3% additiver

Aufschlag a, dafür kein zusätzlicher Abschlag auf Basistafel. (Verlegt dieSicherheit in die Zukunft.)

• Keine Beschränkung nach unten (in D: 1% führt zu Problemen ab 90 J.)

aIn D: Bestimmt durch einen Knick in den kommenden 50 Jahren.


Langfristige Trendabschw achung

• Trend λx pro Jahr nicht zeitlich konstant. Jährliche Verbesserung nimmt

nicht-linear ab auf λ(1)x (t) = λx

1+(t/t1/2)2im Jahr 2001 + t mit t1/2 = 100.

• Kumulierter (aufintegrierter) Trend von 2001 bis ins Jahr 2001 + t:

λx =t1/2

tarctan

(t

t1/2

)λ(orig)

x bzw. G(t) = t1/2 arctan

(t

t1/2

)

• Grenzsterbetafel: G(t)t→∞−−−→ π

2 t1/2. Mittl. Lebenserwartung: ≈ 102 Jahre

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1rel. Korrektur des jährlichen Trends

20 40 60 80 100

20

40

60

80

100Abschwächung des kumulierten Trends

langfrist. Abschw., GHtL wie oben

keine Abschw., GHtL=t


Trendvergleich AV O 2005R mit AV O 1996R• Starke Trendzunahme (vor allem im Altersbereich 60 bis 90 Jahre)

gegenüber der AVÖ 1996R.• Für Einzel- und Gruppentafel wird derselbe Trend benutzt.

20 40 60 80 100 120

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

AVÖ 2005R, Trend Männer

Langfristtrend AVÖ 1996R

Kurzfristtrend AVÖ 1996R

roher Versichertentrend, Männer

AVÖ 2005R Männer

20 40 60 80 100 120

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

AVÖ 2005R, Trend Frauen

Langfristtrend AVÖ 1996R

Kurzfristtrend AVÖ 1996R

roher Versichertentrend, Frauen

AVÖ 2005R Frauen


Generationenensterbetafeln 1915 und 1945

95 100 105 110 115 120Alter

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

Log qx Tafel für Geburtsjahrgang 1915

ERF 99 Frauen

ERM 99 Männer

DAV 2004-R Frauen

DAV 2004-R Männer

AVÖ 2005 Frauen

AVÖ 2005 Männer

AVÖ 1996R Frauen

AVÖ 1996R Männer

70 80 90 100 110 120Alter

-6

-5

-4

-3

-2

-1


ERF 99 Frauen

ERM 99 Männer

DAV 2004-R Frauen

DAV 2004-R Männer

AVÖ 2005 Frauen

AVÖ 2005 Männer

AVÖ 1996R Frauen

AVÖ 1996R Männer

• Sterbewahrscheinlichkeiten nehmen tw. im Vergleich zur AVÖ 1996Rsogar zu. Dies ist auch auf die Steigung (in den Altern über 100 Jahren) inden offiziellen Sterbetafeln zurückzuführen.

• Sterbewahrscheinlichkeiten fast ausschließlich über deutschen WertenErstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.20/44

Generationenensterbetafeln 1965 und 2005

60 80 100 120Alter

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1


ERF 99 Frauen

ERM 99 Männer

DAV 2004-R Frauen

DAV 2004-R Männer

AVÖ 2005 Frauen

AVÖ 2005 Männer

AVÖ 1996R Frauen

AVÖ 1996R Männer

20 40 60 80 100 120 140Alter

-10

-8

-6

-4

-2


ERF 99 Frauen

ERM 99 Männer

DAV 2004-R Frauen

DAV 2004-R Männer

AVÖ 2005 Frauen

AVÖ 2005 Männer

AVÖ 1996R Frauen

AVÖ 1996R Männer

• Logarithmen der Sterbewahrscheinlichkeiten nicht mehr linear (im Bereich30 bis 80/90 Jahre). Diese Eigenschaft wäre für Altersverschiebungerwünscht...


Entwicklung der Lebenserwartung

Lebenserwartung von Rentenversicherten (Basistafel und Trend 2. Ordnung):

2000 2020 2040 2060Year t

10

20

30

40

Years Future lifetime of a 60-year old male, Quantiles

2000 2020 2040 2060Year t

10

20

30

40

Years Future lifetime of a 60-year old male, Quantiles

90%-quantile10%-quantileFut. lifetime, AVÖ 1996R90%-quantile10%-quantileFut. lifetime, AVÖ 2005R

2000 2020 2040 2060Year t

10

20

30

40

Years Future lifetime of a 60-year old female, Quantiles

2000 2020 2040 2060Year t

10

20

30

40

Years Future lifetime of a 60-year old female, Quantiles

90%-quantile10%-quantileFut. lifetime, AVÖ 1996R90%-quantile10%-quantileFut. lifetime, AVÖ 2005R

• Unterschied im Trend stark bemerkbar• Bei Männern Unterschied in den Selektionsfaktoren


Internationaler Vergleich

2000 2020 2040 2060

10

20

30

40

Fut. lifetime, 60-year old female, AVÖ 2005R vs. DAV 2004-R

2000 2020 2040 2060

10

20

30

40

Fut. lifetime, 60-year old female, AVÖ 2005R vs. DAV 2004-R

90%-quantile10%-quantileFut. lifetime, DAV 2004-R90%-quantile10%-quantileFut. lifetime, AVÖ 2005R

2000 2020 2040 2060

10

20

30

40

Fut. lifetime, 60-year old female, AVÖ 2005R vs. ERF 1999

2000 2020 2040 2060

10

20

30

40

Fut. lifetime, 60-year old female, AVÖ 2005R vs. ERF 1999

90%-quantile10%-quantileFut. lifetime, ERF 199990%-quantile10%-quantileFut. lifetime, AVÖ 2005R

2000 2020 2040 2060

10

20

30

40

50Fut. lifetime, 60-year old male, AVÖ 2005R vs. DAV 2004-R

2000 2020 2040 2060

10

20

30

40

50Fut. lifetime, 60-year old male, AVÖ 2005R vs. DAV 2004-R

90%-quantile10%-quantileFut. lifetime, DAV 2004-R90%-quantile10%-quantileFut. lifetime, AVÖ 2005R

2000 2020 2040 2060

10

20

30

40

50Fut. lifetime, 60-year old male, AVÖ 2005R vs. ERM 1999

2000 2020 2040 2060

10

20

30

40

50Fut. lifetime, 60-year old male, AVÖ 2005R vs. ERM 1999

90%-quantile10%-quantileFut. lifetime, ERM 199990%-quantile10%-quantileFut. lifetime, AVÖ 2005R


Schwankungsrisiko?

• Das Schwankungsrisiko ist in den Tafeln nicht berücksichtigt.Argumentation dafür wie bei AVÖ 1996R.

• Gründe:◦ Keine Daten in Österreich vorhanden, geringe Bestände◦ Statistischer Schwankungszuschlag wäre zu groß!◦ Wegen geringer Bestänge hängt Zuschlag stark von der Größe des

Unternehmens ab ⇒ Kleine Unternehmen würden benachteiligt.◦ Die Schadensverteilung ist sehr schief, das Risikokapital ist (im

Vergleich zu Ablebensversicherungen) relativ gering.◦ Geringer Einfluss auf die Barwerte

• Berücksichtigung des SR in entsprechender Höhe ist Aufgabe desjeweiligen Aktuars (wie bei AVÖ 1996R).


Vergleich ausgew ahlter Barwerte und Pr amien

• Abschluss der Rente (wenn nicht anders angegeben) 2005• Zinssatz: 2.75% (wie auch in der Publikation zur DAV 2004-R

angenommen)• Zum Vergleich jeweils BW in folgender Reihenfolge:

◦ AVÖ 2005R◦ AVÖ 1996R◦ DAV 2004-R (Deutschland)◦ ERM/F 1999 (Schweiz)◦ Steigung der AVÖ 2005R im Verhältnis zu AVÖ 1996R

• Achtung: DAV 2004-R und ERM/F 1999 beinhalten jeweils einen Zuschlagfür das statistische Schwankungsrisiko, die AVÖ 2005R nicht!

• Durch Rückgewähr ist Sterblichkeit in Aufschubzeit fast irrelevant =⇒Prämen proportional zu NEP von sofort beginnender Leibrente


Sofort beginnende LR an 60-j ahrigen Mann

2020 2030 2040 2050 2060 2070

18

19

20

21

22

23

24

25

BW einer sofort beg. LR, Männer 60

AVÖ 1996R

DAV 2004-R

ERM�F 1999

AVÖ 2005R Gruppe

AVÖ 2005R

• BW steigen gegenüber AVÖ 1996R stark an, liegen stark unter DAV2004-R und ERM 1999.

• DAV 2004-R hat einen noch stärkeren Trend als AVÖ 2005RErstellung einer offiziellen osterreichischen Rententafel – p.26/44

Sofort beginnende LR an 60-j ahrige Frau

2020 2030 2040 2050 2060 2070

21

22

23

24

25

BW einer sofort beg. LR, Frauen 60

AVÖ 1996R

DAV 2004-R

ERM�F 1999

AVÖ 2005R Gruppe

AVÖ 2005R

• BW steigen gegenüber AVÖ 1996R stark an, liegen stark unter DAV 2004-R und ERF 1999.

• DAV 2004-R hat einen noch stärkeren Trend als AVÖ 2005R


Altersabh angigkeit, sof. beg. LR (2005), M anner

AVÖ05R AVÖ96R DAV04R DAV94R ERM99 AVÖ05�96 AVÖ05�DAV AVÖ05�ERM DAV04�94R

40 27.0346 25.1816 27.5123 25.9547 28.0245 1.07359 0.982639 0.964678 1.06001

45 25.4336 23.4807 25.9158 24.2315 26.5164 1.08317 0.981394 0.959167 1.06951

50 23.6311 21.6241 24.1121 22.3367 24.7326 1.09281 0.98005 0.955463 1.07948

55 21.6295 19.5941 22.0896 20.2556 22.6861 1.10388 0.979171 0.953423 1.09054

60 19.3753 17.3832 19.8115 18.0291 20.3975 1.11459 0.97798 0.949883 1.09886

65 16.8503 15.022 17.2864 15.6385 17.8937 1.12171 0.974775 0.94169 1.10537

70 14.1686 12.6066 14.6298 13.1707 15.2434 1.12391 0.968474 0.929491 1.11079

75 11.4183 10.1887 11.9434 10.7386 12.5572 1.12069 0.956038 0.909305 1.11219

80 8.73343 7.93032 9.3285 8.56069 9.98444 1.10127 0.936209 0.874703 1.08969

85 6.3626 6.02063 7.02915 6.84235 7.68164 1.0568 0.905173 0.828286 1.0273

90 4.42705 4.4903 5.28961 5.67053 5.76763 0.985913 0.836932 0.767567 0.932826

95 2.99632 3.29145 4.1158 4.84383 4.29731 0.910333 0.728003 0.697253 0.8497

100 2.11175 2.46647 3.33531 4.11783 3.21362 0.856185 0.63315 0.657127 0.809968

• BW nimmt bei hohen Altern wieder ab im Vergleich zur AVÖ 1996R.• Prozentuelle Steigung etwas stärker als in D (DAV 1994-R hatte schon

Risikozuschläge).• BW liegt deutlich unter Werten nach DAV und ERM.


Altersabh angigkeit, sof. beg. LR (2005), Frauen

AVÖ05R AVÖ96R DAV04R DAV94R ERF99 AVÖ05�96 AVÖ05�DAV AVÖ05�ERM DAV04�94R

40 28.1574 27.1611 28.657 27.7042 28.5863 1.03668 0.982565 0.984997 1.03439

45 26.7054 25.6344 27.2318 26.2046 27.2174 1.04178 0.98067 0.98119 1.0392

50 25.0496 23.9243 25.6028 24.516 25.6546 1.04703 0.978391 0.976415 1.04433

55 23.1662 22.0037 23.7407 22.5871 23.8503 1.05283 0.9758 0.971316 1.05108

60 20.9987 19.8363 21.6178 20.4101 21.761 1.0586 0.971363 0.964971 1.05917

65 18.5128 17.4169 19.2246 17.9751 19.3658 1.06292 0.962973 0.955952 1.06951

70 15.7554 14.8111 16.5799 15.3673 16.675 1.06376 0.950275 0.944855 1.0789

75 12.8072 12.0994 13.7835 12.6664 13.7503 1.0585 0.929174 0.931412 1.08819

80 9.83423 9.43289 10.9353 10.0423 10.7392 1.04255 0.89931 0.915729 1.08893

85 7.08386 7.06125 8.29317 7.76472 7.90386 1.0032 0.85418 0.896253 1.06806

90 4.83928 5.2001 6.2698 6.05495 5.56607 0.930614 0.77184 0.869425 1.03548

95 3.23056 3.76875 4.90299 4.91745 3.90557 0.857197 0.658896 0.827168 0.997059

100 2.24519 2.76726 3.86188 4.05276 2.82885 0.811342 0.581373 0.793679 0.952902

• BW nimmt bei hohen Altern wieder ab im Vergleich zur AVÖ 1996R.• Prozentuelle Steigung etwa gleich wie in D, geringer als bei Männern.• BW liegt deutlich unter Werten nach DAV und ERM.


BW sof. beg. LR, M anner (AVO 05R, 96R, DAV04R und Anstieg von 96R)

40 45 50 55 60 65 70 75

2005

2703.462518.162751.231.07359

2543.362348.072591.581.08317

2363.112162.412411.211.09281

2162.951959.412208.961.10388

1937.531738.321981.151.11459

1685.031502.21728.641.12171

1416.861260.661462.981.12391

1141.831018.871194.341.12069

2015

2752.232543.432808.191.08209

2600.42375.382656.621.09473

2428.572191.132484.431.10837

2236.241988.972290.221.12432

2018.511768.152070.491.14159

1773.21531.561825.271.15777

1508.731288.291562.351.17111

1231.981043.751288.861.18034

2025

2791.022567.182859.031.08719

2646.152401.122714.951.10205

2481.612218.312550.51.1187

2296.392017.072364.071.13848

2085.971796.622152.271.16105

1847.881559.621914.471.18482

1588.121314.71655.391.20797

1311.71067.431379.641.22884

2035

2821.822589.62903.81.08967

2682.672425.552767.271.10601

2524.272244.262610.321.12477

2345.242044.072431.381.14734

2141.371824.172227.31.17389

1910.041586.971996.911.20358

1655.271340.631742.551.2347

1380.511090.841466.781.26555

2045

2846.372610.792939.581.09023

2711.882448.742812.061.10746

2558.552269.032663.621.1276

2384.772070.012492.651.15206

2186.61850.82296.341.18143

1961.281613.582073.341.21548

1711.361366.061824.411.25278

1438.981113.971550.451.29176


BW von sof. beg. LR, Frauen (AVO 05R, 96R, DAV04R und Anstieg von 96R)

40 45 50 55 60 65 70 75

2005

2815.742716.112865.71.03668

2670.542563.442723.181.04178

2504.962392.432560.281.04703

2316.622200.372374.071.05283

2099.871983.632161.781.0586

1851.281741.691922.461.06292

1575.541481.111657.991.06376

1280.721209.941378.351.0585

2015

2851.342742.842911.041.03956

2713.122593.272775.691.04621

2555.082425.012620.51.05364

2374.752235.412442.381.06233

2167.2021.032238.531.07222

1928.311781.122007.681.08264

1661.31521.251750.131.09206

1371.1248.911472.541.09776

2025

2879.652767.252951.931.04062

2747.172620.682823.191.04826

2595.472455.172675.121.05714

2422.042268.132504.621.06786

2222.222056.262308.851.08071

1992.51818.542086.241.09566

1733.911559.661835.871.11172

1449.131286.481561.731.12644

2035

2902.22789.622987.751.04036

2774.382645.952865.931.04854

2627.912483.22724.791.05828

2460.292298.792561.51.07025

2267.242089.542373.421.08504

2045.291854.192158.791.10306

1794.361596.61915.751.12386

1515.361323.1646.181.1454

2045

2920.292810.183014.771.03918

2796.242669.292901.381.04756

2654.052509.262768.51.0577

2491.232327.522613.121.07034

2303.842120.972432.821.08622

2088.481888.132225.961.10611

1844.241632.091990.311.12999

1570.81358.441726.191.15633


Pramien von aufg. Renten mit Ruckgew ahr

Vertragsabschluss 2005, Bezugsalter 65 Jahre, 2.75% Zins

M AVÖ05R AVÖ96R DAV 1994R DAV 2004R ERM 1999 AVÖ05�AVÖ96 AVÖ05�ERM99 AVÖ05�DAV04 DAV04�DAV94

25 0.264451 0.21444 0.234464 0.279863 0.289534 23.32% -8.66% -5.51% 19.36%

30 0.323331 0.263916 0.286873 0.34017 0.35228 22.51% -8.22% -4.95% 18.58%

35 0.402509 0.331166 0.357805 0.42117 0.436426 21.54% -7.77% -4.43% 17.71%

40 0.513967 0.426859 0.458362 0.535131 0.55465 20.41% -7.33% -3.95% 16.75%

45 0.681575 0.57227 0.610697 0.706521 0.73226 19.1% -6.92% -3.53% 15.69%

50 0.960886 0.816924 0.866376 0.992312 1.02824 17.62% -6.55% -3.17% 14.54%

55 1.51828 1.30921 1.37986 1.56318 1.6193 15.97% -6.24% -2.87% 13.29%

60 3.18504 2.79051 2.92271 3.27197 3.38832 14.14% -6.% -2.66% 11.95%

65 16.8503 15.022 15.6385 17.2864 17.8937 12.17% -5.83% -2.52% 10.54%

F AVÖ05R AVÖ96R DAV 1994R DAV 2004R ERM 1999 AVÖ05�AVÖ96 AVÖ05�ERM99 AVÖ05�DAV04 DAV04�DAV94

25 0.283399 0.255437 0.269759 0.301867 0.294119 10.95% -3.64% -6.12% 11.9%

30 0.347261 0.313431 0.330337 0.368055 0.360337 10.79% -3.63% -5.65% 11.42%

35 0.433317 0.391997 0.412209 0.457152 0.449666 10.54% -3.64% -5.21% 10.9%

40 0.5547 0.50346 0.528092 0.582766 0.575821 10.18% -3.67% -4.82% 10.35%

45 0.737594 0.672426 0.703376 0.772068 0.766171 9.69% -3.73% -4.47% 9.77%

50 1.04298 0.956236 0.997236 1.08837 1.08448 9.07% -3.83% -4.17% 9.14%

55 1.6536 1.5268 1.5871 1.72143 1.72189 8.3% -3.97% -3.94% 8.46%

60 3.48272 3.24341 3.35972 3.61969 3.6338 7.38% -4.16% -3.78% 7.74%

65 18.5128 17.4169 17.9751 19.2246 19.3658 6.29% -4.4% -3.7% 6.95%


Pramien von Renten mit Garantiezeit

Garantiezeit: 20 Jahre, Bezug ab 65 Jahren, 2.75% Zins, Rückgewähr währendAufschubzeit

Männer:Alter Gen. Bezug AVÖ 2005R AVÖ 1996R DAV 2004 ERM99 Diff.’96->’05

65 1940 65 18543.4 17498.1 18917.2 19386.4 5.97%

55 1950 65 1631.66 1506.98 1672.08 1717.6 8.27%

45 1960 65 719.981 651.712 742.949 764.719 10.48%

35 1970 65 419.94 373.425 437.278 450.6 12.46%

25 1980 65 273.432 239.602 287.82 296.445 14.12%

Frauen:Alter Gen. Bezug AVÖ 2005R AVÖ 1996R DAV 2004 ERM99 Diff.’96->’05

65 1940 65 19484.7 18716.9 20176.6 20081.5 4.1%

55 1950 65 1716.91 1625.43 1784.41 1767.09 5.63%

45 1960 65 758.525 710.09 792.981 780.502 6.82%

35 1970 65 442.608 411.051 466.34 455.676 7.68%

25 1980 65 288.089 266.219 306.377 296.936 8.21%


Anderungen zu AV O 1996R, Sicherheitszuschl age

In AVÖ 2005R eingebaute (oder im Vergleich zu DAV 2004-R nicht eingebaute)Effekte und Sicherheitszu- bzw. abschläge im Vergleich zur AVÖ 1996R:

Effekt 2. Ord. (tats.) 1. Ord. (Sich.)

Keine kurzfrist. Trendabschwächung +Selektionsfaktoren korrigiert +

Höhere Selektion für F (+) +Kein Sicherheitsabschlag auf Selektion a -0.2% Selektionsaufschlag auf Trend b +0.3% Sicherheitszuschlag auf Trend +Verschiebung des Buckels bei hohen Altern + +Monotonisierung des Trends (+) c

aDAV 2004-R hat zusatzlichen Sicherheitsabschlag von 7% auf WahrscheinlichkeitenbNur soziale Selektion, keine personliche Selektion miteinbezogen.cPraktisch wenig Einfluss, da fast nur in Aufschubzeit.


Einfluss der 1. und 2. Ordnung

Prämie einer aufgeschobenen Leibrente mit Rückgewähr währendAufschubzeit. 2.75% Zins.

Männer:Alter Gen. Bezug AVÖ 2005R ’05, 2.Ord. AVÖ 1996R Diff.’96->2.O. Diff. ’96->’05

65 1940 65 16850.3 16380.9 15022. 9.05% 12.17%

55 1950 65 1518.28 1459.46 1309.21 11.48% 15.97%

45 1960 65 681.575 649.248 572.27 13.45% 19.1%

35 1970 65 402.509 380.617 331.166 14.93% 21.54%

25 1980 65 264.451 248.624 214.44 15.94% 23.32%

Frauen:Alter Gen. Bezug AVÖ 2005R ’05, 2.Ord. AVÖ 1996R Diff.’96->2.O. Diff. ’96->’05

65 1940 65 18512.8 17857.3 17416.9 2.53% 6.29%

55 1950 65 1653.6 1583.4 1526.8 3.71% 8.3%

45 1960 65 737.594 702.092 672.426 4.41% 9.69%

35 1970 65 433.317 410.449 391.997 4.71% 10.54%

25 1980 65 283.399 267.378 255.437 4.67% 10.95%


Diverses• Einfluss der Trendabschwächung nur maximal 1-2% auf die Barwerte (im relev. Zeitbereich).

• Barwerte / Prämien in Gruppentafel etwa 2-3.5% niedriger als in Einzeltafel für Männer undetwa 1-2.5% niedriger für Frauen.

• In D festgestellt:◦ Sehr starker Einfluss eines Gesundheitschecks auf die Sterblichkeit◦ Einfluss der Rentenhöhe auf die Sterblichkeit

• Barwerte für hohe Alter sind gesunken, weil q in den Volkssterbetafeln gesunken ist. BW beihohen Altern liegen teilweise 30% unter den Barwerten nach DAV 2004-R. Zu geringe q indeutscher Tafeln für hohe Alter!

• Keine allzu vorsichtigen Annahmen in die Tafel eingebaut (um möglichst viel Sicherheit undlange Lebensdauer der Tafel zu gewährleisten). Gründe dafür:◦ Sicherheitszuschläge der DAV 2004-R sind noch höher, Werte in D und CH deutlich

über unseren◦ Momentan noch geringe Bestände. In 10 Jahren wäre der Nachreservierungs-Bedarf

sonst um ein Vielfaches höher.◦ Falls Annahmen wider Erwarten zu stark waren, kann über die Gewinnbeteilung ein Teil

wieder rückerstattet werden.


Gewinnbeteiligung in einem Markov-Modell

Beispielrechnung der Auswirkung des Umstiegs auf die AVÖ 2005-R in derGewinnbeteiligung.

Gemeinsame Arbeit mit Thomas Bauer und Uwe Schmock


Das Markov-Modell in der Lebensversicherung

• Zustand Z ∈ S der Polizze als Markovkette modelliert (künftigeEntwicklung hängt nur von aktuellem Zustand ab, nicht vonVergangenheit; „Markov-Eigenschaft“):

P[Z(u) = k|Z(t1) = j1, . . . , Z(tn) = jn, Z(t) = j] = P[Z(u) = k|Z(t) = j]

• Übergänge beschrieben durch Übergangswahrscheinlichkeiten P (t, u)bzw. -intensitäten Λ(t):

P Z(t, u) =

0

B

B

B

@

pZ11

(t, u) pZ12

(t, u) . . .

pZ21

(t, u) pZ22

(t, u) . . .

......

. . .

1

C

C

C

A

bzw. Λ(t) =

0

B

B

B

@

µ11(t) µ12(t) . . .

µ21(t) µ22(t) . . .

......

. . .

1

C

C

C

A

,

wobei µjk(t) = lim∆tց0pZ

jk(t,t+∆t)

∆t für alle j 6= k ∈ S, t ∈ [0,∞).


Markov-Modell II

• Zusammenhang durch Kolmogorovsche Differentialgleichungen:

∂

∂tP Z(s, t) = P Z(s, t)Λ(t)(Vorw.-Glg.) bzw.

∂

∂sP Z(s, t) = Λ(s)P Z(s, t)(Rückw.-Glg.)

• Größen wie Deckungskapital durch Rekursionsgleichungen bzw.Differentialgleichungen (Thielesche Differenzen-/Differentialgleichungen)gegeben für s < t < u:

W+j (t) =

∑

t∈S

pjg(t, u)W+g (u)

+

∫

]t,u]

v(τ)∑

g∈S

pjg(t, τ)

{dag(τ)︸︷︷︸

für Zustand g

+∑

h∈S,h 6=g

agh(τ)︸︷︷︸bei Zustands-

wechsel

µgh(τ)dτ

}

(bei determin. Zins, ansonsten Verallgemeinerung möglich)


Einfaches Rentenvers.-Modell mit stoch. Zins

Bestimmung der Prämien erfolgt nach (vorsichtigen) Rechnungsgrundlagen 1.Ordnung. Die Auszahlungen geschehen jedoch nach der wahren Sterblichkeitund dem wahren Zins (2. Ordnung), die i.A. von RG 1. Ordnung verschiedenund hier als stochastisch angenommen sind:

• zwei tatsächliche Zinszustände (2.Ord.): z.B. 2.5% und 2.75%, alsMarkovprozess

• zwei tatsächliche Sterblichkeitszustände (2. Ord), als Markovprozess

∗1 ⋄1

∗2 ⋄2 †

∗3 ⋄3

µ∗1⋄

µ∗1†

µ⋄1†


Arten der Gewinnbeteiligung

Durch Verwendung der RG 1. Ordnung bei Prämienbestimmung ergibt sich einGewinn für die Versicherung ⇒ muss an Versicherte ausgeschüttet werden.

• Cash-Bonus: Sofortige Auszahlung der Dividenden• Terminal-Bonus: Auszahlung der akkumulierten Dividenden am Ende der

Laufzeit• Erhöhte Versicherungsleistung: Dividenden werden benutzt, um

Versicherungsschutz zu erhöhen

Für jede dieser Typen der Gewinnbeteiligung lässt sich eine Thiele’sche DGaufstellen und numerisch lösen. Betrachtet werden diverse Szenarien (Wertefür die zwei Zins- und Sterblichkeitsniveaus). Untersucht wird Zins- undSterblichkeitsgewinn, sowie der Gesamtgewinn.

Literatur:

• Th. Bauer: Gewinnverteilungssysteme in einem stochastischen Lebensversicherungsmodell,Diplomarbeit, TU Wien, 2005.

• R. Norberg: A theory of bonus in life insurance. Finance Stochast., 3:373–390, 1999.


Numerische Ergebnisse

• Sterblichkeitsintensitäten durch Spline-Interpolation aus AVÖ 2005R.

Sterblichkeitsgewinn in 2 Szenarien, für erhöhte Versicherungsleistungen:Rententafel AVÖ 1996R:

Szenario Wac,l Wad,l Wbc,l Wbd,l

5a 0.259294 0.242199 0.266465 0.248513

6a 1.5966 1.5224 1.60247 1.52777

Rententafel AVÖ 2005R:Szenario Wac,l Wad,l Wbc,l Wbd,l

5a 0.233388 0.219775 0.239851 0.225547

6a 1.50657 1.44527 1.51212 1.4504

Verhalten aller drei Typen bei allen Szenarios ähnlich:

• Sterblichkeitsgew. sinkt bei Übergang zu AVÖ 2005R, Gesamtgew. steigt!• Gesamtgewinn oft um eine Größenordnung höher als Sterblichkeitsgewinn

⇒ Zinsniveau wichtiger als Sterblichkeit


Einfluss von Sterblichkeit und Zinsraten

• Höchstrechnungszins von Finanzmarktaufsicht (FMA) von 2.75% auf2.25% gesenkt, gleichzeitig mit verpflichtender Einführung der AVÖ 2005R.

• Frage: Wirkt sich Zinsschwankung oder Sterblichkeitsschwankung stärkerauf den Gewinn aus?

• Vergleichsrechnung mit Cash-Bonus:

ǫµ�eδ − 1 2% 2.25% 2.5% 2.75% 3%

0 0. 0.439677 0.862117 1.26816 1.65858

0.5 0.168832 0.599408 1.0133 1.41129 1.79416

1 0.326785 0.748986 1.155 1.54559 1.92148

Abhängigkeit des Gesamtgewinnes bei Cash-Bonus von Zins- undSterbeintensität in einem deterministischen Modell (δa = δb = δ undµa = µb). Einfluss des Zinsniveaus ist beträchtlich höher als der derSterblichkeit.


Vielen Dank für IhreAufmerksamkeit!


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