329

Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

Zusatzvorlesungen:

Z-1 Ein- und mehrdimensionale IntegrationZ-2 Gradient, Divergenz und RotationZ-3 Gaußscher und Stokesscher IntegralsatzZ-4 KontinuitätsgleichungZ-5 Elektromagnetische Felder an GrenzflächenZ-6 Berechnung von Magnetfeldern

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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

Z-5.1 Elektrisches Feld

Es soll nun das Verhalten des elek-trischen Feldvektors an einer Grenz-fläche zweier Medien mit den Dielek-trizitätskonstanten ε1 und ε2 bestimmt werden.

(i) Tangentiale Komponente

Wir betrachten einen rechteckigen Weg innerhalb der beiden Medien, wobei die beiden senkrechten Weg-stücke infinitesimal klein sein sollen:

Dann gilt im Fall der Elektrostatik für das Integral über diesen ge-schlossenen Weg:

Die Tangentialkomponente des elektri-schen Feldes ist an der Grenzfläche zweier Medien stetig.

Z-5 El.-magn. Felder an Grenzflächen

1E�

r�∆

r�∆−

2E�

1ε

2ε

||,2||,1

||,2||,1

||,2||,1

0)(

0)(

0

EE

rEE

rErE

rdEr

��

���

����

��

�

=�

=∆⋅−�

=∆−⋅+∆⋅�

=⋅�

331

Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

(ii) Senkrechte Komponente

Wir betrachten nun die folgende zylinderförmige „Dose“ innerhalb der beiden Medien, wobei die Höhe der Dose infinitesimal klein sein soll.

Dann gilt wegen der 1. Maxwell-Gleichung für das geschlossene Ober-flächenintegral über das Feld der dielektrischen Verschiebung im Fall, dass sich keine freien Ladungen an der Grenzfläche befinden:

( )( )

1, 2,

1, 2,

1, 2,

0

0

0

D dA

D A D A

D D A

D D

⊥ ⊥

⊥ ⊥

⊥ ⊥

⋅ =

� ⋅∆ + ⋅ −∆ =

� − ⋅∆ =

� =

����

� �� �

�� �

� �

��

Wegen

folgt daraus:

Die senkrechte Komponente des elek-trischen Feldes ändert sich an der Grenzfläche zweier Medien unstetig.

A�

∆

A�

∆−

1 1,D E� �

2 2,D E� �

1ε

2ε ED��

0εε=

⊥⊥ = ,22,11 EE��

εε

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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

Für den Übergang des Feldes an einer Grenzfläche gilt dann:

Die Division beider Gleichungen ergibt:

Aus den Stetigkeitsbedingungen erhält man so ein "Brechungsgesetz" für elektrische Feldlinien beim Übergang zwischen zwei Medien.

1E�

2E�

1,E ⊥

�

2,E ⊥

�

2,||E�

1,||E�

1α

2α1ε

2ε

222111|

2211||

coscos:

sinsin:

αεαεαα

EEE

EEE

=

=

⊥

2

1

2

1

22

11

tantan

tan1

tan1

εε

αα

αε

αε

=�

=

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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

12 εε > 12 εε <

��

Feld einer Punktladung vor einer Grenzfläche, die zwei Medien trennt

334

Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

Dielektrische Kugel im äußeren elektrischen Feld

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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

Z-5.2 Magnetisches Feld

Die 2. Maxwell-Gleichung lautet:

Anwenden auf die „infinitesimale Dose“ rechts ergibt:

Die senkrechte Komponente des B-Feldes ist an einer Grenzfläche stetig.

(i) Senkrechte Komponente

1,B ⊥

2,B ⊥

1µ2µ

0=⋅� AdB��

0)(,2,1 =∆−+∆=⋅ ⊥⊥� ABABAdB��

⊥⊥⊥⊥

⊥⊥

==�

∆−=∆

,22,11,2,1

,2,1

,

)(

HHBB

ABAB

µµ

(ii) Tangentiale Komponente

Da an der Grenzfläche keine äußeren Ströme fließen, liefert das Ampèresche Gesetz für den Weg entlang des „infinitesimalen Rechtecks“:

0=⋅� rdH��

336

Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

Also folgt:

Die tangentiale Komponente des B-Feldes ist an der Grenzfläche unstetig.

1µ2µ

⊥,1H⊥,2H

0)(||,2||,1 =∆−+∆=⋅� rHrHrdH��

2

||,2

1

||,1||,2||,1

||,2||,1

,

)(

µµBB

HH

rHrH

==�

∆−=∆

Merkregel: "BNET"

Die Normalkomponenten des B-Feldes und die Tangentialkomponenten des E-Feldes sind stetig.