Energietechnische AnlagenProf. Dr. Werner Hbner u

Fachhochschule Mnchen, FB 05 u Studiengang Verfahrenstechnik Papier { Kunststo

c Vervielfltigung nur mit Zustimmung des Autors a 20013

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Inhaltsverzeichnis3.3 Literatur Vorwort 11 15 4 Die 4.1 4.2 4.3

3.2.1 Die stationre Strmung durch einen Kontrollraum 41 a o Exergie und Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Fundamentalgleichung Die Fundamentalgleichung mit der Enthalpie . . . Die Fundamentalgleichung mit der inneren Energie Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Das p; v-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Das T; s-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 49 53 53 55 57 57 57 59 61 61 63 63 65 65 69 69 71 71 73 73 73

I

Thermodynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1717 17 19 19 21 21 23 23 23 25 27 27 27 29 29 33 35 35 35 35 37 39 39 41

1 Grundlagen 1.1 Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Physikalische Gren . . . . . . . . . . . . . o 1.3 Molare Gren . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4 Zustandsgleichung idealer Gase . . . . . . . 1.5 Wichtige Zahlenwerte der Thermodynamik

2 Der erste Hauptsatz 2.1 Der 1. Hauptsatz bei geschlossenen Systemen . . . . . . . 2.1.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Die Volumennderungsarbeit W V . . . . . . . . . a 2.1.3 Die Wellenarbeit W W . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Die Wrme Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.1.5 Die innere Energie U . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Der 1. Hauptsatz bei oenen Systemen . . . . . . . . . . . 2.2.1 Die stationre Strmung durch einen Kontrollraum a o 2.2.2 Die Enthalpie H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Der 2. Hauptsatz 3.1 Der 2. Hauptsatz bei geschlossenen Systemen 3.1.1 Die Entropie . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Der 2. Hauptsatz . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Das Beispiel Wrmebergang . . . . . a u 3.1.4 Das Beispiel Elektromotor . . . . . . . 3.1.5 Der Wirkungsgrad von Maschinen . . 3.2 Der 2. Hauptsatz bei oenen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Gase 5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Spezische Wrmekapazitten . . . . . . a a 5.3 Isentrope Prozesse . . . . . . . . . . . . 5.4 Der Polytropenexponent n . . . . . . . . 5.5 Das Polytropenverhltnis . . . . . . . a 5.6 Nichtkonstante Wrmekapazitten . . . a a 5.6.1 Spezische Enthalpie . . . . . . . 5.6.2 Spezische Entropie . . . . . . . 5.6.3 Isentrope und polytrope Prozesse 6 Dmpfe a 6.1 Das p; T-Diagramm . . 6.2 Das p; v-Diagramm . . 6.3 Das T; s-Diagramm . . 6.4 Das h; s-Diagramm . . 6.5 Das Nassdampfgebiet . 6.6 Dampftafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

II

Motoren und TurbinenFall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7979 79 81 83 85 87 89 91 91 91 93 93 95 95 95 97 99 99 101 103 105 107

7 Kreisprozesse 7.1 Zustandsnderungen im reversiblen a 7.2 Der Carnot-Prozess . . . . . . . . . 7.3 Der Joule-Prozess . . . . . . . . . . 7.4 Der Otto-Prozess . . . . . . . . . . 7.5 Der Diesel-Prozess . . . . . . . . . 7.6 Der Seiliger-Prozess . . . . . . . .

10.4 Theorie axialer Strmungsmaschinen o 10.4.1 Allgemeine Zusammenhnge . a 10.4.2 Gleichdruckstufe . . . . . . . 10.4.3 Uberdruckstufe . . . . . . . . 10.4.4 Curtisrad und Regelung . . . 10.5 Verluste und Wirkungsgrade . . . . . 10.6 Ausgefhrte Anlagen . . . . . . . . . u

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117 117 119 121 121 123 123

8 Verbrennungsmotoren 8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Ottomotoren . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Dieselmotoren . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Beispiel eines groen Dieselmotors 8.3.2 Zweitakt-Dieselmotoren . . . . . . 8.4 Sonderbauformen . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Der Wankelmotor . . . . . . . . . . 8.4.2 Der Stirling-Motor . . . . . . . . .

III

Kraftwerkstechnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125125 . 125 . 125 . 127 . 127

11 Thermische Kraftwerke 11.1 Allgemeines . . . . . . 11.2 Historisches . . . . . . 11.3 Wrmeschaltbilder . . a 11.4 Sankey-Diagramme . .

9 Gasturbinen 9.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Arbeitsprinzip und Theorie . . . . . . . . . . . . 9.3 Ausgef hrte Gasturbinen . . . . . . . . . . . . . u 9.4 Charakteristische Werte stationrer Gasturbinen a 9.5 Zu Strahltriebwerken . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Dampfturbinen 10.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Der einfache Dampfturbinenprozess . . . . . . . 10.3 Verbesserung des thermischen Wirkungsgrades 10.3.1 Erhhung der Frischdampftemperatur . o 10.3.2 Senkung des Kondensationsdruckes . . . 10.3.3 Speisewasservorwrmung . . . . . . . . a 10.3.4 Zwischen berhitzung . . . . . . . . . . . u . . . . . . .

12 Verbrennung 129 12.1 Verbrennungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 12.1.1 Ohne Luft berschuss . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 u 12.1.2 Umrechnung in Volumenanteile . . . . . . . . . . . 131 12.1.3 Mit Luftberschuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 u 12.2 Brennwert und Heizwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.2.1 Heizwerte und Daten einiger wichtiger Brennstoe 133 12.2.2 Energiebilanz der Verbrennung und Verbrennungstemperatur . . . . . . . . . . . . . . 135 13 Feuerung mit festen Stoen 13.1 Allgemeines . . . . . . . . . 13.1.1 Verbrennungsablufe a 13.1.2 Aschen-Probleme . . 13.2 Kohlenstaubverbrennung . . 13.3 Kohlevergasung . . . . . . . 13.4 Rostfeuerung . . . . . . . . 13.5 Wirbelschichtfeuerung . . . . . bei . . . . . . . . . . . . . . . . . . festen Stoen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 . 137 . 137 . 137 . 139 . 141 . 141 . 145

109 . 109 . 111 . 113 . 113 . 113 . 113 . 115

7 13.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Stationre Wirbelschicht . . . . . . . . . . . . . . a 13.5.3 Druckwirbelschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.4 Zirkulierende Wirbelschicht . . . . . . . . . . . . 13.5.5 Zu verbrennende Stoe . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Weitere Feuerungen f r die Zellsto- und Holzindustrie . u 13.7 Wrmer ckgewinnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a u 14 Kessel 14.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Umlauf (circulation) . . . . . . . . . . . 14.3 Der Verdampfungsvorgang . . . . . . . . 14.4 Der Kesselwirkungsgrad . . . . . . . . . 14.5 Anordnungen und ausgef hrte Anlagen . u 14.6 Sonstige Elemente einer Kesselanlage . . 15 K hlsysteme u 15.1 Kondensatoren . . 15.2 Rckk hlanlagen . u u 15.2.1 Kreislufe . a 15.2.2 Khlt rme u u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 147 147 147 153 153 153 155 155 155 159 161 163 165 18 Kraft-Wrme-Kopplung a 185 18.1 Heizkraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 18.2 Blockheizkraftwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 19 Energietechnik in der Papierindustrie 19.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Neuere Arbeiten zur Energietechnik aus der Fachpresse 19.2.1 Rationelle Energieverwendung . . . . . . . . . . . 19.2.2 Energetische Nutzung von Holz, Altpapier bermengen und Reststoen . . . . . . . u 19.2.3 Heizkraftwerk der Sachsen Papier Eilenburg . . . 19.2.4 GuD-Kraftwerk in Bruck, Osterreich . . . . . . . 19.2.5 Verwertung und Entsorgung von Reststoen . . . 189 . 189 . 189 . 189 . . . . 191 191 191 191

167 . 167 . 169 . 169 . 169 . . . . . . . . . . 171 171 173 175 177 177 179 179 181 181 183 183

20 Heizkraftwerke 193 20.1 HKW der MD Papier, Dachau . . . . . . . . . . . . . . . 193 20.1.1 Rindenverbrennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 20.1.2 Heizkraftwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

16 Sonstige Komponenten von Kraftanlagen 16.1 Luftvorwrmer (Luvo) . . . . . . . . . . . a 16.2 NOx-Beseitigung . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Staubabscheidung . . . . . . . . . . . . . 16.4 Entschwefelung . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Sonstige Umweltein sse von Kraftwerken u

17 GuD-Kraftwerke 17.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 GuD-Anlage mit nicht befeuertem Abhitzekessel 17.3 GuD-Anlage mit befeuertem Abhitzekessel . . . . 17.4 GuD-Anlage mit integrierter Brennkammer . . . 17.5 Sonstige Entwicklungen bei GuD-Anlagen . . . .

9

IV

Pumpen und Verdichter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 199 199 201 203 205 205 205 207 209 209 211 213 213 213 215 217 217 219 219

21 Kreiselpumpen, Grundlagen 21.1 Energiebertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . u 21.1.1 Frderenergie der Pumpe . . . . . . . . . . o 21.1.2 Frderenergien der Anlage . . . . . . . . . . o 21.1.3 Leistungen und Wirkungsgrade . . . . . . . 21.2 Strmungsverhltnisse am Laufrad . . . . . . . . . o a 21.3 Modellgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.1 Radformkennzahl und spezische Drehzahl 21.3.2 Sonstige Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . 21.4 Kavitation und Saugverhalten . . . . . . . . . . . . 21.4.1 Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.2 Saugverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Krfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 21.5.1 Axialkrfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 21.5.2 Radialkrfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 21.6 Kennlinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.7 Die Regelung von Pumpen und Pumpenanlagen . . 21.7.1 Die Wirkungsweise von Regelungen . . . . . 21.7.2 Mglichkeiten der Regelungen . . . . . . . . o 21.8 Druckste in Pumpenanlagen . . . . . . . . . . . o 22 Bauformen von Kreiselpumpen 22.1 Laufradformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Sonderformen und Begrie . . . . . . . . . . . . . . 22.2.1 Kreiselpumpen mit sternfrmigen Schaufeln o 22.2.2 Kreiselpumpen ohne Wellendichtung . . . . 22.2.3 Sonstige wichtige Stichworte . . . . . . . . . 22.3 Pumpen f r die Papier- und Zellstondustrie . . . u

23.2.2 Hubkolbenpumpen . . . . . . . . . . . . . 23.2.3 Presspumpen . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.4 Membranpumpen . . . . . . . . . . . . . . 23.2.5 Dampfpumpen . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Pumpen mit rotierendem Verdrnger . . . . . . . a 23.3.1 Zahnradpumpen . . . . . . . . . . . . . . 23.3.2 Drehkolbenpumpen . . . . . . . . . . . . . 23.3.3 Wasserringpumpen . . . . . . . . . . . . . 23.3.4 Schraubenspindelpumpen . . . . . . . . . 23.3.5 Dreh gelpumpen . . . . . . . . . . . . . u 23.3.6 Exzenterschneckenpumpe (Mohnopumpe) 24 Turboverdichter 24.1 Allgemeines . . . . . . . . . 24.2 Leistung und Wirkungsgrad 24.3 Bauformen . . . . . . . . . 24.3.1 Axialverdichter . . . 24.3.2 Radialverdichter . . 24.3.3 Dichtungen . . . . . 24.4 Betriebsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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229 229 231 231 231 231 231 233 233 233 233

235 . 235 . 237 . 237 . 237 . 239 . 239 . 239 241 . 241 . 241 . 243 . 243 . 243 . 243 . 243 . 243 . 245 . 245

221 . 221 . 223 . 223 . 223 . 225 . 225 227 . 227 . 227 . 227

23 Verdrnger- und sonstige Pumpen a 23.1 Allgemeines zur Frderung von Fluiden . . . . . . . . . o 23.2 Pumpen mit schwingendem Verdrnger . . . . . . . . . a 23.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 Verdra nger-Verdichter 25.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2 Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . 25.3 Hubkolbenverdichter . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.1 Bauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.2 Ventile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4 Sonstige Verdrnger-Verdichter . . . . . . . . . . a 25.4.1 Fl ssigkeits-Ring-Verdichter . . . . . . . . u 25.4.2 Schraubenverdichter . . . . . . . . . . . . 25.4.3 Zellenverdichter oder Rotationsverdichter 25.4.4 Drehkolbenverdichter, Roots-Geblse . . . a

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LiteraturThermodynamik [1] Hans Dieter Baehr: Thermodynamik. Springer, Berlin . . . 200010. [2] Ernst Becker: Technische Thermodynamik. Teubner, Stuttgart 1985 [3] Werner Berties: Ubungsbeispiele aus der Wrmelehre a Fachbuch-Verlag, Leipzig 199620 [4] Gnter Cerbe, Hans-Joachim Homann: u Einf hrung in die Thermodynamik. u Hanser, M nchen Wien 199912 u [5] Fritz Dietzel: Technische Wrmelehre, Kamprath-Reihe a Vogel, Wrzburg 19987 u [6] Erich Hahne: Technische Thermodynamik Oldenbourg, Mnchen 20003 . u [7] Gnther Meyer, Erich Schiner: u Technische Thermodynamik Fachbuchverlag, Leipzig 2000 Neuau. [8] Karl Stephan, Franz Mayinger: Thermodynamik, Bd. 1 Einstosysteme Springer, Berlin . . . 199815 [9] Ulrich Grigull (Hrsg.): Properties of water and steam in SI Units . . . Springer, Berlin und Oldenbourg, Mnchen 19894 u [10] VDI-Wrmeatlas a VDI-Verlag, Dsseldorf 19978 u

Motoren und Turbinen [11] Hans-Dieter Haage: Maschinenkunde: Kraft- und Arbeitsmaschinen Hanser, Mnchen Wien 19927 u DM 98.Kraftwerkstechnik [12] Rudolf G nther: u Verbrennung und Feuerung. Springer, Berlin . . . 19841. [13] Karl Strau: Kraftwerkstechnik. Springer, Berlin . . . 19984. [14] Hans-Joachim Thomas.: Thermische Kraftanlagen. Springer, Berlin . . . 19852. [15] Energiesysteme heute und morgen. M nchener Rckversicherungs-Gesellschaft 1990 u u [16] Hans-Hermann Franzke: Einfhrung in die Maschinen- und Bd. 1: Kraftmaschinen und u Kraftanlagen. Springer, Berlin . . . 1987x. vergrien Pumpen und Verdichter [17] Hans-Hermann Franzke: Einfhrung in die Maschinen- und Anlagentechnik u Bd. 2: Arbeitsmaschinen. Springer, Berlin . . . 19901. [18] KSB-Klein: Kreiselpumpen-Lexikon KSB AG, Frankenthal

DM 39.80 Berlin

DM 29.80

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148.860.-

wird von der Firma zur Verf gung u gestellt

13 [19] Hellmuth Schulz: Die Pumpen. Springer, Berlin . . . 197713 . [20] Sulzer: Kreiselpumpen Handbuch. Vulkan, Essen 19974 Allgemeines [21] Dubbel: Taschenbuch fr den Maschinenbau u (Hrsg.: Wolfgang Beitz u. Karl-Heinz K ttner): u Springer, Berlin . . . 200020. Dubbel interaktiv\ (CD-ROM), 1999 " [22] Werner Hbner: u Technische Mechanik I bis III, Vorlesungsskript. Fachhochschule Mnchen 200010 u [23] Werner Hbner: u Konstruktion, Vorlesungsskript. Fachhochschule Mnchen 200010 u

vergrien

DM 98.-

DM 159,{ DM 199,{

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VorwortDie Zellsto- und Papierherstellung erfordert einen groen Energiebedarf { in Deutschland etwa 5 % des Primrenergieverbrauchs. a Energieeinsparungen erhhen direkt den Gewinn. Daher sollte o der Papieringenieur solide Grundkenntnisse der Energietechnik haben. Nachdem f r das Gebiet der energietechnischen Anlagen u zu viele Lehrbcher beschat werden m ssten, wurde dieses Skript u u erstellt. Seine Ziele sind, ein Grundverstndnis f r thermodynamische a u Zusammenhnge zu vermitteln, die wichtigsten energietechnischen a Maschinen kennen zu lernen und die in der Papierindustrie vorhandenen und zuknftigen Heizkraftwerke zu verstehen. u Das Skript gliedert sich deshalb in vier Teile, Thermodynamik, Motoren und Turbinen, Thermische Kraftwerke sowie Pumpen und Verdichter. Die Thermodynamik gehrt ebenso wie die Technische Mechanik zu den o Grundlagen des Ingenieurwissens. Es wird versucht, die Grundbegrie sorgfltig einzufhren. Zum Beispiel werden Entropie und dissipative a u Anteile nicht mehr vage Ausreden fr ungenaue Modellbildungen u sondern konkrete Rechengren. Auerdem soll das Denken in Zustandso und Prozessgren vermittelt werden. o In dem Teil Motoren und Turbinen werden besonders Gas- und Dampfturbinen behandelt. Auch die Verbrennungsmotoren werden angesprochen, da bei diesen die Kreisprozesse leichter zu verstehen sind, und weil sie in der Energiewirtschaft durchaus ihre Bedeutung haben. Der Teil Kraftwerkstechnik beschrnkt sich auf thermische, nicht a nukleare Kraftwerke. Dabei werden die in den groen Kraftwerken der Energieversorgungsunternehmen blichen Aggregate vorgestellt. u Betont werden vor allem Komponenten, die in Heizkraftwerken der Papierindustrie vorkommen. Aus dem Teil Pumpen und Verdichter sind in der Papierindustrie die Kreiselpumpen besonders wichtig und werden demnach auch ausf hrlich behandelt. Aber auch die Exzenterschneckenpumpe und u der Fl ssigkeitsring-Verdichter (Wasserringpumpe) spielen in der u

Papierindustrie eine wichtige Rolle. Einige Gebiete wurden weggelassen: Fr das wichtige Thema u der W rme bertragung gibt es im Studiengang eine eigene a u Lehrveranstaltung, in der auch die Gas-Dampf-Gemische behandelt werden. Die Vermittlung und Ubung der wichtigsten Grundlagen erscheint mir wichtiger, als die Darstellung vieler Details. Diese ndern sich rasch und a knnen spter in aktuellen Darstellungen nachgelesen werden knnen. o a o Auf schwierige mathematische Herleitungen wird verzichtet, jedoch werden, dem Sto entsprechend, Darstellungen der Dierential- und Integralrechnung verwendet. Zum Verstndnis des dargestellten Stoes a werden paralles zu diesem Skript Ubungsaufgaben angeboten, die mglichst selbstndig gerechnet werden sollten. Auch wird fr einige o a u Teile des Stoes die Lekt re der angegebenen Fachliteratur sehr u empfohlen. Zum Verstndnis der thermodynamischen Grundlagen a empehlt es sich, die anspruchsvollen Herleitungen z. B. in [1] nachzuvollziehen; die fr Fachhochschulen vorgesehenen Lehrb cher u u enthalten zum Teil grobe Fehler, was ich von diesem Skript nicht hoe. Werner H bner u August 2001

1

GRUNDLAGEN Phase: ein Sto gleicher Beschaenheit, z.B. ssig oder gasfrmig. u o Gleichungen werden hier immer in der folgenden Form geschrieben: Zustand(snderung) = Einuss von auen a

17

Teil I

Thermodynamik11.1

GrundlagenGrundbegrie

Anstelle des Gleichheitszeichens knnte man dabei auch das Ergibt\o " Zeichen (:=) verwenden.

Zum Verstndnis der Thermodynamik ist eine konsequente Verwendung a der Grundbegrie von groer Bedeutung. Die meisten knnen erst in o Verbindung mit den entsprechenden physikalischen Gesetzen eingefhrt u werden, einige werden hier eingefhrt, manche nur genannt, wobei sich u das Verstndnis erst spter einstellt. a a Zustandsgren: Druck, Temperatur, Dichte, usw. o { extensive Zustandsgren o sind der Systemmenge proportional. Sie werden mit Grobuchstaben, V; U; H; S; . . . geschrieben. Ausnahmen: m f r die Masse und n fr die Stomenge u u { intensive Zustandsgren o sind auf die Masse m bezogen und bleiben bei Teilung erhalten. Sie werden mit Kleinbuchstaben v; u; h; s; . . . geschrieben. Ausnahmen: T fr die Temperatur, Hu fr den Heizwert. u u Prozessgren: Wrme, Arbeit, usw. o a { extensiv: Q; W { intensiv: q; w System: { geschlossen: die Substanz bleibt erhalten { oen: der Kontrollraum bleibt erhalten { abgeschlossen: kein Energieaustausch mit der Umgebung, wrmeisoliert = adiabat a

1

GRUNDLAGEN

19

1.2

Physikalische Gren o

1.3

Molare Gren o

Wie in der Physik und der Technischen Mechanik werden folgende Formelzeichen f r physikalische Gren verwendet: u o m in kg f r die Masse u T in K f r die absolute Temperatur (auch thermodynamische u Temperatur) p in Pa = N/m2 f r den Druck u

Hier werden vor allem die auf kg bezogene Gren bentzt. Trotzdem o u sollten die in der Chemie ublichen molaren Gren bekannt sein: o n in kmol ist die Stomenge (englisch: amount of substance) N ist die Teilchenzahl NA in 1/kmol ist die Teilchenzahl pro Kilomol: NA = N=n heit Avogadro-Konstante, NA = 6; 022 1026 1=kmol M in kg/kmol ist die Molmasse M = m=n, vm in m3/kmol ist das molare Volumen vm = V=n, vmn in m3/kmol heit molares Normvolumen, dies ist das molare Volumen vm bei Normzustand (273,15 K = 0 C und 101,325 kPa = 1 atm). Mit der in 1.4 eingefhrten allgemeinen Gaskonstanten erhlt man u a vmn = 22; 414 m 3=kmol Als Volumengren sind wichtig: o Vn = nvmn V nv v v= = m = m m m M vmn 1 vn = = M n in m3 in m3 /kg das Normvolumen das spezische Volumen das spezische Normvolumen

V in m3 fr das Volumen u In der Thermodynamik werden abweichend von der Mechanik verwendet: t in C f r die Celsius-Temperatur u t = T + 273; 15 K v in m3 /kg f r das spezische Volumen. Dabei gilt mit der Dichte u v = 1= Deshalb mssen u in s f r die Zeit u c f r die (absolute) Geschwindigkeit u eingef hrt werden. Manche Autoren fhren anstelle von c auch w u u ein, dies wird hier fr die intensiven Arbeitsterme und bei den u Strmungsmaschinen f r die Relativgeschwindigkeiten verwendet. o u

in m3 /kg

1

GRUNDLAGEN

21

1.4

Zustandsgleichung idealer Gase

1.5

Wichtige Zahlenwerte der Thermodynamik

Die thermische Zustandsgleichung idealer Gase lautet pv = RT (1.1) Darin ist v = 1= das spezische Volumen und R die fr jeden u Sto individuelle Gaskonstante. Sie kann aus der allgemeinen, molaren Gaskonstanten Rm berechnet werden 1 kJ R= Rm mit Rm = 8; 3145 M kmol K F r Sauersto ergibt sich also u kg kJ M = 32 ; RO2 = 0; 2598 kmol kgK F r Luft erhlt man mit der molaren Masse u a kg kJ M = 28; 965 ; RLuft = 0; 28706 kmol kgK und damit n;Luft = 1; 292 kg= m3 sowie vn;Luft = 0; 774 m3 =kg. Die Zustandsgleichung (1.1) fasst die experimentell gefundenen Gesetze von Gay-Lussac1: p = const., den isobaren Fall sowie von Boyle2 und Mariotte3 T = const., den isothermen Fall zusammen. Der Fall v = const. heit isochor

Auer den bisher eingefhrten Konstanten werden bentigt: u o 1 h = 3600 s 1 kWh = 3,6106 J = 3,6 MJ 1 t SKE (Tonne Steinkohleneinheiten) = 29,3109 J = 8 140 kWh Fr die Umrechnung mit alten Einheiten werden gelegentlich bentigt u o 1 kcal = 4,1855 kJ 1 Torr = 1/760 atm = 133,3224 Pa 10 m WS = 1 at = 1 kp/cm 2 = 0,980665 bar Auer dem bereits erwhnten Normzustand nach DIN 1343 a 273,15 K (0C) und 101,325 kPa = 1 atm gibt es nach [1] den thermodynamischen Standardzustand 298,15 K (25C) und 100 kPa = 1 bar In USA wird die Temperatur (noch) in F angegeben, die zugehrige o absolute Temperatur heit Rankine 5 TR = T 9 Die Celsius-Temperatur t berechnet sich aus der FahrenheitTemperatur tF mit 5 9 t = (tF 32) Umkehrung tF = 32 + t 9 5 F, sein Siedepunkt bei 212 F. Der Eispunkt des Wassers liegt bei 32

1 2

Louis Joseph Gay-Lussac, 1778 { 1850 Robert Boyle, 1627 { 1691 3 Edme Mariotte, 1620 { 1684

2

DER ERSTE HAUPTSATZ

23 In der Thermodynamik kommen zum Arbeitssatz der Mechanik zwei Gren hinzu: o Die innere Energie U als Zustandsgre und o die zugef hrte W rme Q als Prozessgre. u a o U beschreibt makroskopisch die Molekularbewegung. Einem System zugef hrte Wrme wird positiv deniert. u a Mit diesen Gren lautet der 1. Hauptsatz der Thermodynamik o dU + dE M = dQ + dW V + dW W (2.2)

2

Der erste Hauptsatz

Der erste Hauptsatz ist ein Fundamentalsatz der Thermodynamik und wird auch als Energiebilanz bezeichnet. Er geht von dem Energiebegri als Zustandsgre aus, behandelt den Energietransport o und verschiedene Formen der Energie. Er wird hier als eine Erweiterung des bekannten Arbeitssatzes der Mechanik begr ndet; vom Standpunkt u der Thermodynamik aus ist der Arbeitssatz ein Sonderfall des 1. Hauptsatzes.

2.12.1.1

Der 1. Hauptsatz bei geschlossenen SystemenHerleitung

In der Mechanik wird aus dem Schwerpunktsatz _ _ ~ m~ = F v der Arbeitssatz hergeleitet (vgl. [22]): dEkin = dWges In diesem erfhrt die Schwerkraft meist eine besondere Behandlung: Der a Anteil dWSchwer = dEpot wird als Energieterm nach links gebracht dEkin + dEpot = dW Der mechanische Zustand ist durch die Geschwindigkeit c und die Hhe h o gegeben: 1 Ekin = mc2 ; Epot = mgh 2 Als Abk rzung fr die Energieanteile der Mechanik wird hier verwendet u u E M = Ekin + Epot (2.1) ~ r In der Mechanik gilt f r die Arbeit am starren Krper dW = F d~ + u o ~ d~ , Damit lautet der Arbeitssatz M ' ~ r ~ dE M = F d~ + M d~ '

Der zweite Ausdruck rechts wird Volumennderungsarbeit genannt. Er a wird bei geschlossenen Systemen deniert und in 2.1.2 anschaulich dargestellt. Bei reversiblen Vorgngen ist die Volumennderungsarbeit a a dW V = pdV Der dritte Ausdruck rechts wird Wellenarbeit genannt und vielfach auch als technische Arbeit\ bezeichnet. " dW W = M d' Nach (2.2) kann man die innere Energie bei geschossenen Systemen erhhen durch o Wrmezufuhr a Verdichten und Rhren u Die Darstellung in (2.2) verwendet innitesimale Arbeitsausdr cke, Die u Einheit ist Joule (J). F r konkrete Beispiele muss integriert werden. Fr u u die Prozessgren rechts gilt z.B.: oZ2 1

dQ = Q12

oder

Z

2

1

dW = W12

2

DER ERSTE HAUPTSATZ 2.1.2 Die Volumennderungsarbeit W V a

25

Die Zustandsgren links knnte man ebenso darstellen. Da diese jedoch o o vom Integrationsweg unabhngig sind, gelten aZ Z2 1 2

dU = U2 U1

Hier soll der Term dW V bei reversiblen Prozessen anschaulich gemacht werden. Die allgemeine Herleitung von dW V = pdV ~ aus F d~ ist ber den Gaussschen Integralsatz mglich, jedoch fr s u o u Praktiker unanschaulich. Die anschauliche Darstellung erfolgt anhand des in Bild 2.2 dargestellten Verdichtungsvorgangs bei einem geschlossenen System. Wie in der Mechanik wird die einem System zugef hrte Arbeit u positiv deniert. Das System ist hier die Gasmenge im Zylinder mit der Kolbenche A. a dW V = F ds = pAds Mit ds wird V kleiner, also ist Ads = dV und damit dW V = pdV

und

1 M M dE M = E2 E1 = m(c2 c2 ) + mg(z2 z1 ) 2 1 2 1 Da diese Formen un bersichtlicher sind, wird hier meist von der u dierentiellen Form (2.2) ausgegangen. Dividiert man (2.2) formal durch d , so erhlt man den ersten Hauptsatz, mit Leistungstermen a geschrieben: _ _ _ U + E M = Q+P V +P W (2.3) Die Gren haben die Einheit o Watt (W). In (2.3) ist z.B. dW W =d = P W . Bild 2.1 zeigt schematisch ein System ohne Geschwindigkeitsund M = const.). Hhenanteile (E o Ein geschlossenes\ System " kann im reversiblen Fall Arbeit nur als W V aufnehmen oder abgeben ([1], S.53), zugef hrte u Wellenarbeit dW W fhrt zu u einer irreversiblen Vernderung; a Wellenarbeit kann von diesem System nicht abgegeben werden.

Bild 2.2. Volumennderungsarbeit a

Bild 2.1. Zum 1. Hauptsatz (mit Leistungs- und Arbeitstermen)

Um auf eine endliche Arbeit (in Joule) zu kommen, muss integriert werden. F r den dargestellten Verdichtungsvorgang gilt uV W12

=

V W12 wird als Volumennderungsarbeit bezeichnet. Die Flche unter der a a V Kurve 12 stellt den Betrag der Arbeit W12 dar (siehe auch Kapitel 4). Von 1 nach 2 wird dem System Arbeit zugef hrt: u V W12

Z

2

dW

V

1

=

Z

2

pdV

(2.4)

1

> 0;

Z

2

1

pdV < 0

2

DER ERSTE HAUPTSATZ 2.1.4 Die Wrme Q a

27

Die Flche im p; V -Diagramm entspricht einer negativen Arbeit. a Bei dem Expansionsprozess 2 . . . 1 gibt das System (Gasvolumen) Arbeit ab W21 < 0;Z1

Die Denition f r die Wrme lautet: u a Wrme ist Energie, die allein auf Grund eines a Temperaturunterschiedes zwischen einem System und seiner Umgebung ber die Systemgrenze bertragen wird. u u Bei zwei Systemen gilt die Formulierung sinngem f r die gemeinsame a u Systemgrenze. Die Wrme (in Joule) erhlt man durch Integration a aZ2

pdV > 0

2

F r die Berechnung der Nutzarbeit, bzw. der konkret aufzuwendenden u Arbeit muss p durch (p pu ) ersetzt werden, wobei pu der konstante Umgebungsdruck ist. Mit (2.4) erhlt man dann an W12 =

= 2.1.3

V W12

R21

pdV +u + W12

R21

pu dV

V = W12 + pu (V2 V1 )

(2.5)

Q12 =

1

dQ =

Die Wellenarbeit W W

dW W = Md' ist eine anschauliche Bezeichnung f r die an einer u mechanischen Welle zugef hrte Arbeit. Sie wird Wellenarbeit oder u technische Arbeit genannt. Auf die Zeit bezogen erhlt man daraus mit a W = M!. Also gilt auch d'=d = ! die Wellenleistung P dW W = M d' = P W d bzw. dW W d Der Index W bei der Leistung P wird meist weggelassen. PW = Bei den spter behandelten oenen Systemen | den Modellen f r die a u meisten technischen Anwendungen | ist die Wellenarbeit wichtiger als die Volumennderungsarbeit. a

_ Die Gre Q heit Wrmestrom und wird in J/s = Watt gemessen. o a Der Wrmestrom ist dem Temperaturunterschied und der Flche a a proportional _ Q = kA(T2 T1 ) mit k = const: Ein wrmedichtes, abgeschlossenes\ System heit adiabat. Daf r gilt a u " _ Q=0 2.1.5 Die innere Energie U

Z

2

1

dQ d = d

Z

2

1

_ Qd

Die innere Energie U beschreibt in einer makroskopischen Gre die o kinetische Energie der Molekularbewegung. Die chemisch gebundene und die Kernenergie knnen auch zur inneren Energie gezhlt werden; sie o a bleiben jedoch in dieser Darstellung unber cksichtigt. u U ist eine extensive Zustandsgre. Teilt man das System auf, so ist es o sinnvoll, die auf die Masse bezogene intensive Zustandsgre o U u= m einzufhren. Die Abhngigkeit u a u = u(T; v) (2.6)

2

DER ERSTE HAUPTSATZ

29

heit kalorische Zustandgleichung (im Gegensatz zur thermischen Zustandsgleichung p = p(T; v)). Der Zusammenhang u(T; v) muss fr u jeden Sto neu bestimmt werden. Schreibt man formal @u @u du = dT + dv @T v @v T so hat die partielle Ableitung @u cv = @T v eine besondere Bedeutung. Sie wird als isochore spezische Wrmekapazit t oder als spezische Wrmekapazitt bei konstantem a a a a Volumen bezeichnet. Bei idealen Gasen hngt u nicht von der Dichte = 1=v ab (@u=@v = 0). a Deshalb gilt der wichtige Satz: Bei idealen Gasen h ngt die innere Energie ausschlielich a von der Temperatur ab. Es gilt daf r also u du = cv dT F r manche Gase ist bei kleinen Drcken auerdem cv ber der u u u Temperatur konstant, so dass u(T ) u0 = cv (T T0) geschrieben werden kann. Nheres dazu im Kapitel 5 (Gase). a

2.22.2.1

Der 1. Hauptsatz bei oenen SystemenDie stationre Strmung durch einen Kontrollraum a o

Bei vielen technischen Maschinen | insbesondere bei den Strmungsmaschinen | interessiert wenig, was mit einem geschlossenen o System passiert. Bei diesen lsst sich nach Bild 2.3 ein Kontrollraum\ a " K denieren, in den Gas oder Flssigkeit ein- und ausstrmt, dem u o Wrme und Wellenarbeit zu- oder abgefhrt werden. Der Einfachheit a u halber wird je eine Zuleitung 1 und eine Abf hrung 2 angenommen. u In diesen Rohrquerschnitten interessieren die Zustandsgren. Zu deren o Bestimmung wird ein geschlossenes System betrachtet, das in dem links dargestellten Zustand 1 den Kontrollraum K und die Masse m 1 einschliet. In dem Zustand 2 rechts besteht das geschlossenen System aus dem Kontrollraum K und der Masse m2 . Es werden nur stationre a Zustnde betrachtet, d.h. es gilt a m 1 = m 2 = m Der Zustand links ist durch+ U1 = U K + m(u1 + eM ) 1

gegeben, durch

der

Zustand

rechts

+ U2 = U K + m(u2 + eM ) 2

wobei U K die innere Energie des Kontrollraums ist, und mu1 , mu2 die inneren Energien der Zusatzmassen sind.Bild 2.3. Oenes System

Der 1. Hauptsatz fr den Ubergang des geschlossenes Systems von 1 u

2

DER ERSTE HAUPTSATZ wobei m Massenstrom heit, erhlt man _ a _ m(h2 + eM ) m(h1 + eM ) = Q + P W _ _ 2 1

31

nach 2 lautet+ + W U2 U1 = Q12 + W12

Mit der spezischen mechanischen Energie 1 eM = c2 + gz 2 als Abkrzung erhlt man u a m(u2 + e M ) 2 Z2

Z

2

1

pdV

(2.10)

(2.7)Z2

_ Der Wrmestrom Q und die Wellenleistung P W wurden bereits a eingef hrt. Es ist zu beachten, dass rechts sonst kein | z.B. von der u Volumennderungsarbeit herrhrender | Leistungsterm steht. Andere a u Formen des 1. Hauptsatzes f r oene Systeme sind u h2 + eM h1 e M = q12 + wW 2 2 12 und dh + deM = dq + dw W (2.12) (2.11)

m(u1 +

eM ) 1

= Q12 +

W W12

1

pdV

Da das Kontrollvolumen K fest ist, gilt1

pdV = (p2V2 p1 V1)

d.h. es sind hier nur die Zusatzmassen von Einuss. In dem betrachteten stationren Fall gilt a V1 = v1m und V2 = v2m Also gilt Z2 1

pdV = m(p2 v2 p1 v1 )

Die Gren p und v kennzeichnen den Zustand an den Stellen 1 und 2 o und werden deshalb | wie oben schon die potentielle Energie | in der Gleichung nach links gebracht. Man fasst dabei die Gren u; v; p zu o einer neuen Zustandsgre, der spezischen Enthalpie zusammen: o h = u + pv und speziell h1 = u1 + p1v1; h2 = u2 + p2 v2 Man erhlt damit den 1. Hauptsatz in der Form a Diese Formel wird meist auf die Zeit bezogen geschrieben. Mit m dm ) =m _ dW m(h2 + e M ) m(h1 + eM ) = Q12 + W12 2 1

(2.8)

(2.9)

2

DER ERSTE HAUPTSATZ Die Enthalpie H der Temperatur abhngig h = h(T ) und es gilt a dh = cpdT

33

2.2.2

Die Enthalpie kann entweder wie oben an einem oenen System anschaulich hergeleitet werden oder auch direkt als Zustandgre o mathematisch deniert werden (siehe Kapitel 4). Die spezische Enthalpie h = H=m in J/kg ist eine intensive Zustandsgre. o h = u + pv (2.13) Der Anteil pv kann als spezische Strmungsenergie bezeichnet werden. o Die Gre pV wird auch als Einschub- bzw. Ausschubarbeit bezeichnet, o den Ausdruck Druckenergie\ sollte man nicht verwenden. " Die Enthalpie hngt nur von der Temperatur und vom Druck ab: a h = h(T; p) (2.14) Diese Darstellung nennt man ebenso wie (2.6) kalorische Zustandsgleichung im Gegensatz zur thermischen Zustandsgleichung v = v(T; p) die fr ideale Gase lautet u pv = RT Schreibt man fr (2.14) das totale Dierential u dh =

Bei Fl ssigkeiten und Dmpfen gilt diese Beziehung nur fr p = const., u a u also die Isobare! Fr ideale Gase folgt der Zusammenhang zwischen cp und cv aus u folgender Beziehung h(T ) = u + pv = u(T ) + RT

@h @T

=p

@u @T

+R (2.15)

v

cp(T ) = cv (T ) + R Die Zahlenwerte dieser Gleichung f r Luft sind bei = 1; 400 u 1; 005 = 0; 718 + 0; 28706 in kJ/(kg K)

Die spezische Enthalpie h ist fr viele Stoe vertafelt. Eine besonders u wichtige Rolle spielt die Enthalpie beim Wasserdampf (siehe Kapitel Dmpfe). a

@h @T

dT +

p

@h @p

dpT

so hat auch hier die partielle Ableitung @h cp = @T p eine besondere Bedeutung. Wrmekapazit t bezeichnet. a a Sie wird als isobare spezische

F r das ideale Gas ist die Enthalpie h, wie die innere Energie u, nur von u

3

DER 2. HAUPTSATZ

35 Auerdem wird im Innern eines Systems, z.B. durch Reibungsvorgnge, a Entropie erzeugt dSirr (3.2) die die Umkehrung von Prozessen verhindert, diese also irreversibel macht. Fr die als einfache Modelle hug verwendeten reversiblen u a Prozesse gilt dSirr = 0, f r reale Prozesse stets u dSirr > 0 Fr die gesamte Entropiezunahme des Systems gilt also u dS = dSQ + dSirr oder anders geschrieben T dS = dQ + d mit d = T dSirr (3.6) Darin heit dissipative Energie (zerstreute Energie). Die sonst verwendeten Begrie Reibungsarbeit oder Reibungswrme werden damit a allgemeiner beschrieben. Da jedoch keine Zustands-, sondern eine Prozessgre ist, ist die Bezeichnung Energie\ eigentlich inkonsequent; o " man sollte besser von dissipativer Arbeit sprechen. Meist wird (3.5) in der intensiven Form Becker5 T ds = dq + d geschrieben. Aus (3.1) folgt wegen T > 0: Die Entropie strmt stets in die gleiche Richtung wie die o Wrme. a Fr die zeitliche Ableitung von (3.4) erhlt man u a _ dS Q _ _ _ = SQ + Sirr = + Sirr d T (3.7) (3.5) (3.4) (3.3)

33.1

Der 2. HauptsatzDer 2. Hauptsatz bei geschlossenen SystemenDie Entropie

3.1.1

Man beobachtet folgendes Alle realen Prozesse sind irreversibel, d.h. unumkehrbar. Es gibt immer Reibung. Wrme kann nie von selbst von einem Krper niedrigerer a o Temperatur auf einen Krper mit hherer Temperatur ubergehen. o o Zur Beschreibung dieser Vorgnge wurde 1865 von Clausius4 ein neuer a Begri, die Entropie S eingef hrt: u Die Entropie ist ein Ma Irreversibilitt von Prozessen. a f r u die Unumkehrbarkeit =

Die Entropie soll helfen, Prozesse zu beurteilen. 3.1.2 Der 2. Hauptsatz

In der faszinierenden, unkonventionellen Darstellung [2] von wird die Entropie von Anfang an als Zustandsgre eingefhrt und o u ausf hrlich begr ndet. Hier wird jedoch der klassische Weg gewhlt: u u a Es wird eine neue extensive Zustandsgre S eingefhrt, die an den o u Wrmestrom gekoppelt ist a dQ dSQ = (3.1) T4 5

Rudolf Clausius, 1822 - 1888 Ernst Becker, 1929 { 1984

(3.8)

3

DER 2. HAUPTSATZ 3.1.3 Das Beispiel Wrmebergang a u

37

Bei den hier uberwiegend behandelten stationren Prozessen ist a dS=d = 0, und man erhlt bei einem System mit mehreren a Wrmestrmen a o 0= _ X Qii

T

i

_ + Sirr

(3.9)

Betrachtet wird ein abgeschlossenes (adiabates = wrmedichtes) System a nach Bild 3.1 , in dem, durch eine Wand getrennt, Stoe mit verschiedenen Temperaturen sind. Es wird T1 > T2 angenommen. Dann Wrmestrom a _ Q = kA(T1 T2 ) iet der

Das Verstndnis der Entropie soll anhand der Gleichung (3.9) und der a folgenden Beispiele vermittelt werden. Fr Herleitungen ist vor allem u (3.7) geeignet.

von 1 nach 2. In dieser Formel sind A die Querschnittsche und k der a Wrme bergangskoezient. Im gleichen a u Richtungssinn ndert sich die Entropie, a _ und zwar erfolgt eine Zunahme von Q=T1 _ 2. nach Q=T Die Entropiezunahme ist _ _ _ _ _ irr = Q Q = Q 1 T2 = Q S T2 T1 T2 T1 T2 Diese Entropiezunahme ist immer Temperaturausgleich stattndet.

Bild 3.1. Wrmebergang a u

vorhanden,

wenn

ein

Bei gegebenen Temperaturen kann man das Verhltnis berechnen. a _ irr anteilig umso kleiner wird, je kleiner die Es zeigt sich, dass S _ Temperaturdierenz ist. Sirr ist also um eine Grenordnung kleiner als o _ Q=T2. Fr das Beispiel T1 = 350 K; T2 = 340 K ergibt sich = u 0; 03, die Entropiezunahme ist also nur 3% des Entropiestroms. Bei dem gedanklichen Grenzfall der reversiblen Prozesse, werden kleine _ Temperaturdierenzen angenommen. Dann geht Sirr gegen Null.

3

DER 2. HAUPTSATZ Das Beispiel Elektromotor 3.1.5 Der Wirkungsgrad von Maschinen

39

3.1.4

Gegeben sei das in Bild 3.2 dargestellte thermodynamische System Elektromotor mit den Gren o P E Elektrische, zugef hrte Leistung u P W Abgegebene Wellenleistung _ Q Zugef hrte Wrme u a Aus dem 1. Hauptsatz in der Form (2.2.3) mit E M 0; P V 0 _ _ U = Q PW + PE _ erhlt man im stationren Betrieb (U = 0) a a die an der Welle abgegebene Leistung zu _ PW = PE + QBild 3.2. Das Beispiel Elektromotor

Mit dem Begri und der Vorstellung des Entropiestroms kann man den Wirkungsgrad von Maschinen berechnen, ohne die Vorgnge im Innern, a z.B. die spter behandelten Kreisprozesse, zu kennen. a Der Kontrollraum in Bild 3.3 enthlt z.B. eine Turbine. Dieser wird a _ bei der Temperatur T der Wrmestrom Q zugef hrt wird und bei a u der Temperatur T0 | zum Beispiel der Umgebungstemperatur | der _ Abwrmestrom Q0 abgefhrt. Die abgefhrte mechanische Leistung a u u sei P . Nach dem 1. Hauptsatz _ _ _ H = Q Q0 P

_ folgt im stationren Fall (H = 0) a fr die abgegebene Leistung u _ _ P = Q Q0 und damit fr den Wirkungsgrad u _ P Q = =1 0 (3.10) _ _ Q Q Aus dem 2. Hauptsatz, d.h. aus (3.9) folgt _ _ Q Q _ 0 = 0 + Sirr T T0 _ _ Q0 Q _ = + Sirr T0 T

Nach der Aussage des 1. Hauptsatzes knnte man also die Wellenleistung o erhhen, indem man den Motor heizt! o _ Betrachtet man jedoch gleichzeitig den mit Q verbundenen _ Entropiestrom Q=T, so wrde aus (3.9) u _ _ 0 = Q=T + Sirr _ _ Sirr < 0 folgen, was aber nach dem 2. Hauptsatz unmglich ist. Da Sirr o _ stets vorhanden und > 0 ist, muss Q=T negativ werden, der Motor muss also die Mglichkeit haben, Wrme abzugeben. Aus (3.9) folgt also o a _ _ _ Q = T Sirr = Der Wirkungsgrad ist damit _ _ PW T Sirr jQj = E =1 E =1 E P P P

Bild 3.3. W rmekraftmaschine a

3

DER 2. HAUPTSATZ

41

_ Der Wrmeverlust jQ0 j wird also umso geringer, a _ je niedriger die dissipative Energie Sirr je hher die Eingangstemperatur T und o je niedriger die Temperatur der Abwrme T0 ist. a Eingesetzt in (3.10) erhlt man den Wirkungsgrad a _ T0 T0 Sirr = 1 _ T Q

3.23.2.1

Der 2. Hauptsatz bei oenen SystemenDie stationre Strmung durch einen Kontrollraum a o

(3.11)

_ Der reversible Prozess ist durch Sirr = 0 gekennzeichnet. Fr diesen u Grenzfall erhlt man den Wirkungsgrad a T rev = C = 1 0 (3.12) T Dabei ist C der sogenannte Carnot-Faktor6 Auf Grund dieser Erkenntnisse gilt Der thermische Wirkungsgrad einer Maschine liegt durch die Temperaturverh ltnisse fest. a

Wie bei der Herleitung des 1. Hauptsatzes f r oene Systeme wird u eine beliebige Maschine als Kontrollraum deniert, in den Gas oder Flssigkeit ein- und ausstrmt, dem Wrme zu- oder abgef hrt wird, u o a u und dem Wellenarbeit zu- oder abgef hrt wird. Auch hier wird je u eine Zu- und eine Ableitung angenommen. In diesen Rohrquerschnitten interessiert die Zustandsgre Entropie, zu deren Bestimmung ein o geschlossenes System betrachtet wird. Dieses schliet in dem in Bild 3.4 links dargestellten Zustand den Kontrollraum K und die Masse m 1 ein. In dem rechts dargestellten Zustand (wenig spter) besteht das a geschlossene System aus dem Kontrollraum und der Masse m 2. Es werden nur stationre Zustnde betrachtet, d.h. es gilt a a m 1 = m 2 = m Die Entropie links ist durch S( ) = S K ( ) + ms1 gegeben, der Zustand rechts durch S( + ) = SK ( + ) +ms2 wobei S K die Entropie des Kontrollraums ist und ms1 , ms2 die Entropien der Zusatzmassen sind.Bild 3.4. Oenes System

Fr das geschlossene System folgt durch den in der Mathematik ublichen u Grenz bergang u6

Sadi Carnot, 1796 - 1832

dS dS K = + m(s2 s1) _ d d

3

DER 2. HAUPTSATZ

43

Dies wird in die Gleichung (3.8) eingesetzt. dS K _ _ + m(s2 s1) = SQ12 + Sirr _ (3.13) d _ Der Ausdruck SQ12 ber cksichtigt nur die ber die Wand einstrmende u u o Wrme. Die uber die Rohrleitungen zu- und abgef hrte Wrme wird in a u a ms 1 und ms2 bercksichtigt. _ _ u Z 2 _ Z 2 dQ dq _ SQ12 = =m _ 1 T 1 T Bei einem adiabaten Kontrollraum ist dieser Anteil gleich Null. Aus der Gleichung (3.13) erkennt man, dass bei oenen Systemen die _ Entropie S K des Kontrollraums auch abnehmen kann, obwohl Sirr > 0. Also gilt: Bei oenen Systemen kann infolge der Entropiezu- und abfuhr die Entropie auch abnehmen. F r den stationren Fall dS K =d = 0 erhlt man nach Division durch m u a a _ (s 2 s1) = wobei sirr =Z2 1

3.3

Exergie und Anergie

Wie bei der obigen Betrachtung der Wrmekraftmaschine gezeigt wurde, a kann Wrme nicht vollstndig in mechanische Arbeit umgewandelt a a werden. Deshalb hat Z. Rant7 1953 und 1962 die Begrie Exergie f r die technische Arbeitsfhigkeit und u a Anergie f r den nicht umwandelbaren Teil der Wrme u a eingef hrt. Bild 3.5 zeigt eine idealisierte Wrmekraftmaschine, bei der u a die Abwrme bei der Umgebungstemperatur Tu abgef hrt wird. Fr a u u dieses System lautet der 1. Hauptsatz _ _ 0 = Q Q0 P und mit dem Wirkungsgrad _ _ _ 0 = Q Q0 Q Im Idealfall Tu T ist der in mechanische umwandelbare Wrmestrom a 0 _ _ _ _ EQ = C Q = Q Q00 = C = 1

dq + sirr T

(3.14)

1 _ Sirr m _ die spezische Entropieproduktion ist. Diese enthlt die Reibungsanteile a und die Entropiestrme infolge der Temperaturprole in den Rohren. o Damit ist auch f r oene Systeme die leicht zu merkende Form (3.7) des u 2. Hauptsatzes T ds = dq + T ds irr = dq + d (3.15) hergeleitet. Diese ist gleichwertig mit (3.14), wobei dq die ber die Wand, u nicht ber die Rohrquerschnitte, einstrmende Wrme ist. u o a

LeistungBild 3.5. Exergie und Anergie bei einer Wrmekraftmaschine a

Dies ist der Exergiestrom whrend a T _ _ _ BQ = Q 0 = u Q T der Anergiestrom ist. Zu beachten ist, dass beide Gren mit der Umgebungstemperatur Tu o und nicht mit der technisch erreichbaren Abwrmetemperatur T0 a 0 verwendet. gebildet werden. Deshalb wird hier auch C7

Z. Rant, 1904 { 1972

3

DER 2. HAUPTSATZ

45

Den Carnot-Faktor kann man dabei als exergetische Temperaturskala verwenden, z.B. mit 0 = 0 C 0 = 0; 5 C 0 = 1 C bei t = 15C bei t = 580 K = 307 C bei t ! 1

Folgende Stze sind mit diesen Begrien unmittelbar verstndlich a a Aussage des 1. Hauptsatzes: Exergie plus Anergie ist konstant. Bei irreversiblen Prozessen wird Exergie in Anergie umgewandelt. Bei reversiblen Prozessen ist die Exergie konstant. Anergie kann nicht in Exergie umgewandelt werden. Statt Energieverlust oder Energieverbrauch sollte man besser Exergieverlust bzw. Exergieverbrauch sagen, da Energie nie verloren gehen kann. Die Energiewirtschaft beschftigt sich mit der Exergie. a Beispiel: Ein Schi kann zum Antrieb nur Exergie verwenden, nicht jedoch die uppig vorhandene Energie des Meerwassers.

4

DIE FUNDAMENTALGLEICHUNG

47 Hauptsatzes! Eine andere Form erhlt man mit der Gibbs-Funktion a g = h Ts nmlich a dg = sdT + vdp (4.5) In (4.5) sind die thermische, die kalorische und die entropische Zustandsgleichung enthalten, man erhlt sie aus a @g @g = v(T; p); g + T s = h(T; p); = s(T; p) @p @T Wegen der Schwartzschen Vertauschungsregel f r zweite partielle u Ableitungen gilt @s @v = @p @T Die Gibbs-Funktion g ist f r theoretische Untersuchungen wichtig, sie u wird zum Beispiel f r Rechnungen an Mehrphasen-Gemischen bentigt. u o Folgerungen Der oft wortreich eingeschrnkte oder erweiterte Zusammenhang von a vdp und Wellenarbeit wW gelingt mit den Gleichungen (4.1) bis (4.3) auf exakte Weise. Zieht man die Gleichungen (4.2) und (4.3) von (4.1) ab dh + deM = dq + dwW T ds = dq + d j1 dh = Tds + vdp j 1 so erhlt man a bzw. dw W = vdp + deM + d (4.6) de M = dwW vdp d (4.4)

4

Die Fundamentalgleichung

Neben dem ersten und zweiten Hauptsatz gibt es eine dritte Beziehung, die Fundamentalgleichung der Thermodynamik die auch kanonische Zustandgleichung oder Gibbssche8 Fundamentalgleichung genannt wird. Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen den Zustandsgren. Um die verwirrende F lle der verschiedenen o u Gleichungen zu berblicken, wird hier nur die Darstellung mit intensiven u Zustandgren verwendet und auerdem nach den Gleichungen mit der o inneren Energie u und der Enthalpie h getrennt.

4.1

Die Fundamentalgleichung mit der Enthalpie

Neben dem 1. Hauptsatz in der Form (2.12) (hergeleitet f r oene u Systeme) dh + de M = dq + dwW (4.1) und dem 2. Hauptsatz, geschrieben mit der spezischen dissipativen Energie d = Td sirr in der Form T ds = dq + d gilt unabhngig von diesen die Gibbssche Fundamentalgleichung a dh = T ds + vdp (4.3) (4.2)

Diese Gleichung beschreibt einen Zusammenhang von Zustandsgr en o und enthlt keine Prozessgren. Sie ist keine Variante des 1. a o8

Josiah Willard Gibbs, 1839 { 1903, US-amerik. Physiker und Mathematiker

4

DIE FUNDAMENTALGLEICHUNG

49

F r Rohrstmungen ist dw W = 0 und es gilt u o c2 ) + gdz = vdp d 2 Da d nicht negativ sein kann, folgt bei dz = 0 hieraus: deM d( Die Geschwindigkeit c in der Strmung kann nur zunehmen, o wenn der Druck p sinkt (bei dz 0). Aus (4.7) kann auch leicht die Stromfadengleichung (Bernoulli) der Strmungslehre abgeleitet werden. o Aus (4.7) folgt f r ein inkompressibles Fluid mit der Dichte = u 1=v unter Vernachlssigung der Geschwindigkeiten und Hhenterme a o M = 0) (de 1 d = vdp = dp 1 12 = (p1 p2) (4.8) (4.7)

4.2

Die Fundamentalgleichung mit der inneren EnergieGleichungen entsprechen denen des vorigen

Die folgenden Unterabschnitts.

Neben dem 1. Hauptsatz du + deM = dq + dw V + dwW (4.9) und dem 2. Hauptsatz | geschrieben mit der spezischen dissipativen Energie d = T d sirr | in der Form T ds = dq + d gilt unabhngig von diesen die Fundamentalgleichung a du = Tds pdv Eine andere Form erhlt man mit der Helmholtz-Funktion9. a f = u Ts nmlich a df = sdT pdv (4.13) Die unabhngigen Variablen sind hier T und v anstelle von T und p im a Abschnitt 4.1. Folgerungen Betrachtet man ein System ohne Wellenarbeit dwW = 0, so lautet der erste Hauptsatz du = dq + dw V deM Mit (4.10) und (4.11) erhlt man daraus a9

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Die dissipative Energie lsst sich also aus dem Druckabfall berechnen. a

(4.14)

pdv = dwV + d + de MHermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz, 1821 { 1894

4

DIE FUNDAMENTALGLEICHUNG

51

bzw. dwV = pdv + d + deM du = dq + d Ist das System auch noch adiabat (dq = 0), erkennt man, dass wegen u(T ) die stets vorhandene dissipative Energie eine Temperaturerhhung o bedingt. Zusammenhnge a Die Formeln (4.3) und (4.11) lassen sich mit Hilfe des totalen Dierentials ineinander uberfhren: Man setzt in (4.11) u d(pv) = pdv + vdp oder d(u + pv) = Tds + vdp Auf diese Weise kann man die neue (intensive) Zustandsgre, die o Enthalpie h = u + pu ohne die Betrachtung des oenen Prozesses einf hren. u Natrlich gelten diese Beziehungen auch fr die extensiven Gren u u o V; U; S; H. pdv = d(pv) + vdp ein und bringt den Ausdruck d(pv) nach links (4.15) Bei inkompressiblen Systemen (dv = 0) folgt aus (4.10 ) und (4.11)

4

DIE FUNDAMENTALGLEICHUNG

53 Nach (4.6) gilt fr die spezische Wellenarbeit uW w12

4.34.3.1

DiagrammeDas p; v-Diagramm

=

Das p; V -Diagramm dient, wie bereits in Bild 2.2 gezeigt, zur Veranschaulichung der Volumennderungarbeit. a Es wird hier f r die intensive u Zustandsgre o v als p; vDiagramm dargestellt. Fr u den Verdichtungsprozess 1 . . . 2 istR21

Die aufzuwendende Wellenarbeit ist also grer als die sichtbare Flche. o a Umgekehrt gilt fr den Expansionsprozess 2 . . . 1 uW (w21 )

Z

2

1

vdp + 12 + eM eM 2 1

=

Es wird also weniger Wellenarbeit abgegeben als der Flche entspricht. a Prozesse im p; v-Diagramm In das p; v-Diagramm sind vier Prozesse eingetragen: isobar: p = const., horizontale GeradeBild 4.1. Das p; v-Diagramm

Z

1

2

vdp 21 eM + eM 2 1

pdv < 0 isochor: v = const., vertikale Gerade isotherm: T = const., beim idealen Gas p = RT=v isentrop: s = const., steiler als die Isotherme Daneben gibt es noch die polytropen Prozesse Diese werden im Kapitel Gase behandelt.

Nach (4.15) gilt f r die spezische Volumennderungsarbeit u a wV = 12 Z2 1

pdv + 12 + e M eM 2 1

Die aufzuwendende Volumennderungsarbeit ist also grer als die a o schrg schraerte Flche. a a Umgekehrt gilt fr den Expansionsprozess 2 . . . 1 uV (w21 ) =

Es wird also weniger Arbeit abgegeben als der Flche entspricht. a(Hier wurde die mechanische Energie deM weggelassen; sie hat dasselbe Vorzeichen wie d. Im folgenden wird sie mitgef hrt.) u

Z

1

2

pdv 21 (eM eM ) 1 2

Betrachtet man die horizontal schraerte Flche, so ist f r den a u dargestellten Verdichtungsprozess 1 . . . 2R21

vdp > 0

4

DIE FUNDAMENTALGLEICHUNG Das T; s-Diagramm Prozesse im T; s-Diagramm Im T; s-Diagramm gilt f r die wichtigsten Prozesse: u isobar: siehe Bild 4.2 isochor: steiler als die Isobare isotherm: T = const., horizontale Gerade isentrop: s = const., vertikale Gerade polytrop: stets nach rechts verlaufend

55

4.3.2

Das T; s-Diagramm ist wegen der Gleichungen (4.2) und (4.3) T ds = dq + d bzw. dh = Tds + vdp zur Veranschaulichung von thermodynamischen Prozessen besonders geeignet: Bei reversiblen Prozessen (d = 0) ist q12 Bei isobaren Prozessen (dp = 0) ist h2 h1 = Aus (4.3) erkennt man, dass fr u Isobaren (p = const.) gilt cp dT = T ds Die Steigung der Isobaren ist damit dT T = ds cp In Bild 4.2 erscheint deshalb die Gre cp als Subtangente. Fr o u Gase mit cp = const. sind die Isobaren in dieser Darstellung Exponentialfunktionen.Bild 4.2. Das T; s-Diagramm mit Isobaren

Die Wrme- und Enthalpiedierenzen erscheinen als Flchen. a a

R2 = 1 Tds R21

Tds

Ebenso kann man aus der Fundamentalgleichung in der Form (4.11) du = T ds pdv die Zusammenhnge f r die Isochoren (v = const.) a u herleiten. Die Subtangente ist dann cv . Die Isochoren verlaufen steiler als die Isobaren, da beim idealen Gas cv (T ) = cp (T ) R ist.

5

GASE

57 Gastheorie kann man zeigen, dass fr diese gelten u 5 3 cp = R und cv = R 2 2 Beweis: Es ist zu zeigen, dass u = 3 RT = 3 pv. 2 2 Ein Wrfel der Kantenlnge a erfhrt auf einer Seitenche u a a a den Druck p. Dieser wird durch den Aufprall der Gasatome hervorgerufen, die dort eine Geschwindigkeitsnderung von a 2c erfahren. Der Kraftsto ist gleich der Impulsnderung a m 2 pa = 2c 3 Die in einer Richtung bewegte Masse ist ein Drittel der Gesamtmasse. Nach der Zeit = 2a=c stoen die Teichen wieder auf dieselbe Wandche. Mit m = V=v = a3 =v erhlt a a man 1 a3 c2 3 p2a3 = 2c und daraus = u = pv w.z.b.w. c 3v 2 2 Fr alle idealen Gase gilt u cp(T ) cv (T ) = R (5.4) Fr zweiatomige Gase (O2, N2 ) wrde man nach der kinetischen u u Gastheorie 7 5 cp = R und cv = R 2 2 erhalten; fr dreiatomige Gase (H2O, CO2 ) erhielte man u 8 6 cp = R und cv = R 2 2 Als Nherung gelten diese Beziehungen unterhalb von 200 C z.B. fr a u Luft und Wasserdampf. Der Quotient cp (T ) = (5.5) cv heit Isentropenkoezient. Mit den Zahlenwerten aus der kinetischen Gastheorie erhlt man a

55.1

GaseAllgemeines

In diesem Kapitel werden die Eigenschaften von Gasen zusammengestellt, auch wenn manche Zusammenhnge bereits in a fr heren Kapiteln zur Veranschaulichung verwendet wurden. u Gase, die der Gleichung pv = RT (5.1) gengen, heien ideal. Diese haben auerdem noch die Eigenschaft, dass u die Enthalpie h und die innere Energie u nur von der Temperatur abhngen a h = h(T) oder u = u(T ) (5.2) Wegen (5.1) und h = u + pv sind beide Zusammenhnge gleichwertig. a Reale Gase weichen erst bei sehr hohen Drcken von diesen u Eigenschaften ab.

5.2

Spezische Wrmekapazitten a aZT

Aus (5.2) folgen h h0 =T0

cpdT

und u u0 =

Die in Kapitel 2 als partielle Ableitungen eingefhrten Gren cp und u o cv heien isobare spezische Wrmekapazitt bzw. isochore spezische a a Wrmekapazit t. Sie sollten begrilich jedoch nicht mit der Wrme q, a a a sondern mit den Zustandsgren h bzw. u in Verbindung gebracht o werden. Die c-Werte sind bei idealen Gasen im allgemeinen temperaturabhngig a cp = cp (T ) und cv = cv (T ) Nur bei den einatomigen Edelgasen (He, Ne, Ar, Kr, Xe) sind die spezischen Wrmekapazitten konstant. Mit Hilfe der kinetischen a a

Z

T

T0

cv dT

(5.3)

5

GASE = 5/3 = 1,667 7/5 = 1,40 8/6 = 1,333 bei Edelgasen bei zweiatomigen Gasen und Luft bei dreiatomigen Gasen

59

5.3

Isentrope Prozesseder Fundamentalgleichung bzw. dh = T ds + vdp

10 Nach

Auer bei Edelgasen ist temperaturabhngig. Deshalb steht dort das a -Zeichen. Aus (5.4) und (5.5) folgen 1 cv = R und cp = R (5.6) 1 1

du = T ds pdv

gelten bei isentropen Prozessen du = pdv +dx bzw. dh = +vdp dy Whrend x nur in diesem Abschnitt als Abk rzung verwendet wird, ist y a u in der Literatur, z.B. in [1] ublich. Mit den oben eingefhrten, konstanten u spezischen Wrmekapazitten gelten a a cv dT = dx und cpdT = dy x12 = cv (T2 T1 ) und y12 = cp (T2 T1) x12 = x12 = R (T T1) 1 2 und y12 = R (T T1) 1 2

Dasselbe Ergebnis erhlt man in der v; p-Darstellung mit p v . Die a Integration ist jedoch mathematisch m hsamer. u Es ist zu beachten, dass die Gren x und y nicht die Arbeiten wV bzw. o W sind (s.u.). w

1 (p2 v2 p1 v1 ) und y12 = (p2 v2 p1v1) 1 1

Der Inhalt dieses Unterabschnitts und auch der folgenden im Kapitel Gase geht u ber den Pichtsto hinaus. F r praktische Anwendungen ist er jedoch wichtig, u besonders bei Prozessen mit hohen Temperaturen, wie sie bei modernen Motoren und Turbinen auftreten.

10

5

GASE

61

5.4

Der Polytropenexponent n

5.5

Das Polytropenverhltnis a

Nach G. Zeuner (1866) wird ananalog zu p v bei polytropen Prozessen deniert p vn wobei n Polytropenexponent heit. Bei Kompression ist n = n K > , bei Expansion ist n = nE < . Die Integration liefert analog zum isentopen Prozess R nR x12 = (T2 T1) und y12 = (T2 T1 ) n1 n1 x12 = 1 n (p2 v2 p1v1) und y12 = (p v p1 v1 ) n1 n1 2 2 1 R

A. Stodola hat 1922 eine anderer Denition fr polytrope Prozesse u eingef hrt, die nicht nur f r Gase bei konstanten Wrmekapazitten u u a a sinnvoll ist dh = dy wobei Polytropenverh ltnis heit. Bei Kompression ist > 1, so dass a man dort schreiben knnte o 1 dy = dh = K dh Bei Expansion ist < 1, so dass man dort schreiben knnte o dh = dy = E dy Die -Werte sind dabei als Wirkungsgrade zu verstehen. Aus der Fundamentalgleichung folgt hier 1 T ds = (1 )dh und damit aus dem 2. Hauptsatz: 1 (1 )dh = dq + d Daraus erhlt man z.B. im adiabaten Fall (dq = 0) die dissipitive a Energie. Der Vergleich mit der Zeuner'schen Darstellung folgt aus 1 n dy = cp dT und dy = RdT n1 Daraus erhlt man a n1 = 1 n oder aufgelst nach n o n= ( 1)

Zu beachten ist, dass nach wie vor cp = dw = dx + d undV

ist!

Aus dem 1. und 2. Hauptsatz sowie der Fundamentalgleichung folgen bzw. dwW

= dy + d

R nR )dT d bzw. dq = (cp )dT d n1 n1 Dies ist kein Widerspruch, denn es gilt 1 1 n = 1 n1 1 n1 dq = (cv

5

GASE

63

5.65.6.1

Nichtkonstante Wrmekapazitten a aSpezische Enthalpie

tC

c pkJ kgK

tC

c pkJ kgK

Die Annahmen cp = const., cv = const., bzw. = const. sind bei greren Temperaturbereichen nur sehr ungenaue Nherungen. o a Bei genauerer Darstellung wird mit der mittleren spezischen Wrmekapazitt gearbeitet. Diese wird wie folgt eingef hrt: a a u Z t 1 c p (t) = c dt (5.7) t 0 p Der Bezugspunkt der Enthalpie ist 0 C. Dann gilt h = p t c Wie man aus Bild 5.1 erkennt, gilt fr u die Enthalpiedierenz exakt h2 h1 = p (t2 )t2 cp(t1 )t1 c Setzt man f r p benachbarte oder u c interpolierte Werte ein, so ergibt sich eine hohe Genauigkeit. Deshalb wird nicht die Enthalpie, sondern die mittlere spezische Wrmekapazitt vertafelt. a a Tab. 5.1 ist ein Auszug fr Luft aus [1], u S. 424.Bild 5.1. Enthalpieverlauf, schematisch

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

1,0030 1,0032 1,0034 1,0037 1,0041 1,0046 1,0051 1,0057 1,0065 1,0073 1,0082 1,0093 1,0104 1,0117 1,0152 1,0192 1,0237 1,0286 1,0337 1,0389 1,0443 1,0498 1,0552

700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200

1,0606 1,0660 1,0712 1,0764 1,0814 1,0863 1,0910 1,0956 1,1001 1,1045 1,1087 1,1128 1,1168 1,1243 1,1315 1,1382 1,1445 1,1505 1,1561 1,1615 1,1666 1,1714

Tab. 5.1. Mittlere, isobare spezische W rmekapazit ten cp f r Luft in kJ/(kg K) a a u

5

GASE Spezische EntropietC

65

5.6.2

Bei der Berechnung von isentropen Prozessen wird hug mit der Beziehung a 1 T p gearbeitet. Diese wird jedoch unter der Voraussetzung konstanter Wrmekapazitten hergeleitet. a a Die genauere Berechnung geschieht wie folgt: Aus der Fundamentalgleichung dh = T ds + vdp folgen dT dp R T p Z T dT p s = s0 + cp R ln T p0 T0 ds = cp s = s0 (T ) R ln p p0

s0kJ kgK

tC

s0kJ kgK

tC

s0kJ kgK

tC

s0kJ kgK

tC

s0kJ kgK

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

6,5735 6,6175 6,6596 6,7000 6,7389 6,7763 6,8124 6,8473 6,8810 6,9136 6,9452 6,9759 7,0057 7,0347 7,0628 7,0903 7,1170 7,1431 7,1685 7,1934

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 320 340 360 380

7,2177 7,2414 7,2647 7,2874 7,3098 7,3316 7,3531 7,3741 7,3948 7,4151 7,4350 7,4546 7,4739 7,4928 7,5115 7,5299 7,5658 7,6007 7,6346 7,6676

400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700 720 740 760 780

7,6997 7,7311 7,7617 7,7916 7,8209 7,8494 7,8773 7,9047 7,9315 7,9578 7,9836 8,0089 8,0338 8,0581 8,0821 8,1057 8,1288 8,1516 8,1740 8,1960

800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750

8,2177 8,2704 8,3212 8,3703 8,4176 8,4634 8,5077 8,5506 8,5922 8,6326 8,6719 8,7101 8,7473 8,7835 8,8187 8,8531 8,8867 8,9195 8,9515 8,9828

1800 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250

9,0134 9,0433 9,0726 9,1013 9,1295 9,1570 9,1841 9,2106 9,2366 9,2621

Die Funktion s0 (t) ist eine Isobare und in Tab. 5.2 dargestellt, einem Auszug fr Luft aus den Tabellen in [1], S. 425f. u

5.6.3

Isentrope und polytrope Prozesse

Ist z.B. ein Zustand p1 ; t1 gegeben, und sucht man t2 = t(p2 ) nach einer isentropen Verdichtung, so berechnet man R ln p2 und addiert dies zu p1 dem Tabellenwert s0 (t1 ). Zu dem so gewonnenen s0 (t2 )-Wert ermittelt man durch Interpolation den Wert t2 . Begrndung: Fr die Isentrope ds = 0 ist u u s = s 0 und damit p s0 (T ) s 0 (T ) = R ln 1 p1 Polytrope Prozesse sind am besten mit dem Polytropenverhltnis zu berechnen: a Man erhlt a p s0 (t2 ) = s 0 (t 1 ) + R ln 2 p1

Tab. 5.2. Spezische Entropie s0 fr Luft in kJ/(kg K) f r p 0 = 1 bar u u

Zahlenbeispiel: p1 = 200 kPa; t1 = 20 C; p 2 = 4000 kPa. Man erhlt a in kJ/(kg K) mit R = 0; 28706: s0 (20 C) = 6; 8473, R ln 20 = 0; 85995, s0 (t2 ) = 7; 7073 und mit linearer InterpolationBild 5.2. Schematische Darstellung der Isobaren s0 (T ) im T ; s-Diagramm

den Wert t2 = 404; 8 C.

t 2 = 400 + (420 400) 7;70737;6997 7;73117;69971

Mit konstantem = 1; 400 ergibt sich aus T p

der Wert t2 = 416; 8 C.

5

GASE

67

Fr die vereinfachte Rechnung ist es sinnvoll, mit einem variierten -Wert zu u rechnen, wie man ihn fr Luft in Tab. 5.3 ndet. Diese Werte wurden vom u Autor aus den Diagrammen S. 195 und S. 199 aus [1] ermittelt. t C 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

1,400 1,386 1,365 1,345 1,329 1,316 1,308 1,302 1,298 1,296

Tab. 5.3. Isentropenkoezienten f r Luft u

Fr das obige Beispiel erhlt mit mit dem Wert von 200 C und = 1; 386 die u a Temperatur t2 = 402 C.

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DAMPFE

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6

Dmpfe a

6.1

Das p; T -Diagramm

In diesem Kapitel werden die thermodynamischen Eigenschaften reiner Fluide behandelt. Als Beispiel wird stets der Wasserdampf verwendet. Mit anderen Zahlenwerten gelten diese Zusammenhnge auch f r andere Stoe. Der Zustand a u von Wasserdampf hngt von 3 Gren ab, z.B. von a o p; v; T Die dreidimensionale Darstellung ist zum Beispiel in [1], S.154 zu sehen. Hier werden daraus zwei Projektionen dargestellt, die meist als anschaulicher empfunden werden.

Betrachtet man das p; v; T Diagramm in Richtung der (negativen) v-Achse, so erhlt a man das p; T -Diagramm von Bild 6.1 . Hier erkennt man die Gebiete der festen, ssigen und gasfrmigen u o Zustnde. a Links unten erkennt man die Sublimationsdruckkurve Die Schmelzdruckkurve verluft fast senkrecht. a Die in 6.2 eingefhrten u Begrie: Siedelinie, Nassdampfgebiet und Taulinie fallen in dieser Darstellung zusammen und werden als Dampfdruckkurve bezeichnet.Bild 6.1. Das p; T -Diagramm f r u Wasserdampf (nicht mastblich) a

Die drei Druckkurven teilen den Bereich in fest { ssig { gasfrmig ein. u o Es gibt einen sogenannten kritischen Punkt K. pK = 221; 2 bar; TK = 374; 15 C; vK = 0; 00317 m3 =kg

Oberhalb von TK gibt es keinen Unterschied zwischen ssig und u gasfrmig. o Die drei Druckkurven schneiden sich im Tripelpunkt. Fr diesen sind alle drei Phasen im thermodynamischen Gleichgewicht: u Eis, Wasser, Dampf. Die genauen Werte sind tTr = 0; 01 C; TTr = 273; 16 K; pTr = 611; 66 Pa = 0; 006 : : : bar

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DAMPFE

71Gerade ersetzt werden (siehe [1]). Das Nassdampfgebiet wird im Abschnitt 6.5 ausf hrlicher beschrieben. u

6.2

Das p; v-Diagramm

Betrachtet man das erwhnte p; v; T -Diagramm in Richtung der (negativen) a T -Achse, so erhlt man das p; v-Diagramm. Damit dieses Diagramm nicht a unntig kompliziert erscheint, wird auf die Darstellung des festen Gebietes, o auf Sublimation u.s.w. verzichtet. Eine genauere Darstellung ndet sich in [1], S.156. Folgende Eigenschaften knnen aus dem p; v-Diagramm abgelesen werden. o Bei hohen Temperaturen verhlt sich a der Dampf wie ein Gas 1 p v Die Isotherme durch den Kritischen Punkt K heisst kritische Isotherme (TK ) Unterhalb von Nassdampfgebiet. K liegt das

6.3

Das T; s-Diagramm

Die linke Grenzkurve heit Siedelinie (Index 0 ) Die rechte Grenzkurve heit Taulinie (Index 00 ), dort bendet sich Sattdampf. Bild 6.2. p; v-Diagramm von Wasserdampf(die v-Achse ist etwa logarithmisch)

Zur Darstellung von Kreisprozessen und technischen Verdampfungsvorgngen ist das T; sa Diagramm besonders anschaulich. Hier erscheint wegen T ds = dq + d im reversiblen Fall (d = 0) die Wrmezufuhr als Flche unter a a beliebigen Kurven. Die Flchen a unter Isobaren geben wegen dh = T ds + vdp stets (auch bei d 60) die Enthalpiedierenzen an. = Man beachte, dass diese Flchen im a T; s-Diagramm und nicht im hug a gezeichneten t; s-Diagramm gemeint sind.Bild 6.3. Das T; s-Diagramm

Rechts von der Tauline ist das Gebiet des uberhitzten Dampfs Die Isobare = Isotherme durch Tr heit Tripellinie Fr die Isothermen gibt es mathematische Beschreibungen z.B. von Redlichu Kwong11 und G. Soave 12 . Die fr her verwendete Gleichung von van der u Waals13 gen gt den heutigen Genauigkeitsanforderungen nicht mehr. Die u mathematischen Funktionen mssen im Sattdampfgebiet durch eine mittelnde u11 12

. . . Redlich-Kwong G. Soave 13 Johann Diderik van der Waals (1837 { 1932)

6

DAMPFE

73

6.4

Das h; s-Diagramm

6.5

Das Nassdampfgebietx in kg/kg

Die Darstellung der Prozesse ist im T; s-Diagramm zwar sehr anschaulich, f r u die Erzielung von numerischen Ergebnissen ist dieses jedoch etwas umstndlich, a da ber die Flchen integriert werden muss. Abhilfe schat hier das 1904 u a von Mollier14 entworfene h; s-Diagramm, in dem die Enthalpien direkt abgelesen werden knnen. Bei seltener Benutzung ist dieses jedoch etwas o gewhnungbed rftig. Zum genaueren Arbeiten sind ohnedies die Dampftafeln o u unerlsslich. a Fr das physikalische Verstndnis ist jedoch die Kenntnis des Verlaufs der u a Kurven im h; s-Diagramm wichtig. Aus der Fundamentalgleichung dh = T ds + vdp ergeben sich als wichtige Eigenschaften: F r Isobaren gilt u

Im Nassdampfgebiet taucht der Dampfgehalt als eine neue Zustandsgre auf: o Dabei ist m00 m0 + m00 00 m ist die Masse des Sattdampfs, m0 die Masse des Wassers. x= Auf der Siedelinie (links) ist x = 0, auf der Taulinie ist x = 1. Die Zustnde a bei x = 0 werden mit 0 die Zustnde bei x = 1 mit 00 gekennzeichnet. a F r die Zustandsgren im Nassdampfgebiet gilt: u o v = v 0 + x(v00 v0 ) s = s 0 + x(s00 s0) h = h0 + x(h00 h0 ) = h0 + xr Die Gre o r = h00 h0 = T (s 00 s0 ) (6.4) heit Verdampfungsenthalpie. Die eingestrichenen und zweigestrichenen Werte entnimmt man Dampftafeln. (6.1) (6.2) (6.3)

(dh=ds)p = T

Sie sind also umso steiler, je hher die o Temperatur ist. Im Nassdampfgebiet Isobaren Gerade. sind die

Die Isothermen haben an der Sattdampfgrenze (x = 1) einen Knick. Die Isothermen haben im Gebiet des berhitzten Dampfs horizontale u Asymptoten, da dort wie bei idealen Gasen h = h(T ) gilt.Bild 6.4. Das h; s-Diagramm

6.6

Dampftafeln

F r die Damptafeln wird auf die Lehrbcher ([1], [5]) verwiesen. Fr u u u das Heidampfgebiet nden sich in [8] ausfhrliche Tabellen. F r exaktere u u Berechnungen in der Praxis sind die Tabellen von [9] oder von [10] heranzuziehen.

Der in Bild 6.4 markierte Ausschnitt wird als Diagramm mit vielen Parameterlinien f r die praktische Rechnung verwendet und ist z.B. in [5] oder u [7] als Anlage enthalten.

14

Mollier