Geometrie – Inklusionsmaterial 3 - Persen · Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen...

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GeometrieInklusionsmaterial

Grundwissen Mathematik inklusiv

C. Spellner · C. Henning · M. Körner

Geometrie – Inklusionsmaterial 3Konstruieren von Figuren

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch.

Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt. h verf

1C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 3© Persen Verlag

1. Vorwort

Der Unterrichtsstoff muss neben den Haupt- und Realschülern auch lernschwächeren Schülern1 – und im Zuge der Inklusion ver-mehrt Schülern mit sonderpädagogischem Förderbedarf – nachhaltig vermittelt werden. Der vorliegende Band bietet Ihnen entspre-chende Kopiervorlagen. In ihm sind Aufgaben sowohl für Regelschüler, als auch für Schüler mit sonderpädagogischem Förderbedarf zu-sammengefasst und bieten somit eine ideale Grundlage für Ihren inklusiven Mathematikun-terricht. Machen Sie von den veränderbaren Word-Dateien auf CD Gebrauch, um den indi-viduellen Leistungsstand Ihrer Schüler be-rücksichtigen zu können. Die Arbeitsblätter für

1 Wir sprechen hier wegen der besseren Lesbarkeit von Schülern bzw. Lehrern in der verallgemeinernden Form. Selbstverständlich sind auch alle Schülerinnen und Lehre-rinnen gemeint.

Schüler mit sonderpädagogischem Förderbe-darf haben einen grauen Seitenrand. Die Ar-beitsblätter ohne grauen Seitenrand stammen aus dem Muttertitel „Grundwissen Ebene Geometrie“ und enthalten inhaltsgleiche, aber zieldifferente Aufgaben als Basis für die Re-gelschüler, bzw. als Erweiterung für die schnellen lernschwächeren Schüler.Viele Inhalte für die lernschwächeren Schüler mit sonderpädagogischem Förderbedarf sind weniger abstrakt und anschaulicher darge-stellt. Sie benötigen oft das handlungsorien-tiertere Arbeiten und das Wiederholen thema-tisch grundlegender Rechenschritte, um die Inhalte regelrecht begreifen zu können.

2. Methodisch-didaktische Hinweise

2.1 Stolpersteine der Geometrie

Schon in der Grundschule erarbeiten sich die Schüler den Begriff „Figur“, indem sie ganz-heitlich wahrnehmen und auf vielfältige Weise untersuchen. Meist wird hier auch schon mit ersten Abbildungen gearbeitet. Aber auch der Umgang mit den Figuren wird gefördert. Natürlich wird auch betont, dass die Figuren in der Mathematik idealtypische Formen sind, die in der Umwelt und im Alltag nur annährend den idealtypischen Charakter aufzeigen.So kann man eine komplexe Figur zum Bei-spiel in verschiedene Dreiecke und Vierecke zerlegen, um eine Annährung an die geomet-rische Figur zu erlangen. Manche Figuren im Alltag haben aber auch abgerundete Ecken, sodass hier die typische Charakteristik der Ecke verlorengeht und mathematisch nicht mehr korrekt ist.

Die Problemfelder innerhalb der ebenen Geo-metrie gehen mit den Bereichen Räumliches Vorstellungsvermögen und Visuelle Wahr-nehmung einher, auf denen die visomotori-sche Koordination aufbaut. Im Folgenden werden die Bereiche daher kurz erläutert. Die Erläuterungen lassen zugleich die Schwierig-keiten abschätzen, mit denen gerechnet wer-den muss. Gegebenenfalls müssen Sie auf Grundschulmaterialien zurückgreifen, um die entsprechenden Einsichten, die beschrieben werden, aufzubauen.

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Die visuelle Wahrnehmung ist die Grundvor-aussetzung für ein räumliches Vorstellungs-vermögen. Wahrnehmen stellt einen aktiven Prozess dar. Das Wahrnehmen geht über das bloße Sehen hinaus, denn es ist eng mit dem Gedächtnis und den damit gespeicherten Er-fahrungen verbunden. Aber auch die Art des Denkens und des Vorstellens spielt hierbei eine große Rolle. Wahrnehmen ist ferner auch Sprache. Beim Sehen werden zunächst nur Gegenstände gesehen. Das Wahrnehmen er-fasst Merkmale von Objekten, identifiziert ein Objekt, setzt es in Beziehungen zu der Um-welt, vergleicht verschiedene Objekte mitein-ander, um es dann mit einem Namen zu bele-gen. Allerdings muss hierzu auch ein visuelles Gedächtnis vorhanden sein. In ihm werden charakteristische Merkmale eines nicht mehr präsenten Objektes gespeichert. Diese Merk-male können dann mit dem visuellen Ge-dächtnis auf andere präsente Objekte über-tragen werden.Zur visuellen Wahrnehmung zählt u. a. die Fi-gur-Grund-Wahrnehmung. Das heißt, die Schüler müssen in der Lage sein, aus einem komplexen Bild Teilfiguren zu erkennen und Hintergrund von Gesamtfigur zu unterschei-den. Ebenso fällt in diesen Bereich die Wahr-nehmungskonstanz. Das heißt, dass die Schü-ler Objekte in verschiedenen Größen, räumli-chen Lagen und Farben unterscheiden können (räumliche Konstanz). Hierzu muss visuell unterschieden werden. Das heißt, es handelt sich hier um die Fähigkeit, Ähnlichkeiten und Unterschiede zu erkennen und zu benennen. Weiterhin müssen die Schüler in der Lage sein, räumliche Beziehungen in Bezug auf den eige-nen Körper wahrzunehmen und einzuordnen (Räumliche Wahrnehmung). Zum anderen müssen sie räumliche Gruppierungen von Ob-jekten und deren Beziehung untereinander er-fassen und auch beschreiben können (Räum-liche Beziehungen). Ebenso muss die Wahr-

nehmung der Raumlage eines Objektes er-folgen. Hierbei müssen die Schüler in der Lage sein, die Raumlage eines Objektes zu einem Bezugsobjekt (z. B. eigene Person) zu erken-nen und zu beschreiben. Auch die Visualisierung kann einen Stolper-stein darstellen. Das bedeutet, dass die räum-lichen Bewegungen (z. B. Verschiebungen, Drehungen) ohne Anschauungshilfen auf ge-danklicher Vorstellungsebene erfolgen müs-sen (räumliches Vorstellungsvermögen).Schwieriger wird es, wenn die eigene Person in einer räumlichen Situation verortet werden soll (Räumliche Orientierung). Ebenso schwie rig ist die Vorstellung von Rotationen. Dabei muss beachtet werden, dass sich die Schüler eine exakte Rotation von ebenen und dreidimensionalen Objekten vorstellen kön-nen müssen.Unter visomotorischer Koordination ver-steht man die Fähigkeit, dass das Sehen mit dem eigenen Körper sinnvoll in Verbindung gebracht wird, sodass eine adäquate Koordi-nation und eine daraus resultierende Hand-lung erfolgen kann. Diese ist notwendig, wenn man z. B. etwas ausschneiden oder nachzeich-nen möchte. Neben den Schwierigkeiten, die die Schüler im Bereich der visuellen Wahrneh-mung und dem räumlichen Vorstellungsver-mögen haben können, können die Schüler auch motorische Schwierigkeiten haben, sodass ihnen das Zeichen und Messen nur mühsam gelingt und ihre Arbeiten in diesem Bereich sehr ungenau sind.

2.2 KompetenzerwartungenDie Kompetenzerwartungen können in die Be-reiche Erfassen, Konstruieren, Messen und Anwenden unterteilt werden. Die nachfolgen-de Tabelle gibt einen Überblick über die Kom-petenzerwartungen in den genannten Berei-chen.

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Bereich Kompetenzerwartungen

Erfassen verwenden von Fachbegriffen (z. B. Gerade, Strecke, Winkel, Abstand, Radi-us, parallel, senkrecht, symmetrisch)Beschreiben von ebenen und räumlichen Figuren Benennen von Objekten (z. B. Rechteck, Quadrat, Kreis, Quader, Würfel, Zy-linder)Identifizieren von Objekten in der Umwelt Charakterisieren von Objekten (z. B. rechtwinklig, gleichschenklig, gleichsei-tig)

Konstruieren Muster (im Koordinatensystem) zeichnenzeichnen grundlegender Beziehungen (z. B. Parallele, Senkrechte, Winkel)zeichnen von Figuren (z. B. Rechtecke, Quadrate, Kreise) Schrägbilder skizzieren Körpernetze zeichnen und Körper daraus bauen Zeichnen von Figuren nach Angaben (z. B. nach Seiten und Winkeln)Figuren maßstabsgetreu vergrößern und verkleinern Figuren spiegeln, drehen und verschieben

Messen Schätzen von Längen, besonderen Winkeln, Umfängen, (Ober-) Flächenin-halten und Volumina Bestimmen von Längen, besonderen Winkeln, Umfängen, (Ober-) Flächen-inhalten und Volumina

Anwenden erfassen und benennen von Eigenschaften von Objektenbegründen von Eigenschaften mit Hilfe von Symmetrien, Winkelsätzen und Kongruenzen sowie mithilfe des Satzes des Pythagoras/Thalesberechnen geometrischer Größen mithilfe des Satzes des Pythagoras/Tha-les und Ähnlichkeitsbeziehungen berechnen geometrischer Größen mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens

2.3 Anregung zum Einstieg in das Thema Geometrie

Für einen Einstieg in das Thema bieten sich Bastel- und Faltübungen als aktive Handlung besonders gut an. Denn sie regen die Fanta-sie der Schüler an und sind in ihrer Aufgaben-stellung für die meisten Schüler sehr anspre-chend.

Allerdings muss hier beachtet werden, dass diese Übungen zu Fehlvorstellungen beitra-gen können. So muss man bedenken, dass das Herstellen eines Würfels aus einem Würfelnetz eigent-lich aus der Ebene erfolgt, dann aber ein drei-dimensionales Objekt ist. Ferner wird niemals

so genau gefaltet, dass zwingend ein exakter rechter Winkel entsteht. Manche Schüler sind motorisch geschickter als andere, sodass durchaus „schiefe“ Objekte entstehen. Glei-ches gilt beim Falten. Wenn eine Parallele oder Senkrechte gefaltet wird, kann das durch-aus ungenau sein.Im Bereich der Kongruenzabbildungen legt man gern zwei Figuren, die man auf dem Pa-pier gezeichnet und anschließend ausge-schnitten hat, übereinander. So werden aber zwei Ebenen benutzt, obwohl eigentlich nur eine Ebene betrachtet wird.

Dennoch haben Bastel- und Faltübungen ei-nen unheimlich großen Aufforderungscharak-ter, was für die Schüler sehr motivierend ist.

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Denn sie können hier nicht nur selbst aktiv werden, sondern die entstehenden Objekte ih-ren Vorstellungen entsprechend mitgestalten (z. B. ausmalen). Außerdem gibt es den Schü-lern etwas in die Hand, wodurch bestimmte Merkmale besonders deutlich und zugänglich gemacht werden können.

Je nach Thema gibt es verschiedene Aufga-ben, die man mit auf den Weg geben kann.

Beispiele:Figuren benennen und zuordnen: Zeichnen und Ausschneiden, anschließend in der Um-welt findenSenkrechte und Parallelen: mithilfe eines Blattes falten und ausmalenKongruenzen: Figuren zeichnen, ausschnei-den und übereinanderlegenInnenwinkelsumme von Dreiecken/Vierecken: „Konstruiere ein Dreieck/Viereck. Reiße die Ecken ab und lege sie zusammen. Welche Winkelsumme entsteht?“Umfang: Figur mit einem Seil umlegenFlächeninhalt: bekannte Figuren in Figuren einzeichnen/Figur zerschneiden und zu einer bekannten Figur zusammenlegen

2.4 Durch Kooperation Inklusion ermöglichen

Im Sinne der Inklusion ist es wichtig, dass Sie neben individueller Förderung um kooperative Lernformen bemüht sind. Die nachfolgend aufgeführten Beispiele zeigen deutlich, dass hier nicht in Einzelarbeit strikt nach Leistungs-stand gearbeitet wird, sondern die Schüler sich die einzelnen Themen in der Klassenge-meinschaft gemeinsam arbeiten. Im Laufe der Erarbeitung und Bearbeitung des Themas bie-ten sich verschiedene kooperative Lernme-thoden an. Hier werden exemplarisch einige aufgeführt.

1. Lernpartner/LerngruppenIn Lerngruppen arbeiten die Schüler zwar indi-viduell, aber doch gemeinsam an einem The-ma und nutzen dafür die Stärken und Vorteile

einer Gruppe. Die Gruppen können entweder leistungsheterogen oder weitestgehend leis-tungshomogen zusammengestellt sein. Bei leistungsheterogenen Gruppen sollten Sie un-bedingt darauf achten, dass die Schüler unter-einander klare Rollen haben – ein leistungs-starker Schüler unterstützt z. B. einen leis-tungsschwächeren Schüler, welcher wieder-um einem ebenfalls leistungsschwächeren Schüler erläutert, was er soeben mit seinem Mitschüler gelernt hat. In leistungshomoge-nen Gruppen kann das Gruppenwissen gefes-tigt und nachhaltig trainiert werden. Richten Sie die Gruppenzusammensetzungen also nach Ihren Unterrichts- und den individuellen Lernzielen der Schüler aus.

2. Selbstkontrolle/gegenseitige KontrolleDie eigenständige Kontrolle von Lernergeb-nissen fördert die Selbstständigkeit der Schü-ler. Lernschwächere Schüler trauen sich zu-dem mehr zu, da sie mögliche falsche Lösun-gen nicht der ganzen Klasse, sondern nur sich selbst preisgeben müssen und die richtige Lösung in individuellem Tempo nachvollzie-hen und ggf. nachrechnen können.

3. Stationenlauf mit und ohne PartnerBei dem Stationenlauf arbeiten die Schüler überwiegend selbstständig und eigenverant-wortlich an Stationen. Selbstständig bzw. ei-genverantwortlich bedeutet hier, dass der Ler-nende die Organisation seines Lernprozesses zunehmend eigenständiger mitgestaltet. Dies ist aber u. a. nur dann möglich, wenn die Schü-ler wissen, wie sie sich Informationen beschaf-fen, diese aufbereiten und Arbeitsergebnisse selbstständig überprüfen können, d. h. wenn sie selbstständig arbeiten/lernen können. Zwar können die Schüler noch nicht das The-ma mitbestimmen und -organisieren, aber die Reihenfolge, die Sozialform sowie die Arbeits-platzgestaltung müssen sie selbst wählen. Es ist auch damit zu rechnen, dass sich die Schü-ler an einen großen Gruppentisch stellen und an diesem arbeiten sowie dort die Materialien lagern. Außerdem sind neben der Gruppen-

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ebenfalls die Partner- und Einzelarbeit mög-lich. Auch die Selbst kontrolle (an einer Lö-sungsstation) führt immer mehr zu einem ei-genverantwortlichen und auch kooperativem Lernen. Wichtig bei dieser Arbeitsform ist es, die ver-schiedenen Aufgabenstationen gestalterisch voneinander abzugrenzen, sodass die Zuord-nung erleichtert wird. Um für die Schüler eine Übersichtlichkeit bezogen auf bereits erledig-te Aufgaben herzustellen, sollten sie einen Laufzettel erhalten.Ferner sollten bestimmte Regeln gelten, um erfolgreich an den Stationen zu lernen. Bei-spiele: 1. Du schummelst nicht und schreibst nicht von anderen ab. / 2. Lass dir bei den Auf-gaben so viel Zeit, wie du brauchst. / 3. Die Reihenfolge der bearbeiteten Aufgaben ist dir überlassen. / 4. Überlege dir, ob du alleine, mit einem Partner oder in der Gruppe arbeiten möchtest. / 5. Kontrolliere erledigte Aufgaben mit Hilfe der Lösungsstation. / 6. Frage den Lehrer nur dann um Hilfe, wenn dir deine Mit-schüler nicht helfen können.Die Lehrkraft kann bei dieser Arbeitsform die meiste Zeit im Hintergrund verbringen, jedoch für die Schüler jederzeit erreichbar sein, so-dass diese so frei wie möglich arbeiten kön-nen und die Möglichkeit haben, sich beim Ler-nen gegenseitig zu unterstützen bzw. zu hel-fen. Auch der Lehrkraft bietet die Stationenar-beit die Möglichkeit, gezielter zu helfen als in einer Frontalsituation. Die Stationenarbeit er-fordert auch vom Lehrer ein völlig anderes Verhalten: er muss anregen statt vorgeben sowie beraten statt bestimmen. Der Lehrer ist in der Rolle des Beraters zu sehen.

4. WochenplanarbeitAuch die Wochenplanarbeit bietet sich im Rahmen des eigenverantwortlichen und ko-operativen Lernens an. Dies ist ebenfalls eine Form der Freiarbeit, bei der der Lernende die Organisation seines Lernprozesses zuneh-mend eigenständiger mitgestaltet. Auch hier müssen die Schüler wissen, wie sie sich Infor-mationen beschaffen, diese aufbereiten und

Arbeitsergebnisse selbstständig überprüfen können. Im Unterschied zur Stationenarbeit werden die Arbeitsaufträge nicht für alle Schü-ler ausgelegt, sondern jeder Schüler erhält ei-nen individuellen Arbeitsplan bzw. eine Ar-beitsmappe. Da sich die Aufgaben oft glei-chen, können die Schüler hier auch wieder gemeinsam arbeiten oder sich gegenseitig unterstützen. Letzteres ist auch immer dann möglich, wenn nicht die gleichen Aufgaben bearbeitet werden, denn hierfür ist die Form der Freiarbeit geradezu prädestiniert.

2.5 Erläuterung der Kopiervorlagen

Die Arbeitsmaterialien, bei denen der rechte Seitenrand grau unterlegt ist und die Aufga-bennummern mit einem schwarzen Dreieck hinterlegt sind, sind soweit aufbereitet, dass lernschwächere Schüler gut mit ihnen arbei-ten können. Wenn Ihre Schüler die Arbeitsma-terialien gut bearbeitet haben und die Inhalte/Kompetenzen sicher beherrschen, ist es selbstverständlich möglich, ihnen die Arbeits-materialien für die Schüler ohne sonderpäda-gogischen Förderbedarf zur Vertiefung und Erweiterung anzubieten. Nutzen Sie hier im-mer entsprechend die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand, die die gleiche Überschrift tragen bzw. das gleiche Thema behandeln.

Für leistungsstarke Schüler verwenden Sie die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand. Zudem können Sie die Arbeitsblätter, die Zwi-schenschritte behandeln, probeweise nicht bearbeiten lassen. Sollte der inhaltliche Sprung für diese Schüler doch zu groß sein und Schwierigkeiten bei der Bearbeitung ent-stehen, können Sie die ausgelassenen Ar-beitsblätter nachträglich bearbeiten lassen und dann auf das Arbeitsblätter zurückkom-men, bei dem die Schwierigkeiten auftraten. In der folgenden Übersicht können Sie sehen, wann welche Arbeitsblätter probeweise aus-gelassen werden können. Die Arbeitsblätter für die leistungsschwächeren Schüler wurden in dieser Übersicht nicht berücksichtigt, da

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diese für die leistungsstärkeren Schüler oft zu einfach sind. Natürlich können Sie diese auch mit heranziehen.Nach Beendigung der Arbeit an den Arbeits-blättern können die stärkeren Schüler die schwächeren Schüler bei der Lösung der Auf-gaben unterstützen. Gegebenenfalls können Sie auch weitere Textaufgaben aus dem Ma-thematikbuch zur Vertiefung heranziehen.

Konstruieren von FigurenMittelsenkrechte konstruierenWinkelhalbierende konstruieren

Bedeutung der Aufgabennummerierung

1 Aufgaben aus dem Anforderungsbereich I, Reproduzieren

@ Aufgaben aus dem Anforderungsbereich II, Zusammenhänge herstellen

# Aufgaben aus dem Anforderungsbereich III, Verallgemeinern und Reflektieren

� Aufgaben für lernschwache Schüler, Schü-ler mit sonderpädagogischem Förderbedarf

Vorwort

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Info Du weißt bereits, wie man mit dem Geodreieck eine Senkrechte zeichnet. Das Geodreieck ist dabei dein Hilfsmittel. Eine Konstruktion unterscheidet sich jedoch davon, denn ein Geodreieck ist dabei nicht zugelassen. Für eine Konstruktion darfst du nur Lineal, Zirkel und Winkelmesser benutzen.

So konstruierst du eine Senkrechte:

1. Zeichne eine Strecke.

A✕

B✕

2. Nimm den Zirkel. Der Radius muss größer als die geschätzte Hälfte der Strecke sein.

3. Stich nun in den einen Eckpunkt deiner Strecke und zeichne einen Halbkreis.

4. Stich nun in den zweiten Eckpunkt deiner Strecke und zeichne einen zweiten Halbkreis.

5. Es entstehen zwei Schnittpunkte. Verbinde sie miteinander. Du hast nun eine Senkrechte konstruiert.

6. Es entsteht ein Schnittpunkt auf der Strecke. Das ist auch der Mittelpunkt der Strecke. Bezeichne ihn deshalb mit M. Die Senkrechte nennt man auch Mittelsenkrechte.

Mittelsenkrechte konstruieren

✕ ✕

M✕ ✕

� Konstruiere eine Senkrechte wie oben beschrieben.Miss dann alle vier Winkel beim Mittelpunkt M. Was fällt dir auf? Formuliere einen Satz.

� Zeichne fünf Strecken mit den Längen 6 cm, 8 cm, 9 cm, 11 cm und 13 cm.

a) Konstruiere jeweils die Mittelsenkrechte.

b) Überprüfe, ob dein formulierter Satz aus Aufgabe 1 stimmt.

c) Miss jeweils die Strecken AM und MB. Was fällt dir auf? Ergänze die Lücke.

Durch das Konstruieren einer Mittelsenkrechte auf eine Strecke kann man

_______________________________ ohne zu messen.

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Mittelsenkrechte konstruieren

! Befolge die Arbeitsanweisungen.

(1) Zeichne bei den Strecken jeweils einen Kreisbogen um beide Eckpunkte, dessen Radius größer als die (geschätzte) Hälfte der Strecke ist.

(2) Zeichne eine Gerade durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen.

(3) Nenne den Schnittpunkt der Geraden mit den Strecken M.

(4) Miss die Länge der Strecken und Teilstrecken und gib ihre Längen an.

AB = ____, AM = ____, BM = ____ CD = ____, CM = ____, DM = ____

(5) Was stellst du fest?

(6) Miss die Winkel am Schnittpunkt der Geraden mit den Strecken und beschreibe, was dir auffällt.

2 Die Geraden, die du bei Aufgabe 1 konstruiert hast, werden als Mittelsenkrechte bezeichnet. Zeichne folgende Strecken und konstruiere die Mittelsenkrechten.

a) 6 cm b) 3,6 cm c) 48 mm d) 1 dm

3 Beschreibe, wie man ohne zu Messen den Mittelpunkt einer 8 cm langen Strecke finden kann.

A✕

B✕

✕✕

C

D

M

✕ ✕

✕ ✕

Info In der Geometrie unterscheidet man zwischen (echtem) Konstruieren und Zeichnen.Beim Zeichnen verwendet man Hilfsmittel, z. B. das Geodreieck.(Echte) Konstruktionen werden ausschließlich mithilfe von Zirkel und Lineal gemacht.

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So konstruierst du eine Parallele:Info

1. Zeichne eine Gerade g.

2. Zeichne über der Geraden einen Punkt. Nenne ihn P.

3. Stich mit dem Zirkel in Punkt P. Zeichne mit dem Zirkel einen Halbkreis um den Punkt P, sodass auf der Geraden zwei Schnittpunkte entstehen. Nenne die Schnittpunkte A und B.

4. Konstruiere mithilfe der Punkte A und B eine Mittelsenkrechte. Du wirst sehen, dass sie durch den Punkt P verläuft. Der Schnittpunkt auf der Strecke AB soll nun C heißen.

5. Verlängere die Mittelsenkrechte nach oben hin. Stich mit dem Zirkel in den Punkt P ein und nimm den Abstand zwischen den Punkten P und C in die Zirkelspanne. Schlag nach oben einen kleinen Halbkreis, sodass du einen Schnittpunkt oberhalb von P erhältst. Nenne ihn D.

6. Konstruiere nun eine Mittelsenkrechte auf die Strecke CD. Diese Mittelsenkrechte verläuft durch den Punkt P und ist gleichzeitig die Parallele zu deiner am Anfang gezeichneten Gerade.

� Konstruiere zwei verschiedene Parallelen nach dem beschriebenen Vorgehen.

Parallele konstruieren

So konstruierst du eine Parallele:

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Parallele konstruieren

! a) Zeichne um P einen Kreisbogen, der die Gerade g in zwei Punkten schneidet.

b) Nenne die Schnittpunkte A und B.

c) Konstruiere nun die Mittelsenkrechte zu der Strecke AB.

d) Wiederhole dein Vorgehen von a) bis c) mit einem anderen Kreisbogen.

e) Was fällt dir auf? Vergleiche deine Ergebnisse auch mit deinem Nachbarn.

2 Konstruiere (nur mit Zirkel und Lineal) jeweils die Senkrechte zu g durch P.

a) b) c)

# Konstruiere (nur mit Zirkel und Lineal) jeweils die Parallelen zu g durch P.Tipp: Schaue dir vorher noch einmal deine Ergebnisse von Aufgabe 2 an. Konstruiere zweimal eine Senkrechte.

a) b) c)

4 Zeichne ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft.

a) Zeichne eine Gerade durch die Punkte A(–3 | 2) und B(1 | –2).

b) Gib die Schnittpunkte der Geraden mit den beiden Achsen an.

c) Konstruiere durch den Punkt C(2 | 2) eine Parallele zu der Geraden AB.

d) Gib die Schnittpunkte der Parallelen mit den beiden Achsen an.

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Info So konstruierst du eine Winkelhalbierende:

1. Zeichne einen beliebigen Winkel und kennzeichne den Scheitelpunkt mit S.

2. Nimm einen Zirkel, stich in den Scheitelpunkt und schlage einen Halbkreis um S, sodass auf beiden Schenkeln ein Schnittpunkt entsteht.

3. Verbinde die Schnittpunkte auf den Schenkeln miteinander.

4. Schlage um die beiden Schnittpunkte einen Halbkreis, sodass du eine Mittelsenkrechte auf die zuvor gezeichnete Strecke konstruieren kannst.

5. Verlängere die Mittelsenkrechte, bis sie im Scheitelpunkt des Winkels angelangt ist. Nun hast du eine Winkelsenkrechte konstruiert.

Winkelhalbierende konstruieren

� a) Zeichne eine beliebigen Winkel. Notiere seine Größe: ____

b) Konstruiere nun die Winkelhalbierende.

c) Miss nun die beiden Winkel zwischen Winkelhalbierenden und Schenkel.

d) Vervollständige folgenden Satz:

Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die einen Winkel ________________

___________________________ aufteilt.

� Konstruiere je eine Winkelhalbierende bei einem spitzen Winkel (30°), stumpfen Winkel (140°) und rechten Winkel (90°).Überprüfe für deine Konstruktion den Satz aus Aufgabe 1d.

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Winkelhalbierende konstruieren

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a) Zeichne um die Scheitelpunkte S1 und S2 jeweils einenKreisbogen, der beide Schenkel der Winkel schneidet.

b) Zeichne dann jeweils zwei weitere Kreisbögen,die als Mittelpunkte die Schnittpunkte des ersten Kreisbogens mit den Schenkeln haben.

c) Zeichne nun eine Halbgerade mit dem Anfangspunkt S1 bzw. S2 durch den Schnittpunkt der zweiten Kreisbögen.

d) Wiederhole dein Vorgehen von a) bis c) bei beiden Winkeln. Verändere dabei den Radius der Kreisbögen.

e) Was fällt dir auf? Vergleiche deine Ergebnisse auch mit deinem Nachbarn.

f) Miss jetzt den Winkel und die beiden Teilwinkel.

Winkelgrößen bei S1: ____, ____, ____ Winkelgrößen bei S2: ____, ____, ____

g) Was fällt dir auf? Vergleiche deine Ergebnisse auch mit deinem Nachbarn.

2 Die Halbgeraden, die du bei Aufgabe 1 konstruiert hast, werden als Winkelhalbierende bezeichnet. Zeichne die angegebenen Winkel und konstruiere (nur mit Zirkel und Lineal) jeweils die Winkelhalbierende.

a) spitzer Winkel b) rechter Winkel c) stumpfer Winkel

# Teile nur mit Zirkel und Lineal einen beliebigen Winkel in vier gleich große Winkel.

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� Ergänze sinnvoll.

Seiten – Form – kongruent – Kongruenzsätzen – drei – Seitenlängen – Winkel – Dreiecken – Dreiecken

Die _______________ und Größe von _______________ wird durch ihre

Seitenlängen und Winkelgrößen bestimmt.

Sind jeweils alle _______________ und Winkelgrößen gleich groß, so sind die

Dreiecke kongruent zueinander (deckungsgleich). Man muss nicht alle

_______________ und _______________ von Dreiecken kennen, um entscheiden

zu können, ob die Dreiecke _______________ zueinander sind.

Oftmals sind _______________ Stücke (Seiten und Winkel) ausreichend, um über

die Kongruenz von _______________ zu entscheiden. Diese Fälle werden in den

sogenannten ____________________ festgeschrieben.

� Ordne einem Satz immer das richtige Bild zu.

Kongruenzsätze für Dreiecke

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seitenlängen übereinstimmen(SSS = Seite – Seite – Seite).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der von den Seiten eingeschlossenen Winkelgröße übereinstimmen(SWS = Seite – Winkel – Seite).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und beiden der Seite anliegenden Winkelgrößen übereinstimmen(WSW = Winkel – Seite – Winkel).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und zwei weiteren Winkelgrößen übereinstimmen(SWW = Seite – Winkel – Winkel).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der größeren Seite gegen-überliegenden Winkelgröße über-ein stimmen (SSW = Seite – Seite – Winkel).

3,6 cm

✕

78˚

64˚

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✕

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Kongruenzsätze für Dreiecke

! Oftmals sind drei Stücke (Seiten und Winkel) ausreichend, um über die Kongruenz von Dreiecken zu entscheiden. Diese Fälle werden in den sogenannten Kongruenz-sätzen festgeschrieben. Von den sieben nachstehenden Kongruenz sätzen sind jedoch nur fünf richtig. Finde diese, indem du anhand der Zeichnungen prüfst, ob die Dreiecke, die jeweils drei gleiche Stücke haben, auch in den anderen drei Stücken übereinstimmen.

(1) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seitenlängen übereinstimmen (sss).

(2) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Winkelgrößen übereinstimmen (www).

(3) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der von den Seiten ein-geschlossenen Winkelgröße übereinstimmen (sws).

(4) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und beiden der Seite anliegenden Winkelgrößen übereinstimmen (wsw).

(5) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und zwei weiteren Winkelgrößen übereinstimmen (sww).

(6) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der größeren Seite gegen-überliegenden Winkelgröße übereinstimmen (Ssw).

(7) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der kleineren Seite gegenüberliegenden Winkelgröße übereinstimmen (sSw).

Folgende Kongruenzsätze sind richtig: ___ ___ ___ ___ ___

30˚✕

✕✕

✕

✕ ✕

30˚

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3 cm

3 cm

3 cm

✕

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✕

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✕

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3,6 cm

78˚

64˚

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✕

✕

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28˚

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✕

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1,7 cm

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✕

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✕✕

✕

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2,5 cm

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✕

✕

✕

Info Die Form und Größe von Dreiecken wird durch ihre Seitenlängen und Winkelgrößen bestimmt. Sind jeweils alle Seitenlängen und Winkelgrößen gleich groß, so sind die Dreiecke kongruent zueinander (deckungsgleich). Man muss nicht alle Seiten und Winkel von Dreiecken kennen, um entscheiden zu können, ob die Dreiecke kongruent zueinander sind.

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1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der der du alles markierst, was du an bekannten Stücken gegeben hast.In diesem Beispiel gegeben:Seite c, Winkel a, Seite b

2. Zeichne die Seite c und benenne die Eckpunkte mit A und B.

3. Trage den Winkel (a) an dem Punkt ab, an dem er liegt (A). Zeichne den zweiten Schenkel des Winkels.

4. Nimm die Länge der zweiten Seite in die Zirkelspanne und zeichne eine Kreisbogen um den Scheitelpunkt des Winkels (a), sodass ein Punkt auf dem Schenkel des Winkels entsteht. Bezeichne diesen Schnittpunkt mit C.

5. Verbinde nun noch C und B. Benenne alle Seiten und Winkel.

� Konstruiere folgende Dreiecke. Miss die andere Seite und die zwei Winkel.

a) c = 9 cm, b = 7 cm, a = 45° a = ____ b = _____ g = ____

b) c = 3,5 cm, b = 5 cm, a = 105° a = ____ b = _____ g = ____

Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren

1. C

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2.

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Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren

! Ben hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Dreieck konstruiert. Leider hat er bei der Konstruktion zwei Fehler gemacht. Finde diese, indem du Bens einzelne Konstruktionsschritte prüfst. Notiere anschließend die gegebenen Stücke (Seiten und Winkel) und konstruiere das Dreieck richtig in deinem Heft.

Konstruktionsbeschreibung

(1) Mache dir eine Planfigur, d. h. eine Skizze, in der die bekannten Stücke des Dreiecks farbig gekennzeichnet sind.

(2) Zeichne die Strecke c = 3 cm.

(3) Benenne die Eckpunkte mit A und B.

(4) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius b = 2 cm.

(5) Trage den Winkel a = 80° an A ab.

(6) Bezeichne den Schnittpunkt des zweiten Schenkels von a mit dem Kreis(bogen) mit C.

(7) Verbinde B mit C.

(8) Bezeichne die Strecke AC mit b und die Strecke BC mit a.

(1) (2) und (3) (4)

(5) und (6) (7) und (8)

Bens Fehler:

Gegebene Stücke:

2 Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Seiten und Winkel) durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur.

a) b = 5 cm; c = 3,5 cm; a = 60° a = _____ b = _____ g = _____

b) a = 4,8 cm; c = 6,2 cm; b = 110° b = _____ a = _____ g = _____

c) a = 5,6 cm; b = 7,2 cm; g = 58° c = _____ a = _____ b = _____

✕ ✕

AB c

C

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✕

✕ ✕

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b

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B

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mit a.

dem Kreis(b


1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der du alles markierst, was du an bekannten Stücken gegeben hast.In diesem Beispiel gegeben: Winkel a, Seite c, Winkel b


3. Trage den Winkel (a) an dem Punkt ab, an dem er liegt (A). Zeichne den zweiten Schenkel des Winkels.

4. Trage den Winkel (b) an dem Punkt ab, an dem er liegt (B). Zeichne den zweiten Schenkel des Winkels. Es entsteht ein Schnittpunkt beider Schenkel.

5. Verbinde nun noch C und B. Benenne alle Seiten und Winkel.

� Konstruiere folgende Dreiecke. Miss die zwei Seiten und den anderen Winkel.

a) c = 9 cm, b = 79°, a = 45° a = ____ b = _____ g = ____

b) c = 3,5 cm, b = 40°, a = 105° a = ____ b = _____ g = ____

Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren

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1. C

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2.

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3.

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Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren

! Jonas hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Dreieck konstruiert. Leider hat er bei der Konstruktion zwei Fehler gemacht. Finde diese, indem du Jonas einzelne Konstruktionsschritte prüfst. Notiere anschließend die gegebenen Stücke (Seiten und Winkel) und konstruiere das Dreieck richtig in deinem Heft.



(2) Zeichne die Strecke c = 4 cm.


(4) Trage den Winkel a = 45° an A ab.

(5) Trage den Winkel b = 75° an B ab.

(6) Bezeichne den Schnittpunkt der zweiten Schenkel von a und b mit C.


(1) (2) und (3) (4)

(5) (6) und (7)

Jonas Fehler:

Gegebene Stücke:

2 Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur.

a) b = 6 cm; a = 35°; g = 90° a = _____ c = _____ b = _____

b) a = 3,8 cm; b = 120°; g = 23° b = _____ c = _____ a = _____

c) c = 5 cm; a = 40°; b =100° a = _____ b = _____ g = _____

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mit a.

mit C.


1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der der du alles markierst, was du an bekannten Stücken gegeben hast.In diesem Beispiel gegeben: Alle Seiten (a, b, c)


3. Nimm die Länge der Seite a in die Zirkelspanne. Schlage einen Kreisbogen um B. Nimm die Länge der Seite b in die Zirkelspanne. Schlage einen Kreisbogen um A.Es entsteht ein Schnittpunkt der Kreisbögen. Bezeichne ihn mit C.

4. Verbinde A mit C und B mit C.

5. Benenne alle Seiten und Winkel.

Hinweis:Du kannst nur dann ein Dreieck konstruieren, wenn die beiden kürzeren Strecken zusammen größer sind als die längste Strecke.

� Konstruiere folgende Dreiecke. Miss die Winkel.

a) a = 9 cm, b = 7 cm, c = 8 cm a = ____ b = _____ g = ____

b) a = 3,5 cm, b = 4 cm, c = 6 cm a = ____ b = _____ g = ____

� Gegeben sind die Seiten a = 8 cm und b = 5 cm. Die Seite c soll die kürzeste Strecke sein. Wie lang muss die Seite c mindestens sein, damit du das Dreieck konstruieren kannst?

Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren

1. C

ab

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2.

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3.

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4.

cA B

C

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5.

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Zirkels


Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren

! a) Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte. Achtung: Die Zeichnungen sind nicht in der Originalgröße, sondern verkleinert (Maßstab 1:4) dargestellt.

(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (8)


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

a) Notiere die gegebenen Stücke:

c) Konstruiere das Dreieck in Originalgröße in dein Heft. Beginne dabei mit der Seite a.

d) Miss die drei Winkel:

@ a) Von einem Dreieck sind die Seiten a = 8 cm und b = 5 cm gegeben. Wie lang (in mm) muss die Seite c mindestens sein, damit man das Dreieck konstruieren kann?

b) Von einem Dreieck sind die beiden kürzeren Seiten b und c gegeben. Wie lang muss die Seite a mindestens sein, damit man das Dreieck konstruieren kann?

3 Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Seiten. Bestimme die fehlenden Winkel durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur.

a) a = 5,3 cm; b = 4,2 cm; c = 2,7 cm a = _____ b = _____ g = _____

b) a = 3,8 cm; b = 6,4 cm; c = 6,4 cm a = _____ b = _____ g = _____

c) a = 5 cm; b = 5 cm; c = 5 cm a = _____ b = _____ g = _____

b

c

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✕ ✕ CA

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✕

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d)

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1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der der du alles markierst, was du an bekannten Stücken gegeben hast.In diesem Beispiel gegeben: Seite b, Seite c, Winkel g

2. Zeichne die kürzere Seite b und benenne die Eckpunkte mit A und C.

3. Trage den Winkel (g) an dem Punkt ab, an dem er liegt (C). Zeichne den zweiten Schenkel des Winkels.

4. Nimm die Länge der zweiten, größeren Seite in die Zirkelspanne und zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A, sodass ein Punkt auf Seite a entsteht. Bezeichne den Schnittpunkt mit B.

5. Verbinde nun noch C und B und A und B. Benenne alle Seiten und Winkel.

Hinweis:Du kannst nur dann ein Dreieck konstruieren, wenn der gegebene Winkel der größeren Seite gegenüberliegt.

� Konstruiere folgende Dreiecke. Miss die andere Seite und die zwei Winkel.

a) c = 9 cm, b = 7 cm, g = 45° a = ____ b = _____ a = ____

b) c = 5,5 cm, b = 5 cm, g = 105° a = ____ b = _____ a = ____

Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren1. C

ab

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2. C

b

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3. C

b

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4. C

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5. C

ab

b

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Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren

! Alexander hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Dreieck konstruiert. Leider hat er bei der Konstruktion Fehler gemacht. Finde diese, indem du Alexanders einzelne Konstruktionsschritte prüfst. Konstruiere das Dreieck anschließend richtig in dein Heft.



(2) Zeichne die Strecke c = 2,2 cm.


(4) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit einem Radius von b = 2,8 cm.

(5) Trage den Winkel b = 72° an B ab.

(6) Bezeichne den Schnittpunkt des zweiten Schenkels von b mit dem Kreis(bogen) mit C.

(7) Verbinde A mit C.


(1) (2) und (3) (4)

(5) und (6) (7) und (8)

Alexanders Fehler:

Gegebene Stücke:

2 Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur.

a) a = 3,7 cm; c = 5,3 cm; g = 115° b = _____ a = _____ b = _____

b) b = 5,2 cm; c = 4,4 cm; b = 49° a = _____ a = _____ g = _____

c) a = 6,6 cm; b = 4,2 cm; a = 89° c = _____ b = _____ g = _____

✕ ✕

Bc

✕

A

✕ ✕

A BcA✕ B

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� Schau dir die Konstruktionsbilder an.

a) Nach welchem Kongruenzsatz sollte das Dreieck gezeichnet werden?

b) Was ist passiert, dass zwei Dreiecke entstehen? Erinnere dich an die Hinweise zur Konstruktion von Dreiecken.

� Überprüfe ohne zu Zeichnen, ob du mit diesen Angaben Dreiecke konstruieren kannst. Begründe.

Seite a Seite b Seite c ja/nein

a) 5 cm 3 cm 9 cm

b) 4 cm 6 cm 9,5 cm

c) 5 cm 3 cm 8 cm

d) 2,5 cm 3,5 cm 5,5 cm

e) 2 cm 3 cm 6 cm

� Konstruiere ein Dreieck nach WSW. Erinnere dich an die Hinweise zur Konstruktion von Dreiecken. Fertige eine Planfigur an und beschreibe die einzelnen Schritte.Miss alle nicht gegebenen Winkel und Seiten.

� Konstruiere ein Dreieck nach SWS. Erinnere dich an die Hinweise zur Konstruktion von Dreiecken. Fertige eine Planfigur an und beschreibe die einzelnen Schritte.Miss alle nicht gegebenen Winkel und Seiten.

Vermischte Übungen zu: Dreiecke konstruieren

3.

b

BcA

b

4.

Bc

C2

C1

A

2.

cA B

C

ab

a b

g

cA B

geg: b, c, b

1. Planfigur

b

B

5.

cA

C2

C1

d)

e)

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5 cm

2,5 cm

2 cm

e.

Seite b

3 cm

6 cm

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b

Bc

A

C1

B


Vermischte Übungen zu: Dreiecke konstruieren

1 a) Woran kannst du erkennen, dass man das Dreieck aus den gegebenen Längen konstruieren kann?

b) Zeichne wenn möglich die Dreiecke und gib die fehlenden Winkel an.

2 Gib jeweils den Kongruenzsatz an und konstruiere die Dreiecke. Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen. Benenne auch die Dreiecksart.

a) a = 5,2 cm; c = 6,4 cm; g = 56° b) b = 3,4 cm; c = 4,6 cm; a = 45°

Kongruenzsatz: ________________ Kongruenzsatz: ________________

b = ____ a = ____ b = ____ a = ____ b = ____ g = ____

Dreiecksart: ___________________ Dreiecksart: ___________________

c) a = 6,6 cm; b = 60°; g = 60° d) a = 3 cm; b = 4 cm; c = 5 cm

Kongruenzsatz: ________________ Kongruenzsatz: ________________

b = ____ c = ____ a = ____ a = ____ b = ____ g = ____

Dreiecksart: ___________________ Dreiecksart: ___________________

# Familie Bettner möchte über ihren Gartenteich eine Brücke bauen. Wie lang müssen die Bretter sein, damit sie die Brücke bauen können? Achtung: Die Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht.

4 Konstruiere die Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm). Gib näherungs-weise die Koordinate des fehlenden Punktes an und miss die fehlenden Stücke.

a) A(5 | 2) B(9 | 4) a = 2,8 cm b = 4,5 cm

C(___ | ___) c = _____ a = _____ b = _____ g = _____

b) A(6 | 2) C(1 | 5) a = 37° g = 65°

B(___ | ___) a = _____ b = _____ c = _____ b = _____

Seite a Seite b Seite c(1) 7,5 cm 3,9 cm 3,4 cm

(2) 5,2 cm 4,3 cm 8,1 cm

(3) 34 mm 59 mm 35 mm

(4) 84 mm 31 mm 53 mm

22˚

Garten-teich

9 m

10 m

n? A

mömüssen diAchtung: Di

chte e Bre

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______

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a = _

Dreieck

ruenzs

b =

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m; c = 5 c

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g =

___________

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__

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Dreiec

nzsatz

___ c = __

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_

; g = 60°

z: ___________

_______

D

Kongruenz

a = ____

m; c = 4,6

zsatz: __

Bestnne auch

cm; a =


Mittelsenkrechte in Dreiecken

Es gilt:

Bei jedem Dreieck kann man einen Umkreis zeichnen, indem man den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Mittelpunkt des Kreises wählt.

� Konstruiere bei allen drei Dreiecken die Mittelsenkrechten. Überprüfe jeweils, ob der Satz auf deine Konstruktion zutrifft:

Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten außerhalb des Dreiecks.

Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten innerhalb des Dreiecks.

Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten auf der Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

� Zeichne bei allen drei Dreiecken einen Umkreis ein.

A

✕

B

C

✕✕

A B

C

✕ ✕

✕

A B

C

✕

✕

✕

•

Die Mittelsenkrechte auf eine Dreieckseite zeichnest du wie eine Senkrechte auf eine Strecke.

Zeichne auf jede Dreieckseite eine Mittelsenkrechte. Im Beispiel wurde mit der Mittelsenkrechten auf der Seite a begonnen, dann auf Seite b und zum Schluss die Mittelsenkrechte auf der Seite c gezeichnet.

Alle drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Das siehst du auch auf den Bildern.

1. 4.

A B

C

A B

C

2. 5.

A B

C

A B

C

3. 6.

A B

C

A B

C

r

zwinklenkrechte

gen Dreiecken inne

t

Bei stumpdie Mittel

Mitteutrifft:

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senkrechten

an

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C

iere bei aatz auf d

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eis zs M

eichn

rn.

hten . Das sieh


Mittelsenkrechte in Dreiecken

! a) Konstruiere jeweils die Mittelsenkrechten zu allen drei Seiten der Dreiecke.

b) Was stellst du fest?

Bei stumpfwinkligen Dreiecken

Bei spitzwinkligen Dreiecken

Bei rechtwinkligen Dreiecken

@ a) Zeichne die gegebenen Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft.

b) Konstruiere jeweils die drei Mittelsenkrechten und gib die Koordinate des Schnittpunktes M der drei Mittelsenkrechten an.

c) Zeichne jeweils einen Kreis um M, der durch den Eckpunkt A geht.

d) Beschreibe, was dir auffällt.

(1) A(7 | 3) B(8 | 6) C(2 | 3) M(___ | ___)

(2) A(–3 | 2) B(–3 | –2) C(3 | –2) M(___ | ___)

(3) A(–2 | 6) B(–6 | 6) C(–4 | –2,5) M(___ | ___)

3 Der bei Aufgabe 2 gefundene Kreis wird als Umkreis bezeichnet. Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann den Umkreis des Dreiecks und gib seinen Radius an.

a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90° r = _____

b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm r = _____

c) a = 5,2 cm b = 28° g = 117° r = _____

A

✕

B

C

✕✕ A B

C

✕ ✕

✕

A B

C

✕

✕

✕

•

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B

–2 | 6) B(–

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–3 | –2

6 | 6)

M,

C(2 | 3)

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ke in ein


Es gilt:

Bei jedem Dreieck kann man einen Inkreis einzeichnen, indem man den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden als Mittelpunkt des Kreises wählt. Der Radius ist dann der Abstand von Mittelpunkt bzw. Schnittpunkt zu den Seiten.

� Konstruiere bei allen drei Dreiecken die Winkelhalbierenden.Überprüfe, ob der Satz auf deine Konstruktion zutrifft:

Bei stumpfwinkligen, spitzwinkligen und rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Winkelhalbierenden immer innerhalb des Dreiecks.

A

✕

B

C

✕✕ A B

C

✕ ✕

✕

A B

C

✕

✕

✕

•

� Zeichne bei allen drei Dreiecken den Inkreis ein.

Winkelhalbierende in Dreiecken

1. Wenn du ein Dreieck gezeichnet hast, fängst du bei einem Punkt an (im Beispiel Punkt A). Du stichst mit dem Zirkel in dem Punkt ein und trägst auf beiden Seiten den gleichen Abstand ab.

2. Verbinde die Schnittpunkte.

3. und 4. Konstruiere auf der neuen Strecke eine Mittelsenkrechte. Diese verläuft genau durch den Eckpunkt, mit dem du begonnen hast.

5. und 6. Wiederhole die Schritte 1–4 für die nächste Winkelhalbierende.

7. und 8. Wiederhole die Schritte 1–4 für die dritte Winkelhalbierende.

A B

C1.

A B

C2.

A B

C3.

A B

C4.

A B

C5.

A B

C6.

A B

C7.

A B

C8.

A B

C

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stumpfWinkelha

ei ae, ob der S

winkligen, slbiere

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Schritte 1–ierende.tte W

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Dreieck kahnittpun

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B

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Winkelhalbierende in Dreiecken

! a) Konstruiere jeweils die Winkelhalbierende zu allen drei Winkeln der Dreiecke.





@ a) Zeichne die gegebenen Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft.

b) Konstruiere jeweils die drei Winkelhalbierenden und gib die Koordinate des Schnittpunktes W der drei Winkelhalbierenden an.

c) Bestimme den Abstand des Schnittpunktes W von der Seite AC.

d) Zeichne jeweils einen Kreis um W, der den Radius des Abstandes W von AC hat.

e) Beschreibe, was dir auffällt.

(1) A(7 | 3) B(8 | 6) C(2 | 3) W(___ | ___)

(2) A(–3 | 2) B(–3 | –2) C(3 | –2) W(___ | ___)

(3) A(–2 | 6) B(–6 | 6) C(–4 | –2,5) W(___ | ___)

3 Der bei Aufgabe 2 gefundene Kreis wird als Inkreis bezeichnet. Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann den Inkreis des Dreiecks und gib seinen Radius an.

a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90° r = _____

b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm r = _____

c) a = 5,2 cm b = 28° g = 117° r = _____

A

✕

B

C

✕✕ A B

C

✕ ✕

✕

A B

C

✕

✕

✕

•

) A(–

ei A

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2 | 6) B

B(8 |

B(–3

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m W, de

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A

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de

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c) Best

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punktes

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weils die drei WW der drei W

cke in ein K

ke


Höhen in Dreiecken

1. Wenn du ein Dreieck gezeichnet hast, fängst du bei einem Punkt an. In diesem Beispiel bei Punkt C.Du stichst mit dem Zirkel in den Punkt ein und trägst auf der gegenüberliegenden Seite (c) zwei Punkte ab. Sollte die Seite für deinen Kreisbogen zu kurz sein, verlängerst du die Seite, sodass du zwei Schnittpunkte hast.

2. Du arbeitest mit den beiden Schnitt-punkten weiter. Du trägst zwischen ihnen eine Mittelsenkrechte ab:Schlage in beiden Schnittpunkten eine Kreislinie. Beide Kreislinien schneiden sich.

3. Verbinde diese beiden neuen Schnittpunkte. Du wirst sehen, dass die Senkrechte genau durch den Punkt C verläuft. Das nennt man dann die Höhe auf die Seite c.

4. und 5. Wiederhole die Schritte 1–3 bei den anderen beiden Eckpunkten des Dreiecks.

6. Alle drei Höhen schneiden sich nun in einem Punkt. Dieser Punkt wird Schnittpunkt H genannt.

� Konstruiere bei allen drei Dreiecken die Höhen. Überprüfe jeweils, ob der Satz auf deine Konstruktion zutrifft:

Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die Höhen außerhalb des Dreiecks.

Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die Höhen innerhalb des Dreiecks.

Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Höhen im Eckpunkt des rechten Winkels.

A

✕

B

C

✕✕

A B

C

✕ ✕

✕

A B

C

✕

✕

✕

•

A B

C1.

A B

C3.

A B

C2.

A B

C4.

A B

C5.

A B

C6.

H

ruietz auf d

ere bei alleneine Konst

n dre

B

den a Dreieck

6. Alle drei ein

Wiednderen be

.

c.

hole dden

urch man

erhole die Sch

neusehen, dass

den Punkt Cann die Höhas ne

die

A

C6

3. SSe

eislinie.sich.

Verbinde dh itt

enkrecn beiden SBeide Krei

beidenträgst zwis

hte achnittpu


Höhen in Dreiecken

Info Als Höhen in Dreiecken werden die Abstände der Eckpunkte von den gegenüberliegenden Seiten bzw. deren Verlängerungen bezeichnet.

! a) Konstruiere jeweils die Höhen zu allen drei Seiten der Dreiecke.





2 a) Zeichne die gegebenen Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft.

b) Konstruiere jeweils die drei Höhen und gib die Koordinate des Schnittpunktes H der drei Höhen bzw. der Höhengeraden an.

c) Bestimme den Abstand des Schnittpunktes H von den drei Seiten.

(1) A(7 | 3) B(8 | 6) C(2 | 3) H(___ | ___)

(2) A(–3 | 2) B(–3 | –2) C(3 | –2) H(___ | ___)

(3) A(–2 | 6) B(–6 | 6) C(–4 | –2,5) H(___ | ___)

3 Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann die Höhen und gib ihre Längen an.

a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90° ha = _____ hb = _____ hc = _____

b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm ha = _____ hb = _____ hc = _____

c) a = 5,2 cm b = 28° g = 117° ha = _____ hb = _____ hc = _____

A

✕

B

C

✕✕ A B

C

✕ ✕

✕

A B

C

✕

✕

✕

•

(7

(2) A(–3

A(–2 | 6

en A

| 3) B(8 |

2) B(–3

Hö

bstan

6)

cke in ei

öhen und gib aden an.

hni

Koordinaten

die

2 a eichn

b) Konsd

e die ge

gen Dreiecken


Lösungen

Konstruieren von Figuren

Mittelsenkrechte konstruieren Seite 7

� Weil alle vier Winkel gleich groß (90°) sind, steht die Mittelsenkrechte im rechten Winkel auf die Strecke.

� Hier stimmt der Satz aus Aufgabe 1 für alle vier Aufgaben.

6 cm-Strecke p Sie wird in zwei Teile zu je 3 cm geteilt.

8 cm-Strecke p Sie wird in je zwei Teile zu 4 cm geteilt.

11 cm-Strecke p Sie wird in je zwei Teile zu 5,5 cm geteilt.

13 cm-Strecke p Sie wird in je zwei Teile zu 6,5 cm geteilt.

9 cm-Strecke p Sie wird in zwei Teile zu je 4,5 cm geteilt.

Durch das Konstruieren einer Mittelsenkrechte auf eine Strecke kann man eine Strecke in genau zwei gleich große Teile zerlegen ohne zu messen.

Mittelsenkrechte konstruieren Seite 8

! (4) AB = 5 cm, AM = 2,5 cm, BM = 2,5 cm CD = 4 cm, CM = 2 cm, DM = 2 cm

(5) Die Strecke wird jeweils halbiert.

(6) Die Winkel am Schnittpunkt der Geraden mit den Strecken sind jeweils 90° groß.

3 Man kann den Mittelpunkt einer 8 cm langen Strecke finden, indem man die Mittelsenkrechte konstruiert. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke ist der Mittelpunkt der Strecke.

Parallele konstruieren Seite 9

Individuelle Schülerlösungen

Parallele konstruieren Seite 10

! a) bis d) Individuelle Lösungen.

e) Es fällt auf, dass die Mittelsenkrechte jeweils durch den Punkt P geht, egal wie groß der Radius gewählt wurde.

4 b) Sx(–1 | 0) und S

y(0 | –1) d) S

x(4 | 0) und S

y(0 | 4)

Winkelhalbierende konstruieren Seite 11

� a) bis c) Individuelle Schülerzeichnung

d) Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die einen Winkel in zwei gleich große Teile aufteilt.

� Individuelle Schülerlösungen, die den Satz zuvor bestätigen.

Sx(–1 | 0) u

albier

die

d Sy(0 | –1)

ungen.

Mittelse ew

r Strettelseke.

chte konstran di

alle

Individuelle Sc

Parallele k

onstruiere

hülerlösung

einer 8 cm lalsenkrechten mit d

eraden mit de

gen StreckStre

Strec

D = 4 cm, CM

Strecke in gg


Lösungen

Winkelhalbierende konstruieren Seite 12

! a) bis d) Individuelle Lösungen.

e) Es fällt auf, dass immer die gleiche Halbgerade entsteht.

f) Winkelgrößen bei S1: 40°, 20°, 20° Winkelgrößen bei S

2: 150°, 75°, 75°

g) Es fällt auf, dass die Halbgerade den Winkel jeweils halbiert.

2 Individuelle Lösungen.

# Individuelle Lösungen, wobei der Winkel zuerst halbiert werden muss und die beiden Teilwinkel dann wieder halbiert werden müssen.

Kongruenzsätze für Dreiecke Seite 13

� Die Form und Größe von Dreiecken wird durch ihre Seitenlängen und Winkelgrößen bestimmt.

Sind jeweils alle Seitenlängen und Winkelgrößen gleich groß, so sind die Dreiecke kongruent zueinander (deckungsgleich). Man muss nicht alle Seiten und Winkel von Dreiecken kennen, um entscheiden zu können, ob die Dreiecke kongruent zueinander sind.

Oftmals sind drei Stücke (Seiten und Winkel) ausreichend, um über die Kongruenz von Dreiecken zu entscheiden. Diese Fälle werden in den sogenannten Kongruenzsätzen festgeschrieben.

�

3 cm

✕

79˚

✕

✕ ✕ ✕✕79˚

3 cm

1,8 cm

3,6 cm

✕

78˚

64˚

✕✕

3,6 cm

78˚

64˚

✕

✕

✕

28˚

28˚

108˚

108˚✕

✕ ✕

✕

✕

✕2,8 cm

2,8 cm

3 cm

✕

✕✕

1,7 cm3 cm

1,7 cm

45˚

45˚

✕

✕✕

✕

2,5 cm

2,5 cm

2 cm

2 cm1,2 cm

1,2 cm✕✕

✕

✕

✕

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seitenlängen übereinstimmen(SSS = Seite – Seite – Seite).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der von den Seiten einge-schlossenen Winkelgröße übereinstimmen(SWS = Seite – Winkel – Seite).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und beiden der Seite anliegenden Winkelgrößen übereinstimmen(WSW = Winkel – Seite – Winkel).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und zwei weiteren Winkelgrößen übereinstimmen(SWW = Seite – Winkel – Winkel).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der größeren Seite gegenüberliegenden Winkelgröße übereinstimmen(SSW = Seite – Seite – Winkel).

Kongruenzsätze für Dreiecke Seite 14

1 Folgende Kongruenzsätze sind richtig: (1) (3) (4) (5) (6)

i weiteinstimmW = Seite –

eiecke sinSeitenlä

S

e

kongriner Seitenläneren Winkelgrö

nWinkel

demen

– Winke

ent, ge

ßen

3 cm

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28˚

28

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108˚

✕✕

✕✕

✕✕

en

7

zu

schlossenübereinstim(SWS = Sei

Zwei Dreiecwenn sie iund beiWi

wei Seiten den Seiten

n Winkelgrößmene – Winke

Seite).

ongruent, längen

nge-

✕✕

78

sreichten Ko

n Drei

d, um über dngruenzsätzg

Winkelg

d die Dreiecken kennen,

Kong

ößen bestimm

ke kongrue


Lösungen

Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren Seite 15

a) c = 9 cm, b = 7 cm, a = 45° a = 6,4 cm b = 51° g = 84°

b) c = 3,5 cm, b = 5 cm, a = 105° a = 6,8 cm b = 45° g = 30°

Dreiecke nach Seite, Winkel, Seite konstruieren Seite 16

! Ben hat die Bezeichnung des Dreiecks im Uhrzeigersinn gemacht und nicht gegen den Uhrzeigersinn. Außerdem hat er α = 100° statt α = 80° abgetragen.

Gegebene Stücke: b = 2 cm; c = 3 cm; α = 80°

Richtiges Dreieck:

2 a) a = 4,4 cm β = 77° γ = 43°

b) b = 9,1 cm α = 30° γ = 40°

c) c = 6,4 cm α = 48 β = 74°

Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren Seite 17

a) c = 9 cm, b = 79°, a = 45° a = 7,7 cm b = 10,7 cm g = 56°

b) c = 3,5 cm, b = 40°, a = 105° a = 5,9 cm b = 3,9 cm g = 35°

Dreiecke nach Winkel, Seite, Winkel konstruieren Seite 18

! Jonas hat bei der Planfigur die Bezeichnung mit dem Uhrzeigersinn und nicht gegen den Uhrzeigersinn gemacht und den Winkel β = 65° statt β = 75° genommen.

Gegebene Stücke: c = 4 cm; α = 45°; β = 75°

Richtige Planfigur: Richtiges Dreieck:

2 a) a = 7,3 cm c = 4,2 cm β = 55°

b) b = 5,5 cm c = 2,5 cm α = 37°

c) a = 5 cm b = 7,7 cm γ = 40°

Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren Seite 19

� a) a = 9 cm, b = 7 cm, c = 8 cm a = 74° b = 48° g = 58°

b) a = 3,5 cm, b = 4 cm, c = 6 cm a = 34° b = 40° g = 106°

� Seite a ist mit 8 cm die längse Seite, also müssen b und c zusammen mindestens 8 cm sein, also ab 8,1 cm ist das Dreieck zu konstruieren. b ist 5 cm. b + c = 8,1 cm bzw. 5 cm + c = 8,1 cm. Seite c muss mindestens 3,1 cm lang sein.

✕✕

✕

✕

✕

BA

80°

ab

C

A✕

B

C✕

✕α b

g

c

ba b

✕

✕

✕

AB c

60˚

3,3 cm

4 cm

4,5 cm

45˚ 75˚

a

C

7,3 cm

✕✕✕

B c

C✕

b

ung m= 75° gen

= 75

ren

m Uhrzeigersinmen.

n und n

S ite 17

ieck

! Jonas hat bgemacht un

Gegebene

ach Winke

ei der Planfden W

= 105° a

Seite

nkel konstr

= 7,7 cm b =

5,9 c

40°

4°

uiere


Lösungen

Dreiecke nach Seite, Seite, Seite konstruieren Seite 20

! a) Konstruktionsbeschreibung

(1) Mache eine Planfigur.

(2) Zeichne die Strecke c = 3,5 cm und benenne die Eckpunkte mit A und B.

(3) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius r1 = 4 cm.

(4) Zeichne einen Kreis(bogen) um B mit Radius r2 = 4,5 cm.

(5) Bezeichne den Schnittpunkt der beiden Kreisbögen mit C.

(6) Verbinde A mit C.

(7) Verbinde B mit C.


b) a = 4,5 cm; b = 4 cm; c = 3,5 cm

d) α = 73° β = 59° γ = 48°

@ a) Die Seite c muss mindestens 31 mm lang sein, damit man das Dreieck konstruieren kann.

b) Die Seite a muss länger als die Summe der Seiten b und c sein, damit man das Dreieck konstruieren kann, also a > b + c.

3 a) α = 98° β = 52° γ = 30°

b) α = 34° β = 73° γ = 73°

c) α = 60° β = 60° γ = 60°

Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren Seite 21

a) c = 9 cm, b = 7 cm, g = 45° a = 12,5 cm b = 33° a = 102°

b) c = 5,5 cm, b = 5 cm, g = 105° a = 1,3 cm b = 61° a = 14°

Dreiecke nach Seite, Seite, Winkel konstruieren Seite 22

! Alexander hat die Seite b = 3,2 cm statt b = 2,8 cm genommen und den Winkel β = 72° an A und nicht an B abgetragen. Daher hat er auch den Punkt B mit C verbinden müssen und nicht den Punkt A mit C, wie es in der Konstruktionsbeschreibung stand.

Gegebene Stücke: b = 2,8 cm; c = 2,2 cm; β = 72°

Richtiges Dreieck:

2 a) b = 2,5 cm α = 39° β = 26°

b) a = 6,9 cm α = 91° γ = 40°

c) c = 5,1 cm β = 40° γ = 51°

B

C

b

✕

✕ ✕A c

2,2 cm

2,8 cm a

72°

b = 2

ieck

b

✕

,8 cm

h deibung s

8 cm;

el konstr

b = 2,8 cm genot B mit C verb

β

4

eren

omm

5,5

Dreiecke na

Alexanderabgetr

7 cm, g =

b = 5 cm, g =

ch Seit

Seite, Winke

45° a = 12

05°

γ = 73γγ = 60°γ

kons

0°

ieck kon

damit man d

struieren kann.

as Dreie


Lösungen

Vermischte Übungen zu Dreiecke konstruieren Seite 23

� a) Es sollte der Kongruenzsatz SSW angewandt werden.

b) Die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, ist kürzer als die zweite gegebene Seite. Deshalb kann man zwei Schnittpunkte auf dem Schenkel des Winkels abtragen. Wäre die andere Seite die größere, kann man um den Punkt herum einen ganzen Kreis zeichnen, hätte aber nur einen Schnittpunkt mit dem Schenkel des Winkels. Vermutlich wurde hier einfach die Länge der Seiten verwechselt oder es ist kein eindeutiges Dreieck nach den Angaben zeichenbar.

� Es gilt: die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein, als die dritte und längste Seite.

Seite a Seite b Seite c ja/nein

a) 5 cm 3 cm 9 cm Nein,

weil 5 + 3 = 8 < 9

b) 4 cm 6 cm 9,5 cm Ja,

weil 4 + 6 = 10 > 9,5

c) 5 cm 3 cm 8 cm Nein,

weil 5 + 3 = 8 und nicht größer 8 (0,1 cm fehlen)

d) 2,5 cm 3,5 cm 5,5 cm Ja,

weil 2,5 + 3,5 = 6 > 5,5

e) 2 cm 3 cm 6 cm Nein,

weil 2 + 3 = 5 < 6

� und � Individuelle Schülerlösungen

Vermischte Übungen zu Dreiecke konstruieren Seite 24

1 a) Die Summe der beiden kürzeren Strecken muss immer größer sein als die dritte Strecke.

b) Die Dreiecke (1) und (4) können nicht gezeichnet werden.

(2) α = 35° β = 28° γ = 117°

(3) α = 31° β = 32° γ = 117°

2 a) ssw; spitzwinkliges Dreieck b = 7,6 cm α = 42° β = 82°

b) sws, spitzwinkliges Dreieck a = 3,3 cm β = 48° γ = 87°

c) wsw; gleichschenkliges Dreieck b = 6,6 cm c = 6,6 cm α = 60°

d) sss; rechtwinkliges Dreieck α = 37° β = 53° γ = 90°

# Die Bretter müssen (mindestens) 3,8 m lang sein.

4 a) C(7 | 6) c = 4,5 cm α = 36° β = 72° γ = 72°

b) B(4 | 7) a = 3,6 cm b = 5,8 cm c = 5,4 cm β = 78°

22˚

9 m3,8 m

10 m

x

xx

spitzw

wsw; gleic

rechtwink

winkliges Dre

winkliges Dreiec

chenkliges

32°

eck

k

ecken muss

gezeichnet we

γ = 117°γγ γ

eren

mmer größer s

erden

5 <

m fehlen

Vermischt

1 a) Die Sum

b) Die Dre

(2)

uelle S

e Übungen

Schülerlösungen

,

cm

m

m

Nein,

weil 5 + 3 =

Ja,

il 2

= 10 > 9,5

8 und


Lösungen

Mittelsenkrechte in Dreiecken Seite 25

� und � Die Mittelsenkrechten sind richtig eingezeichnet, wenn der jeweilige Satz auf die Konstruktion zutrifft und der Umkreis richtig eingezeichnet werden konnte.

Mittelsenkrechte in Dreiecken Seite 26

! a)

b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt. Dieser Punkt liegt außerhalb des Dreiecks.

Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt. Dieser Punkt liegt innerhalb des Dreiecks.

Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt. Dieser Punkt liegt auf der Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

@ b) (1) M(4,5 | 5,5) (2) M(0 | 0) (3) M(–4 | –2)

d) Es fällt auf, dass der Kreis nicht nur durch den Eckpunkt A geht, sondern durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks.

3 a) r = 2,5 cm b) r = 3,9 cm c) r = 4,5cm

Winkelhalbierende in Dreiecken Seite 27

� und � Die Mittelsenkrechten sind richtig eingezeichnet, wenn der jeweilige Satz auf die Konstruktion zutrifft und der Inkreis richtig eingezeichnet werden konnte.

Winkelhalbierende in Dreiecken Seite 28

! a)

b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dieser liegt innerhalb des Dreiecks.

Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dieser liegt innerhalb des Dreiecks.

Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dieser liegt innerhalb des Dreiecks.

@ a) bis d) Die Zeichnungen sind verkleinert dargestellt.

(1) W(6,3 | 4) (2) W(–1,6 | –0,6) (3) W(–4 | 4,4)

e) Es fällt auf, dass der Kreis auch die anderen beiden Seiten berührt.

3 a) r = 1 cm

b) r = 1,7 cm

c) r = 1,1 cm

A

✕

B

M

MM

C

✕

✕

✕✕A B

C

✕ ✕

✕

A B

C

✕

✕

✕

•

x

x

x

x

x x

x

x

xx

x

A

C

B B A

W

C

BA

C

W

Wx

ei stumpfnnerhalb

pitzwinklirhalb de

winkligen Dreies Dreiec

xxx B xA

, wenn der jeweilige Satz

le d unkte de

�und der In

Winkelhalb

a) C

e Mittelsenkrereis richtig ei

= 3,9 cm

e in Dreiecken

hten si

) r =

3) M(–

Eckpu

–2)

nkt A geht, s

chten in e

em P

nem Punkt.

nem Punkt. D


Lösungen

Höhen in Dreiecken Seite 29

Wenn die Sätze auf die Konstruktion zutreffen, sind die Höhen mit hoher Wahrscheinlichkeit richtig gezeichnet worden.

Höhen in Dreiecken Seite 30

! a)

b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich alle drei Höhen bzw. deren Verlängerungen. Der Schnittpunkt liegt außerhalb des Dreiecks.

Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich alle drei Höhen. Der Schnittpunkt liegt innerhalb des Dreiecks.

Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich alle drei Höhen. Der Schnittpunkt ist der Eckpunkt, bei dem der rechte Winkel ist.

2 (1) H(8 | 1) (2) H(–3 | –2) (3) H(4 | 5,5)

3 a) ha = 4 cm h

b = 3 cm h

c = 2,4 cm

b) ha = 6,3 cm h

b = 4,3 cm h

c = 5,1 cm

c) ha = 3,8 cm h

b = 4,6 cm h

c = 2,5 cm

✕

✕

✕

✕

✕

✕

✕✕

✕✕

✕

✕✕

✕

✕

C

H

A

hc

ha

ha hc

hb

hb

hc

ha

hb

B

B

A

C

B

C

H

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kt, bei de

m

hb

| –2

= 3 cm

= 4,3 cm

hb = 4,6 cm

2) (3)

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H(4 |

en. De

Höhen. Der

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Schnittpunkt

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Illustrationen: Cover © Stefan Lucas, Grafik in Infokästen © Julia Flasche

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Geometrie – Inklusionsmaterial 3 - Persen · Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen...

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