Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil11 (M. Hartmann) Lehrstuhl für Didaktik der...

Grundbegriffe der Schulgeometrie

SS 2008 Teil11

(M. Hartmann)

Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Mathematik für die Lebenswelt handhabbar machen

Fragestellungen aus Alltag und Arbeitswelt• Welche Menge an Farbe benötige ich für das Streichen des

Zimmers?• Welche Menge an Sand darf auf den Hänger geladen werden?• Kann dieser Felsblock noch von diesem Kran gehoben werden?• …

In der Realität• grobe Schätzungen• ohne Hilfsmittel (TR, FS,

Stift, …)• schnelle Ergebnisse• zuverlässig

Im Unterricht• exakte Ergebnisse• komplexe Lösungswege• Vielzahl an Hilfsmitteln• lange Lösungszeiten• geringe Erfolgsquote• Interpretationsprobleme

Charakteristika der Bearbeitung

Wie kann Unterricht handhabbare Mathematik vermitteln?


1. Stärkere Gewichtung von Schätzen und Überschlagen

• Benötigte Werte für Berechnungen werden in Aufgaben nicht vorgegeben, sondern müssen mit einfachen Mitteln geschätzt werden– Schätzwerte gewinnt man durch Vergleich mit bekannten

Stützpunktgrößen– Eine Reihe von Stützpunktgrößen müssen auswendig beherrscht

werden (Allgemeinbildung!)– Auf zentrale Stützpunktgrößen wie Körpermaße (Handspanne,

Schrittlänge, …) oder andere typische Größenrepräsentanten wie Tafel Schokolade für 100g, Tetrapack Milch für ein Liter bzw. 1 kg, etc. muss permanent zurückgegriffen werden

• Überschlägiges Rechnen wird nicht als exotisches Randthema in zwei Schulstunden abgehandelt, sondern durchgängig als Werkzeug in Sachaufgaben genutzt und trainiert


Beispiel aus dem Musterquali Teil I

• Turmhöhe h gesucht

– Körperhöhe eines Modells ≈ 1,85 m

– Rest auf Etagenhöhe≈ ⅓ der Körperhöhe ≈ 60 cm

– Etagenhöhe ≈ 2,45 m

– Turmhöhe ≈ 5 • 2,5 m ≈ 12,5 m

h

1

2

3

4

5

⅓

Überschlag!Überschlag!


Stützpunktgröße!

Stützpunktgröße!

Vergleich!Vergleich!


2. Motivierende Aufgabenstellungen im Umfeld der Schule aufgreifen

Kann dieser Sitzblock von einer Person getragen

werden?

Wie viele Personen benötigt man , um

diese Tischplatte zu heben?

2. Motivierende Aufgabenstellungen im Umfeld der Schule

3. Zur Wahl günstiger Maßeinheiten anleiten

20 cm

40 cm

2 dm

4 dm

= 64 dm³= 64 000 cm³

Volumen ≈ 4• 4• 4 dm³Volumen ≈ 40• 40• 40 cm³

günstige Maßeinheit

günstige Maßeinheitungünstige

Maßeinheit

ungünstige Maßeinheit

Fehleranfällig durch unnötig hohe Stellenzahl

Fehleranfällig durch unnötig hohe Stellenzahl

hohe Ergebniszuverlässigkeit

hohe Ergebniszuverlässigkeit

3. Wahl günstiger Maßeinheiten

Volumen der Platte

24689 3 dm

Kantenlänge ≈ 9 dm

h ≈ 3 dm

V ≈ 240 dm³

G ≈ 9•9 dm² = 81 dm²


GeeigneteMaßeinheit

GeeigneteMaßeinheit

günstigeMaßeinheit

günstigeMaßeinheit

≈ 80 dm²

≈ ¼ m³


Masse der Platte

V ≈ 240 dm³ ≈ ¼ m³

3

g2, 4

cm

mV

zu kompliziert!zu kompliziert!


4. Stützpunkt-Relativ-Prinzip anwenden

1cm³ 1 g

1dm³

1m³

1 kg

1 t

Holz

0,5 x

Stein

2 x

Eisen

8 xWasser

8 kg8 kg4 dm³

1 t1 t2 m³

1dm³ 8 kg8 kg

4. Stützpunkt-Relativ-Prinzip

Nun kann leicht geantwortet werden

Kann dieser Sitzblock mit 64 dm³ von einer

Person getragen werden?

Wie viele Personen benötigt man , um

diese Tischplatte mit 240 dm³ zu heben?

…als Wasser 64 kg als Stein doppelt soviel

also ≈ 130 kgNö!

…als Wasser 240 kg als Stein doppelt soviel also ≈

500 kgBei 50 kg Hebevermögen

etwa 10 Personen


Überprüfung der Praxistauglichkeit

Hau!Hau!

Ruck!Ruck!

Mathematik funktioniert!Mathematik funktioniert!


3Kugel

4V r

3

Was macht man bei komplizierteren Formen?

5. Vereinfachen und Verbildlichen von Formeln


1Würfelvolumen

2

Vereinfachen und Verbildlichen: Kugelvolumen

34r

3 34

r3

34rKugelvolumen


Wenn die Masse der Kugel zum Kinderspiel wird…

Durchmesser ≈ 1mDurchmesser ≈ 1m

Würfel V ≈ 1 m³ Würfel V ≈ 1 m³

Kugel V ≈ 0,5 m³ Kugel V ≈ 0,5 m³

Wasserkugel m ≈ 0,5 t

Wasserkugel m ≈ 0,5 t

Steinkugel m ≈ 1 t

Steinkugel m ≈ 1 t


Gold ist Luxus aber faszinierend

1cm³ 1 g

1dm³

1m³

1 kg

1 t

Holz

0,5 x

Stein

2 x

Eisen

8 xWasser

V ≈ 0,5 dm³

Gold

20 x

d ≈ 10cm

Froschkönig

10 kg !10 kg !


Vereinfachung und Verbildlichung: Kreisfläche

AKreis ≈ ¾ AUmquadratAKreis ≈ ¾ AUmquadrat

AKreis = r²

AKreis ≈ 3,14 r²≈ 3r²≈ 3r²


Vereinfachung und Verbildlichung: Zylindervolumen

VZylinder ≈ ¾ VQuaderVZylinder ≈ ¾ VQuader

VZylinder = r²h

GZylinder ≈ ¾ GQuader


Vereinfachung und Verbildlichung: Kegelvolumen

VKegel = ⅓ VZylinder

VKegel = ⅓ r²h

VKegel ≈ ¼ VQuaderVKegel ≈ ¼ VQuader

¾ VUmquader


Vereinfachung und Verbildlichung: Kugeloberfläche

OKugel = 4 r²

= ½ • OWürfel= ½ • OWürfel

OKugel = 4 • AKreis

≈ 4 • ¾ • AQuadrat ≈ 4 • ¾ • AQuadrat

OKugel ≈ 3 • AQuadratOKugel ≈ 3 • AQuadrat


≈ 3 ≈ 3





2. Motivierende Aufgabenstellungen im Umfeld der Schule




Warum sollte im Unterricht auch handhabbare Mathematik vermittelt werden?

Freihalten des Arbeitsgedächtnisses von unnötig komplizierten Verfahren (Entlastungsaspekt)

Befähigung zu den in Alltag und Arbeitswelt oft notwendigen Abschätzungen (Anwendungsaspekt)

Wahrnehmung von Mathematik als hilfreiches, einfach zu bedienendes Werkzeug (Motivationsaspekt)

Wachhalten mathematischer Begriffe in Alltagssituationen (Rückwirkungseffekt)

Aufrechterhaltung für die Begriffsbildung wesentlicher Vorstellungen (Begriffsbildungsaspekt)

Verstärkung der Motivation, sich mit inhaltlichen Fragen der Sachsituation auseinanderzusetzen (Umwelterschließungsaspekt)

Die goldene Kuppel des Felsendoms

„Der Felsendom (im Sinne von Felsenkuppel قبة qubbat as-sachra) ist الصخرةdas wohl bekannteste Wahrzeichen Jerusalems …

…Der Durchmesser des Innenkreises beträgt 20,37 Meter.

1. Welche Oberfläche etwa hat die Kuppel?

2. Welche Masse an Gold würde für eine Blattgold-belegung etwa benötigt?

3. Welchem Goldvolumen würde das etwa entsprechen?

1. Welche Oberfläche etwa hat die Kuppel?

2. Welche Masse an Gold würde für eine Blattgold-belegung etwa benötigt?

3. Welchem Goldvolumen würde das etwa entsprechen?

Anspruchsvolle Aufgabe zum Selbsttest

Möglicher Schätzweg1. Welche Oberfläche etwa hat die Kuppel?1. Welche Oberfläche etwa hat die Kuppel?

Oberfläche ≈ ½ • (20m)² = 600 m²

Daraus folgt: Für 600 m² sind 1200g nötig

2. Welche Masse an Gold würde für eine Blattgoldbelegung etwa benötigt?

2. Welche Masse an Gold würde für eine Blattgoldbelegung etwa benötigt?

3. Welchem (Kugel-) Volumen würde das etwa entsprechen?3. Welchem (Kugel-) Volumen würde das etwa entsprechen?

1dm

1,2dm

1dm

1,2 kg Wasser misst 1,2 dm³;

Für 1 m² sind 2 g nötig.

1dm0,6cm 1dm

Gold misst 1/20, also

60 cm³

Der Umwürfel der Goldkugel 120 cm³

5• 5• 5 = 125

d ≈ 5cm

d ≈ 5cm

Workshop

Kongruenzabbildungen• Propädeutisch: Abbildungen, die Figuren stets auf

deckungsgleiche abbilden, heißen Kongruenzabbildungen– Frage: Wie bildet man eine Figur F1 auf eine deckungsgleiche Figur

F2 ab?• Bildfigur parallel

• Bildfigur zusätzlich gedreht

• Bildfigur liegt spiegelbildlich

• Bildfigur hat entgegengesetzten Drehsinn, liegt aber nicht spiegelbildlich

– Antwort: Die Abbildung auf eine deckungsgleiche Figur gelingt stets allein durch

• Verschiebung,

• Drehung (mit Sonderfall Punktspiegelung),

• Achsenspiegelung oder

• Schubspiegelung!

• Fachmathematisch:- Mögliche Definitionen:

- Def 1.: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich heißt Kongruenzabbildung(Satz: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich ist immer auch geradentreu und winkelmaßtreu)

- Def 2.: Eine Verkettung von Achsenspiegelungen heißt Kongruenzabbildung

- Es lässt sich zeigen, dass jede längentreue Abbildung durch eine Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen ersetzt werden kann (Dreispiegelungssatz). Somit sind die beiden Definitionen äquivalent!

- Eine Figur F2 heißt kongruent zur Figur F1, wenn F1 durch eine Kongruenzabbildung auf F2 abgebildet werden kann.

- Die Hintereinanderausführung von zwei Achsenspiegelungen entspricht stets einer Drehung oder eine Verschiebung (Drehsinn erhaltend/gerade), die von drei Achsenspiegelungen stets einer Achsenspiegelung oder einer Schubspiegelung (Drehsinn umkehrend/ungerade)- Es gibt damit nur diese vier Typen von Kongruenzabbildungen- Hintereinanderausführungen mehrerer Kongruenzabbildungen können stets

durch eine einzige ersetzt werden

Verkettung von KongruenzabbildungenWesentliches Argument ist die Drehsinnerhaltung

– g○g, u○u liefert g, also Drehung oder Verschiebung – g○u, u○g liefert u, also Achsenspiegelung oder Schubspiegelung

• „Verschiebung ○ Verschiebung = Verschiebung“• „Verschiebung ○ Drehung = Drehung ○ Verschiebung

= Drehung“• „Drehung ○ Drehung

= Verschiebung“, falls die Summe beider Drehwinkel ganzzahliges Vielfaches von 360° ist

= Drehung“, andernfalls• „Achsenspiegelung ○ Achsenspiegelung =

= Verschiebung“, falls die beiden Achsen parallel liegen

= Drehung“, um den doppelten Schnittwinkel der Achsen andernfalls

Symmetrie

• Symmetrie nennt man die Eigenschaft einer Figur bzw. eines Körpers, durch eine (von der Identität verschiedenen) Kongruenzabbildung auf sich selbst abgebildet zu werden.

• Zu jeder Kongruenzabbildung existiert eine eigene Form der Symmetrie. In der Ebene sind dies:– Achsenspiegelung → Achsensymmetrie– Drehsymmetrie– Verschiebungs- bzw. Translationssymmetrie– Schubspiegelungssymmetrie

Allgemeinerer Symmetriebegriff z.B. in der Physik

• „Allgemein sprechen wir von Symmetrie, wenn man ein Objekt bzw. ein physikalisches Gesetz einer bestimmten Operation unterwerfen kann und es danach dieselbe Gestalt hat bzw. auf dieselben Resultate führt wie zuvor. Die in den Gesetzen erhaltenen Symmetrieeigenschaften erkennt man also dadurch, daß die entsprechenden Gleichungen und damit die durch sie beschriebenen Vorgange invariant gegenüber bestimmten Symmetrieoperationen sind".

Bethge. K., Schröder. U. E., 1991, Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen, Darmstadt. (S.20)

Achsensymmetrie (bzw. analog: Ebenensymmetrie im Raum)

Def.: Eine Figur F heißt achsensymmetrisch, wenn eine Achsenspiegelung existiert, die F auf sich selbst abbildet.

Beispiele:

– Figur F1 und F2 haben jeweils keine Symmetrieeigenschaft

– F1 liegt spiegelbildlich zu F2

– F1 ist Urbild und F2 ist Bild der Spiegelung an a (bzw. umgekehrt)

– Die Vereinigung von F1 mit F2 ergibt eine achsensymmetrische Figur

F1 F2

a

Wo findet man (näherungsweise) achsensymmetrische Objekte und warum haben sie diese Eigenschaft?

• Natur:– Tierwelt: Mensch, Huftiere, Katzen, Schmetterlinge, Vögel, Insekten,…– Pflanzenwelt: Blätter, Blüten, Früchte, Grobumriss von Bäumen, …– Geologie: Kristalle, Vulkane,…– Ursache: Fortbewegung erfolgt in eine Richtung; Orientierung nach links

bzw. rechts gleichberechtigt, Flugfähigkeit, Symmetrisches Wachstum aufgrund symmetrischer Bedingungen….

• Artefakte:– Alltagsgegenstände, Bauwerke, Kunstobjekte:

• Ursache: – Anpassung an vorhandene Symmetrie

(z.B.: Brille, Stuhl, Toilette, …)– Vermeidung von Drehmomenten, Kräfteverteilung, Statik

(z.B.: Schaufel, Rechen, Gewölbe…)– Ästhetik (Abbild von Mensch und Tier, Symbol für Ausgewogenheit und Ordnung)

Drehsymmetrie

Def.: Man sagt: Eine Figur F hat eine n-zählige Drehsymmetrie, wenn eine Drehung um 360°/n (n>1) existiert, die F auf sich selbst abbildet.

Beispiele:– Punktsymmetrische Figur– Drehsymmetrische Figur mit

• dreizähliger Drehsymmetrie

• vierzähliger Drehsymmetrie

– Reguläres n-Eck– Dreht man eine Figur n-1-mal um 360°/n und vereinigt sie mit

ihren n-1 Bildern, so entsteht eine Figur mit n-zähliger Drehsymmetrie

Verschiebungssymmetrie

• Verschiebungssymmetrische Figuren können nicht begrenzt sein

• Beispiele:– Gerade– Bandornamente– Parkette

Schüleraktivitäten und Veranschaulichungen zu Kongruenzabbildungen und Symmetrien

• Achsenspiegelung - Achsensymmetrie:– Klecksbilder – Umklappen einer Figur auf Folie– Einfach gefaltetes Papier

• schneiden• durchstechen

– Kohlepapier – Spiegel– Pantomime– Miraspiegel– Bauen z.B. mit Lego– Karopapier (Achslage parallel oder diagonal)– „Konstruktion“ mit

• Zirkel• Geodreieck

– Finden (z.B. mit Spiegel) und Einzeichnen von Symmetrieachsen, – Ergänzen zu symmetrischer Figur

• Drehung - Dreh- bzw. Punktsymmetrie:– Drehung einer Figur auf Folie– „Konstruktion“ mit

• Zirkel• Geodreieck

– Doppelt gefaltetes Papier schneiden– Doppelspiegel– Erzeugung einer drehsymmetrischen Figur durch mehrfaches Abbilden– Finden und Einzeichnen des Drehpunkts bzw. des Symmetriezentrums– Problematisieren: Riesenrad (Gondeln parallel) vs. Mond (Mondgesicht)

• Verschiebung - Verschiebungssymmetrie:– Verschiebung einer Figur auf Folie– Parallelverschiebung mit Geodreieck und Lineal– Erzeugung von Bandornamenten– Doppelt (mehrfach) parallel gefaltetes Papier schneiden– Finden und Markieren einer Elementarzelle eines Bandornaments

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