Grundkurs Physik 1 - Universität...
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13 Hydrodynamik
Chrysopelea Paradisi
Crash Kurs 3.3.2010, Großer Hörsaal Physik 9-11 Uhr
Klausur 10.3.2010, Großer Hörsaal Physik 9-11 Uhr
Hilfsmittel
Taschenrechner, Din A5 Blatt, handbeschrieben
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Strömungstypen
laminar turbulent
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Ideale Flüssigkeiten... damit sind auch Gase gemeint
In einer laminaren Strömung folgt jedes Teilchen einer Strömungslinie. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ist dabei tangential zur Richtung der Strömungslinie
Zigarettenrauch
Übergang von laminarerzu turbulenter Strömung
Was sind die Eigenschaften einer idealen Flüssigkeit?- keine Wechselwirkung der Teilchen innerhalb der Flüssigkeit- Geschwindigkeit an jedem Punkt in der Flüssigkeit ist konstant- Flüssigkeit ist inkompressibel- an keinem Ort in der Flüssigkeit gibt es einen resultierenden Drehimpuls
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KontinuitätsgleichungMassenflussrate
tm
m ΔΔ
=φ
111V lAΔ=Massenflussrate der Flüssigkeit Ort 1
222V lA Δ=Massenflussrate der Flüssigkeit Ort 2
1111
111112 vA
tlA
tV
tm
m ρρρφ =ΔΔ
=ΔΔ
=ΔΔ
=
2222
222221 vA
tlA
tV
tm
m ρρρφ =ΔΔ
=ΔΔ
=ΔΔ
=
222111
2211
vv AA
tm
tm
mm
ρρ
φφ
=⇓
=ΔΔ
=ΔΔ
=
Kontinuitätsgleichung
keine Flüssigkeit geht verlorenFlussrate muss konstant sein!
constAA
const
m ==⇓
==
φ
ρρ
2211
21
vv
Flüssigkeit inkompressibel
Konsequenzengroßer Querschnitt -> niedrige Strömungsgeschwindigkeitgeringer Querschnitt -> hohe Strömungsgeschwindigkeit
Vergleiche Massenfluss an zwei Teilstücken einer RöhreWichtig: kein Tropfen der Flüssigkeit geht verloren. Also muß sich
etwas ändern, wenn man die Bedingungen modifiziert!
spezielle Bedingungen für
inkompressibles Medium wie z.B. Flüssigkeit
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Volumen
Volumen
alles was pro Zeiteinheit hier herein fließt,kommt hier auch in derselben Zeit wieder raus
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Wasserhahn
11vA
12
21212
21
22
2vv
2vv
AAghAA
gh
<←
+=
+=
Warum verengt sich der Querschnitt des Wasserstahls?
Wassertropfengeschwindigkeit erhöht sich durch freien Fall
Kerzen ausblasen beim Kindergeburtstag
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Anzahl der Kapillaren im Körper
Bedingungen in den Kapillaren Durchmesser 10 μm
Fließgeschwindigkeit 600 μm/s
Bedingungen in der AortaDurchmesser 2 cmFließgeschwindigkeit 30 cm/s
2AortaAorta rA π=
2KapKapKap rnA π=
Kontinuitätsgleichung
( )( )
9
264
22-
2
2
22
107.6m105
sm106
m10sm0.30
vv
vv
vv
⋅=⋅⋅
=
=
=
=
−−Kap
KapKap
AortaAortaKap
KapKapKapAortaAorta
KapKapAortaAorta
n
rrn
rnr
AA
ππ
Abschätzung über Anzahl der Kapillaren im Körper
also etwa 10 Billionen
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Bernouilli-Gleichung
Annahme einer idealen FlüssigkeitFlüssigkeit inkompressibel
laminare Strömunggeringe Viskosität (Zähigkeit)
constp
pp
=++
⇓
++=++
gyv²21
gyv21 gyv
21
1
22221
211
ρρ
ρρρρ
BernoulligleichungErhaltungssatz
Test: statische Flüssigkeit
( )ghp
ypp
SD ρρ=
−+=⇓
==
2112
21
yg
m/s 0.0v v
Test: kein Höhenunterschied
222
211
21
v21 v
21
ρρ +=+
⇓
==
PP
constyy
Daniel Bernouilli1700-1782
bekannt aus Kap. 12
Schweredruck
Was sagt die Gleichung z.B. ausBei hohem Druck reduziert sich
die Fliessgeschwindigkeit
Flüssigkeit bewegt sich nicht
1211 gyv
21 ρρ ++p
2222 gyv
21 ρρ ++p
Strömung wird durch drei Beiträge charakterisiert
Druck, Geschwindigkeit
Höhe
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Bernouilligleichung
Wir stellen eine Behauptung aufHoher Druck bedeutet hohe Geschwindigkeit der Flüssigkeit
Wenn das Gegenteil der Fall wäre
hoch? vhoch
1
1p niedrig vniedrig
1
1p
Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung
höherer Druck
höherer Druck
höhere Strömungsgeschwindigkeitniedriger Druck
Auswirkungen von Bernoulli
2211 vv AA =
222
211
2121
v21 v
21
v v
ρρ +>+
>→>
pp
pp
dann stimmt Bernoulli nicht
also
Reduzierung der Fließgeschwindigkeit
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Beweis der Bernoulligleichung
Ergebnis aus der MechanikÄnderung der kinetischen Energie
entspricht der geleisteten Arbeit am System
12 KEKEKEW −=Δ=
( )21
22
21
22
vv21
v21v
21
−Δ=Δ
↓
Δ−Δ=Δ
Δ=Δ
VKE
mmKE
Vm
ρ
ρ
Änderung der kinetischen Energie
Geleistete Arbeit im Gravitationfeld
)(
)(
12
12
yyVgW
yymgW
g
Vm
g
−Δ−=↓
−Δ−=Δ=Δ
ρ
ρ
Arbeit am System/ System leistet Arbeit
VpW
lpAlFW
P
VlAP
Δ=↓
Δ=Δ=Δ=Δ Flüssigkeit in den Bereich y1 drücken (positiv)
Flüssigkeit gegen den Druck P2 bewegen (negativ)
VpWp, Δ= 11
VpWp Δ−= 22,
( ) VppWVpVpW
WWW
P
P
PPP
Δ−−=Δ+Δ−=
+=
12
12
1,2,
( ) ( )
222211
21
121221
22
v21v
21
)(vv21
pgypgy
ppVyyVgV
WWKE Pg
++=++
−Δ−−Δ−=−Δ
+=Δ
ρρρρ
ρρ
qed
neu sortieren nach Indizes
ersetze Masse durch Dichte und Volumen
ersetze Masse durch Dichte und Volumen
das ist der zweite Terme der Bernoulligleichung
dritter Term der Bernoulligleichung
Arbeit, die die Flüssigkeit leisten muss
Arbeit, die an der Flüssigkeit geleistet wird
allgemein das ist der erste Terme der Bernoulligleichung
Energieerhaltung
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Venturi RöhreStrömungsgeschwindigkeit inkompressibler Flüssigkeiten
0v210v
21 2
22211 ++=++ ρρ pp
1
221
2211
vv
vv
AA
AA
=
↓
=BernouilligleichungKontinuitätsgleichung
( )( )
( )( )2
22
1
2121
22
21
2112
222
2
21
21
2v
2v
v21v
21
AAppA
AAppA
pAAp
−−
=
↓
−−
=
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ρ
ρ
ρρ
Druck in den engen Stellen der Röhre reduziert
Flüssigkeit steigt nach oben21
Bernouilli
21
gleichungtsKontinuitä
12 vv ppAA >→>→<
Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit
am Messpunkt 2
Ausdruck für die Strömungsgeschwindigkeit
am Messpunkt 1
vgl Barometer
kein Höhenunterschied Δh=0
Ergebnis einsetzen
notwendige Messung Bestimmung des Druckunterschieds
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... noch mehr Bernoulli
Versuch mit Buchseiten und Ökanistern
hohe Strömungsgeschwindigkeitverursacht Druckverringerung
Wind über Kamin erzeugt Unterdruck
klappernde Suppenlöffel
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Aerodynamik
Windströmung um einen Tragflügel
Heinrich Hoffmann Der Struwwelpeter (1845)
13
Aerodynamik
Aerodynamischer AuftriebGeschwindigkeit des Flugzeug
Fläche und Form der TragflächeAnstellwinkel der Tragfläche
Luftwiderstand
Turbulenz
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Bumerangphysik
BumerangWar einmal ein BumerangWar ein Weniges zu langBumerang flog ein Stück,
Aber kam nicht mehr zurückPublikum – noch stundenlang-
Wartete auf BumerangJoachim Ringelnatz
richtiges Flügelprofil
Fake
Rotation
Rotation mit Flugrichtunghohe relative Drehgeschwindigkeit
d.h. erhöhterAuftrieb
Luftströmung an Flügeln verursacht Auftrieb
Rotationsachse
Rotation gegen Flugrichtungrelative Drehgeschwindigkeit niedrig,d.h. geringerer Auftrieb
Flugrichtung
Unterschiedlicher Auftrieb an den Flügelenden verursacht Drehmoment
Bumeraung kippt in die Vertikale
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Druckmessung in bewegten FlüssigkeitenGesamtdruck = statischer plus dynamischer Druck
Pivotrohr
statischer Druck dynamischer Druck
aus Differenz von Gesamt-und statischem Druck
dynstatres PPP +=potentelle
Energie
Staudruck
statischer Druck
Gesamtdruck m/s 0.0v =
2v21 ρ+= statres PP
kinetische Energie
welche Anteile tragen zum Druck bei?
Gesamtdruck
Prandtlrohr
Gesamtdruckstatischer Druck
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Toricellis TheoremAusströmgeschwindigkeit aus einem Reservoir
gh
ghgh
obenunten
hhh
untenuntenobenoben
untenoben
2vv
v21v
21
22
22
+=
↓
+=+
−=
Toricellis Theorem
Atmosphärendruck an Oberfläche des Sees
gleiche Druckverhältnisse Atmosphärendruck auch beim Ausströmen der Flüssigkeit
untenuntenobenoben
untenuntenuntenobenobenoben
ghgh
pghpgh
ρρρρ
ρρρρ
+=+
↓
++=++
22
22
v21v
21
v21v
21
leichungBernoullig
Energieerhaltung Ergebnis identisch zu freiem Fall eines Körpers
Annahme reibungslose Bewegung
gh
mghmm
PEKEKE
BergTal
BergTal
BergBergTal
2vv
v21v
21
22
22
+=→
+=
+=
h
Druck auf die Flüssigkeitsoberfläche ist an beiden Stellen der Luftdruck
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Torricelli
Schweredruck ghOH2ρ
2v21
2OHρ
geringer Schweredruckniedrige Ausflussgeschwindigkeitgroße Höhe
hoher Schweredruckhohe Ausflussgeschwindigkeitgeringe Höhe
Man kann zeigen, dass h/2 die größte Weite ergibt
h
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LeistungEnergietransfer pro Zeiteinheit
Ergebnis aus Kap. Dynamik
tW
tEP
ΔΔ
=ΔΔ
=
==Zeit
ArbeitZeit
EnergieLeistung
constghp =++ ρρ 2v21
Start mit Gleichung von Bernoulli
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
sNm
sm³
m³Nm
ZeitVolumen
m³Nm
Dimensionsanalyse: resultierende Einheit für jeden Term identisch!
Energie pro Volumen
Energie pro Volumen multipliziert mit Volumen pro Zeit
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
m³Nm
mm
m²N
m²Nv
21][ 2 ghp ρρ
VVVV ghpghp φρφρφφρρ ++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ 22 v
21v
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ΔΔ
=⇒tV ssrateVolumenflu Vφ
Vpφ VghφρVφρ 2v
21
Energie pro Zeit also Leistung
Änderung der Druckverhältnisse
Änderung der kinetischen Energie
Änderung der potentiellen Energie
und die physikalische Bedeutung?
Transfer von Energie an die Flüssigkeit
Erweitern dieser Gleichung mit einem Term, der angibt, welche
Flüssigkeitsmenge pro Sekunde fließt
Energiegleichung
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Feuerwehr
Wasserdruck7 bar (7 MPa)
Annahmenkein Höhenunterschied
keine Änderung des Querschnitts
kW 93 W103.9s
m³101.33m²N107
00
ghv21
Pumpeder Leistung Notwendige
4
2-6
2
=⋅=Φ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=
++Φ=
Φ+Φ+Φ=
pP
P
pP
pP
Pumpe
Pumpe
Pumpe
Pumpe ρρ
B-Rohr mit Düse 16 mm800 l/min
0gh
0v21 2
=Φ
=Φ
ρ
ρ
[ ] [ ]WsJ
sNm
sm³
m²N
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=PumpeP
20
Rotierender Ball in Medium
Ba
Erstaunliche Beobachtung bei folgendem Experiment
Herunter rollender Ball plumpst ins Wasser
Der Ball bewegt sich in entgegen gesetzter
Richtung zur Flugbahn
warum nicht so?
21
Analyse der StrömungsverhältnisseRotierender Ball in Medium
Unterdruckhohe Geschwindigkeit
Erster BeitragStrömung ohne Rotation
Zweiter BeitragZirkularstrom durch Rotation
Resultierende Kraft wirkt inRichtung des Unterdrucks
Überdruckniedrige Geschwindigkeit
22
Rotierender Ball in Medium
Ba
Der Ball rotiert wenn er ins Wasser fällt
Der Bernouillieffektwirkt auch in einem Medium wie Wasser
Kraftwirkung in Richtung der höheren Strömungsgeschwindigkeit,
d.h. des niedrigeren Druckes
Magnus Effekt
Gustav Magnus (1802 - 1870)
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Bananenflanke"Manni Bananenflanke, ich Kopf - Tor" (Horst Hrubesch)
Ba
Flugbahn
SeitlicheKraft dem Ball
verliehenerDrall
BallBallWindLuftMagnus rF ωπρ 2v=
Pitcher beim Wurf eines Baseballs
Erfinder der BananenflankeManni Kaltz
Kraftbeitrag durch den Magnuseffekt
MagnusF
Kraftwirkung entspricht etwa dem Gewicht von ein paar Tafel Schokoladeoptimal Bedingungen bei Flanken über etwa 40 Meter
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Tennisphysik
Back-SpinTop-Spin
Drive
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Flettnerboote
mögliche resultierende Kraftwirkung
Windrichtung
Kreuzen gegen den Wind, allerdings nur unter einem geringen Winkel zur
Windrichtung
Motor notwendigDrehgeschwindigkeit des Zylinders etwa drei bis viermal höher als Windgeschwindigkeit
Effizienz etwa zehnmal so hoch wie ein vergleichbare starre Flügel bzw. Segel
26
Flettnerboote
Boot kann unter einem geringen Winkel gegen den Wind kreuzen
Flugzeug
Schiffsantrieb
27
The Physics of BaseballMechanics all in one
Kinematik
Newtonsche Dynamik
Impuls
Rotation und Drehmoment
Hydrodynamik
Schwingungen (Thema im SS)
28
Das war es für dieses Semester
aber erst im Sommersemester!