IT-Kompaktkurs: Wirtschaftsmathematik (Folge 9)

Lineare Algebra (2)Matrizen und Vektoren

Prof. Dr. Walter KielFachhochschule Ansbach

Matrix11 12 1( 1) 1

21 22 2( 1) 2

( 1)1 ( 1)2 ( 1)( 1) ( 1)

1 2 ( 1)

...

...: : ... : :

...

...

n n

n n

m m m n m n

m m m n mn

a a a aa a a a

a a a aa a a a

Umsatz-Matrix

Bezeichnungen für Matrizen

A Amn (aij) (aij)mn

VektorenSpaltenvektor

Zeilenvektor '

1 2 3 4b b b b b

1

2

3

4

aa

aaa

Nullmatrix

3 4

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

N

Einheitsmatrix

1 0 00 1 00 0 1

E I

Symmetrische Matrix

3 3

1 1 01 2 7

0 7 3C

Transposition

'

1 23 45 6

A

1 3 52 4 6

A

Gleichheit von Matrizen

bei typgleichen Matrizen:aij = bij für alle i und j

Beispiel: A = B8 03 1

A

32 0

9 1B

Größer-Gleich-Relation bei typgleichen Matrizen

aij bij für alle i und j

Beispiel: A B

8 43 0

A

32 0

9 1B

Ungleichheit bei typgleichen Matrizen

Beispiel: A B

8 13 1

A

8 03 1

B

Addition/Subtraktion typgleiche Matrizen

aij bij = cij für alle i und jA B = CBeispiel:

1 03 1

A

2 11 0

B

1 2 0 1 3 13 1 1 0 2 1

C

A B C

Gesetze zu Addition/Subtraktion von

MatrizenA+B=B+A (Kommutativgesetz)A-B=-B+A (Kommutativgesetz)(A+B)+C=A+(B+C) (Assoziativgesetz)(A+B)'=A'+B' (Transposition)A±N=A (Nullmatrix)Monotoniegesetze: Aus A=B folgt A±C=B±C Aus AB folgt A±CB±C

MultiplikationMatrix mit Skalar

c aij = bij für alle i und jc A = BBeispiel: 3c

2 11 0

A

3 2 3 1 6 3

3 ( 1) 3 0 3 0c A

Gesetze zu Multiplikation Skalar mit Matrix

c A = A c (Kommutativgesetz)

c1c2A=c1(c2 A) (Assoziativgesetz)

c(A±B)=cA ± cB (1. Distributivgesetz)

(c1±c2)A=c1A±c2A (2. Distributivgesetz)

Multiplikation zwischen Matrizen: Verkettete Matrizen

Amn Bnp = Cmp

Matrix-Multiplikation mit dem Falkschen Schema

3

2 2

2 -1 5 1 4 0

2 1 2

0 3

1x2+2x1 1x(-1)+2x4 1x5+2x0

4 7 5

0x2+3x1 0x(-1)+3x4 0x5+3x0

3 12 0

2

3

A22 B23 = C23

Gesetze zur Multiplikation zwischen Matrizen

A(BC)= (AB) C (Assoziativgesetz)A(B+C)=AB+AC (Distributivgesetz) (A+B)C=AC+BC k(AB)=(kA)B=A(kB)

aber: (i.A.): ABBA (keine Kommutativität) AB + CA A(B+C) und: Aus A B = A C folgt nicht: B = C

Matrix-Multiplikation Ökonomische Anwendung

Beispiel: Zwei Produktionsstufen

1

1 23 12 1

S

2

2 11 3

S

1 (3,2) 2 (2,2) 32

4 77 65 5

S S G

LGS als Matrix-Gleichung a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

: : : :

an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn

Ann xn1 = bn111 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

1

21n

n

xx

x

x

1

21n

n

bb

b

b

Auflösung Matrix-Gleichung• Gewöhnliches

Rechnen

ax = b a-1 * a x = a-1 * b

x = a-1 * b

• Lineare Algebra mit Matrizen-Gleichung

- Inverse suchen, für die gilt: A-1 * A = E

- Auflösung: Ax = b A-1 * A x = A-1 * b E x = A-1 * b x = A-1 * b

Matrix-Inversion:Ausgangsmatrix

A (hier 2x2) wird um die passende Einheitsmatrix erweitert zu (A|E)

11 12

21 22

a aA

a a

11 12

21 22

1 0|

0 1a a

A Ea a

Matrix-Inversion:Zeilen-Transformationen

1. Vertauschen zweier Zeilen2. Multiplikation aller Elemente einer

Zeile mit einer reellen Zahl ungleich Null

3. Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile

Von links her Einheitsvektoren erzeugen mit dem Ziel: (E|A-1)

Matrix-InversionBeispiel: Ausgangsmatrix

A wird erweitert zu (A|E)1 32 2

A

1 3 1 0

|2 2 0 1

A E

Matrix-Inversion Beispiel: Zeilenoperationen

1 3 1 02 2 0 1

1 3 1 00 2 1 0,5

0,5xZ2 + Z1

Matrix-Inversion Beispiel: Zeilenoperationen

1 3 1 00 1 0,5 0,25

Z1 - 3 x Z2

11 0 0.5 0,75|

0 1 0,5 0,25E A

Matrix-Inversion Beispiel: Inverse isolieren

1 1 0 0.5 0,75|

0 1 0,5 0,25E A

1 0,5 0,750,5 0,25

A

Matrix-Inversion Beispiel: Probe A-1 A = E

A-1 A = E

1 0,5 0,750,5 0,25

A

1 32 2

A