Kapitel 3

Festigkeitsberechnung

Alle Angaben beziehen sich auf die 19. Auflage Roloff/Matek Maschinenelemente mit

Tabellenbuch und die 15. Auflage Roloff/Matek Aufgabensammlung.

Das Aufgabenbuch kann man beim SpringerLink runterladen!

Aufgabe 3.1

Gesucht: Festigkeitswerte

Gegeben:

S235; S275; E335

d = 32 mm; d = 150 mm

Formeln:

Rm = Kt * RmN (RM 3.7 ; S.44)

Rp = Kt * RpN (Gilt analog auch für Re)

σbF ≈ (1…1,3) * Re (RM Bild 3-14 ; S.45)

τtF ≈ (1…1,2) * ft * Re

Kleingedrucktes Bild 3-14: (für duktile Rundstäbe aus Stahl)

σbF ≈ 1,2 * Re

τtF ≈ 1,2 * Re / √3

σbGW =

(RM 3.17 ; S.58)

τtGW =

KDb = (

) *

(RM 3.16 ; S.57)

KDt = (

) *

siehe Ablaufplan RM Bild 3-27

σbW = Kt * σbWN

τtW = Kt * τtWN

Werte aus TB 1-1

Kt - Faktoren aus TB 3 – 11 a)

Für d = 32 mm: KtZugfestigkeit = KtZ = 1

KtStreckgrenze = KtS = 1

Für d = 150 mm: KtZugfestigkeit = KtZ = 0,96

KtStreckgrenze = KtS = 0,83

Kg - Faktoren aus TB 3 – 11 c)

Für d = 32 mm: Kg = 0,9

Für d = 150 mm: Kg = 0,8

KO - Faktoren aus TB 3 – 10

Da die Oberfläche poliert ist (feinstbearbeitet), erhalten wir KO = 1

KDb = (

) *

KDt = (

) *

βkb = βkt = 1 (siehe RM 3.15a) Verhältnis ungekerbter polierter Stab zum Probestab

Kv = 1 Bauteil ist nicht Oberflächenverfestigt!

Für d = 32 mm:

KDb = KDt = (

)

KDb = KDt = 1,11

Für d = 150 mm:

KDb = KDt = (

)

KDb = KDt = 1,25

d = 32 mm [Einheit MPa]

S235 S275 E335

Rm = KtZ * RmN 1*360 = 360 1*430 = 430 1*590 = 590 Re = KtS * ReN 1*235 = 235 1*275 = 275 1*335 = 335

Re / Rm 235/360 = 0,65 275/430 = 0,64 335/590 = 0,57

σbF ≈ 1,2 * Re 1,2*235 = 282 1,2*275 = 330 1,2*335 = 402

τtF ≈ 1,2 * Re / √3 1,2*235/√3 = 163 1,2*275/√3 = 191 1,2*335/√3 = 232

σbGW =

= 162

= 194

= 261

τtGW =

= 95

= 113

= 162

d = 150 mm [Einheit MPa]

S235 S275 E335

Rm = KtZ * RmN 0,96*360 = 346 0,96*430 = 413 0,96*590 = 566 Re = KtS * ReN 0,83*235 = 195 0,83*275 = 228 0,83*335 = 278

Re / Rm 195/346 = 0,56 228/413 = 0,55 278/566 = 0,49

σbF ≈ 1,2 * Re 1,2*195 = 234 1,2*228 = 274 1,2*278 = 334

τtF ≈ 1,2 * Re / √3 1,2*195/√3 = 135 1,2*228/√3 = 158 1,2*278/√3 = 193

σbGW =

= 138

= 165

= 223

τtGW =

= 81

= 96

= 138

Aufgabe 3.2

Gesucht: Festigkeitswerte

Gegeben:

S275; E335

C45E; 30CrNiMo8

EN-GJL-250; EN-GJS-400-18

da = 60 mm; di = 40 mm

Formeln:

Rm = Kt * RmN (RM 3.7 ; S.44)

σzdSch = Kt * σzdSchN

σbW = Kt * σbWN

τtW = Kt * τtWN

Festigkeitskennwerte aus TB 1-1

d für S275 und E335: d = t =

= 10 mm

d für Rest: d = 2t = 2*

= 20 mm

Kt - Faktoren für Stahl aus TB 3 – 11 a)

KtBaustahl = KtB = 1

KtVergütungsstahl = KtV = 0,975

Kt - Faktoren für Guss aus TB 3 – 11 b)

GJL = Lamellengrafit (Linie 5)

GJS = Kugelgraphit (Linie 3)

KtGuss = KtG = 1

[Einheit MPa]

S275 E335 C45E 30CrNiMo8

Rm = Kt * RmN 1*430 = 430 1*590 = 590 0,975*700 = 683 0,975*1250 = 1219

σzdSch = Kt * σzdSchN 1*275 = 275 1*335 = 335 0,975*490 = 478 0,975*750 = 731 σbW = Kt * σbWN 1*215 =215 1*290 = 290 0,975*350 = 341 0,975*625 = 609

τtW = Kt * τtWN 1*125 = 125 1*180 = 180 0,975*210 = 205 0,975*375 = 366

GJL-250 GJS-400-18 1*250 = 250 1*400 = 400

- -

1*120 = 120 1*195 = 195

- -

Aufgabe 3.3

Gesucht: Zulässige Zugspannung σzzul

Gegeben:

ENAW-AlCu4PbMgMn-T3

ruhende Belastung: statische Belastung

mittlere Sicherheit

Für duktile Werkstoffe:

σzzul = ReN(Rp0,2N) / SF (RM 3.25 ; S.63)

Kleingedrucktes: SF = 1,2…1,8

SFgew = 1,5

Rp0,2 aus TB 1-3

σzzul = Rp0,2N / SF =

σzzul = 160 Mpa

Aufgabe 3.4

Gesucht: Bauteilfestigkeit τtF, Mindestsicherheit SFmin

Gegeben:

GS240 +N d = 60 mm

Bauteil wird auf Verdrehung belastet

τtF = 1,2 *Rp0,2N * Kt / √3 RM: Kleingedrucktes von Bild 3-14 S.45

Rp0,2 aus TB 1-2

Kt aus TB 3-11b)

Kt = 1 (Linie 2)

τtF = 1,2 *Rp0,2 *Kt / √3 = 1,2 * 240 Mpa * 1 / √3

τtF =166 Mpa

SFmin aus TB 3-14a)

SFmin = 2,1

Aufgabe 3.5

Gesucht: Ausschlagspannung σA

Gegeben:

σSch = 360 Mpa

Aus RM Bild 3-7 S.41

σA = σSch / 2

σA = 360 Mpa / 2

σA = 180 Mpa

Skizze:

Aufgabe 3.6

Gesucht: Oberspannung σO, Unterspannung σU

Grenzspannungsverhältnis κ

Gegeben:

σA = ± 150 Mpa

σO = 70 Mpa

Aus RM Bild 3-7 S.41

σO = σm + σA

σU = σm - σA

κ = σU / σO (RM 3.4 ; S.39)

σO = 70 Mpa +150 Mpa

σO = 220 Mpa

σU = 70 Mpa – 150 Mpa

σU = -80 Mpa

κ =

κ = -0,36

Skizze:

Aufgabe 3.7

Gesucht: a) maximale Ausschlagspannung σba mit σm = konst. und SD = 1

b) σO und σU mit σm = konst.

c) κ mit σm = konst.

d) σba mit κ = konst.

Gegeben:

25CrMo4

σba = 250 Mpa

σbm = 400 Mpa

a)

Formeln:

σbGA = σbGW – Ψσ * σmv (RM 3.18a ; S.59)

Ψσ = aM * Rm + bM (RM 3.19 ; S.60)

σbGA / σba = SD

σmv = σbm

σbGW = σbW (Normprobe, keine Kerbfaktoren)

Rm = RmN (Normprobe)

Festigkeitswerte aus TB 1-1

Faktoren aM ; bM aus 3-13

Ψσ = aM * Rm + bM = 0,00035 mm2/N * 900 N/mm2 -0,1

Ψσ = 0,215

σbGA = σbGW – Ψσ * σmv = 450 Mpa – 0,215 *400 Mpa

σbGA = 364 Mpa

σbGA / σba = SD σba = σbGA / SD = 364 Mpa / 1

σba = 364 Mpa

b)

Formeln:

σO = σbm + σbGA (RM Bild 3-7 S.41)

σU = σbm - σbGA

σO = 400 Mpa + 364 Mpa

σO = 764 Mpa

σU = 400 Mpa – 364 Mpa

σU = 36 Mpa

Festigkeitsnachweis:

σO < σbF = 1,2 * Rp0,2 = 1,2 * 700 Mpa = 840 Mpa (RM: Kleingedrucktes von Bild 3-14 S.45)

840 Mpa > 764 Mpa = σO

c)

Formeln:

κ = σU / σO (RM 3.4 ; S.39)

κ = 36 Mpa / 764 Mpa

κ =0,047

d)

Formeln:

σbGA =

σbGA =

σbGA = 335 Mpa = σba

Aufgabe 3.8

Gesucht: σbGA

Gegeben:

50CrMo4

d1 = 60 mm; d2 = 55 mm

Rz ≈ 10 μm

Passfedernut Form N1

rein wechselnde Belastung:

σbGA = σbGW

σbGW =

(RM 3.17)

KDb = (

) *

(RM 3.16)

βkb = βk Probe

(RM 3.15c)

σbW = Kt * σbWN (RM 3.9a)

σbWN, RmN aus TB 1-1c) (50CrMo4)

σbWN = 550 MPa

RmN = 1100 MPa

Kt aus TB 3-11a) (d = 60 mm)

Kt = 0,85

βk Probe aus TB 3-9 b)

Rm = Kt * RmN (RM 3.7)

Rm = 0,85 * 1100 MPa

Rm = 935 MPa

βk Probe = 2,3 (dProbe = 15 mm)

Kα, Kα Probe aus TB 3-11 d) (βk = 2,3)

Kα : d = 55 mm

Kα Probe : d = 15 mm

Kα = 0,95

Kα Probe = 0,98

Kg aus TB 3-11 c) (d = 55 mm)

Kg = 0,86

KOσ aus TB 3-10 (Rm = 935 MPa, Rz ≈ 10μm)

KOσ = 0,85

KV aus TB 3-12

Da keine Oberflächenverfestigung vorhanden ist, ist KV = 1

βkb = βk Probe

βkb = 2,3

βkb = 2,37

KDb = (

) *

KDb = (

) *

KDb = 2,93

σbW = Kt * σbWN

σbW = 0,85 * 550 MPa

σbW = 468 MPa

σbGW =

σbGW =

σbGW = 160 MPa

rein wechselnde Belastung:

σbGA = σbGW

σbGA = 160 MPa

Aufgabe 3.9

Gesucht: KB, KDb, KDt

Gegeben:

E295

Rohteildurchmesser d = 70 mm

d = 50 mm

Rz ≈ 16 μm

KB =

(RM 3.11)

npl = √

≤ αbp (RM 3.12)

Rp = Kt * RpN (RM 3.7)

KDb = (

) *

(RM 3.16)

KDt = (

) *

(RM 3.16)

RpN, RmN aus TB 1-1 a) (E295)

RpN = 295 MPa

RmN = 490 MPa

αbp aus TB 3-2 b)

αbp = 1,7

Kt aus TB3-11 a)

Kt1 = 1

Kt2 = 0,91

βkb, βkt aus TB 3-9 c)

r aus TB 9-7 Kleingedrucktes

8): r = 0,1 * s

s aus TB 9-7 (d = 50 mm)

s = 2 mm

d2 = 47 mm

r = 0,1 * s

r = 0,1 * 2 mm

r = 0,2 mm

Kg aus TB 3-11 c) (d = 50 mm)

Kg = 0,87

Rm = Kt * RmN

Rm = 1 * 490 MPa

Rm = 490 MPa

KOσ, KOτ aus TB 3-10 (Rm = 490 MPa, Rz = 16 μm)

KOσ = 0,9

KOτ = 0,575 * KOσ + 0,425

KOτ = 0,575 * 0,9 + 0,425

KOτ = 0,94

KV aus TB 3-12

Da keine Oberflächenverfestigung vorhanden ist, ist KV = 1

Kleingedrucktes TB 3-9 c)

βkb = 0,9 * (1,14 + 1,08 √

) ≤ 4

βkt = 1,48 + 0,45 √

≤ 2,5

rf = r + 2,9 * ρ*

ρ* ≈ 0,1 mm

rf = 0,2mm + 2,9 * 0,1mm

rf = 0,49 mm

βkb = 0,9 * (1,14 + 1,08 √

) ≤ 4

βkb = 2,73

βkt = 1,48 + 0,45 √

) ≤ 2,5

βkt = 2,27

Rp = Kt * RpN

Rp = 0,91 * 295 MPa

Rp = 268 MPa

Rp max aus Kleingedrucktes RM 3.12:

Rp max = 1050 MPa (Stahl)

npl = √

≤ αbp

npl = √

npl = 1,98 ≤ 1,7

KB =

KB =

KB = 0,59

KDb = (

) *

KDb = (

) *

KDb = 3,25

KDt = (

) *

KDt = (

) *

KDt = 2,67

Aufgabe 3.10

Gesucht: βk

Gegeben: a) S235

b) C60E

c) 50CrMo4

Formeln:

Rm = Kt * RmN (RM 3.7 ; S.44)

Rp = Kt * RpN (Gilt analog auch für Re)

βk = βkProbe *

(RM 3.15c ; S.54)

RmN aus TB 1-1

S235: RmN = 360 Mpa

C60E: RmN = 850 Mpa

50CrMo4: RmN =1100 Mpa

Kt aus TB 3-11a)

S235 : Kt = 1

C60 E : Kt = 0,9

50CrMo4: Kt = 0,9

Rm = Kt * RmN

S235:

Rm = 1 * 360 Mpa

Rm = 360 Mpa

C60 E:

Rm = 0,9 * 850 Mpa

Rm = 765 Mpa

50CrMo4:

Rm = 0,9 * 1100 Mpa

Rm = 990 Mpa

βkProbe aus TB 3-9

=

cb = 0,4

βkProbe = 1 + cb (βk(0,2) -1)

S235:

βkProbe = 1 + 0,4 (1,8 – 1)

βkProbe = 1,32

C60E:

βkProbe = 1 + 0,4 (2,35 – 1)

βkProbe = 1,54

50CrMo4:

βkProbe = 1 + 0,4 (2,75 – 1)

βkProbe = 1,7

Kα und KαProbe aus TB 3-11d)

KαProbe mit d = 15 mm (normalerweise für jedes βK ein Wert, aber Abstände sind zu dicht)

KαProbe = 0,98

Kα mit d = 30 mm

Kα = 0,99

βk = βkProbe *

Beispiel S235:

βk = 1,32 *

βk = 1,31

R/d Kt Rm βK(0,2) D/d cb βKProbe KαProbe Kα βK 1 1 Mpa 1 1 1 1 1 1 1

S235 0,033

1 360 1,8 1,167

0,4

1,32 0,98

0,99

1,31

C60E 0,9 765 2,35 1,54 1,52

50CrMo4 0,9 990 2,75 1,7 1,68

Fazit:

Mit zunehmender Zugfestigkeit wird βK größer.

Aufgabe 3.11

Gesucht: βk

Gegeben: a) Rundungsradius R1

b) Rundungsradius R1,6

c) Rundungsradius R2,5

d) Freistich DIN 509 – F1 x 0,2

C60E

Rohteildurchmesser d = 40 mm

D = 35 mm

d = 30 mm

βk =

(n0 = 1) (RM 3.15b)

Rp0,2 = Kt * Rp0,2N (RM 3.7)

=

= 1,17

a) b) c)

=

=

=

= 0,033

= 0,053

= 0,083

αk aus TB 3-6

a) αk = 2,2

b) αk = 1,85

c) αk = 1,65

G´aus TB 3-7 c)

G´=

(1 + ϕ)

≤ 0,5

≤ 0,5

0,167 ≤ 0,5

ϕ =

√

a) b) c)

ϕ =

√

ϕ =

√

ϕ =

√

ϕ = 0,12 ϕ = 0,14 ϕ = 0,17

G´=

(1 + 0,12) G´=

(1 + 0,14) G´=

(1 + 0,17)

G´= ⁄ G´= ⁄ G´= ⁄

Rp0,2N , RmN aus TB 1-1 c)

RmN = 850 MPa

Rp0,2N = 580 MPa

Kt aus TB 3-11 a)

Kt = 0,9

Rm = Kt * RmN Rp0,2 = Kt * Rp0,2N

Rm = 0,9 * 850 MPa Rp0,2 = 0,9 * 580 MPa

Rm ≈ 765 MPa Rp0,2 ≈ 520 MPa

n aus TB 3-7 a)

a) n = 1,14

b) n = 1,11

c) n = 1,09

βk =

(n0 = 1)

a) b) c)

βk =

βk =

βk =

βk = 1,93 βk = 1,67 βk = 1,51

d)

Freistich DIN 509 – F1 x 0,2

r = 1 mm

t = 0,2 mm

D = 35 mm D1 = 30 mm d = D1 – 2 * t = 29,6mm

=

= 1,18

=

= 0,034

αR = 2,8

αA = 2,2

αk = (αR - αA) * √

+ αA

αk = (2,8 – 2,2) * √

+ 2,2

αk = 2,37

G´ aus TB 3-7 c)

G´=

(1 + ϕ)

≤ 0,5

≤ 0,5

0,182 ≤ 0,5

ϕ =

√

ϕ =

√

ϕ = 0,12

G´=

(1 + 0,12)

G´= ⁄

n aus TB 3-7 a) Fazit:

n = 1,14 (siehe a) ) Je kleiner der Radius, desto größer die Kerb -

wirkung. Beim Freistich wird zusätzlich der

βk =

(n0 = 1) Durchmesser geschwächt, was über βk

βk =

berücksichtigt wird.

βk = 2,07

Aufgabe 3.13

Gesucht: τtGA a) Passfedernut

b) Sicherungsringnut

Gegeben:

C35E

d1 = 60 mm

D = 50 mm ; d2 = 40 mm

Rz ≈ 20 μm

τtGA = τtGW - Ψτ * τmv (RM 3.18a)

rein wechselnde Belastung: τmv = 0

τtGA = τtGW

τtGW =

(RM 3.17)

KDt = (

) *

(RM 3.16)

βkt = βk Probe

(RM 3.15c)

τtW = Kt * τtWN (RM 3.9a)

τtWN, RmN aus TB 1-1c) (C35E)

RmN = 630 MPa

τtWN = 190 MPa

Kt aus TB 3-11 a) (d1 = 60 mm)

Kt = 0,85

τtW = Kt * τtWN Rm = Kt * RmN

τtW = 0,85 * 190 MPa Rm = 0,85 * 630 MPa

τtW = 162 MPa Rm = 536 MPa

Passfedernut:

βk Probe aus TB 3-9 b) (Nutform aus Zeichnung)

βk Probe = 1,4

βk Probe ≈ βk

βk = 1,4

Kg aus TB 3-11 c) (d = 37,5 mm)

Kg = 0,89

KOτ aus TB 3-10 (Rm = 935 MPa, Rz ≈ 10μm)

KOσ = 0,88

KOτ = 0,575 * KOσ + 0,425

KOτ = 0,575 * 0,88 + 0,425

KOτ = 0,93

KV aus TB 3-12

Da keine Oberflächenverfestigung vorhanden ist, ist KV = 1

KDt = (

) *

KDt = (

) *

KDt = 1,65

τtGW =

τtGW =

τtGW = 98 MPa

τtGA = τtGW

τtGA = 98 MPa (Passfedernut)

Sicherungsringnut:

r aus TB 9-7 Kleingedrucktes

8): r = 0,1 * s

s aus TB 9-7 (d = 40 mm)

s = 1,75 mm

d2 = 37,5 mm

r = 0,1 * s

r = 0,1 * 1,75 mm

r = 0,175 mm

βkt aus TB 3-9 c)

βkt = 1,48 + 0,45 √

≤ 2,5

rf = r + 2,9 * ρ*

ρ* ≈ 0,1 mm

rf = 0,175 mm + 2,9 * 0,05 mm

rf = 0,32 mm

βkt = 1,48 + 0,45 √

) ≤ 2,5

βkt = 2,37

KDt = (

) *

KDt = (

) *

KDt = 2,74

τtGW =

τtGW =

τtGW = 59 MPa

τtGA = τtGW

τtGA = 59 MPa (Sicherungsringnut)

Fazit:

Die Ringnut hat eine sehr viel höhere Kerbwirkung als die Passfedernut und ist daher für die

Festigkeitsberechnung massgebend.

Daher: Sicherungsringe in beanspruchten Bereichen vermeiden!

Aufgabe 3.14

Gesucht: a) Verlauf der Zugspannung über Querschnitt

b) Möglichkeiten zur Minderung der Spannungsspitzen

siehe RM Kapitel 3.5.1

Aufgabe 3.15

Gesucht: Lösungsmöglichkeiten mit kleineren Spannungsspitzen

siehe RM Kapitel 3.5.1 und RM Kapitel 11.2.1