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KAPITEL 7

Anwendungen der Differentialrechnung

7.1 Maxima und Minima einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.2 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.4 Totales Differential und Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 1557.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Lernziele 7• lokale/globale Maximum bzw. Minimum, Maximal- bzw. Minimalstelle,

Extremum,• stationäre Punkte,• notwenige und hinreichende Bedingungen für Extrema,• Kandidaten für lokale Extrema in abgeschlossenen Intervallen,• Wendepunkte, Krümmungsverhalten,• Begriffe: konkav, konvex (von unten),• Kurvendiskussion,• totales Differential, Fehler- und Näherungsrechnung.

140

7.1. Maxima und Minima einer Funktion

7.1 Maxima und Minima einer Funktion

Definition 7.1Es sei f : R ´ D æ R eine auf D erklärte Funktion. Die Funktion f hat ina œ D eine globales oder auch absolutes Maximum (bzw. Minimum)wenn f (x) Æ f (a) (bzw. f (x) Ø f (a)) für alle x œ D gilt.In diesem Fall heißt a globale Maximalstelle (bzw. Minimalstelle) und f (a)globales Maximum (bzw. Minimum).b œ D heißt lokales oder auch relatives Maximum (bzw. Minimum), wennes ein (evtl. kleines) Intervall I um b gibt, so dass f (x) Æ f (b) (bzw.f (x) Ø f (b)) für alle x œ D fl I. Minima und Maxima sind Extrema.

Lemma 7.1x0 ist Minimalstelle von f … x0 ist Maximalstelle von ≠f .

141


Satz 7.2Ist f eine auf dem offenen Intervall I differenzierbare Funktion, so gilt:Ist x0 œ I eine Extremstelle von f , dann ist f Õ(x0) = 0.Ein Punkt x œ D mit f Õ(x) = 0 heißt stationärer Punkt.

Beweis: Es sei x0 eine Maximalstelle in (x0 ≠ ‘, x0 + ‘), ‘ > 0. D.h.

f (x) Æ f (x0) für alle x œ (x0 ≠ ‘, x0 + ‘)

und damit

f (x) ≠ f (x0)x ≠ x0

Ø 0 für x0 ≠ ‘ < x < x0 gilt f Õ(x0) = limxæx0≠

�f (x)�x

Ø 0.

Analog ergibt sich

f Õ(x0) = limxæx0+

�f (x)�x

Æ 0 und damit f Õ(x0) = 0.#

Die Bedingung f Õ(x0) = 0 ist zwar notwendig für ein Extremum, aber nichthinreichend wie das Beispiel f (x) = x3 in x = 0 zeigt. Der Satz gibt auch keineAusskunft über Extremalstellen an den Intervallenden, an Spitzen oder anderenStellen, in den f nicht differenzierbar ist. D.h.

Bemerkung 7.3Die Kandidaten für Extremalstellen von f : I æ R sind:

1. die Randpunkte des Intervalls I,

2. die Punkte, in denen f nicht differenzierbar ist,

3. die stationären Punkte aus dem Innern des Intervalls I.

142


Beispiel 7.4Es sei f (x) = | sin x | und I =

#0, 5fi

2

$™ R. Um die Extrema und die

Extremalstellen zu bestimmen, betrachten wir

1. Randpunkte: | sin 0| = 0 und--sin 5fi

2

-- = 1.

2. In x = fi und x = 2fi ist die Funktion | sin x | nicht differenzierbar, da

f Õ(fi+) = ≠ cos fi = 1 aber f Õ(fi≠) = cos fi = ≠1.

Analog für x = 2fi. Es ist | sin fi| = | sin(2fi)| = 0.

3. In den Intervallen (0, fi), (fi, 2fi) und (2fi, 5fi2 ) ist f (x) = | sin x |

differenzierbar und es gilt:

f Õ(x) =

;(sin x)Õ = cos x , für x œ (0, fi) und

!2fi, 5fi

2

",

(≠ sin x)Õ = ≠ cos x , für x œ (fi, 2fi).

Die stationären Stellen sind die Nullstellen der ersten Ableitung in denIntervallen:

cos x = 0 für x =2k + 1

2fi, k œ Z,

davon liegen in den von uns betrachteten Intervallen: x = fi2 und x = 3fi

2 .Die dazugehörigen Funktionswerte sind

--sin fi2

-- =--sin 3fi

2

-- = 1.

Damit sind x = 0, fi, 2fi lokale und globale Minimalstellen mit dem Minimum 0und x = fi

2 , 3fi2 , 5fi

2 lokale und globale Maximalstellen mit dem Maximum 1. Wieman auch leicht an dem Graphen der Funktion ablesen kann

143

7.2. Mittelwertsatz

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

f (x) = | sin(x)|

7.2 Mittelwertsatz

Die folgenden Beobachtungen bilden das Fundament für weiterführendeBetrachtungen.

Satz 7.5 (Mittelwertsatz)Ist die Funktion f auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und aufdem offenen Intervall (a, b) diferenzierbar, dann gibt es (wenigstens) eineninneren Punkt x0 œ (a, b) mit

f Õ(x0) =f (b) ≠ f (a)

b ≠ a.

144

7.2. Mittelwertsatz

a x0 b

f(b)

f(a)

y=f(x)

Kurvensehne durchA=(a,f(a)) und B=(b,f(b))

Tangente im Punkt ( x0,f( x0))

mit a< x0<b

tan α = f '(x0)

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

A

B

Länge b - a

Länge f(b)-f(a), tan α =

α

α

f(b)-f(a)

b - a

Beweis: Wir betrachten die Funktion

F (x) = f (x) ≠ (x ≠ b)(f (b) ≠ f (a))

(b ≠ a).

Sie ist im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und hat deshalb nach Satz 5.34wenigstens eine Extremalstelle x0 wegen F (a) = F (b) = f (b) liegt diese in (a, b),somit gilt F Õ(x0) = 0 und das bedeutet:

F Õ(x0) = f Õ(x0) ≠ (f (b) ≠ f (a))(b ≠ a)

= 0. #

Bemerkung: Anschaulich bedeutet der Mittelwertsatz, dass für mindestens einx0 œ (a, b) die Kurventangente parallel zur Sehne AB ist.

145

7.2. Mittelwertsatz

Satz 7.6 (Monotonieverhalten.)Für eine im Intervall I differenzierbare Funktion f gilt:

1. f Õ(x) > 0 auf I ∆ f ist auf I echt monoton wachsend.

2. f Õ(x) < 0 auf I ∆ f ist auf I echt monoton fallend.

3. f Õ(x) Ø 0 auf I ∆ f ist auf I monoton wachsend.

4. f Õ(x) Æ 0 auf I ∆ f ist auf I monoton fallend.

5. f Õ(x) = 0 auf I ∆ f ist auf I konstant.

Beweis: Wir beschränken uns auf die Aussagen für (1). Zu x1 < x2 œ I gibt esnach dem Mittelwertsatz 7.5 und der Voraussetzung ein x0 mit x1 < x0 < x2 mit

f (x2) ≠ f (x1)x2 ≠ x1

= f Õ(x0) > 0.

Folglich ist f (x2) > f (x1). Alle anderen Fälle lassen sich analog behandeln. #

146

7.2. Mittelwertsatz

Folgerung: Für zwei auf einem Intervall I differenzierbare Funktionen f und gfolgt:

f Õ(x) = gÕ(x) für alle x œ I … f (x) = g(x) + C für alle x œ I (7.1)

mit einer Konstanten C œ R. (7.2)

Satz 7.7 (1. Extremwert-Test)Es sei f eine auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbare Funktion fmit einem stationären Punkt x0 œ (a, b).

1. Wenn f Õ(x) an der Stelle x0 von negativ nach positiv ändert, dannhat f in x0 ein lokales Minimum.

2. Wenn f Õ(x) an der Stelle x0 von positiv nach negativ ändert, dannhat f in x0 ein lokales Maximum.

3. Wenn f Õ(x) auf beiden Seiten von x0 negativ oder auf beidenSeiten von x0 positiv ist, dann hat f in x0 kein lokales Extremum.

147

7.3. Kurvendiskussion

Satz 7.8 (2. Extremwert-Test)Ist f auf (a, b) zweimal stetig differenzierbar und x0 œ (a, b) einstationärer Punkt, dann gilt

1. f ÕÕ(x0) < 0 ∆ f hat in x0 ein lokales Maximum,

2. f ÕÕ(x0) > 0 ∆ f hat in x0 ein lokales Minimum.

Beweisidee: Die erste Ableitung f Õ ist in einer kleinen Umgebung von x0 strengmonoton wachsend bzw. fallend und hat in x0 einen Vorzeichenwechsel. #

7.3 Kurvendiskussion

Krümmungsverhalten

Definition 7.9Eine Funktion f heißt

• konkav auf einem Intervall I, wenn die Sekante durch zwei beliebigePunkte (x0, f (x0)) und (x1, f (x1)) im Bereich zwischen diesenPunkten auf oder unterhalb des Funktionsgraphen von f liegt:

f ((1 ≠ t)x0 + tx1) Ø (1 ≠ t)f (x0) + tf (x1) 0 Æ t Æ 1, x0 < x1,

• konvex auf einem Intervall I, wenn die Sekante durch zwei beliebigePunkte (x0, f (x0)) und (x1, f (x1)) im Bereich zwischen diesenPunkten auf oder oberhalb des Funktionsgraphen von f liegt:

f ((1 ≠ t)x0 + tx1) Æ (1 ≠ t)f (x0) + tf (x1) 0 Æ t Æ 1, x0 < x1,

148


Satz 7.10 (Krümmung)Die Funktion f sei auf dem offenen Intervall I zweimal stetigdifferenzierbar. Dann gilt

1. f ÕÕ > 0 im Intervall I, so ist die Kurve y = f (x) konvex(Linkskrümmung).

2. f ÕÕ < 0 im Intervall I, so ist die Kurve y = f (x) konkav(Rechtskrümmung).

Definition 7.11Diejenigen Punkte, in denen y = f (x) von konvex (einer Linkskrümmung)nach konkav (in eine Rechtskrümmung) oder umgekehrt übergehen,heißen Wendepunkte.

Bemerkung 7.12Kandidaten für Wendepunkte von f : I æ R sind:

149


1. die Punkte aus I, in denen f ÕÕ nicht existiert;

2. die Punkte aus I, in denen f ÕÕ = 0 ist.

Beispiele:

x0 x

0x0

f ' '=0

f ' '0 f ' '0

f ' '0f ' '0

f ' '0

f ' '0

Satz 7.13 (Wendepunkt-Test)f ÕÕ(x0) = 0, f ÕÕÕ(x0) ”= 0 ∆ f hat in x0 einen Wendepunkt.

Beweis: Nach dem 2. Extremwerttest (siehe Seite 148) ist in x0 eineExtremalstelle der Ableitung, also ein Wendepunkt. #

Kurvendiskussion eines Graphen

Ziel einer Kurvendiskussion ist die Feststellung Verhaltens eines Graphen einerFunktion y = f (x). Im folgenden geben wir eine Liste der Punkte an, die bei einerKurendiskussion untersucht werden können:

1. Definitions- und Wertebereich. Hier ist der maximale Definitionsbereichfür die Funktion y = f (x) gemeint. Man achte insbesondere auf Stellen,wo die Funktion nicht definiert ist und untersuche diese dahingehend, obdie Funktionen stetig ergänzt werden kann (ob eine hebbare Unstetigkeitvorliegt).

150


2. Symmetrie. Ist die Funktion f (x) symmetrisch zur y -Achse, d.h. gilt füralle x : f (≠x) = f (x), so nennt man f eine gerade Funktion.Ist f (x) symmetrisch zum Ursprung, d.h. es gilt für alle x : f (≠x) = ≠f (x),so nennt man f eine ungerade Funktion.

3. Pole. Hat f (x) die Form f (x) = g(x)(x≠x0)k mit g(x) stetig und g(x0) ”= 0, so

besitzt f (x) für ungerade k einen Pol mit Vorzeichenwechsel, für geradek eine Pol ohne Vorzeichenwechsel in x0.

4. Verhalten im Unendlichen. Bestimmung der Grenzwerte limxæŒ

f (x) und

limxæ≠Œ

f (x), falls sie existieren.

Untersuchung auf Asymptoten. Eine Gerade y = ax + b heißtAsymptote von f (x) für x æ ±Œ, falls gilt lim

xæ±Œ(f (x) ≠ ax ≠ b) = 0.

Dabei ist b = limxæ±Œ

(f (x) ≠ ax) und a = limxæ±Œ

f (x)x .

5. Nullstellen.

6. Bestimmung der Extrema und Extremalstellen, MonotonieverhaltenMan untersuche alle Kandidaten für Extrema.

7. Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Man untersuche alleKandidaten für Wendepunkte.

8. Skizze.

Beispiel 7.14Für die folgende Funktion sei eine Kurvendiskussion durchzuführen:

y = f (x) =2x2 + 3x ≠ 4

x2 .

1. Definitionsbereich: R\{0}. Die Funktion kann für x = 0 nicht stetigergänzt werden, da der Grenzwert

limxæ0

2x2 + 3x ≠ 4x2

151


nicht existiert, da

limxæ0

2x2 + 3x ≠ 4x2 = lim

xæ02 +

3x ≠ 4x2 = ≠Œ.

Den Wertebereich erhält man aus den späteren Resultaten zu!≠Œ, f ( 8

3 ) ¥ 2.56"

.2. Symmetrie: Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.3. Pole: x0 = 0 ist eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.4. Asymptoten:

limxæ±Œ

2x2 + 3x ≠ 4x2 = 2,

(und

limxæ±Œ

f (x)x

= limxæ±Œ

2x2 + 3x ≠ 4x3 = 0.

) Die Asymptote ist also y = 2.5. Nullstellen:

f (x) = 0 … 2x2 + 3x ≠ 4 = 0

… x1/2 = ≠34

±Ú

916

+3216

=14

(≠3 ±Ô

41).

x1 ¥ ≠2.35 und x2 ¥ 0.85.6. Extrema: 1. Randpunkte gibt es nicht zu untersuchen, da die gesamte

reelle Achse betrachtet wird.2. Die Funktion ist in x0 = 0 weder definiert noch stetig, nochdifferenzierbar.3.

y Õ =(4x + 3)x2 ≠ 2x(2x2 + 3x ≠ 4)

(x2)2 =4x3 + 3x2 ≠ 4x3 ≠ 6x2 + 8x

x4

=≠3x + 8

x3 = 0 für x3 =83

.

Weiterhin ist

y ÕÕ18

3

2=

≠3x3 ≠ 3x2(≠3x + 8)x6

----x= 8

3

=6x ≠ 24

x4

---x= 8

3

=483 ≠ 24!

83

"4 < 0

152


Somit hat f (x) in x3 = 83 ein lokales Maximum mit f (x3) ¥ 2.56.

Monotonie:

y Õ(x) =

I< 0 : 8

3 < x < Œ, echt monoton fallend,> 0 : 0 < x < 8

3 , echt monoton wachsend,< 0 : ≠Œ < x < 0, echt monoton fallend.

7. Wendepunkte: Die Funktion ist in x0 = 0 nicht definiert. Da aber rechtsund links von x0 = 0 die zweite Ableitung existiert und dasselbeVorzeichen hat, ist x0 = 0 kein Wendepunkt. Weiterhin ist

y ÕÕ = 0 ≈∆ x = x4 = 4 mit f (x4) =52

und es ist

y ÕÕÕ(x4) =6x4 ≠ 4x3(6x ≠ 24)

x8

----x=4

=≠18x4 + 96x3

x8

----x=4

= 6 ”= 0

und deshalb ist x4 = 4 ein Wendepunkt.Krümmungverhalten:

y ÕÕ(x) =

I> 0 : 4 < x < Œ, konvex von unten,< 0 : 0 < x < 4, konvex von oben,< 0 : ≠Œ < x < 0, konvex von oben.

8. Skizze:

153


Beispiel 7.15Bestimmung der Asymptoten ax + b. DieFunktion

f (x) =2x2 ≠ 4x

x + 1

hat die Asymptote

g(x) = 2x ≠ 6

für x æ ±Œ. Dies sieht man an derPolynomdivision:

(2x2 ≠ 4x) : (x + 1) = 2x ≠ 6 +6

x + 1.

Alternativ kann man auch rechnenlim f (x)

x = a :

limxæŒ

2x2≠4x(x+1)

x= lim

xæŒ

2x2 ≠ 4xx(x + 1)

= limxæŒ

2 ≠ 4x

1 + 1x

= 2.

Analog für x æ ≠Œ, folglich ist a = 2.Damit ergibt sich b aus

limxæŒ

32x2 ≠ 4x

(x + 1)≠ 2x

4= lim

xæŒ

2x2 ≠ 4x ≠ 2x2 ≠ 2xx + 1

= limxæŒ

≠6xx + 1

= limxæŒ

≠61 + 1

x

= ≠6.

Analog für x æ ≠Œ.

154

7.4. Totales Differential und Fehlerrechnung

7.4 Totales Differential und Fehlerrechnung

Definition 7.16Ist f : I æ R eine in x0 differenzierbare Funktion, so heißt

dy = df (x0) = f Õ(x0)(x ≠ x0)

totales Differential von f an der Stelle x0.

Beispiel 7.17Für die Funktion f (x) = x erhält man

dy = dx = 1 · (x ≠ x0) = �x .

155


Bemerkung 7.18Der Zusammenhang zwischen Ableitung und Differential ist gegeben durch

dy = df (x) = f Õ(x)dx .

(Dies ist richtig an jeder Stelle x = x0.)

Beispiel 7.19Wegen �y ¥ dy ≈∆ f (x0 + h) ≠ f (x0) ¥ f Õ(x0)(x0 + h ≠ x0) = f Õ(x0)h ergibtsich für f (x) =

Ôx nahe x0 > 0 :

f (x0 + h) ¥ f Õ(x0)h + f (x0) ≈∆Ô

x0 + h ¥Ô

x0 +1

2Ô

x0h.

Für x0 = 1, 96 und h = 0, 04 erhält man

Ô2 ¥ 1, 4 +

12 · 1, 4

0, 04 = 1, 4142857 ...

den auf 7 Stellen genauen Wert vonÔ

2 = 1, 41421356 ... .

Beispiel 7.20Für f (x) = 1 + sin(x) und x0 = 0 erhält man f Õ(x) = cos(x) und damit:

�y = f (x) ≠ f (x0) = 1 + sin(x) ≠ (1 + sin(0)) = sin(x)

unddy = f Õ(x0)(x ≠ x0) = cos(0) · x .

Sowie die Näherung �y ¥ dy ≈∆ f (x) ≠ f (x0) ¥ f Õ(x0) · (x ≠ x0), also

f (x) ¥ f (x0)+f Õ(x0)·(x≠x0) bzw. 1+sin(x) ¥ 1+sin(0)+cos(0)·x ≈∆ 1+sin(x) ¥ 1+x .

Für x0 = 0 und x = 1, 24 gilt: �y = 1 + sin(1, 24) ≠ (1 + sin(0)) = sin(1, 24) unddy = cos(0)(1, 24 ≠ 0) = 1, 24:

156


Näherungsweise: 1 + sin(1, 24) ¥ 1 + sin(0) + dy = 1 + sin(0) + 1, 24 = 2, 24,während der tatsächliche Wert 1 + sin(1, 24) ¥ 1, 946 ist.

Beispiel 7.21Fehlerrechnung:Die Kantenlänge eines Würfels ist 5m ± 0, 01m. Bestimmen Side den absolutenund den relativen Fehler bei der Berechnung des Würfelvolumens.

V (x) = x3.

�V ¥ dV = V Õ(x0)(x0 + h ≠ x0) = 3x20 h = 3 · 52m2 · 0, 01m = 0, 75m3.

�VV

¥ 0, 75m3

53m= 0, 006 = 0, 6%.

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