Kinematik und Dynamik (Mechanik II) 2010. 6. 16.آ  Technische Mechanik III, 1.1.1.-1.1.3. I....

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  • TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut für Mechanik

    Prof. Dr. rer. nat. V. Popov www.reibungsphysik.de

    Kinematik und Dynamik (Mechanik II)

    Vorlesungsnotizen SS 2009

    FG Systemdynamik und Reibungsphysik

  • 1

    Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 1. Kinematik einer eindimensionalen Bewegung: Geschwindigkeit als Ableitung, Entfernung als Integral, Beschleunigung. Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.1.1.-1.1.3.

    I. Kinematik und Dynamik. Unter der Ki- nematik versteht man rein mathematische und geometrische Methoden zur Beschreibung von Bewegungen, wie Koordinaten, Vekto- ren, geometrische Bindungen ect.

    Das Wort Dynamik, oder Englisch dynamics, wird in allen Wissenschaftszweigen als Syn- onym zur Bewegung verstanden. An einigen deutsprachigen Technischen Universitäten ist für die Dynamik auch ein anderes Wort ge- bräuchlich: "die Kinetik". Im Sinne unserer Vorlesung sind "die Dynamik" und "die Ki- netik" Synonyme.

    Alle Fragen über die Ursachen und Charakter von Bewegungen werden in der klassischen Mechanik ganz einheitlich beantwortet: Ge- mäß den Newtonschen Gesetzen. Die New- tonschen Gesetze und deren Anwendung in verschiedenen Situationen sind das Haupt- thema der Veranstaltung Kinematik und Dy- namik.

    II. Massenpunkt. Der Begriff eines Massen- punktes ist einer der Grundbegriffe der Me- chanik. Unter einem Massenpunkt versteht man einen Körper, dessen Ausmaße man bei der Beschreibung seiner Bewegung vernach- lässigen kann. Natürlich hängt die Möglich- keit einer solchen Vernachlässigung von den konkreten Bedingungen der Aufgabe ab. So kann man z.B. die Planeten als Massenpunkte annehmen, wenn man ihre Bewegung um die Sonne untersucht, dagegen freilich nicht, wenn man ihre tägliche Drehung betrachtet.

    III. Eindimensionale Bewegung. Wir be- ginnen mit der Bewegung in einer Richtung, wie in einem Wagen auf einer geraden Stra- ße. Um Koordinaten angeben zu können, müssen wir ein Koordinatensystem wählen. Bei einer eindimensionalen Bewegung reicht die Angabe einer Koordinatenachse x, die in der Bewegungsrichtung zeigt:

    Wir wählen auf dieser Achse einen Koordina- tenursprung. Zu jedem Zeitpunkt befindet sich der Wagen in einem bestimmten Punkt dieser Achse. Diesen Sachverhalt merken wir uns, indem wir schreiben: ( )x x t= .

    IV. Geschwindigkeit als Ableitung. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitin- tervall 1 2( , )t t wird als Verhältnis des zurück- gelegten Weges zu der verstrichenen Zeit definiert:

    2 1

    2 1

    ( ) ( )x t x tv t t −

    = −

    .

    Die momentane Geschwindigkeit ist Grenz- wert dieses Verhältnisses für 2 1 0t t− → :

    2 1

    2 1

    0 2 1

    ( ) ( ) lim

    t t

    x t x tv t t− → −

    = −

    .

    Das ist nichts anderes als die erste Ableitung der Koordinate nach der Zeit:

    dt dxv = .

    In der Mechanik ist es üblich die Ableitung nach Zeit durch einen Punkt über dem Buch- staben zu bezeichnen:

    v x= . Nützliche Regeln der Differnzial- und Integralrechnung

    Funktion ( )x t

    Ableitung dx dt

    Funktion ( )g t

    Stammfunktion (unbestimmtes

    Integral)

    ( ) ( )dG t g t t= ∫ C 0 0 C t 1 1 t C+

    ( ) ( )u t f t+

    du df dt dt

    + ( ) ( )u t v t+

    d du t v t C+ +∫ ∫

    ( ) ( )u t f t⋅ du dff u dt dt

    + partielle Integration

    d ddu dff t u t uv C dt dt

    + = +∫ ∫ 2t 2t t 2 / 2t C+ 3t 23t 2t 3 / 3t C+ nt 1nnt − nt 1 /( 1)nt n C+ + +

    ( )u u f= , ( )f f t=

    du du df dt df dt

    = ⋅

    Substitionsmethode

    sin t cos t cos t sin t C+ cos t sin t− sin t cos t−

    te te te te C+

    ln t 1/ t 1/ t ln t C+

    arcsin t 2

    1

    1 t−

    2

    1

    1 t−

    arcsin t

    xO

  • 2

    V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit ( )v t als Funktion der Zeit bekannt, so kann Koordinate zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmt werden. Zwei Lösungsmöglichkeiten:

    1. Unbestimmte Integration. Geschwindig- keit ist zeitliche Ableitung der Koordinate:

    ( ) ( )dx t v t dt

    = . Koordinate zu bestimmen be-

    deutet demnach eine Funktion zu finden, de- ren Ableitung der gegebenen Funktion ( )v t gleich ist. Diese Funktion nennt man Stamm- funktion oder unbestimmtes Integral von der Funktion ( )v t . Bezeichnung:

    ( ) ( )dx t v t t C= +∫ . Integration ist offenbar eine Umkehroperati- on zur Ableitung. Die Tabelle der Ableitun- gen - gelesen in der umgekehrten Richtung - ist gleichzeitig eine Tabelle der Integrale (s. Tabelle).

    2. Bestimmte Integration. In einem kurzen Zeitabschnitt t∆ ändert sich die Koordinate des Wagens um x v t∆ = ⋅∆ . Die gesamte Än- derung der Koordinate auf einem längeren Zeitintervall kann man als Summe

    2 1( ) ( ) ( )i i

    x t x t v t t− ≈ ∆∑ berechnen. Jedoch ist die mit dieser Methode erhaltene Koordi- nate nicht ganz genau, weil sich die Ge- schwindigkeit während des Zeitintervalls t∆ ändert. Wenn wir die Zeit klein genug wäh- len, so ist die Summe präzise:

    2 1 0

    ( ) ( ) ( )lim i t i

    x t x t v t t ∆ →

    − = ∆∑

    Den Grenzwert nennt man bestimmtes Inte- gral:

    2

    1

    2 1( ) ( ) ( )d t

    t

    x t x t v t t− = ∫

    Die Bezeichnung des Integral erinnert an seine Herkunft: Das Delta wird zu d, um uns daran zu erinnern, daß die Zeit so gering ist, wie möglich, und die Addition wird geschrie- ben als eine Summe mit einem großen "S", das sich im Laufe der Zeit etwas ausgestreckt hat ∫ . Bestimmte Integrale berechnet man mit dem Hauptsatz der Differential- und In- tegralrechnung: Ist ( )G t eine Stammfunkti- on von ( )g t , so gilt:

    ( )d ( ) ( ) b

    a

    g t t G b G a= −∫ .

    VI. Beschleunigung Ändert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit:

    )(tvv = , so sprechen wir von einer beschleu- nigten Bewegung. Beschleunigung ist zeitli- che Ableitung der Geschwindigkeit:

    dt dva = .

    Da die Geschwindigkeit selbst eine Ableitung der Koordinate nach der Zeit ist, so ist die Beschleunigung eine Ableitung von Ablei- tung oder, wie man sagt, die zweite Ableitung der Koordinate nach der Zeit. Das wird in einer der folgenden Formen geschrieben:

    x dt

    xd dt dx

    dt da ==⎟

    ⎠ ⎞

    ⎜ ⎝ ⎛= 2

    2

    .

    Ist die Abhängigkeit der Koordinate von der Zeit bekannt, so kann man alle sonstigen wichtigen kinematischen Größen sofort be- rechnen: Nach einmaliger Ableitung haben wir die Geschwindigkeit, nach der zweiten Ableitung die Beschleunigung.

    VII. Kinematische Grundaufgaben.

    1. 0a = . Das bedeutet: / 0a v dv dt= = = . Erste Integration: const ov v= = (gleichför- mige Bewegung). Aus der Definition

    /v dx dt= erhalten wir nach der zweiten In- tegration 0x v t C= + . Integrationskonstante erhält man mit Hilfe der Anfangsbedingung:

    0 0 0x v t C= + ⇒ ( )0 0 0x x v t t= + − .

    2. 0a a= (gleichmäßig beschleunigte Bewe- gung) ⇒ Zweifache Integration

    3. ( )a a t= ⇒ Zweifache Integration

    4. ( )a a v= . Wir schreiben Beschleunigung als zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

    ( )dv a v dt

    = und trennen die Variablen:

    ( ) dv dt

    a v = . Integration

    ( ) dv t C

    a v = +∫ ergibt

    nun einen Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit. Zur Berechnung der Koor- dinate integriert man Geschwindigkeit nach Zeit.

    5. ( )a a x= Lösung durch Multiplikation mit v und Darstellung in der Form d ( )dv v a x x= .

  • 1

    Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 2. Ebene und räumliche Bewegung: Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten, Vektoren. Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik 1II, 1.1.4 I. Ebene Bewegung. Kartesische und Po- larkoordinaten. Die Lage eines Massen- punktes auf einer Ebene wird durch zwei Ko- ordinaten beschrieben. Meistens werden da- für entweder kartesische oder polare Koordi- naten benutzt.

    Kartesische Koordina- ten: (x,y)

    Polarkoordinaten: ( ,r ϕ ) Zusammenhang zwischen beiden wird durch die folgenden Gleichungen gegeben:

    cos sin

    x r y r

    ϕ ϕ

    =⎧ ⎨ =⎩

    Umgekehrt:

    ( ) 2 2

    arctan / r x y

    x yϕ

    ⎧ = +⎪ ⎨

    =⎪⎩ .

    II. Räumliche Bewegung. Kartesische, zy- lindrische und Kugelkoordinaten. In drei Dimensionen wird die Lage eines Massenpunktes mit drei Koordinaten gege- ben. Definition von kartesischen, zylindri- schen und Kugelkoordinaten sowie Zusam- menhänge zwischen ihnen werden mit den drei nachfolgenden Bildern illustriert.

    Kartesische Koordinaten: (x,y,z)

    Zylindrische Koordinaten: ( ρ ,ϕ ,z) Zusammenhang mit kar- tesischen Koordinaten: cosx ρ ϕ= siny ρ ϕ= z z= Kugelkoordinaten: ( , ,r ϕ θ ) Zusammenhang mit kar- tesischen Koordinaten: cos cosx r θ ϕ= ⋅ cos siny r θ ϕ= sinz r θ=

    III. Vektorielle Darstellung. Orthonor- mierte Basen.

    (x,y,z) seien kartesi- sche Koordinate