Maschinendynamik

Klausur Herbst 2008Vertiefungsstudium

Fragen und Aufgaben

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Matrikelnummer:

Punkte

Fragenteil

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

mögliche Punkte: 62

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MaschinendynamikKlausur Herbst 2008

Name: Matrikel-Nr.:

Prof. Dr.-Ing. B. Heimann, Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek

1. 13Aufgabe: Übertragungsmatrizen

c1,1J1,1

J1,2

c1,2

c2,2c2,1J2,1

c1

c2

reduziertes SystemSchwingsystem

F1

F2

M2

G1J1,1

J1,2 J20R

2L 2R

1L

1R

J2,2

Das skizzierte Schwingsystem soll mit Hilfe von Übertragungsmatrizen hinsichtlich seinerEigenkreisfrequenzen analysiert werden. Ein solches System kann in Felder (massebe-haftete Getriebeübersetzung, masselose Drehfeder, Drehmasse) unterteilt werden.

Ji,1

Ji,2

ϕi

ci Ji

ϕiL

ϕiR

ri,1

r i,2

MiR

MiL

MiL Mi

RMi+1LMi

R

ϕiR ϕi+1L

Die Zusammenhänge zwischen den Zustandsgrößen am linken und am rechten Rand derjeweiligen Felder im eingeschwungenem Zustand ϕi = ϕi cos (ωt) werden als Übertra-gungsmatrizen formuliert.

[ϕM

]R

i

=[

−u 0ω2

u Ji,1 + ω2uJi,2 − 1u

]︸ ︷︷ ︸

Gi

[ϕM

]L

i

;[ϕM

]L

i+1

= Fi

[ϕM

]R

i

;[ϕM

]R

i

= Mi

[ϕM

]L

i

Gegeben: c1,1, c1,2, c2,1, c2,2, J1,1, J1,2, J2,1, J2,2, u = − r1,i

r2,i= −ϕR

i

ϕLi

(Getriebeübersetzung).

a) 3Geben Sie die Ersatzparameter c1, c2 und J2 des reduzierten Systems an!

b) 2Wie lauten die Randbedingungen für das (reduzierte) Schwingsystem?

c) 2Geben Sie die Übertragungsmatrizen Fi für eine masselose Drehfeder mit der Torsi-onssteifigkeit ci und Mi für eine Drehmasse mit der Massenträgheit Ji an!

Für die weiteren Berechnungen gilt c1 = c2 = c, J1,1 = J1,2 = J2 = J und u = 1.

d) 5Berechnen Sie die charakteristische Gleichung des reduzierten Schwingsystems ausder Gesamtübertragungsmatrix Uges unter Berücksichtigung der Randbedingungen!

e) 1Geben Sie die Eigenwerte durch Lösen der charakteristischen Gleichung an!

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MaschinendynamikKlausur Herbst 2008

Name: Matrikel-Nr.:

Prof. Dr.-Ing. B. Heimann, Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek

2. 19Aufgabe: Lagrange’sche Gleichungen 2. Art

c

b, m

b, m

c c

a

g

Gegeben ist das skizzierte System. Es besteht aus zwei homogenen Stäben (Masse m,Länge b), zwei Torsionsfedern (Steifigkeit cϕ, entspannt für ϕ1 = ϕ2 = 0) und einer Kop-pelfeder (Steifigkeit c, entspannte Länge `0 = a).

Gegeben: c, cϕ, m, a, b, g.

a) 4Bestimmen Sie die Längenänderung ∆` = `(ϕ1, ϕ2) − `0 der Feder als Funktion derWinkel ϕ1 und ϕ2, und linearisieren Sie die Funktion für kleine Winkel um die stabilestatische Ruhelage!

b) 2Bestimmen Sie die potentielle Energie U des Systems! Verwenden Sie hierbei dielinearisierte Funktion für ∆`.

c) 2Bestimmen Sie die kinetische Energie T des Systems!

d) 5Stellen Sie die Bewegungsdifferenzialgleichungen des Systems unter Verwendungder Lagrange’schen Gleichungen 2. Art in Matrixform auf!Hinweis:

ddt

(∂T

∂ϕi

)− ∂T

∂ϕi+∂U

∂ϕi= Qnki

e) 4Bestimmen Sie die Eigenwerte ωi des Systems!

f) 2Skizzieren Sie die Eigenformen des Systems, und ordnen Sie diese den Eigenwertenzu!

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Name: Matrikel-Nr.:

Prof. Dr.-Ing. B. Heimann, Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek

3. 17Aufgabe: Kreiseleffekt

c

c

x

z

y

h

S

L

ma

D

Gegeben ist der skizzierte Rotor bestehend aus einer masselosen Welle und einem ho-mogenen Kreiszylinder (Masse m). Der Rotor dreht mit konstanter WinkelgeschwindigkeitΩ und führt kleine Schwingungen um die y- und die z-Achse aus. Die Bewegungsgleichun-gen des Systems lauten[

J(L)a 00 J

(L)a

] [ψ

θ

]+

[0 J

(L)p Ω

−J (L)p Ω 0

] [ψ

θ

]+[a2c 00 a2c

] [ψθ

]=[00

]Gegeben: c, m, Ω, a, D, `, h.

a) 1Ist das System konservativ? Begründen Sie Ihre Antwort!

b) 2Bestimmen Sie die Massenträgheitsmomente J(L)p und J

(L)a des Rotors um den La-

gerpunkt L!

c) 2Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen ωi ohne Kreiselwirkung (Ω = 0)!

d) 3Führen Sie die komplexe Koordinate z = ψ + jθ ein und stellen Sie die Bewegungs-differenzialgleichung für z auf!

e) 3Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen ωi = f(Ω) unter Berücksichtigung der Krei-selwirkung!

f) 4Skizzieren Sie den Verlauf der Eigenkreisfrequenzen über der WinkelgeschwindigkeitΩ! Geben Sie Asymptoten und Eckwerte für die Eigenkreisfrequenzen für Ω = 0 undΩ→∞ an! Kennzeichnen Sie Gegen- und Gleichlauf!

g) 1In welchem Verhältnis müssen J (L)p und J (L)

a stehen, damit es beim Anfahren zu kei-ner Resonanz kommt?

Um die Dämpfung des Systems zu vergrößern, sollen parallel zu den Federn c jeweilsDämpfer (Dämpfungskonstante d) eingesetzt werden.

h) 1Stellen Sie für diesen Fall die Bewegungsdifferenzialgleichung des Systems auf!Hinweis: Verwenden Sie als Ausgangspunkt die oben angegebene DGL.

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