Kompaktheit und ÜberdeckungenVortrag zum Proseminar zur Analysis, 17.05.2010

Min Ge, Niklas Fischer

§ 1 Überdeckungskompaktheit

Einleitung

P

QR

A

(a)

S

T

UB

(b)

Abbildung 1: Beispiele verschiedener Überdeckungen

(1.1) Definition (Überdeckung)Eine Menge U heißt Überdeckung von A, wenn A in der Vereinigung der zu U gehö-renden Elemente (welche auch Mengen sind) enthalten ist. �

(1.2) Beispiele1. Die Menge U = {P, Q, R} überdeckt A. (Siehe Abbildung 1a)

2. R wird von {{x}|x ∈ R} überdeckt.

3. Z2 wird überdeckt von {R2}.

4. (0, 1] wird überdeckt von{[ 1

n , 1], n ∈N}

. �

(1.3) Definition (Reduktion, Teilüberdeckung)Wenn U und V beide A überdecken und V ⊂ U ist (damit ist gemeint, dass jedeMenge, die Element von V ist, auch Element von U ist) dann heißt V Teilüberdeckungvon U . Man sagt auch: U reduziert sich zu V . �

Kompaktheit und Überdeckungen § 1 Überdeckungskompaktheit

(1.4) Beispiele1. B wird von V = {S, T, U} überdeckt. V ′ = {T, U} ist eine Teilüberdeckung.

(Siehe Abbildung 1b)

2. [0, 4] wird von U = {[0, 1], [1, 2], [2, 4]} und V = {[0, 2], [2, 4]} überdeckt. V istkeine Teilüberdeckung von U , denn [0, 1], [1, 2] 6∈ V .

3. Die Überdeckung U ={[ 1

n , 1]|n ∈N}

von A = (0, 1] kann nicht auf eine end-liche Teilüberdeckung reduziert werden, da, nach der Wegnahme von beliebigvielen Elementen der Überdeckung U , noch unendlich viele Elemente von Ubenötigt werden um A zu überdecken. �

(1.5) Definition (endliche Überdeckung)Eine Überdeckung U heißt endlich, wenn die Mächtigkeit von U in N0 liegt. �

(1.6) Definition (offene Überdeckung)Eine Überdeckung U heißt offen, wenn jedes Element von U eine offene Menge ist. �

(1.7) Beispiele1. Sei A = [0, 4]. So sind U = {(−1, 5)} und V = {(−1, 1), (0, 4), (3, 5)} offene

Überdeckungen von A.

2. Jede Menge A hat eine offene, endliche Teilüberdeckung, denn es existiert im-mer eine offene Menge M, die alle Elemente von A enthält. U = {M} ist alsoeine offene, endliche Überdeckung von A. �

(1.8) Definition (Überdeckungskompakheit)Wenn sich jede offene Überdeckung von A auf eine endliche Teilüberdeckung redu-zieren lässt, heißt A überdeckungskompakt. �

(1.9) BeispielDie Menge (0, 1] ist auf R nicht überdeckungskompakt, da die Überdeckung

U =

{(1n

, 1 +1n

)|n ∈N

}zwar offen ist, U sich jedoch nicht auf eine endliche Teilüberdeckung reduzierenlässt. �

(1.11) Lemma (Überdeckungskompaktheit endlicher Mengen)Jede endliche Teilmenge eines metrischen Raumes ist überdeckungskompakt. �

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Kompaktheit und Überdeckungen § 2 Totalbeschränktheit

Die Lebesguezahl

(1.13) Definition (Lebesguezahl)Eine Lebesguezahl für eine Überdeckung U von A ist eine positive reelle Zahl λ, dieso gewählt ist, dass es für jedes a ∈ A ein W ∈ U mit Uλ(a) ⊂ W gibt. Dabei ist Uλ

von a abhängig, aber λ für alle a ∈ A konstant. �(1.14) LemmaJede offene Überdeckung einer folgenkompakten Menge hat eine Lebesguezahl λ,die echt größer als 0 ist. �

Folgen- und Überdeckungskompaktheit

(1.15) SatzFür eine Teilmenge A eines metrischen Raums sind folgende Aussagen äquivalent:

a) A ist überdeckungskompakt.

b) A ist folgenkompakt. �

(1.17) BeispielDas oben besprochene Beispiel einer Überdeckung der Menge (0, 1] ∈ R kann nunaus einem anderen Blickwinkel betrachtet werden. Da (0, 1] nicht abgeschlossen undbeschränkt ist, was, wie wir aus der Analysis I wissen, äquivalent zur Folgenkom-paktheit einer Menge ist, wissen wir nun auch, nach Satz (1.15), dass A nicht über-deckungskompakt ist. �

§ 2 Totalbeschränktheit

(2.1) BeispielWir betrachten die Menge A := [3, 4] ∩Q.A ist abgeschlossen und beschränkt in Q. Aber A ist nicht kompakt, da zum Bei-spiel, die Folge (πi)i∈N = (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, . . .) gegen π konvergiert. JedeTeilfolge (ank)k∈N konvergiert somit auch gegen π, das aber nicht in Q liegt. �(2.2) BeispielMit der diskreten Metrik d können wir den metrischen Raum auf N vervollstän-digen. Denn falls eine Folge auf N konvergiert, so liegt ihr Grenzwert in N. Aber(N, d) ist nicht kompakt, da die Folge (ak)k∈N mit ak = k keine Teilfolge in N hat,die konvergiert. �

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Kompaktheit und Überdeckungen § 3 Perfekte metrische Räume

Um das Heine-Borel Lemma für den metrischen Raum zu verallgemeinern, müssenwir einen neuen Begriff, die Totalbeschränktheit, einführen.

(2.3) Definition (Totalbeschränktheit)Eine Teilmenge A ⊂ M ist totalbeschränkt, falls es für jedes ε > 0 eine endlicheÜberdeckung von A durch ε-Umgebungen gibt. �

(2.4) Satz (Verallgemeinerter Satz von Heine-Borel)Eine Teilmenge eines vollständigen metrischen Raumes ist kompakt genau dann,wenn sie abgeschlossen und totalbeschränkt ist. �

(2.5) KorollarEin metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn er vollständig und totalbe-schränkt ist. �

§ 3 Perfekte metrische Räume

(3.1) DefinitionEin metrischer Raum M heißt perfekt wenn jedes p ∈ M ein Häufungspunkt von Mist. �

(3.2) Beispiela) N ist nicht perfekt

Denn sei x ∈N, und ε = 12 , so ist Uε(x) ∩N = {x}. Somit kann kein Punkt in N

ein Häufungspunkt sein.

b) [a, b] ist perfekt.Denn sei x ∈ [a, b], so enthält die Umgebung Uε(x) für alle ε > 0 unendlich vielePunkte von [a, b].

c) Q ist perfekt.Denn sei x ∈ N, y ∈ Z. Somit liegt y

x in Q. Für jedes ε > 0 existiert eine ε-Umgebung von y

x mit Uε(yx ) =

( yx − ε, y

x + ε). Es ist klar, dass Uε(

yx ) ∩ Q eine

unendliche Menge ist. Folglich ist yx ein Häufungspunkt von Q. Da y

x ein beliebi-ger Punkt in Q ist, dann ist jeder Punkt in Q ein Häufungspunkt. Folglich ist Q

perfekt. �

(3.3) LemmaJeder nicht leere, perfekte, vollständige metrische Raum ist überabzählbar.

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Kompaktheit und Überdeckungen § 3 Perfekte metrische Räume

(3.4) KorollarR und [a, b] sind überabzählbar. �

(3.5) KorollarEin nicht-leerer, perfekter und vollständiger metrischer Raum ist überall überabzähl-bar in dem Sinne, dass jede r-Umgebung überabzählbar ist. �

Literatur

[1] Pugh, Charles Chapman. Real Mathematical Analysis Undergraduate Texts inMathematics. Springer-Verlag, New York, 2002, Seiten 88-95

[2] Krieg, Aloys. Analysis I Lehrstuhl A für Mathematik, Aachen, 2004

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