Kritische Reynoldssche Zahl fur Rohrsfriimung und Entropieprinzip

Yon W a l t h e r M e i a n e r und G e r h a r d U . S c h u b e r t ' )

(Mit. 2 Abbildungen)

Inhaltsubcrsicht In der Einleitung wird dargelegt, daB der Uinschlag von laminarer zu turbu-

lenter Stromung als eine Frage der Wahrscheinlichkeit der Stromungsart aufge- faat und daher mit IIilfe des Entropieprinzips behandelt werden kann. In Teil 1 ist zunachst eine Losung der exakten phanoinenologischen gaskineti- schen Grundgleichungen fur &en Fall der laminaren Stromung eines idealen Gases in einem rotationssymmetrischen schmach-konischen Rohr durch Reihenent- wicklungen gegeben. In Teil2 sind lnoglichst gcnaue Fornieln fur die ,,ideale tur- bulentc Stromung" (genugend lange Anlauf- und Auslaufstrecken !) im gleicharti- gen Rohr abgeleitet. In Teil 3 wird mit Hilfe der in den beiden ersten Teilen ge- wonnenen Ergebnisse der Verlauf der iiber dem Rohrquerschnitt gemittclten Entropie fiir die laminare und ideale turbulente Stromung uud zwar fur beidc oberhalb und unterhalb der kritischen Reynoldsschen Zahl berechnet. Die fur die beiden Stromungsarten als Funktion des Abstandes vom Rohrende aufgetrage- lien Entropiekurven schneiden sich nahezu an der der kritischen Reynoldsschen Zahl entsprecbenden Stelle. Oberhalb des Schnittpunktes ist die Entropie fur die ideale turbulente Stromung grol3er als fur die laminare, unterhalb des Schnitt- punktes ist umgekehrt die Entropie fur die laminare Stromung die groBere. Der Umschlag bei der kritischen R e ynoldsschen Zahl ist also thermodynamisch be- dingt. Im SchluDteil ist die Frage, wie der universelle Wert der kritischen Reynoldsschen Zahl zu erklaren ist und wie die Verhaltnisse bei andersartigen Svomungen als der Rohrstromung liegen, erortert.

Einleitong Die Erklarung des Umschlages der lamiiiaren Stromung, speziell der laminaren

Rohrstromung in die turbulente Stromung bei der kritischen R e ynoldsschen Zahl :

1 ) An der Bearbeitung der Grudgedanken der Arbeit war zuerst mcine Schwester G e r t r u d MeiBner beteiligt. Als sie dureh a d e r e Umstilnde a n der wciteren Mitarbeit verhindert wurde, hat Herr Dr. S e h u b e r t die Aufgaben, zwar in Fiihluiig mit mir aher nach der mathematisch-physikalischen Seite hin selbstiindig, durchgefuhrt. Ohne seine Mitwirkung wire die Durchfiihrung meiner Ideen unmoglich gewcsen. W. MeiDner.

164 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 3. 1948

(w, = mittlere Stromungsgeschwindigkeit, D = Rohrdurchmesser, e = Dichte, 7 = Zahigkeitskonstante) ist auf verschiedene Weise versucht worden, doch noch immer nicht wirklich gegliickt*), obwohl seit den Arbeiten von R e y n o l d s mehr als 50 Jahre verflossen sind. Wir wollen im folgenden davon absehen, da13 es ge- lin gt, die laminare Stromung auch bei erheblich hoheren R e ynoldsschen Zahlen als der angegebenen hitischcn Zahl zu erzeugen, indem wir dies (auch auf Grund eigener Erfahrung) als eine anormale Erscheinung ahnlich der Uberhitzung einer siedenden Fliissigkeit betrachten. Wir setzen ferner (wieder auch auf Grund eige- ner Erfahrung) folgendes voraus : Bei geniigend langer Anlauf- und Auslauf- strecke ist die Art der Turbulenz in einem glatten Rohr ganz unabhangig von den Vorgangen an der Einlauf- und Auslaufstelle und unter sonst gleichen Umstanden imnier die gleiche. Wir wollen diese Art der Turbulenz die idea l e T u r b u l e n z i m R o h r nennen und un8 ini folgenden allein mit ihr befassen. Diese ideale Tur- bulenz im Rohr ist streng zu unterscheiden von der isotropen Turbulenz a), .die ge- rade in letzter Zeit mehrfach z.B. durch v o n Weizsacke r und He i senbe rg be- handelt wurde.

Die Grundgedanken der vorliegenden Arbeit sind die folgenden: Sowohl bci der laminaren wie bei der idealen turbulenten Rohrstroinung eines Gases oder einer Flussigkeit habeii wir es letzten Endes mit ungeordneter Bewegung von Nolekeln zu tun, die bei der idealen turbulenten Stromung eine grundsatzlich andere sein mu13 als bei der laminaren Stromung. Denn wenn es sich auch bei der turbulenten h'ebenbewegung der im Mittel stationiren Stromung zunachst uni die Bewegung von Molekelhaufen handeln mag, so werden die Molekelhewegungen an den Ober- flachen der Haufen ganz andere sein als bei laminarer Stromung und es werden a m h die in eiiiem Haufen vorhandenen Molekeln allmahlich in andere Haufen iiber- gehen, so dal3 also auch die Bewegung der Molekelii in den einzelnen Haufen eine andere als bei laminarer Stromung sein wird. W e n n d i e e ine A r t d e r ungeord - n e t e n Moleke lbewegungen be i d e r k r i t i s c h e n Reyno ldsschen Zah l in d ie a n d e r e A r t u b e r g e h t , so k a n n d e r G r u n d h ie r f i i r n u r d e r s e in , d a B d i e zwe i t e A r t wahr sche in l i che r w i rd , a l s d i e e r s t e Ar t . Man konnte das Problem also von der kinetischen Gastheorie aus sngreifen. Auch andere Forscher haben schon die Ansicht vertreten, da13 die Turbulenztheorie nur mit statistischen Methoden zu bewaltigen sei'). Aber soweit Versuche vorliegen, wurde dabei nie auf die Molekelbewegungen selbst, also auf die eigentliche kinetische Gastheorie zuriickgegangen, vielmehr nur eine Stntistik der Bewegung von Molckelhau$n getrieben ". Auch ist eine Bestiinniung der kritischen Reynoldsschen Zahl rnit Hilfe dieser Statistik nie versucht worden. Es scheint auch sehr schwer, mit Hilfe der kinetischen Gastheorie das Turbulenzproblem anzugreifen. Bei ihm spielen die Vorgange an dcn Wanden entsprrchend dem Auftreten des Rohrdurchmessers in der Reynoldsschen Zahl eine mal3gebende Rolle. Es wurde schon von dem

3) Vgl. z. B. A. Sommerfeld, Vorlesungen iilier theoretische Physik, Bd. 2, S. 260, Leipzig 1945; G. Joos , Lehrbuch der theoretischen Physik, 5 . Aufl., S. 1'30, Leipzig 1943.

3) Bei der isotropen Turbulenz ist im quasistationaren Zustand die Art der Turlmlenz Zuni mindesten in einer Ebene ortsunabhangig, sedrecht dam eventuell schwach orts- Ahingig. Bei unserer ,,idealen Turbulenz im Rohr" dagcgen ist die Art der Turbdenz scnlcrecht zur Rohrachse stark ortsabhiingig, in Richtung der Rohrachse eventuell schwacli ortsnbhangig.

4, Vgl. die Zusammenetellung bei A. Sommerfeld a. a. 0. 6, Vgl. besondera das Buch von H. Gebelein, Turbulenz, Berlin 1935.

W . Meipner u. a. U. Schubert: Britische Reynoldssche Zahl fiir Rohrstrkung 165

einen von uns 6, darauf hingewiesen, dal3 die Aufdeckung der Verhaltnisse bei der Reflektion der Molekeln in einem bewegten Gas an den Wanden einer besonderen Untersuchung bedurfe, da Unstimmigkeiten vorhanden sind. Vielleicht mu13 inau die Boltzmannsehe Fundamentalgleichung erweitern.

Deshalb wurde der Weg uber die kinetische Gastheorie zunachst nicht versucht, vielmehr zur Losung des Problems die phanomenologische Thermodynamik heran- gezogen. Wenn die ideale turbulente Stromung wahrscheinlicher wird als die laminare, so bedeutet das, phanomenologisch ausgedruckt, daD die Entropie (oder ev. die Entropiezunahme) fur die ideale turbulente Stromung grol3er als fur die la- minare Stromung wird. Umgekehrt muB im Gebiet der laminaren Stromung die Entropie (oder ev. die Entropiezunahme) gro13er sein als fiir die in dies Gebiet extrapolierte ideale turbulente Stromung.

Auf jeden Fall mu8 also sowohl fur die laminare wie fur die ideale turbulento Stromung die Entropie berechnet werden. Dazu ist es notwendig, die Kompressi- bilitat der stromenden Medien zu berucksichtigen und den Druck- und Temperatur- verlauf fur die laminare und die ideale turbulente Stromung zu berechnen.

Es handelt sich also darum, eine strenge Losung der exakten phanomenologi- when gaskinetischen Grundgleichungen fur die laminare und die ideale turbulente Rohrstromung zu geben, was bis jetzt noch nicht einmal fiir die laminare Rohr- stromung geschehen ist. Vom rein mechanischen Standpunkt aus mussen dieso Losungen nebeneinander im ganzen Geschwindigkeitsbereich, also unterhalb und oberhalb der kritischen Reynoldsschen Zahl bestehen konnen. Bei der Be- rechnung des Entropie\-erlaufes aber mu13 sich d a m zeigen, daD die laminare Stromung nur in einem begrenzten Gebiet bestehen kann, daruber hinaus aber nur die ideale turbulente Rohrstromung thermodynaniisch berechtigt ist. Unter den Losungen der Grundgleichungen fur den Fall der Turbulenz mu13 durch das Entro- pieprinzip eine auswahlbar sein, die der beobachteten idealen Turbulenz entspricht.

Es sei noch erwahnt, da13 verschiedene Forscher bei der Behandlung des Tur- bulenzproblems zu wenig Gleichungen fur die Losung hatten 7). Die fehlenden Gleichungen scheinen uns eben die Gleichungen fur die Entropien zu sein.

Der Umschlag von laminarcr in ideale turbulente Rohrstromung kann auf zwei Arten hervorgerufen werden : Entweder man steigert die Stromungsgeschwindig- keit in einem zylindrischen Rohr bis die laminare Stromung in die turbulente uber- eht, oder man erzeugt in einem-schwach konischen Rohr eine nach der engeren 8*f nung zu gerichtetk Stromung von solcher Geschwindigkeit, daD etwa in der

Mitte des Rohres der Umschlag von laminarer zu idealer turbulenter Stromung er- folgt. Da man es im letzten Fall im Gebiet der laminaren Stromung mit stationarer Stromung, im Gebiet der idealen turbulenten Stromung wenigstens mit quasi- stationarer Stromung zu tun hat, haben wir den letzteren Fall zugrunde gelegt.

Wir geben fur die laminare Stromung eines idealen Gases im angegebenen Fall in Teil 1 der Arbeit eine strenge Losung durch Reihenentwicklungen. Eine strenge Losung der Grundgleichungen fur die ideale turbulente Rohrstromung ini ange- gebenen Fall zu geben, ist uns bisher nicht gelungen, obwohl wir die Losung dieses Problems nicht fi ir unmoglich halten. In Teil 2 ist vielmehr mit Hilfe der bis jetzt bei der Bchandlung der turbulenten Rohrstromung ublichen und von uns etwas verscharften Methoden eine angenaherte Losung fur die ideale turbulente Stro- mung eines idealen Gases in dem bei uns zugrunde gelegten Fall gegeben. In Teil3 _ _ _ ~

6, V'g1. W. MeiBner u. G . MeiOner, Ann. Physik (5) 36, 311 (1939). ') Vgl. K. Wieghardt, Luftfahrtforschung 18, 1 (1941).

166 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 3. 1948

wird dann der Entropieverlauf fur die beiden Falle ermittelt. In Teil 4 werden kurze Betrachtungexi dariiber angestellt, wie sich die der durchgefiihrten ahnliche Berechnungen in anderen Pallen der Stromuug und f i i r andere Medien als eiii ideales Gas gestalten diirften.

1. Losung der gaskinetischen Grundgleichungen fiir die laminare statlonlre Striimung eines idealen Gases in einem schwach konischen rotatioassymmetrischen Rohr Es sei:

e = Dichte p = Druck T = abs. Temperatur u = innere Energielg c, = spezifische Warme bei konstanten Voluruen c, = spezifische Warme bei konstantem Druck 12 = Gaskonstante/g 17 = Zahigkeitskonstante 1 = Warmeleitfahigkeit tu = Geschwindigkeit w,, w,, w3 = Komponenten von 10 im rechtwinkeligen Koordinatensystem Xl, x2, 53.

17 = ( p + 3 11 div 10 3- 2 11 def tu = verallgemeinerter Drucktensor

3 = Einheitstensor 1 i = k \

zk ( 0 i =I= kj' (3), = 6

Bedeutet (Bezeichnungsweise von Lagally) . skalare Multiplikation x vektorielle Multiplikation . . doppelt-skalare Multiplikation f i i r Tensoren

und werden Klammern nur zum Zusammenfassen vermendet, so lauten die gas- kinetischen Grundgleichungen fiir den stationaren Fall 8)

div e 10 = 0 (Massengleichung) e 10 * v tt~ + 0 -17 = 0 (Kraftegleichung)

(1) (2)

- div (I, grad T) + e 10 * grad u + 17 . . def 10 = 0 (Energiegleichung) (3) Wir wollen nun die Gleichungen (1) bis (3) auf die stationare laminare Stro-

mung in einem schwach konischen rotationssymmetrischen Rohr anwenden. Wir fuhren Kugelkoordinaten ein und bezeichen (Abb. 1) die Entfernung eines Punktes von der Spitze des das Rohr bildenden Kegels mit r , den Winkel zwischen der Rohrachse und r mit 6, den Winkel zwischen der Kegelachse und der Erzeu- genden der Kegelwandung mit a0, die Geschwindigkeit in Richtung von T auf die

Vgl. z. 73. W. MeiBner, Ann. Physik (5) 32, 115 (1938).

W . Meipner u. G. U. Schubert: I i r i t i x h Reymldssck Zahl far Rohrstromung 167

Kegelspitze zu mit w,, die Geschwindigkeit senkrecht dazu auf die Wandung zu mit wg. Dann wird durch ziemlich umstandliche aber uninteressante Zwischen- rechnungen aus (1) bis (3) unter Voraussetzung der Rotationssymetrie :

a - (r2 e w,) = _T 2- (e w g sin 6) ar sin9 09 (Massengleichung)

(4)

(Kraftegleichung, r - Komponente) I

Abb. 1. Stromung im konischen Rohr

(Kraftegleichung, 6 - Komponente)

(Energiegleichung) J Hierbei ist schon gesetzt :

u = C, T. (6 4 Zu den Grundgleichungen kommen nun noch die thermische Zustandsgleichung

p = R @ T (7) sowie die Randbedingungen

w,=wg=o iiirt9=??o (8) aTj8 = 0 fur 6 = 6o (Adiabasie) oder (9)

T = To fur 6 = Go (Isothermie). . (9 a)

168 Annalen der Phyeik. 6. Folge. Band 3. 1948

Es gelte ferner fur r -+m : p = p , ; @=em: T=T,.

stromes im Rohr w, fur r = 00 wie lira verschwinden. Es sei

Wir machen nun folgende Losungsansatze fur die Gleichung (4) bis (7)

> 0. Dam muB wegen des mit r konstant bleibenden Massen-

Q)

0 (10a) w, = , V v r-”@, (6) Q)

we = a J l v r-” !Pv (6) ( lob)

00

0 (10 e) T = T - v r-” 0, (6).

Man findet wegen der Bedingungen im Unendlichen

~ ~ , = @ , = o ; n , = p , ; ro=eol; o,= T,. (11 a)

!Po = !PI = !P, = 0. (1lb)

0, = 0 ; n, = n2 = 0; r, = 0. (11 c)

( I ld) 0, = 0.

r, = 0. ( I le)

Aus (4) folgt

Aus (6) und (5a) und (7)

Wegen (6) und (4) folgt daraus

Damit wird auch

Durch Elimination von p mittels Anwendung des Operators rot auf die Krafte- gleichung (2) oder (5) und einmalige Integration nach 6 findet man mit z = cos 6:

@z = c, + Y2 (2). (12)

Fiir y2 gilt dabei die Differentialgleichung

a dY, - (1 - z‘) - + 6 ~z = 0. t l x d x

Die im Gebiet COY go = x, 2 x 5 1 regulare Losung voii (13) ist

Ye = 4 p , (4, wenn P, (x) das L e g en d r esche Polynom 2. Grades ist. Aus der Rand- bedingung (8), die fi ir alle r gelten muD, folgt mit etwas geanderter Konstanten- bezeichnung

(14) @, = c, ( 5 2 - xo2).

Die Betrachtung der Glieder mit l/r* in Gleichung (4) liefert:

1 (15) @ - - (1 1-xz u; . d I-

3 - d x

W. MeiPner u. B. U.,Schubert: Kritische Reynoldssche Zahl ftir Rohrslrhung 169

Der Vergleich der Glieder mit l/r6 in der erwahnten durch Elimination von p erhaltenen Gleichung fiihrt. mit Beachtung von (15) zu;

Der auf der linken Seite stehende lineare Differentialoperator 4. Ordnung lal3t sich in 2 lineare Operatoren 2. Ordnung zerfallen. Damit la& sich nach ein- fachen Substitutionen die Losung des homogenen Teiles der Differentialgleichung (16) auf 2 L e g e n d r e - Gleichungen zuriickfiihren. Ein partikulares Integral der inhomogenen Gleichung (16) findet man durch den Ansatz:

(Vl-52 Ys)palt = ___ sc:ecm (a1 z + a, 28 + h, T6) (17)

mittels Koeffizientenvergleichung. Die im Gebiet x,, I z 5 1 regulare Losung von (16) enthalt zwei Integrationskonstanten. Man berechnet zunachst nach Gleichung (15) as. Die beiden eben erwahnten Integrationskonstanten folgen dann aua den Randbedingungen :

Damit ergibt sich schliel3lich :

45,= ~ '' eco [3-6 $+ (6 x0-5 4) zf (- 6+ 13 r:) 29-5 z0 2a](x-z0)

7

@, (To) = !Ps (5) = 0. (18)

(19) 189 20

Aus Gleichung (5a) folgt durch Vergleich der Glieder mit 1l.P bei gleichzeitiger Beachtung von Gleichung (14) : *

'2 (21) n--- , - 77 c2 (322- 1).

Damit gehen wir in die Energiegleichung (6) ein und betrachten die Glieder mit dem Faktor l/t-s:

Durch Vergleichung der Glieder mit dem Faktor 1/@ in der Massengleichung (4) folgt :

(23) 1 d --

Deshalb wird die Differentialgleichung (22) fiir 0, homogen. Die Bandbedin-

@ 4 = y & ( v 1 - T 2 ! P 4 ) .

gungen sind (2.) = 0 (Adiabasie) 2 0

(@& = 0 (Isothermie8)). Deshalb wird 0, = 0.

Aus der Zuatandsgleichung (7) folgt:

D) Im isothermen Fall Lt lings der R o b a n d T = To = Too.

170 Annalen &r Physik. 6. Folge. Band 3. 1948

Die der Gleichung (16) entsprechende Differentialgleichung f i i r Y4 lautet unter Beachtung von (23) : 8

Die rechte Seite ergibt sich bei Beriicksichtigung der Gleichungen (la), (It)), (20) als Polynom 7. Grades in x. Wir suchen nun wieder mittels der Methode der Koeffizientenvergleichung ein psrtihlares Integral der Differentialgleichung (26), mobei wir einen gegenuber (17) etmas modifizierten Ansatz verwenden mussen:

. . + (1- 22) (p3 z + p5 z3) In (1- z,)]. Die Losung &s homogenen Teiles der Differentialgleichung (26) kann wiederuni

durch Zerfallung des Differentialoperators 4. Ordnung gemonnen werden und la utet :

+ c: &2 (4 + C;,' &.I ( 4 1 * I Dabei sind P,, P4 die L e g e n d r eschen Polynome und Q2, Q4 die zugehorigen

Kugelfunktionen 2. Art. Zur Bestimmung der 4 Integrationskonstanten C, . . . C:" dienen

1. die Randbedingungen Q4 (4) = Y4 (x,,) = 0 2. die Forderung der Stetigkeit fur x= 1. Wir wollen o4 und U4 hier nicht allgemein anschreiben, sondern spater nur fur

Wenn wir in (5a) Glieder mit l/r5 vergleichen, dann folgt unter Beachtung von 8 0 < 1.

(14), (19) und (20):

Aus der Energiegleichung (6) sowie aus der in der Massengleichung (4) enthal- tenen Beziehung

folgt : - d [(l-xz) - d@ 5 1 + 12 0, = 3 Ci [zi- 6 xi + (9 xi- 3) 2,- x']. d X d X A

Als Losungen dieser inhomogenen L e g e n d r eschen Gleichung findet man :

a) fiir (2) = 0 (Adiabasie) 5 = 0 0

9 c; @ 4 = pI(jr2-1) [(5 z:- 1) (3- 4 xi- 12 zi) + 12 zo (7 xi- 3) x

+ 18 (5 z$- 1) (2 xi- 1) x2 + 20 50 (3- 7 S) x3 + 3 (5 xi- 1) x'1 J

W . Meipner u. :G. U. Schubert: Rritische Regmldssch Zahl jiir Rohrstriimung 171

b) fur 0, (xo) = 0 (Isothermie) 1) cg

0, = 12 3, (5 2: - 3 zo) [(- 3 + 22 &- 27 S) (5 z3- 3 5) + (3- 4 xi- 12 S) (5 z;- 3 zo) 1 (33) + (36~:-118)(5 2~-3x0)z2f (15z;-9z0)s4]. J

Aus der Zustandsgleichung folgt:

In entsprechender Weise liel3en sich alle weiteren Glieder der Reihenentwick- lungen (10a) bis (loe) sowie die Gleichung der Stromlinien berechnen, wobei keine weiteren mathematischen Schwierigkeiten mehr auftreten konnen. Nur werden die Rechnungen immer umstandlicher.

Wir wollen deshalb die bisherigen Ergebnisse auf ein so schwach konisches Rohr anwenden, daB die strenge Losung durch die bisher berechneten Glieder fur gro13e r hinreichend gcnau dargestellt wird. Zunachst entwickeln wir alle Glieder der Reihen (loa), (lob), (lOc), (loe) in MacLaurinsche Reihen fur die GroBeii 6 und 19,.

Etmas langwierige Rechnungen liefern mit den weiter unten angegebenen -4bkurzungen

U', = K (1 - (2) (y - R (%=) 2 (1 - 4,5 5 2 + 4,5 64- p) (y I

1 - K ( F y -- ( f - 1,505 f 3 + 0,343 f 5 - 0,182 t'

11 2 + 0,349 tg- 0,005 f")

(Adiabasie)

(Isothermie)

Dabei sind folgende Abkiirzungen verwendet : f = 8/80

172 Annalen der Physik. 6. Fdge. Band 3. 1948

r,ist ein Vergleichsabstand von der Kegelspitze. Bei uns ist stets r 2 r, angenommen a, = r,G, ist der Rohrradius an der Stelle r = r,. K ist eine statt C , eingefuhrte Integrationskonstante.

Aus den Gleichungen (35) (36) ersieht man, daB die Geschwindigkeit der Gas- teilchen senkrecht zur Rohrachse sehr klein im Vergleich zur Geschwindigkeit in Richtung der Rohrachse ist.

Bei 6, > 0 sieht man aus Gleichung (35), daB das fiir r> r, gultige Parabel- profil der Stromung sich mit abnehmendem r allmahlich mehr abflacht, sich also dem Profil der turbulenten Stromung nahert. Dieser Effekt hat jedoch mit dem Instabilwerden der Stromung nichts zu tun. Auch ist er fur Go << 1 klein. Beson- deres Augenmerk ist auf die Temperaturverteilung zu richten. Die Abkuhlung des Gases durch die Expansion iiberwiegt offensichtlich die Erwarmung durch die innere Reibung. Man erkennt dies aus der Bildung des Mittelwertes:

- 1 13 K Z q r, 4 T== J T ( t ) d t = T , - - -- (r) + - - - 0 30 1

(Adiabasie) (39)

(Isothemie). (39 a)

Man konnte vielleicht annehmen, daB das nachste Glied 0,/r5 der Reihenent- wicklung fur T, bei dem auch der EinfluB des Konvektionsgleides Q c, tu * grad T zu beriicksichtigen ist., was bei O,,!.' nicht der Fall ist, nicht zu vernachlassigen ist.

Eine genaue Untersuchung ergab jedoch, daB man 0 gegen 0, fur r > r, ver- nachlassigen kann. Bei Adiabasie muB dabei r >> r, 5ein; andernfalls treten andere Entwicklungen an die Stelle von (38), (39), (40d) uiid (40f), die an den Egebnissen aber nichts andern.

Man bemerkt weiterhin, daB fur a O e 1 im isothermen Fall die Temperatur- verteilung in 1. Naherung gleichzeitig adiabatisch ist, da d T / d t = 0 fur t = 1. Erst die hohere Naherung zeigt Abweichungen hiervon. Wichtig fur Teil 2 ist die Tatsache, daB die Mittelwerte fur beide Falle groBenordnungsmaBig gleich sind. Man kann iibrigens auch die Formeln (38) und (38a) durch Reihenentwicklung nach 6 und Oo der Differentialgleichung (31) und einfache Integrationen direkt gewinnen. Fiir die Temperaturverteilung bei Isothermie der Wand braucht man zur Bestim- mung der dabei auftretenden Konstanten nur die Glieder der 1. Naherung selbst, bei Adiabasie der Wand auch die der 2. Naherung. Wenn es einem nur auf die GroBenordnung der auftretenden Temperaturdifferenzen gegen T, ankommt, ist die Betrachtung des isothermen Falles bequemer.

Zur Erlauterung der bisherigen Rechnungen diene unter Zugrundelegung von Luft ein Zahlenbeispiel:

p , = 86,5 Torr; T,= 270" K 71 = 1,7 - lo4 g cm-1 s-l; A = 2,343 * 103 g c u 5-3 Grad-'

c , = 9,90 - 108 cm2 9-2 Grad-'; R = 2,88 - 108 cm* s-2 Grad-' p, = 1,48 * 10-4 g cm-3.

Die Rohrabmessungen seien :

Auf einer mittleren MeDstrecke ist das Rohr praktisch als zylindrisch anzusehen. Der Rohrdurchmesser an der Stelle r = r, ist 1,5 cm. Die Konstante K in

a. = 10-4 (d. h. 20,6"); r,, = 7,5 - 103 cm.

Gleichung (35) sei 4000 cm s-1.

F. MeiPlaer u. G. U. Schubert: Kritische Reynoldssche Zahl fur RohrstrGmung 1 i 3

Damit erhalten wir aus den Gleichungen (35) bis (38a) mit 19/I9~ = 6

wT = 4000 [(l-ta) (:y- 0,0145 (1- 4,5 5' + 4,5 ['-to) (:>" + 0,0061 (1- 3,Ol t2 + 1,036'- 0,737 E6

+ 1,742 - 0,030 ,$lo) (>y] cm 6-l

we = 0,4 0,0073 (5- 295 t3 + 1,5 t5- 0,25 t') (:-)a [ + 0,0061 (t- 3,Ol E3 + 1,035j- 0,737 [' + 1,742 6'- 0,030 6") (:)I] cm 5-l

p = 863 1 - 0,105 (>)3 - 0,005 (?)'I Torr c

cadlab = 1,48.10-' [1-0,195 (f) r 3

+ 0,0043 (- 0,498 - 5* + 6') (+y] g crn4 L.

eleoth = 1,48~10-'[1-0,105 (>->" + 0,0043 (-0,665- 5' + $ I 6') (>>'I g ~ m - ~ .

Man sieht, daD die Stromungsgeschwindigkeit in Richtung senkrecht zur Rohr- achse tatsachlich verschwindend klein ist. Aber auch in dem Ausdruck fur die Geschwindigkeitskomponente w, spielt das 1. Glied, das man aus der Massen- gleichung fur e = const und we = 0 direkt erhalten kann, die wesentliche Rolle. Auffallend ist ferner, daB die Temperaturdifferenzen gcgen Tw auBerordentlich klein sind. Wie schon erwahnt,*unterscheiden sich die adiahatische und der iso- therme Fall nur unwesentlich.

AbschlieDend konnen wir feststellen, daD wir fur die Stromung eines idealen Gases in einem sehr schwach konischen Rohr die Kornponenten der Stromungs- geschwindigkeit (Gleichung (35) und (36)), den Druck (Gleichung (37)) und die Temperatur (Gleichung (38) bzw. (38a)) init hinreichender Genauigkeit als Funk- tionen des Odes berechnet haben. Die Dichte folgt aus der Zustandsgleichung (7). Damit haben wir die Moglichkeit, die innere Energie

und die Entropie ti = c, T + const

s = c,ln -1-- R In (41) T ( r 6) P ( r 8) T W P w

+ const

als Funktionen des Odes zu berechnen. Ann. Physik. 6 . Folgr. Bd. 3 12

174 Annaten der Phyaik. 6. Fdge. Band 3. 1948

2. Angeniiherte Formeln fUr die ideale turbnlenta qnasistationHre StrSmnng eines idealen Qases in einem schwach konischen rotationssymetrischen Rohr

Die Massengleichung lautet fur eine instationare Stromung allgemein :

(42)

(42a)

Wir konnen aus den Untersuchungen in Teil 1 iniFalle sehr schwacher Konizi-

1. ist verschwindend klein. 2. Die Abweichung der Dichte vom Werte g , hat keinen EinfluB auf die-

jenigen Glieder der Reihenentwicklungen fur w, und p, die einen merklichen Wert besitzen (vgl. die Gleichungen (14), (21) und (29) sowie das Zahlenbeispiel).

Wir konnen deshalb zur naherungsweisen Berechnung des Druck- und Tem- peraturverlaufes aber nur fur diesen Zweck,

ae ' -- + e div tu + tu - grad e = 0. at

Durch zeitliche Mittelung folgt fur eine quasistationare Stromung :

(- sol1 stets zeitliche Mittelung bedeuten).

t a t folgendes entnehmen:

e div tu + tu * grad e = 0

- div to = 0 (43)

tD, = w (5) (y (44) setzen.

Auf die Frage nach dem Geschwindigkeitsprofil, also nach dem Verlauf von W (5) wollen wir erst weiter unten eingehen. Wir brauchen zunachst nur die uber den Querschnitt und zeitlich gemittelte Stromungsgeschwindigkeit W

w = w, (?)a. (45)

Zur niihcrungsweisen Berechnung des Druckverlaufes wenden wir die B1 a si u s - sche Formel lo)

(46) l!!! = 0,06652 q'/. e'l. 1V'I.

1 a'/* / (a = Rohrradius; 2 = Rohrlange)

auf ein Rohrstuck der Lange dr an, das wir naturlich zylindrisch annehmen konnen. Wir setzen, wie soeben begriindet, e = e , und beachten, da13 aus geometrischen

r (47)

Grunden a=a,-

r0 ist. Mit (45) und (47) crgibt sich aus (46)

Hieraus folgt der Druckverlauf :

(49) ? ; / I @,'/. w;/4 r" p = p , - 0,01773 - - -- ~- - ~

aov4

Wir wollen jetzt den Temperaturverlauf naherungsweise berechnen : Zunachst schreiben wir den Energiesatz in der Form:

2T c, e - G1 + e , e . grad T- div (2 grad T) + p div to = E .

l o ) Vgl. etwa Handb. d. Exp.-Phys. Bd. IV, Teil 4, Artikel Schiller, S. 76 GI. (62a).

175 W. YeiPner u. (3. U. Schubert: Kritieche Reymldseck Zahl fur Rohrd7iimung

Dabei ist E die Energiedisaipation. Mit Hilfe der Massengleichpng (42), der Zustandsgleichung sowie der Bezie-

div @grad T ) = E + tu Sgradp. (50a)

hung c,- C, = R konnen wir den Energiesatz umformen in:

c, Q bT + cpetu -grad T- 5- aP

Wir zerlegen die einzelnen Groflen folgendermaflen in ihre zeitlichen Mittel- werte und in ihre Schwankungen

m = % + b (61) (51 a) %=%;6=0

T = T m + T , - - (52) T=T,; T,=O (524 P = P m + P s p =pm; p,=o

e = e m + @ * e = e,;e,=o.

Damit gehen wir in Gleichung (Wa) ein und mitteln uber die Zeit --- - .-__

c , p, 2 + cg (em% - grad T , + en, o -grad T , + Q, o -grad T ,

+% . e , g r a d T , ) - d i v ( ~ g r a d T m ) = E + ~ g r a d p m + b-gradp,.

Niiherungsweise ist em - e,. Man kann mit Hilfe der Massen- und Kriifte- gleichungen sowie der Beziehungen (51) bis (54a) zeigen, da13 nur die folgenden Glieder von (55) wesentlich sind:

(554 Wir wollen nun die einzelnen Glieder dieser Gleichung gesondert betrachten: 1. c, pw 2B grad T,,, stellt die Quelldichte des Wiirmestromes durch Kon-

(56)

2. cD em t) * grad T , bedeutet im wesentlichen die Quelldichte des Warme-

-~ ] (55)

~ _ _ - cPew % .grad T m + c p e W b -grad T,--I2 A T , = i + 2B egradp,.

vektion infolge der Hauptbewegung dar. Daher ist 2 aT,

c , ~ , ~ ~ g r a d T m = - c c , e , W ( t ) ( + ) - a7 - stromes durch Konvektion zufolge der Nebenbewegung ; denn wir konnen

_ _ div (c, e 0 T,)

dafiir schreiben, weil naherungsweise (57)

divb-0 (57a) ist. Da die exakte Theorie der idealen turbulenten Stromung noch nicht existiert, iniissen wir, um wenigstens die Temperaturverteilung angenahert zu erhalten, eine Annahme iiber den turbulenten Warmeaustausch nach (57) machen. Wir gehen zu diesem Zweck vom turbulenten Impulsaustausch aus. Fur die ,,turbulente" Schubspannungskomponente (t,&urb gilt, wenn wir ein Rohrstiick dr als zylin- drisch betrachten :

176 Annalen der Physik. 6. Folqe. Band 3. 1948

A ist eiii sog. Austauschkoeffizient. Kurven, die MeBergebnisse von Nikuradne wiedegeben I]) , konnen wir durch folgende Forniel interpolieren :

(a = Rohrradiuu, W,,, = Plfaxiniuni von Tt' (0 Streng genoniineii gilt die Formel fur 6 = 0 nicht, deiiii hier sollte dAld l = 0 seiu. Aber der Fehler ist vernachlassigbar klein. Wir schreiheir nun fur den Wiirnw- stroiii tlurcli turbulenten Austausch :

- A grad T,, . (59) Analog der aus cier kinetischen Gastheorie folgenden Beziehung zwischen Iinpuls- und Wiirniraustausch

1 =1 1,4 c, tj (fur Luft) sctzeii wir

A = 1,1 c, @ A. (59 a 1 Nit (%a), (47) nnd (59) erhalten wir schlieljlicb

c p e b . grad T, = div [-0,7 C , coo a, M.;,,,( >) (1 + 17 5- 18 E2) grad TJ,l] (60)

- div (A grad T,Tl) = - 2. A Z',,, bedeutct iiaturlich die Quelldichte des Warinestronies infolge reiner Warme- leitung.

4. Das Glied Ti3 grad P , ~ , stellt, weil und grad p,, entgegengesetzt gerichtet sind, die Narinemenge dar, die im Volumeneleinent des Gases infolp der Ex- imisiori in auljere Arbeit verwandelt wird. Es ist

~~

3. Das Glied

Wir miissen jetzt etwas uber das Geschwindigkeitsprofil aussagen. Wir machen zunichst die Annahme, die iiur zur Berechnuiig der Tcinperaturverteilung dienen ~011, da13 das Geschwiiidigkeitsprofil in unserer zu kleinen R e y n o l d s d e n Zahlen Re hin extraplierten turbulenten Striiiuung von Re unabhangig sein soll. Die Abhangigkeit der gemessenen Geschwindigkeitsprofile von Re bezieht sich stets nuf Anderungen von Re uni ganze GroBenordnungeii. Gebeleiii I*) gibt nun eineii geschlosseneii Ausdruck fur deli Geschffindigkeitsverlauf uber den Querschoitt eiues Kreisrohres an, der die Prandt l -KBrmBnsche Waiidturbulenz und die Messungen von Ni k u r a d s e in groljerem Wandabstand richtig wiedergibt. Aber diese Formel ist fur unsere Zwecke wegen ihrer Umstandlichkeit wenig geeignet. Wir wahlen deshalb das Gcsetz

(63)

Diese Forniel stellt zwar in der Rohrinitte das Geschwindigkeitsprofil nur un- rollkornmen dar. Bildet man jedoch den Mittelwert der Neigung, den das nach Gebeleii i berechnete Geschwindigkeitsprofil zwischen Re = 1500 und 2000 au

3 w ([) = w,,, (1 - 5') = it-" (1 - 5'). -

11) Hnndbuch d. Experim@ntalpIiysik, Band TV, Teil 4, Artikel Schi l ler S. 1CU. l a ) Gebelein a. a. 0. S . 1?6, (A. (43).

U'. JXeipner 'u. G. 7 i . Sehubert: Krilischc Reynoldssche Zahl ffir Rohrstriimung 177

der Wand besitzt, so stimmt dieser 'mit der aus Gleichung (63) folgenden iiberein. Das ist deshalb wichtig, weil gerade in Wandnahc die innere Reibung des Gases infolge der Hauptbewegung besonders groB ist. In der Rohrmitte ist sowohl nach der Ge be leinschen wie nach unserer Forinel dieser Anteil der Energiedissipation klein. Es sei hinzugefugt, das wir hier sicherlich eine etwas groDere Energiedissi- pation erhalten als tatsachlich vorhanden ist. Der EinfluB der Glieder auf der rechten Seite der Gleichung (55) ist daher kleiner als wir es hier annehmen.

5. E ist die zeitlich gemittelte Energiedissipation. Sie*zerfallt in zwei Anteile :

E' ist die durch die turbulente Nebenbewegung verursachte Dissipation. Wir inachen fur E' den Ansatz:

(65 ) E' = 2 rl K (r) v ' ~ . ..

Dabei ist a eine noch zu bestimmende Funktion von r. v'z ist das Quadrat einer Vergleichsgeschwindigkeit. iiber die wir eine Amahme inachen miissen.

G. I. Taylor's) hat die Frage der Verteilung der Energiedissipation uber den Querschnitt eingehend diskutiert. Unser Ansatz ist eine auf unseren Fall zuge- schnittene ifbertragung seiner Ergebnisse. Wir interpolieren seine Kurven durch :

1 a;

Dabei ist v* die sogen. Schubspannungageschwindigkeit. Fur diese gilt:

(fw T~ ist die gesamte Schubspannungskornponente trO an der Rohrwand. Aus der

Gleichgewichtsbedingung fur die Krafte an einein Gaszylinder vom Querschnitt a 2 z und der Lange dr folgt

*,*2 =- 3 ?

I1 d p t o = T--. - dr

Die Gleichungen (66) , (67), (63) und (47) liefern

(68)

(69)

fl I d p i [Irn l o dr

0 '2 = (7 + 25 52- 14 5'- 50 5 6 + 7 + 25 5'") - - . Weiterhin ist

5 (z>"= 2 3 a,' j+': (?y56.

Wir erhalten als Energiedissipation :

Nun gilt nach einem von H. A. Lorentz14) abgeleiteten Satz, der im Rahmen u nserer Niiherung gleichfalls anwendbar ist:

2 / 5 E d 5 = wo($>'$. (71) --___ -

13) G . I. Taylor, Proc. Roy. SOC. London (A) 151, 455 (1935). I') H. A. Lorentz, Abhandlungen tiber theoretischeJ'hysik, Band I, S. 70, Leipzig u.

Berlin 1907.

178 Annalen der Phyaik. 6. Fdge. Band 3. 1948

Wendet man diese Beziehung auf (70) an, so kann man in einfacher Weise die Funktion oc bestimmen. Nach einiger elementarer Zwischenrechnung folgt unter Verwendung der Druckformel (48):

% * gradp, + E = (-7 - 2562 + 1 4 p + Sl,6p-7[0-25 ( '0 )

J * (- 9,7 + 50 ['- 4,3 6'- 100 + 14 6' + 50 6") Wir konnen jetzt unsere in 1. bis 5. gewonnenen Ausdriicke in die Energie,

gleichung (55a) eintragen. Wir ersetzen gleich alle durch - - ,entwickeln

alle Ausdriicke nach Potenzen von 8, und vernachlassigen alle Glieder, die a0, 8: usw. als Faktor enthalten. So finden wir:

a 1 . 5 so

mit 6 - - L (73a

Fur die im Rahmeu unserer Untersuchung uberhnupt in Betracht kom menden LO6 cv em a, Wo

Zahlenwerte ist S & 1. (73U

Elementare Integrationen liefern

I T = T , - 10-3. -- wo (:>" (12,5 (10 + 13,l t9 + 20,16* + 22.6 5' c, ew a0

- 75,3 ['- 84 t6- 140,5 6 4 - 183,7 63- 89,s 6'- 200 6 + 705 + 11,l In -__ - + 19 l8 3

- 274 E + 163,l + 15,2 It1

-i l ,5 woq (:) 2 6 [In (1 + 0,053 6 (r/r0) - 6) -In 0,0631 (r'r,)] cI em a.

+ vcrnachlassigbare Glieder. Die Ableitung von Gleichung (74) gilt nur fur &/To < 1. Fur r --t 00 ist die

reine Warmeleitung in etwas anderer Weise zu beriicksichtigen, was aber nur zu Gliedern fiihrt, die wie 1,hd und starker verschwindeii.

Wir haben uns auf den im 1. Teil besprocheuen isotherm- fast adiabati- schen Fall beschrankt. weil die Berechnung der Tntegrationskoustauteu im Falle

W. Meipner u. a. U. Sehubert: Kri tkhe R e y n o l d h Zahl fur h h r s t r h u q 179

der strengen Adiabasie nur durch ein Eingehen auf Glieder mit 8: moglich ist. Das ist aber hier nicht zu erreichen, da die einzelnen Glieder der Energiegleichung nur in 1. Naherung bestimmt werden konnten. Wir berufen urn daher auf die in Teil 1 gefundene recht gute tfbereinstimmung der beiden Temperaturverteilungen. Das Zahlenbeispiel am Schlul) des 1. Teiles gibt hier folgendes Bild, wobei ein uber

gemittelter T-Wert angeschrieben ist : p = 86,5 [l- 0,153 (r, /r)"/~] Torr (75a)

. T = 270 [I- 2,7 . 10-7 (T,/T)~- 2,5 - (ro/r)"/a] K. ( 7 5 4

Man bemerkt, daD die Temperaturdifferenzen gegen T, noch vie1 kleiner sind, als im laminaren Fall.

Damit sind auch im Fall der idealen turbulenten Stromung oberhalb und unterhalb von Rekr durch (49) und (74) Druck und Temperatur ale Funktionen des Ortes hinreichend genau bekaimt, so dal) sich innere Energie und Entropie er- mitteln laseen.

8. Bereohnung des Entropieverlaufes fur die laminare und ideale turbolente StrBmung und Ermittlung der kritischen R e J no 1 d s schen Zahl

In Teil 1 und 2 haben wir die Grundlagen fiir die Berechnung des Entropie- verlaufes gewonnen. In Gleichung (41) fur die Entropie eines idealen Gases konnen wir die Konstante gleich Null setzen, da es nur auf die Differenz zwischen der Entropie im laminaren und turbulentenFal1 an- kommt und da diese Entropien fur r +03, 3.7Q5-A%] wo die Stromung ver- schwindend klein ist, gleich grol) sein mussen. Wir habes nun nach Gleichung (41) fur das Zahlenbeispiel ((~OC), (40e), (75a), (75b)) den 705- Entropienverlauf fur die beiden Stromungen er- mittelt. Dabei wurde zunachst einmal uber 00

die Temperatur der Querschnitte gemittelt9 weii die Unterschiede,

gigkeit der Temperatur von 6 auftreten, unmerklich klein sind. Beim Vergleich der Gleichungen (40e) und (75b) fur den Temperaturverlauf mit den Gleichungen (4Oc) und (75a) fur den Druckverlauf zeigt sich, und das ist von groster Bedeutung, dal) die relativen Temperaturanderungen im Gas langs des Rohres so klein gegenuber den relativen Druckandemgen sind, da13 sie auf den Entropieverlauf keiuen merklichen EinfluB haben. Dies war jedoch k e i w w e g s vorauszusehen, s d r n wurde erst durch die genauen lksungen erschlossen.

*

,05 -

5 45 ld67 l.25 %o 7 Abb. 2. Mittlcre Entropie und Reynoldssche Zahl der laminaren und der idealen turbulenten Stromung von Luft im schwach konischen Rohr. 6, = lo-*; a, = 0,75 cm;

die infolge der Abhan- poo = 86,6 TOIT; Too = 270" K

180 dnnakn der Physik. 6. Folge. Band 3. 1945

Es ist auch noch darauf hinzuweisen, daQ der Ausdruck fur die Entropie zwar grundsatzlich durch die ortsabhangige Stromung beeinfluat wird, da13 aber, wie E n skogl6) gezeigt hat, bei den bei uns vorkoinmenden Stromungsgeschwindigkeiten die anzubringende Korrektion zu vernachlassigen ist. Das Ergebniss der punkt- weisen Berechnung des Entropieverlaufes fur die beiden Stromungsfalle zwiscben r/ro = 00 nnd r/ro = 1 ist in -4bb. 2 dargestellt.

Die mittlere Reynold wche %ah1

Re=- 2 2 n 0 2 j G , E d t

nurdc gleichfalls punktweise bererhnet und in Abb. 2 eingetragen. Man sieht, dal3 dch die beiden Kurven fur die Entropien etwa bei der Reynoldsschea Zahl Re = 1600 schiyiden, die von der experimentell bestiiiimteii kritischen R e y - noldsschen Zahl Rekr = 2000 nicht stark abweicht. Oberhalb des Schnittpunk- tes ist die Entropie fur die ideale turbulente Stromung groaer a19 f i i r die laminare Stromung, wahrend unterhalb des Schnittpunktes die Entropie fur die laminare Stromung die groBere ist. Unterhalb Rekr (des Schnittpunktes) ist also die la- minare Stromung die thermodynamisch berechtigte, oberhalb Rekr dagegen die idealc turbulente Stromung.

Da man es im vorliegenden Fall nicht mit einem statischen, sondern mit einem stationaren (bzw. quasistationaren) Zustand zu tun hat, konnte man zweifeln, ob der Wert der Entropie selbst oder die hhmgsgeschwindigkei t der Entropie maBgebend ist. Aus der schon erwahnten Feststellung E n s k o g s folgt aber schon, daB sich in unserem Fall die Zustande hinsichtlich der Entropie nur unmerklich von statischen Zustanden unterscheiden. Aus Abb. 2 folgt auch, da13 die Stelle, wo dsldr fur die beiden Stromungsarten denselben Wert hat, von- Rekr weit ent- fernt ist. Man benotigt in unserem Fall also nicht Betrachtungen, wie sie M. K o h - l e r 16) fur Nichtgleichgcwichtsvorgange kiirzlich angestdlt hat. Man iiberzeugt sich auch leicht, daB die Folgeruiigen aus der Meixnerschen Theorie der irrever- siblen Prozesse 1') in unserem Fall erfiillt sind.

Es ist alao zulassig, in unserem Fall, wie wir es taten, das Entropieprinzip in der fur statische Falle giiltigeli Form anzuwenden.

Wir haben im Teil 1 und 2 gesehen, da13 die Temperaturanderungen gegeniiber T, nur sehr gering sind. Sie haben also auf die Stromungsgeschwindigkeit und die Druckverteilung nur einen vernachlassigbar kleinen Einflul3. Die Berechnung des Druckverlaufes wollen wir aber nochmals genauer durchfiihren. In Teil 1 wurden die Reihen f u r p und tu vor Gliedern abgebrochen, die der geringen Dichte- anderung Rechnung tragen, da sie fur die untersuchten Falle von r/ro klein werden. Wir wollen uns hier von dieser Vernachlassigung unabhangig machen, indem wir rnit T = const setzen:

?I 0

e = P ( @ ~ / P C o ) * (76). Nennen wir die zeitlich und iiber den Querschnitt geinittelte Stromungs-

geschwindigkeit jetzt V , so folgt streng aus der Massengleicbung im laminaren

15) D. Enskog, Kinetische Theorie der Vorgiinge in miil3ig verdiinnten Gasen, I, Uppsala 1917.

lo) M. Kohler, Behandlung von Nichtgleichgewichtsvorgangen mit Hilfe eines Ex- tremalprinzips. Vortmg auf der Physiker-Tagung in Gottingen 1947 (Erscheint dem- nachfit in der Zeitschrift fiir Phyaik).

17) J. Meixner, Z . physik. Chem. (B) 53, 235 (1943).

W. Meifiner ti. G. U. Schubrrt: Krilische Reywldasche Zahl fur Rohrslromung 181

Q V = en V , (mir)?. (77) und turbulent en Fall :

Verbindet man Gleichung (77) init Gleichung (76), so folgt:

In Ted 1 haben wir gesehen, daD die Glieder tu . c IU den Faktor 6, enthalten. Daher konnen wir einfach das Poiseuillesche Gesetz auf ein schwach konisches Rohrstuck der Lange dr anwenden, wenn wir noch fur den Rohrradius an der Stelle r die schon friiher oft gebrauchte Beziehung a = a, r/ro benutzen:

M i t Gleichung (78) wird daraus eine einfach separierbare Differentialgleichung fur p, die nach Integration folgendes liefert:

h i Fall der idealen Turbulenz verwenden wir eine Widerstandsformel, die im Gebietkleiner Reynoldsscher Zahlen genauer ist alsdievon Blasius. Diagramme, die die Abhangigkeit des Widerstandsbeiwertes von der Reynoldsschen Zahl nachMeBergebnissenvon Saphund Schoder , sowievon StantonundPannel118) wiedergeben, zeigen fur Re = 4000, jedoch noch oberhalb des charakteristischen Abfalles auf den der laminaren Stromung entsprechenden Wert, systematische Abweichungen voni Blasiusschen Gesetz. Folgende Widerstandsformel scheint die MeSergebnisse am besteii darzustellen :

(D = Rohrdurchmesser, 2 = Rohrlange). Angewandt auf ein schwach konisches Rohrstiick der Lange dr liefert Gleichung

(81) niit (77) und (78):

Die Integration dieser Differentialgleichung ergibt :

pt ",,, = fpk- 0,01997 Pm e' vg ro (r,/r)"/* . (83) em.0 Po Vo2ao

Der Schiiittpunkt der Entropiekurvea sei bei r = rk, . Sus

" 0,01997 0, V , (LJ" (rO/rkJL/a = -- 16 ti .

9, v,ea 3% Hieraus erhalt man :

Mit Gleichung (77) sowie a = a,(r/r,,) wird n V 2 n (7) kr = Re,, = 1900.

Die 'Ubereinstimmung des so berechneten Wertes von Rekr niit den experi- mentellen Werten ist besser, a1s wir es erwartet batten. Das liegt an den sehr sorg-

18) Vgl. Handb. d. Experimentalphgs. Bd. IV, Teil 4 Artikel Sehiller, S. 75 u. i 7 .

182

faltigen Messungen der genannten Autoren uber das Widerstandsgesetz. Mit unserer Ableitung ist gezeigt, daD man vom extrapolierten Widerstandsgesetz fiir die ideale turbulente Stromung auf Re, schliebn kann. Es handelt sich dabei aber nicht um eine wirkliche Berechnung von Re,, mit Hilfe des Entropieprinzips; denn man erhielte denselben Wert fur Rekr, wenn man statt 8iam = &urb ansetzte piam = p t u r b fur Re = Re,,. Die durch Abb. 2 gegebene Feststelluug uber die thermodynamische Berechtigung der laminaren und idealen turbulenten Stro- mung unterhalb und oberhalb von $ekr dagegen ist nur mit Hilfe des Entropie- prinzips moglich. Es sei auch betont, daB der Schnittpunkt der Kurven in Abb. 2 auch bei Re,, = 1900 liegen wiirde, falls man fur die Ermittluug der Kurven das genauere, vorstehend benutzte, Widerstandsgesetz fur die ideale turbulente Stro- mung verwendet hatte,

Es bleibt a h , wie wir wiederholt betont haben, als weitere Aufgabe die exakte Losung der phanomenologischen Grundgleichungen fur die ideale turbulente Rohr- stromung. Unter allen moglichen Losungen der gaskinetischen Grundgleichungen wird man durch das Entropieprinzip die der idealen Turbulenz entsprechende thermodynamisch berechtigte Losung auswahlen konnen. Dann wird auch eine rein theoretische Berechnung von Rekr moglich sein.

Annala der Phy&k. 6. Fdge. Band 3. 1948

Scblu B Es drangt sich die Frage auf, wie es zu erklaren ist, da13 nach den experimen-

tellen Ergebnissen die kritische Reynoldssche Zahl fur Rohrstronlung einen universellen Wert fur alle Gase und Fliissigkeiten hat. Wollte man zunachst die kritische R e ynoldssche Zahl fur die ideale turbulente Rohrstromung einer Flussig- keit auf dem von uns eingeschlsgeneii Wege mit Hilfe des Entropieprinzips bestim- men, 80 muDte man eine geniigend genaue Zustandsgleichung fur die Flussigkeit haben, da z. B. ohne Berucksichtigung der Kompressibilitat eine zuk-erlassige Be- rechnung des Entropieverlaufs nicht moglich erscheint. Mit einer brauchbaren Zustandsgleichung konnten die den unserigen analogen Berechnungen wohl durch- gefiihrt werden 9. Naturlich muBte etwas Entsprechendes auch fur andersartige Gase als das von uns zugrunde gelegte ideale Gas gelten.

Eine weitere Frage ist, wie die Verhaltnisse liegen, falls man es nicht mit Rohr- stromung, sondern mit andersartigen Stromungen zu tun hat. Gruudsatzlich mhs- sen sich unsere tfberlegungen naturlich auch bei andersartigen Stromungen an- wenden lassen. Aber beim Vergleich der Ergebnisse mit experimentellen Werteri wird besonders darauf zu acbten sein, ob bezuglich der Eindeutigkeit und Repro- duzierbarkeit des Vorganges ein ahnlich einfacher Fall vorliegt, wie wir ihn bei der ,,idealen" turbulenten Stroniuiig iin Rohr bei geniigend langen Anlauf- und Auslaufstrecken voraussetzten.

Das Erscheineu unserer Arbeit in dem Planck-Gedenkheft drangt zu der Feststellung, daB ihr Inhalt ein neuer Beweis dafiir ist, wie recht Planck hatte, wenn er der Ansicht war, daD bei allen physikalischen, in der Natur vorkommenden und daher nie vollig reversiblen Vorgangen zu ihrem vollen Verstandnis die Be- riicksichtigung der Entropie erforderlich sei.

Is) Inzwischen angcstellte tfberlegungen haben egeben, dal3 unsere Rcchnungcn sich auch fur Flussigkeiten durchfuhren lassen.

Miinchen,.Laboratorium fiir Technische Physik der Technischen Hochschule. (Bei der Redaktion eingegangen am 23. Miin 1948.)